modelo matemático unidad 1

ÍNDICE
PRESENTACIÓN DE LA MATERIA………………………………………………
1
PROGRAMA DE LA MATERIA……………………………………………………
3
UNIDAD 1
MODELO MATEMÁTICO…………………………………………………………..
4
UNIDAD 2
OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS Z
Y EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES ………….…..…… 14
UNIDAD 3
ECUACIONES E NECUACIONES…………………………………………….….. 52
UNIDAD 4
RELACIONES Y FUNCIONES…………………………………………………….. 71
UNIDAD 5
ÁNGULOS Y POLÍGONOS………………………………………………………… 89
UNIDAD 6
MEDICIÓN DE MAGNITUDES. SIMELA………………………………….…... . 113
UNIDAD 7
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA……………………………………………… 131
PRESENTACIÓN DE LA MATERIA
Seguramente usted no se acerca a la Matemática por primera vez. Ya ha estudiado
esta materia en otras oportunidades y sus experiencias al respecto pueden haber sido muy
variadas.
Quienes diseñamos la propuesta de enseñanza de Matemática en Educación Adultos
2000 partimos de algunas ideas generales sobre cómo estudiar esta materia que queremos
compartir:
Usted utiliza en su vida diaria una gran cantidad de nociones matemáticas sin darse
cuenta; las usa eficientemente y de manera tal que le permiten resolver diferentes situaciones
relativas a su vida cotidiana. Nosotros consideramos que, partiendo de su "experiencia
matemática", es posible avanzar hacia la interpretación de los conceptos matemáticos y es
por eso que le proponemos no dejarla de lado al momento de ponerse a estudiar la materia.
Por otro lado, cada nuevo concepto matemático que se aprende se apoya en otros ya
adquiridos como si se tratara de hileras de ladrillos que se asientan unas en otras para que la
pared que se construye sea sólida. Cada adquisición pasa por una serie de etapas que van
desde lo más concreto y ligado a nuestra experiencia cotidiana, hacia niveles de complejidad
y abstracción cada vez mayores. Nosotros le proponemos acompañarlo en su tránsito por
esas etapas de modo que pueda ir aprendiendo satisfactoriamente los temas de la materia.
En síntesis, le proponemos aprender Matemática de una manera semejante a la que el
hombre ha seguido en la creación de las ideas matemáticas: descubriendo los conceptos a
partir de problemas que debió resolver en su vida cotidiana (o a través de problemas de otras
ciencias que requieren de conceptos matemáticos para ser resueltos) y avanzando luego
hacia la resolución de problemas más complejos. Dado que la Matemática se expresa a través
de un sistema de símbolos y representaciones que le es propio, también nos proponemos que
usted pueda comprender el lenguaje con el que se expresa, desde su significado matemático
y desde su relación con situaciones concretas.
La Guía de estudio constituye la herramienta fundamental para el aprendizaje de los
contenidos de la materia. Por lo tanto, un uso adecuado de la misma favorecerá su proceso
de aprendizaje. Para ello tenga en cuenta las siguientes recomendaciones:
Matemática A
1

Respete el orden de presentación de los temas y las actividades.

Resuelva cada una de las actividades a medida que se van presentando. Anímese a dar
respuesta aunque no esté seguro si la misma es correcta o no. El error es un elemento
más de aprendizaje que le permitirá avanzar hacia la construcción de los conceptos con
los que esté trabajando.

No se anticipe leyendo las Reflexiones sobre lo trabajado o los apartados En
términos matemáticos. Estos sólo tendrán sentido para usted si previamente realizó la
actividad propuesta.

Consulte todas las dudas que le vayan surgiendo. Puede hacerlo a través de cualquiera
de los medios que le ofrecemos. Tenga en cuenta que, si usted puede asistir a una
consultoría presencial, tendrá también la oportunidad de intercambiar y compartir el
trabajo con otros alumnos. En la HOJA DE RECURSOS de la materia encontrará
información sobre las formas de contactarse con un consultor.

Utilice un cuaderno o carpeta para resolver por escrito las actividades propuestas en la
Guía, escribir sus dudas y realizar anotaciones vinculadas con el trabajo que está
realizando. Tenga en cuenta que las actividades propuestas deben ser resueltas por
usted mismo y que este trabajo será el que le irá indicando qué ha comprendido y cuáles
son sus dificultades. Tener registro de esto facilitará su tarea y le resultará un material
fundamental para hacer sus consultas.

Vaya registrando, de algún modo que a usted le resulte útil, toda la simbología
matemática que la Guía vaya presentando, de modo que pueda tenerla “a mano” cuando
la necesite.

Respete su propio ritmo de trabajo. No hay un tiempo ni un ritmo que sea más apropiado
que otro. Cada persona tiene el ritmo que necesita de acuerdo con sus tiempos y
circunstancias y no lo ayudará alterarlo.
Matemática A
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PROGRAMA
UNIDAD 1:
MODELO MATEMÁTICO
Noción de modelo matemático.
Construcción y análisis de modelos matemáticos de situaciones sencillas.
UNIDAD 2:
OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS Z Y EN EL
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES Q
Noción de número entero, de fracción y de número racional.
Representación de números enteros y fracciones en la recta numérica.
Diferentes formas de expresión de los números racionales: fracción, decimal, notación
científica.
Operaciones con números naturales, enteros y racionales en sus diferentes formas de
expresión.
Presentación del conjunto de los números reales. Intervalos de números reales.
UNIDAD 3:
ECUACIONES E INECUACIONES
Noción de ecuación y de inecuación.
Solución de ecuaciones y de inecuaciones.
Resolución de ecuaciones lineales con una incógnita.
UNIDAD 4:
RELACIONES Y FUNCIONES
Noción de relación y función.
Distintas formas de expresar relaciones y funciones.
Imagen y preimagen de un elemento.
Dominio e imagen de relaciones y funciones.
2
Representación de funciones en R .
UNIDAD 5:
ÁNGULOS Y POLÍGONOS
Ángulos opuestos por el vértice, adyacentes, complementarios, suplementarios y
determinados por dos rectas cortadas por una transversal.
Triángulos. Clasificación. Propiedades. Teorema de Pitágoras.
Cuadriláteros. Clasificación. Propiedades.
UNIDAD 6:
MEDICIÓN DE MAGNITUDES. SIMELA
Noción de magnitud y de cantidad de magnitud.
¿Qué es medir?
Medición de longitudes, superficies, volúmenes, capacidades y pesos.
Unidades del SIMELA para la medición de longitudes, superficies, volúmenes, capacidades
y pesos. Conversión de unidades.
Cálculo de perímetros, superficies y volúmenes.
UNIDAD 7:
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Tablas y gráficos.
Promedio.
Porcentaje.
Probabilidad.
Matemática A
3
MODELO MATEMÁTICO
UNIDAD 1
Comenzaremos el estudio de la materia trabajando con la idea de modelo matemático. Este
concepto está presente enla mayoría de los contenidos a estudiar en el resto de las unidades
y niveles de la materia.
¿De qué hablamos cuando hablamos de modelo matemático? Esta es una idea que usted irá
construyendo a través de las actividades que le proponemos resolver a lo largo de la unidad.
Por ahora, podemos anticipar que los modelos matemáticos son descripciones aproximadas
de los fenómenos que se presentan en la realidad. Se formulan con el propósito de
analizarlos, explicarlos y realizar previsiones en base a las conclusiones que los mismos
permiten obtener.
Comenzaremos analizando situaciones sencillas, que podrían ser similares a las que usted
enfrenta en su vida diaria. A medida que vaya avanzando en el estudio de los diferentes
niveles de la materia usted se irá poniendo en contacto gradualmente con modelos
matemáticos de situaciones más complejas.
Por ahora, para responder las preguntas que le iremos haciendo, no es necesario saber nada
más que lo que usted sabe. No hace falta ninguna lectura previa ni preparación especial. No
se demore pensando “¿qué debería saber para responder?”, o “¿cómo debería hacerse
esto?”. Simplemente déjese llevar por la situación y dé sus respuestas pensando tal como lo
hace en su casa, en su trabajo o en la calle. Y, como le decíamos en la presentación de la
materia: no importa si la respuesta en la que usted piense es correcta o no. Lo importante es
que se dé a sí mismo la oportunidad de buscar una posible respuesta.
Dicho de otro modo: por un momento olvídese que está estudiando Matemática y piense del
mismo modo que lo hace a diario.
Le sugerimos que utilice un cuaderno o carpeta para resolver todas las actividades por escrito.
Escriba todo lo que piense para armar su camino de resolución, todos los pasos y cuentas
que realice, todas las dudas y comentarios que se le ocurran. Tenga en cuenta que el
procedimiento es muy importante ya que da cuenta de la forma en que usted está pensando
para llegar a la respuesta.
Arme sus cálculos y sus razonamientos de la forma que le resulte más fácil o más cómoda,
haciendo lo posible para que los mismos sean comunicables. Es decir, para que puedan ser
entendidos por otra persona que los lea.
Puede haber varias formas de obtener un resultado y todas pueden ser igualmente correctas.
No invalide su razonamiento a partir de otro que pueda haber elegido un compañero o
nosotros mismos en la guía.
A medida que avance en la resolución de las situaciones planteadas iremos reflexionando
junto a usted sobre la resolución de las situaciones propuestas, sobre los recursos que ha ido
utilizando y sobre las conclusiones obtenidas. Formalizaremos las ideas parciales que usted
vaya obteniendo a medida que avance e iremos presentando, en el momento oportuno, los
términos y la simbología matemática vinculados a la tarea que está realizando.
Le proponemos pensar juntos en la siguiente situación:
____________________________________________________________________
Santiago quiere tener todo bajo control. Entre otras cosas, ha decidido ir controlando
sus gastos día a día. Su sueldo mensual es de $ 5800 y lo cobra el último día de cada mes.
Veamos lo que ocurrió con sus gastos en los primeros días del mes de julio:
El 30 de junio cobró su sueldo. Después de un día, a la noche del 1 de julio, le quedaban
$ 5600. Al finalizar el 2 de julio le quedaban $ 5400 y al concluir el 3 de julio le quedaban
$ 5200.
1. Describa, con sus palabras, cómo usó el dinero Santiago durante los tres primeros días
de julio.
2. A partir del gasto de dinero que hizo Santiago en los tres primeros días del mes, calculó
que al terminar el 4 de julio, tendría $ 5000. ¿Está de acuerdo con ese cálculo?
Explique con sus palabras lo que tiene en cuenta para contestar.
Modelo Matemático
Matemática A – Unidad 1
4
MODELO MATEMÁTICO
_________________
UNIDAD 1
El 4 de julio Santiago pudo comprobar que le quedaban $ 5000. Siguió gastando $ 200 por día
durante la primera semana del mes.
3. ¿Es cierto que le quedaban $ 4600 al terminar el 6 de julio? Explique por qué.
4. Si el dinero restante lo gastó de la misma forma en que lo hizo la primera semana,
a) ¿Cuánto dinero esperaría que le quede el día 10 de julio?
b) ¿Le alcanzará el dinero cobrado para sus gastos del mes de julio?
5. En la vida de Santiago:
a) ¿Podría ocurrir que algún día deba gastar $ 300?
b) ¿Es posible que el 10 de julio le queden $ 2800?
c) ¿Podría ocurrir que al 15 de julio haya gastado todo el dinero que cobró?
Por ahora no se preocupe por saber si sus respuestas a las preguntas anteriores son correctas o no. A medida que avance irá
teniendo indicadores que le permitirán controlar el trabajo que está realizando.
Para reflexionar sobre lo trabajado
A cualquiera de nosotros le gustaría tener todo bajo control. Lamentablemente, esto no
siempre es posible. Por ejemplo, en el caso de Santiago, si nos guiáramos por lo que le
ocurrió durante la primera semana del mes de julio, podríamos predecir que el dinero le va a
alcanzar para llegar a fin de mes aunque esto podría no ocurrir.
Observando los gastos de Santiago durante los primeros días de julio, podemos ver que cada
día le quedan $ 200 menos que el día anterior. En este caso, estamos pensando en un
modelo matemático que consiste en calcular la cantidad de dinero que le queda cada día
restando 200 a la cantidad de dinero que tenía el día anterior. Este modelo nos permite
describir lo que ocurrió con el dinero de Santiago durante la primera semana de julio. Si bien a
través de él podemos estimar qué cantidad de dinero le quedaría a Santiago un día cualquiera
del mes, las cosas podrían ocurrir de otra forma. Por ejemplo, si un día del mes a Santiago se
le presentara un gran gasto que supere los $ 200. O si un día gastara menos de $ 200. En ese
caso, el modelo pensado perdería validez.
Como conclusión parcial podemos ir diciendo que: un modelo matemático nos permite
describir o que observamos en la realidad, pero su validez depende de lo que ocurra en la
realidad. Un cambio en las condiciones que permitieron formular el modelo debe llevar a
su modificación de modo que el mismo siga describiendo la realidad en forma más o
menos precisa. Es la realidad la que nos impone un modelo matemático. De ninguna
manera, un modelo matemático puede imponernos la realidad. Es más, controlar los
gastos como lo hizo Santiago en los primeros días de julio sería ideal para todos; aunque
en la mayoría delos casos eso no nos resulta posible.
Teniendo en cuenta las conclusiones obtenidas con la situación del sueldo de Santiago le
proponemos continuar pensando juntos en la idea de modelo matemático a través de una
nueva situación:
____________________________________________________________________
Usted va a una librería para hacer algunas fotocopias cuyo precio por unidad es de
$ 0,25.
En esta librería,
1. ¿Cuánto se debe pagar por 14 fotocopias? ¿Y por 35 fotocopias?
2. ¿Cuánto esperaría que le cobren por 110 fotocopias?¿Y por 180 fotocopias?
3. Describa, con sus palabras, la cuenta que hace con la cantidad de fotocopias para
calcular lo que se debe pagar por ellas.
4. Responda las siguientes preguntas a partir de las cuentas realizadas para calcular el
importe que se debe pagar por la cantidad de fotocopias:
Modelo Matemático
Matemática A – Unidad 1
5
MODELO MATEMÁTICO


_________________
UNIDAD 1
En la cuenta que hace en cada caso para obtener el dinero a pagar por cada
cantidad de fotocopias, ¿qué número se repite? ¿Qué representa dicho número
para un cliente de la librería?
En las mismas cuentas a las que hacíamos referencia en la pregunta anterior,
¿qué número cambia? ¿Qué representa dicho número para un cliente de la
librería?
Para reflexionar sobre lo trabajado
Como dice el cartel de la librería, el precio de cada fotocopia es de $ 0,25. Para calcular
cuánto cuesta hacer una determinada cantidad de fotocopias, usted habrá multiplicado esa
cantidad por 0,25.Es decir, que realizó una misma cuenta con distintos números (multiplicar
por 0,25 a la cantidad de fotocopias). Por lo tanto, hay un número que se repite en todos los
cálculos (el precio de cada fotocopia) y otros que van cambiando (la cantidad de fotocopias).
Por ejemplo, usted multiplicó a 0,25 por 14, o por 35, o por 110, o por 180. Con esa cuenta
calculó cuánto debe pagar por 14, o por 35, o por 110, o por 180 fotocopias, respectivamente.
En Matemática, se utilizan letras para representar conjuntos de valores. Por ejemplo, para la
situación de las fotocopias que estamos analizando, podemos representar con la letra c a las
diferentes cantidades de fotocopias a realizar. Así, para expresar en forma general la cuenta
que debe hacerse para calcular cuánto se paga por realizar una cantidad c de fotocopias,
escribimos: 0,25 . c.
Los resultados de estas cuentas, para los diferentes valores de c, nos indican los diferentes
importes a pagar por hacer una cantidad c de fotocopias. También podemos utilizar una letra
para representar al conjunto de los importes a pagar. Por ejemplo, la letra p.
¿Cómo relacionamos el importe a pagar p con la cantidad de fotocopias c?
Como vimos, para calcular el importe a pagar por hacer una cantidad c de fotocopias,
resolvemos la cuenta 0,25 . c. El resultado de esta cuenta nos da el importe a pagar p. Por lo
tanto, podemos expresar lo hecho, usando la igualdad:
p = 0,25 . c
Esta igualdad nos permite abreviar en pocos símbolos una cantidad enorme de cuentas.
Compruebe, utilizando la igualdad escrita en la reflexión anterior, que si se hacen 13
fotocopias se deben pagar $ 3,25.
Debido a los aumentos de precio del papel y de la tinta, el dueño de la fotocopiadora debe
cambiar el precio de las fotocopias. Después de estudiar esta situación, decide que debe
cobrar $ 0,30 por cada fotocopia.
Responda las siguientes consignas a partir de la información anterior:
1. Arme una lista de los importes a pagar para el empleado de la fotocopiadora,
escribiendo el importe a pagar por 15, 35, 50, 80 y 100 fotocopias:
2. Si identificamos a la cantidad de fotocopias la con la letra c y al importe a pagar por
ellas con la letra p, ¿cuál es la igualdad que permite describir la cuenta que hay que
hacer con c para calcular p después del aumento? Escríbala. Para hacerlo identifique
la cuenta con la que calculó, en este caso, el importe a pagar por cada una de las
cantidades de fotocopias indicadas en el ítem 1.
En esta librería a los clientes que hacen más de 200 fotocopias se les ofrece un descuento.
3. ¿Puede usar la igualdad p = 0,30 . c para calcular el importe a pagar por
250 fotocopias? Explique su respuesta con sus palabras.
Modelo Matemático
Matemática A – Unidad 1
6
MODELO MATEMÁTICO
_________________
UNIDAD 1
Para reflexionar sobre lo trabajado
El uso del modelo matemático de fórmula p = 0,30 . c tiene restricciones en su validez. Se
puede utilizar sólo si la cantidad c de fotocopias es menor que 200 ya que a partir de esta
cantidad la librería realiza un descuento.
Si la cantidad de fotocopias es mayor a 200, el modelo pierde vigencia. Eventualmente, se
puede buscar otro modelo que sea válido para más de 200 fotocopias (cosa que no haremos
ahora).
Vaya teniendo en cuenta entonces que un modelo matemático puede tener restricciones
en su uso. Es decir, que el modelo puede tener validez en algunos casos y para otros no.
A partir de lo que hemos pensado en la situación de las fotocopias, estamos en condiciones de incorporar algunos términos
matemáticos a su lenguaje. Le pedimos que lea el siguiente apartado En términos matemáticos. Vaya registrando, a modo de
diccionario, las palabras que aquí sepresentan con su significado de modo que las tenga disponibles para otra ocasión en que
volvamos a utilizarlas.
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: VARIABLES. FÓRMULAS. LENGUAJESIMBÓLICO.
En la situación de las fotocopias, a partir de algunos casos particulares, generalizamos lo
observado a otras cantidades posibles que expresamos con la letra c, en el caso de la
cantidad de fotocopias, y con la letra p para el importe a pagar por cada una de esas
cantidades.
A cada uno de estas cantidades que pueden ir cambiando y que representamos con
letras, las llamamos variables.
A igualdades, como p = 0,25 . c o como p = 0,30 . c, en las que se vinculan variables, las
llamamos fórmulas.
En este caso las variables son la cantidad de fotocopias y el importe que se debe pagar
por ellas y están expresadas con las letras c y p, respectivamente.
Al escribir la relación observada a través de una fórmula hemos realizado una traducción del
lenguaje coloquial -el que usted utiliza habitualmente para comunicarse- al lenguaje que utiliza
la Matemática. Es decir, escribimos la relación observada utilizando lenguaje simbólico.
Las fórmulas son una forma de expresar modelos matemáticos.
A continuación le proponemos resolver una serie de actividades en las que usted pueda poner
en juego lo trabajado en relación con las variables y las fórmulas para luego seguir avanzando
en la construcción de la idea de modelo matemático.
ACTIVIDAD Nº 1: “TRABAJANDO CON FÓRMULAS Y VARIABLES”
1. Teniendo en cuenta lo trabajado respecto de las fórmulas y las variables, responda las
preguntas realizadas en cada uno de los siguientes grupos. Escriba las cuentas o
expresiones que se piden en cada caso.
GRUPO I
a)Para calcular el doble de 4, ¿qué cuenta hace?
b)Para calcular el doble de 12, ¿qué cuenta hace?
c)Para calcular el doble de 37, ¿qué cuenta hace?
d)Para calcular el doble de un número cualquiera que identificamos con la letra m, ¿qué
expresión usa para indicar la cuenta que hace?
e)¿Cuál es la igualdad o fórmula que permite expresar que un número identificado con la letra
d es el doble de un número identificado con la letra m?
GRUPO II
a) Para calcular el triple de 6, ¿qué cuenta hace?
b) Para calcular el triple de 25, ¿qué cuenta hace?
Modelo Matemático
Matemática A – Unidad 1
7
MODELO MATEMÁTICO
_________________
UNIDAD 1
c) Si identificamos con la letra p a un número cualquiera, ¿qué expresión
utiliza para indicar que calcula el triple de p?
d)¿Con qué fórmula o igualdad puede expresar que t es el triple de p?
2. Exprese en lenguaje coloquial cada una de las siguientes expresiones dadas en lenguaje
simbólico:
y = 4 .x
a=z–1
3. En cada caso, responda las consignas escribiendo los cálculos y fórmulas pedidas:
CASO I: Pedro tiene 5 años menos que su hermano, José.
a) Si José tiene 27 años, ¿con qué cuenta calcula cuántos años tiene Pedro?
b) Si José tiene 42 años, ¿con qué cuenta calcula cuántos años tiene Pedro?
c) Si José tiene J años y Pedro tiene P años, ¿con qué fórmula puede
expresar la edad de Pedro a partir de la edad de José?
CASO II: El sueldo mensual de Pablo es de $ 70 menos que el doble del sueldo
mensual de Andrés.
a) Si el sueldo mensual de Andrés es de $ 2700, ¿cuánto cobra Pablo por mes?
b) Si Andrés cobra $ 3450 por mes, ¿cuál es el sueldo mensual de Pablo?
c) Si el sueldo mensual de Andrés se expresa usando la letra x, y el sueldo mensual
de Pablo se expresa usando la letra y, ¿cuál de las siguientes fórmulas
expresa
la relación entre los dos sueldos?
 y = 2x + 70
 x = 2y – 70
 y = 2x – 70
 y = 2x
d) Compruebe la fórmula que eligió en el ítem c) usando los valores de
sueldos que dio en los ítems a) y b).
4.
En la siguiente tabla se registraron los pesos y los importes a pagar de una
determinada mercadería en un negocio:
Peso de la mercadería(en kg)
Importe a pagar(en $)
1
5
2
10
3
15
4
20
5
25
A partir de los datos de la tabla, y expresando el peso de la mercadería con la letra x y el
importe a pagar correspondiente con la letra p, escriba una fórmula que permita calcular el
importe a pagar por la compra de una cantidad x de kilogramos de la mercadería.
Parte A
Vamos a continuar nuestro trabajo dándole “una vuelta de tuerca” a la idea de modelo
matemático que estamos construyendo juntos. Para ello le presentamos una nueva situación:
____________________________________________________________________
En un laboratorio se realiza un experimento:
Se calienta una sustancia y se va registrando la temperatura que alcanza. Después de 2
minutos de comenzados los registros se observa que la temperatura de la sustancia es de 4 º C.
Los encargados del laboratorio quieren encontrar una cuenta que les permita calcular la
temperatura de la sustancia a partir del tiempo transcurrido desde que comenzó el
experimento. Cada uno de los tres encargados plantea realizar una cuenta diferente.
Uno de ellos propone: “Le sumo 2 al tiempo y obtengo la temperatura”.
Otro dice: “Multiplico por 2 al tiempo y obtengo la temperatura”.
El tercero acota: “Multiplico por 3 al tiempo y después resto 2 y obtengo la temperatura”.
A partir de la información anterior:
Modelo Matemático
Matemática A – Unidad 1
8
MODELO MATEMÁTICO
_________________
UNIDAD 1
¿Piensa que los 3 encargados tienen razón en las cuentas que plantean? Escriba las cuentas
que hizo cada uno de ellos para realizar su propuesta.
En el laboratorio continúan observando la evolución de la temperatura de la sustancia y
registran que a los 4 minutos, alcanza una temperatura de 10 ºC.
Teniendo en cuenta este nuevo registro:
1. Las cuentas planteadas por los tres encargados del laboratorio, ¿siguen siendo válidas?
2. ¿Cuál o cuáles de las cuentas planteadas no son válidas? ¿Por qué pierden validez?
3. ¿Cuál o cuáles siguen siendo válidas? ¿Por qué continúan teniendo validez?
Para reflexionar sobre lo trabajado
Cuando se tiene en cuenta sólo el primer registro de temperatura, cualquiera de las tres
cuentas propuestas por los encargados es válida. En cambio, al aparecer el nuevo dato, la
medición de temperatura a los 4 minutos, debemos descartar dos de ellas. Sólo la cuenta
propuesta por el tercer encargado permite describir lo observado en ambas mediciones.
En conclusión: la aparición de nuevos datos puede hacer que un modelo matemático pierda
validez.
Si utilizamos la letra y para expresar a las diferentes temperaturas de la sustancia y la letra t
para expresar al tiempo transcurrido desde el comienzo del experimento, podemos escribir la
cuenta propuesta por el tercer encargado usando la siguiente fórmula:
y=3.t–2
Se pudo comprobar que la cuenta propuesta por el tercer encargado vale durante la primera
media hora de experimento. Después de ese lapso, la temperatura de la sustancia cambia de
comportamiento.
Responda las siguientes preguntas a partir de la información anterior:
1.
¿Puede calcular, utilizando la cuenta y = 3 . t - 2, cuál es la temperatura de la sustancia a
los 10minutos de comenzado el experimento? Si puede hacerlo, indique dicha
temperatura. Si no es posible, explique por qué no puede hacerlo.
Sugerencia: si la fórmula le resulta compleja para responder, utilice el lenguaje coloquial con el que está descripta la cuenta en
el enunciado.
2. ¿Es posible calcular, utilizando esta cuenta, la temperatura de la sustancia35 minutos
después de comenzado el experimento? Si es posible, indique dicha temperatura. Si no es
posible, explique por qué no lo es.
Para reflexionar sobre lo trabajado
Nuevamente, en este caso, aparecen las restricciones de uso de un modelo matemático. El
modelo propuesto por el tercer encargado se puede usar para predecir valores de temperatura
para un determinado período de tiempo: la primera media hora. Pasado ese tiempo la
temperatura de la sustancia varía su forma de comportamiento. En ese caso, a partir de los 30
minutos el modelo propuesto no sirve. Si lo necesitaran, los encargados del laboratorio
deberían analizar el comportamiento de la temperatura a partir de ese momento para generar
un nuevo modelo que describa esta evolución.
En el laboratorio se experimenta con otra sustancia. En la siguiente tabla se muestran los
registros de temperatura obtenidos en los instantes que se indican:
Modelo Matemático
Matemática A – Unidad 1
9
MODELO MATEMÁTICO
Tiempo (en minutos)
Temperatura (en ºC)
_________________
2
6,1
5
8,9
UNIDAD 1
7
11
10
14,2
Teniendo en cuenta los datos de la tabla anterior, verifique que la fórmula
y = t + 4 describe aproximadamente lo observado en el experimento. En la fórmula hemos
utilizado la letra t para expresar al tiempo y la letra y para expresar a la temperatura
registrada.
Para reflexionar sobre lo trabajado
Usando la fórmula y = t + 4, se obtienen los siguientes resultados para la temperatura y:
Si t = 2, resulta y = 2 + 4 = 6
Si t = 5, resulta y = 5 + 4 = 9
Si t = 7, resulta y = 7 + 4 = 11
Si t = 10, resulta y = 10 + 4 = 14
Los valores de temperatura obtenidos con la fórmula son, aproximadamente, los registrados
en el experimento. Muchas veces un modelo matemático no describe exactamente lo
observado en la realidad, sino que lo hace en forma aproximada.
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: MODELO MATEMÁTICO
En todas las situaciones que hemos analizado juntos, podemos observar que se da como
información un número finito de mediciones o registros a partir de los cuales se formula un
modelo matemático que describe la situación. Con ese modelo se pueden hacer pronósticos
o predicciones sobre casos no medidos aún, partiendo de la suposición de que el fenómeno
seguirá ocurriendo del mismo modo. Debemos tener claro que no es seguro que esto ocurra
así, que es sólo esperable.
En síntesis, y a partir de las conclusiones parciales que hemos ido compartiendo,
podemos decir que un modelo matemático es una relación esperable entre datos obtenida
a partir de una relación observada entre los mismos. Podemos modelar matemáticamente
una situación a través de una fórmula, por ejemplo, pero no es la única forma de hacerlo.
A lo largo del nivel continuaremos trabajando con diferentes formas de modelar
matemáticamente la realidad y con el lenguaje vinculado con ellas.
ACTIVIDAD Nº 2: “MODELOS DE LABORATORIO”
1. En el laboratorio siguieron experimentando con otra sustancia. Luego de someterla a una
fuente de calor durante un minuto, se formuló un modelo matemático en el que la
temperatura y (en grados) de la sustancia después de x segundos de observaciones
puede calcularse a partir de la siguiente fórmula:
y = 3 . x + 5.
a)
b)
c)
2.
Responda las siguientes preguntas de acuerdo con el modelo anterior:
¿Cuál fue la temperatura inicial de la sustancia? ¿Y a los 10 segundos de ser sometida al
calor?
¿Cuál fue la temperatura de la sustancia al minuto de ser sometida al calor?
¿Cuál es la temperatura esperable de la sustancia a los 70 segundos de comenzado el
experimento?
En el laboratorio continuaron sometiendo la sustancia a la fuente de calor y observaron
que la temperatura de la sustancia a los 70 segundos de comenzado el experimento fue de
185°.
Teniendo en cuenta esta nueva información, responda nuevamente el ítem c) del ítem 1..
¿Qué puede decir respecto de la validez del modelo matemático planteado?
Modelo Matemático
Matemática A – Unidad 1
10
MODELO MATEMÁTICO
_________________
UNIDAD 1
3. Se pudo establecer que la fórmula y = 3 . x + 5 sirve de modelo matemático de lo
observado con la temperatura de la sustancia durante el primer minuto del experimento. A
partir de ese instante, la temperatura se mantiene constante.
Complete la siguiente tabla teniendo en cuenta la información dada:
x (tiempo en segundos)
y (temperatura en grados)
5
18
36
45
58
61
75
100
4. En el laboratorio se realiza un experimento en el que se mide la temperatura de una barra
de metal en distintos instantes. Se observa que la temperatura c (medida en grados)
después de 3 minutos de comenzado el experimento se puede calcular haciendo la cuenta
c = 5 . 3 + 2.
Después de 7 minutos de comenzado el experimento, la temperatura se calcula haciendo
la cuenta c = 5 . 7 + 2.
A los 10 minutos de empezar el experimento, la temperatura se puede calcular así:
c = 5 . 10 + 2.
Se estima que la relación observada se mantiene durante 25 minutos.
Responda las siguientes preguntas teniendo en cuenta la información anterior:
a) ¿Cuáles son las variables que intervienen en este experimento?
Si para responder la pregunta anterior no recuerda a qué hacemos referencia cuando hablamos de variables, vuelva a leer el
apartado En términos matemáticos en el que definimos este concepto.
b) Calcule la temperatura de la barra a los 3, a los 7 y a los 10 minutos de comenzar el
experimento.
c) ¿Con qué cuenta calcularía la temperatura de la barra a los 12 minutos de comenzado el
experimento? Escríbala.
d) Si utilizamos la letra t para expresar cualquier instante de tiempo a partir de que comienza
el experimento, y la letra c para expresar la temperatura de la barra en cada instante t,
escriba una fórmula que modele matemáticamente lo observado en el experimento.
e) La fórmula que dio en el ítem d), ¿se puede usar para calcular la temperatura que se
espera que tenga la barra metálica después de 30 minutos de empezar el experimento?
Explique lo que tiene en cuenta para responder.
f) Si al medir la temperatura a los 10 minutos de comenzado el experimento, el termómetro
marcara 52,2 ºC, ¿diría que la fórmula que dio en el ítem d)no tiene validez? Explique su
respuesta con sus palabras.
g) Si al medir la temperatura a los 20 minutos de comenzado el experimento, el termómetro
marcara 90 ºC, ¿cuál de las siguientes afirmaciones elegiría como alternativa correcta?
 No es posible porque la temperatura a los 20 minutos debe ser de aproximadamente
102 ºC.
 Es posible. En ese caso, el modelo formulado perdería validez.
Para reflexionar sobre lo trabajado
En los ítems 1, 2 y 3.de la Actividad Nº 2usted trabajó con un modelo matemático que sólo
tiene validez para los primeros 60 segundos del experimento. Si bien, en este caso, esta
información no fue conocida inicialmente, la aparición de un nuevo dato experimental (la
temperatura de la sustancia a los 70 segundos) permitió saber cuál es el alcance del modelo
formulado. Sólo es posible realizar predicciones sobre la temperatura de esta sustancia,
utilizando esta fórmula, cuando el instante de tiempo al que se haga referencia sea un instante
entre el inicio de las mediciones (t = 0) y los 60 segundos (t = 60).
En cambio, en el ítem 4, el alcance del modelo fue conocido desde la información inicial: la
relación observada se estima que se mantiene durante 25 minutos. Sabiendo esta
información, la respuesta correcta al ítem e) es que no es posible calcular la temperatura de la
Modelo Matemático
Matemática A – Unidad 1
11
MODELO MATEMÁTICO
_________________
UNIDAD 1
barra a los 30 minutos utilizando la fórmula escrita en el ítem d). Si bien es posible realizar
esta cuenta con t = 30,no es pertinente hacerlo para predecir la temperatura de la barra ya
que no contamos con información que nos permita asegurar qué es lo que ocurre con su
temperatura luego de los 25 minutos de iniciado el experimento. Podría pasar que se siga
calentando pero a otra velocidad; que se mantenga constante; que se empiece a enfriar; que
se haya fundido y deje de ser una barra. Todo depende de las características del experimento
realizado y del material con el que se esté trabajando.
En el ítem g), la afirmación correcta es: “Es posible. En ese caso, el modelo formulado
perdería validez”. En este caso, la aparición de un nuevo dato experimental hizo que la
estimación realizada sobre el alcance del modelo pierda validez.
Con esto tenemos varios ejemplos en cuanto a los modelos matemáticos como formas de
expresar la realidad para realizar predicciones. Las predicciones pueden verificarse o no
independientemente de la seriedad con la que hayan sido construidas.
La realidad no es un modelo matemático sino que los modelos son construcciones a partir
de observaciones realizadas sobre la realidad. Estas observaciones son realizadas en
determinadas condiciones pero las mismas pueden no ser estables y en ese caso el
modelo puede perder vigencia.
Como cierre del trabajo realizado en la unidad le proponemos que reflexione acerca de lo aprendido a lo largo de las
actividades resueltas. Le será útil responder estas preguntas:





