una linea recta

GEOMETRIA ANALITICA GRADO 10
PROF. LIC. ESP. BLANCA NIEVES CASTILLO R.
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ESPACIAL Y VARIACIONAL
Geometría Analítica
La línea recta
Secciones cónicas
La circunferencia
Modelación y Comunicación
Identifico en forma visual, gráfica y algebraica algunas propiedades de las
curvas que se observan en los bordes obtenidos por cortes longitudinales,
diagonales y transversales en un cilindro y en un cono
Razonamiento y argumentación
Reconozco y describo curvas y o lugares geométricos
Planteamiento y resolución de problemas
Calculo y desarrollo ejercicios que tienen que ver con la teoria de la
circunferencia
La recta, o línea recta, en geometría, es el ente ideal que sólo posee una dimensión y contiene infinitos puntos, se puede
representar como un vector; está compuesta de infinitos segmentos. El segmento es el fragmento mas corto de una
linea que une dos puntos. La recta también se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola
dimensión, es decir, sin mostrar ni principio ni fin. También existe la recta numérica que es de las mismas características
pero esta representando el orden de los numero.
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UNA LINEA RECTA
Analíticamente, es una ecuación lineal o de primer grado en dos variables. Recíprocamente, la representación gráfica del
lugar geométrico cuya ecuación sea de primer grado en dos variables es una recta.
Una recta queda determinada completamente si se conocen dos condiciones, por ejemplo, dos de sus puntos, un punto
y su dirección (pendiente o coeficiente angular), etc.
La pendiente de una recta corresponde al cambio en Y dividido el cambio en X la cual corresponde a la
ecuación:
.
Cuando la recta se inclina hacia arriba de izquierda a derecha, se dice que esta recta tiene pendiente positiva.
Cuando la recta se inclina hacia abajo de izquierda a derecha , se dice que esta recta tiene pendiente negativa.
Cuando la recta es horizontal , la pendiente de la recta es 0.
Cuando la recta es vertical, la pendiente de la recta no esta definida.
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Características de la Recta
La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos.
La distancia más corta entre dos puntos está en una línea recta, en la geometría euclidiana.
La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos.
Ecuaciones de la Recta
Tomados dos puntos de una recta, la pendiente m es siempre constante. Se calcula mediante la
ecuación:
Ecuación General de la Recta
Ecuación de la Recta (vertical)
Ecuación de la Recta (horizontal)
Ecuación de la Recta (punto-pendiente)
Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente.
Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de
uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta
conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente m es la tangente de la recta con el eje de abscisas
X.
Ejemplo
Hallar la ecuación general de la recta que pasa por el punto A (4, -8) y que tiene una pendiente de 3/2 al sustituir los
datos en la ecuación, resulta lo siguiente:
De esta forma hallamos la ecuación general de la recta la cual es de la forma:
Ecuación de la Recta (pendiente-intersección)
Si se conoce m (pendiente) , y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo
de la ecuación punto pendiente de la recta,
:
Esta es la ecuación de la recta pendiente-intersección o pendiente intercepto.
Se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b. También se puede utilizar esta
ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.
Solución para problemas en que la Recta pasa por un punto
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Determinar las rectas del plano que pasan por el punto (x0,y0).
La ecuación de la recta ha de ser, como ya se sabe:
Y ha de pasar por el punto (x0,y0), luego tendrá que cumplirse:
Despejando b, tenemos esta ecuación:
Sustituyendo b en la ecuación general de la recta:
Ordenando términos:
Esta ecuación define un haz de rectas en el plano que pasa por el punto (x0,y0), el valor de m es la pendiente de cada
una de las rectas que forman parte del haz, m puede tomar un valor real cualesquiera.
Distancia entre puntos
- Esta ecuación parte de tener dos puntos cualesquiera en el plano, llamándoles (x1, y1) y (x2, y2) la cual es una
aplicación del teorema de Pitágoras siendo la distancia entre los puntos de cada uno de sus respectivos ejes los catetos,
y la hipotenusa la distancia final.
- La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d = P1P2, entre valor absoluto esta dada por:
Demostración:
Punto Medio de una recta
Rectas Paralelas
Son Paralelas al eje cuando ambas rectas tienen la misma pendiente
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Rectas Perpendiculares
Son Perpendiculares entre ellas cuando el producto de ambas pendientes es -1
Angulo entre Rectas
Mediatríz
La mediatríz de un segmento es la recta perpendicular al segmento en el punto medio
Los puntos de la mediatríz están a igual distancia de los extremos del segmento.
Problemas Resueltos
Ejemplo #1
Encontrar la ecuación de la mediatríz del segmento formado por los puntos A(4,2) y B(-2,10).
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Ejemplo #2
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos
Calculamos la pendiente.
Ahora aplicamos la ecuación de la recta
sustituyendo los valores que tenemos
tomamos cualquier punto y lo evaluamos para hallar el valor de b
por lo tanto la ecuación de la recta es
Ejemplo #3
encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto A( -1, 3) y es paralela a la recta 2y -6x = 10
procedimiento:
luego utilizamos la ecuación general de la recta y llegamos a :
la ecuación de la recta que pasa por ese punto es:
Pendiente = 3
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TOMADO DE INTERNET DE: http://es.scribd.com/doc/387505/Guia-de-ejercicios-propuestos-Primer-corte#scribd
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RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES
intersección con el eje Y = (0,6) "hacemos cero a x"
intersección con el eje x = (-2,0) "hacemos cero a y"
Ejemplo #4
Halle la ecuación de la recta que pasa por
y es paralela a
utilizamos la ecuación general de la recta :
la ecuación de la recta que pasa por ese punto es:
Ejemplo #5
Halle la ecuación de la recta que pasa por
y es perpendicular a
utilizamos la ecuación general de la recta :
la pendiente de una recta perpendicular a ella es el reciproco negativo
la ecuación
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Ejemplo #6
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por x el punto P(5,-7) en la recta que es paralela a 6x+3y=4
tenemos que la pendiente es paralela a
Ejemplo #7
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3,2),(4,3)
Primero encontramos el valor de la pendiente:
Entonces:
Ya que tenemos el valor de nuestra pendiente introducimos los valores en la ecuación de la recta
Acá llegamos a nuestra respuesta y podemos ver un grafico de ella
Ejemplo #8
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos (5,1),(8,3)
Primero encontramos el valor de la pendiente:
Entonces:
Ya que tenemos el valor de nuestra pendiente introducimos los valores en la ecuación de la recta
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Aca llegamos a nuestra respuesta y podemos ver un grafico de ella
Ejemplo #9
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1, 3) y B (-2, 1). Determine el intercepto de la recta con el
eje y.