¿Reconoce de qué forma la Matemática formula modelos matemáticos para describir en forma aproximada fenómenos de la
realidad?
¿Pudo reconocer en los ejemplos dados modelos matemáticos?
¿Comprendió la validez de modelos matemáticos?
¿Pudo realizar predicciones a partir de un modelo matemático?
¿Logró formular modelos matemáticos sencillos?
Si sus respuestas son afirmativas, entonces está en condiciones de realizar la siguiente
actividad integradora. Si no, le sugerimos repasar lo visto hasta ahora, y /o concurrir a algunas
de los espacios de orientación que le ofrece ADULTOS 2000.
ACTIVIDAD INTEGRADORA
Para poder organizar la distribución de aulas, una academia realiza un análisis de la relación
entre la cantidad de alumnos que comienzan las clases y la cantidad de alumnos que
terminan cada año. El registro de las cantidades de alumnos que comenzaron y que
finalizaron las clases en los últimos años es el siguiente:
Cantidad de alumnos que comienzan
Cantidad de alumnos que terminan
200
102
250
124
180
90
170
88
220
111
150
78
Responda las siguientes consignas a partir de la información anterior:
1. Si se inscribieran 300 alumnos, ¿qué cantidad de alumnos debe preverse,
aproximadamente, que terminen el año?
2. ¿Qué relación aproximada se observa entre la cantidad de alumnos que comienzan las
clases y la cantidad de alumnos que terminan el año? Expréselo con sus palabras.
3. ¿Con qué cuenta puede calcular la cantidad de alumnos que terminan el año si conoce la
cantidad de alumnos que comienzan las clases?
4. Exprese la relación observada a través de una fórmula que permita calcular, en forma
aproximada, la cantidad de alumnos que termina el año en base a la cantidad que
comienza. Elija usted las letras a usar para representar a las variables.
Modelo Matemático
Matemática A – Unidad 1
12
MODELO MATEMÁTICO
_________________
UNIDAD 1
5. Utilice la fórmula escrita en el ítem 4. para estimar qué cantidad de alumnos terminará el
año si se inscriben 90 alumnos?
6. ¿Es posible que la cantidad calculada en el ítem 5. no sea la que se registre a fin de año?
¿Por qué?
Hemos concluido así esta primera Unidad.
Modelo Matemático
Matemática A – Unidad 1
13
OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS Z Y EN EL
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES Q
UNIDAD 2
3 FF
En esta unidad estudiaremos las propiedades y convenciones que utiliza la Matemática para
realizar cálculos en los diferentes conjuntos numéricos.
Del mismo modo que en la Unidad 1, comenzaremos analizando situaciones sencillas, que
podrían ser similares a las que usted enfrenta en su vida diaria. A partir de ellas
presentaremos los diferentes conjuntos numéricos y las formas de operar en cada uno de
ellos e iremos formalizando las propiedades que seguramente usted utiliza adecuadamente en
forma intuitiva.
Por ahora, para responder las preguntas que le iremos haciendo, no es necesario saber nada
más que lo que usted sabe. No hace falta ninguna lectura previa ni preparación especial.
Insistimos con esta idea porque es nuestra forma de concebir la forma de aprender
matemática. No se demore pensando “¿qué debería saber para responder?”, o “¿cómo
debería hacerse esto?”. Simplemente déjese llevar por la situación y dé sus respuestas
pensando tal como lo hace en su casa, en su trabajo o en la calle. Luego podrá cotejar si la
misma es correcta o no pero, independientemente de eso, si pudo dar una respuesta habrá
dado un paso en positivo en su proceso de aprendizaje.
Presentaremos a los números naturales, a los números negativos y a los números
fraccionarios y trabajaremos la forma de operar con ellos. Veremos también por qué es
necesario utilizar notación científica para expresar cantidades muy grandes o muy pequeñas,
por ejemplo las distancias astronómicas y las medidas de objetos microscópicos,
respectivamente.
Lo invitamos a comenzar con el estudio de la Unidad 2 resolviendo la siguiente actividad:
____________________________________________________________________
El sábado la familia López salió de compras llevando $ 150. En la verdulería
compraron 4 kilos de papas, 2 kilos de naranjas, 1 kilo de manzanas y un kilo y medio de
tomates. Cada kilo de papas vale $ 1,45; el kilo de manzanas cuesta $ 3; el kilo de naranjas
vale $ 2,65 y el kilo de tomates $ 2,80. También pasaron por la carnicería. Allí compraron tres
kilos de asado y dos kilos de carne para milanesas. El precio del kilo de asado es de $ 9,99 y
el kilo de carne para milanesas cuesta $ 10,80.
Julieta, la hija menor, necesitaba un pantalón. En un negocio del barrio el pantalón costaba $
45 y se podía pagar en dos cuotas sin recargo. Decidieron aprovechar la oportunidad y
comprarlo en cuotas.
Imagine que usted, como madre o padre de familia, ha salido de compras y se le han presentado cuestiones como las
que le planteamos en esta situación. Resuelva la actividad como lo hace cuando sale de compras.
Responda las siguientes preguntas a partir de la información anterior:
1. ¿Cuánto gastaron en la verdulería? ¿Qué operaciones realizó para hacer este cálculo?
2. ¿En qué orden fue resolviendo las operaciones que intervinieron en la cuenta del gasto en
la verdulería? Identifique qué operación resolvió en primer lugar, qué operación resolvió a
continuación y así sucesivamente.
3. ¿Cuánto gastaron en la carnicería? Identifique también qué operaciones usó para resolver
la cuenta del gasto en la carnicería y en qué orden las realizó.
4. ¿Cuánto pagaron cada cuota del pantalón para Julieta?
5. ¿Cuánto dinero le quedó a la familia López después de realizar todas las compras?
6. Un compañero suyo le dice:
“Para calcular cuánto dinero les quedó sumo el gasto en la verdulería con el gasto en la
carnicería y con lo pagado en la primera cuota del pantalón y este resultado se lo resto a
150.” ¿Está de acuerdo con su compañero en que ésa es una forma de calcular el dinero
que les quedó?
7. Otro compañero le dice:
“Resto a los $ 150 con los que salieron de la casa lo gastado en la verdulería, a este
resultado le resto el gasto de la carnicería, y a este resultado le resto lo pagado en la
Operaciones en Z y en Q
Unidad 2
14
OPERACIONES EN Z Y EN Q
UNIDAD 2
primera cuota del pantalón. Así calculo cuánto les quedó.” ¿Está de acuerdo con la forma
de cálculo de este otro compañero?
Para reflexionar sobre lo trabajado
En la situación planteada intervienen dos tipos de números con los que usted habitualmente
tiene contacto: los números enteros positivos y los números con coma.
Para responder a lo pedido en la actividad usted seguramente resolvió operaciones entre
estos números e identificó el orden en que realizó estas operaciones.
Al calcular cuánto gastaron los López en la verdulería calculó en primer lugar cuánto dinero
gastaron en papas, cuánto en manzanas, cuánto en naranjas y cuánto en tomates, y luego
sumó estos cuatro valores.
Para calcular, por ejemplo, cuánto gastó en papas usted pudo haber procedido de dos formas:
sumando 4 veces el precio del kilo de papas o multiplicando a este precio por 4. Esta última
es la forma más corta de realizar el cálculo. Por eso decimos que multiplicar por un número
natural es una forma abreviada de sumar.
Por lo tanto, para realizar el cálculo del gasto total en la verdulería resolvemos una cuenta en
la que intervienen dos operaciones: multiplicación (para calcular lo gastado en papas,
manzanas, naranjas o tomates) y suma (para calcular el gasto total en la verdulería).
Resolvemos en primer lugar las multiplicaciones
y a continuación la suma.
Es importante que sepa que si usted utilizó intuitivamente este orden para resolver el cálculo
pedido, éste es el mismo orden que utiliza la Matemática para resolver los cálculos cuando se
combinan las operaciones.
Podemos escribir el cálculo de lo gastado en la verdulería así:
4 . $1,45 + 2 . $2,65 + $ 3 + 1,5 . $2,80 = $5,80 + $5,30 + $3 + $4,20 = $18,30
Para calcular lo gastado en la carnicería se procede del mismo modo, y para calcular lo
gastado en la primera cuota del pantalón se divide por dos al precio del pantalón.
Si escribimos el cálculo completo de lo gastado nos queda:
4 . $1,45 + 2 . $2,65 + $ 3 + 1,5 . $2,80 + 3 . $9,99 + 2 . $10,80 + $45 : 2
Para calcular cuánto dinero les quedó a los López después de realizar todas las compras,
usted puede haber seguido cualquiera de los dos caminos propuestos en los ítems 6. y 7.,
ambos son correctos. Para escribir el cálculo propuesto en el ítem 6. es necesario indicar de
algún modo que primero debe sumarse lo gastado en la verdulería, en la carnicería y en el
pantalón, para luego restar este resultado de los $ 150. Para indicar esto la Matemática utiliza
paréntesis y lo escribe así:
$150 – ($18,30 + $ 51,57 + $22,50) = $150 – $92,37 = $57,63
El cálculo anterior también podría resolverse como se indica en el ítem 7., es decir restando
de los $ 150 el gasto en la verdulería, a este resultado restarle el gasto en la carnicería y al
resultado de esta última cuenta restarle el gasto en la primera cuota del pantalón.
También en este caso, para indicar en qué orden se deben resolver las cuentas, se utilizan
paréntesis y corchetes. Así:
[($150 – $18,30) – $51,57] – $22,50 = ($131,70 – $51,57) – $22,50 = $80,13 – $22,50 =
$57,63
Ambos cálculos pueden escribirse suprimiendo los paréntesis y corchetes así: $150 – $18,30
– $51,57 – $22,50 = $57,63. En este caso se han resuelto las operaciones de izquierda a
derecha en el orden escrito.
Operaciones en Z y en Q
Matemática A – Unidad 2
15
OPERACIONES EN Z Y EN Q
UNIDAD 2
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: NÚMEROS NATURALES. CONVENCIONES PARA
REALIZAR CÁLCULOS
En la situación resuelta usted trabajó con números enteros positivos y números con coma. La
Matemática llama números naturales a los números enteros positivos, y números decimales a
los números con coma.
Los números naturales son los números que utilizamos para contar o para poner números
identificatorios a objetos o eventos, como por ejemplo identificar el número de una casa, la
fecha de un acontecimiento, la edad de una persona, la cantidad de hijos, la cantidad de
objetos adquiridos en una compra, etc.
Al conjunto de los números naturales lo simbolizamos con la letra N. Como en algunas
ocasiones necesitamos indicar con un número que no hay elementos en un conjunto,
consideraremos al número 0 como un número natural también. Por lo tanto el conjunto de los
números naturales está formado por:
N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; ......}
Para representar geométricamente a los números naturales utilizamos una recta. En esa recta
se marca un origen donde se ubica al 0, se elige una unidad y se repite esta unidad
sucesivamente a la derecha del cero. Cada número natural queda representado por los
puntos de la recta que quedan marcados por las repeticiones de la unidad. Lo dicho se
muestra en el siguiente gráfico:
Para realizar cálculos entre números naturales combinando operaciones, la Matemática
establece el orden en el que deben resolverse estas operaciones para que el cálculo sea
correcto. Este orden también debe tenerse en cuenta para realizar las operaciones con
cualquier otro tipo de números.
En un cálculo en el que intervengan sumas o restas, multiplicaciones y divisiones debe
resolverse:
En primer lugar las multiplicaciones y divisiones.
A continuación las sumas y restas de izquierda a derecha.
Los paréntesis también se utilizan para indicar el orden de resolución de las operaciones.
En un cálculo en el que intervengan paréntesis, estos nos indican que debemos resolver
en primer lugar las cuentas planteadas en su interior. Para resolver estas cuentas
debemos respetar el orden anterior. Una vez resuelto el cálculo del interior del paréntesis,
continuamos la resolución del cálculo utilizando la convención anterior. Es decir,
resolviendo primero las multiplicaciones y divisiones, y a continuación las sumas y restas
de izquierda a derecha.
Cuando intervienen paréntesis y corchetes debe resolverse en primer lugar la cuenta
dentro del paréntesis y luego las cuentas del corchete.
Le proponemos resolver a continuación algunas situaciones en las que usted podrá poner en juego las ideas que acabamos de
formalizar en el apartado En términos matemáticos.
ACTIVIDAD Nº 1: “TRABAJANDO CON NÚMEROS NATURALES”
1. Describa cuatro situaciones de la vida cotidiana, diferentes de las nombradas en el
apartado En términos matemáticos anterior, donde se usen números naturales.
2. Pablo y Luis tienen que resolver la cuenta: 300 – 100 . 2
Pablo dice: "El resultado es 400".
En cambio, Luis afirma que el resultado es 100.
Responda las siguientes preguntas teniendo en cuenta los cálculos realizados por Pablo y
Luis:
Operaciones en Z y en Q
Matemática A – Unidad 2
16
OPERACIONES EN Z Y EN Q
UNIDAD 2
a) ¿Quién de los dos respetó el orden en el que deben resolverse las operaciones para
que el cálculo sea correcto?
b) ¿Cuál de las siguientes situaciones planteadas pueden resolverse o interpretarse con
la cuenta que tienen que resolver Pablo y Luis?
 Si tenía $ 300 en mi billetera, y pagué 2 cuotas de un crédito de $ 100 cada
una. ¿Cuánto dinero me queda?
 Al iniciar el día, en el stock de una fábrica, hay 300 paquetes de un producto.
Durante el día se vendieron 100 paquetes. Si cada paquete tiene 2 unidades del
producto, ¿cuántas unidades quedan al terminar el día?
c) Una de las dos situaciones planteadas en el ítem b) no puede expresarse con la cuenta
dada. ¿Cómo debería escribirse la cuenta que interpreta dicha situación?
Para reflexionar sobre lo trabajado
Es posible que usted pueda resolver las situaciones anteriores sin ninguna dificultad. Pero
que, en el momento de escribir las cuentas que interpretan dichas situaciones, tenga dudas o
le resulte complicado hacerlo. Lo mismo para decidir si es Pedro o Luis el que tiene razón.
Trate de resolver esta dificultad teniendo en cuenta que tan sólo debe respetar el orden
establecido por la Matemática para resolver las operaciones. Este orden está formalizado en
el apartado En términos matemáticos anterior a partir de la situación de las compras de la
familia López.
Observe que usted puede resolver situaciones concretas sin dificultad aunque no conozca el
convenio matemático. Pero no ocurriría lo mismo si la situación, en lugar de estar expresada
en lenguaje coloquial, estuviera expresada en lenguaje simbólico. En este caso, el
desconocimiento del orden adecuado de resolución de las operaciones puede llevarlo a
resultados erróneos.
3. De acuerdo con las conclusiones anteriores, resuelva las siguientes cuentas combinando
sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y el uso de paréntesis:
a) 15 . 3 – 12 : 4 – 7 . 3 =
b) (12 + 2) : 7 – 2 =
c) 5 + (8 + 20) . (13 – 4) – 10 =
d) (13 + 24 : 8) : 2 – (4 + 2) =
e) 8 + 3 . 7 . (9 – 4) =
4. Complete el con el signo " =" o "" según corresponda:
a) 24 + (11 + 17) 24 + 11 + 17
85 – 25 + 15
c) 85 + (25 – 15)  85 + 25 + 15
Complete el con el signo " =" o "" según corresponda, utilizando m = 36,
b) 85 – (25 + 15)
5.
12 – (5 + 7)
e) 15 – (5 – 3) 15 – 5 + 3
d) 12 – 5 – 7
n = 12 y p = 8. Es:
m – (n + p)
b) m + n + p m + (n + p)
c) m – (n – p) m – n + p
a) m – n + p
d) m + (n–p) m + n–p
e) m – (n – p)
m – n – p
6. De acuerdo con sus respuestas a los ítems 4. y 5., complete el
con el
signo "=" o ""
según corresponda. Tenga en cuenta que en este caso m, n y p representan a un número
natural cualquiera.
a) m – (n – p)
b) m + (n – p)
m – n – p
m + n – p
Operaciones en Z y en Q
d) m– (n–p) m–n + p
e) m – (n + p) m – n – p
Matemática A – Unidad 2
17
OPERACIONES EN Z Y EN Q
c) m + (n + p)
UNIDAD 2
m + n + p
7. Teniendo en cuenta sus respuestas a los ítems 4., 5. y 6. de este ejercicio complete las
siguientes frases para que resulten verdaderas:
 En un cálculo en el que intervienen sumas y restas entre números naturales, para
eliminar
paréntesis
precedidos
por
un
signo
"
–",
se
debe
....................................................................................................................
 En un cálculo en el que intervienen sumas y restas entre números naturales, para
eliminar
paréntesis
precedidos
por
un
signo
"
+
"
se
debe
....................................................................................................................
Para reflexionar sobre lo trabajado
En la Actividad anterior usted obtuvo conclusiones sobre la forma de eliminar paréntesis en un
cálculo en el que intervienen sumas y restas de números naturales. Esas conclusiones
pueden extenderse a cualquier otro de los conjuntos numéricos con los que trabajaremos más
adelante en la unidad.
Regístrelas de algún modo que usted pueda recurrir a ellas fácilmente toda vez que le sea necesario.A su vez, para responder
lo pedido en la actividad, le propusimos asignar valores numéricos a las letras para poder decidir si cada expresión resultaba
igual o distinta que la otra. Este recurso de asignar valores particulares a las letras también le puede resultar de mucha
utilidad. Téngalo presente y recurra a él cada vez que le surjan dudas sobre si puede o no resolver una cuenta de
determinada manera, aún cuando nosotros no se lo propongamos como parte de la tarea.
8. La empleada de la biblioteca de una escuela al final de cada día, controla los movimientos
de libros efectuados en la jornada. Para hacerlo registra minuciosamente cada ingreso o
salida de libros:
El día 31 de marzo, a la hora de cierre, se encontró con el siguiente listado:
 Apertura: 2543 ejemplares
 Préstamos a docentes: 132 libros
 Préstamos a alumnos: 856 libros
 Devoluciones: 270 libros
 Donación de editoriales: 624 libros
 Donación del Ministerio de Educación: 67 libros
 Enviados al taller de reparación: 76 libros
 Recibidos del taller de reparación: 48 libros
a) De acuerdo con la información anterior, calcule con cuántos libros abrió la biblioteca el 1
de abril.
b) Escriba de dos formas diferentes el cálculo que realizó en el ítem a)
Continuaremos trabajando con las operaciones entre números naturales resolviendo una
nueva situación:
____________________________________________________________________
Francisco tiene que hacer compras en la librería para sus tres hermanitos. Su mamá
le pidió que compre un cuaderno que cuesta $5 y una lapicera de $2 para cada uno.
 Francisco calcula los gastos de esta manera:
Para cada hermano $ 5 + $ 2 = $ 7
Total del gasto
3 . $ 7 = $ 21
 Su mamá calcula:
3 cuadernos 3. $ 5 = $15
3 lapiceras 3 . $ 2 = $6
Total del gasto $ 15 + $ 6 = $ 21
Operaciones en Z y en Q
Matemática A – Unidad 2
18
OPERACIONES EN Z Y EN Q
UNIDAD 2
Los dos realizan los cálculos de diferente forma pero obtienen el mismo resultado. ¿Serán
correctos ambos cálculos?
Para reflexionar sobre lo trabajado
Los dos cálculos son correctos. Francisco y su mamá llegaron al mismo resultado pero por
distintos caminos:
3 . ( $5 + $2) = 3 . $5 + 3 . $2
Cuando un número multiplica a una suma, se puede resolver ese cálculo multiplicando
por ese número a cada uno de los números que intervienen en la suma. Como en el caso
de los cálculos realizados por Francisco y su mamá. Se obtiene el mismo resultado
operando de una forma u otra.
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS:PROPIEDADADES DE LAS OPERACIONES ENTRE
NÚMEROS NATURALES
En las cuentas realizadas por Francisco y su mamá, se cumple la propiedad distributiva de
la multiplicación respecto de la suma. Esta propiedad también se verifica si dentro del
paréntesis la operación es una resta o una combinación de sumas y restas.
La propiedad distributiva puede utilizarse para resolver en forma más sencilla algunos cálculos
mentales. Por ejemplo, para resolver 15 . 29 podemos hacer
15 . (30 – 1) = 15 . 30 – 15 . 1 = 450 – 15 = 435
Dentro del conjunto de los números naturales se cumplen otras propiedades que permiten
realizar cálculos de distintas maneras, como la propiedad conmutativa y la propiedad
asociativa.
La propiedad conmutativa se verifica tanto para la suma como para la multiplicación pero no
para la resta o la división. Por ejemplo:
3+5=5+3=8
2 . 8 = 8 . 2 = 16
La propiedad se cumple para cualquier par de números naturales a y b:
a+b=b+a
a.b=b.a
Es decir que, la propiedad conmutativa permite cambiar el orden de los números al operar y
que el resultado no cambie.
Otra propiedad que se verifica es la propiedad asociativa, que permite agrupar de manera
diferente los números para que la resolución sea más sencilla. Por ejemplo, si tenemos que
resolver 19 + 143 + 7 resulta más sencillo resolver el cálculo agrupando de la siguiente
manera:
19 + (143 + 7 ) = 19 + 150 =169
En el caso de multiplicación, si tenemos que resolver 3 . 5 . 20 podemos resolver agrupando
así,
3 . ( 5 . 20 ) = 3 . 100 = 300
La propiedad se cumple para cualquier número natural a, b y c:
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)
a . b . c = (a . b) . c = a. (b . c)
ACTIVIDAD Nº 2: “TRABAJANDO CON LAS PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES
ENTRE NÚMEROS NATURALES”
1. Resuelva cada cálculo de dos maneras diferentes:
a) 3. (10 – 3 + 4) =
c) (398 + 195) + (2+5) =
b) (2 + 7) . 5 =
d) (32 + 5) + (4 – 1) =
Operaciones en Z y en Q
Matemática A – Unidad 2
19
OPERACIONES EN Z Y EN Q
UNIDAD 2
2. Resuelva mentalmente aplicando la propiedad distributiva:
a) 24 . 5
c) 47 . 102
b) 103 . 8
d) 16 . 103
NÚMEROS FRACCIONARIOS
Vamos a empezar a trabajar con algunas situaciones en las que intervienen números
fraccionarios. Seguramente estos números tampoco son desconocidos para usted. Veamos ...
Mientras Agostina y Facundo jugaban en el cuarto, se escuchó el siguiente comentario:
"Tengo dos mitades de chocolates, te doy una a vos y me quedo con la otra".
1. ¿Cree que el reparto es equitativo, es decir que a cada uno le toca la misma cantidad de
chocolate? Explique por qué.
2. Le presentamos a continuación el dibujo en escala de las mitades de chocolates que
están repartiendo los chicos:
Después de observar el gráfico:
1. ¿Qué comentario haría respecto de su respuesta sobre si el reparto es equitativo o no?
2. ¿Qué aclaración sería necesario incluir en el enunciado para que no se generen malos
entendidos?
Podríamos pensar también en esta otra situación en la que interviene un mal entendido similar
al anterior:
A principios de mes la fábrica “Chocotón” anuncia una nueva propuesta para sus empleados a
través del siguiente cartel:
LOS EMPLEADOS QUE REALICEN
DIARIAMENTE TRABAJOS EXTRA
RECIBIRÁN MEDIO SUELDO
EXTRA A FIN DE MES.
A fin de mes, se produjo una seria discusión entre un empleado que había realizado muchas
tareas extra y el encargado de pagos de la fábrica.
¿Qué es lo que pudo haber provocado esta discusión?
Al día siguiente, se corrigió el cartel. Quedó así:
LOS EMPLEADOS QUE REALICEN
DIARIAMENTE TRABAJOS EXTRA
RECIBIRÁN MEDIO SUELDO EXTRA
A FIN DE MES (CORRESPONDIENTE A
LA CATEGORÍA MÁS BAJA DE LA EMPRESA
¿Qué es lo que ocurrió? ¿Por qué cree que se produjo la confusión y la discusión?
Operaciones en Z y en Q
Matemática A – Unidad 2
20
OPERACIONES EN Z Y EN Q
UNIDAD 2
Para reflexionar sobre lo trabajado
En la situación de los chocolates, posiblemente, en un primer momento, le haya parecido que
el reparto era equitativo porque lo usual es pensar que los chocolates en cuestión eran
iguales. Seguramente cambió de idea al enterarse que las mitades de los chocolates que
estaban repartiendo no eran del mismo tamaño. Este ejemplo nos permite ver que si tenemos
que realizar una comparación entre mitades es necesario que las mismas sean del mismo
tamaño. Si uno no cuenta con las mitades a comparar, debe aclararse de algún modo cuáles
son dichas mitades para no generar malos entendidos.
Algo similar ocurre en la fábrica. Probablemente el empleado que discutió con el contador
tenía un sueldo mayor al de la categoría más baja y creyó que el medio sueldo que recibiría a
fin de mes, en pago por su trabajo extra, sería en relación con su sueldo.
Los malos entendidos surgidos en las dos situaciones anteriores tienen un mismo origen: la
ambigüedad sobre cuál es la unidad a la que está referida la mitad en cuestión. Al hablar de
“medios” es indispensable aclarar de “medios” de “qué” estamos hablando. Además, al
comparar “medios” de “algo”, debemos referirnos siempre a la misma unidad.
Trabajaremos ahora en la resolución de una actividad en la que analizaremos el
fraccionamiento de lotes realizado por una inmobiliaria:
En una inmobiliaria venden una extensión grande de terreno. Para ello, lo han dividido
en "lotes" como el dibujado a continuación:
Como cada lote es muy grande, la inmobiliaria los ha fraccionado en partes iguales.
Confeccionó los planos y se redactaron las correspondientes escrituras de ventas. Por eso,
cada fracción de lote no puede ser subdividida. A continuación le mostramos los planos de las
"fracciones de lote" que vende la inmobiliaria:
Medios de un "lote"
La parte sombreada es "un medio lote".
Tercios de un "lote"
La parte sombreada es "un tercio de lote".
Cuartos de un "lote"
La parte sombreada es "un cuarto de lote".
Sextos de un "lote"
La parte sombreada es "un sexto de lote".
Operaciones en Z y en Q
Matemática A – Unidad 2
21
OPERACIONES EN Z Y EN Q
UNIDAD 2
Doceavos de un "lote"
La parte sombreada es "un doceavo de lote".
Mire los planos y responda:
1. ¿Cuántos "medios lotes" forman un lote?
2. Si se quiere formar un lote con "tercios de lote", ¿cuántos de ellos hacen falta?
3. ¿Cuántos "cuartos de lote" entran en un lote?
4. Para obtener "sextos de lote", ¿en cuántas partes iguales hay que dividir al lote?
5. ¿Cuántos "doceavos de lote" hay en un lote?
Para reflexionar sobre lo trabajado
Lo dicho en relación con la unidad de referencia en la reflexión anterior cuando hablábamos
de “medios”, también es válido cuando hablamos de "tercios",
“cuartos”, “sextos”, etc. En todos los casos es indispensable precisar a qué unidad está
referida cada una de esas partes. En este caso se usó como unidad el "lote", que está
representado a escala en el plano.
La inmobiliaria fraccionó al "lote" de la siguiente manera:
 En algunos casos lo dividió en dos partes iguales. A cada parte la llamó "un medio
lote". Esto puede escribirse así: 1/2 de lote o también

En otros, dividió al lote en tres partes iguales, y a cada parte la llamó "tercio de un lote".
Esto puede escribirse así: 1/3 de lote o