Soluciones de Rectas
Ejemplo #10
Del segmento formado por los puntos A(5,2) y B(-2,12), encontrar la mediatriz
Forma punto-pendiente de la mediatriz del segmento
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Respuesta
TOMADO DE INTERNET EN: https://sites.google.com/site/roypau2011/home/funcion-lineal/rectas-paralelas-yperpendiculares/practica/soluciones
TOMADO DE: http://www.wikimatematica.org/index.php?title=La_recta
A) Escribe la ecuación de dos rectas paralelas a la recta y = 2x + 3
B) Estudiar la posición relativa de las rectas de ecuaciones:
1) 2x + 3y - 4 =0
2) x - 2y + 1= 0
3) 3x - 2y -9 = 0
4) 4x + 6y - 8 = 0
5) 2x - 4y - 6 = 0
6) 2x + 3y + 9 = 0
C) Hallar la ecuación de la recta r, que pasa por A(1,5), y es paralela a la recta y=- 2x - 2
D) Hallar la ecuación de dos rectas perpendiculares a y = 3x-1
E) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto(-1;3) y es erpendicular a la recta y= 2x+5
F) Hallar una recta paralela y otra perpendicular a y=( -x-3)/2 , que pasen por el punto A(3,5). de la recta que pasa por ese punto
es:
SOLUCIONES
A) las pendientes de ambas rectas tiene que sr iguales, entonces: y= 2x-5, y =2x+4
B) Las rectas 1 y 4 son coincidentes , porque todos sus coeficientes son proporcionales:
2/4=3/6=-4/-8
Las rectas 2 y 5 y las 1 y 6 son paralelas respectivamente, ya que existe proporcionalidad entre los coeficientes de x y de
independiente.
1/2=-2/-4 distinto a 1/-6 ,
2/2=3/3 distnto a -4/9
C) y = -2x +7
D) y= -1/3x , y=-1/3x-2
E) y= -1/2x+5/2
F) paralela: y=-1/2x+13/2, perpendicular: y=2x-1
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Ecuación de la circunferencia
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro (recordar que estamos
hablando del Plano Cartesiano y es respecto a éste que trabajamos).
Determinación de una circunferencia
Una circunferencia queda determinada cuando conocemos:
Tres puntos de la misma, equidistantes del centro.
El centro y el radio.
El centro y un punto en ella.
El centro y una recta tangente a la circunferencia.
También podemos decir que la circunferencia es la línea formada por todos los puntos que están a la misma distancia de otro punto,
llamado centro.
Esta propiedad es la clave para hallar la expresión analítica de una circunferencia (laecuación de la circunferencia).
Entonces, entrando en el terreno de la Geometría Analítica, (dentro del Plano Cartesiano) diremos que ─para cualquier punto, P (x,
y), de una circunferencia cuyo centro es el punto C (a, b) y con radio r─, la ecuación ordinaria es
(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2
¿Qué significa esto?
En el contexto de la Geometría Analítica significa que una circunferencia graficada con un centro definido (coordenadas) en el Plano
Cartesiano y con radio conocido la podemos “ver” como gráfico y también la podemos “transformar” o expresar como una ecuación
matemática.
Así la vemos
Así podemos expresarla
Donde:
(d) Distancia CP = r
y
Fórmula que elevada al cuadrado
nos da
(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2
También se usa como
(x ─ h)2 + (y ─ k)2 = r2
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Recordar siempre que en esta fórmula la x y la y serán las coordenadas de cualquier punto (P) sobre la
circunferencia, equidistante del centro un radio (r). Y que la a y la b (o la h y la k, según se use) corresponderán a las coordenadas del
centro de la circunferencia C(a, b).
Nota importante:
Los ejercicios sobre esta materia pueden hacerse en uno u otro sentido.
Es decir, si nos dan la ecuación de una circunferencia, a partir de ella podemos encontrar las coordenadas de su centro y el valor de
su radio para graficarla o dibujarla.
Y si nos dan las coordenadas del centro de una circunferencia y el radio o datos para encontrarlo, podemos llegar a la ecuación de la
misma circunferencia.
Cuadrado del binomio
Aquí haremos una pausa para recordar el cuadrado del binomio ya que es muy importante para lo que sigue:
El binomio al cuadrado de la forma (a ─ b)2 podemos desarrollarlo como (a ─ b) (a ─ b) o convertirlo en un trinomio de la
formaa2 ─ 2ab + b2.
Sigamos nuestro razonamiento sobre la ecuación (x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2 (que en forma matemática representa una circunferencia).
De la ecuación ordinaria a la ecuación general
Si en esta ecuación ordinaria ─cuyo primer miembro (lado izquierdo) está formado por la suma de dos cuadrados de binomio─,
eliminamos los paréntesis desarrollando dichos binomios, pasamos todos los términos al primer miembro y la igualamos a cero,
tendremos:
x2 ─ 2ax + a2 + y2 ─ 2by + b2 ─ r2 = 0 ecuación que ordenada sería
x2 + y2 ─ 2ax ─ 2by + a2 + b2 ─ r2 = 0
Si para tener una ecuación más sintetizada hacemos las siguientes asignaciones:
─ 2a = D,
─ 2b = E,
a2 + b2 ─ r2 = F
la ecuación quedaría expresada de la forma:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 conocida como Ecuación General de la Circunferencia, la cual debe cumplir las siguientes condiciones
para serlo:
No existe término en xy
Los coeficientes de x2 e y2 son iguales.
Si D = ─ 2a
entonces
Si E = ─ 2b
entonces
Si F = a2 + b2 ─ r2 entonces
Además, otra condición necesaria para que una ecuación dada represente una circunferencia es que:
a2 + b2 ─ F > 0 (a2 + b2 ─ F debe ser mayor que cero)
Nota:
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Para simplificar la ecuación general de la circunferencia (x2 + y2 ─ 2ax ─ 2by + a2 + b2 ─ r2 = 0) algunos textos o
docentes utilizan otra convención y hacen:
─ 2a = A,
─ 2b = B,
a2 + b2 ─ r2 = C para tener finalmente
x2 + y2 + Ax + By + C = 0 que es lo mismo que x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
A modo de recapitulación
Si conocemos las coordenadas del centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuacion ordinaria, y si operamos los
binomios cuadrados que la conforman, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia.
Ecuación reducida de la circunferencia
Volviendo a nuestra ecuación ordinaria (x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2 , debemos consignar que si el centro de la circunferencia coincide con
el origen de coordenadas (0, 0) la ecuación queda reducida a:
(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2
(x ─ 0)2 + (y ─ 0)2 = r2
x2 + y2 = r2
Obtener la ecuación de la circunferencia conocida su gráfica
Para lograrlo debemos conocer dos elementos importantes:
- el centro de la circunferencia (C), dado por sus coordenadas
- el radio (r) de la misma circunferencia
Definido esto, tendremos dos posibilidades:
A) Circunferencia con centro (C) en el origen de las coordenadas; expresado como C (0, 0)
B) Y circunferencia con centro (C) fuera del origen de las coordenadas; expresado, por ejemplo, como C (3, 2).
Circunferencia con centro (C) en el origen de las coordenadas; expresado como C (0,
0)
A continuación analizaremos cuatro casos
Caso 1
Veamos la gráfica siguiente:
Los datos que nos entrega son:
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Centro: C (0, 0), el centro se ubica en el origen de las coordenadas x e y
radio: r = 3, lo indica el 3 en cada una de las coordenadas.
Recordar esto:
Cuando el centro (C) de la circunferencia sea (0, 0) se usará la ecuación x2 + y2 = r2 para expresar dicha circunferencia en forma
analítica (Geometría analítica). Esta ecuación se conoce como ecuación reducida.
Para la gráfica de nuestro ejemplo, reemplazamos el valor de r en la fórmula x2 + y2 = 32
y nos queda x2 + y2 = 9 como la ecuación reducida de la circunferencia graficada arriba.
Ojo:
Si nos dieran la ecuación x2 + y2 = 9 y nos preguntaran qué representa, razonamos en sentido inverso y diremos que representa
una circunferencia, con centro (C) en el origen de las coordenadas (0, 0) y cuyo radio es 3 (32 = 9 y la raíz cuadrada de 9 es 3)
Circunferencia con centro (C) en el origen de las coordenadas; expresado como C (0,
0)
Caso 2
Veamos la gráfica siguiente:
Los datos que nos entrega son:
Centro: C (0, 0), el centro se ubica en el origen de las coordenadas x e y
radio: r, lo desconocemos, pero tenemos un dato: el punto P (3, 4) ubicado en la circunferencia.
Recordemos de nuevo:
Cuando el centro (C) de la circunferencia sea (0, 0) se usará la ecuación x2 + y2 = r2 para expresar dicha circunferencia en forma
analítica. Esta ecuación se conoce como ecuación reducida.
Para la gráfica de nuestro ejemplo, deberíamos colocar el valor de r en la fórmula x2 + y2 = r2 , pero resulta que no lo conocemos.
Entonces, a partir del dato P (3, 4) podemos calcular el valor del trazo que une este punto con el centro C (0, 0) (trazo PC con línea
punteada en la figura), el cual corresponde al radio de la circunferencia dada.
¿Cómo calculamos el valor de la distancia (d) entre P y C (el radio de la circunferencia)?
Para calcular la distancia (d) entre dos puntos (encontrar su valor) contamos con la siguiente fórmula:
No olvidemos que esta fórmula es para encontrar o conocer la distancia entre dos puntos; por lo mismo, debemos saber que en ella
(x2 ─ x1)2 representa al punto 1, y ese punto 1 (P1) lo haremos corresponder con el punto que pasa por el centro C (0, 0)
(y2 ─ y1)2 representa al punto 2, y ese punto 2 (P2) lo haremos corresponder con el punto que pasa por P (3, 4).
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Es muy importante conocer o designar este orden ya que
Establecido este orden o equivalencia, podemos sustituir los valores en la fórmula anterior para conocer la distancia (d) entre los dos
puntos que nos interesan, la cual será nuestro radio:
El 5 nos indica la distancia entre los dos puntos, el centro de la circunferencia y uno de sus puntos, lo cual corresponde al radio.
Recapitulemos:
Para expresar u obtener la ecuación de una circunferencia cuyo centro está en el origen, necesitamos conocer el centro, ya sabemos
que es C (0, 0), y conocer el radio, que ahora sabemos que es 5.
¿Se acuerdan cuál es la fórnula?
Esta: x2 + y2 = r2
Reemplazamos en ella el valor del radio
x2 + y2 = 52 y nos queda
x2 + y2 = 25 como la ecuación reducida de la circunferencia graficada arriba (en la cual nos indicaron un centro y un punto en ella).
Ojo:
Si nos dieran la ecuación x2 + y2 = 25 y nos preguntaran qué representa, razonamos en sentido inverso y diremos que representa
una circunferencia, con centro (C) en el origen de las coordenadas (0, 0) y cuyo radio es 5 (52 = 25 y la raíz cuadrada de 25 es
5).
Circunferencia con centro (C) en el origen de las coordenadas; expresado como C (0,
0)
Caso 3
Tenemos la gráfica de una circunferencia cuyo centro (C) es el origen de las coordenadas (0, 0), y nos dan dos puntos opuestos en la
circunferencia, , A (-3, -2) y B (3, 2), los cuales unidos corresponden al diámetro de la misma.
Recordemos de nuevo:
Cuando el centro (C) de la circunferencia sea (0, 0) se usará la ecuación x2 + y2 = r2 para expresar dicha circunferencia en forma
analítica. Esta ecuación se conoce como ecuación reducida.