1
de lote.
2
1
de lote.
3
1
de lote) dividiendo el
4
1
lote en cuatro partes iguales; los "sextos de lote" (1/6 de lote o ) dividiendo al lote en
6
1
seis partes iguales; y los "doceavos de lote" (1/12 de lote o
) dividiendo al lote en 12
12
En forma similar determinó los "cuartos de lote" (1/4 de lote o
partes iguales.
____________________________________________________________________
A partir de los planos y de la información anterior responda las siguientes
preguntas:
1. En una oportunidad, un cliente quiere comprar "medio lote" y la inmobiliaria no dispone de
uno de ellos. El empleado de la inmobiliaria le sugiere que compre otras fracciones de lote
que cubran la misma superficie que medio lote, es decir, fracciones de lote que ocupen
una superficie de igual tamaño que el medio lote pedido.
a) ¿Qué fracciones de lote podría ofrecer el empleado a su cliente en reemplazo del medio
lote pedido?
b) Si le ofreciera “cuartos de lote” ¿cuántos "cuartos de lote" debería comprar el
cliente?
c) ¿Y si le ofreciera "sextos de lote" o "doceavos de lote"?
d) El empleado, ¿puede ofrecer a su cliente “tercios de lote”? ¿Por qué?
2. Otro cliente quiere "un tercio de lote", pero estos se acabaron.
a) ¿Con qué fracciones de lote podría cubrir exactamente la superficie de un tercio de
lote?
b) Si para reemplazar el "tercio de lote" le ofrece "sextos de lote", ¿cuántos necesitaría?
¿Y si usara "doceavos de lote"?
El empleado de la inmobiliaria se inquietó un poco al ver que a medida que los lotes se iban
vendiendo, se complicaba un poco su tarea. Debía cambiar los pedidos de los clientes por
Operaciones en Z y en Q
Matemática A – Unidad 2
22
OPERACIONES EN Z Y EN Q
UNIDAD 2
otros equivalentes. Se dijo: "Tengo que organizarme para hacer más eficiente la atención al
público".
Se le ocurrieron dos ideas:
 En primer lugar, calcó y recortó los planos de lotes y fracciones de lotes que vende la
inmobiliaria.
 En segundo lugar, confeccionó el cuadro que figura a continuación. Para llenarlo,
pensó así, por ejemplo: "Como un tercio de lote (1/3 de lote) equivale a 2 terrenos de
sextos de un lote, completo la tabla poniendo un 2 en la columna de los sextos".
Responda las siguientes consignas a partir de la información anterior.
1. ¿Cuál cree que fue la intención del encargado al calcar y recortar los planos de los lotes y
fracciones de lote?
2. ¿Cómo cree que usaría los planos para decidir, por ejemplo “dos sextos de lote”, es lo
mismo que “un tercio de lote”?
3. Complete la tabla que empezó a completar el empleado. ¿Por qué cree que hay casillas
sombreadas?
Para reflexionar sobre lo trabajado
En el cuadro anterior puede leerse, por ejemplo, que "un tercio de lote equivale a cuatro
doceavos de lote". Esto se puede escribir así:
1
1
de lote = 4 veces
de lote
12
3
1
1
o
de lote = 4 .
de lote
12
3
4
1
o
de lote =
de lote
12
3
Otro ejemplo que puede leerse de la tabla es que: "un lote equivale a 6 sextos de lote". Esto
se puede escribir así:
1
1 lote = 6 veces de lote
6
1
o 1 lote = 6 . de lote
6
6
o 1 lote =
de lote
6
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: NÚMEROS FRACCIONARIOS
1 4 6
,
,
son ejemplos de números fraccionarios. En general, cualquier número de la
3 12 6
a
forma
(con b  0) es un número fraccionario. El número a se llama numerador de la
b
fracción y el número b se llama denominador. El denominador le da el nombre a la fracción
Operaciones en Z y en Q
Matemática A – Unidad 2
23
OPERACIONES EN Z Y EN Q
UNIDAD 2
(la denomina) indicándonos la cantidad de partes en la que ha sido dividido la unidad. El
numerador indica el número de partes de la unidad que se están tomando.
Parte D
Si para simplificar las representaciones de los lotes, los simbolizamos con un segmento,
resulta:
 Como el lote es la unidad, y el segmento simboliza a un lote, entonces la longitud
completa del segmento es la unidad. Por esta razón consideraremos al segmento
como de longitud 1.
 La mitad del segmento representa a "1/2 de lote".
 Pero la mitad del segmento es un medio de la unidad, o sea "1/2 de unidad" o "1/2 de
1
1", o simplemente .
2
La representación le quedó así:
Responda las siguientes consignas a partir de la información anterior:
1. Usando el mismo criterio utilizado, represente las siguientes fracciones sobre el segmento
unidad:
1
1
1
1
12
3
4
6
2. Sobre el mismo segmento represente las fracciones:
4
2
12
6
¿Qué puede observar sobre sus ubicaciones en el segmento?
3. Represente, también sobre el mismo segmento, las fracciones:
6
2
3
12
4
6
¿Qué observa en cuanto a sus ubicaciones?
12
2 3 4 6
4. ¿Qué ubicación sobre el segmento tienen las fracciones ; ;
;
y
?
12
2 3 4 6
¿Por qué? Interprete esta ubicación en términos de la situación de los lotes.
Para reflexionar sobre lo trabajado
Cuando el empleado de la inmobiliaria calcó y recortó los planos de los lotes, pudo comprobar
que “un medio lote” es equivalente a “dos cuartos de lote” y también es equivalente a “tres
sextos de lote” y a “seis doceavos de lote”.
1 2 3
6
Esto mismo pudimos observar al representar en el segmento a las fracciones , , y
:
2 4 6 12
su ubicación resultó ser la misma. Como todas estas fracciones están referidas a la misma
unidad, si las comparamos resultan ser iguales o equivalentes.
5. Teniendo en cuenta las representaciones que realizó sobre el segmento, dé otros ejemplos
de fracciones equivalentes.
6. Teniendo en cuenta las fracciones equivalentes encontradas intente armar un recurso que
le permita determinar una fracción equivalente a otra dada.
Para reflexionar sobre lo trabajado
De acuerdo con las representaciones realizadas sobre el segmento también podemos
1
2
4
observar que las fracciones
,
y
son equivalentes dado que tienen la misma
3
12
6
ubicación sobre el segmento y por lotanto representan al mismo número.
Operaciones en Z y en Q
Matemática A – Unidad 2
24
OPERACIONES EN Z Y EN Q
UNIDAD 2
2
1
a partir de
y
6
3
viceversa? Observe que si multiplicamos por 2 al numerador y al denominador de la fracción
1
2
, obtenemos la fracción
. Y que si dividimos por 2 al numerador y denominador de la
3
6
¿Cómo podemos pasar de una a otra? Por ejemplo, cómo encontrar
fracción
2
1
, obtenemos la fracción . Así:
6
3
.2
1
=
3
:2
2
6
.2
2
6
=
1
3
:2
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: FRACCIONES EQUIVALENTES. SIMPLIFICACIÓN DE
FRACCIONES. FRACCIONES IRREDUCIBLES
De acuerdo con lo observado, decimos que el número fraccionario
número fraccionario
1
es equivalente al
3
2
.
6
En general decimos que, dos fracciones referidas a la misma unidad, son equivalentes
cuando representan al mismo número. Para encontrar fracciones equivalentes multiplicamos o
dividimos al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero.
En los casos en que encontramos una fracción equivalente a otra dividiendo al numerador y al
denominador por un número distinto de cero decimos que estamos simplificando.
Si en la fracción, el numerador y el denominador, no admiten divisores comunes, decimos que
la fracción es irreducible.
ACTIVIDAD Nº 3: “TRABAJANDO CON FRACCIONES EQUIVALENTES”
1. Encuentre dos fracciones equivalentes a cada una de las fracciones indicadas a
continuacióny que una de ellas sea irreducible:
4
128
7
a)
=
b)
c)
=
=
21
16
64
2. Indique en cada caso cuál debe ser el valor que debe tomar la letra a para que las
fracciones sean equivalentes.
4 8
5 a
a) =
b)
=
2 8
3 a
3. Juan, Matías y Gabriel compraron tres chocolates iguales. Juan lo dividió en dos partes
iguales y se comió una sola; Matías lo dividió en cuatro partes iguales y se comió dos de
esas partes; y Gabriel lo dividió en ocho partes iguales y se comió cuatro de ellas.
a) Exprese la fracción de chocolate que comió cada uno.
b) ¿Quién comió más cantidad de chocolate?
Le proponemos continuar trabajando con los lotes de la inmobiliaria para seguir pensando
algunas cosas más sobre las fracciones. Le pedimos ahora que:
1. Represente los planos de cada una de las siguientes ventas:
 Dos "tercios de lote"
 Tres "cuartos de lote"
Operaciones en Z y en Q
Matemática A – Unidad 2
25
OPERACIONES EN Z Y EN Q
UNIDAD 2
 Cinco "tercios de lote"
 Once "sextos de lote"
2. Indique, para cada una de las ventas anteriores, si se vendió más o menos que un lote.
3. Simbolice, ahora, cada una de las ventas en un segmento que represente al lote como
unidad y escríbalas como números fraccionarios.
Para reflexionar sobre lo trabajado
De acuerdo con la representación que hemos hecho de los lotes, la representación de dos
"tercios de lote" es:
En la representación anterior, podemos observar que se vendió una fracción de lote menor a
un lote. Su representación en el segmento unidad es:
Para realizar la venta correspondiente a cinco “tercios de lote" no nos alcanza con un lote ya
que en un lote sólo tenemos tres “tercios de lote”. Quiere decir que se vendió más que un lote.
La representación gráfica de la venta nos queda:
Para su representación necesitamos tener en cuenta dos veces el segmento unidad, y
nos queda:
4. Si el lote midiera 300 m², ¿qué superficie tendrían los
5. Si le dijeran que la superficie de
2
de lote?
3
2
de lote es de 400 m², ¿cuántos metros cuadrados mide
3
el lote completo?
1
2
6. a) Si venden
de lote y luego de lote, ¿cuántos tercios de lote vendieron en total?
3
3
1
7
b) Si vende
de lote y luego
de lote, ¿cuántos doceavos de lote se vendieron en
12
12
total?
3
2
7. a) Si se venden
de lote y después
de lote, ¿cuántos cuartos de lote se vendieron?
4
4
¿Alcanza con un lote?
3
1
b) Si se venden
de lote y después
de lote, lo que se vendió en total en esta
4
2
oportunidad, ¿es equivalente a lo vendido en el caso del ítem a)? ¿Por qué?
3
2
8. a) Si se venden
de lote y después
de lote, ¿cuántos sextos de lote se vendieron?
6
6
¿Alcanza con un lote?
1
1
b) Si se vende
de lote y después
de lote, ¿se vende lo mismo que en la venta del
2
3
ítem 8. a)? ¿Por qué?
Operaciones en Z y en Q
Matemática A – Unidad 2
26
OPERACIONES EN Z Y EN Q
UNIDAD 2
1
2
de lote y después
de lote. La cantidad total vendida, ¿a cuántos sextos
2
3
de lote es equivalente?
1
2
9. a) Si se vende de lote y después
de lote. ¿en qué tipo de fracción de lote conviene
4
3
expresar el total vendido? ¿Por qué?
3
2
b) Se venden
de lote y después
de lote. Exprese la fracción de lote vendida en total.
4
3
c) Se vende
Para reflexionar sobre lo trabajado
1
2
Cuando, por ejemplo, se vende
de lote y después
de lote y queremos expresar el total
3
3
de la venta, decimos "se vendieron 3 tercios de lote". Estamos sumando las cantidades
vendidas, o estamos sumando los "tercios de lote”. Este resultado es equivalente a un lote. Lo
escribimos así:
2 1 2
1
3
+
=
=
=1
3
3
3
3
3
2
5
de lote y luego
de lote, el total de la venta es de
de lote. En este
4
4
4
caso estamos sumando “cuartos de lote”. Lo escribimos así:
3
2
5
32
+
=
=
4
4
4
4
En los casos anteriores sumamos “tercios de lote” con “tercios de lote” o “cuartos de lote” con
“cuartos de lote”. Y, ¿cómo hacemos para sumar, por ejemplo, “tercios de lote” con “cuartos
1
2
de lote”? En el ítem 9. se vende
de lote y después
de lote y le pedimos que exprese el
4
3
1
2
total de la venta. Es decir, le pedimos que resuelva la suma
+
4
3
La primera venta es en "cuartos" y la segunda en "tercios". Como ya hemos observado,
existen fracciones equivalentes a cualquier fracción dada. Entonces podríamos reemplazar
cada venta por otra equivalente que fuera más conveniente para realizar la suma. Lo que hay
que preguntarse es: ¿pueden expresarse las dos ventas con el mismo tipo de fracciones de
lote?
En este caso podemos decir que:
3
8
1
2
de lote es equivalente a
de lote, y que
de lote es equivalente a
de lote. Por lo
12
12
4
3
11
tanto, la venta total es de
de lote. Lo escribimos así:
12
3
8
11
1
2
38
+
=
+
=
=
12 12
12
4
3
12
Cuando se venden
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: SUMA Y RESTA DE FRACCIONES
Para sumar o restar fracciones es necesario que las fracciones tengan el mismo
denominador. Si los denominadores de las fracciones son diferentes, se deben buscar
fracciones equivalentes a las dadas de modo que resulten fracciones con el mismo
denominador. Luego se suman (o restan) los numeradores manteniéndose el denominador.
____________________________________________________________________
Una empresa constructora decide realizar una compra importante: compra 5 “medios
lotes”, 7 “tercios de lote” y 15 “sextos de lote”.
Operaciones en Z y en Q
Matemática A – Unidad 2
27
OPERACIONES EN Z Y EN Q
UNIDAD 2
1. Exprese como fracción la cantidad de “medios lotes”, de “tercios de lote” y de “sextos de
lote” que compró la empresa constructora.
2. Calcule la fracción de lote comprada en total por la empresa.
Luego de la compra, la empresa subdivide los lotes comprados en lotes más pequeños para
construir mayor cantidad de viviendas. Divide cada “medio lote” en tres lotes iguales y cada
“tercio de lote” en dos lotes iguales.
3. Cada una de las partes en las que la empresa constructora divide al “medio lote”, ¿qué
fracción representa respecto del lote inicial de la inmobiliaria?
4. Exprese la fracción que representa a cada una de las partes en las que la empresa
constructora divide al “tercio de lote” en relación con el lote inicial de la inmobiliaria.
Para reflexionar sobre lo trabajado
La empresa constructora compró 5 “medios lotes”. Podemos escribir a esta compra como 5 .
1
5
, que es igual a
de lote. Gráficamente:
2
2
1
.
2
Lo mismo hacemos para expresar la fracción de “tercios de lote” y de “sextos de lote”
Para calcularlo resolvimos la multiplicación entre 5 y
15
7
de lote y
de lote, respectivamente.
6
3
Para expresar la fracción que representa a cada una de las partes en las que la empresa
constructora divide al “medio lote” debemos dividir al “medio lote” en tres partes iguales. Es
comprada en total en cada caso: la empresa compró
decir, hacemos
1
1
: 3, que representa a
del lote inicial de la inmobiliaria. Gráficamente:
6
2
La fracción que representa a cada una de las partes en las que la constructora divide a cada
1
“tercio de lote” es también , ya que dividimos cada “tercio de lote” en dos partes iguales.
6
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES
En la situación de la empresa constructora, en todos los casos multiplicamos a cada fracción
de lote por un número natural, que es una fracción de denominador uno. También podría ser
necesario calcular, por ejemplo, las “tres quintas partes” de “medio lote”. Para calcularlo
3 1
resolvemos la multiplicación . . Lo hacemos así:
5 2
3 .1 3
3 1
.
=
=
5 2
5 . 2 10
Operaciones en Z y en Q
Matemática A – Unidad 2
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OPERACIONES EN Z Y EN Q
UNIDAD 2
En general, cuando multiplicamos dos fracciones, se multiplican los numeradores entre sí y
los denominadores entre sí. Así:
a c a.c
. =
b d b.d
En el caso en que se dividió a medio lote en 3 lotes iguales, resolvimos la cuenta
1
1
:3=
,
6
2
1 1
.
2 3
En general, para dividir fracciones, siempre y cuando el divisor sea diferente de 0, se
multiplica la primera fracción por la segunda invertida. Así:
a c a d a.d
: = . =
b d b c b.c
que es el resultado de multiplicar
ACTIVIDAD Nº 4: “MÁS TRABAJO CON FRACCIONES”
1. Determine, para cada uno de los siguientes casos, dos fracciones que verifiquen las
condiciones dadas:
a) Sean equivalentes.
b) Tengan numerador 5 y sean mayor que 1.
c) Tengan numerador 5 y sean menor que 1.
d) Tengan denominador 5 y sean mayor que 1.
e) Tengan denominador 5 y sean menor que 1.
f) Tengan el mismo denominador y su suma sea equivalente a un entero.
g) Tengan distinto denominador y su suma sea equivalente a un entero.
h) Que su producto sea equivalente a un entero.
i) Que su división sea equivalente a un entero.
2. Observe los dos cuadrados representados a continuación:
a) Si los dos cuadrados son iguales y usted tiene que pintar la zona sombreada en cada
uno de ellos:
La cantidad de pintura que necesita para pintar la zona sombreada en el cuadrado I,
¿es mayor, menor o igual que la que necesita para pintar la zona sombreada en el
cuadrado II?
b) Indique la fracción que representa la zona sombreada en cada uno de los cuadrados.
3. La siguiente frase está referida a la figura dibujada abajo. Decida si la frase es verdadera o
falsa. Dé argumentos que justifiquen su respuesta.
FRASE: "La zona sombreada representa una cuarta parte de la figura".
Operaciones en Z y en Q
Matemática A – Unidad 2
29
OPERACIONES EN Z Y EN Q
UNIDAD 2
4. Un almacenero cortó un queso en partes iguales tal como se muestra en el siguiente
dibujo. A la mañana vendió las partes sombreadas y durante la tarde
5
8
del total del
queso.
Responda las siguientes preguntas a partir de la información anterior:
a) ¿Qué fracción del total del queso se vendió a la mañana?
b) ¿Qué fracción del queso quedó sin vender al final del día?
c) Si el queso pesa 5 kg, ¿qué cantidad de kilogramos vendió el almacenero durante la
tarde?
5. a) Si usted compra 1 kilo y medio de pan, ¿cuántos paquetes de medio kilogramo de pan
puede armar?
1
b) Resuelva la siguiente suma: 1 +
2
3
de carne, ¿cuántos cuartos kilogramos de carne le dan?
4
3
b) Resuelva la suma: 2 +
4
7
7
7. a) En una familia comen 1 de pizza, es decir 1 pizza y de otra. ¿Cuántos octavos de
8
8
6. a) Si usted pide 2 kg y
pizza comen?
c) Resuelva la suma: 1 +
7
8
Para reflexionar sobre lo trabajado
En el ítem 5. de este ejercicio se compran 3 medios kilogramos de pan ya que en un
kilogramo hay dos medios kilogramos y además se compra otro medio kilogramo. Esto es
1
2 1 3
1
equivalente a calcular 1 +
=   . También se puede escribir: 1 . Por lo tanto, la
2
2 2 2
2
1
1
expresión 1 debe interpretarse como 1 + .
2
2
3
11
3
Asimismo, en el ítem 6., el pedido de carne es de 2
= 2 +
= ; y en el ítem 7., se
4
4
4
7
7 15
consumen 1 = 1 + =
de pizza.
8
8
8
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: OTRA FORMA DE EXPRESAR LAS FRACCIONES
3
1
Los números 1 y 2
utilizados en la actividad anterior, son números fraccionarios. En
4
2
b
general, una expresión del tipo a
es una fracción que se obtiene de sumar el número
c
b
entero a y la fracción . En símbolos:
c
b
b
a =a+
c
c
Operaciones en Z y en Q
Matemática A – Unidad 2
30
OPERACIONES EN Z Y EN Q
UNIDAD 2
Uso de la calculadora científica: Si usted tiene una calculadora científica, verá que tiene una tecla en la que figura la
expresión a b .Dicha tecla se usa para operar con fracciones. Indicaremos acá cómo se ingresa una fracción en su
c
calculadora: Por ejemplo, para ingresar la fracción 7
6
debe teclear 7, después la tecla a b y por último, teclear 6.
c
7
Aparecerá en la pantalla la escritura 7  6, que equivale al número . El número ya está cargado en su máquina, listo para
6
operar con cualquier otro que usted desee.
8. Resuelva los siguientes ejercicios utilizando fracciones. Tenga en cuenta el orden en el
que deben resolverse las operaciones de acuerdo con la convención establecida al operar
con los números naturales.
.
a)
3 1 4
+ . =
5 2 5
5  2
 1 : 
2  3
b) 1  
c)
1 4
1
. +3: =
2 3
2
d)
1  7 1 1 7 1
.    . . 
5 3 2 2 5 6
Una vez resuelto el ejercicio controle su resultado utilizando la calculadora
9. Indique como fracción qué parte representa:
a) 3 facturas de una docena
b) 5 horas de un día
c) 35 días de un año
d) 36 años de un siglo
10. Un Centro de Formación Profesional ofrece a la comunidad un curso gratuito de
computación. Por razones de infraestructura y organización, decidió dividir la oferta en 3
sedes con cupos limitados.
 El cupo fijado para la Sede 1 fue de 1200 alumnos. El primer día de inscripción se
3
anotó las partes del cupo de la sede.
4
3
 En la Sede 2, se inscribieron 480 personas, que representan los del cupo de la sede.
5
7
 En la Sede 3, se inscribieron 1750 personas, que representan las
partes del cupo de
4
la sede.
Responda las siguientes preguntas de acuerdo con la información anterior:
a) ¿Cuántos alumnos se inscribieron en la Sede 1 el primer día?
b) ¿Cuántas personas más se pueden anotar en la Sede 2?
c) ¿Cuál es el cupo de la Sede 2?
d) Sin calcular cuál es el cupo de la Sede 3, indique, basándose en la información dada
sobre la inscripción, ¿cómo resulta ser la cantidad de alumnos inscriptos respecto del
cupo de la Sede? Piense argumentos que justifiquen su respuesta.
e) ¿Cuál es el cupo de la Sede 3?
11. Se vendieron 9000 entradas para un recital de Los Auténticos Sonrientes. De las entradas
vendidas, la sexta parte fueron plateas, 3500 fueron para el césped y las demás fueron
populares.
De acuerdo con la información anterior:
a) ¿Cuántas plateas y cuántas populares se vendieron?
b) ¿Qué parte del total de entradas vendidas corresponden al césped?
c) ¿Qué parte del total de entradas vendidas corresponden a populares?
Operaciones en Z y en Q
Matemática A – Unidad 2
31
OPERACIONES EN Z Y EN Q
UNIDAD 2
Números enteros
Vamos a dejar por un rato el trabajo con los números fraccionarios para empezar a pensar en
los números negativos. Luego retomaremos el trabajo con estos números. Seguramente usted
en su vida cotidiana debe haber interactuado en varias oportunidades con números de signo
negativo. Alguna de las situaciones que le presentamos a continuación podría ser alguna de
ellas.
Elena, Francisco, Matilde y Carlos están jugando chin-chon. Elena es la encargada de
registrar los puntajes al finalizar cada mano. Al terminar la primera mano los puntajes
obtenidos por cada uno de ellos fueron los siguientes:
Elena
3
Francisco
17
Matilde
5
Carlos
–10
Recordamos cómo se anota el puntaje en cada mano del chin - chon: el que corta, quedándose sin ninguna carta, tiene un
puntaje de –10 (este es el puntaje ideal). Los demás suman los valores de sus cartas y el resultado de la suma es su puntaje.
Si un jugador logra quedarse sin ninguna carta pero no fue el que cortó, su puntaje es 0. Queda afuera de la partida aquel que
suma 100 puntos y gana el que obtiene el menor puntaje.
Luego de esta primera mano, ¿quién quedó en mejor situación?
En la segunda mano Elena cortó con –10; Francisco quedó con 4 puntos en la mano; a
Matilde la pescaron con 22 puntos y Carlos logró descartar todo.
¡Elena sigue con suerte!! En la mano siguiente volvió a cortar con –10. Esta vez lo agarróa
Francisco con 24 puntos, a Matilde apenas con 2 y a Carlos con 4 puntos.
Responda las siguientes consignas a partir de la información anterior:
1. ¿Cuál es el puntaje acumulado por cada uno de los jugadores luego de la segunda mano?
Ayude a Elena a registrar los puntajes de cada uno de los jugadores luego de la segunda
mano.
2. ¿Cuáles son los puntajes acumulados al finalizar la tercera mano? Continúe registrando
estos valores en otra fila de la tabla.
3. Teniendo en cuenta las reglas del juego y los puntajes acumulados hasta la tercera mano,
ordene los nombres de los jugadores según quién está primero, segundo, tercero y cuarto.
No se preocupe por ahora por chequear si sus respuestas a las preguntas anteriores son correctas. Continúe trabajando en la
nueva situación que un poco más adelante podremos reflexionar juntos sobre ellas.
___________________________________________________________________
El siguiente cuadro muestra las temperaturas máximas y mínimas registradas un día
deJulio en algunas ciudades importantes de la República Argentina:
Ciudad
Temperatura
mínima (en º C)
Temperatura
máxima (en º C)
Bariloche
Buenos Aires
C. Rivadavia
Córdoba
Formosa
Mar del Plata
Resistencia
Río Gallegos
Trelew
Ushuaia
–5
1
–6
0
3
–2
2
–8
–6
– 10
5
11
2
15
16
9
16
1
4
0
Operaciones en Z y en Q
Matemática A – Unidad 2
32
OPERACIONES EN Z Y EN Q
UNIDAD 2
Responda las siguientes preguntas a partir de los datos del cuadro:
1. ¿Cuál es la ciudad de la tabla que registra la temperatura mínima más baja?
2. La temperatura mínima de Bariloche, ¿es mayor o menor que la de Comodoro Rivadavia?
3. ¿Cuántos grados subió ese día la temperatura en la ciudad de Buenos Aires?
4. ¿Cuántos grados subió ese día la temperatura en la ciudad de Ushuaia? ¿Y en la ciudad
de Trelew?
5. En otra ciudad del sur argentino se registró una temperatura mínima de – 8 °C. Si se sabe
que la temperatura ascendió 6 °C a lo largo del día, ¿cuál fue la temperatura máxima
registrada en ese día?
____________________________________________________________________
Le planteamos una nueva situación. En este caso vinculada con la Historia:
Alejandro conquistó el mundo griego hacia fines del siglo IV antes de Cristo. Fundó la ciudad
de Alejandría en el año – 321 . Falleció a los 33 años, dos años después de la fundación. La
ciudad fue destruida para el año 642 y con su destrucción se perdió también la gran biblioteca
fundada por Ptolomeo en el año – 300.
Responda a partir de la información anterior:
1. ¿En qué año falleció Alejandro?
2. ¿Cuál fue su año de nacimiento?
3. ¿Durante cuántos años funcionó la biblioteca de Alejandría?
Para reflexionar sobre lo trabajado
En las tres situaciones que presentamos en esta actividad aparecen números que tienen un
signo “–” adelante. El signo de un número indica la relación de la cantidad con respecto a
una referencia que se toma como cero.
En el caso del juego del chin - chon, el cero representa al puntaje cero y los puntajes
negativos están indicando puntajes por debajo de cero. En el caso de las temperaturas, el
cero indica los 0 °C y las temperaturas negativas están indicando temperaturas inferiores a
cero grado. En el caso de las fechas, el cero indica el año 0, que en el mundo Occidental se
fija como el año de nacimiento de Cristo, y las fechas señaladas con un signo menos
representan fechas anteriores al nacimiento de Cristo. Podemos mostrar las fechas en una
línea de tiempo:
aC
dC
-275
-200
-150
-100
0
100
200
242
Este es un recurso que utiliza permanentemente la Historia. Téngalo en cuenta al trabajar en esa materia.
En la situación del juego de chin – chón le preguntamos quién tuvo el mejor puntaje luego de
la primera mano. Teniendo en cuenta que gana aquel que tiene el puntaje más bajo, el que
queda mejor ubicado luego de la primera mano es Carlos ya que –10 es el número más bajo
entre los puntajes registrados.
En la situación de las temperaturas le preguntamos cuál de las ciudades registró la
temperatura mínima más baja. La respuesta es Ushuaia ya que – 10 es la temperatura más
baja de todas las registradas en la tabla.
Si comparamos la temperatura mínima registrada en Bariloche con la registrada en Comodoro
Rivadavia, resulta que la primera (– 5 ºC) es más alta que la segunda (– 6 ºC). Es decir que el
número – 5 es más grande que el número – 6. Tenga en cuenta esta asociación, o cualquier
otra que le resulte útil, toda vez que tenga que comparar un número negativo con otro.
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS (Z)
Si agregamos al conjunto de los números naturales, el conjunto de los números negativos,
formamos el conjunto de los números enteros, al que simbolizamos con la letra Z.
Z = { ...; – 3 ; – 2 ; – 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...}
Operaciones en Z y en Q
Matemática A – Unidad 2
33
OPERACIONES EN Z Y EN Q
UNIDAD 2
Este conjunto también está formado por infinitos números con la particularidad que los
mismos son todos enteros. Las fracciones no forman parte de este conjunto.
Para representarlos geométricamente utilizamos una recta, en la que se marca el origen
donde se ubica el cero y se elige una unidad que se repite a izquierda y derecha del cero. A la
izquierda del cero se ubica a los números enteros negativos y a la derecha los números
enteros positivos. Así:
De acuerdo con lo observado al comparar los puntajes y las temperaturas, y teniendo en
cuenta la ubicación de los números negativos sobre la recta numérica, podemos concluir que,
entre dos números negativos, resulta ser menor el número que esté más alejado del cero. Si
ubicamos en la recta numérica al número – 6 y al número – 5, que expresan respectivamente
las temperaturas de las ciudades de Comodoro Rivadavia y Bariloche, el número – 6 queda
ubicado más lejos de 0 que el – 5. Por lo tanto el número – 6 es más chico que el número – 5.
Simbólicamente escribimos:
– 6  – 5 que se lee – 6 es menor que – 5, o, lo que es lo mismo
– 5  – 6 que se lee – 5 es mayor que – 6
El – 6 queda ubicado a la izquierda del – 5 sobre la recta numérica. En general, un número es
menor que otro si se ubica a la izquierda del otro en la recta numérica.
ACTIVIDAD Nº 5: “TRABAJANDO CON NÚMEROS ENTEROS”
1. Piense un par de ejemplos, diferentes a los dados, en los que intervengan números
negativos.
2. Indique cuál es el número entero que expresa cada una de las siguientes situaciones:
a) La cima de una montaña está a 300 metros del nivel del mar.
b) Se encontraron restos de animales que murieron 150 años antes de Cristo.
c) Un submarino está navegando a 123 metros bajo el nivel del mar.
d) Un buceador explora a 20 metros bajo el nivel del mar.
e) Platón murió en el año 348 antes de Cristo.
f) El ascensor llegó a la terraza situada en el piso 25 de una torre.
g) La cochera se encuentra en el segundo subsuelo.
3. Un buzo exploró incrustaciones coralinas a 50 m bajo el nivel del mar. Luego descendió 30
m más y recogió algas. Finalmente bajó 10 metros más y descansó. ¿Cuántos metros hay
entre las incrustaciones coralinas y el lugar de descanso? Indique el número entero que
representa el lugar de descanso.
4. En el dibujo que sigue se han representado posiciones de algunos objetos que están sobre
el nivel del mar y otros que están debajo de ese nivel.
F representa el extremo más alto de un faro que mide 12 m, A representa el extremo de
una antena de una radio de 8 m, M y N las posiciones de dos submarinos, que se
encuentran a una profundidad de 10 y 12 m.
Operaciones en Z y en Q
Matemática A – Unidad 2
34
OPERACIONES EN Z Y EN Q
UNIDAD 2
a) Escriba las posiciones de cada uno de los puntos utilizando números enteros.
b) Represente en la recta numérica los puntos F, A, M y N.
5. En la siguiente tabla se indican las fechas y las temperaturas mínimas registradas en
dichas fechas en la ciudad de Bahía Blanca. Indique el día en que hizo más frío.
Fecha
Temperatura (º C)
3 de junio
–1
4 de junio
–3
5 de junio
–5
6 de junio
0
6. Represente en una recta los números enteros pertenecientes al conjunto
A = {– 5 ; – 3 ; – 2 ; 0 ; 1 ; 4 ; 5}
7. Determine, en cada una de las siguientes rectas numéricas, la ubicación del número 0 y
del número 1:
8. Complete la línea de puntos con mayor () o menor () según corresponda:
4 ……….……… 7
– 4 ……….……. – 7
0 ……….…… – 7
– 4 ……….…….... 0
7 ……………… 4
– 7 ……………. – 4
9. Ordene de menor a mayor los siguientes números enteros:
– 6; – 17; 12; 7; – 19; 0; 4; 106; 14
____________________________________________________________________
Vamos a continuar trabajando con algunas cuestiones que usted fue pensando
al calcular los puntajes obtenidos por cada uno de los jugadores luego de la segunda y tercera
mano en el juego del chin – chón. Tenga en cuenta esas ideas que luego las retomaremos. Le
proponemos ahora resolver la siguiente actividad:
Le presentamos los siguientes casos:
CASO I
Jorge se desplaza en bicicleta por una ruta .
 El 0 indica la posición de inicio.
 Cada kilómetro que Juan se desplaza hacia el oeste se lo representa con y con el
número entero –1.
 Cada kilómetro que Juan se desplaza hacia el este, se representa con  y con el
número entero +1 o simplemente 1.
Se quiere saber, después de que realiza dos movimientos, cuál es su posición final.
CASO II
Pedro anota "sus bienes".
 Para indicar que tiene, por ejemplo, $ 2 lo indica así: +2 o simplemente 2.
 Para anotar que debe dos pesos lo escribe con el número entero –2.
 Cada dos anotaciones calcula cuál es su situación financiera.
1. Se anotaron en el siguiente cuadro algunas posibles situaciones de esos casos.
Operaciones en Z y en Q
Matemática A – Unidad 2
35
OPERACIONES EN Z Y EN Q
UNIDAD 2
Le pedimos que complete el cuadro. Para ello, traduzca las sumas de números enteros a cada
una de los casos concretos dados y los casos dados a sumas de números enteros.
En el cuadro anterior utilizamos dos situaciones concretas para interpretar la suma de números enteros. Recurra a ellas, o a
cualquier otra situación que Ud. le resulte significativa, cada vez que necesite operar con números enteros y encuentre
dificultades para hacerlo.
2. Un compañero suyo le dice que la situación de que Juan se mueva 6 km al este y luego 4
km al oeste, puede expresarse:
 así: 6 + (– 4) = 2, como una adición; o así:
 6 – 4 = 2, como una sustracción.
¿Está de acuerdo?
3. Si su compañero dijera: "Como yo sé sumar números enteros, también puedo restar
números enteros".
¿En qué cree que se basa para hacer dicha afirmación? Escriba la respuesta utilizando
sus palabras.
4. ¿Cuál o cuáles de las siguientes expresiones pueden expresar que "Juan se movió 8 km al
este, luego 3 km al oeste y, por último, 2 km al oeste"?
8–3–2
8 + ( – 3 – 2)
8 – (3 + 2)
5. ¿Cuál es el resultado de las siguientes sumas?
a) 8 + ( – 8) =
b) ( – 5) + 5 =
Para reflexionar sobre lo trabajado
De acuerdo con lo trabajado en las situaciones anteriores, para sumar números enteros
podemos asociar la suma pedida a una situación que nos permita pensar más sencillamente
Operaciones en Z y en Q
Matemática A – Unidad 2
36
OPERACIONES EN Z Y EN Q
UNIDAD 2
en el resultado de la cuenta. Así, a la suma entre dos números negativos, como por ejemplo
( – 3) + ( – 5), la podemos interpretar como la suma de dos deudas que, por supuesto, será
una deuda. En este caso el resultado es – 8.
Al sumar 7 + ( – 5) y, asociándolo a la situación de los bienes de Pedro, tenemos una deuda
de 5 pesos y 7 pesos para cancelarla. Podemos cancelarla y nos sobran 2 pesos. El resultado
de la suma es 2. Esta suma también puede escribirse como una sustracción: 7 – 5 = 2
En la suma ( 5 ) + ( – 7), tenemos una deuda de 7 pesos y solo 5 para pagar. Por lo tanto
seguiremos debiendo 2 pesos. El resultado de la cuenta es – 2. Esta cuenta también puede
escribirse: 5 – 7 = – 2.
Las sumas 8 + ( – 8) y ( – 5) + 5 dan ambas cero ya que la deuda y la cantidad de dinero con
la que se cuenta es la misma.
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: PROPIEDADES DE LA SUMA Y RESTA DE NÚMEROS
ENTEROS.
La suma de números enteros verifica las propiedades asociativa y conmutativa que ya
fueron analizadas al trabajar con los números naturales.
Además, dentro del conjunto de los números enteros, cada número tiene su opuesto. El
opuesto de un número es aquel que sumado a él da por resultado cero. Como por ejemplo
8 + ( – 8) = 0. De acuerdo con esto, 8 es el opuesto de – 8 y viceversa.
Para restar dos números enteros, podemos sumar al primer número el opuesto del segundo
número.
ACTIVIDAD Nº 6: “SUMAS Y RESTAS DE NÚMEROS ENTEROS”
1. Complete el siguiente cuadro en el que hemos identificado como –a al opuesto del número
a:
a
–a
3
–8
1234
2. Complete el siguiente cuadro en el que hemos identificado como b al opuesto del número
–b :
–b
13
– 28
12
b
3. De acuerdo con sus respuestas a los ítems 1. y 2., ¿El número – a es positivo o negativo?
4. Resuelva las siguientes sumas y restas:




–7 + 45 =
–7 – 45 =
–7 + ( – 45) =
7 + ( – 45) =




7 – (+45) =
–12 – 14 =
12 – 14 =
– 6 + ( –17) =
__________________________________________________________________
Continuaremos trabajando con la forma de operar con números enteros. Para ello le
proponemos resolver la siguiente situación:
Mauro tiene depositados $1200 de su sueldo en una caja de ahorro. Realiza dos extracciones
Operaciones en Z y en Q
Matemática A – Unidad 2
37
OPERACIONES EN Z Y EN Q
UNIDAD 2
consecutivas de $ 150 cada una en un cajero automático y deposita 3 cheques de $ 180 cada
uno que cobró a unos clientes a los que atiende por fuera de su empleo.
Responda a partir de la información anterior:
1. ¿Con qué tipo de números podemos expresar a cada uno de los depósitos y extracciones
realizadas por Mauro?
2. ¿Cuál es el saldo de la cuenta luego de realizar todas las operaciones nombradas?
____________________________________________________________________
Vamos a pensar juntos en una nueva situación:
Raúl y Ricardo pidieron un préstamo de $ 4500 a su padre para comprar un vehículo para ir a
trabajar.
La tía les regaló $ 2000 con los que saldaron parte de la deuda. El resto lo piensan financiar
en 25 cuotas fijas. ¿Cuál será el valor de la cuota? ¿Cuánto abonarán al cabo de 6 meses?
¿Y cuánto seguirán debiendo?
Para reflexionar sobre lo trabajado
Para expresar las extracciones que realizó Mauro de su cuenta podemos utilizar números
negativos. Si realizó 2 extracciones de $ 150 cada una, podemos escribir:
2 . ( –150) = – 300
Para expresar los depósitos utilizamos números positivos. Escribimos:
3 . 180 = 540
Para determinar el saldo de la cuenta luego de todas las operaciones, calculamos:
1200 + 2 . ( –150) + 3 . 180 = 1200 – 300 + 540 = 1440
En la situación de Raúl y Ricardo, si al dinero que pagan lo simbolizamos con números
positivos y, al que deben, con números negativos, podemos calcular la cantidad que deberán
abonar en cuotas de la siguiente forma:
$2000 – $ 4500 = – $ 2500
Como pagarán la deuda en 25 cuotas, para calcular el valor de la cuota hacemos:
– $2500 : 25 = – $100 de deuda mensual.
Al cabo de 6 meses abonarán $100 . 6= $600
Seguirán debiendo – $2500 + $600 = – $1900
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
En las cuentas anteriores podemos observar que cuando multiplicamos un número negativo
(la extracción) por un número positivo (la cantidad de extracciones) el resultado es negativo
(el total de dinero extraído).
Al multiplicar dos números negativos, por ejemplo, – 6. ( – 2) podemos aplicar la propiedad
asociativa del producto, que también se verifica para el producto entre números enteros, y nos
queda:
(–1) . 6 . (–2) = (–1). [ 6. ( –2)] = (–1) . [ –12] = – [ –12] ] = + 12
Lo mismo ocurre cualquiera sea el par de números negativos que se multipliquen. El producto
de dos números negativos es siempre positivo.
En síntesis:



El producto de dos números positivos, es positivo.
El producto de un número positivo y uno negativo, es negativo.
El producto de dos números negativos, es positivo.
En la situación de Raúl y Ricardo, pudimos observar que cuando dividimos un número
negativo (la deuda) por un número positivo (la cantidad de cuotas), el resultado es negativo.
Al dividir dos números negativos, por ejemplo, – 6 : ( – 2) podemos hacer lo siguiente:
Operaciones en Z y en Q
Matemática A – Unidad 2
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OPERACIONES EN Z Y EN Q
UNIDAD 2
– 6 : ( – 2) = – 6 . ( –
1
) =+3
2
En general:
 La división entre un número positivo y uno negativo da resultado negativo.
 La división entre dos números positivos da resultado positivo.
 La división entre dos números negativos da resultado positivo.
Extendemos a la operatoria entre números enteros, el orden de resolución de las
operaciones trabajadas con los números naturales y las fracciones. O sea que en una
operación en la que intervienen sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números
enteros
 Se resuelven primero las operaciones que figuran entre paréntesis.
 A continuación las multiplicaciones y divisiones.
 Por último las sumas y restas.
Le proponemos realizar la siguiente Actividad en la que podrá seguir trabajando con la
operatoria entre números enteros:
ACTIVIDAD Nº 7: “OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS ENTEROS”
1. En cada caso, complete el
 con el símbolo " = " o "
 ", según corresponda. En los
casos que complete con " = ", indique la propiedad que justifica la igualdad.
a) 18 + ( – 3) + 3
b) 24 : ( – 3 + 8)
c) 3 – 8


18
 24 : ( – 3) + 24 : 8
8–3
 ( – 3).5 + ( – 3).( – 2)
e) – 45 + 38 + 0 
38 + ( – 45)
f) –5 + ( – 2) + 8
 –5+6
d) ( – 3).(5 + ( – 2))
2. Teniendo en cuenta la convención sobre el orden en que se resuelven las operaciones,
calcule:
a) –3 – [5 + 2.( – 3)] =
b) 48 : ( – 2 + 6) – 5 . ( – 4) =
c) 17 – (5 – 8) – 3 . (5 – 8) + 3 : (5 – 8) =
d) ( – 8 – 2) . (4 + 5) + 38 : ( – 2) =
e) –1 + 3 . 5 – ( – 7 + 4. 3) =
¿Recuerda que comenzamos a trabajar los temas de esta unidad con las compras de la familia López? En ella intervenían números
con coma que llamamos números decimales. Vamos a volver a trabajar con este tipo de números considerando también la
posibilidad de que los mismos tomen valores negativos. Como por ejemplo en la siguiente situación:
____________________________________________________________________
Las acciones de las empresas líderes cotizan en bolsa y esta cotización varía
diariamente los días hábiles. El cuadro que sigue muestra los precios de algunas acciones del
mercado y su variación en pesos en una jornada cualquiera tal como aparece la información
en el diario todos los días:
Operaciones en Z y en Q
Matemática A – Unidad 2
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OPERACIONES EN Z Y EN Q
Empresa
Acindar
Aluar
Bco. Francés
Petrobras
Telecom
UNIDAD 2
Cierre (en $)
2,80
3,40
4,89
2,85
4,46
Anterior (en $)
2,72
3,17
4,90
2,82
4,54
Variación (en $)
0,08
0,23
-0,01
0,03
-0,08
Responda las siguientes consignas a partir de la información anterior:
1. ¿Cómo se habrán calculado cada uno de los valores de la última columna del cuadro?
2. ¿Qué interpretación le da al hecho de que en algunos casos la variación del precio de las
acciones haya sido positiva y en otros, negativa?
3. Teniendo en cuenta sus respuestas a las preguntas anteriores complete el siguiente
cuadro:
Empresa
Cierre (en $)
Anterior (en $)
Variación (en $)
Bansud
2,51
0,04
Com. del Plata
0,55
0,58
Molinos
3,26
- 0,28
Siderar
12,40
- 0,90
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: CONJUNTO DE NÚMEROS RACIONALES (Q)
En la situación de las acciones de la bolsa intervienen números decimales positivos y
negativos. Estos números no forman parte del conjunto de los números enteros (Z)
presentado anteriormente. De todos modos son números que usted conoce y que utiliza
cotidianamente.
La Matemática agrupa a todos estos números en un conjunto llamado conjunto de los
números racionales al que simboliza con la letra Q. Cada número racional puede
expresarse en forma de fracción o en forma decimal. En esta unidad ya trabajamos con la
idea de fracción y con la forma de operar con números fraccionarios. Los números
enteros también forman parte del conjunto de los números racionales ya que cualquiera
de ellos puede escribirse como una fracción de denominador 1.
_________________________________________________________________
Continuaremos trabajando con la forma decimal de un número racional a partir de la
resolución de la siguiente actividad:
Alejandro encontró una oferta en la librería de su barrio.
Cuadernos de 100 hojas
3 x $ 26
2 x $ 17,50
¿Cuál de las dos ofertas es más conveniente? Explique con sus palabras todo lo que tenga en
cuenta para responder.
Para reflexionar sobre los trabajado
Si queremos saber cuál de las dos ofertas es más conveniente tenemos que averiguar cuál es
el precio por cuadernos en cada caso. Para ello hacemos la división del precio de la oferta por
la cantidad de cuadernos que incluye en cada caso. En el primer caso:
26
20
20
20
2
Operaciones en Z y en Q
3
8,666…
Matemática A – Unidad 2
40
OPERACIONES EN Z Y EN Q
UNIDAD 2

Como esta cuenta no termina nunca, podemos escribir su resultado como 8, 6 . Por lo tanto,

el precio real del cuaderno en la primera oferta es de $ 8, 6 (aunque nosotros en nuestra vida
cotidiana redondearíamos este precio a un valor cercano como podría ser $ 8,65 u $ 8,70).
Si queremos saber cuánto pagaría Alejandro cada cuaderno si comprara la otra oferta,
hacemos:
17,50
15
10
0
2
8,75
Por lo tanto el precio de cada cuaderno en la segunda oferta es de $ 8,75.
Las dos divisiones anteriores pueden ser resueltas usando la calculadora. Si no lo ha hecho
aún compruebe los resultados de la división usando su calculadora.
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: EXPRESIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO RACIONAL

El precio del cuaderno en la primera oferta es de 8, 6 . Esta es una expresión decimal
periódica. Estas expresiones aparecen cuando, como en este caso, realizamos una división
que no termina nunca porque el resto nunca es cero y las cifras obtenidas en el resultado, en
algún momento empiezan a repetirse. Simbólicamente colocamos un arco sobre la cifra que
se repite indefinidamente.
En la Unidad 3 trabajaremos con la forma de encontrar la expresión fraccionaria de este tipo
de números.
El precio del cuaderno, en la segunda oferta, es de $ 8,75.
Esta es una expresión decimal exacta porque el resto de la división es cero. Toda expresión
decimal exacta se puede escribir como una fracción cuyo numerador es el número sin coma y
el denominador es un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales tiene el número. En
este caso:
35
875
8,75 =
que simplificando hasta encontrar su fracción irreducible resulta:
100
4
Se llama fracción decimal a toda fracción cuyo denominador es la unidad seguida de ceros
(10, 100, 1000, etc.). Sólo se pueden escribir como fracción decimal aquellas fracciones cuyo
denominador son potencias de 2 ó 5.
___________________________________________________________________
Continuaremos ahora trabajando con la forma de operar con números racionales.
Para ello le proponemos resolver la siguiente situación:
En un colegio los chicos de cuarto están organizando la fiesta de despedida de los chicos de
quinto. Juan, Lucas, Gabriel y María son los encargados de llevar las guirnaldas para adornar
el salón:
Juan llevó 3,5 metros, Lucas
3
5
7
metros, Gabriel
metros y María
metros.
4
2
4
Pedro, José, Mariana y Laura llevan las galletitas. Pedro llevó 4 paquetes de 400 g cada uno.
José 5 paquetes de
1
1
kg. Mariana 3 paquetes de
kg. Laura 6 paquetes de 200 g.
4
2
(Recuerde que 1 kg = 1000g)
Responda las siguientes preguntas a partir de la información anterior:
1. ¿Cuántos metros de guirnaldas había en total?
2. ¿Cuántos kilos de galletitas llevaron en total?
Operaciones en Z y en Q
Matemática A – Unidad 2
41
OPERACIONES EN Z Y EN Q
UNIDAD 2
Para reflexionar sobre lo trabajado
Para responder cuántos metros totales de guirnaldas compraron los chicos para adornar el
salón necesitamos sumar expresiones decimales con expresiones fraccionarias. Para poder
hacerlo tenemos que expresar todo en fracciones o todo en números decimales. Así:
Juan llevó 3,5 m =
35 7
m

10 2
3
m. Haciendo la división 3 dividido 4 expresamos en
4
Lucas llevó
forma decimal esta fracción. Es decir, Lucas llevó 0,75 m.
Gabriel llevó
María llevó
5
m = 2,5 m.
2
7
m = 1,75 m
4
Para calcular los metros totales de guirnalda comprados, podemos hacer la suma operando
con fracciones o con decimales. Si lo hacemos con fracciones, resulta:
7 3 5 7 14 3 10 7 34 17
   
 
 

2 4 2 4
4
4
4
4
4
2
Haciendo la división 17 dividido 2 podemos expresar la cantidad de metros de guirnalda en
forma decimal: 8,5m.
Si hubiéramos operado directamente usando las expresiones decimales, resultaría:
3,5 + 0,75 + 2,5 + 1,75 = 8,5 m
Para calcular cuántos kilogramos de galletitas llevaron también necesitamos expresar todos
los números en forma fraccionaria o decimal y en la misma unidad. Calculamos:
Pedro llevó 4 paquetes de 400 g c/u. En total llevó 1600 g que equivalen a 1,6 kg. Si
16
8
expresamos este número como fracción nos queda
que simplificando es equivalente a
10
5
1
5
=
kg que expresado en forma decimal es 1,25 kg
4
4
1
3
Mariana llevó 3 . =
kg que expresado en forma decimal es 1,5 kg.
2
2
kg. José llevó 5 .
Laura llevó
6 paquetes de 200 g c/u. En total llevó 1200 g que equivalen a1,2 kg.
12 6
expresamos este número como fracción nos queda
=
10 5
En total llevaron
Si
8 5 3 6
32 25 30 24 111
=
kg de galletitas. Expresando esta
  




5 4 2 5
20 20 20 20
20
cantidad en forma decimal, llevaron 5,55 kg de galletitas.
Si hubiéramos operado con números decimales, sumaríamos los números 1,6 + 1,25 + 1,5
+1,2 = 5,55 kg
ACTIVIDAD Nº 8: “OPERACIONES COMBINADAS CON NUMEROS RACIONALES”
Resuelva los siguientes cálculos combinados utilizando fracciones.
Tenga en cuenta que el convenio sobre el orden en que deben efectuarse las operaciones que realizamos con los números
naturales sigue teniendo validez en el conjunto de los números racionales. Si lo necesita retome también la forma de operar
con fracciones trabajada en esta unidad con la situación de los lotes de la inmobiliaria.
a)
1  3
.    0,2  b) 1  2 (0,3)  1 
3  4
3
2
c) 1 
5  1
4
.( 3)  0,3 : (0,1)  d) :     0,2 : 5 
2  2
3
Operaciones en Z y en Q
Matemática A – Unidad 2
42
OPERACIONES EN Z Y EN Q
7 2   6  4  1

+ 
: =
5 3  5  3 6
e) 6 + .
UNIDAD 2
f)
5 7   5   3  2,1 : 21
=
–
– .
2
6 3  2 
Una vez finalizado cada uno de los cálculos controle su resultado utilizando calculadora.
POTENCIACIÓN
Vamos a continuar trabajando con la situación de la despedida para reconocer otra de las
operaciones de la Matemática: la potenciación.
Para la despedida, los chicos de cuarto también tienen que hacer una cartelera. Lucas es el
encargado de prepararla y decidió dividirla en espacios iguales para escribir en cada uno de
ellos frases para sus compañeros. Si la cartelera es cuadrada y:
 sobre uno de los lados pudo ubicar 4 casilleros, ¿cuántos casilleros le quedaron en
total?
 sobre uno de los lados le quedaron 5 casilleros, ¿cuántos casilleros en total puede
dibujar?
 y necesita dibujar 36 casilleros, ¿cuántos casilleros por lado le quedan?
Para reflexionar sobre lo trabajado
Si le quedaron 4 casilleros en uno de los lados, como la cartelera es cuadrada, le quedan en
total 4 . 4 = 16 casilleros. Así:
Si le quedaron 5 casilleros en uno de los lados, como la cartelera es cuadrada, le quedan en
total 5 . 5 = 25 casilleros.
Si la cartelera debe tener 36 casilleros en total, se deben ubicar 6 casilleros por lado.
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: POTENCIACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
En la situación anterior, se multiplican en ambos casos dos números iguales. El producto de
números iguales se puede escribir en forma abreviada del siguiente modo: 4 . 4 = 4 2 y 5 . 5
= 5 2 . Que se leen “4 al cuadrado” y “5 al cuadrado” respectivamente. La operación que
resulta se llama potenciación. En general, expresamos el producto den veces un factor a,
n
como a .
n
Llamamos base al número a, exponente al número n y potencia al resultado de calcular a .
1
Además convenimos que el resultado de a0 es 1, (para a ≠ 0) y que el resultado de a es
a.Otros ejemplos:
2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 25
3 . 3 . 3 . 3= 3 4
También podemos escribir en forma abreviada el producto de números negativos. Por
ejemplo:(– 5) .(– 5) .(– 5) = (– 5) 3
(– 3 ) . (– 3 ) = (– 3 ) 2
Para resolver estos productos tenemos que tener en cuenta la regla de los signos de la
multiplicación de números enteros. Por lo tanto, en el primer caso en el que estamos
multiplicando una cantidad impar de números negativos, el resultado es negativo:
(– 5) 3 = –125. En general, cuando el exponente es impar el signo del resultado es igual al
signo de la base.
En el segundo caso, como la cantidad de números negativos es par, el resultado tiene signo
Operaciones en Z y en Q
Matemática A – Unidad 2
43
OPERACIONES EN Z Y EN Q
UNIDAD 2
positivo. Las potencias de exponente par dan como resultado números positivos.
Resolver la potencia de un número fraccionario, es equivalente a multiplicar al número
fraccionario por sí mismo tantas veces como indica el exponente. Por ejemplo:
2
5 5 5 . 5 25
5

   . 
4 4 4 . 4 16
 4
3
 1
El exponente también puede ser un número negativo. Por ejemplo:   . Para resolver
2
invertimos la base y luego resolvemos la potencia. Así:
 1
 
2
3
3
2
  8
 1
Otro ejemplo:
4
(2)
4
1
 1
   
16
 2
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: RADICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Cuando calculamos cuántos casilleros por lado debía tener la cartelera si se necesitaban 36
casilleros en total, buscamos qué número multiplicado por sí mismo dos veces es igual a 36.
Llamamos a esta operación radicación y escribimos: 36 = 6 .
Esta operación es la operación inversa de la potenciación y permite calcular cuál es el número
a que se ha multiplicado por sí mismo n veces para dar por resultado un número p.
Escribimos simbólicamente:
a =n p
Llamamos índice al número n, radicando al número p y a es la raíz enésima de p. Por
ejemplo: 5 32 = 2 porque 2  2 . 2 . 2 . 2 . 2  32
Cuando buscamos el número que multiplicado por sí mismo dos veces da por resultado otro
número p, estamos buscando la raíz cuadrada de p; el índice de esta raíz es 2 y escribimos
5
p . Por ejemplo:
9 =3
También para calcular las raíces de números negativos tenemos que tener en cuenta la regla
de los signos de la multiplicación de números enteros. Si buscamos, por ejemplo 3 8 estamos
pensando en qué número multiplicado por sí mismo 3 veces da 8. Este número es 2.
Si buscamos 3  8 tenemos que determinar qué número multiplicado por sí mismo 3 veces da
por resultado -8. Este número es -2.
Generalizando lo observado en los dos casos anteriores: las raíces de índice impar dan
como resultado números del mismo signo que el radicando.
Si buscamos 9 estamos buscando qué número multiplicado por sí mismo 2 veces da por
resultado 9. Este número es 3.
Si buscamos  16 estaríamos buscando qué número multiplicado por sí mismo 2 veces da
por resultado -16. Ese número no existe dado que el cuadrado de cualquier número entero
siempre es positivo.
Generalizando lo observado en los dos casos anteriores: en las raíces de índice par y
radicando positivo el resultado es positivo. Las raíces de índice par y radicando negativo no
se pueden resolver.
Cuando calculamos la raíz de un número fraccionario, tenemos que buscar la fracción que
resulta. Una forma sencilla de pensarlo es buscar las raíces del numerador y del denominador
por separado.
Operaciones en Z y en Q
Matemática A – Unidad 2
44
OPERACIONES EN Z Y EN Q
3
Por ejemplo:
UNIDAD 2
3
8
8 2
=3
=
27
27 3
ACTIVIDAD Nº 9: “TRABAJANDO CON POTENCIAS Y RAÍCES”
1. Utilice la definición de potenciación para calcular:
a) ( – 5) 1 =
b) ( – 2) 3 =
2
3
1
e)   =
2
 1
f)    =
 3
c) ( – 2) 4 =
d) ( – 876) 0 =
3
3
 1
g)    =
 3
 1
h) –    =
 3
2
2
 1
i) –    =
 3
2
j)   =k) ( – 5) 2 =
7
1
l)
3
1
=
2. Utilice la definición de radicación para calcular, cuando sea posible:
49 =
a)
e)
4
4
b)
 81 =
c) 3 125 =
81 =
f) 3  27 =
h)
4
=
9
d)
i)
3
 16 =