Para la gráfica de nuestro ejemplo, deberíamos colocar el valor de r en la fórmula x2 + y2 = r2 , pero resulta que no lo conocemos.
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Pero tenemos identificados dos puntos opuestos en la circunferencia, los cuales unidos entre sí (la línea punteada
entre A y B en la gráfica) representan al diámetro de la misma. Entonces, a partir de esos puntos, A (-3, -2) y B (3, 2), podemos
calcular el valor del trazo que los une (trazo AB con línea punteada en la figura), el cual corresponde al diámetro de la circunferencia
dada.
¿Cómo calculamos el valor de la distancia (d) entre A y B (el diámetro de la circunferencia)?
Para calcular la distancia (d) entre dos puntos (encontrar su valor) contamos con la siguiente fórmula:
No olvidemos que esta fórmula es para encontrar o conocer la distancia entre dos puntos; por lo mismo, debemos saber que en ella
(x2 ─ x1)2 representa al punto 1, y ese punto 1 (P1) lo haremos corresponder con el punto A (-3, -2)
(y2 ─ y1)2 representa al punto 2, y ese punto 2 (P2) lo haremos corresponder con el punto B (3, 2).
Es muy importante conocer o designar este orden ya que
Establecido este orden o equivalencia, podemos sustituir los valores en la fórmula anterior para conocer la distancia (d) entre los dos
puntos que nos interesan, la cual será nuestro diámetro
El 7,2 (valor aproximado) nos indica la distancia entre los dos puntos, A y B, la cual corresponde al diámetro de la circunferencia.
Para conocer el valor del radio, simplemente dividimos por 2 dicho diámetro, y nos queda r = 3,6 ≈
Conocido el radio lo reemplazaremos en la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el origen de las coordenadas, que es:
x2 + y2 = r2
la cual nos queda
x2 + y2 = (3,6)2.
x2 + y2 = 13 ≈ como la ecuación reducida de la circunferencia graficada arriba (en la cual nos indicaron un centro y dos puntos
opuestos en ella).
Esta ecuación también podía obtenerse haciendo el cálculo para la distancia entre uno de los puntos dados y el centro, como se vio en
el caso 2
Ojo:
Si nos dieran la ecuación x2 + y2 = 13 y nos preguntaran qué representa, razonamos en sentido inverso y diremos que representa
una circunferencia, con centro (C) en el origen de las coordenadas (0, 0) y cuyo radio es 3,6 (3,6)2 = 13 y la raíz cuadrada de 13
es 3,6 ≈).
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Circunferencia con centro (C) en el origen de las coordenadas; expresado como C (0,
0)
Caso 4
Tenemos la gráfica de una circunferencia con centro (C) en el origen de las coordenadas (0, 0), no hay otro dato sobre coordenadas,
pero se me indica que tiene un área de 10 u 2 (diez unidades cuadráticas).
Recordemos de nuevo:
Cuando el centro (C) de la circunferencia sea (0, 0) se usará la ecuación x2 + y2 = r2 para expresar dicha circunferencia en forma
analítica. Esta ecuación se conoce como ecuación ordinaria.
Para la gráfica de nuestro ejemplo, deberíamos colocar el valor de r en la fórmula x2 + y2 = r2 , pero resulta que no lo conocemos.
Pero conocemos el área de la circunferencia (10 u 2) y a partir de este dato podemos calcular el radio de la misma.
¿Cómo calculamos el radio de la circunferencia si conocemos su área?
Repasemos el cálculo del área (A) de una circunferencia:
A = π • r2
A = 10 (dato conocido),
entonces 10 = π • r2 y
, este dato podría ser suficiente para reemplazar el valor de r2 en la fórmula, pero podemos avanzar un poco y hacemos
Volvamos a nuestra fórmula inicial
x2 + y2 = r2
Como ahora conocemos el radio:
x2 + y2 = (1,78)2
x2 + y2 = 3,18 ≈
También pudimos hacer
Ojo:
Si nos dieran la ecuación x2 + y2 = 3,18 ≈ y nos preguntaran qué representa, razonamos en sentido inverso y diremos que representa
una circunferencia, con centro (C) en el origen de las coordenadas (0, 0) y cuyo radio es 1,78 (1,78)2 = 3,18 y la raíz cuadrada
de 3,18 es 1,78 ≈).
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Obtener la Ecuación de la circunferencia con centro (C) fuera del origen de
las coordenadas
*Tomemos, por ejemplo, la circunferencia cuyo centro está dado por C (2, ─3), con radio r = 5 que se muestra en la figura
Para obtener la ecuación general de la circunferencia que estamos viendo podemos usar dos métodos:
Método por desarrollo y
Método con las fórmulas conocidas.
Método por desarrollo
Como conocemos el centro, C (2, ─3) y el radio (r = 5) entonces la fórmula ordinaria de la circunferencia será
(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2 donde a y b son las coordenadas del centro C (a, b), que en nuestro caso corresponde a C (2, ─3)
entonces, nuestra ecuación ordinaria quedará como
(x ─ 2)2 + (y ─ ─ 3)2 = 52
(x ─ 2)2 + (y + 3)2 = 52
(x ─ 2)2 + (y + 3)2 = 25
Nota: algunos usan otras letras, como (x ─ h)2 + (y ─ k)2
Sigamos.
Tenemos nuestra ecuación ordinaria
(x ─ 2)2 + (y + 3)2 = 25
y desarrollamos sus dos binomios:
(x ─ 2) (x ─ 2) + (y + 3) (y + 3) = 25
(x2 ─ 2x ─ 2x + 4) + (y2 + 3y + 3y + 9) = 25
(x2 ─ 4x + 4) + (y2 + 6y + 9) = 25
Recordemos que la estructura de la ecuación general de la circunferencia es
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Entonces, ordenamos nuestra ecuación anterior y la acomodamos de acuerdo con la fórmula general:
x2 + y2 ─ 4x + 6y + 4 + 9 ─ 25 = 0
x2 + y2 ─ 4x + 6y ─ 12 = 0
que es la ecuación general de la circunferencia con centro en las coordenadas 2, ─3 y cuyo radio es 5.
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Método con las fórmulas conocidas
Como conocemos el centro, C (2, ─3) y el radio (r = 5) entonces aplicamos las fórmulas
entonces D = ─ 2a
Si
entonces E = ─ 2b
Si
Si
entonces
F = a2 + b2 ─ r2
Recordemos que C (2, ─3) corresponde a C (a, b)
Entonces, hacemos:
F = 4 + 9 ─ 25 = ─12
Si recordamos que la estructura de la ecuación general de la circunferencia es
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
y en ella sustituimos los valores ahora conocidos de D, E y F, tendremos
x2 + y2 + ─4x + 6y + ─12 = 0
x2 + y2 + ─4x + 6y ─12 = 0
obtenemos la misma ecuación general de la circunferencia que logramos mediante el método del desarrollo.
Ahora, hagamos algunos ejercicios Ejercicio 1
las coordenadas
Encuentre la ecuación general de la circunferencia cuyo centro está en
y que tiene un radio igual a
.
Resolución por desarrollo
En este caso podemos usar las fracciones o convertirlas a decimales:.
Como el centro no está en el origen vamos a usar la fórmula ordinaria para llegar a la desarrollada:
Para hacerlo, partamos de aquí:
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(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2
Nota:
Debemos recordar que x e y corresponden a las coordenadas de cualquier punto en la circunferencia, P (x, y), distante un radio
desde el centro.
Volvamos a la fórmula:
Reemplacemos los valores en las coordenadas del centro, C (a, b):
y aquí tenemos la ecuación ordinaria (formada por dos cuadrados de binomio) la cual ahora desarrollaremos para llegar a la
ecuación general:
Recordemos el cuadrado del binomio:
a2 + 2ab + b2
Primer término al cuadrado (x)2, más el doble del producto del primero por el segundo término 2(x)(0,5), más el cuadrado del
segundo término (0,5)2
Pongamos los valores de nuestros binomios al cuadrado:
(x)2 + 2(x)(0,5) + (0,5)2 + (y)2 + 2(y)(─1,25) + (─1,25)2 = 3
x2 + x + 0,25 + y2 ─2,50y + 1,56 = 3
ahora acomodamos los términos e igualamos a cero, para obtener la ecuación general:
x2 + y2 + x ─ 2,50y + 0,25 + 1,56 ─ 3 = 0
x2 + y2 + x ─ 2,50y ─ 1,19 = 0
Resolución por el sistema de fórmulas conocidas
Tenemos:
Centro de la circunferencia (coordenadas)
Radio
r =
Y las fórmulas
D = ─2a
E = ─2b
F = a2 + b2 ─ r2
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Recuerde que la ecuación general de la circunferencia tiene esta estructura:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Por lo que solo debemos calcular D, E y F
Ahora que ya conocemos D, E y F los acomodamos en la fórmula general y tendremos:
x2 + y2 + x + ─2,50y + ─1,19 = 0
x2 + y2 + x ─ 2,50y ─ 1,19 = 0 fórmula general de la circunferencia dibujada arriba.
Importante
Los dos métodos utilizados aquí para encontrar la ecuación de la circunferencia nos indican que si nos dan las coordenadas del
centro de una circunferencia distintas de cero y el radio de la misma conviene usar el método de las fórmulas.
No obstante, si alguien quiere saber exactamente cómo se procede, puede usar el sistema del desarrollo.
Ejercicio 2
Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro en C (1, 3) y radio r = 4.
Resolución
Sabemos que debemos obtener un ecuación de la forma
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
por lo que necesitamos saber cuánto valen D, E y F
Para ello, recordamos que
D = ─2a
E = ─2b
F = a2 + b2 ─ r2
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Sustituyendo en D y E los valores que nos entregan las coordenadas del centro C (1, 3), donde
a = 1
b = 3
tendremos que
D = ─2(1) = ─2
E = ─2(3) = ─6
Y ahora sustituimos en
F = a2 + b2 ─ r2
F = (1)2 + (3)2 ─ (4)2
F = 1 + 9 ─ 16
F = ─6
Como ya tenemos los valores de
D = ─2
E = ─6
F = ─6
Los usamos para sustituir en la ecuación
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
para quedar
y llegar finalmente a
x2 + y2 ─ 2x ─ 6y ─ 6 = 0 como la fórmula general de la circunferencia dibujada arriba.
*Ejercicio 3
Hallar la ecuación general de la circunferencia que pasa por el punto P (─3, 2) y cuyo centro es el punto C (1, 5)
Resolución
Debemos calcular el radio (ya que no lo conocemos), pero como tenemos las coordenadas de un punto y del centro podemos
calcularlo así:
El radio es la distancia de C a P, y como su fórmula para conocer dicha distancia es
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Hacemos
Ahora tenemos ubicado el centro C (1, 5) y el radio r = 5
y acudimos a la fórmula ordinaria de la circunferencia
(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2
Desarrollamos los cuadrados de los binomios
(x2 + ─x + ─x + 1) + (y2 + ─5y + ─5y + 25 = 25
x2 ─ 2x + 1 + y2 ─ 10y + 25 = 25
x2 + y2 ─ 2x ─ 10y + 1 + 25 ─ 25 = 0
x2 + y2 ─ 2x ─ 10y + 1 = 0
Nota importante:
En este ejercicio conocemos las coordenadas de uno de los puntos de la circunferencia, P (─3, 2) pero ese dato nos sirvió solo para
calcular el radio. Conocido éste, la fórmula general que obtendremos ahora servirá para todos los puntos de la circunferencia
equidistantes del centro, representados como P (x, y), por eso en la fórmula ordinaria de la circunferencia reemplazaremos solo los
valores de a y de b como las coordenadas del centro C (1, 5)
Ejercicio 4
Hallar la ecuación general de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento entre los puntos A(2, 3) y B(─4, ─9)
Resolución
Como el segmento AB es el diámetro, el centro estará en la mitad de este (radio), y hacemos
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Ahora calculamos el radio, que es la distancia desde C(─1, ─3) hasta el punto A(2, 3)
Conocemos ahora las coordenadas del centro C(─1, ─3) y el radio
Aplicamos la fórmula ordinaria
Desarrollamos los binomios
(x2 + x + x + 1)+ (y2 +3y + 3y + 9) = 45
(x2 +2x +1) + (y2 + 6y + 9) = 45
x2 + y2 +2x +6y +1+ 9 ─45 = 0
x2 + y2 +2x +6y ─ 35 = 0 ecuación de la circunferencia graficada arriba.