27
=
8
3. Un compañero hace la siguiente afirmación:
"Como 2 4 = 4 2 entonces la potenciación es conmutativa"
¿Está de acuerdo con su compañero? ¿Por qué?
4. Coloque en cada
el signo " = " ó "  ", según corresponda, considerando en cada caso
los valores de a y b indicados:
a) (a + b) 2
a b
a b
b)
c) ( a . b )
3
d) a  b
3
5
e) a : b
f)
a2 + b2
a
3
a .b
3
5
b
para a = 25 y b = 16
3
para a = 5 y b = 2
a b
3
(a:b)
a.b
para a = 5 y b = 3
5
para a = 27 y b = 8
para a = 10 y b = 5
para a = 9 y b = 4
5. Compruebe si en los siguientes ejemplos se cumple la propiedad distributiva de la
potenciación respecto de la resta, la multiplicación y la división
a) ( 5 – 3 ) 2 =
b) ( 2 . 3 ) 3 =
c) ( 8 : 2 ) 2 =
6. De acuerdo con las igualdades o desigualdades obtenidas en el ejercicio anterior, usted ha
podido verificar, con un ejemplo, que
a) La potenciación es distributiva respecto de .....................................................
b) La potenciación no es distributiva respecto de ................................................
c) La radicación es distributiva respecto de .........................................................
d) La radicación no es distributiva respecto de ...................................................
7. Si dentro de un tiempo le piden que resuelva la cuenta (a + b) 2 y le surge la duda sobre si
puede o no hacer a 2 + b 2 . ¿Qué podría hacer para verificar si es válida o no dicha
acción?
8. Decida si cada una de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas justificando su
respuesta en cada caso.
a)2 3 . 2 5 = 2. 2 7 b) 3 2 . 5 3 = 15 5 d) (2 3 ) 2 : 2 5 = 2 0
Operaciones en Z y en Q
Matemática A – Unidad 2
45
OPERACIONES EN Z Y EN Q
UNIDAD 2
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN Y LA
RADICACIÓN
De acuerdo con lo trabajado en la actividad anterior podemos observar algunas propiedades
de la potenciación:

Si bien en el ejemplo dado en el ítem 3. se verifica que 2 4 es igual a 4 2 , este ejemplo
es sólo una excepción. Por ejemplo, 3 2 no da lo mismo que 23 y lo mismo pasaría si
probáramos con otros pares de números. Entonces, la potenciación no es
conmutativa.
 De acuerdo con las igualdades o desigualdades obtenidas en el ítem 4. podemos decir
que, en general, la potenciación es distributiva respecto de la multiplicación y la
división y no es distributiva respecto de la suma y la resta.
 También se verifican otras propiedades que permiten realizar los cálculos de otra
manera, como el producto y división de potencias de igual base y potencia de potencia.
El producto de potencias de igual base es igual a otra potencia de lamismabase y
su exponente es la suma de los exponentes de las potencias dadas. Así:
a m . a n . a p = a mnp
La división de potencias de igual base es igual a otra potencia de igual base y su
exponente es la resta de los exponentes de las potencias dadas. Así:
a m : a n = a mn
Potencia de potencia es igual a otra potencia de la misma base y el exponente se
obtiene multiplicando los exponentes dados.
( a m ) n = a m.n
Las propiedades de la potenciación de números enteros se verifican para los números
racionales.
También en base a lo trabajado en la actividad anterior podemos observar que la
radicaciónes distributiva respecto de la multiplicación y la división y no es distributiva
respecto de la suma y la resta.
9. Decida si cada una de las siguientes igualdades son verdaderas o falsas justificando su
respuesta en cada una de ellas.
a) 3
8
8
-1  3
27
27
3
1
b) 4 . 9 = 4 . 9
c)
1
.
9
25
=
4
10. Determine el valor de
1
.
9
25
4
2,
3 y
5
EN TÉRMINO MATEMÁTICOS: NÚMEROS IRRACIONALES. CONJUNTO DE NÚMEROS
REALES
Sabemos, por definición de radicación, que
16  4 porque 4 2 = 16
Seguramente cuando intentó hacer lo mismo para calcular 2 ó 3 ó 5 no le fue posible
encontrar un número entero que elevado al cuadrado diera alguno de esos números. No
existe ningún número entero que elevado al cuadrado dé por resultado 2, 3 ó 5. Tampoco
existe un número racional que elevado al cuadrado dé por resultado estos valores.
Si calcula el resultado de cada una de estas raíces utilizando la calculadora, podrá encontrar
una aproximación de su valor pero nunca encontrará su valor exacto dado que las mismas
tienen infinitas cifras decimales no periódicas.
Operaciones en Z y en Q
Matemática A – Unidad 2
46
OPERACIONES EN Z Y EN Q
UNIDAD 2
3 = 1,732050808……
2 =1,414213562…..
5 = 2,236067978….
A los números que tienen infinitas cifras decimales no periódicas los llamamos irracionales.
Los números racionales junto con los irracionales forman el conjunto de números reales que
se indican con la letra R.
En síntesis…
Como pudimos observar a lo largo del trabajo en esta unidad, la Matemática agrupa a los
números en conjuntos. Trabajamos con los conjuntos de los números naturales (N),
númerosenteros (Z), números racionales (Q) y acabamos de presentar al conjunto de los
números reales (R).
Podemos agrupar también sólo algunos números de cada uno de estos conjuntos. Por
ejemplo, podemos armar un conjunto formado por los números 0, 1, 2, 3, 4 y 5. Escribimos a
este conjunto en lenguaje simbólico de dos maneras:
 Nombrando todos sus elementos, así: {0, 1, 2, 3, 4, 5}
 Indicando la característica que verifican los elementos del conjunto de modo que la
misma nos permita identificar cuáles son los números que lo forman.
Así: {x  N / x es menor o igual que 5} que leemos "conjunto formado por los
números x que pertenecen al conjunto de los números naturales y que son menores o
iguales que 5".
El símbolo x se utiliza para expresar en forma general a los elementos que forman el
conjunto y que verifican la característica indicada.
ACTIVIDAD Nº 10: “CONJUNTOS NUMÉRICOS”
A partir de la información anterior responda las siguientes consignas:
1. Exprese, cuando sea posible, cada uno de los conjuntos dados a continuación nombrando
todos sus elementos.
2. Represente todos los elementos de cada conjunto en las rectas dadas.
Para reflexionar sobre lo trabajado
Al responder lo pedido en las dos preguntas anteriores, habrá notado que podemos nombrar a
todos los elementos del conjunto sólo para los conjuntos A y C. Todos los demás conjuntos
están formados por infinitos elementos y resulta imposible nombrarlos a todos. De todos
modos, podemos representar los conjuntos en la recta numérica. Cuando la cantidad de
elementos del conjunto es infinita y estos elementos pertenecen al conjunto de números
Operaciones en Z y en Q
Matemática A – Unidad 2
47
OPERACIONES EN Z Y EN Q
UNIDAD 2
racionales Q o al conjunto de números reales R, la representación gráfica resulta una parte de
la recta comprendida entre los valores extremos del conjunto. Lo indicamos pintando o
sombreando la parte de la recta correspondiente.
Esto ocurre, como dijimos, si los elementos que forman el conjunto pertenecen al conjunto de
los números racionales Q o al conjunto de los números reales R. Si bien gráficamente no
notaremos diferencia entre un conjunto y otro, en un conjunto cuyos elementos sean números
reales habrá números que no se encuentran en un conjunto cuyos elementos sean números
racionales. No se preocupe demasiado por eso ahora. Ya volveremos a retomar estas ideas
en el Nivel C de la materia.
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: INTERVALOS
En general, un conjunto formado por números reales delimitado por dos números reales
cualesquiera, recibe el nombre de intervalo. En el conjunto E estamos definiendo un conjunto
de números reales delimitados por el -3 y por el 4 sin que estos dos valores formen parte del
conjunto. Llamamos intervalo abierto a ese conjunto y lo escribimos simbólicamente así:
(-3 ; 4).
El conjunto F está formado por todos los números reales ubicados entre -3 y 4 incluyendo
también al -3 y al 4. A este conjunto lo llamamos intervalo cerrado y lo escribimos
simbólicamente así:
[-3 ; 4].
En el conjunto G no está el -3 pero sí está el 4. Llamamos intervalo semiabierto o
semicerrado a este conjunto y lo escribimos simbólicamente así:
(-3 ; 4].
_________________________________________________________________
Seguiremos trabajando ahora con los números racionales para ver otra forma de
expresarlos:
Marcos y Joaquín están preparando una clase especial sobre los planetas del sistema solar y
la distancia que se encuentran del sol. Encontraron algunos datos interesantes:
Plutón es el planeta más alejado porque se encuentra a una distancia media de 5905000000
km del Sol y Mercurio el más cercano a 58000000 km
También descubrieron que hay una forma más corta para expresar estos números con
muchas cifras y pudieron escribir que Plutón se encuentra a 5,9 . 10 9 km del Sol y Mercurio a
5,8 . 10 7 km del Sol.
Responda las siguientes consignas a partir de la información anterior:
1. Si la distancia media de Venus al Sol es de 108000000 km, ¿cómo podemos expresar esta
distancia de manera más corta?
2. Exprese de manera más corta la distancia media de la Tierra al Sol que es de 149000000
km.
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: NOTACIÓN CIENTÍFICA
En la situación anterior, Marcos y Joaquín, cuando escribieron las distancias medias al Sol de
los planetas del sistema solar usaron notación científica.
Esta forma de escritura de los números se utiliza para abreviar números muy grandes o
muy pequeños. Consiste en escribir el número en forma de producto entre un número
decimal menor que 10 y una potencia de 10.
Para escribir un número muy pequeño, por ejemplo el volumen de una célula humana,
que es 0,000000004 cm 3 lo expresamos como 4. 10 9 cm 3 .
Operaciones en Z y en Q
Matemática A – Unidad 2
48
OPERACIONES EN Z Y EN Q
UNIDAD 2
ACTIVIDAD Nº9:“TRABAJANDO CON NOTACIÓN CIENTÍFICA”
1. Exprese como número decimal:
3 . 10 4 =
8,02 . 10 12 =
3,21 . 10 7 =
2. Exprese como número decimal:
1,002 . 10 10 =
3 . 10 4 =
8,02 . 10 12 =
3,21 . 10 7 =
1,002 . 10 10 =
3. Los números dados en los ítems 1. y 2. de esta actividad están expresados como una
multiplicación de un número mayor o igual que 1 y menor que 10, por una potencia de 10.
Es decir, están expresados utilizando notación científica. Tenga en cuenta los resultados
obtenidos en cada uno de los casos anteriores y lo visto en el En términos matemáticos
anterior para expresar los siguientes números utilizando notación científica:
a) 2.000.000
e) 0,00000000535
b) 49.000.000.000
f) 0,000000076
c) 1.040.000.000.000
g) 0,02
d) 8.902.000.000
h) 0,0768
4. Complete cada
con el número correspondiente de modo que las igualdades resulten
verdaderas:
a) 45367 = 4,5367 . 10
b) 0,00005890 = 5,89 . 10
c) 4238,53 = 4,23853 . 10
d) 7,3 . 1015 = 73000 . 10
e) 5,8 . 10 3 = 0,000058 . 10
5. Si cuenta con una calculadora científica, calcule:
a) 8730000000 . 439100000
b) 0,000000564 : 32000000
Uso de calculadora científica
Al resolver los cálculos anteriores su calculadora le devolvió resultados como los siguientes:
Para el ítem a): 3,833343
18
. Este número está escrito utilizando notación científica. Al leerlo, usted debe interpretar el
siguiente resultado: 3,833343 . 10
Para el ítem b): 1.765
1,765 . 10
14
14
18
que es 3833343000000000000.
Este número también está escrito utilizando notación científica y debe interpretarse como
que es 0,00000000000001765.
6. a) Intente resolver la siguiente cuenta con su calculadora científica:
367000000000000 + 566600000000
¿Qué es lo que ocurre? ¿Puede introducir todas las cifras de cada número en la
máquina?
b) Escriba la operación del ejercicio anterior expresando los números dados usando
notación científica.
Para reflexionar sobre lo trabajado
En la mayoría de las calculadoras comunes, se pueden cargar números de hasta10 ó 12
cifras. Es decir que los números dados para operar en el ítem 6. no se pueden cargar en esas
máquinas. Entonces, ¿cómo hacer para operar en la calculadora con este tipo de números?
Tenemos que expresarlos utilizando notación científica.
La operación dada para resolver expresada utilizando notación científica nos queda así:
3,67.10 14 + 5,666.10 11 . Para operar con la calculadora cargando los números expresados de
esta manera tenemos que usar la tecla “EXP”.
Para introducir en la calculadora el número 3,67.10 14 , debe teclear:
3,67  EXP  14
y aparecerá en pantalla escrito así: 3,67 14
Operaciones en Z y en Q
Matemática A – Unidad 2
49
OPERACIONES EN Z Y EN Q
UNIDAD 2
c) Usando su calculadora, termine de resolver el cálculo pedido en el ítem 6. a).
7. Exprese cada una de las siguientes medidas utilizando notación científica:
a) Un virus mide aproximadamente 0,000000018 metros de ancho.
b) Las bacterias miden 0,000002 metros de diámetro.
c) Una molécula de hidrógeno mide alrededor de 0,00000001 cm de diámetro.
d) Una molécula de hemoglobina mide alrededor de 0,000001 cm de diámetro.
e) Un átomo mide aproximadamente 0,00000002 cm de diámetro.
8. a) Si compara una molécula de hidrógeno con una molécula de hemoglobina, ¿cuál de
ellas tiene mayor diámetro?
b) Si las moléculas de hidrógeno pudieran ponerse en fila, ¿cuántas moléculas serían
necesarias para equiparar el diámetro de una molécula de hemoglobina?
Para concluir…
Como cierre del trabajo realizado en esta unidad, le proponemos que reflexione acerca de lo
aprendido a lo largo de la unidad en relación con:



Los diferentes conjuntos numéricos: N, Z, Q y R.
Interpretación del concepto de fracción en situaciones concretas.
Operaciones con números enteros y fraccionarios combinando varias de
ellas.
 Propiedades de las operaciones en los diferentes conjuntos numéricos.
 Diferentes formas de escribir a un número racional: fracción, decimal,
notación científica.
Si puede reconocer estos temas y pudo resolver las actividades propuestas en relación con
cada uno de ellos, entonces está en condiciones de realizar la siguiente actividad integradora.
Sino, le proponemos repasar lo visto hasta ahora, y/o solicitar ayuda en alguno de los
espacios de orientación que le ofrece Adultos 2000 y encarar la actividad integradora luego de
haber resuelto sus dudas.
ACTIVIDAD INTEGRADORA
Gustavo y Florencia se fueron juntos de vacaciones llevando $ 1250 en total. Durante la
primera semana de vacaciones gastaron la mitad del dinero que llevaban.
1. ¿Cuánto dinero les quedó para el resto de las vacaciones?
2. De acuerdo con lo ocurrido durante la primera semana, ¿cuántos días más cree usted que
podrían seguir de vacaciones? Explique por qué
Al ver lo que estaba ocurriendo con su dinero, Gustavo y Florencia decidieron ajustar los
gastos para poder extender un poco más sus vacaciones: la segunda semana gastaron la
mitad de lo que les quedaba.
3. ¿Cuánto dinero gastaron en la segunda semana?
4. ¿Qué fracción del dinero con el que salieron gastaron durante la segunda semana?
5. ¿Qué parte del dinero con el que salieron les queda al finalizar la segunda semana de
vacaciones?
6. Si durante el resto de las vacaciones gastan por semana la misma cantidad de dinero que
durante la segunda semana, ¿podrían llegar a estar un mes de vacaciones? Explique por
qué. Si su respuesta es negativa indique de qué modo deberían producirse los gastos para
que lograran llegar al mes de vacaciones.
Durante la tercera semana decidieron movilizarse a dedo para ahorrar el dinero que gastarían
en transporte. Recorrieron 360 km en tres autos. Con el primer auto recorrieron los 2/3 de la
distancia total. Con el segundo auto recorrieron las tres cuartas partes de la distancia que les
faltaba, y el tercer auto los alcanzó hasta la ciudad de Bariloche que era su destino final.
Operaciones en Z y en Q
Matemática A – Unidad 2
50
OPERACIONES EN Z Y EN Q
UNIDAD 2
7. ¿Cuántos kilómetros recorrieron con el primer auto?
8. ¿Qué fracción del recorrido total hicieron con el segundo auto?
9. ¿Cuántos kilómetros recorrieron en la tercera etapa del viaje a dedo
Operaciones en Z y en Q
Matemática A – Unidad 2
51
ECUACIONES E INECUACIONES
UNIDAD 3
En esta unidad, trabajaremos con la forma de plantear y resolver ecuaciones con una
incógnita. La resolución de ecuaciones es una herramienta que utiliza permanentemente la
Matemática para buscar respuestas a los problemas que plantea. También es una
herramienta utilizada habitualmente por otras ciencias que utilizan recursos matemáticos para
encontrar solución a sus problemas.
Si bien, la mayoría de los problemas que usted resuelve en su vida cotidiana no requieren del
planteo de una ecuación para ser resueltos, hay muchos problemas para cuya resolución es
necesario, y a veces imprescindible, el planteo y resolución de una ecuación. Pensando en
esto es que le proponemos trabajar con la traducción al lenguaje simbólico de enunciados de
diversos problemas y en la resolución de esos problemas a través de la solución de las
ecuaciones planteadas. Esto quiere decir que, a lo largo de toda la unidad, estaremos
retomando lo trabajado en las unidades 1 y 2 en cuanto a la forma de expresar en forma
simbólica enunciados coloquiales y a las operaciones entre números racionales. Vuelva a lo
trabajado allí toda vez que se le presente una dificultad vinculada con temas específicos de
esas unidades.
Trabajaremos también con el planteo de inecuaciones y la forma de expresar al conjunto
solución de las mismas.
Comenzaremos el estudio de la unidad trabajando con …
ECUACIONES
Para introducirnos en este tema, le proponemos pensar juntos en la siguiente situación
________________________________________________________________
En un puesto de un mercado, la balanza no puede medir pesos inferiores a 100
gramos. Pero el encargado del puesto debe vender mercaderías que pesen menos de 100
gramos. Se pregunta: “¿Cómo podré hacer para efectuar los pesajes?”
Le plantea esta inquietud a un cliente que le propone lo siguiente: “Consiga una pesa de 100
gramos y úsela en todas las ocasiones que deba pesar mercaderías de menos 100 gramos.
Ponga la pesa en la balanza, junto con la mercadería, y observe lo que marca la balanza.”
El puestero puso en práctica la propuesta de su cliente. Consiguió la pesa de 100 gramos y la
utilizó en cada oportunidad que vendió mercaderías que pesaban menos de 100 gramos.
Responda las siguientes preguntas vinculadas con la situación anterior:
1. En una ocasión debió vender 75 gramos de una mercadería. ¿Cuánto debió marcar la
balanza?
2. En otra venta, la balanza marcó 182 gramos. ¿Cuánto pesaba la mercadería que vendió?
3. En otra oportunidad, la aguja de la balanza se detuvo en 163 gramos. ¿Cuánto pesó la
mercadería entonces?
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: INCÓGNITA
El encargado del puesto tiene problemas con su balanza para saber cuál es el peso de la
mercadería vendida si el peso de la misma es inferior a 100 gramos. En esos casos, el peso
de la mercadería es un valor desconocido.
En general, a un valor desconocido lo llamamos incógnita.
Responda las siguientes preguntas teniendo en cuenta que la incógnita de la situación es el
peso de la mercadería comprada, cuando el peso de la misma es inferior a 100 gramos:
1. Sabiendo que el puestero para realizar el pesaje en esos casos utiliza una pesa de 100
gramos, ¿con qué cuenta se calcula el peso total que marca la balanza?
Descríbala con sus palabras.
Ecuaciones e inecuaciones
Matemática A – Unidad 3
52
ECUACIONES E INECUACIONES
UNIDAD 3
2. Si identificamos con la letra x a la incógnita de la situación, es decir, al peso de la
mercadería cuando este peso es inferior a 100 gramos, ¿cómo escribiría la cuenta que
debe realizarse con el valor de x para calcular el peso total que el puestero pone en
la balanza?
3. Teniendo en cuenta su respuesta al ítem anterior, escriba una igualdad que permita
describir la situación cuando la balanza marca 182 gramos. Para eso tenga en cuenta que
en la balanza están la pesa de 100 gramos y la mercadería que pesa x gramos.
4. ¿Cómo sería la igualdad para el caso en que la balanza marcó 163 gramos?
5. ¿Qué cuenta hizo en cada uno de los casos mencionados para encontrar el peso x de la
mercadería?
Para reflexionar sobre lo trabajado
La igualdad x + 100 = 182 permite describir la situación en la que la balanza marca 182
gramos al poner la pesa de 100 gramos y la mercadería de x gramos. Para averiguar cuánto
pesa la mercadería, seguramente hizo la cuenta 182 - 100 = 82. Es decir que trabajó con la
operación inversa de la suma, que es la operación que aparece en la igualdad planteada. Así
halló el peso de la mercadería, que en este caso es de 82 gramos.
Del mismo modo, si la balanza marcó 163 gramos, la igualdad que describe la situación es x +
100 = 163 y el peso de la mercadería lo averiguamos resolviendo la cuenta 163 -100 = 63
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: ECUACIÓN.
VERIFICACIÓN DE UNA SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
DE
UNA
ECUACIÓN.
A igualdades como x + 100 = 182 y x + 100 = 163 las llamamos ecuaciones. En ellas
podemos observar una expresión a cada “lado” del signo igual. Denominamos “miembro” a
cada una de las expresiones escritas a cada lado de la igualdad. En la ecuación x + 100 = 182
, el primer miembro es x + 100 y el segundo miembro es 182.
En general, denominamos ecuación a cualquier igualdad en la que aparecen una o más
incógnitas. Estas pueden ubicarse en uno o en ambos miembros de la igualdad. En esta
unidad, trabajaremos con ecuaciones que tengan sólo una incógnita.
A partir de la ecuación x + 100 = 182, hemos determinado que el valor de la incógnita es x =
82. Esta es la solución de la ecuación planteada.
En general, denominamos solución de una ecuación al valor o valores que puede tomar
la incógnita para que la igualdad planteada sea cierta. El proceso a través del cual se
comprueba la validez de la igualdad para el valor o los valores hallados se denomina
verificación.
Para saber si la solución hallada en la ecuación x + 100 = 182 verifica la igualdad, debemos
reemplazar el valor numérico de x en la ecuación, resolver las operaciones con ese valor y
comprobar que dicha igualdad se mantiene. Es decir:
82 + 100 = 182
Resolviendo:
182 = 182
Y se verifica la igualdad.
Si esto ocurre podemos estar seguros que x = 82 es la solución de la ecuación dada. Verifique
usted mismo la solución encontrada para la ecuación x + 100 = 163.
En casos sencillos como el anterior quizá la verificación es intuitiva pero no ocurre así en todos los casos. Por eso es bueno
que tenga en cuenta este recurso al momento de resolver ecuaciones para poder en forma autónoma evaluar si la resolvió en
forma correcta o no.
Ecuaciones e inecuaciones
Matemática A – Unidad 3
53
ECUACIONES E INECUACIONES
UNIDAD 3
ACTIVIDAD Nº 1:“VERIFICACIÓN DE ECUACIONES”
A medida que vaya resolviendo la Actividad, puede controlar sus respuestas con las dadas al
final de la Unidad 3.
1. En cada uno de los siguientes casos verifique que:
a) x = -4 es solución de la ecuación 3 . x + 5 = -7
b) x = 2 es solución de la ecuación
1
. x - 5 = -2 . x
2
c) x = 3 es solución de la ecuación x2 – 9 = 0
d) x = -3 es solución de la ecuación x2 – 9 = 0
e) x = 0 es solución de la ecuación 5 . (x – 10) = x – 50
2. A continuación, en la columna de la izquierda aparecen varias ecuaciones y en la columna
de la derecha se proponen posibles soluciones de las mismas. Le pedimos que una con
flechas cada ecuación con su (o sus) soluciones. Tenga en cuenta que puede haber
números de la columna de la derecha que sean solución de más de una ecuación y otros
que no sean solución de ninguna. (Sugerencia: no estamos esperando que usted resuelva
las ecuaciones dadas sino que detecte entre las soluciones dadas cuál corresponde a
cada ecuación)
Ecuaciones
Solución posible
3.x–4=x
x=0
40
x=
3
x=2
5.x=8.x
2 . (x – 4) = x – 8
5 1

   x  2
4 2

7 – (2 . x – 7) = 0
3
1
 x   13
2
2
x = -2
x = -7
x=9
5
4
x=7
x=
Vamos a retomar el trabajo con la situación del puesto del mercado. Allí hemos trabajado con
un par de ecuaciones sencillas. Para su resolución utilizamos la operación inversa de la
operación que aparece planteada en la ecuación.
Podemos hablar, entonces, de operaciones directas o que permiten “hacer” la expresión
dada en la ecuación y de operaciones inversas o que permiten “deshacer” la expresión
dada en la ecuación.
Le proponemos pensar a cada operación como una máquina que hace una cuenta. Vamos a
llamar “operador directo” a la máquina que permite “hacer” o “armar” una expresión. Como
cada operación tiene una operación inversa, también podemos pensar a cada operación
inversa como una máquina. Llamamos “operador inverso” a esta máquina que permite
“deshacer” o “desarmar” una expresión.
Por ejemplo, si nos referimos a la situación de la balanza, tenemos:
Un operador directo: Es una máquina que “suma 100”. Es decir que a cada número que
entra a la máquina le suma 100 y da un resultado a la salida.
Un operador inverso: En relación con el anterior, es una máquina que deshace lo que hizo la
anterior. Es decir que a cada número que entra le resta 100y da un resultado a la salida.
Ecuaciones e inecuaciones
Matemática A – Unidad 3
54
ECUACIONES E INECUACIONES
UNIDAD 3
Podemos representar estos operadores de la siguiente manera:
Entra
Sale
Suma 100
Operador directo: “hace” o “arma”
Entra
Sale
Resta 100
Operador inverso: “deshace” o“desarma”
Para cada una de las ecuaciones dadas a continuación, responda cada una de las siguientes
consignas teniendo en cuenta el funcionamiento descripto para los operadores:
 Represente el operador directo que arma la ecuación.
 Represente el operador inverso correspondiente que le permite “desarmar” o resolver la
ecuación anterior.
 Escriba en forma simbólica lo expresado en el operador inverso.
 Verifique la solución hallada.
Las ecuaciones son:
1. x + 100 = 163
2. x - 15 = 32
3. x : 7 = 23
4. 20 .x = 600
También se pueden combinar operadores. Por ejemplo, podemos combinar un operador que
multiplica por 2 con otro que resta 5. Podemos hacerlo poniendo primero el operador que
multiplica por 2 y después el que resta 5. El esquema correspondiente es el que sigue:
Pero también podemos poner primero el operador que resta 5 y después el que multiplica por
2. En este caso, el esquema sería:
Responda a partir de lo que observa en los esquemas anteriores:
1. ¿Influye el orden en que se combinan los operadores en el resultado de las
operaciones? Para responder realice las cuentas propuestas por los operadores
combinados utilizando los números indicados en la entrada de cada uno de ellos.
2. Escriba con cálculos combinados, las cuentas realizadas con cada combinación de
operadores.
Combinando operadores, por ejemplo, se puede “armar” la ecuación 3 . x - 7 = 2.El esquema
correspondiente queda así:
Ecuaciones e inecuaciones
Matemática A – Unidad 3
55
ECUACIONES E INECUACIONES
UNIDAD 3
También se puede “desarmar” o resolver la ecuación 3 . x - 7 = 2. El esquema de operadores
queda así:
A partir del último esquema:
1. Describa, con sus palabras, qué debe tener en cuenta para resolver una ecuación
usando operadores. Para eso, tenga en cuenta el orden en que resuelve las operaciones
en el operador que “hace” y el orden en que las resuelve en el operador que “deshace”.
2. Dibuje los operadores que “hacen” o “arman” cada una de las siguientes ecuaciones y
luego los operadores que “deshacen” o “desarman” cada una de ellas. Obtenga el valor de
x que verifica cada una de las ecuaciones. Para hacerlo tenga en cuenta todo lo trabajado
anteriormente.
a) 8 . x + 7 = 79
b) 5 . (x - 6) = 105
c) (x + 3) : 4 = 12
d) x : 4 + 3 = 12
e) (x + 5) : (-3) = -2
f) 2 . x - 45= -23
3. Verifique la solución hallada en cada una de las ecuaciones resueltas en el ítem 2.
Para reflexionar sobre lo trabajado
Lo pedido en el ítem 2. es equivalente a solicitarle que resuelva cada una de las ecuaciones
planteadas. Habrá observado que para resolver una ecuación, se deben tener en cuenta
tanto las operaciones que se realizaron como el orden en que las mismas fueron
hechas. Esto es importante porque para desarmar esa expresión se debe trabajar con las
operaciones inversas y en el orden inverso.
Por ejemplo, veamos el caso de la ecuación del ítem e). Para armar la expresión, primero
sumamos 5 y después dividimos por -3. Mostramos los operadores correspondientes:
Para desarmar la expresión, primero multiplicamos por -3 y después restamos 5. Los
operadores son:
Llegamos así a la solución de la ecuación: x = 1.
Ecuaciones e inecuaciones
Matemática A – Unidad 3
56
ECUACIONES E INECUACIONES
UNIDAD 3
Si reemplazamos el valor de x de la ecuación (x + 5) : (-3) = -2 por el valor hallado al
resolverla, podemos comprobar que el mismo es correcto ya que se verifica la igualdad:
(1 + 5) : (-3) = 6 : (-3) = -2
En conclusión, para resolver una ecuación, le proponemos que primero piense las
operaciones que “arman” la ecuación y en el orden en el que fueron hechas. Recién cuando
tenga eso claro, empiece a resolver la ecuación “deshaciendo” cada una de las operaciones
intervinientes en el orden inverso al que fueron hechas.
Para continuar trabajando con el planteo y la resolución de ecuaciones, le proponemos
resolver una nueva situación:
________________________________________________________________
En una fábrica de jugos hay distintas máquinas que se ocupan de la elaboración.
Llamaremos x a la cantidad de litros de jugo que elabora cada máquina durante una hora de
funcionamiento. Ésta será la incógnita.
Responda las siguientes preguntas:
1. Si una máquina funciona durante 3 horas, ¿con qué cuenta podría calcularse la cantidad
de litros de jugo elaborados por dicha máquina durante ese período de tiempo?
2. ¿Y si trabajara durante 5 horas?
Un día se observó la producción de jugos en cuatro máquinas distintas, con la intención de
averiguar la cantidad de jugo que produce cada una por hora de funcionamiento.
Al iniciar el control, había 40 litros en el depósito de cada una de las máquinas. Al concluir el
día, cada uno de dichos depósitos tenía 100 litros. Las máquinas no funcionaron
simultáneamente.
 La máquina Nº 1 funcionó durante una hora a la mañana y 2 horas a la tarde. El
encargado de la observación anotó la producción de jugo de esta máquina, en ese día,
así:
40 + 1 . x + 2 . x = 100
Litros finales
Litros agregados por las dos horas que funcionó a la tarde
Litros agregados por la hora que funcionó a la mañana
Litros iniciales
Fíjese que lo que anotó el encargado es una ecuación con incógnita x. No pierda de vista lo que significa x en esta ecuación.



La máquina Nº 2 funcionó una hora a la mañana, una hora a la tarde y una hora a la
noche.
La máquina Nº 3 funcionó 3 horas a la mañana.
La máquina Nº 4 funcionó 2 horas a la mañana, 2 horas a la tarde y 2 horas a la noche.
De acuerdo con el funcionamiento descripto para las máquinas 2, 3 y 4, ¿cómo anota el
encargado la producción observada para cada una de las máquinas? Escriba las ecuaciones
correspondientes a cada una de las máquinas.
Para reflexionar sobre lo trabajado
Las ecuaciones que escribió el encargado fueron:
 40 + 1 . x + 2 . x = 100
 40 + 1 . x + 1 . x + 1 . x = 100
 40 + 3 . x = 100
 40 + 2 . x + 2 . x + 2 . x = 100
¿Coinciden con las que escribió usted?
Ecuaciones e inecuaciones
Matemática A – Unidad 3
57
ECUACIONES E INECUACIONES
UNIDAD 3
Teniendo presente el recurso de los operadores que “hacen y “deshacen”, responda la
siguiente pregunta:
¿Con cuál de las ecuaciones cree que sería más fácil determinar la cantidad x de litros que
elabora en una hora la máquina correspondiente?
Para reflexionar sobre lo trabajado
Si expresamos con la letra x a la cantidad de jugo que elabora por hora cada una de las
máquinas, para expresar la cuenta que hacemos para calcular la cantidad de jugo elaborado
por una máquina durante 3 horas de funcionamiento escribimos 3.x.
La ecuación que describe lo ocurrido con el funcionamiento de la máquina Nº 1:
40 + 1 . x + 2 . x = 100
también puede escribirse como 40 + 3 . x = 100, ya que la máquina funcionó en total durante
3 horas.
Lo mismo ocurre con la máquina N° 2 que también trabajó 3 horas en total, una hora a
la mañana, una hora a la tarde y una hora a la noche.
La ventaja que brinda escribirlas de esta forma es que para resolver esta última
ecuación se puede utilizar el recurso de "hacer" y "deshacer".
________________________________________________________________
1. Responda las siguientes consignas teniendo en cuenta las conclusiones anteriores:
a) ¿Cómo podría expresar la ecuación 40 + 2 . x + 2 . x + 2 . x = 100 de modo que
pueda resolverse usando el recurso de “hacer” y deshacer”?
b) Para cada una de las máquinas, muestre cómo puede calcularse la cantidad x
de litros que elabora en cada hora de funcionamiento. Es decir, resuelva las
ecuaciones correspondientes.
2. Escriba cada una de las siguientes ecuaciones de modo que sea posible resolverlas
utilizando el recurso de "hacer" y "deshacer". Halle el valor de x y verifique la solución
hallada en cada caso (al resolver, trate de imaginar en cada ecuación la situación
concreta planteada anteriormente)
a) 50 + x + 3x = 170
b) 2x + 20 + x = 110
Para reflexionar sobre lo trabajado
La ecuación50 + x + 3x = 170 también puede escribirse como 50 + 4x = 170 ya que la
máquina trabajó en total 4 horas. De manera que la máquina tenía 50 litros iniciales y luego de
cuatro horas, tenía 170 litros. Para resolverla usando el recurso de “hacer” y “deshacer”
pensamos primero en los operadores que “hacen” la ecuación para luego resolverla
“deshaciendo” estos operadores.
En el operador que “hace” se combinan dos operadores: el primero multiplica por 4 al dato
que ingresa (en este caso x) y el segundo suma 50 al dato que ingresa (en este caso 4x). Por
lo tanto deshacemos estos dos operadores en el orden inverso en el que actúan: primero
deshacemos lo hecho por el operador que actuó último, que es el que sumó 50, y luego
deshacemos al operador que multiplicó por 4.
¿Cómo deshacemos lo hecho por el operador que suma 50? Restando 50. Escribimos:
4x = 170 – 50
4x = 120
Para deshacer lo hecho por el operador que multiplica por 4 dividimos por 4. Escribimos:
x = 120 : 4
x = 30
De la misma forma resolvemos la ecuación 2x + 20 + x = 110. La ecuación puede escribirse
como 3x + 20 = 110 y resolviendo llegamos a 3x = 90 y por lo tanto x = 30.
¿Realizó la verificación pedida? Si no lo hizo hágalo ahora. Luego resuelva esta nueva
situación:
Ecuaciones e inecuaciones
Matemática A – Unidad 3
58
ECUACIONES E INECUACIONES
UNIDAD 3
________________________________________________
Durante el mes de noviembre puede leerse el siguiente cartel en un lavadero
artesanal de autos de la ciudad de Buenos Aires:
ATENCIÓN
O F E R T A D E L
M E S
PARA TAXIS Y REMISES
“Con el pago de 1 lavado más $10,
obtenés 3 lavados y ahorrás $20”
Si utilizamos la letra x para expresar el precio del lavado, ¿cuál es la ecuación de incógnita x,
que describa la situación planteada en el lavadero como la oferta del mes?
Para reflexionar sobre lo trabajado
La ecuación que permite calcular el precio del lavado de oferta es 1x + 10 = 3x – 20.
Veamos: la incógnita x representa al precio de un lavado de manera que 1x es precio de un
lavado y 3.x es el precio de tres lavados.
El primer miembro de la igualdad nos dice que debemos pagar $10 más por un lavado para
conseguir la oferta y poder así obtener $20 de descuento al hacer los 3 lavados ofrecidos (o lo
que es lo mismo restamos $20).
A diferencia de las ecuaciones resueltas hasta este momento la incógnita x aparece en ambos
miembros de la igualdad. En estos casos, para poder resolver la ecuación, es necesario
“acomodar” los términos de manera que podamos obtener una expresión equivalente a la
dada en la que sea factible utilizar el recurso de “hacer” y deshacer”.
Para lograrlo podemos realizar operaciones equivalentes a ambos miembros de la igualdad.
Si sumamos o restamos un mismo número en ambos miembros de una igualdad, la igualdad
sigue siendo válida. Por lo tanto, en la ecuación 1x + 10 = 3x – 20 podemos restar el precio de
un lavado en cada miembro. Entonces resulta que:
1x + 10 - 1x = 3x - 20 – 1x
Asociando entre sí los términos con incógnita en ambos miembros, resulta:
1x - 1x + 10 = 3x – 1x - 20
Y resolviendo nos queda que:
10 = 2x – 20
Esta expresión es equivalente a la anterior y tiene el formato que permite resolverla utilizando
el recurso de “hacer” y “deshacer” ya que la incógnita x está presente en un solo miembro de
la igualdad (la utilización del recurso es independiente del miembro de la ecuación en el que
se encuentre la incógnita). Ahora podemos aplicar el recurso de “hacer” y “deshacer” y
obtener el precio de un lavado especial de oferta.
Al “hacer” la ecuación, se combinan dos operaciones: en primer lugar, se multiplica a la
incógnita por 2 y al resultado de la multiplicación se le resta 20. Para resolverla, deshacemos
en el orden inverso y con las operaciones inversas: “deshacemos” en primer lugar la resta
sumando 20 y luego la multiplicación dividiendo por dos. Nos queda entonces:
10 + 20 = 2x (sumando 20)
30 : 2 = x (dividiendo por 2)
x = 15
El precio de un lavado de oferta es $15. Lo que verifica la igualdad presentada en la oferta: “El
pago de un lavado más $10 nos permite obtener 3 lavados y ahorrarnos $20”. Hacemos la
verificación:
1.15 + 10 = 3.15 – 20
Ecuaciones e inecuaciones
Matemática A – Unidad 3
59
ECUACIONES E INECUACIONES
UNIDAD 3
15 + 10 = 45 – 20
25 = 25
ACTIVIDAD Nº 2: “RESOLUCIÓN DE ECUACIONES”
A medida que vaya resolviendo la Actividad, puede controlar sus respuestas con las dadas al
final de la Unidad 3.
Resuelva las siguientes ecuaciones aplicando el recurso matemático más conveniente y
verifique sus resultados en cada caso:
1. 10y – 4 = 2y + 6
2. -8x +14 = 6x
3. 20 – 3z = 7z + 8
4. -12 + 4m = -2m + 2
5. 4j – 2j + 10 = j
6. 25 – 2p = - 7p + p -15
Una vez que haya resuelto las ecuaciones de la Actividad Nº 2 y haya verificado sus
respuestas lo invitamos a pensar en la siguiente situación con la que quizá alguno de nosotros
podría encontrarse en su vida cotidiana:
________________________________________________________________
Llegado el 20 de mayo, Esteban decide reconstruir sus compras y pagos de este mes
con el propósito de controlar sus gastos. Así, registra que con la mitad de su sueldo pagó el
alquiler, los servicios y la cuota de la heladera. La cuarta parte del sueldo la utilizó para la
compra del supermercado, salidas y movilidad. La mitad de lo que le quedaba luego de esos
gastos lo gastó en vestimenta. Cuando terminó de registrar todos estos gastos aún le
quedaban $ 200. ¿Cuánto dinero cobró?
1. A partir de la situación planteada y teniendo en cuenta lo trabajado en la Unidad 1 y en
esta unidad en relación con el lenguaje coloquial y el lenguaje simbólico, escriba en
lenguaje simbólico cada una de las siguientes expresiones dadas en lenguaje coloquial.
LENGUAJE COLOQUIAL
LENGUAJE SIMBOLICO
El sueldo
…………… ………………
La mitad de su sueldo
……………………………..
La cuarta parte de su sueldo
……………………………..
La mitad de lo que aún le quedaba
……………………………..
Le quedan de su sueldo
……………………………..
2. Si expresamos con la letra x al sueldo de Esteban,¿qué operación debemos realizar entre
el sueldo inicial y los distintos gastos para calcular lo que aún le quedaba al 20 de Mayo?
Utilice este esquema para dar su respuesta indicando la operación en los recuadros
indicados:
El
sueldo
La mitad
de su
sueldo
La cuarta
parte de su
sueldo
La mitad de
lo que aún le
quedaba
=
200
3. De acuerdo con las traducciones a lenguaje simbólico que escribió en los ítems anteriores,
escriba la ecuación que permite calcular el sueldo que cobró Esteban a principios de
Mayo.
Para reflexionar sobre lo trabajado
En la situación anterior le propusimos que realice una traducción del lenguaje coloquial al
lenguaje simbólico. Al hacerlo estamos expresando los términos de la misma utilizando el
lenguaje propio de la Matemática. Utilizamos una letra para identificar a la incógnita y
Ecuaciones e inecuaciones
Matemática A – Unidad 3
60
ECUACIONES E INECUACIONES
UNIDAD 3
operaciones matemáticas para vincularla con las cantidades que indica el enunciado. Esta
traducción nos permite organizar los datos del problema y poder encontrar una expresión que
nos permita resolver dicho problema con economía de tiempos.
Si representamos al sueldo de Esteban con la letra x, la mitad de su sueldo se escribe
1
1
. x, y la cuarta parte de su sueldo se escribe
. x.
2
4
Si Esteban gastó la mitad de su sueldo más la cuarta parte de su sueldo, gastó hasta
ese momento, las tres cuartas partes de su sueldo. Quiere decir que, luego de esos dos
gastos, aún le quedaba la cuarta parte de su sueldo. La mitad de esa cuarta parte del sueldo
es lo que gasta en ropa. Por lo tanto gastó un octavo de su sueldo en vestimenta.
1
Expresamos esto como
. x.
8
Si al sueldo de Esteban le restamos los gastos que tuvo durante el mes obtenemos el dinero
que todavía le quedaba al 20 de Mayo, los $200.
Si tiene dificultades para interpretar las expresiones fraccionarias anteriores revise este tema en la Unidad 2 de este material.
Una de las posibles expresiones que traducen al lenguaje simbólico la situación planteada es:
1
1
1
x - . x - . x - . x = 200
2
4
8
Decimos que la anterior es una de las posibles expresiones ya que también podemos
pensarla desde la conformación del sueldo de Juan. Desde este lugar la expresión que
traduce el enunciado es:
1
1
1
x = . x + . x + . x + 200
2
4
8
En la que x, que representa al sueldo cobrado a principios de Mayo, es igual a la suma de
todos los gastos más los $200 que todavía tiene al momento de hacer sus cuentas.
Cualquiera de las dos expresiones es válida para resolver el problema. Nosotros lo haremos utilizando la primera ecuación
porque es de más sencilla resolución que la segunda. Piense… ¿por qué cree que elegimos esa opción? ¿Qué ventaja tiene
respecto de la segunda?
Le proponemos entonces que resuelva la ecuación planteada y verifique su resultado. Tenga
1 1
1
en cuenta que los números que multiplican a la incógnita ,
y
son números racionales y
8
2 4
que para resolver esta ecuación deberá operar con ellos.
Si tiene dificultades para operar con números racionales le sugerimos que retome suma, resta, multiplicación y división de
fracciones en la Unidad 2.
La forma de resolver este tipo de ecuaciones es la misma que hemos trabajado para resolver
ecuaciones en la que intervienen números enteros sólo que en este caso es necesario operar
con números racionales. Tenga en cuenta que también para resolverla hay diferentes
posibilidades. A continuación nosotros le mostraremos uno de ellos, que puede coincidir o no
con el camino de resolución elegido por usted. No invalide el suyo. Haga un paralelo entre
nuestro procedimiento y el suyo y coteje que los resultados coincidan.
1
1
1
La ecuación x - . x - . x - . x = 200 también se puede escribir como:
2
4
8
7
x – . x = 200
8
7
(en la que . x representa la suma de las partes del sueldo gastado por Juan en distintas
8
1 1 1 4 2 1 7
situaciones durante el mes de mayo: + + = + + = )
2 4 8 8 8 8 8
Ecuaciones e inecuaciones
Matemática A – Unidad 3
61
ECUACIONES E INECUACIONES
UNIDAD 3
1
7 8 7 1
7
. x da por resultado . x
(1 - = - = )
8 8 8 8
8
8
1
La ecuación entonces nos queda: . x = 200
8
Esta ecuación es equivalente ala planteada y es posible resolver utilizando el recurso de
1
“hacer” y “deshacer”. La multiplicación entre
y el valor de x, da 200. Por tanto, dividiendo a
8
1
este resultado por
podemos obtener el valor de x.
8
1
x = 200:
8
x = 200 . 8
x = 1600
El sueldo cobrado por Sebastián en el mes de mayo es de $ 1600. Verifique usted este
resultado.
La resta x –
ACTIVIDAD Nº 3: “MÁS TRABAJO CON ECUACIONES”
A medida que vaya resolviendo la Actividad, puede controlar sus respuestas con las dadas al
final de la Unidad 3.
Un campo se divide en 2 parcelas que se dedican al cultivo de distintos cereales. Una de esas
5
parcelas ocupa
de la superficie del campo y en ella se cultiva trigo. La otra parcela tiene
13
una superficie de 48 hectáreas y está sembrada con maíz.
a) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones permite encontrar la superficie x (en hectáreas) del
campo? Elija la ecuación que traduce el enunciado.
x
5
x  48
13
x  48 
5
x
13
5
x  48  x
13
Para reconocer la ecuación que permite resolver el problema podría ser de utilidad hacer el siguiente análisis:

Leer el enunciado hasta comprender y descubrir cuál es la incógnita.