Como un ejercicio probatorio de la efectividad de la fórmula analítica x2 + y2 +2x +6y ─ 35 = 0 reemplacemos los valores de las
coordenadas de los puntos A y B en x e y
Primero el A(2, 3) que sea x = 2, y = 3
22 + 32 + 2•2 + 6•3 ─ 35 = 0
4 + 9 + 4 + 18 ─ 35 = 0
Ahora el B(─4, ─9) que sea x = ─4, y = ─9
(─4)2 + (─9)2 + 2(─4) + 6(─9) ─ 35 = 0
16 + 81 ─ 8 ─ 54 ─ 35 = 0
Ejercicio 5
Hallar la ecuación de la circunferencia centrada en el punto (5, ─2) y de radio 3.
Resolución
Recordemos nuestra ecuación ordinaria de la circunferencia:
(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2
Conocemos a y b (5, ─2) y el radio (r = 3)
Entonces reemplacemos
(x ─ 5)2 + (y ─ ─2)2 = 32
(x ─ 5)2 + (y + 2)2 = 9
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Desarrollemos lo binomios cuadrados:
(x ─ 5) (x ─ 5) + (y + 2) (y + 2) = 9
(x2 ─ 10x + 25) + (y2 + 4y + 4) = 9
ordenamos e igualamos a cero
x2 + y2 ─ 10x + 4y + 25 + 4 ─ 9 = 0
x2 + y2 ─ 10x + 4y + 20 = 0
Ejercicio 6
Calcular la ecuación de la circunferencia de centro (1, 1) y que contiene al punto (–2, 3).
Resolución:
Primero debemos conocer el radio
Entonces la ecuación ordinaria nos queda
x2 ─ 2x + 1 + y2 ─ 2y + 1 = 13
x2 + y2 ─ 2x ─ 2y + 1 + 1 ─ 13 = 0
x2 + y2 ─ 2x ─ 2y ─ 11 = 0
Dada la ecuación general de una circunferencia, obtener su centro y el radio
Para entrar en materia, tenemos la siguiente ecuación general de una circunferencia:
x2 + y2 − 3x + 4y − 1 = 0
a partir de ella podemos encontrar el centro y el radio de esa circunferencia.
Para hacerlo, existen dos métodos:
Primer método
La ecuación general dada la vamos a convertir en dos binomios al cuadrado igual a r2, que es la forma de la ecuación ordinaria,
De nuevo conviene recordar que un binomio al cuadrado se escribe como
(a + b)2, que dasarrollado queda como
(a + b) + (a + b)
a2 + ab +ab + b2
a2 + 2ab + b2
Primer término al cuadrado (x)2, más el doble del producto del primero por el segundo término 2(x)(0,5), más el cuadrado del
segundo término (0,5)2
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Aquí debemos fijar nuestra atención en el término 2ab, que está precedido por el 2 y tiene ab (sin elevar al cuadrado), siendo a el
primer término y b el segundo del binomio. Este término (b) será clave para poder completar los 3 términos que genera el binomio al
cuadrado (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Volviendo a nuestra ecuación general, debemos saber que en ella la x corresponde al primer término −la a de (a + b)2− y
la ycorresponde al segundo −la b de (a + b)2−
Reiteramos nuestra ecuación general:
x2 + y2 − 3x + 4y − 1 = 0 y vamos a separar sus términos para darle forma de dos binomios al cuadrado desarrollados:
Deberíamos obtener algo como:
, entendido como la suma de dos binomios al cuadrado, donde en cada binomio
encontramos:
el cuadrado del primer término (del binomio) (x2 en uno e y2 en el otro)
el doble producto del primer término por el segundo (−3x en uno y +4y en el otro)
el cuadrado del segundo término (del binomio) (+/− ¿?) en ambos cuadrados y que es ese tercer término que debemos deducir para
cada cuadrado del binomio.
Este tercer término, lo obtendremos del −3x para un binomio y del +4y para el otro.
Respecto a −3x, sabemos que corresponde al segundo término del binomio desarrollado, generalizado como 2ab.
Ahora, si tenemos
vemos que la x (a) está al cuadrado en x2 (a2) y lineal en x (a), entonces el −3 corresponde a 2b (el
segundo término lineal en 2ab).
Y hacemos
Ya conocemos b, entonces lo ponemos en nuestra fórmula
Hacemos lo mismo para el segundo binomio:
Si tenemos
vemos que la y (a) está al cuadrado en y2 (a2) y lineal en y (a), entonces el +4 corresponde a 2b (el segundo
término lineal en 2ab).
Y hacemos
Ahora completamos la fórmula
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(x2 − 3x + 2,25) + (y2 + 4y + 4) = 1
Ahora, como en el lado izquierdo de la ecuación agregamos +2,25 y +4, para mantenerla equilibrada debemos agregar lo mismo en el
lado derecho:
(x2 − 3x + 2,25) + (y2 + 4y + 4) = 1 + 2,25 + 4
(x2 − 3x + 2,25) + (y2 + 4y + 4) = 7,25
Y ahora tenemos dos trinomios, los cuales nos generarán dos binomios al cuadrado, de la forma:
(x − 1,5)2 + (y + 2)2 = 7,25
Que es la ecuación ordinaria de la circunferencia, y de donde obtendremos las coordenadas del centro y el valor del radio.
Recordemos la estructura de la ecuación ordinaria:
(x − h)2 + (y − k)2 = r2
Reemplazamos y queda
(x − − 1,5)2 + (y − + 2)2 = r2
(x + 1,5)2 + (y − 2)2 = 7,25
Ecuación que nos dice lo siguiente:
La x y la y representan a las coordenadas de cualquier punto sobre la circunferencia equidistante del centro.