Relacionar la incógnita con los datos que el problema ofrece y traducirlos en operaciones.

Desechar los datos innecesarios.

Acompañar el análisis, siempre que sea posible, de un esquema que traduzca la situación planteada.

b)
c)
d)
e)
2.
Resuelva la ecuación que eligió en el ítem a).
¿Cuál es la superficie del campo medida en hectáreas?
¿Cuántas hectáreas están sembradas con trigo?
Verifique la solución que halló en el ítem b).
a) A continuación, en la columna de la izquierda hay frases escritas en lenguaje coloquial
y en la columna de la derecha se escriben posibles traducciones de esas frases a
lenguaje simbólico. Le pedimos que una con una flecha cada expresión en lenguaje
coloquial con su correspondiente expresión simbólica.
Frases en lenguaje coloquial
La mitad de la suma entre un número y 3 es igual que la
tercera parte de la diferencia entre ese número y 1
La suma entre la mitad de un número entero y la tercera
parte del siguiente de ese número es 17.
Ecuaciones e inecuaciones
Expresión simbólica
2
1
x  x  14
3
2
1
x  3  1 x  1
2
3
Matemática A – Unidad 3
62
ECUACIONES E INECUACIONES
UNIDAD 3
La suma entre las dos terceras partes de un número y la
mitad de ese número es 14.
b)
c)
1
1
x  x  1  17
2
3
Las expresiones simbólicas dadas son ecuaciones donde la incógnita es el número
del que se habla en la frase dada en lenguaje coloquial. Resuelva dichas ecuaciones
para encontrar cuál es ese número.
Verifique las soluciones halladas en cada caso.
Para reflexionar sobre lo trabajado
Para resolver algunas de las ecuaciones anteriores es indispensable aplicar la propiedad
distributiva de la multiplicación respecto de la suma o de la resta. Esto ocurre para resolver,
las ecuaciones
1
x  3  1 x  1 ó 1 x  1 x  1  17 .
2
3
2
3
Si lo necesita, revea la propiedad distributiva en la Unidad 2
1
x  3  1 x  1
2
3
1
1
1
1
x  .3  x  .1
2
2
3
3
1
3 1
1
x  x
2
2 3
3
Para resolver la ecuación
queda:
aplicamos la propiedad distributiva y nos
Agrupando los términos con incógnita entre sí y los términos sin incógnita entre sí también,
resulta:
1
1
1 3
x x  
2
3
3 2
1
11
x
6
6
11 1
x
:
6 6
Por lo tanto: x = - 11
Verifique que este valor es solución de la ecuación planteada.
Una vez que haya resuelto todas las ecuaciones de la Actividad Nº 3 y que haya verificado
sus respuestas lo invitamos a pensar en el planteo y la resolución de las ecuaciones que
traducen los siguientes enunciados en los que intervienen potencias y raíces:
 El cuadrado de un número aumentado en 10 unidades es 35. ¿De qué número se
trata?
 La raíz cuadrada de un número disminuida en 10 unidades es -4. ¿Cuál es ese
número?
En ambos casos, una vez resuelta la ecuación planteada, verifique el valor hallado.
Para reflexionar sobre lo trabajado
La ecuación que traduce el primer enunciado es x2 + 10 = 35. En este caso, en el operador
que “hace” la ecuación se combinan dos operadores: uno que eleva al cuadrado y otro que
suma 10. Para “deshacer” lo hecho por este operador primero restamos 10 (porque la última
operación realizada es sumar 10) y luego debemos deshacer al operador que calculó el
cuadrado del número. Al hacerlo debemos tener en cuenta que el cuadrado de un número y el
de su opuesto tienen el mismo resultado. Por lo tanto hay dos valores posibles para x.
Escribimos la resolución así:
x2 = 35 -10
Ecuaciones e inecuaciones
Matemática A – Unidad 3
63
ECUACIONES E INECUACIONES
UNIDAD 3
x2 = 25
Entonces x puede valer tanto 5 como -5. Ambos valores verifican la ecuación.
La ecuación que traduce el segundo enunciado es x - 10 = -4. En el operador que “hace” la
ecuación se combinan dos operadores: uno que calcula raíz cuadrada y otro que resta 10.
Para “deshacer” lo hecho por este operador primero sumamos 10 y luego debemos deshacer
al operador que calculó la raíz cuadrada del número. En este caso hay un único valor posible,
el cuadrado del número que está en el segundo miembro de la ecuación. Escribimos la
resolución:
x = -4 + 10
x = 62 = 36
Verifique el valor calculado.
ACTIVIDAD Nº 4: “SIGUIENDO CON LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES”
A medida que vaya resolviendo la Actividad, puede controlar sus respuestas con las dadas al
final de la Unidad 3.
1. Resuelva las siguientes ecuaciones verificando la solución encontrada en cada caso:
a)
x  53   8
b)
3.x2 – 13 = 35
c)
3
d)
5-
x 12
x =7
2
6
2. a) Verifique que x = -2, x = 0, x = 8, x = - , x =
y x = 1000 son soluciones de la
3
5
ecuación 0 . x = 0
b) ¿Es posible encontrar algún otro número que resulte solución de la ecuación?
Si su respuesta es afirmativa indique otro valor de x que verifique la ecuación. Si su
respuesta es negativa explique porqué no es posible encontrar otro valor de x que
resulte solución de la ecuación.
c) Si respondió afirmativamente a la pregunta planteada en el ítem b),¿Cuántos números
podría encontrar que resulten ser solución de la ecuación?
d) Un compañero dice que la ecuación 0 . x = 0 tiene infinitas soluciones. ¿Qué opina?
¿Qué argumentos podría dar su compañero para explicarle, con sus palabras, el por
qué de su afirmación?
2
6
3. a) Verifique que x = -2, x = 0, x = 8, x = - , x =
y x = 1000 son soluciones de la
3
5
ecuación 4 . (x - 2) = 4x - 8
b) ¿Es posible encontrar algún otro número que resulte solución de la ecuación?
Si su respuesta es afirmativa indique otro valor de x que verifique la ecuación. Si su
respuesta es negativa explique porqué no es posible encontrar otro valor de x que
resulte solución de la ecuación.
e) Si respondió afirmativamente a la pregunta planteada en el ítem b),¿Cuántos números
podría encontrar que resulten ser solución de la ecuación?
4. Nosotros afirmamos que la ecuación 0 . x = 7 no tiene solución. Explique, con sus
palabras, el por qué de nuestra afirmación.
5. Resuelva la ecuación 3 . (x + 1) + x = 1 + 4x. ¿Cuántas soluciones tiene?
Para reflexionar sobre lo trabajado
En la Actividad Nº 4, trabajamos con algunas ecuaciones en las que ocurre algo diferente en
relación con la cantidad de soluciones que veníamos encontrando al resolver las ecuaciones
Ecuaciones e inecuaciones
Matemática A – Unidad 3
64
ECUACIONES E INECUACIONES
UNIDAD 3
anteriores. Nos encontramos aquí ante ecuaciones que, o bien tienen infinitas soluciones,
o no tienen solución.
Las ecuaciones de los ítems 2. y 3. tienen infinitas soluciones. Teniendo en cuenta que
cualquier valor de x multiplicado por 0 da por resultado 0, podemos explicar que la ecuación
0 . x = 0 tenga infinitas soluciones. Por lo tanto, la ecuación 0 . x = 0 es equivalente a la
igualdad 0 = 0.
Como conclusión:
Si al resolver una ecuación, llegamos a la igualdad 0 = 0, podemos interpretar que esa
ecuación tiene infinitas soluciones.
Las ecuaciones de los ítems 4. y 5. no tienen solución. Por ejemplo, la ecuación 0 . x = 7 no
tiene solución porque cualquiera sea el valor que se nos ocurra para x, al multiplicarlo por 0 el
resultado siempre es 0, nunca 7. La ecuación 0 . x = 7 es equivalente a la igualdad 0 = 7 que
es absolutamente falsa.
Como conclusión:
Si al resolver una ecuación, llegamos a una igualdad en la que 0 queda igualado a un número
diferente de cero, podemos concluir que dicha ecuación no tiene solución.
________________________________________________________________
A continuación trabajaremos con un tema que quedó pendiente de la Unidad 2: el
procedimiento que permite encontrar la fracción correspondiente a una expresión decimal
periódica.
Recordemos que toda fracción tiene una expresión decimal. Para obtener dicha expresión se
divide el numerador por el denominador de la fracción. En los casos en los que esa división
no termina porque no es posible obtener resto cero, y que las cifras obtenidas en el resultado,
en algún momento empiezan a repetirse, decimos que la expresión obtenida es periódica.
Si lo necesita retome este tema en la Unidad 2
Por ejemplo:

2
= 0,666666….= 0, 6
el arco sobre el numero indica cuál es la (o las) cifra(s) que se
3
repiten. Dicha cifra recibe el nombre de período. Si el período, como en el caso anterior,
comienza inmediatamente después de la coma, las llamamos expresiones decimales
periódicas puras. Si el período no comienza inmediatamente después de la coma, las
llamamos expresiones decimales periódicas mixtas. Por ejemplo: 1,23 ó 24,3567 .
Veremos a continuación un procedimiento que nos permite encontrar la fracción que
representa a una expresión decimal periódica pura.

Por ejemplo, para buscar la fracción correspondiente a número decimal 0, 7 llamamos x a
dicha expresión y procedemos de la siguiente manera:
x = 0,777….
Multiplicamos por 10 a ambos miembros de la igualdad:
10 . x = 10 . 0,777…
10 . x = 7,77…
Con el objetivo de eliminar el período, podemos restar miembro a miembro las dos
igualdades:
10 . x - x = 7,77… – 0,777….
9.x=7
Despejando el valor de x:
7
x=
9
Ecuaciones e inecuaciones
Matemática A – Unidad 3
65
ECUACIONES E INECUACIONES
UNIDAD 3

7
Lafracciónque genera la expresión decimal periódica purao número periódico puro 0, 7 es
9
(compruébelo haciendo la división 7 : 9)
Convierta cada una de las siguientes expresiones decimales periódicas puras en fracción utilizando el recurso anterior:
a) 0, 4
b) 0,21
c) 0,135
Para reflexionar sobre lo trabajado
Las fracciones correspondientes a las expresiones decimales anteriores son, respectivamente
4/9, 21/99 y 135/999.
De acuerdo con los resultados obtenidos al escribir las fracciones correspondientes a cada
una de las expresiones periódicas puras anteriores:
 ¿Qué puede decir sobre los numeradores de cada una de las fracciones respecto
de su expresión decimal?
 ¿Qué puede decir de sus denominadores?
 De acuerdo con sus respuestas a las dos preguntas anteriores, escriba una regla
que sirva para convertir en fracción las expresiones decimales periódicas puras con
parte entera nula.
Para reflexionar sobre lo trabajado
A partir de lo hecho en los ítems anteriores, se puede observar que:
El numerador de la fracción correspondiente a una expresión decimal periódica pura es el
número que forma el período. El denominador de dicha fracción está formado por tantos
nueves como cifras tenga el período.
Trabajaremos a continuación con la forma de escribir como fracción una expresión decimal
periódica mixta
________________________________________________________________
Los siguientes procedimientos incompletos fueron realizados utilizando el recurso que
presentamos para encontrar la expresión fraccionaria de una expresión decimal periódica
pura. Complételos.

Para x = 0,23
100 . x = …………..
10 . x = …………..
….…. . x = 23 - 2
x = …………

Para x = 1,573
1000 . x = ……………
100 . x = ……………
…… . x = 1573 - 157
x = ……….

Para x = 1,573
………… . x = 1573,73
………… . x = 15,73
990 . x = …………
x = …………
De acuerdo con los resultados obtenidos en los ítem anteriores:
Ecuaciones e inecuaciones
Matemática A – Unidad 3
66
ECUACIONES E INECUACIONES



UNIDAD 3
¿Qué puede decir sobre los numeradores de cada una de las fracciones anteriores
respecto de su expresión decimal?
¿Qué diría de sus denominadores?
De acuerdo con las observaciones que hizo en los ítems a) y b), escriba una regla que
sirva para convertir en fracción las expresiones decimales periódicas mixtas.
Para reflexionar sobre lo trabajado
A partir de lo trabajado, se puede observar que:
El numerador de la fracción correspondiente a una expresión decimal periódica mixta es
el resultado de la resta entre "el número completo sin la coma" y la parte de ese número
que no forma parte del período.
El denominador de dicha fracción está formado por tantos nueves como cifras tenga el
período, seguidos de tantos ceros como cifras no periódicas tenga la parte decimal.
INECUACIONES
Responda las preguntas que le planteamos en cada una de las siguientes situaciones:
1. Arturo ha ahorrado sus tres últimos sueldos y con los $ 500 que le regaló su abuela, aún
no llega a los $ 3500 que cuesta la moto que se quiere comprar.
¿Cuánto gana Arturo? ¿Puede plantear una ecuación que traduzca el enunciado? Si su
respuesta es afirmativa, platéela. Si su respuesta es negativa explique por qué no puede
hacerlo.
2. El sueldo de Nora con el plus de $ 500 por presentismo supera los $2600. ¿Cuánto cobra
Nora? ¿Puede plantear una ecuación que traduzca el enunciado? Si su respuesta es
afirmativa, platéela. Si su respuesta es negativa explique por qué no puede hacerlo.
Para reflexionar sobre lo trabajado
En ninguno de los casos anteriores es posible plantear una ecuación que traduzca al lenguaje
simbólico el enunciado ya que en ninguno de los dos casos el enunciado habla de una
igualdad.
En el caso de Arturo, dice que aun no llega a los $ 3500 que sale la moto. Es decir que la
suma de sus tres últimos sueldos más los $ 500 que le regaló su abuela es menor que $
3500.
En el caso de Nora, supera los $ 2600. Es decir que la suma de su sueldo más el
presentismo es mayor que $ 2600.
En ambos casos se plantea una desigualdad.
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: INECUACIONES. CONJUNTO SOLUCIÓN
INECUACIÓN
DE UNA
Para poder plantear las desigualdades que traducen los enunciados anteriores tenemos que
presentar nuevos símbolos:
 Para expresar que un número es menor que otro se utiliza el símbolo <.
 Para expresar que un número es mayor que otro utilizamos el símbolo >.
A expresiones como las anteriores, en las que aparecen desigualdades con una o más
incógnitas, se las conoce con el nombre de inecuaciones. También se puede plantear
una inecuación utilizando los símbolos:
≤ que se lee “menor o igual que”
≥ que se lee “mayor o igual que”
Ecuaciones e inecuaciones
Matemática A – Unidad 3
67
ECUACIONES E INECUACIONES
UNIDAD 3
Cuando resolvemos una inecuación, debemos encontrar todos los valores posibles que puede
tomar la incógnita de modo que se verifique la desigualdad planteada. Dichos valores forman
el conjunto solución de la inecuación. En cualquiera de los dos problemas analizados no
hay un único sueldo posible que haga cierta cada una de las afirmaciones. Por lo tanto, el
conjunto solución de cada una de las inecuaciones tiene varios elementos.
________________________________________________________________
Responda las siguientes consignas teniendo en cuenta lo dicho en el apartado En
términos matemáticos anterior en relación con las inecuaciones:
1. a) Decida si los números reales x = 4, x = 4,1, x = 3,9 verifican la inecuación x > 4.
b) Indique 10 valores de x que verifiquen la inecuación x > 4.
c) ¿Cuántos números reales x verifican la inecuación x > 4?
d) Represente, sombreando en la recta numérica, el conjunto solución de la inecuación
dada. Es decir, sombree la parte de la recta que representa a todos los números reales
que verifican la inecuación dada.
2. a) Decida si x = 4, x = 4,1, x = 3,9 verifican la inecuación x  4.
b) Indique 10 valores de x que verifiquen la inecuación x  4.
c) Represente, sombreando en la recta, el conjunto solución de la inecuación dada.
3. ¿Cuál es la diferencia entre el conjunto solución de la inecuación x > 4 y el conjunto
solución de la inecuación x  4?
Para reflexionar sobre lo trabajado
Cualquier número real mayor que 4 verifica la inecuación x > 4. Es decir que hay infinitos
números que cumplen con la desigualdad planteada. Podemos representar el conjunto
solución de la inecuación x > 4, sombreándolo en una recta. Así:
Este conjunto también se puede expresar usando notación de intervalo. En este caso, se trata
de un intervalo sin fin a la derecha. Por eso, escribimos (4; +∞), que se lee "intervalo abierto
4, más infinito".
Al conjunto solución de la inecuación x  4 también pertenece el número 4 (además de todos
los números reales mayores que 4). Si usamos la notación de intervalos, indicamos este
conjunto de la siguiente manera: [4; +∞) que se lee "intervalo cerrado 4, más infinito". El
corchete en el 4 expresa que ese número pertenece al conjunto.
4. Una con flechas cada inecuación de la columna de la izquierda con su correspondiente
conjunto solución expresado como intervalo en la columna de la derecha.
x < -2
-5 ≤ x < -2
-5 < x ≤ -2
x > -2
-5 < x < -2
x ≥ -2
x ≤ -2
-5 ≤ x ≤ -2
Ecuaciones e inecuaciones
(-2; + ∞)
[-5; -2)
(−∞; -2]
[-5; -2]
(-5; -2)
(−∞; -2)
(-5; -2]
[-2; +∞)
Matemática A – Unidad 3
68
ECUACIONES E INECUACIONES
UNIDAD 3
5. Verifique, sin resolver la inecuación, que x = -3, x = 0, x = 5, x = –
1
7
y x = forman parte
2
2
del conjunto solución de la inecuación -2x + 3 > - 7
6. Compruebe que x = 5,2 y x = 17 no forman parte del conjunto solución de la inecuación
dada en el ítem anterior.
Para concluir esta unidad…
Como cierre del trabajo realizado en la unidad le proponemos que reflexione acerca de lo aprendido a lo largo de las actividades
resueltas. Le será útil responder estas preguntas:
 ¿Puede traducir el enunciado de un problema utilizando ecuaciones o inecuaciones?
 ¿Puede resolver problemas concretos que expresen situaciones de la vida cotidiana
utilizando ecuaciones en los conjuntos numéricos Z y Q?
 ¿Puede resolver ecuaciones en las que intervengan números enteros y racionales?
 ¿Entiende cómo verificar soluciones de ecuaciones e inecuaciones?
 ¿Puede representar el conjunto solución de una inecuación en una recta?
Si sus respuestas son afirmativas, entonces está en condiciones de realizar la siguiente
actividad integradora. Sino, le sugerimos repasar lo visto hasta ahora, y /o concurrir a algunas
de los espacios de orientación que le ofrece ADULTOS 2000.
ACTIVIDAD INTEGRADORA
A medida que vaya resolviendo la Actividad, puede controlar sus respuestas con las dadas al
final de la Unidad.
A continuación le daremos algunos enunciados de problemas. Para cada uno de ellos:
 Identifique cuál es la incógnita.
 Plantee una ecuación que traduzca las condiciones dadas en el enunciado.
 Resuelva la ecuación que planteó.
 Conteste la o las preguntas de cada problema.
 Verifique la solución que halle.
Los enunciados son los siguientes:
1. Pedro gasta los tres quintos de su sueldo mensual durante 3 semanas. Le quedan $ 130.
¿Cuál es el sueldo de Pedro?
2
2. Un automovilista divide su viaje en tres etapas. En la primera recorre
del camino, en la
7
2
segunda recorre
del camino y en la tercera recorre 275 kilómetros. ¿Cuántos kilómetros
5
recorre en total? ¿Cuántos kilómetros recorre en la primera etapa? ¿Y en la segunda?
3. Una carpintería cobra $ 44,50 cada silla. Por el transporte de la mercadería a un domicilio
ubicado a menos de 3 km del local, cobra $ 20. Una familia que vive a 2 km del local
compra sillas en esa carpintería y se las hace enviar a domicilio. Paga en total $ 554,
¿cuántas sillas compró?
4. Ignacio tiene que comprar 18 bidones de lavandina para su negocio. Por pago al contado
le hacen un descuento de $ 7. Ignacio paga $ 101 al contado por su compra.
¿Cuál es el precio de cada bidón de lavandina?
Ecuaciones e inecuaciones
Matemática A – Unidad 3
69
ECUACIONES E INECUACIONES
UNIDAD 3
3
2
de su sueldo mensual en gastos de supermercado, del resto del sueldo
10
5
en pagos de servicios y le quedaron $ 441 para otros gastos. ¿Cuánto dinero cobró
Martín? ¿Cuánto gastó en el supermercado? ¿Cuánto gastó en el pago de servicios?
5. Martín gastó
Ecuaciones e inecuaciones
Matemática A – Unidad 3
70
RELACIONES Y FUNCIONES
UNIDAD 4
En esta unidad trabajaremos con los conceptos de relación y función. Como dijimos en la
Unidad 1, podemos formular modelos matemáticos utilizando diferentes recursos. Las
relaciones y funciones son algunos de los recursos que utiliza la Matemática para enunciar
modelos matemáticos. Trabajaremos con las distintas formas de expresarlas, con sus
elementos y con el lenguaje asociado con ellas. Todos estos aspectos posibilitan la
formulación de modelos que permiten describir y analizar matemáticamente fenómenos de la
realidad para predecir, a partir de ellos, posibles resultados de las situaciones modeladas.
A medida que avance en la resolución de las situaciones planteadas iremos reflexionando
junto a usted sobre la resolución de las situaciones propuestas y sobre los recursos que ha
ido utilizando. También iremos presentando, en el momento oportuno, los términos y la
simbología matemática vinculados a la tarea que está realizando.
Para entrar en tema le proponemos pensar juntos en la siguiente situación:
____________________________________________________________________
Don Juan vende café en grano a $ 20 el kilogramo y quiere confeccionar una lista de
importes a pagar teniendo en cuenta las cantidades de kilogramos de café que sus clientes
compran más frecuentemente.
1. Complete la lista de Don Juan indicando la cuenta que realiza para calcular el importe que
deberán pagar sus clientes por cada cantidad de café.
Cantidad de café
Importe a pagar
1
kg
4
1
kg
2
3
kg
4
1 kg
1,5 kg
2 kg
2. En esta lista que confeccionó Don Juan, ¿están registradas todas las posibles cantidades
de café que podría vender? ¿Por qué?
3. Observe en la lista de Don Juan las cuentas que realizó para calcular los importes a pagar
y responda:
a) Exprese con sus palabras la cuenta realizó en cada caso.
b) Si expresamos con la letra x a cada una de las posibles cantidades de café que podría
vender Don Juan, y con la letra y al importe a pagar por cada una de esas cantidades,
¿con qué cuenta puede calcularse el importe y a pagar por una compra de x
kilogramos de café en el negocio de Don Juan? Descríbala con sus palabras. Recuerde
que para expresar en lenguaje matemático a las diferentes cantidades de café y a los
diferentes importes a pagar por dichas cantidades utilizamos letras a las que llamamos
variables.
.
Si le resulta necesario puede retomar este tema en la Unidad 1 de esta Guía de estudio.
c) A partir de la cuenta que describió en el ítem b), escriba la fórmula que permite calcular
el importe y que se debe pagar por comprar x kilogramos de café en el negocio de Don
Juan.
y = …………..
4. Utilizando la fórmula escrita en el ítem 3. c):
a) Calcule cuál es el importe a pagar si se compran 1,25 kg de café.
Relaciones y Funciones
Matemática A - Unidad 4
71
RELACIONES Y FUNCIONES
UNIDAD 4
b) Calcule cuántos kilogramos de café se compraron si se pagaron $ 22.
c) Calcule cuánto vale y si x vale 2.
d) Calcule cuánto vale x cuando y vale 55.
5. ¿Puede utilizar la fórmula que escribió en el ítem 3. c) para calcular cuál es el importe a
pagar en el negocio de Don Juan por comprar 4 kg de café? Si su respuesta es afirmativa,
calcule el importe utilizando dicha fórmula. Si su respuesta es negativa, escriba con sus
palabras cuál es la razón que le impide hacerlo.
En el negocio de Don Juan se lee el siguiente cartel:
Si usted compra más de 3 kg de café le
hacemos un 10 % de descuento
A partir de conocer la información del cartel, ¿qué respondería a la pregunta planteada en el
ítem 5. de esta Actividad.
Para reflexionar sobre lo trabajado
Es posible que la aparición del dato del cartel haya modificado su respuesta al ítem 5. ya que
nos estaría indicando que el uso de la fórmula escrita en el ítem 3. tiene restricciones (como
en el caso de las fotocopias de la Unidad 1, ¿recuerda?).
La fórmula y = 20 . x nos permitió expresar en lenguaje matemático la situación y calcular el
importe a pagar por cantidades de café no indicadas en la tabla. Pero la validez de esta
fórmula depende de las condiciones que imponga la situación. El nuevo dato que aparece en
el cartel nos está diciendo que la fórmula y = 20 . x que escribió en el ítem 3. c) sólo sirve
para calcular el importe a pagar cuando la cantidad de café comprada es de 3 kg o menos. Es
decir que, para usar esa fórmula, a x sólo podemos asignarle valores menores o iguales que
3.
Por lo tanto, para describir la situación en lenguaje matemático no es suficiente con dar una
fórmula que permita calcular el importe a pagar a partir de la cantidad de café comprada.
Tenemos que indicar también para qué números tendrá validez calcular el importe a pagar
utilizando esta fórmula.
A partir de la situación planteada, incorporaremos nuevos términos a su lenguaje matemático. No se preocupe si no puede
reconocerlos y usarlos en forma inmediata. El aprendizaje de un lenguaje cualquiera requiere de tiempo, y lo mismo ocurre con
el lenguaje matemático. Y aprender Matemática es, también, aprender un nuevo lenguaje: el que utiliza la Matemática para
comunicarse. Se trata de un lenguaje sintético y universal. Sintético porque con pocos símbolos se dicen muchas cosas y
universal porque en todos lados se utilizan los mismos símbolos.
Le sugerimos que vaya construyendo un listado con los términos que vayamos presentando. Tenga ese listado disponible de
modo que pueda utilizarlo en una nueva situación. Al confeccionarlo, incluya también la expresión simbólica utilizada por la
Matemática para expresar cada uno de los términos presentados.
EN TÉRMINOS
INDEPENDIENTE.
ORDENADO
MATEMÁTICOS:
CONJUNTO DE
RELACIÓN. VARIABLES DEPENDIENTE E
PARTIDA. CONJUNTO DE LLEGADA. PAR
En la situación de la lista de Don Juan hemos establecido una relación entre “las cantidades
de kilogramos de café” y las “cantidades de pesos a pagar”. Tanto las cantidades de café
como las cantidades de dinero a pagar pueden ser diferentes valores, por esa razón decimos
que dichas cantidades son variables. Para representar a las variables (como ya trabajamos
en la Unidad 1) utilizamos letras. En este caso, utilizamos la letra x para representar a las
cantidades de café y la letra y para representar al dinero a pagar por dichas cantidades. Dado
que el importe y a pagar depende de la cantidad x de café que se compre, decimos que la
variable x es la variable independiente de la relación y la variable y es la variable
dependiente.
Relaciones y Funciones
Matemática A – Unidad 4
72
RELACIONES Y FUNCIONES
UNIDAD 4
Para expresar la “forma” en que se vinculan las variables, utilizamos una tabla primero, y una
fórmula, después. Pudimos observar también que tanto una como la otra son insuficientes
para describir la relación, ya que la condición impuesta sobre los valores de x no se ve
reflejada ni en la fórmula ni en la tabla. Ni una ni la otra pueden señalarnos por sí mismas que
x sólo puede tomar valores menores o iguales que 3.
Para poder describir adecuadamente la situación, además de la “forma” en que se vinculan los
datos, hace falta especificar cuáles son los valores numéricos que pueden tomar las variables
que intervienen en la relación. Para dar esta información tenemos que indicar las cantidades
de café con las que será posible calcular el importe utilizando esta fórmula. En lenguaje
matemático, indicamos estos valores a través de un conjunto al que llamamos conjunto de
partida. A las cantidades posibles de dinero a pagar las mostramos a través de otro conjunto
al que llamamos conjunto de llegada.
En la situación que estamos analizando, el conjunto de partida está formado por todos los
números reales mayores que 0 (porque no tiene sentido pensar en compras de café negativas
ni nulas) y menores o iguales que 3 (porque el precio de $20 el kilogramo corresponde sólo a
compras de 3 kg ó menos). Identificamos a este conjunto con una letra mayúscula, por
ejemplo A, y podemos escribirlo simbólicamente utilizando un intervalo de números reales.
Así: A = (0 ; 3.
El conjunto de llegada, que identificamos también con una letra mayúscula, por ejemplo B,
está formado por todos los números reales mayores que 0 (tampoco tiene sentido pensar en
importes negativos o nulos) y menores o iguales que 60 (que es el importe que se pagaría por
comprar 3 kg de café). En símbolos, lo expresamos así: B = (0 ; 60.
Si tiene dificultades para entender la notación de intervalos, puede retomar este tema en la Unidad 2 de esta Guía de estudio.
Decimos que se estableció una relación o correspondencia entre el conjunto de
partida A y el conjunto de llegada B. Para expresar esta relación simbólicamente, escribimos
r: A  B, que leemos: “r de A en B”.
En general, para definir una relación r cualquiera debemos informar la “forma” en que se
relacionan los datos y cuáles son los conjuntos de datos que se vinculan, es decir, los
conjuntos de partida y de llegada. Hay varias maneras de informar la “forma” en que se
relacionan los datos de ambos conjuntos: las tablas de valores (como la lista de precios) y
las fórmulas son dos de ellas pero no son las únicas.
También podemos mostrar la forma en que se vinculan los datos escribiendo cada
compra indicando un par de valores (cantidad ; importe). Por ejemplo:
(
1
; 10)
2
Cantidad de café
Importe a pagar
Llamamos par ordenado a cada uno de estos pares. Al primer número del par ordenado
lo llamamos primera componente del par y al segundo número, segunda componente.
En el par (a ; b), a es la primera componente del par y b es la segunda componente del
par.
Mostrar los pares ordenados que forman la relación es otra manera de mostrar la “forma”
en que se vinculan los datos de la relación. Para poder hacerlo debe ser posible indicar
todos los pares ordenados que determinan la relación. Particularmente, en la situación
que estamos analizando, no es posible mostrar todos los pares dado que hay infinitos
pares posibles.
____________________________________________________________________
Vamos a retomar la situación del negocio de Don Juan. A partir de ella y de lo
dicho en el apartado En términos matemáticos anterior, responda las siguientes consignas:
Relaciones y Funciones
Matemática A – Unidad 4
73
RELACIONES Y FUNCIONES
UNIDAD 4
Escriba como pares ordenados (x ; y) las ventas de café y sus respectivos importes a pagar
en el negocio de Don Juan.
Describa con sus palabras qué es lo que expresa en términos de la situación el par (0,25 ; 5).
Los pares (0,25 ; 5) y (5 ; 0,25), ¿expresan lo mismo? ¿Por qué?
A partir de su respuesta al ítem 3., ¿qué diría en general sobre el par (a ; b) en relación con
el par (b ; a)?
Para reflexionar sobre lo trabajado
Cada uno de los pares ordenados que conforman esta relación indica en su primera
componente la cantidad de café a comprar y en su segunda componente el importe a pagar
por dicha cantidad. Por lo tanto los pares (0,25 ; 5) y (5 ; 0,25) no pueden expresar lo mismo.
El primer par nos indica una venta de 0,25 kg de café por los que se pagan $5; el segundo par
nos indicaría que por una compra de 5 kg se pagarían $ 0,25 (cosa que no es representativa
de la situación). Como conclusión, en general, el par (a ; b) es diferente que el par (b ; a).
____________________________________________________________________
Para facilitar su tarea cotidiana, Don Juan decidió armar también una nueva lista para
ventas de café superiores a 3 kg. Para hacerlo consideró solamente las cantidades de café
mayores a 3 kg que se vendieran más frecuentemente en el negocio. Esas cantidades son:
3,5 ; 4 ;
11
9
; 5 ;
; 6 ; 6,5 y 7 kilogramos. Considerando el 10 % de descuento que se
2
2
efectúa para cantidades mayores a 3 kg, el precio por kilogramo de café para estas
cantidades es de $ 18.
A partir de la información anterior construya la nueva lista que necesita Don Juan para
cantidades mayores a 3 kg. No deje de hacerla antes de continuar con la lectura.
Podemos expresar en lenguaje matemático lo realizado por Don Juan para armar la lista de
las cantidades mayores a 3 kg más usuales. Lo hacemos a través de una relación que
nombramos, por ejemplo, con la letra s. Como conjunto de partida de la relación s podemos
utilizar al conjunto formado por las cantidades más frecuentes consideradas por Don Juan:
A =  3,5 ; 4 ;
11
9
;5;
; 6 ; 6,5 ; 7,
2
2
Como conjunto de llegada al conjunto:
B = 63 ; 72 ; 81 ;90 ;99 ;108 ;117 ;126
Los datos del conjunto de partida y de llegada se vinculan a través de la fórmula:
y = 18 . x”.
Responda las siguientes consignas a partir de la información anterior:
1. ¿Por qué la fórmula de la relación s resulta y = 18 . x? Explíquelo con sus palabras en
términos de la situación que describe la relación s.
2. Escriba los pares ordenados de la relación s.
3. En la lista que construyó para Don Juan para cantidades mayores que 3, ¿incluyó el
importe a pagar por una compra de 10 kg de café?
4. ¿Puede calcular el importe que debería pagar por comprar 10 kg de café utilizando la
relación s? ¿Por qué?
Para reflexionar sobre lo trabajado
La relación s, tal como fue definida, está restringida sólo a las cantidades de café mayores de
3 kg que se venden más frecuentemente en el negocio de Don Juan. Esas cantidades fueron
indicadas en el conjunto de partida de la relación, que es el conjunto A =  3,5 ; 4 ;
9
11
;5;
2
2
; 6 ; 6,5 ; 7.
Relaciones y Funciones
Matemática A – Unidad 4
74
RELACIONES Y FUNCIONES
UNIDAD 4
Por lo tanto, no podemos utilizar la relación s para calcular el importe a pagar por una compra
de 10 kg de café ya que esta relación no contiene al 10 en su conjunto de partida. Si bien
sería posible realizar la cuenta y = 18 . x con x = 10, la relación s sólo puede utilizar en esta
cuenta los valores x = 3,5; x = 4 ; x =
11
9
;x=5;x=
; x = 6 ; x = 6,5 o x = 7, que son los
2
2
únicas cantidades de café consideradas al armar la relación.
La elección de los conjuntos de partida y de llegada que expresan una situación depende de
la situación misma. En este caso, como se consideraron las ventas más frecuentes y, 10 kg
parece no ser una de ellas, entonces 10 no puede formar parte del conjunto de partida de la
relación que expresa la situación. Por la misma razón no está incluido en la lista el importe de
una compra de 10 kg. Si alguien comprara esa cantidad no podría encontrar el importe a
pagar en esa lista.
Teniendo en cuenta que la fórmula de la relación s expresa que el importe a pagar se obtiene
multiplicando la cantidad de café por 18, podemos determinar, que los pares (4 ; 72) y (6,5 ;
117), entre otros, pertenecen a la relación. Es decir, que si se compran 4 kilos de café se debe
pagar $ 72. Asimismo, si un cliente gasta $ 117 es porque compró 6,5 kilos de café.
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: IMAGEN DE UN ELEMENTO. PREIMAGEN O IMAGEN
INVERSA DE UN ELEMENTO.
En la primera lista que construimos, podemos observar que por 2 kg de café se pagan $ 40.
Es decir, que al valor x = 2 del conjunto de partida le corresponde el valor y = 40 del conjunto
de llegada. En lenguaje matemático decimos que 40 es la imagen de2 a través de la relación
r. Para expresar simbólicamente que 40 es la imagen de 2 a través de la relación r,
escribimos así:
r(2) = 40.
Cuando armamos la segunda lista, calculamos, por ejemplo, cuánto debe pagar un cliente por
la compra de 4 kilogramos de café. En este caso, estamos calculando la imagen del 4 a
través de la relación s. Obtenemos como resultado 72, que es un elemento del conjunto de
llegada. Simbólicamente, expresamos s(4) = 72. También podemos decir que si un cliente
paga $ 72 es porque compró 4 kg. Simbólicamente lo expresamos:
s-1(72) = 4
En este caso, en lenguaje matemático decimos que la preimagen o la imagen inversa de 72
es 4. El -1 que aparece en la notación no es un exponente. Es una forma de simbolizar a la
imagen inversa o preimagen de un número.
A continuación seguiremos trabajando con estas ideas.
____________________________________________________________________
A partir del importe a pagar por una compra de 10 kg de café (que le planteamos
en la pregunta del ítem 4.) Don Juan decidió ampliar la lista de precios para incluir en ella
algunos valores más. Si definimos una nueva relación que exprese en lenguaje matemático a
los valores incluidos en esta nueva lista y llamamos t a esta relación, podemos decir que:
“t es una relación de A en B,
el conjunto A =  3,5 ; 4 ; 4,5 ; 5 ; 5,5 ; 6 ; 6,5 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ,
el conjunto B =  63 ; 72 ; 81 ;90 ;99 ;108 ;117 ;126; 144; 162; 180 .
Los datos del conjunto de partida y de llegada se vinculan a través de la fórmula
y = 18 . x”.
Responda las siguientes consignas a partir de la información anterior:
Escriba todos los pares (cantidad de kilogramos de café; dinero a pagar por esa cantidad) de
la relación t.
Observe las relaciones s y t, ¿son iguales entre sí? ¿Por qué?
Relaciones y Funciones
Matemática A – Unidad 4
75
RELACIONES Y FUNCIONES
UNIDAD 4
¿En qué se parecen y en qué se diferencian las relaciones s y t? Para responder tenga en
cuenta los pares de ambas relaciones, sus conjuntos de partida y de llegada, y la “forma” en
que se vinculan los datos en cada una de ellas.
Para reflexionar sobre lo trabajado
Las relaciones s y t son diferentes ya que no tienen los mismos pares ordenados. Si bien
algunos pares son comunes a ambas relaciones debido a que las dos tienen la misma
fórmula, la diferencia entre los conjuntos de partida y llegada considerados determinó que los
pares no fuesen los mismos. Hay más pares en la relación t que en la relación s.
Por lo tanto, para que dos relaciones sean iguales no es suficiente que tengan fórmulas
coincidentes, deben coincidir también sus conjuntos de partida y sus conjuntos de llegada.
Continuemos con la situación planteada…
Don Juan sigue entusiasmado con esto de expresar lo que ocurre en su negocio utilizando
relaciones. Día a día elabora un informe de lo ocurrido con las ventas de café utilizando una
relación. La descripción, en términos matemáticos, de lo ocurrido cierto día es la siguiente:
v es una relación de A en B.
El conjunto de partida es A =  3,5 ; 4 ;
11
9
;5;
; 6 ; 6,5 ; 7
2
2
El conjunto de llegada es B =  63 ; 72 ; 81 ; 90 ; 99 ; 108 ; 117 ; 126
Los pares ordenados de la relación v son (4 ; 72) , (5,5 ; 99) , (6 ; 108) y representan las
ventas de café realizadas en ese día en el negocio de Don Juan.
Responda las siguientes preguntas a partir de la información anterior:
¿Cuántas ventas de café realizó ese día Don Juan? Escriba lo que tenga en cuenta para dar
su respuesta.
En cada venta, ¿qué cantidad de café vendió? ¿Dónde lee esa información?
¿Cuánto dinero recibió en cada venta? ¿Dónde lee esa información?
Todas las cantidades de café indicadas en el conjunto de partida de la relación v, ¿resultaron
ser vendidas en ese día?
Para reflexionar sobre lo trabajado
Al responder las preguntas anteriores, usted debe haber observado que, tal como fue definida
la relación v, hay algunos elementos del conjunto de partida que no forman ningún par
ordenado de la relación. Esto ocurre porque esas cantidades de café no fueron vendidas ese
día y la relación v describe específicamente las ventas de café realizadas ese día.
En cambio, sí fueron vendidas ese día, o sí forman pares ordenados de la relación v, los
siguientes elementos del conjunto A: 4, 5,5y 6. Estos números son las primeras componentes
de cada par ordenado de la relación v.
Los importes correspondientes a estas cantidades de café son los siguientes elementos del
conjunto B: 72, 99 y 108. Estos números son las segundas componentes de los pares
ordenados de la relación v.
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: DOMINIO Y CONJUNTO IMAGEN DE UNA RELACIÓN.
Al conjunto formado por los elementos del conjunto de partida que forman algún par ordenado
de la relación lo llamamos dominio. En el caso de la relación v, este conjunto está formado
por las cantidades 4; 5,5 y 6 ya que son los únicos elementos del conjunto de partida de la
relación que forman pares ordenados. Escribimos simbólicamente a este conjunto así:
Dom v = {4; 5,5; 6}.
En general, llamamos dominio de una relación al conjunto formado por los elementos del
conjunto de partida que tienen algún correspondiente en el conjunto de llegada a través
de la relación.
Relaciones y Funciones
Matemática A – Unidad 4
76
RELACIONES Y FUNCIONES
UNIDAD 4
Entre los elementos del conjunto de llegada B, sólo 72, 99 y 108 forman algún par ordenado
de la relación v. Es decir que de todos los elementos de B sólo 72, 99 y 108 son
correspondientes, o imágenes, de algún elemento del conjunto de partida A. Al conjunto
formado por 72, 99 y 108 lo llamamos conjunto imagen de la relación v. Escribimos
simbólicamente a este conjunto así:
Im v = {36; 49,5 ; 54}.
En general, llamamos conjunto imagen de una relación al conjunto formado por los
elementos del conjunto de llegada que son correspondientes o imágenes de algún
elemento del conjunto de partida a través de la relación.
En la relación v puede observarse que las imágenes de los elementos del dominio de la
relación forman el conjunto imagen; y que las preimágenes de los elementos del conjunto
imagen de la relación forman el dominio de la misma. Esto ocurre así en cualquier
relación.
Le proponemos ahora pensar en una nueva situación:
_____________________________________________________________________
En un país que está pasando por un período de mucha inflación, se registró la
cotización del dólar durante los 5 días hábiles de una semana en la siguiente tabla:
Días
Cotización del dólar (en $)
1
2,5
2
2,8
2,75
3
2,8
4
3
5
3,5
Responda las siguientes preguntas teniendo en cuenta la información que le da la tabla:
 ¿Qué cotización tuvo el dólar el primer día de observaciones?
 ¿Qué día la cotización fue de $ 3?
 ¿Qué ocurrió con la cotización el segundo día de observaciones?
Si expresamos lo observado con la cotización del dólar durante esa semana a través de una
relación c de A en B. Definimos el conjunto de partida A =  1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 y el conjunto de
llegada B =  2,5 ; 2,75 ; 2,8 ; 3 ; 3,5 .
Responda las siguientes preguntas de acuerdo con la relación c:
 ¿Cuánto valen c(3) y c-1 (3,5)?
 En términos de la situación planteada, ¿qué expresan los valores que encontró en el
ítem 1.?
 ¿Cuál es el dominio de la relación c?
 ¿Cuál es el conjunto imagen de la relación c?
A la semana siguiente el valor del dólar siguió aumentando significativamente. La tabla que
sigue muestra lo ocurrido con la cotización en el transcurso de los 5 días hábiles de esa
semana:
Días
Cotización del dólar (en $)
1
3,1
2
4
3
4
4,25
5
4,25
Si definimos una relación d que exprese lo ocurrido con la cotización del dólar en esta nueva
semana. El conjunto de partida de la relación d es A = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5. El conjunto de
llegada de la relación d es B = 3,1 ; 4 ; 4,25. Los datos de ambos conjuntos se vinculan
como lo muestra la última tabla.
Responda las siguientes consignas a partir de la nueva información:
¿Qué pudo haber ocurrido con la cotización del dólar el día 3?
Relaciones y Funciones
Matemática A – Unidad 4
77
RELACIONES Y FUNCIONES
UNIDAD 4
Exprese en términos matemáticos lo que observa sobre la cotización del dólar el día 3.
 ¿Cuál es el dominio de la relación d?
 ¿Cuál es el conjunto imagen de la relación d?
Después de algunas semanas, el país logra estabilizar la cotización del dólar. La siguiente
tabla muestra cómo se vinculan los datos de una relación
f : {1; 2; 3; 4; 5}  {3,2; 3,1; 3,35}.
Días
Cotización del dólar (en $)
1
3,2
2
3,2
3
3,1
4
3,35
5
3,35
Responda las siguientes consignas a partir de la nueva información:
 Determine f(3).
 ¿Hay algún elemento del conjunto de partida de f que no tenga imagen en el
conjunto de llegada?
 ¿Hay algún elemento del conjunto de partida de f que tenga más de una imagen en
el conjunto de llegada?
 Compare la relación f con la relación d, ¿Qué diferencia encuentra? Descríbala con
sus palabras, teniendo en cuenta sus respuestas al ítem 2..
 Compare la relación f con la relación c, ¿Qué diferencia encuentra? Descríbala con
sus palabras, teniendo en cuenta sus respuestas al ítem 3..
 ¿Cuál es el dominio de la relación f?
 ¿Cuál es el conjunto imagen de la relación f?
Para reflexionar sobre lo trabajado
En la relación c podemos observar que el segundo día el dólar cotizó a dos precios diferentes.
En términos matemáticos decimos que el 2 tiene dos imágenes en el conjunto de llegada.
En la relación d podemos observar que el tercer día no hubo cotización. En términos
matemáticos decimos que el 3 no tiene imagen en el conjunto de llegada.
En cambio, en la relación f, para cada día hay una única cotización. Es decir que cada
elemento del conjunto de partida tiene una única imagen en el conjunto de llegada.
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: FUNCIÓN.
A relaciones como la relación f, en las que a cada elemento del conjunto de partida le
corresponde uno y no más de un elemento en el conjunto de llegada, las llamamos
funciones.
En general, decimos que una relación f : A  B es función si se cumple que cada uno
de los elementos del conjunto de partida A tiene imagen en el conjunto de llegada B y esa
imagen es única.
Por lo tanto, la relación c no es función porque el 2 del conjunto de partida tiene dos imágenes
en el conjunto de llegada. La relación d tampoco es función porque el 3 del conjunto de
partida no tiene imagen en el conjunto de llegada.
Como las funciones también son relaciones, podemos extender a ellas las ideas analizadas
hasta aquí sobre:
 los datos que es necesario informar para describirlas,
 el dominio,
 el conjunto imagen,
 la imagen de un elemento del conjunto de partida
 la preimagen de un elemento del conjunto de llegada y toda la simbología trabajada
hasta el momento.
Relaciones y Funciones
Matemática A – Unidad 4
78
RELACIONES Y FUNCIONES
UNIDAD 4
__________________________________________________________________
De acuerdo con esta nueva información analice cuáles de las relaciones presentadas
en la situación del negocio de Don Juan resultan ser funciones y cuáles no. Escriba el dominio
de la relación en cada uno de los casos en el que la relación sea función.
Para reflexionar sobre lo trabajado
Las relaciones r, s y t presentadas en la situación del negocio de Don Juan son funciones ya
que a cada elemento del conjunto de partida de la relación le corresponde una única imagen
en el conjunto de llegada. En cada una de ellas el dominio coincide con el conjunto de partida.
En general, en toda relación que es función, el dominio y el conjunto de partida coinciden.
La relación v no es función porque hay elementos del conjunto de partida que no tienen
imagen en el conjunto de llegada.
Hasta acá hemos presentado una serie de conceptos y el lenguaje simbólico asociado a ellos. Le proponemos a continuación
resolver algunas actividades en las que se ponga en juego lo trabajado para que pueda seguir entendiendo mejor las ideas que
estamos construyendo:
ACTIVIDAD Nº 1: “TRABAJANDO CON RELACIONES Y FUNCIONES”
1. La relación r de A en B que se muestra en la tabla vincula los días de la primera semana
de julio de cierto año con la temperatura mínima registrada en cada uno de esos días en la
ciudad de Buenos Aires:
Día
Temperatura mínima (en º C)
1
-3
2
-2
3
-1
4
0
5
-1
6
1
7
2
Consideramos al conjunto de partida A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7} y al conjunto de llegada
B = R.
R es el conjunto de los números reales que presentamos en la Unidad 2
Responda las siguientes preguntas a partir de la información dada:
a) ¿Qué temperatura mínima se registró en la ciudad de Buenos Aires el 3 de Julio?
b) ¿Qué día se registró una temperatura mínima de 2 º C bajo cero en la ciudad de
Buenos Aires?
c) Determine r (4) y r -1(1).
d) Interprete cada uno de los valores determinados en el ítem c) en términos de la
situación de las temperaturas mínimas que estamos analizando.
e) ¿Cuál es el dominio de la relación r?
f) ¿Cuál es el conjunto imagen de la relación r?
g) La relación r, ¿es función? Justifique su respuesta.
2.
Para la relación g definida como g: {2; 4; 6; 8; 10; 12}  N /
N es el conjunto de los números naturales que presentamos en la Unidad 2.
x
y
2
1
4
1
6
5
8
4
10
3
Responda las siguientes consignas:
a) ¿Cuál es el conjunto de partida de la relación? ¿Y el conjunto de llegada?
Relaciones y Funciones
Matemática A – Unidad 4
79
RELACIONES Y FUNCIONES
UNIDAD 4
b) Identifique todos los pares ordenados de la relación.
c) La relación g, ¿es función? Explique con sus palabras el porqué de su decisión.
3. En un bar utilizan mensualmente entre 5 y 9 litros de detergente para la limpieza del local.
La siguiente relación expresa, en lenguaje simbólico, el gasto y (en pesos) del bar de
acuerdo con la cantidad x (en litros) de detergente que utiliza mensualmente:
f: [5 ; 9] R / y = 3,25 . x
Responda las siguientes consignas a partir de la información anterior:
a) Identifique el conjunto de partida y el conjunto de llegada de la relación f.
b) De acuerdo con la forma en que está definida la relación f, ¿qué recurso utilizamos para
mostrar el vínculo entre los elementos del conjunto de partida y los de llegada?
c) ¿Cuánto dinero gastaron en detergente en el bar un mes en el que se utilizaron 7 litros y
medio?
d) ¿Cuántos litros de detergente se usaron en el bar un mes en el que el gasto en ese rubro
fue de $ 10?
e) Exprese las preguntas planteadas en los dos ítems anteriores en lenguaje matemático.
f) Calcule f(7) y f -1(29,25).
g) Exprese los dos valores calculados en el ítem f) en términos de la situación del gasto en
detergente.
h) Complete la siguiente tabla de valores para encontrar algunos pares ordenados de la
relación f:
x
y
5
6,5
8,25
22,75
30,625
i) Escriba el dominio y el conjunto imagen de la relación f.
j) La relación f, ¿es función? ¿Por qué?
4. En la siguiente tabla se muestran las diferentes posiciones de un móvil en los instantes t
indicados:
Tiempo t (en segundos)
Posición y (en metros)
0
0
1
1
2
4
3
9
4
16
Responda las siguientes consignas a partir de la información dada en la tabla:
a) Escriba todos los pares ordenados que pueden determinarse a partir de los valores de la
tabla.
b) ¿Qué expresa el par ordenado (2 ; 4) en términos de la situación de las posiciones del
móvil?
c) Si a partir de la tabla definimos una relación p que exprese la posición del móvil en los
instantes t dados, ¿cuál podría ser el conjunto de partida de la relación? ¿Y el conjunto
de llegada?
d) Elija cuál de las fórmulas dadas a continuación permite calcular la posición y del móvil
en cada instante t:
y = 2. t
y=t+2
y = t2
y = 2t
e) La relación p, ¿es función? Justifique su respuesta.
f) Indique el dominio y el conjunto imagen de la relación p.
5. Entre el conjunto de los habitantes de la República Argentina y el conjunto de números
naturales N se establecen las siguientes relaciones:
 La relación que a cada habitante le hace corresponder su edad en años.
 La relación que a cada habitante le hace corresponder su número de DNI.
 La relación que a cada habitante le hace corresponder cada uno de sus hermanos
.
Relaciones y Funciones
Matemática A – Unidad 4
80
RELACIONES Y FUNCIONES
UNIDAD 4
Analice en cada caso si la relación es función. Explique el por qué de cada una de sus
respuestas.
6.