Los valores 1,5 y −2 representan las coordenadas del centro de la circunferencia anterior
El valor 7,25 representa a r2, por lo tanto
Entonces, la ecuación general x2 + y2 − 3x + 4y − 1 = 0
corresponde a una circunferencia con centro C(1,5 , −2) cuyo radio es ≈ 2,69 como la que vemos en la figura.
Ecuación general de la circunferencia de la izquierda:
x2 + y2 − 3x + 4y − 1 = 0
Segundo método
Lo llamaremos método de fórmulas conocidas.
Reiteramos nuestra ecuación general:
x2 + y2 − 3x + 4y − 1 = 0 y para este método utilizaremos solo fórmulas (que debemos recordar o conocer):
Primero, recordemos la estructura de la ecuación ordinaria:
(x − h)2 + (y − k)2 = r2
Recordemos que en esta ecuación la x y la y representan las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia que equidiste un
radio desde el centro, y que h y k representan las coordenadas del punto central de la circunferencia (también se utiliza a y b para
identificarlas)
Es a partir de esta ecuación que se obtienen las fórmulas que usaremos:
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También tenemos que recordar que la estructura de la ecuación general de la circunferencia la podemos expresar como
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Y si la comparamos con la ecuación dada tendremos
donde vemos que
D vale −3
E vale +4
F vale −1
y con estos datos y con las fórmulas de arriba vamos a conocer las coordenadas del centro:
Nuestra circunferencia tiene centro en las coordenadas (1,5, −2)
Con los mismos datos calculamos ahora el radio de la circunferencia:
Nuestra circunferencia tiene un radio ≈ 2,69 y sus coordenadas del centro C(1,5, −2)
Ejercicio 1
Calcular el centro y el radio de la circunferencia x2 + y2 + 2x − 4y − 4 = 0
Recordemos la estructura de la ecuación general:
x2 + y2 − 2ax − 2by + a2 + b2 − r2 = 0
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Que sintetizada queda
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Desarrollemos la ecuación
x2 + y2 + 2x − 4y − 4 = 0
x2 + y2 + 2x − 4y = 4
Busquemos los dos binomios al cuadrado
El tercer término que falta en el primer binomio se obtiene de
Y el tercer término que falta en el segundo binomio se obtiene de
Asi formamos:
Vemos que al lado izquierdo agregamos +1 y +4 (los terceros términos de los binomios) por ello agregamos los mismos valores a la
derecha de la ecuación, para equilibrarla.
Ahora partir de estos dos trinomios podemos definir dos binomios al cuadrado:
(x + 1)2 + (y − 2)2 = 9
que, como vemos, se asemeja a nuestra ecuación ordinaria de la forma
(x − h)2 + (y − k)2 = r2
Si comparamos, resulta que
h = +1
k = −2
Reemplazamos y tenemos
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(x − +1)2 + (y − −2)2 = r2
(x − 1)2 + (y + 2)2 = 9
(x − 1)2 + (y + 2)2 = 3
Respuesta:
Las coordenadas del centro de la circunferencia dada son (─1, 2) y su radio es igual a 3.
Usemos el método de las fórmulas.
Conocemos la estructura de la ecuación ordinaria:
(x − h)2 + (y − k)2 = r2
Conocemos las fórmulas
Estructura de la ecuación general de la circunferencia:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
La comparamos con la ecuación dada, y tendremos
donde vemos que
D vale +2
E vale −4
F vale −4
Reemplacemos en las fórmulas:
Nuestra circunferencia tiene centro en las coordenadas (−1, 2)
Y su radio es
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Nuestra circunferencia tiene un radio igual a 3
Dada la ecuación general de una circunferencia, obtener su centro y el radio
Para entrar en materia, tenemos la siguiente ecuación general de una circunferencia:
x2 + y2 − 3x + 4y − 1 = 0
a partir de ella podemos encontrar el centro y el radio de esa circunferencia.
Para hacerlo, existen dos métodos:
Primer método
La ecuación general dada la vamos a convertir en dos binomios al cuadrado igual a r2, que es la forma de la ecuación ordinaria,
De nuevo conviene recordar que un binomio al cuadrado se escribe como
(a + b)2, que dasarrollado queda como
(a + b) + (a + b)
a2 + ab +ab + b2
a2 + 2ab + b2
Primer término al cuadrado (x)2, más el doble del producto del primero por el segundo término 2(x)(0,5), más el cuadrado del
segundo término (0,5)2
Aquí debemos fijar nuestra atención en el término 2ab, que está precedido por el 2 y tiene ab (sin elevar al cuadrado), siendo a el
primer término y b el segundo del binomio. Este término (b) será clave para poder completar los 3 términos que genera el binomio al
cuadrado (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Volviendo a nuestra ecuación general, debemos saber que en ella la x corresponde al primer término −la a de (a + b)2− y
la ycorresponde al segundo −la b de (a + b)2−
Reiteramos nuestra ecuación general:
x2 + y2 − 3x + 4y − 1 = 0 y vamos a separar sus términos para darle forma de dos binomios al cuadrado desarrollados:
Deberíamos obtener algo como:
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, entendido como la suma de dos binomios al cuadrado,
donde en cada binomio encontramos:
el cuadrado del primer término (del binomio) (x2 en uno e y2 en el otro)
el doble producto del primer término por el segundo (−3x en uno y +4y en el otro)
el cuadrado del segundo término (del binomio) (+/− ¿?) en ambos cuadrados y que es ese tercer término que debemos deducir para
cada cuadrado del binomio.
Este tercer término, lo obtendremos del −3x para un binomio y del +4y para el otro.
Respecto a −3x, sabemos que corresponde al segundo término del binomio desarrollado, generalizado como 2ab.
Ahora, si tenemos
vemos que la x (a) está al cuadrado en x2 (a2) y lineal en x (a), entonces el −3 corresponde a 2b (el
segundo término lineal en 2ab).
Y hacemos
Ya conocemos b, entonces lo ponemos en nuestra fórmula
Hacemos lo mismo para el segundo binomio:
Si tenemos
vemos que la y (a) está al cuadrado en y2 (a2) y lineal en y (a), entonces el +4 corresponde a 2b (el segundo
término lineal en 2ab).