Indique si las siguientes relaciones son funciones. Justifique sus respuestas.
g: {0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10} 
h: {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} 
–x+2
r: {1; 3; 5; 7; 9} 
x
y
1
4
3
4
5
4
7
4
9
4
x
y
1
2
1
4
1
6
1
8
1
10
s: {1; 3; 5; 7; 9} 
ACTIVIDAD Nº 2: “ARMANDO FUNCIONES”
1.
Una empresa telefónica cobra, por bimestre, una suma fija de $ 30 más $ 0,05 por cada
pulso consumido.
Responda las siguientes preguntas a partir de la información anterior:
a) ¿Cuánto se debe pagar en una vivienda que está deshabitada y en la que no se
consumen pulsos telefónicos en todo el bimestre?
b) ¿Cuánto paga una vivienda que consumió 245 pulsos en un bimestre?
c) ¿Y otra en la que se consumieron 456 pulsos?
d) ¿Qué cuenta realiza para calcular la cantidad de pesos a pagar de acuerdo con la
cantidad de pulsos utilizados?
e) Si llamamos x a la cantidad de pulsos, e y a la cantidad de pesos a pagar, escriba una
fórmula que permita calcular el valor de y a partir de x.
f) ¿Cuál de las siguientes funciones puede expresar la situación de las tarifas de la
empresa telefónica? Explique el por qué de su elección.
 f: R R / f(x) = 0,05 . x + 30
 elg: R ≥ 0R / g(x) = 0,05 . x + 30
R ≥ 0 representa al conjunto de los números reales mayores o iguales que cero .
 h: N N / h(x) = 0,05 . x + 30
 j: N R / j(x) = 0,05 . x + 30
g) A partir de la función que eligió en el ítem f), ¿es posible estimar cuál será el importe a
pagar si se consumen 621 pulsos en un bimestre? Si su respuesta es afirmativa, indique
dicho importe. Si su respuesta es negativa, explique con sus palabras por qué no puede
hacerlo.
2. Una empresa de electricidad cobra bimestralmente un cargo fijo de $ 20 más un cargo
variable en el que por cada kilowatt hora consumido se cobran $ 0,05.
Escriba una función que permita calcular el valor del importe y a pagar de acuerdo con el
consumo x de kilowatts hora bimestrales.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
A continuación seguiremos trabajando con otra de las formas que utiliza la Matemática para
mostrar las relaciones y funciones: las representaciones gráficas.
Posiblemente, usted habrá visto en diarios o revistas representaciones gráficas similares a la
que mostramos a continuación:
Relaciones y Funciones
Matemática A – Unidad 4
81
RELACIONES Y FUNCIONES
UNIDAD 4
$
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Días
La gráfica anterior podría representar, por ejemplo, la cotización de una acción en la bolsa
durante un período de tiempo. Le pedimos que responda las siguientes preguntas leyendo la
información desde el gráfico:
1. ¿Dónde puede observar los días en los que se registró la cotización? ¿Cuáles son dichos
días?
2. ¿Dónde puede observar las cotizaciones? ¿Cuáles son las cotizaciones registradas?
3. ¿Cuál es la cotización de la acción el día 2? ¿Y el día 6?
4. ¿Qué día/s la acción cotizó a $ 5?
5. Si definimos una relación que exprese la cotización de la acción en los días registrados por
el gráfico, ¿cuál es el conjunto de partida de la relación? ¿Y el conjunto de llegada?
6. La relación que expresada a través del gráfico, ¿es función?
Para reflexionar sobre lo trabajado
La representación gráfica es otro de los recursos que utiliza la Matemática para modelar la
realidad. Posiblemente sea una de las que usted más conoce porque es el que habitualmente
aparece en los medios de comunicación para mostrar la relación entre conjuntos de datos.
Volveremos sobre este tema en la Unidad 7 para mostrarle diferentes tipos de
representaciones gráficas.
La representación dada nos permite observar la cotización de la acción en cada uno de los
días considerados: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10. El conjunto formado por estos números es el
conjunto de partida de la relación. El conjunto formado por las cotizaciones registradas es el
conjunto de llegada de la relación. Es decir, B = 1, 2, 3, 4, 5, 8. También, podemos ver a
través del gráfico que el día 2 la acción cotizó a $ 4. Esa información la leemos en el punto
ubicado sobre la vertical del 2. Este punto, que tiene dos coordenadas, indica en la primera de
ellas el día y en la segunda, la cotización. La acción cotizó a $5 los días 3, 7 y 8. También
leemos esta información a partir de los puntos representados.
Le proponemos ahora resolver una nueva situación a través de la cual empezaremos a
trabajar con la forma de construir las representaciones gráficas:
_________________________________________________________________
Una empresa utiliza un sistema computarizado para confeccionar figuras que serán
estampadas sobre tela. Pedro, uno de los operadores de la empresa, está estudiando el
manual de la computadora para aprender a usar el sistema. Trataremos de ayudar a Pedro
con su tarea.
Hasta el momento, Pedro ha obtenido la siguiente información:
 En una pantalla se visualiza lo que se va creando y luego se estampará en la tela.
 Las figuras o dibujos se hacen por partes.
 Se inicia el trabajo pintando algunos puntos que servirán de guía para el trazado del
dibujo.
Relaciones y Funciones
Matemática A – Unidad 4
82
RELACIONES Y FUNCIONES

UNIDAD 4
Para ubicar los puntos a pintar, la computadora utiliza un sistema de referencia que
ocupa toda la pantalla. Ese sistema es como el que sigue:
Para ubicar cada punto en el sistema de referencia se debe introducir un código (v ; h) que
identifica a las coordenadas que localizan la posición del punto en el dibujo.
Tanto v como h pueden tomar cualquier valor dentro del conjunto de los números reales.
El operador empieza a probar y obtiene la siguiente pantalla:
Para pintar el punto que aparece en la pantalla, el operador teclea en la computadora el
siguiente código: (v ; h) = (3 ; 5).
De acuerdo con el manual, este código le indica a la máquina que debe pintar el punto donde
se cruzan la vertical 3 (v = 3) y la horizontal 5 (h = 5).
Pedro sigue investigando y obtiene la siguiente pantalla:
Relaciones y Funciones
Matemática A – Unidad 4
83
RELACIONES Y FUNCIONES
UNIDAD 4
Le pedimos que responda las siguientes consignas teniendo en cuenta la descripción sobre el
trabajo de Pedro:
1. Escriba los códigos que debió introducir Pedro a la computadora para obtener cada uno de
los puntos que se visualizan en la pantalla anterior.
2. Dibuje en su cuaderno una pantalla vacía y señale qué puntos serán pintados si se
introducen a la computadora los siguientes códigos:





Punto E: (v ; h) = (6,5 ; 3,5)
Punto F: (v ; h) = ( –7 ; 0)
Punto G: (v ; h) = (0 ; –6)
Punto H: (v ; h) = (0 ; 0)
Punto I: (v ;h) = ( –2,5 ; –2)




Punto J: (v ; h) = ( –3 ; 5)
Punto K: (v ; h) = (7,5 ; –5,5)
Punto L: (v ; h) = (4 ; 0)
Punto M: (v ; h) = (0 ; 5,5)
3. ¿Dónde quedan ubicados los puntos (v ; h) = ( –7 ; 0) y (v ; h) = (4 ; 0)?
4. ¿Dónde quedan ubicados los puntos (v ; h) = (0 ; –6) y (v ; h) = (0 ; 5,5)?
5. ¿Dónde queda ubicado el punto (v ; h) = (0 ; 0)?
Para reflexionar sobre lo trabajado
Le damos la siguiente información para que compare con lo que usted ya pensó o respondió.
Los códigos pedidos en el ítem 1., que son los que el operador debió introducir para obtener
cada uno de los puntos indicados en la pantalla dada, son:
Para el punto señalado con A: (v ; h) = (3 ; 5),
Para el punto indicado con B:(v ; h) = (–2 ; 3,5),
Para el C: (v ; h) = (–4 ; –5) y para el D: (v ; h) = (4,5 ; –3).
Los puntos pintados por los códigos dados en el ítem 2. se visualizan en la siguiente pantalla:
___________________________________________________________________
Continuemos representando otros puntos teniendo en cuenta también la
descripción sobre el trabajo de Pedro:
a) Represente en una pantalla como las que viene utilizando, los puntos:
(3 ; 1) , (3 ; 2,5) , (3 ; 5) , (3 ; 0) , (3 ; –1,5) , (3 ; –7)
b) ¿Qué observa sobre la ubicación de los puntos representados en el ítem a)?
c) Teniendo en cuenta sus respuestas a los ítems a) y b), represente todos los puntos de
la pantalla que resultan pintados cuando se le da a la computadora la instrucción de que
pinte los puntos cuya v = 3.
a)Represente en una pantalla como las que viene utilizando, los puntos:
(–5 ; –2) , (–3,5 ; –2) , (–1 ; –2) , (0 ; –2) , (1,5 ; –2) , (7,5 ; –2)
b) ¿Qué observa sobre la ubicación de los puntos representados en el ítem a)?
c) Teniendo en cuenta lo hecho en los ítems a) y b), represente todos los puntos de la
pantalla que resultan pintados cuando se le da a la computadora la instrucción de que
pinte los puntos cuya h = –2.
Relaciones y Funciones
Matemática A – Unidad 4
84
RELACIONES Y FUNCIONES
UNIDAD 4
Para reflexionar sobre lo trabajado
Si a la computadora se le da la instrucción v = 3, se le está indicando que pinte todos
aquellos puntos cuya v sea igual a 3. Por ejemplo (3 ; 1). La pantalla se ve así:
Cuando la instrucción es h = –2, la pantalla resulta:
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: SISTEMA DE EJES COORDENADOS CARTESIANOS.
El sistema de referencia utilizado por la computadora para realizar los diseños es similar al
sistema de ejes coordenados cartesianos que utiliza la Matemática para representar puntos
en el plano.
En los sistemas de ejes coordenados cartesianos, los ejes se cortan en un punto que se
llama origen de coordenadas, que corresponde al punto (0 ; 0). El plano queda dividido en
cuatro cuadrantes como muestra el siguiente gráfico:
Cada punto del plano es un par ordenado. En cada par ordenado se indican dos números o
componentes que son las coordenadas del punto. La primera componente, o primer número,
de los pares se llama abscisa, porque su valor pertenece al eje llamado de abscisas. La
segunda componente, o segundo número, se llama ordenada porque su valor pertenece al
Relaciones y Funciones
Matemática A – Unidad 4
85
RELACIONES Y FUNCIONES
UNIDAD 4
eje de ordenadas. Por ejemplo, en las coordenadas de A = (3 ; 5) decimos que la abscisa
es3 y la ordenada es5, o que A tiene abscisa 3 y ordenada 5.
Continuaremos trabajando con los gráficos como forma de expresar la relación entre dos
conjuntos de datos.
_____________________________________________________________________
Por una ruta se desplaza un automóvil y se van controlando sus posiciones en
distintos instantes. En el instante en que se produce el primer control, se pone en marcha un
cronómetro. A ese instante se lo considera con t = 0 minuto. A la posición correspondiente a
ese instante del primer control se le asigna el “kilómetro cero” ó posición y = 0.
Para describir lo observado sobre la posición del móvil (en kilómetros) en cada instante de
tiempo (en minutos) en el que se realizó el registro de su posición, se definió una función f. En
ella se muestra la “forma” en que se vinculan los datos de los conjuntos de partida y de
llegada a través del siguiente gráfico:
y










x




Responda las siguientes consignas teniendo en cuenta el gráfico anterior,:
1. Escriba el dominio y el conjunto imagen de la función f : A  B que describe lo
registrado respecto de este móvil.
2. ¿Cuál es la imagen de 20 a través de f?
3. Escriba la pregunta anterior en lenguaje simbólico.
4. Traduzca el valor calculado en el ítem 2. en términos de la situación que representa la
función f.
5. ¿Cuánto vale f -1 (60)?
6. Confeccione una tabla con los valores registrados.
¿Con qué cuenta podría calcularse la posición y del móvil a partir de conocer el tiempo
t transcurrido? Para responder tenga en cuenta los datos que escribió en la tabla.
7. ¿Cree que la función f : {0; 10; 20; 30; 40}  {0; 20; 40; 60; 80} tal que
y = f(t) = 2t describe los registros realizados a este móvil? Justifique su respuesta.
8. ¿Puede calcular utilizando la función f la posición del móvil a los 25 minutos? ¿Por
qué?
De acuerdo con el gráfico anterior, se registra la posición del móvil cuando el cronómetro
señala t = 0; t = 10; t = 20; t = 30 y t = 40.
Pero, entre t = 0 y t = 10 el tiempo siguió transcurriendo aunque no haya sido registrado, y a
la vez el móvil fue tomando todas las posiciones intermedias entre el kilómetro 0 y el kilómetro
20. Lo mismo ocurre entre t = 10 y t = 20; entre t = 20 y t = 30 y entre t = 30 y t = 40.
Teniendo en cuenta lo dicho en el párrafo anterior, podemos definir una función g: C  D que
describa la relación “tiempo - posición”, ya no sólo para los valores de t “registrados” sino para
cada instante t comprendido entre 0 y 40 minutos. Para hacerlo debemos suponer que en
Relaciones y Funciones
Matemática A – Unidad 4
86
RELACIONES Y FUNCIONES
UNIDAD 4
todo instante entre 0 y 40 el móvil se movió del mismo modo que en los instantes observados,
es decir que se verifica la fórmula y = 2t para todo valor de t que se encuentre entre 0 y 40. La
representación gráfica de la función g es la siguiente:
y










x




Responda las siguientes consignas a partir de la información anterior:
1. Escriba el dominio y el conjunto imagen de la función g.
2. ¿Puede calcular utilizando la función g la posición del móvil a los 25 minutos? ¿Por qué?
3. Exprese cuáles son las diferencias y las similitudes entre las funciones f y g. Para hacerlo
tenga en cuenta sus conjuntos de partida y de llegada, sus fórmulas y sus
representaciones gráficas.
4. Un compañero no entiende cómo construir el gráfico de la función g y le pide a usted que
le explique cómo hacerlo, ¿qué le diría?
Para reflexionar sobre lo trabajado
Las funciones f y g tienen la fórmula y = 2t en común pero se diferencian entre sí porque no
están definidas en los mismos conjuntos. La función f está definida del conjunto de partida A =
{0; 10; 20; 30; 40} en el conjunto de llegada B = {0; 20; 40; 60; 80}. En cambio, la función g
está definida del conjunto de partida
C = 0 ; 40 en el conjunto de llegada D = 0 ; 80.
Tenga en cuenta que con 0 ; 40 expresamos el intervalo cerrado 0 ; 40. Este intervalo está formado por todos los números
reales entre 0 y 40 incluyendo a estos dos extremos.
Esta diferencia se hace más visible en sus respectivas representaciones gráficas: la
representación gráfica de la función f es un conjunto de 5 puntos aislados, y la representación
gráfica de la función g es un conjunto de infinitos puntos.
Para representar una función como la función g, formada por infinitos puntos, es suficiente
con detectar algunos de los puntos del gráfico de la función, por ejemplo los que en este caso
conforman el gráfico de f, para luego completarlo utilizando estos puntos como referencia.
ACTIVIDAD Nº 3: “REPRESENTANDO FUNCIONES”
Represente cada una de las siguientes funciones en un sistema de ejes coordenados
cartesianos:
 f: –1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 N / y = 3 . x
 g: –1 ; 3 R/ y = 3. x
 h: R  R/ y = 3. x
Indique las similitudes y diferencias entre las 3 representaciones anteriores.
Puede controlar sus respuestas al final de la unidad
Relaciones y Funciones
Matemática A – Unidad 4
87
RELACIONES Y FUNCIONES
UNIDAD 4
Para concluir esta Unidad le proponemos que reflexione acerca de lo aprendido en ella en
relación con:
 Las diferentes formas de mostrar relaciones y funciones (tablas, fórmulas o gráficos).
 Las condiciones que deben verificarse para que una relación sea función.
 Los términos y la simbología matemática asociada a las relaciones y funciones.
 El dominio y el conjunto imagen de relaciones y funciones.
 Las funciones como forma de describir situaciones concretas, permitir su análisis y
predecir posibles resultados.
 Lectura de gráficos cartesianos.
 Representación en el plano de funciones de fórmulas sencillas.
Si puede reconocer estos temas y pudo resolver las actividades propuestas en relación con
cada uno de ellos, entonces está en condiciones de realizar la siguiente actividad integradora.
Sino, le proponemos repasar lo visto hasta ahora, y/o solicitar ayuda en alguno de los
espacios de orientación que le ofrece Adultos 2000 y encarar la actividad integradora luego de
haber resuelto sus dudas.
ACTIVIDAD INTEGRADORA
De una relación h se sabe que cumple con todas las condiciones que siguen:
 El conjunto de partida de h es {–2 ; 0 ; 1 ; 3 ; 4}
 El conjunto de llegada de h es {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}
 h( –2 ) = 5
 h-1 (4) = 3
 El par (0 ; 0) pertenece a la relación h.
 La imagen de 1, que es 2, coincide con la imagen de 4.
De acuerdo con la información anterior:
1. Determine todos los pares de la relación h.
2. Represente la relación h en un sistema de coordenadas cartesianas.
3. Decida si la relación h es función.
4. Escriba el dominio y el conjunto imagen de la relación h.
Relaciones y Funciones
Matemática A – Unidad 4
88
ÁNGULOS Y POLÍGONOS
UNIDAD 5
Introducción de la unidad.
Thiago y Sergio son arquitectos y les fue encargada la tarea de construir espacios
verdes, remodelar algunos edificios públicos y señalizar las calles y avenidas en un barrio de
su ciudad. En el siguiente plano está representada la zona a reciclar. En él se indican las dos
diagonales, calles y avenidas de la zona; la esquina conocida con el nombre de “El Punto”,
nacimiento de las dos diagonales; y algunos lugares en los que realizarán tareas:
N
O
E

S
La zona esta delimitada por las calles 4 y 9 (que recorren la ciudad de Norte a Sur) y las
avenidas 50 y 80 (que están orientadas de Este a Oeste). Los sectores del plano rayados
corresponden a plazas o zonas a parquizar.
En primer lugar le proponemos ubicarse en el plano:
¿Qué número lleva cada una de las avenidas y de las calles representadas en el plano?
Numere cada una de ellas teniendo en cuenta las numeraciones de las calles y avenidas que
delimitan la zona.
¿Entre qué calles se encuentra el conservatorio de música? ¿Y el hospital? ¿Cuál es la
esquina conocida como “El punto”? ¿Dónde se encuentran las plazas y las zonas a parquizar?
¿Cómo resulta ser una avenida respecto de otra? ¿Y una calle respecto de otra calle? ¿Cómo
son entre sí las calles y las avenidas? Las diagonales, ¿cortan a las calles del mismo modo
que lo hacen las avenidas?
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍA
Al responder las preguntas anteriores usted habrá utilizado el lenguaje con que el que
habitualmente se maneja a la hora de interpretar los datos de un plano en su vida cotidiana.
Posiblemente las palabras que utilizó coinciden con algunos términos que también utiliza la
Matemática.
Ángulos y Polígonos
Matemática A – Unidad 5
89
ÁNGULOS Y POLÍGONOS
UNIDAD 5
Por ejemplo, el punto de encuentro de las diagonales, nos puede dar una idea sobre a qué
llamamos punto en Geometría. El punto carece de dimensión y lo identificamos con letras
mayúsculas. Por ejemplo:
P●
que leemos “punto P”
La idea de recta puede verse en las calles, avenidas y diagonales de la zona, siempre que se
las piense como prolongaciones infinitas de las mismas. Las rectas no tienen comienzo ni fin,
son infinitas. Por esa razón, cuando trazamos una recta sólo podemos dibujar una parte de
ella. Para indicar en forma simbólica a las rectas utilizamos letras minúsculas. Por ejemplo:
r
que leemos “recta r”
Podemos pensar a las diagonales como semirrectas. Una semirrecta es una
parte de la recta que tiene principio pero no tiene fin. Las dos diagonales nacen, o tienen su
punto de origen, en “El punto” y se dirigen hacia el este. En términos matemáticos, para
nombrar las semirrectas indicamos el punto en el que tienen origen y un punto cualquiera por
donde pasen. Por ejemplo, si sobre la recta m, señalamos los puntos P y E:
P
E
m
determinamos la semirrecta de origen P que pasa por E que escribimos en forma simbólica
como PE .
Cualquier punto de una recta determina dos semirrectas con el mismo origen y
direcciones contrarias que se llaman semirrectas opuestas. En el siguiente gráfico PE y
PO son semirrectas opuestas.
O
P
E
En el plano sólo está representada una parte de cada recta. Por ejemplo, la Avenida
60, sólo está representada entre las calles 4 y 9. A esta porción de recta, delimitada por dos
puntos, la llamamos segmento. Para nombrar segmentos indicamos los puntos que lo
delimitan a los que llamamos extremos. Por ejemplo, sobre la recta m hemos indicado tres
puntos, A, B y C:
m
A
B
C
Al trozo de recta delimitado por los puntos A y B lo llamamos segmento AB y lo indicamos
AB o BA indistintamente. El segmento con extremos en los puntos B y C se indica BC o CB .
Los segmentos que comparten la misma recta (en este caso m) y tienen un punto en común
(por ejemplo, A) se llaman segmentos consecutivos. Los segmentos AB y BC son
segmentos consecutivos.
A la representación del esquema de la zona lo llamamos plano. En términos matemáticos, un
plano es una superficie de dos dimensiones infinitas (largo y ancho). Para nombrar los planos
utilizamos letras griegas. Por ejemplo:
Al que nombramos plano α (alfa)
α
Dos rectas pertenecientes a un mismo plano son paralelas cuando no tienen ningún punto en
común. Por ejemplo, en el plano, las avenidas son paralelas entre sí y las calles, a su vez, son
paralelas entre sí.
Dos rectas son incidentes cuando tienen un punto en común. Por ejemplo, cada una de las
diagonales con cada una de las calles o cada una de las avenidas con cada una de las calles.
Dos semirrectas con el mismo origen, llamado vértice, determinan un sector de un plano que
llamamos ángulo. Las semirrectas son los lados del ángulo. Si bien existen varias formas de
Ángulos y Polígonos
Matemática A – Unidad 5
90
ÁNGULOS Y POLÍGONOS
UNIDAD 5
nombrarlos, nosotros vamos a nombrarlos utilizando una letra griega o la letra del punto que
resulta ser el vértice. Por ejemplo:
A
α
β
B
Ángulo  o ̂
Ángulo B̂ o ̂
Al nombrar estos dos ángulos hemos usado las letras griegas α (alfa) y β (beta). También
usaremos  (delta),  (pi), γ (gamma) y θ (tita).
Medimos la amplitud de un ángulo en grados sexagesimales y los clasificamos de acuerdo
con esta medida. Si la amplitud del ángulo es menor de 90º, el ángulo es agudo. Si la
amplitud es de 90º el ángulo es recto. En este caso, los lados del ángulo resultan semirrectas
perpendiculares. Si la amplitud del ángulo es mayor de 90º, lo llamamos obtuso. Un ángulo
es llano si su amplitud es de 180º y sus lados son semirrectas opuestas


recto
agudo


llano
obtuso
Si dos ángulos tienen un lado en común los llamamos ángulos consecutivos. Por
ejemplo:


O
 y  son consecutivos.
Dos ángulos son complementarios cuando sus amplitudes suman 90°. En ese caso,
cada uno de ellos es el complemento del otro. Por ejemplo:

γ= 60º

δ = 30º
α y β son complementarios y consecutivos.
δ y γ son complementarios no consecutivos.
Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus amplitudes es igual a un llano, es
decir 180°. En ese caso decimos que uno es el suplemento del otro.
α
β
α
β
α y β son suplementarios y consecutivos
Ángulos y Polígonos
Matemática A – Unidad 5
91
ÁNGULOS Y POLÍGONOS
UNIDAD 5
δ=70º
γ= 110º
δ y γ son suplementarios no consecutivos
Dos ángulos son adyacentes cuando son suplementarios y consecutivos. La palabra
adyacente significa “que yace al lado”, es decir que un ángulo yace al lado del otro. Por
ejemplo:
α
γ
α y γ son adyacentes
Dos ángulos son opuestos por el vértice si los lados de uno de ellos son semirrectas
opuestas a los lados del otro y tienen el vértice común.
A
B
π
α
B´
o
β
A´
α y β son opuestos por
el vértice.
OA opuesta a OA´ y OB opuesta a OB´
ACTIVIDAD Nº 1: “TRABAJANDO CON ELEMENTOS GEOMÉTRICOS”
1. En el plano de la zona representada encuentre y nombre entre las calles, avenidas o
diagonales:
a) Dos segmentos consecutivos.
b) Dos segmentos no consecutivos.
c) Dos semirrectas opuestas.
2. Marque en su cuaderno tres puntos no alineados A, B y C y trace todas las rectas que
queden determinadas por estos tres puntos tomándolos de a dos. Nombre a esas rectas.
3. Sobre una recta m, marque los puntos P, Q, R y S en ese orden. Escriba todos los
segmentos distintos que quedaron determinados por esos cuatro puntos ( Pista: son seis).
Determine también un par de semirrectas opuestas.
4. En el plano de la zona a reciclar, identifique:
a) Un ángulo agudo, uno recto y uno obtuso.
b) Un par de ángulos consecutivos.
c) Un par de ángulos opuestos por el vértice.
d) Un par de ángulos adyacentes.
5. A continuación le mostramos el dibujo de la plaza en la que hemos indicado los lugares en
los que se construirán canteros con flores:
Ángulos y Polígonos
Matemática A – Unidad 5
92
ÁNGULOS Y POLÍGONOS
UNIDAD 5
Clasifique cada uno de los ángulos indicados en el esquema de acuerdo con la
clasificación dada en el En términos matemáticos anterior.
6. Complete la siguiente tabla:
Α
Complemento de α
Suplemento de α
0º
38°
90°
120°
180º
Ángulos opuestos por el vértice
____________________________________________________________________
A continuación retomaremos el trabajo con los ángulos opuestos por el vértice para
analizar sus propiedades.
En el siguiente gráfico se puede observar que cuando la recta r corta a la recta s, quedan
determinados dos pares de ángulos opuestos por el vértice: α es opuesto por el vértice con β
y γ es opuesto por el vértice con δ.
γ
s
α
β
δ
r
Le pedimos que reproduzca el dibujo anterior en su cuaderno, recorte cada uno de los cuatro
ángulos y superponga el ángulo α con el ángulo β y los ángulos γ y δ entre sí.
¿Qué observa en cada una de las superposiciones realizadas?
Trace otras 2 rectas que se corten formando otro ángulo pero que determinen también 2 pares
de ángulos opuestos por el vértice. Repita lo realizado con los ángulos α, β, γ y δ.
Si traza otras 2 rectas que se corten también formando 2 pares de ángulos opuestos por el
vértice, ¿Qué supone que ocurrirá con las amplitudes de los ángulos opuestos por el vértice?
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
Al recortar y superponer los ángulos opuestos por el vértice de cada uno de los gráficos
realizados, usted habrá observado que los mismos coinciden en cada caso. Si hiciéramos
nuevas representaciones, recortáramos y superpusiéramos los pares de ángulos opuestos por
el vértice entre sí, seguiríamos observando lo mismo: los ángulos coinciden. Esta es una
propiedad que se verifica en todos los pares de ángulos opuestos por el vértice.
Las verificaciones realizadas únicamente para algunos casos no permiten asegurar que lo
observado en ellos se cumpla para cualquier par de ángulos opuestos por el vértice. Para
poder hacerlo, la Matemática, utiliza recursos lógicos que le permiten demostrar que la
Ángulos y Polígonos
Matemática A – Unidad 5
93
ÁNGULOS Y POLÍGONOS
UNIDAD 5
propiedad es válida en cualquier caso. Nosotros no lo haremos en este caso pero igualmente
utilizaremos las verificaciones realizadas para enunciar la propiedad observada sobre los
ángulos opuestos por el vértice:
Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes (o iguales).
A lo largo de toda la unidad seguiremos trabajando en el reconocimiento de propiedades de ángulos y figuras geométricas. Tenga
presente el recurso de recortar y superponer que hemos utilizado para los ángulos opuestos por el vértice y utilícelo cada vez que
necesite verificar una propiedad.
Ángulos determinados por dos rectas cortadas por una transversal
Para analizar otras relaciones entre ángulos vamos a volver al plano de Thiago y Sergio.
Consideraremos tres rectas: la recta d que identifica a la Diagonal 1, la recta n que identifica
a la Diagonal 2 y la recta c que identifica a la Calle 7. Reproducimos a continuación la parte
del plano correspondiente a las calles nombradas simplificándolo de modo que sea más
sencillo visualizar las relaciones que queremos observar:
c
α β
d
γ δ
ε θ
n
π ω
En el gráfico podemos identificar ocho ángulos, que vamos a nombrar con letras griegas. Los
pares de ángulos α y δ, β y γ, ε y ω, θ y π son opuestos por el vértice.
A los ángulos α, β, π y ω los llamamos externos, porque se ubican en forma externa
respecto de las rectas d y n. A los ángulos γ, δ, ε y θ, los llamaremos internos porque se
ubican en forma interna respecto de esas mismas rectas.
A los pares de ángulos α y ε, β y θ, γ y π, δ y ω los llamamos correspondientes. Los
ángulos correspondientes se ubican en un mismo semiplano respecto de la recta c, a la que
llamamos transversal, uno de ellos es interno y el otro externo.
A los pares de ángulos α y ω, β y π los llamamos ángulos alternos externos. Alternos por
estar ubicados en distintos semiplanos planos respecto de la recta c y externos por lo que ya
dijimos.
A los pares de ángulos γ y θ, δ y ε los llamamos ángulos alternos internos. Alternos por
estar ubicados en distintos semiplanos planos respecto de la transversal e internos por lo que
ya dijimos.
A los pares de ángulos α y π, β y ω los llamamos ángulos conjugados externos. Así como
a los pares de ángulos γ y ε, δ y θ los llamamos ángulos conjugados internos. Los ángulos
conjugados se ubican en un mismo semiplano respecto de la transversal c, y son ambos
internos o ambos externos.
____________________________________________________________________
A continuación analizaremos qué ocurre con estos pares de ángulos cuando las
rectas cortadas por la transversal c son paralelas entre sí.
Por ejemplo, si la recta d identificara a la Calle 6, la recta n identificara a la Calle 7 y la recta c
fuera la Diagonal 1 (las calles son paralelas entre si) como reproducimos en el siguiente
dibujo:
Ángulos y Polígonos
Matemática A – Unidad 5
94
ÁNGULOS Y POLÍGONOS
UNIDAD 5
d
n
ε π
α γ
c
θ ω
β δ
Identifique los ocho ángulos determinados con las mismas letras que hemos utilizado para el
caso anterior. Copie el dibujo en una hoja y …
1. Calque y recorte los ángulos β y π, α y ω. De acuerdo con su ubicación, ¿qué nombre
recibe cada uno de estos pares de ángulos? Superponga el ángulo β con el ángulo π y
el ángulo α con el ángulo ω, ¿qué observa respecto de sus medidas en casa caso?
2. Calque y recorte los pares γ y θ, δ y ε. De acuerdo con su ubicación, ¿qué nombre
recibe cada uno de estos pares de ángulos? Superponga el ángulo γ con el ángulo θ y
el ángulo δ con el ángulo ε, ¿qué observa respecto de las medidas de los ángulos
superpuestos?
3. Haga lo mismo con los pares α y ε, γ y π, β y θ, δ y ω. De acuerdo con su ubicación,
¿qué nombre recibe cada uno de estos pares de ángulos? ¿Qué observa en cada
caso?
4. Calque y recorte los ángulos α y π, β y ω. De acuerdo con su ubicación, ¿qué nombre
recibe cada uno de estos pares de ángulos? ¿Qué ocurre si los superpone? ¿Qué
observa si los coloca en forma consecutiva?
5. Calque y recorte los ángulos γ y ε, δ y θ. De acuerdo con su ubicación, ¿qué nombre
recibe cada uno de estos pares de ángulos? ¿Qué ocurre si los superpone? ¿Qué
observa si los coloca en forma consecutiva?
Escriba sus conclusiones.
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: ÁNGULOS ENTRE PARALELAS
Los ángulos β y π, α y ω son alternos externos. Al recortar y superponer cada par de
ángulos entre sí, usted habrá podido observar que sus medidas coinciden. ¿Qué supone que
pasaría con sus medidas si la recta c tuviera otra inclinación y las rectas d y n continuaran
siendo paralelas? ¿Y si las rectas d y n no fueran paralelas? Si le hace falta realice otros
esquemas que le permitan responder.
Como ya hemos dicho con los ángulos opuestos por el vértice, para que una propiedad
tenga validez dentro del edificio matemático no es suficiente con su comprobación para
algunos casos particulares sino que hay que demostrarla en forma general. Por ahora,
continuaremos enunciando las propiedades sólo a partir de su verificación en algunos casos
particulares. De acuerdo con lo observado al recortar y superponer los dos pares de ángulos β
y π, α y ω, podemos enunciar que:
Los ángulos alternos externos entre paralelas son congruentes (o iguales).
Los ángulos γ y θ, δ y ε son alternos internos. Al recortar y superponer cada par de ángulos
entre sí, usted habrá podido observar que sus medidas coinciden. ¿Qué supone que pasaría
con sus medidas si la recta c tuviera otra inclinación y las rectas d y n continuaran siendo
paralelas? ¿Y si las rectas d y n no fueran paralelas? De acuerdo con lo observado al recortar
y superponer los dos pares de ángulos γ y θ, δ y ε, decimos que:
Ángulos y Polígonos
Matemática A – Unidad 5
95
ÁNGULOS Y POLÍGONOS
UNIDAD 5
Los ángulos alternos internos entre paralelas son congruentes (o iguales).
Al superponer los pares de ángulos α y ε, γ y π, β y θ, δ y ω también habrá observado que
sus medidas coinciden. Cada uno de ellos son pares de ángulos correspondientes.
Decimos entonces que:
Los ángulos correspondientes entre paralelas son congruentes (o iguales).
Los pares de ángulos α y π, β y ω son conjugados externos. Al superponerlos habrá notado
que no coinciden. Esto sólo ocurriría en el caso en que la recta c fuera perpendicular a las
rectas paralelas. Por ejemplo, en el plano de la zona, si tomáramos los ángulos determinados
por dos calles al ser cortadas por una avenida.
Al colocar estos ángulos en forma consecutiva usted habrá podido observar que forman un
ángulo llano, es decir que suman 180º. Esto nos permite enunciar la siguiente propiedad:
Los ángulos conjugados externos entre paralelas son suplementarios,
suman 180°.
Análogamente los ángulos γ y ε, δ y θ, que son conjugados internos entre paralelas,
también forma un llano al ser colocados en forma consecutiva. Podemos decir que:
Los ángulos conjugados internos entre paralelas son suplementarios,
suman 180°.
ACTIVIDAD Nº 2: “MÁS TRABAJO CON ÁNGULOS”
1. A continuación reproducimos el esquema de la plaza en la que los segmentos que
representan los caminos de la plaza se cortan en el centro de la misma y son
perpendiculares (rectas t y n). La recta n es paralela a las calles 8 y 9 que delimitan la
plaza. Las otras dos calles que delimitan la plaza son las Diagonales 1 y 2. A continuación
le mostramos el esquema en el que hemos señalado algunos ángulos sobre la diagonal 2:
s
n
d1
m
t
γ
β
π
θ
ω
α
ε
δ
d2
Responda las siguientes preguntas teniendo en cuenta lo trabajado y la información que le
brinda el gráfico:
a) ¿Cómo llamamos al par de ángulos β y π? ¿Cómo son sus medidas entre sí?
b) ¿Qué nombre damos al par de ángulos θ y ω? ¿Cómo son sus medidas entre sí?
c) ¿Qué nombre damos al par de ángulos β y α? ¿Cómo son sus medidas entre sí?
d) ¿Y los ángulos γ y δ?
e) Repita lo pensado para los pares β y δ, π y ω?
f) Identifique sobre la Diagonal 1 un par de ángulos alternos internos, un par de
alternos externos, un par de ángulos correspondientes, un par de conjugados
internos y otro par de conjugados externos.
Ángulos y Polígonos
Matemática A – Unidad 5
96
ÁNGULOS Y POLÍGONOS
UNIDAD 5
g) Repita lo pedido en f) para los ángulos determinados sobre la recta t. ¿Cuánto
mide cada uno de esos ángulos? ¿Por qué?
2. En la columna de la izquierda se escriben frases incompletas. Complételas usando las
frases escritas en la columna de la derecha.
Frases incompletas
Los ángulos complementarios ...
Los ángulos correspondientes entre paralelas ...
suman 180º
Los ángulos suplementarios ...
Los ángulos alternos entre paralelas ...
suman 90º
Los ángulos adyacentes ...
Los ángulos conjugados entre paralelas ...
son iguales
Los ángulos opuestos por el vértice ...
3. Indique, en el gráfico que sigue, al ángulo conjugado interno a α y al ángulo alterno interno
a α:
α
4. El plano de la casa de la familia Blanco es el que se reproduce a continuación:
Living
Comedor
Cocina
Dormitorio
Dormitorio
Baño
El carpintero construyó una biblioteca a medida y la ubicó en el ángulo marcado en
el living. Por cuestiones de fuerza mayor es necesario cambiarla de lugar.
¿En qué otro u otros lugares de la casa podrían ubicarla?
5. El ángulo γ es alterno externo con δ; δ, a su vez, es conjugado externo de ε que mide 65°.
¿Puede decir cuánto miden δ y γ? Si su respuesta es afirmativa, indique las medidas de
cada uno de ellos. Si su respuesta es negativa, indique cuál es la razón que le impide
calcular estas medidas. Si le resulta necesario, realice un esquema de la situación.
6. El ángulo γ es alterno externo entre paralelas con el ángulo δ; δ, a su vez, es conjugado
externo entre paralelas con el ángulo ε que mide 65°. ¿Puede decir cuánto miden δ y γ? Si
su respuesta es afirmativa, indique las medidas de cada uno de ellos. Si su respuesta es
negativa, indique cuál es la razón que le impide calcular estas medidas. Si le resulta
necesario, realice un esquema de la situación.
7. Determine la medida de todos los ángulos sabiendo que las rectas m y n son paralelas y
que la medida del ángulo β es de 125°.
Ángulos y Polígonos
Matemática A – Unidad 5
97
ÁNGULOS Y POLÍGONOS
UNIDAD 5
t
β
m
n
8. Calcule las medidas de los ángulos α y β sabiendo que las rectas m y n son paralelas
entre sí y que las rectas a y b también lo son.
α
m
120º
n
β
a
b
9. Plantee una ecuación que le permita averiguar la medida de los ángulos α y β sabiendo
que los mismos tienen la ubicación señalada en el gráfico entre las rectas r y s que son
paralelas.
t
α = 3x + 60°
r
s
β= x + 20°
Determine la medida de todos los ángulos que determinan las dos rectas al ser cortadas
por la recta t
10. Plantee una ecuación que le permita averiguar la medida de los ángulos α y β en esta
nueva situación. Las rectas m, n y r son paralelas.
α = 2x – 39º
β=
1
x + 81º
2
α
m
n
r
β
Determine la medida de todos los ángulos que determinan las tres rectas al ser cortadas por
la recta t
TRIÁNGULOS
A continuación retomaremos el trabajo con el plano de la zona a reciclar para continuar
analizando otras propiedades geométricas.
Entre las obras se planea parquizar la Plazoleta del Sol, ubicada en frente del hospital.
Reproducimos su esquema a continuación:
Ángulos y Polígonos
Matemática A – Unidad 5
98
ÁNGULOS Y POLÍGONOS
UNIDAD 5
Diagonal 1
Calle 6
Diagonal 2
¿Cuántas esquinas tiene la plazoleta? ¿Cuántas calles la rodean? ¿Conoce el nombre de la
figura geométrica que representa a la plazoleta?
Imagine que usted quiere ir caminar desde El punto de encuentro hasta la esquina de Calle 6
y Diagonal 2, ¿cuál sería el camino más largo? ¿Y el más corto?
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: TRIÁNGULOS
A la figura geométrica que representa a la plazoleta la llamamos triángulo porque tiene tres
lados y tres ángulos.
Si identificamos con letras mayúsculas a los puntos correspondientes a las esquinas de la
plazoleta, nos quedaría:
B
A
C
Entonces:
 Los segmentos AB, BC y CA son los lados del triángulo.
 Los puntos A, B y C son sus vértices.
 Los ángulos  , B̂ y Ĉ son los ángulos interiores del triángulo.

Los triángulos se clasifican de dos formas diferentes según la medida de sus lados o de sus
ángulos.
Según la medida de sus lados, los triángulos se clasifican en:
 Equiláteros: las medidas de sus tres lados son iguales.
 Isósceles: las medidas de dos de sus lados son iguales.
 Escaleno: las medidas de sus tres lados son diferentes.

En el plano de la zona podemos observar un ejemplo de cada uno de ellos. Por ejemplo, el
terreno que se encuentra en la manzana lateral al hospital, tiene sus tres lados iguales
(verifíquelo con regla o compás); la plazoleta del Sol tiene dos lados iguales; y en el triángulo
correspondiente al predio de la fábrica los tres lados tienen diferentes medidas. A
continuación reproducimos cada uno de ellos:

Terreno
Plaza del Sol
Fábrica
Según la medida de los ángulos, los triángulos se clasifican en:
Ángulos y Polígonos
Matemática A – Unidad 5
99
ÁNGULOS Y POLÍGONOS
UNIDAD 5
 Acutángulos: tienen los tres ángulos interiores agudos. Cualquiera de los tres
triángulos anteriores es un ejemplo de triángulo acutángulo.
 Rectángulos: tienen un ángulo recto. Por ejemplo el triángulo correspondiente al
terreno del conservatorio de música:
 Obtusángulos: tienen un ángulo interior obtuso. No aparece ninguno en el
plano. Un ejemplo:
Retomando la pregunta sobre cuál sería el camino más corto para dirigirse desde el Punto de
encuentro hasta la esquina de Calle 6 y Diagonal 2, podemos decir que es el que se recorre
caminando por la Diagonal 2. Si camina por la Diagonal 1 y luego por la Calle 6, el recorrido
resultaría más largo. Podríamos pensar lo mismo para cualquiera de los lados del triángulo.
Generalizando lo observado decimos que:
En todo triángulo la medida de un lado es menor que la suma de los otros dos.
Esta propiedad se llama propiedad triangular.
Además de la propiedad de los lados de un triángulo, que acabamos de enunciar, existen
otras propiedades que involucran a sus ángulos. Le proponemos realizar la siguiente actividad
para poder reconocer algunas de ellas:
____________________________________________________________________
La plazoleta del Sol tiene tres esquinas, cada una de ellas representa a un ángulo
interno al triángulo. En este caso identificaremos a estos ángulos utilizando las letras de sus
vértices. Es decir, los ángulos del triángulo que representa a la plazoleta son los ángulos A, B
y C:
B
A
C
Calque el triángulo que representa a la plazoleta, recórtelo y proceda como le indicamos a
continuación:

Una el vértice B del triángulo con el lado AC plegándolo como muestra la figura:
A
Ángulos y Polígonos
B
C
Matemática A – Unidad 5
100
ÁNGULOS Y POLÍGONOS

UNIDAD 5
Lleve los vértices A y C hacia el vértice B de manera que los tres se unan en un sólo
punto. Así:
¿Qué tipo de ángulo se obtiene al juntar los tres ángulos del triángulo ABC?
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: ÁNGULOS INTERIORES DE UN TRIÁNGULO
Al plegar la figura calcada uniendo los tres vértices del triángulo en un punto, usted habrá
podido observar que los tres ángulos interiores del triángulo forman un ángulo llano. Es decir
que la suma de las medidas de los tres ángulos es de 180º. ¿Qué ocurriría si usted dibujara
otros triángulos y repitiera el plegado propuesto? En todos los casos sucedería lo mismo:
formarían un ángulo llano. Generalizando lo observado decimos que:
En todo triángulo, la suma de sus ángulos interiores es igual a 180º
Simbólicamente:
 + B̂ + Ĉ = 180º
____________________________________________________________________
Utilizando la información sobre la suma de los ángulos interiores de un triángulo y
todo lo que sabe sobre ángulos y triángulos, calcule la medida de los ángulos indicados en
cada uno de los triángulos dibujados a continuación. Complete también el resultado de la
suma indicada debajo de cada uno de ellos:
140º
β
α
π
ε
130º
α + β = ……..
80º
ε + 80º = …….
20º
45º
20º + π = ………..
EN TERMINOS MATEMÁTICOS: ÁNGULOS EXTERIORES DE UN TRIÁNGULO
En cada uno de los triángulos anteriores, hemos dibujado un ángulo adyacente a alguno de
los ángulos interiores. Llamamos ángulo exterior a cualquiera de ellos. Es decir que, un
ángulo exterior a una figura, es un ángulo adyacente a cualquiera de sus ángulos interiores.
En cada vértice es posible determinar dos ángulos exteriores iguales entre sí. ¿Por qué
decimos que son iguales?
130
130
Ángulos y Polígonos
Matemática A – Unidad 5
101
ÁNGULOS Y POLÍGONOS
UNIDAD 5
Al calcular las sumas pedidas debajo de cada triángulo, usted habrá observado que el
resultado de cada una de ellas coincide con la medida del ángulo exterior señalado. Podemos
enunciar la siguiente propiedad relativa a los ángulos exteriores e interiores de un triángulo:
En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos
ángulos interiores no adyacentes con él.
Le proponemos trabajar con todas estas propiedades resolviendo la siguiente actividad:
ACTIVIDAD Nº 3: “LADOS Y ÁNGULOS DE TRIÁNGULOS”
1. Determine la verdad o falsedad de las siguientes frases. En aquellos casos en los que la
frase sea falsa, muestre un ejemplo en el que se muestre su falsedad.
 Un triángulo puede tener dos ángulos rectos.
 Si un triángulo tiene un ángulo obtuso, los otros dos son agudos.
 Los ángulos exteriores a un triángulo son siempre obtusos.
 Un ángulo exterior puede ser igual al ángulo interior correspondiente.
 Los dos ángulos exteriores correspondientes a un mismo ángulo interior son
opuestos por el vértice.
 Los triángulos equiláteros son isósceles.
 Un triángulo rectángulo puede ser isósceles.
 En un triángulo rectángulo, los ángulos agudos son complementarios.
2. Se quiere construir un triángulo con tres varillas de madera de las siguientes longitudes: 10
cm; 15 cm; 25 cm. ¿Es posible hacerlo?
3. Se quiere construir un triángulo cuyos ángulos interiores midan: 45º, 39º y 67º. ¿es posible
hacerlo?
4. En un triángulo rectángulo, uno de sus ángulos interiores mide 56º, ¿Cuánto mide el otro?
5. Calcule la medida de todos los ángulos interiores y exteriores de un triángulo ABC
sabiendo que el ángulo A mide 67º 34’ y que el ángulo C mide 23º 14’.
6. En un triángulo ABC el ángulo B mide el doble que el ángulo A y el ángulo C mide el triple
que el ángulo A.
a) Determine la medida de los tres ángulos interiores del triángulo.
b) Clasifique al triángulo ABC según la medida de sus ángulos.
7. Plantee y resuelva en cada uno de los siguientes casos una ecuación que le permita
calcular la medida de los ángulos β, α y π teniendo en cuenta la representación gráfica y
los datos dados a la derecha de la misma.
a)
β
π = 158°
α
π
α = x – 25°
β=x
Ángulos y Polígonos
Matemática A – Unidad 5
102
ÁNGULOS Y POLÍGONOS
UNIDAD 5
b)
β
α = x + 20°
π = x + 45°
α
π
β = x – 5°
____________________________________________________________________
Continuaremos trabajando con propiedades de los triángulos. Para ello le
proponemos resolver la siguiente situación:
Como parte de un diseño se dibujó, a partir de un triángulo rectángulo como el ABC la
siguiente figura:
Cada una de las figuras dibujada sobre cada lado del triángulo es un cuadrado. A los
cuadrados de lados b y c se los pintó de azul y al cuadrado de lado a se lo pintó de
rojo. Si el lado a mide 5 cm, el lado b mide 4 cm y el lado c mide 3 cm:
1. ¿Cuánto mide el área pintada de azul? (El área de un cuadrado es igual al cuadrado
de la medida de su lado)
2. ¿Cuánto mide el área pintada de rojo?
3. ¿Cómo son entre sí las áreas pintadas de cada color?
Responda las preguntas anteriores si el lado a mide 13 cm, el lado b mide 12 cm y el lado c
mide 5 cm. Repita lo hecho para a = 10 cm, b = 8 cm y c = 6 cm.
¿Qué conclusión puede obtener a partir de los cálculos anteriores? ¿Qué ocurriría si
repitiéramos lo hecho para otros casos?
EN TERMINOS MATEMÁTICOS: TEOREMA DE PITÁGORAS
En los tres casos anteriores el área pintada de rojo es igual al área pintada de azul. Por
ejemplo, en el caso en que el lado a mide 5 cm, el lado b mide 4 cm y el lado c mide 3 cm,
resulta:
Área pintada de azul: 32 + 42 = 25
Área pintada de rojo: 52 = 25
En los tres casos vemos que, para las medidas de a, b y c indicadas, se verifica que:
a2 = b 2 + c 2
Ángulos y Polígonos
Matemática A – Unidad 5
103
ÁNGULOS Y POLÍGONOS
UNIDAD 5
Esta propiedad es conocida como teorema de Pitágoras. El lado del triángulo que hemos
identificado con la letra a es el lado opuesto al ángulo recto. Llamamos hipotenusa a este
lado del triángulo. A los otros dos lados, los que forman el ángulo recto, los llamamos catetos.
Podemos entonces enunciar la propiedad anterior del siguiente modo:
En todo triángulo rectángulo se verifica que el cuadrado de la medida de la hipotenusa
es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos.
Como ya mencionamos anteriormente, para la Matemática no es suficiente la verificación de una propiedad sólo para algunos
casos particulares, sino que debe demostrarlo en forma general. Si bien en este curso no esperamos que usted realice la
demostración matemática de esta propiedad, sí nos interesa que al menos pueda verificar su validez para algunos casos
particulares.
P
ACTIVIDAD Nº 4: TRABAJANDO CON EL TEOREMA DE PITÁGORAS
1. Se quiere sostener un árbol debilitado por una tormenta. Para eso, se apoya un poste en el
tronco del árbol a una altura de 2 m. Dicho poste se apoya en el suelo a 3 m de la base del
tronco y se logra que el mismo quede perpendicular al suelo.
a) Complete el siguiente diagrama con las longitudes dadas.
b) Calcule la longitud del poste que sostiene al árbol.
2. Para cargar y descargar un camión de transporte de automóviles se usa una rampa que
mide 4 m de largo. Sobre el suelo (horizontal) la distancia que hay entre el punto de apoyo
de la rampa y la proyección vertical del extremo del camión es de 3,9 metros.
a) Ubique las longitudes dadas en el siguiente diagrama.
b) Calcule la altura del camión.
Con esta actividad hemos finalizado el trabajo con triángulos y comenzaremos a trabajar
con cuadriláteros.
CUADRILÁTEROS
____________________________________________________________________
Para ello le proponemos resolver la siguiente actividad en la que necesitará utilizar
Ángulos y Polígonos
Matemática A – Unidad 5
104
ÁNGULOS Y POLÍGONOS
UNIDAD 5
hoja lisa, regla, escuadra y tijera.
teB
Mire las figuras representadas a continuación. Todas tienen cuatro lados. Por esa razón se
llaman cuadriláteros. Entre ellos hay tres grupos:
 Los cuadriláteros que tienen dos pares de lados opuestos paralelos, llamados
paralelogramos.
 Los cuadriláteros que tienen un par de lados opuestos paralelos, llamados trapecios.
 Los cuadriláteros que no tienen ningún par de lados opuestos paralelos, llamados
trapezoides.
Vamos a comenzar nuestro trabajo con cuadriláteros con los paralelogramos.
Calque todos los paralelogramos dados en la representación gráfica anterior y recórtelos.
Tome uno de ellos e investigue si es posible plegarlo sobre sí mismo en dos partes de modo
que las dos partes queden superpuestas coincidiendo de manera exacta. Si es posible,
dóblelo en la forma descripta. Continúe investigando si es posible plegar ese paralelogramo
de otras formas de modo que se cumplan la condición pedida.
Repita lo hecho con este paralelogramo con cada uno de los paralelogramos que recortó y a
partir de lo realizado responda las siguientes preguntas:
1. ¿Cuál o cuáles de los paralelogramos recortados pudieron ser plegados del modo
pedido?
2. En cada uno de los paralelogramos, ¿de cuántas formas puede hacer el plegado de
manera que coincidan las partes superpuestas?
Parte B
Calque ahora todos los trapecios dados anteriormente y recórtelos. Tome uno de los
trapecios recortados. Intente plegarlo, si es posible, en dos partes sobre sí mismo, de modo
que las dos partes queden superpuestas, coincidiendo de manera exacta. Investigue si es
posible plegar ese trapecio de otras formas de modo que se cumplan las condiciones pedidas.
Repita lo hecho con cada uno de los trapecios que recortó y a partir de lo realizado responda
las siguientes preguntas:
1. ¿Cuál o cuáles de los trapecios recortados pudieron ser plegados del modo pedido?
Ángulos y Polígonos
Matemática A – Unidad 5
105
ÁNGULOS Y POLÍGONOS
UNIDAD 5
2. En cada uno de los trapecios, ¿de cuántas formas puede hacer el plegado de manera
que coincidan las partes superpuestas?
Repita lo hecho con los paralelogramos y trapecios con los trapezoides dados.
Para reflexionar sobre lo trabajado
Los cuadriláteros que pueden plegarse de modo que las partes superpuestas resulten
coincidentes son los que representamos a continuación:
Fíjese, por ejemplo, para la siguiente figura: si la plegamos siguiendo la línea punteada, las
partes superpuestas coinciden:
Pero también se cumple lo pedido si plegamos la figura por cualquiera de las otras líneas
punteadas que se indican en los dibujos que siguen:
¿Coincide esto con lo que observó al doblar la figura que recortó? Y en los otros cuadriláteros,
¿qué ocurre? En los siguientes dibujos, la línea punteada indica el lugar por donde puede
plegarse cada figura de modo que las partes que se superponen coincidan:
En estos cuadriláteros:
1. ¿Cómo son entre sí las medidas de los lados que se superponen al doblar la figura?
2. ¿Cómo son entre sí las medidas de los ángulos que se superponen al doblar la figura?
Para reflexionar sobre lo trabajado
Al doblar todos estos cuadriláteros por la línea punteada podemos observar que las medidas
de los lados que se superponen son iguales. Lo mismo ocurre con los ángulos. Es decir, los
ángulos que se superponen tienen igual medida. Por esta razón decimos que la recta que
contiene a la línea punteada es un eje de simetría de cada figura y que cada parte plegada
es simétrica de la otra. Por ejemplo, observe el trapecio ABCD que representamos a
continuación:
Ángulos y Polígonos
Matemática A – Unidad 5
106
ÁNGULOS Y POLÍGONOS
UNIDAD 5
Después de plegarlo por el eje de simetría, podemos observar que:
 El lado AB se superpone con el lado CD. Por eso decimos que los segmentos AB y CD

son congruentes y que sus medidas son iguales. En lenguaje simbólico: AB = CD .
El ángulo A se superpone con el ángulo D y el ángulo B con el ángulo C. Es decir, los
ángulos A y D son congruentes y los ángulos B y C también lo son (es decir, sus
medidas son iguales). En lenguaje coloquial decimos que la medida del ángulo A es
igual a la medida del ángulo D y que la medida del ángulo B es igual a la medida del
ángulo C. Simbólicamente, escribimos: Â = D̂ y B̂ = Ĉ
____________________________________________________________________
Teniendo en cuenta lo observado en la reflexión anterior analice, para cada uno
de los cuadriláteros en los que haya eje de simetría, cuáles son:
 Los pares de lados que tienen igual medida entre sí.
 Los pares de ángulos que tienen la misma medida entre sí.
Complete el siguiente cuadro a partir de las conclusiones obtenidas:
Parte F
Le agregamos la siguiente información:
 Los cuadriláteros que tienen todos sus ángulos congruentes o de igual medida se
llaman rectángulos.
Ángulos y Polígonos
Matemática A – Unidad 5
107
ÁNGULOS Y POLÍGONOS




UNIDAD 5
Los cuadriláteros que tienen todos sus lados congruentes o de igual medida se llaman
rombos.
Los cuadriláteros que cumplen con las dos condiciones anteriores se llaman
cuadrados.
Los trapecios que tienen un par de lados congruentes se llaman trapecios isósceles.
Los trapezoides que tienen dos pares de lados consecutivos congruentes se llaman
romboides.
Teniendo en cuenta la nueva información, póngale nombre a cada una de las figuras con las
que completó la tabla anterior.
Vamos a continuar explorando propiedades de los cuadriláteros.
Le pedimos ahora que tome uno de ellos, por ejemplo, el cuadrado, y trace en él sus
diagonales (una diagonal es un segmento que une dos vértices no consecutivos). Por
ejemplo, en el cuadrado ABCD que representamos a continuación, los segmentos BD y AC
son sus diagonales:
Explore la figura, plegándola por sus diferentes ejes de simetría, de modo que pueda
averiguar cómo resultan ser entre sí las medidas de las diagonales y cómo resultan ser entre
sí los segmentos en que se dividen las diagonales al cortarse. Es decir, utilizando lenguaje
simbólico, ¿cómo es la medida del segmento AO respecto de la medida del segmento OC ?
¿Y la medida de BO respecto de OD? Escriba las conclusiones que vaya obteniendo.
Para reflexionar sobre lo trabajado
Si doblamos el cuadrado por sus distintos ejes de simetría podemos observar que las
diagonales son congruentes, es decir que las medidas de las diagonales son iguales. También
se observa, al doblarlo por sus diagonales, que la medida de AO es la misma que la de OC ,
y que la medida de BO es la misma que la de OD .
En lenguaje coloquial decimos que las diagonales de un cuadrado se cortan mutuamente en
segmentos congruentes, y que el punto donde se cortan es el punto medio de cada una de
ellas.
____________________________________________________________________
Repita lo hecho, en relación con las diagonales del cuadrado, con el rectángulo, el
rombo, el trapecio isósceles y el romboide. Organice un cuadro en el que registre cada una de
las conclusiones obtenidas sobre las diagonales de cada uno de los cuadriláteros (tenga en
cuenta para hacer este nuevo cuadro, el que le dimos en páginas anteriores para registrar las
propiedades de los lados y ángulos)
Parte H
Busque ahora entre las figuras recortadas aquellas en las que una o ambas diagonales
resultan ser eje de simetría. El cuadrado es una de ellas. Observe en el cuadrado ABCD que
dibujamos a continuación los ángulos señalados como A1, A2, B1, B2, C1, C2, D1 y D2:
Ángulos y Polígonos
Matemática A – Unidad 5
108
ÁNGULOS Y POLÍGONOS
UNIDAD 5
¿Cómo son entre sí los ángulos A1 y A2 , los ángulos B1 y B2, los ángulos C1 y C2, los ángulos
D1 y D2 ? Doble las figuras de manera adecuada para que pueda observar lo necesario para
responder. Agregue estas conclusiones al cuadro que empezó a construir en relación con las
propiedades de las diagonales.
Para reflexionar sobre lo trabajado
Los cuadriláteros que tienen una o las dos diagonales como eje de simetría son los que
representamos a continuación:
Como habrá observado, en el romboide, sólo una de sus diagonales es eje de simetría de la
figura. Dicha diagonal recibe el nombre de diagonal principal.
En el cuadrado dibujado podemos ver que B1 y B2 son los ángulos en que la diagonal BD
divide al ángulo B, y que D1 y D2 son los ángulos en que la misma diagonal divide al ángulo
D. Al doblar la figura por la diagonal podemos observar que las dos partes del ángulo se
superponen. En lenguaje simbólico: B̂ 1 = B̂ 2 ; D̂ 1 = D̂ 2 . Es decir que la diagonal BD divide a
los ángulos B y D en dos ángulos iguales. Podemos decir entonces que la diagonal es
bisectriz de dichos ángulos. Lo mismo ocurre con la diagonal AC del cuadrado.
____________________________________________________________________
Repita el análisis realizado con el cuadrado con el resto de los cuadriláteros que
tienen a una o dos de sus diagonales como ejes de simetría. Traslade estas nuevas
conclusiones al cuadro que comenzó a armar en relación con las diagonales.e I
Entre las figuras que recortó al comienzo de la actividad, busque el cuadrilátero representado
a continuación:
Trace en él las diagonales y una línea punteada perpendicular a la diagonal BD (o sea, que
forme con la diagonal un ángulo recto) que pase por el punto donde se cortan las diagonales.
En el siguiente gráfico le mostramos las líneas que describimos:
Ángulos y Polígonos
Matemática A – Unidad 5
109
ÁNGULOS Y POLÍGONOS
UNIDAD 5
Doble la figura por la diagonal BD y a la figura doblada hágale un segundo doblez, por la línea
punteada. Observe en la figura los segmentos y ángulos que se superponen al doblarla y
complete la línea de puntos con " = " ó "  " según corresponda:
 ..... Ĉ
 ..... B̂
 ..... D̂
B̂ ..... D̂
B̂ ..... Ĉ
Ĉ ...... D̂
AB ..... CD
BO ..... OD
Ahora trace una línea perpendicular a la diagonal AC, que pase también por el punto donde
se cruzan las diagonales. Doble la figura por la diagonal AC y hágale un segundo doblez por
la línea punteada. Observe en la figura los lados y ángulos que se superponen al doblarla y
complete la línea de puntos con " = " ó "  " según corresponda:
BC ..... AD
AB ..... AD
BC ..... CD
AO ..... OC
AC ..... BD
Complete una tabla con las conclusiones obtenidas respecto de los lados, ángulos y
diagonales de esta figura.
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: PROPIEDADES DE LOS LADOS Y ÁNGULOS DE LOS
CUADRILÁTEROS
A partir del plegado de los cuadriláteros, usted ha podido explorar propiedades relativas a los
lados, ángulos y diagonales de los mismos. Nosotros insistimos en aclarar que la observación
de una propiedad en casos particulares no es suficiente para afirmar la validez de la misma en
todos los casos posibles. Sin embargo, el recurso utilizado es valioso para poder construir
hipótesis en relación con las propiedades geométricas.
Por esa razón, aunque no se lo volvamos a proponer explícitamente, tenga en cuenta el recurso de doblar y plegar cada
vez que necesite recurrir a una propiedad y no esté seguro de recordar si la misma tiene validez o no.
En conclusión, las propiedades observadas en los cuadriláteros analizados son:
En los paralelogramos en general:
 Los lados opuestos son congruentes (miden lo mismo).
 Los ángulos opuestos son congruentes.
 Las diagonales se cortan mutuamente por su punto medio.
En particular, en el rectángulo, también podemos observar que:
 Las diagonales son congruentes.
A su vez, en los rombos:
 Las diagonales se cortan en forma perpendicular.
 Cada diagonal resulta ser bisectriz de los ángulos cuyos vértices une (es decir,
divide a cada ángulo en la mitad).
En los trapecios isósceles:
 Los ángulos adyacentes a los lados paralelos son congruentes.
 Las diagonales son congruentes.
En los romboides:
 Las diagonales son perpendiculares.
 La diagonal principal corta a la otra por su punto medio.
 La diagonal principal es bisectriz de los ángulos cuyos vértices une.
____________________________________________________________________
Para conocer la propiedad de los ángulos interiores de un cuadrilátero le pedimos que
dibuje uno cualquiera de ellos y trace una de sus diagonales. ¿Cuántas figuras geométricas
quedan determinadas después de trazarla? ¿Qué tipo de figura es cada una de ellas?
¿Cuánto vale la suma de los ángulos interiores de cada una de ellas?
Dibuje otros cuadriláteros diferentes y trate de responder las preguntas anteriores. La
suma de los ángulos interiores del cuadrilátero, ¿será siempre la misma?
Ángulos y Polígonos
Matemática A – Unidad 5
110
ÁNGULOS Y POLÍGONOS
UNIDAD 5
¿Se anima a explicar con sus palabras cuál es el valor de la suma de los ángulos interiores
de un cuadrilátero?
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN
CUADRILÁTERO
Cualquiera haya sido el cuadrilátero elegido resulta que al trazar una de sus diagonales
siempre quedan determinados dos triángulos:
A partir del trabajo realizado con los triángulos, sabemos que la suma de los ángulos
interiores de cualquiera de ellos es de 180º.
B
C
Θ
β
α
π
δ
A
ω
D
En el triángulo ABD los ángulos α, δ y ω suman 180º. En el triángulo BCD los ángulos θ, β y
π suman 180º. El ángulo A del cuadrilátero coincide con el ángulo δ del triángulo, así como C
coincide con β. A su vez, la medida del ángulo B es equivalente a la suma de las medidas de
los ángulos α y θ y la medida del ángulo D es equivalente a la suma de los ángulos ω y π.
Esto quiere decir que:
A + B + C+ D = δ + (α + θ) + β + (ω +π)
Como ya vimos al trabajar las propiedades de la suma de números enteros y racionales, la
suma es asociativa y conmutativa. Esto significa que podemos alterar el orden de los términos
para resolverla y agruparlos de manera conveniente. Por lo tanto, la suma:
δ + (α + θ) + β + (ω +π) = (δ + α + ω) +(θ + β +π) = 180º + 180º = 360º
En lenguaje coloquial, decimos que:
En todo cuadrilátero la suma de sus ángulos interiores es de 360º
ACTIVIDAD Nº 5: TRABAJANDO CON CUADRILÁTEROS
1. Teniendo en cuenta que un ángulo interior y su correspondiente ángulo exterior son
suplementarios, determine el valor de la suma de los ángulos exteriores de un
cuadrilátero.
2. En el paralelogramo ABCD, el ángulo D mide 85º. ¿Cuánto miden los demás ángulos
del paralelogramo?
3. En el paralelogramo ABCD, el ángulo D = x + 30º y el ángulo B = 2x - 45º. Teniendo en
cuenta las propiedades de los ángulos interiores de un paralelogramo, plantee y
resuelva una ecuación que le permita determinar la medida de los ángulos interiores
del paralelogramo ABCD. Determine la medida de cada uno de ellos.
4. En el paralelogramo ABCD, el ángulo A = 3 (x - 28º) y el ángulo D = 2x + 14º.
Teniendo en cuenta las propiedades de los ángulos interiores de un paralelogramo,
plantee y resuelva una ecuación que le permita determinar la medida de los ángulos
interiores del paralelogramo ABCD. Determine la medida de cada uno de ellos.
Ángulos y Polígonos
Matemática A – Unidad 5
111
ÁNGULOS Y POLÍGONOS
UNIDAD 5
5. Calcule la medida de las diagonales del paralelogramo ABCD sabiendo que el
segmento BO mide 3 cm y que el segmento OC mide 4 cm (O es el punto donde se
cortan las diagonales).
6. Teniendo en cuenta las propiedades de los trapecios isósceles
a) Calcule la medida de todos los ángulos interiores de un trapecio isósceles ABCD
sabiendo que el ángulo B mide 43º.
b) Calcule la medida de las diagonales del trapecio isósceles ABCD sabiendo que: AC
= 2x - 3cm y BD = x + 4 cm.
7. A continuación representamos el trapecio isósceles MNPQ:
Le informamos que:
 La recta e es el eje de simetría del trapecio.
 BP mide 3 cm.
 AQ // NP y MQ // AP
A partir de la información anterior, responda las siguientes preguntas:
a) ¿Qué nombre reciben los cuadriláteros MAPQ y QANP?
b) ¿Cuál es la medida del lado MA del cuadrilátero QMAP?
c) ¿Cuál es la medida de la base mayor del trapecio MNPQ?
8. El trapecio que dibujamos a continuación recibe el nombre de trapecio rectángulo por
tener ángulos rectos:
Calcule la medida de todos sus ángulos interiores sabiendo que uno de ellos mide
120º.
9. Resuelva el siguiente problema teniendo en cuenta las propiedades de los romboides
estudiadas en esta unidad.
Calcule la medida de todos los ángulos interiores del romboide ABCD, sabiendo que
las medidas de los ángulos del triángulo BCD son: B = 45º, C = 110º y D = 25º.
Ángulos y Polígonos
Matemática A – Unidad 5
112
MEDICIÓN DE MAGNITUDES – SIMELA
UNIDAD 6
Si presta atención a un día cualquiera de su vida notará que usted utiliza varias magnitudes
permanentemente: tiempo, temperatura, peso, capacidad, longitud, superficie, volumen,
velocidad, etc. Al levantarse, generalmente escucha la hora y la temperatura en la radio o en
la televisión. El recorrido que debe hacer para llegar a su trabajo o la cantidad de soga
necesaria para tender la ropa son ejemplos de cantidades de la magnitud longitud. Si va al
mercado tiene que considerar el peso de la mercadería o la cantidad de líquido que tiene una
botella. Al evaluar un terreno para construir una casa o al considerar la superficie de pared a
empapelar, por ejemplo, entra en contacto con la magnitud superficie.
Usted se maneja con cantidades de estas magnitudes medidas en diferentes unidades.
Muchas de las unidades le son muy conocidas y usted las utiliza cotidianamente. Por ejemplo,
mide el tiempo en horas, minutos y segundos; la temperatura en grados centígrados; la
longitud de la soga en metros o centímetros; la distancia al trabajo en cuadras o kilómetros; el
peso de la mercadería en gramos o kilogramos; la capacidad de la botella en litros o mililitros;
la superficie del terreno o de la pared en metros cuadrados. Si bien las nombradas no son las
únicas unidades de medición existentes, ni tampoco son universales, son las que se usan más
habitualmente en nuestro país.
En esta unidad entraremos en contacto con las magnitudes a través de la estimación, la
comparación y la medición de cantidades de algunas de ellas. Trabajaremos con las
formas de medir, con las unidades utilizadas para hacerlo y las equivalencias entre unas y
otras.
____________________________________________________________________
Le proponemos comenzar a hacer algunos acuerdos resolviendo la siguiente
situación:
Parte A
Guillermo y Ricardo están acampando. Necesitan saber cuánta soga deben conseguir para
colgarla entre dos árboles que están cerca de donde ubicaron sus carpas. No disponen de
instrumentos de medición como podría ser una cinta métrica, una regla u otro elemento de los
que usted conoce.
¿Cómo podrían hacer Guillermo y Ricardo para saber cuál es la distancia entre los dos
árboles? Imagínese en esa situación y piense cómo intentaría resolverla antes de continuar
con su lectura.
Parte B
Como posible solución al problema que se les plantea, Guillermo decide contar cuántos pasos
hay entre los 2 árboles. Camina desde un árbol al otro y cuenta 15 pasos. Para estar más
seguro, vuelve a caminar entre los 2 árboles y cuenta 16 pasos.
¿Qué pudo haber provocado que la cantidad de pasos que cuenta Guillermo en cada ocasión
sea diferente?
Para evitar el inconveniente, Guillermo decide caminar entre los dos árboles poniendo un pie
a continuación del otro (como haciendo "pan y queso"). Así cuenta 55 pies.
Para no correr el riesgo de quedarse corto con la soga le pidió a Ricardo que hiciera lo mismo:
que midiera la longitud entre un árbol y otro poniendo un pie a continuación de otro. Su amigo
lo hace y cuenta 56 pies.