Y hacemos
Ahora completamos la fórmula
(x2 − 3x + 2,25) + (y2 + 4y + 4) = 1
Ahora, como en el lado izquierdo de la ecuación agregamos +2,25 y +4, para mantenerla equilibrada debemos agregar lo mismo en el
lado derecho:
(x2 − 3x + 2,25) + (y2 + 4y + 4) = 1 + 2,25 + 4
(x2 − 3x + 2,25) + (y2 + 4y + 4) = 7,25
Y ahora tenemos dos trinomios, los cuales nos generarán dos binomios al cuadrado, de la forma:
(x − 1,5)2 + (y + 2)2 = 7,25
Que es la ecuación ordinaria de la circunferencia, y de donde obtendremos las coordenadas del centro y el valor del radio.
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Recordemos la estructura de la ecuación ordinaria:
(x − h)2 + (y − k)2 = r2
Reemplazamos y queda
(x − − 1,5)2 + (y − + 2)2 = r2
(x + 1,5)2 + (y − 2)2 = 7,25
Ecuación que nos dice lo siguiente:
La x y la y representan a las coordenadas de cualquier punto sobre la circunferencia equidistante del centro.
Los valores 1,5 y −2 representan las coordenadas del centro de la circunferencia anterior
El valor 7,25 representa a r2, por lo tanto
Entonces, la ecuación general x2 + y2 − 3x + 4y − 1 = 0
corresponde a una circunferencia con centro C(1,5 , −2) cuyo radio es ≈ 2,69 como la que vemos en la figura.
Ecuación general de la circunferencia de la izquierda:
x2 + y2 − 3x + 4y − 1 = 0
Segundo método
Lo llamaremos método de fórmulas conocidas.
Reiteramos nuestra ecuación general:
x2 + y2 − 3x + 4y − 1 = 0 y para este método utilizaremos solo fórmulas (que debemos recordar o conocer):
Primero, recordemos la estructura de la ecuación ordinaria:
(x − h)2 + (y − k)2 = r2
Recordemos que en esta ecuación la x y la y representan las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia que equidiste un
radio desde el centro, y que h y k representan las coordenadas del punto central de la circunferencia (también se utiliza a y b para
identificarlas)
Es a partir de esta ecuación que se obtienen las fórmulas que usaremos:
También tenemos que recordar que la estructura de la ecuación general de la circunferencia la podemos expresar como
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Y si la comparamos con la ecuación dada tendremos
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donde vemos que
D vale −3
E vale +4
F vale −1
y con estos datos y con las fórmulas de arriba vamos a conocer las coordenadas del centro:
Nuestra circunferencia tiene centro en las coordenadas (1,5, −2)
Con los mismos datos calculamos ahora el radio de la circunferencia:
Nuestra circunferencia tiene un radio ≈ 2,69 y sus coordenadas del centro C(1,5, −2)
Ejercicio 1
Calcular el centro y el radio de la circunferencia x2 + y2 + 2x − 4y − 4 = 0
Recordemos la estructura de la ecuación general:
x2 + y2 − 2ax − 2by + a2 + b2 − r2 = 0
Que sintetizada queda
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Desarrollemos la ecuación
x2 + y2 + 2x − 4y − 4 = 0
x2 + y2 + 2x − 4y = 4
Busquemos los dos binomios al cuadrado
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El tercer término que falta en el primer binomio se obtiene de
Y el tercer término que falta en el segundo binomio se obtiene de
Asi formamos:
Vemos que al lado izquierdo agregamos +1 y +4 (los terceros términos de los binomios) por ello agregamos los mismos valores a la
derecha de la ecuación, para equilibrarla.
Ahora partir de estos dos trinomios podemos definir dos binomios al cuadrado:
(x + 1)2 + (y − 2)2 = 9
que, como vemos, se asemeja a nuestra ecuación ordinaria de la forma
(x − h)2 + (y − k)2 = r2
Si comparamos, resulta que
h = +1
k = −2
Reemplazamos y tenemos
(x − +1)2 + (y − −2)2 = r2
(x − 1)2 + (y + 2)2 = 9
(x − 1)2 + (y + 2)2 = 3
Respuesta:
Las coordenadas del centro de la circunferencia dada son (─1, 2) y su radio es igual a 3.
Usemos el método de las fórmulas.
Conocemos la estructura de la ecuación ordinaria:
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(x − h)2 + (y − k)2 = r2
Conocemos las fórmulas
Estructura de la ecuación general de la circunferencia:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
La comparamos con la ecuación dada, y tendremos
donde vemos que
D vale +2
E vale −4
F vale −4
Reemplacemos en las fórmulas:
Nuestra circunferencia tiene centro en las coordenadas (−1, 2)
Y su radio es
Nuestra circunferencia tiene un radio igual a 3
TOMADO DE INTERNET EN : http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Ecuacion_Circunferencia.html
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Ver temas relacionados para saber más sobre la circunferencia.
http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Ecuacion_Circunferencia02.html
Ir a:
http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Ecuacion_Circunferencia.html
Para aprendemas consulta:
Fuentes Internet:
http://www.geoan.com/conicas/ecuacion_circunferencia.html
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/la_circunferencia_mcsl/MSL95_sp63.html
http://www.vadenumeros.es/primero/conicas-circunferencia-y-elipse.htm
http://www.sectormatematica.cl/contenidos/eccircunf.htm
http://cl.kalipedia.com/matematicas-geometria/tema/geometria-analitica/ecuacionescircunferencia.html?x=20070926klpmatgeo_228.Kes
http://prof-gonzales-trigonometria.blogspot.com/2007/07/blog-post_5225.html
Ver en Youtube:
http://www.youtube.com/watch?v=NKsX--ejzJc&feature=fvwrelç
http://www.youtube.com/watch?v=WJYdPmbMpPY&NR=1&feature=fvwp
http://www.youtube.com/watch?v=iSTj-oZA1Pk&NR=1
http://www.youtube.com/watch?v=E-GEmAWEF4I
Ejercicio visual en:
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/c3_circunferencia2.html
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GEOMETRIA ANALITICA GRADO 10
PROF. LIC. ESP. BLANCA NIEVES CASTILLO R.
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