¿Qué pudo haber provocado la diferencia en la cantidad de pies contada por cada
amigo?
Teniendo en cuenta las dificultades que han tenido los dos acampantes, si usted
estuviera en esa situación, ¿cómo haría para saber cuál es la distancia entre los
dos árboles? (recuerde que no tiene instrumentos de medición).
Medición de magnitudes - Simela
Matemática A – Unidad 6
113
MEDICIÓN DE MAGNITUDES – SIMELA
UNIDAD 6
Piense una respuesta antes de seguir con su lectura. No importa si la misma es correcta o no, lo importante es que se dé a sí
mismo la oportunidad de pensarla.
Para reflexionar sobre lo trabajado
Los dos amigos necesitan hacer la medición de una longitud. Al hacerlo están comparando
esa longitud con una unidad. Las unidades utilizadas por Guillermo y Ricardo son sus "pasos"
o sus "pies".
En la primera medición, Guillermo compara la distancia entre los dos árboles con la unidad
"paso de Guillermo". Pero esta unidad no es confiable porque en la segunda medición, la
unidad "paso de Guillermo" resulta distinta a la primera oportunidad porque la cantidad de
pasos es mayor. Seguramente los pasos resultaron más cortos. Es difícil controlar la medida
de nuestros pasos de modo que no se produzca ninguna variación de uno a otro.
En las otras mediciones, las unidades son el "pie de Guillermo" o el "pie de Ricardo". Pero
estas unidades dependen del tamaño del pie de cada uno, la unidad no es universal. Además,
para comprar la soga, necesariamente debería ir la persona que realizó la medición (o mandar
su zapato) para que el ferretero pudiera saber el tamaño de la unidad considerada en la
medición. Es decir, se trata de una unidad que no puede ser utilizada por cualquier persona. A
esta altura ya se habrá dado cuenta de la poca practicidad de las unidades “paso de
Guillermo” o “pie de Guillermo”.
Para poder efectuar una medición confiable y que pueda ser utilizada por cualquier persona,
debe elegirse una unidad que no dependa de quién mida y que pueda utilizarse en forma
independiente de la persona que efectúa la medición. En otras palabras, la unidad de
medición debe poder ser utilizada y entendida por cualquier persona de la misma
manera.
Por ejemplo, en el caso de los acampantes, la unidad de medición podría ser un "palo" que se
encuentre en el campo. Así podrán medir cuántas unidades "palo" hay entre los árboles.
Sabiendo esa medida, alguno de ello su otra persona podría ir con el palo a la ferretería y
comprar tantos "palos" de soga como hayan contado entre los dos árboles.
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: PRIMERAS UNIDADES DE MEDICIÓN
Algo similar a lo pensado con esta situación ocurrió con las mediciones en la historia de la
humanidad. Inicialmente, el hombre utilizó su propio cuerpo para medir longitudes. Utilizó su
pie, su mano, su pulgar que dieron origen a unidades como el "pie", el “palmo” y la "pulgada",
respectivamente. En un principio las utilizó de la misma forma que lo hicieron Guillermo y
Ricardo. Es decir, cada persona tenía su propia unidad de medición que dependía del tamaño
de su pie, de su mano o de su pulgar. Las unidades eran arbitrarias y eso generó más de un
problema a la hora de resolver cuestiones vinculadas a la economía o la división de tierras. A
través del tiempo este tipo de unidades se fueron unificando y generalizando, creándose así
los primeros sistemas de medición para las diferentes magnitudes.
En los primeros sistemas de medición de longitudes, las medidas básicas estaban referidas al
cuerpo humano. En algunos países todavía se siguen utilizando estas unidades. Usted,
posiblemente, habrá escuchado alguna vez una longitud expresada en “pies” o en “pulgadas”.
Si bien en nuestro país el sistema de medición de longitudes adoptado no utiliza unidades
referidas al cuerpo humano, en algunas ocasiones nos encontramos con longitudes
expresadas en estas unidades. Por ejemplo, los televisores y los monitores de computadoras
indican su medida en pulgadas; también los caños y los tornillos se miden en esta unidad. En
nuestro país las unidades de medición de longitudes más habituales son el “kilómetro”, el
“metro”, el “centímetro” y el “milímetro”. Para que pueda hacer una traducción de un sistema
de medición a otro le mostramos su equivalencia:
1 pie es equivalente a 30 cm aproximadamente.
1 pulgada (1’’) es equivalente a 2,5 cm aproximadamente.
Medición de magnitudes - Simela
Matemática A – Unidad 6
114
MEDICIÓN DE MAGNITUDES – SIMELA
UNIDAD 6
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




Teniendo en cuenta las equivalencias anteriores:
¿De cuántas pulgadas es su televisor?
¿A qué medida de la pantalla del televisor nos referimos cuando decimos, por ejemplo,
que el televisor es de 21’’?
¿A cuántos centímetros equivalen las 21’’ de la pantalla del televisor?
Un tornillo de 3 pulgadas, ¿Cuántos centímetros mide?
Las heladeras suelen indicar sus medidas en pies:
- ¿Sabe cuántos pies mide la heladera de su casa? ¿A cuántos centímetros equivale
esta medida?
- ¿No recuerda cuántos pies tiene su heladera? Vamos a calcularlo: a ojo, ¿cuántos
centímetros estima que mide su heladera? Convierta la medida estimada a pies.
- ¿Tiene un metro a mano? Mida la altura de su heladera para cotejar su estimación.
¿Qué tal anduvo?
Analizaremos algunas otras cuestiones relativas a la medición de magnitudes a través de las
siguientes consignas:
Parte C
1. Suponga que usted tiene una varilla sin graduar. Con ella debe realizar las siguientes
mediciones:
 El espesor de un libro.
 La distancia que hay entre su casa y la sede de Adultos 2000.
 La longitud de una curva en una ruta.
¿Cómo haría la medición en cada caso? ¿Le resulta cómoda la varilla para efectuar
cualquiera de las tres mediciones anteriores? ¿Con que dificultades se podría encontrar
en cada caso?
2. Usted cuenta con una balanza y pesas de 100 g. Con ellas debe averiguar:
 El peso de un libro.
 El peso de una píldora.
 El peso de una persona.
¿Cómo haría las mediciones pedidas? ¿Con que dificultades se podría encontrar en
cada caso?
3. Utilizando un vaso usted debe medir:
 La capacidad de un botellón.
 La capacidad de un frasco de jarabe.
 La capacidad del tanque de agua de su casa.
¿Cómo haría las mediciones pedidas? ¿Con que dificultades se podría encontrar en
cada caso?
Para reflexionar sobre lo trabajado
En el caso de la varilla, el objeto elegido para medir resulta inapropiado para realizar las tres
mediciones pedidas: puede ser muy largo para obtener la medida del espesor del libro, muy
corto para medir la distancia desde la sede hasta su casa y rígido para medir una curva. En
las dos primeras mediciones, la unidad “varilla” no resulta adecuada para realizar la medición
requerida. Para medir el espesor del libro resultaría más apropiado utilizar una unidad más
pequeña y para medir la distancia de su casa a la sede de Adultos 2000 sería conveniente
utilizar una unidad más grande que la varilla. En la medición de la longitud de la curva, el
instrumento varilla no resulta apropiado ya que su rigidez no nos permitiría lograr una buena
medición. Resultaría más adecuado utilizar una cuerda como intermediaria para la medición.
Es decir, medir la curva con la cuerda y luego medir la cuerda con la varilla para indicar
cuántas unidades “varilla” mide la curva. El manejo incorrecto de los instrumentos o la
elección inadecuada de las unidades de medición provoca errores de medición que, según el
caso, pueden ser graves.
Medición de magnitudes - Simela
Matemática A – Unidad 6
115
MEDICIÓN DE MAGNITUDES – SIMELA
UNIDAD 6
En el caso de la balanza y las pesas de 100 g también nos encontramos con algunas
complicaciones. Si el peso del libro fuera un múltiplo de 100, no tendríamos inconvenientes en
hallar su peso exacto. Como esto difícilmente ocurra, contando sólo con pesas de 100 g,
estaríamos realizando una medición poco precisa que podría involucrar un error de medición
importante. Si bien en el caso del peso del libro, un error de casi 100 g posiblemente no
provocaría serios inconvenientes, hay situaciones en las que un error como éste podría ser
realmente grave. Por ejemplo: un error de casi 100 g al calcular la dosis de una droga para un
enfermo puede ser fatal.
Algo similar ocurre para la medición del peso de la píldora. Seguramente su peso es inferior a
100 g, con lo cual no podremos realizar la medición deseada en forma directa. Podríamos
recurrir, como lo hicimos en la unidad 3, a alguna forma de medición indirecta que nos
permitiera resolver el problema pero, de todas formas, el instrumento resulta poco apropiado
para la medición.
Pesar a una persona utilizando sólo pesas de 100 g resulta un poco engorroso. Nos
convendría tener pesas más grandes de modo que se agilice la medición. Nuevamente, en
estos tres casos se reitera la importancia de la elección adecuada del instrumento y de la
unidad de medición.
Lo que hemos pensado para las magnitudes longitud y peso también es válido para las tres
mediciones de capacidad pedidas y para el resto de las magnitudes que usted maneja
cotidianamente.
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: SISTEMAS DE MEDICIÓN. SIMELA
De acuerdo con lo trabajado hasta este momento, podemos decir que medir es realizar una
comparación, a través de un objeto que se toma como unidad, asignando un número a una
cantidad de magnitud.
Si bien la elección de la unidad es arbitraria, para que la misma sea apropiada debe haber
una adecuación entre lo que se desea medir y el objeto elegido como unidad. Si esta unidad
fuera única, como en el caso de la varilla o de la pesa de 100 g, resultaría complejo medir
cualquier objeto con ella. Por eso resulta necesario utilizar varias unidades de medida para
cada magnitud. Esto es lo que llamamos un sistema de medición. Los primeros sistemas de
medición fueron irregulares porque la relación entre una unidad y las otras del sistema no era
siempre la misma. La necesidad de facilitar y agilizar los cálculos hizo que a lo largo de la
historia de la humanidad se fueran construyendo sistemas de medición regulares. Es decir,
sistemas en los que cada unidad resultara un múltiplo o submúltiplo de la unidad elegida como
unidad fundamental.
Cualquier sistema regular puede servir y ser cómodo para expresar las mediciones. La
necesidad de comunicación y de comercio entre distintas poblaciones hizo que, además de un
sistema regular, fuera necesario organizar sistemas de medidas previamente acordados y
comunes a los diferentes países. Estos sistemas de medida reciben el nombre de legales ya
que su uso se ha proclamado a través de leyes. Nuestro sistema legal es el llamado Sistema
Métrico Legal Argentino (SIMELA) y es común al de la mayoría de los países del mundo a
excepción de los países anglosajones. Dado que nuestro sistema de numeración es de base
diez, para facilitar los cálculos se eligió un sistema de medición en el que las unidades son
múltiplos y submúltiplos de 10. Por esa razón también recibe el nombre de sistema de
medición decimal.
Para la medición de longitudes el SIMELA adoptó como unidad fundamental el metro(m).
Otras unidades de medición de longitudes, que seguramente usted conoce y maneja, son el
kilómetro(km), el centímetro(cm), el milímetro(mm), aunque no son las únicas unidades del
sistema. Como ya vimos en la actividad anterior, muchas veces la unidad fundamental no es
la más conveniente para realizar determinadas mediciones. Por ejemplo, para medir el
espesor del libro convendría usar algún submúltiplo del metro, como podrían ser el centímetro
o el milímetro (unidades más pequeñas que el metro) en lugar de la unidad fundamental. Para
Medición de magnitudes - Simela
Matemática A – Unidad 6
116
MEDICIÓN DE MAGNITUDES – SIMELA
UNIDAD 6
medir la distancia entre su casa y la sede de Adultos 2000 sería conveniente usar un múltiplo
del metro, como por ejemplo, el kilómetro.
Para la medición de superficies, se adoptó como unidad fundamental el metro
cuadrado(m2). Otras unidades de medición de superficies, que seguramente usted conoce,
son el kilómetro cuadrado(km2) y el centímetro cuadrado (cm2).
Para la medición de volúmenes, se adoptó como unidad fundamental el metro cúbico(m3).
Algunas otras unidades de medición de volúmenes son el centímetro cúbico(cm 3) y el
milímetro cúbico(mm3).
Para la medición de pesos, la unidad fundamental es el gramo (g)pero usted seguramente
también utiliza la tonelada, el kilogramo (kg) y el miligramo(mg).
Para la medición de capacidades, la unidad fundamental es el litro (l) aunque usted
seguramente también conoce mililitro (ml).
Otras unidades que posiblemente haya escuchado alguna vez pero que no pertenecen al
SIMELA son, por ejemplo, las “millas” o las “yardas” (para medir longitudes); el “acre” (para
medir superficies); “onzas” o “libras” (para medir pesos); “galones” y “pinta” (para medir
capacidades); “grados Fahrenheit” (para medir temperaturas). En el campo también se suele
escuchar la utilización de unidades como la “legua” para medir longitudes (una legua es
equivalente a 400 m aproximadamente) y la “hectárea” para medir superficies (una hectárea
ocupa una superficie equivalente a la que ocupa un cuadrado de 100 m x 100 m).
Le proponemos resolver la siguiente actividad en la que retomará lo analizado hasta este
momento en relación con las unidades de medición de magnitudes:
ACTIVIDAD Nº 1: “TRABAJANDO CON UNIDADES”
1. Indique, en cada uno de los siguientes casos, qué unidad o unidades del SIMELA le
resulta/n más conveniente/s para medir:
 La distancia entre la ciudad de La Plata y la ciudad de Córdoba.
 El ancho de un aula de la sede de Adultos 2000.
 Una cuadra.
 El largo del cuerpo de un insecto.
 La distancia de la Tierra a la Luna.
 La superficie de una provincia.
 La superficie de un terreno para construir una casa.
 La superficie de un campo.
 La superficie de un aula de la sede de Adultos 2000.
 La superficie de una hoja de esta guía de estudio.
 La superficie de un cuadradito de una hoja cuadriculada.
 El volumen de una caja.
 El volumen de un frasco de remedio.
 El volumen de un pozo cavado para hacer una pileta de natación.
 La capacidad de una botella de vino.
 La capacidad de un frasco de remedio.
 La cantidad de agua de un lago.
 La cantidad de agua en una pileta de natación.
 El peso de una persona.
 El peso de un camión.
 El peso de una lata de picadillo de carne.
 El peso de un insecto.
2. Teniendo en cuenta que: si dividimos al metro en 100 partes iguales, cada una de esas
partes es un centímetro y que si dividimos al centímetro en 10 partes iguales, cada una de
esas partes es un milímetro, indique:
Medición de magnitudes - Simela
Matemática A – Unidad 6
117
MEDICIÓN DE MAGNITUDES – SIMELA






UNIDAD 6
¿Se puede colocar una puerta de 105 cm de ancho en una abertura de 1 m de
ancho?
Dos cuadernos tienen 8 mm y 1 cm de grosor, respectivamente. ¿Cuál de los
dos es más grueso?
¿Cuántos milímetros hay en un metro?
¿Qué fracción de 1 m es 1 cm?
¿Qué fracción de 1 cm es 1 mm?
¿Qué fracción de 1 m es 1 mm?
Parte A
Para reflexionar sobre lo trabajado
En muchas ocasiones nos vemos obligados a resolver situaciones en las que intervienen
varias unidades (como en el caso de las dos primeras preguntas del ítem 2.). Para poder
establecer las comparaciones allí solicitadas, es necesario que unifiquemos unidades: si la
puerta mide 105 cm de ancho, esta medida es equivalente a 1,05 m: la puerta es más grande
que la abertura. En el caso de los cuadernos, como 1 cm es equivalente a 10 mm, este
cuaderno es más grueso que el otro.
Para averiguar cuántos milímetros hay en un metro podemos pensar que si en un metro hay
100 cm y en un centímetro hay 10 mm, entonces en un metro (1 m) hay 100 x 10 mm = 1000
mm. Para expresar lo anterior decimos que un metro es equivalente a 100 cm ó que un metro
es equivalente a 1000 mm. Para averiguar qué fracción de un metro es un centímetro vamos a
utilizar la equivalencia ya dada de que en un metro hay 100 cm. Entonces un centímetro (1
cm) es una centésima parte de un metro. Simbólicamente:
1 cm = 1 : 100 m = 0,01 m
Y a la vez, como en un centímetro hay 10 mm, entonces 1 mm es la décima parte de 1 cm:
1 mm = 1 : 10 cm = 0,1 cm
Ya averiguamos que en 1 m hay 1000 mm, entonces 1 mm es la milésima parte de 1 m:
1 mm = 1 : 1000 m = 0,001 m.
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: UNIDADES DE LONGITUD DEL SIMELA. MÚLTIPLOS Y
SUBMÚLTIPLOS DEL METRO
Para la medición de longitudes, la unidad fundamental adoptada es el metro pero en algunas
ocasiones resulta necesario utilizar unidades más pequeñas que el metro. Estas unidades son
submúltiplos del metro. El milímetro y el centímetro son, entonces, submúltiplos del metro.
Otro submúltiplo del metro es el decímetro (dm). En un metro entran 10 dm, por lo tanto, 1 dm
es la décima parte del metro.
Otras unidades del sistema de medición decimal de longitudes son el decámetro, el
hectómetro y el kilómetro. Estas unidades son más grandes que el metro y por esa razón son
múltiplos del metro. Un decámetro es equivalente a 10 m; 1 hectómetro es equivalente a 100
m y 1 km es equivalente a 1000 m.
____________________________________________________________________
Teniendo en cuenta esta nueva información, responda:
1. ¿Qué fracción de un metro es un decímetro?
2. Complete la siguiente tabla de múltiplos y submúltiplos del metro:
3. Teniendo en cuenta las equivalencias anteriores:
 ¿Qué fracción de un hectómetro es un metro?
 ¿En cuántas partes hay que dividir un kilómetro para obtener un metro?
 ¿Cuántos decámetros hay en un metro?
Medición de magnitudes - Simela
Matemática A – Unidad 6
118
MEDICIÓN DE MAGNITUDES – SIMELA
UNIDAD 6
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: EQUIVALENCIA ENTRE LAS UNIDADES DE LONGITUD
DEL SIMELA
Le mostramos a continuación la tabla completa de equivalencias de las distintas unidades con
el metro:
Múltiplos
Unidad principal
1 km
1 hm
1 dam
1000 m
100 m
10 m
1m
Submúltiplos
1 dm
1 cm
1 mm
0,1 m
0,01 m
0,001 m
Como podrá observar a partir de la tabla:
 Para saber cuántos metros hay en 1 km, ó en 1 hm, ó en 1 dam, multiplicamos al
kilómetro, al hectómetro o al decámetro por 1000, 100 ó 10, respectivamente.
A su vez, si queremos saber cuántos kilómetros hay en 1 m, dividimos al metro por
1000; para saber cuántos hectómetros hay en 1 m, dividimos al metro por 100 y para
saber cuántos decámetros hay en 1 m, dividimos al metro por 10.
 Para saber cuántos metros hay en 1 dm, ó en 1 cm, ó en 1 mm, dividimos al decímetro,
al centímetro o al milímetro por 10, 100 ó 1000 respectivamente.
A su vez, para saber cuántos decímetros hay en 1 m, multiplicamos al decímetro por
10; para saber cuántos centímetros hay en 1 m, multiplicamos al centímetro por 100 y
para saber cuántos milímetros hay en 1 m, multiplicamos al milímetro por 1000.
____________________________________________________________________
1.
2.
3.
4.
5.
Responda las siguientes preguntas teniendo en cuenta las equivalencias anteriores:
¿Cuántos centímetros hay en un decímetro?
¿Cuántos decímetros hay en un hectómetro? ¿Qué cuenta tiene que hacer para
obtener lo pedido?
¿Cuántos centímetros hay en un kilómetro? ¿Qué cuenta tiene que hacer para obtener
esta equivalencia?
¿Cuántos decámetros hay en un kilómetro? ¿Qué cuenta tiene que hacer para obtener
esta equivalencia?
En general, cuando queremos expresar una longitud en una unidad más pequeña que
aquélla en la que está expresada, ¿qué debemos hacer para realizar la conversión?
Para reflexionar sobre lo trabajado
En los cuatro casos anteriores usted buscó equivalencias de cantidades de longitud
expresando la cantidad en una unidad más pequeña que la unidad primitiva. Si observamos la
tabla de unidades de longitud dada podemos ver que las unidades más pequeñas se
encuentran ubicadas a la derecha de cada unidad. Así, el centímetro es una unidad más
pequeña que el decímetro y éste a su vez es más pequeño que el hectómetro. Veamos qué
cuentas realizamos para encontrar algunas de las equivalencias pedidas:
 Para obtener la cantidad de decímetros que hay en un hectómetro multiplicamos a la
cantidad de hectómetros por 1000 ya que en un hectómetro hay 100 m y en 1 m hay 10
dm.
1 hm = 1 x 1000 dm = 1000 dm
Si queremos saber a cuántos decímetros son equivalentes 5 hm, multiplicamos por
1000 a la cantidad de hectómetros:
5 hm = 5 x 1000 dm = 5000 dm
 Para calcular la cantidad de centímetros que hay en 1 km multiplicamos a la cantidad
de kilómetros por 100000 ya que en 1 km hay 1000 m y en 1 m hay 100 cm:
1 km = 1 x 100000 cm = 100000 cm
En ambos casos multiplicamos por una potencia de 10. Si observamos las posiciones relativas
de la unidad hectómetro y la unidad decímetro en la tabla de unidades de longitud, podemos
Medición de magnitudes - Simela
Matemática A – Unidad 6
119
MEDICIÓN DE MAGNITUDES – SIMELA
UNIDAD 6
ver que se encuentran a 3 lugares de diferencia. Por esa razón, para hallar lo pedido
multiplicamos por 1000 que es equivalente a multiplicar 3 veces por 10.
Las unidades kilómetro y centímetro se encuentran a 5 lugares de diferencia. Por esa razón,
para calcular la cantidad de centímetros que hay en 1 km multiplicamos por 100000 que es
equivalente a multiplicar 5 veces por 10.
Generalizando lo observado en los dos casos anteriores vamos a decir que:
Para escribir una longitud expresada en una unidad cualquiera de la tabla de unidades en
otra que sea menor (es decir: “para movernos de izquierda a derecha” en la tabla)
debemos multiplicar por 10 a la cantidad que queremos convertir tantas veces como
lugares haya entre una unidad y otra en la tabla.
Así, para calcular la cantidad de decámetros que hay en 1 km multiplicamos a la cantidad de
kilómetros por 100 porque entre el kilómetro y el decámetro hay 2 lugares.
____________________________________________________________________
Le proponemos continuar con el análisis de las equivalencias entre las unidades de
longitud respondiendo las siguientes preguntas:
1. ¿Qué fracción de un hectómetro es un metro? ¿Qué cuenta hace para obtener la
cantidad de hectómetros que equivalen a un metro?
2. ¿Cuántos metros hay en un centímetro? ¿Qué cuenta tiene que hacer para obtener el
equivalente de un centímetro en metros?
3. ¿Qué fracción de un hectómetro es un centímetro? ¿Qué cuenta hace para obtener la
cantidad de hectómetros que equivalen a un centímetro?
4. Si ahora le pedimos, por ejemplo, que indique qué fracción de un kilómetro es un
centímetro, ¿qué cuenta hace para calcular a cuántos kilómetros equivale un
centímetro?
Para reflexionar sobre lo trabajado
En los cuatro casos anteriores usted buscó equivalencias de cantidades de longitud
expresando la cantidad en una unidad más grande que la unidad primitiva. Si observamos la
tabla de unidades de longitud, podemos ver que las unidades más grandes se encuentran
ubicadas a la izquierda de cada unidad. Así, el hectómetro es una unidad más grande que el
metro y éste a su vez es más grande que el centímetro. Veamos qué cuentas realizamos para
encontrar algunas de las equivalencias pedidas:
 Ya vimos anteriormente que para saber cuántos hectómetros hay en un metro
dividimos al metro por 100. A su vez, para saber cuántos metros hay en un centímetro
dividimos al centímetro por 100. Por lo tanto para saber cuántos hectómetros hay en un
centímetro dividimos al centímetro por 10000. Si observamos las posiciones relativas
de una unidad y otra en la tabla de unidades, podemos ver que se encuentran
separadas por 4 lugares. Es decir que para pasar de una a otra tenemos que dividir 4
veces por 10 (que equivale a dividir por 10000). Simbólicamente:
1 cm = 1 : 10000 hm = 0,0001 hm
 Para obtener cuántos kilómetros hay en un centímetro, dividimos por 100000 a la
cantidad de centímetros (100000 también es una potencia de 10). ¿Por qué dividimos
por 100000? Porque las posiciones relativas de las unidades kilómetro y centímetro en
la tabla de unidades se encuentran separadas por 5 lugares. Es decir, para pasar de
una a otra tenemos que dividir 5 veces por 10 (que es equivalente a dividir por 100000).
En símbolos:
1 cm = 1 : 100000 km = 0,00001 km
Generalizando lo anterior:
Medición de magnitudes - Simela
Matemática A – Unidad 6
120
MEDICIÓN DE MAGNITUDES – SIMELA
UNIDAD 6
Para escribir una longitud expresada en una unidad cualquiera de la tabla en otra que sea
mayor (es decir: “para movernos de derecha a izquierda” en la tabla) debemos dividir por
10 a la cantidad que queremos convertir tantas veces como lugares haya entre las
posiciones de una unidad y otra en la tabla.
ACTIVIDAD Nº 2: “HACIENDO CÁLCULOS CON LONGITUDES”te D
1. Responda las siguientes preguntas teniendo en cuenta las equivalencias trabajadas en las
actividades anteriores:
 ¿Cuántos metros hay en 8 km?
 ¿Cuántos decámetros hay en 3,2 m?
 ¿Cuántos milímetros hay en 8,25 cm?
 ¿A cuántos metros equivalen 8,25 cm?
2. Identifique algún objeto que mida 2 dam y otro que mida 1 dm.
3. Una mesa rectangular mide 60 cm de ancho y 140 cm de largo. ¿Cuáles son esas
dimensiones expresadas en metros? ¿Cuáles son las dimensiones (largo y ancho) de esta
mesa en milímetros?
4. Para cercar un terreno se necesitan 190 metros de alambrado. En una ferretería venden
rollos de alambre de un decámetro cada uno, ¿cuántos rollos se necesitan?
4. Se necesita enmarcar una lámina cuadrada de 32,5 cm de lado. ¿Cuánto cobran por el
trabajo si el metro de marco elegido cuesta $ 15 colocado?
5. En el cuadro de tarifas de un colectivo que circula por la ciudad de Buenos Aires se lee
que la primera y la segunda sección tienen una longitud máxima de 6 km. Si usted hace
este recorrido de punta a punta, ¿cuántos metros tiene su viaje? Si una cuadra tiene 100
m, ¿cuántas cuadras recorre?
6. Una habitación mide 3,4 m de largo por 2,8 metros de ancho. Se necesita colocar un
zócalo en todo su perímetro que sólo está interrumpido por una puerta que tiene 0,75 m de
ancho.
 ¿Cuántos metros de zócalo se necesitan comprar?
 ¿Cuál es el costo si el metro de zócalo cuesta $ 7,75?
 Si el zócalo viene en listones de 50 cm de longitud, ¿cuántos listones son
necesarios para realizar el trabajo?
7. En una mercería venden cintas que vienen en carretes de 50 m. ¿Cuántos metros de cinta
quedan todavía en el carrete sin dos clientes llevaron 525 cm y 73 dm respectivamente?
8. ¿Cuál o cuáles son las opciones correctas en cada caso?
a) 7 m 36 cm es equivalente a:
7,036 m
7,36 m
73,6 dm
7,36 cm
736 cm
b) 8,25 km es equivalente a:
8 km 25 hm
8 km 25 dam
8 km 250 m 8250 m
Para reflexionar sobre lo trabajado
Para resolver situaciones como las de la Actividad Nº 2, es necesario unificar las unidades
que se dan como datos en el problema. Por ejemplo, en el caso del terreno, la longitud a
alambrar está expresada en metros, pero los rollos de alambre se venden por decámetros.
Para poder calcular cuántos rollos se necesitan tenemos que calcular a cuántos decámetros
equivalen los 190 m del borde del terreno, o bien, a cuántos metros equivale el decámetro que
trae cada rollo de alambre.
La longitud a alambrar es la longitud del contorno del terreno. Llamamos perímetro a esta
longitud. En ocasiones habrá escuchado hablar del “alambrado perimetral” o del “cerco
perimetral”. Seguiremos trabajando más adelante con la noción de perímetro.
Volveremos, ahora, sobre otro aspecto sobre el que nos interesa trabajar: la estimación.
Piense en situaciones de su vida cotidiana en las que usted se haya visto en la necesidad de
estimar una longitud, una superficie, un volumen, un peso, etc. ¿Qué evaluación haría de la
Medición de magnitudes - Simela
Matemática A – Unidad 6
121
MEDICIÓN DE MAGNITUDES – SIMELA
UNIDAD 6
estimación realizada? ¿Anduvo cerca de la medida real o resultó muy disparatada? ¿Cómo le
fue al estimar la altura de su heladera en páginas anteriores?
Intente hacer algunas estimaciones más: ¿cuánto mide el ancho la avenida 9 de Julio?;
¿cuánto papel le hace falta para forrar el cuaderno de su hijo o para empapelar su
habitación?; ¿qué superficie tiene aproximadamente su dormitorio?; ¿cuántos litros de agua
entran en una olla de su cocina?; ¿cuánto pesa aproximadamente esa calabaza que le resultó
atractiva en la verdulería?
Seguramente usted se ha encontrado con innumerables situaciones similares a estas. En
algunas ocasiones, habrá podido calcular la medida necesaria midiendo con algún
instrumento apropiado o por comparación directa con alguna unidad. Por ejemplo, para saber
cuánto papel necesita para forrar el cuaderno de su hijo usted puede poner el cuaderno
encima del papel y eso le permite decidir la cantidad necesaria de papel para forrarlo. O lo
que es lo mismo: la superficie de papel necesaria. En ese caso estaría realizando una
comparación directa que le permite resolver el problema de saber cuánto papel necesita para
forrar el cuaderno. Para saber la medida de una longitud puede tomar un metro o un
centímetro y medir en forma directa la cantidad de magnitud. No se lo recomendamos para
calcular la medida del ancho de la avenida 9 de Julio, puede ser peligroso. La comparación
directa no siempre es posible.
En general, si consideramos una cantidad de magnitud, que puede ser de superficie, de
longitud o de otra magnitud cualquiera, sin utilizar instrumentos de medición, estamos
haciendo una estimación. Es necesario que podamos realizar estimaciones lo más ajustadas
posibles porque si las mismas resultan muy disparatadas podríamos encontrarnos con
complicaciones. Por ejemplo, que no nos alcance el papel para empapelar la pared o que
gastemos más dinero del necesario porque nos excedimos en la cantidad comprada.
La estimación es un recurso de gran utilidad en muchísimas circunstancias y además estará
siempre disponible, aún cuando no contemos con instrumentos de medición. Para desarrollar
esta habilidad es necesario ponerla en práctica, incorporarla a la rutina. En su vida cotidiana
tiene permanentemente oportunidades de hacerlo: mientras camina puede estimar distancias;
puede estimar la superficie de diferentes ambientes de su casa; puede estimar el peso de una
manzana o de una calabaza. Vaya constatando los resultados de sus estimaciones a través
de mediciones directas e irá viendo que cada vez obtiene resultados más ajustados con la
realidad.
Le proponemos analizar una nueva situación en la que continuaremos trabajando con la
noción de perímetro, presentada en la Actividad Nº 2, y entraremos en contacto con una
nueva magnitud: la superficie.
____________________________________________________________________
Una inmobiliaria pone a la venta una serie de terrenos obtenidos del loteo de un
baldío ubicado en un barrio de la ciudad. Para promocionar las ventas, la inmobiliaria edita un
folleto en el que muestra la forma y dimensiones de cada uno de los terrenos. A continuación
le mostramos los dibujos que aparecen en el folleto:
Terreno 1
Terreno 4
Medición de magnitudes - Simela
Terreno 2
Terreno 5
Terreno 3
Terreno 6
Matemática A – Unidad 6
122
MEDICIÓN DE MAGNITUDES – SIMELA
UNIDAD 6
Responda las siguientes consignas teniendo en cuenta la información de los gráficos:
1. Identifique los terrenos que tienen la misma superficie. Para responder puede usar las
dimensiones de los terrenos o la cuadrícula sobre la que están dibujados.
2. Si hubiera que cercar los terrenos cubriendo todo su perímetro con un alambrado de
una sola vuelta, ¿qué cantidad de alambre se necesita para cercar cada uno de ellos?
3. El terreno 1 ocupa la misma superficie que el terreno 2. ¿Se necesita la misma
cantidad de alambre para cercarlo?
4. Repita el análisis realizado en el ítem 3. para el resto de los terrenos que tienen la
misma superficie.
5. Para cercar el terreno 1 y el terreno 3 se utiliza la misma cantidad de alambre. ¿Ambos
ocupan la misma superficie?
Para reflexionar sobre lo trabajado
Al analizar la superficie y el perímetro de los terrenos que vende la inmobiliaria, podemos
observar que terrenos de igual superficie pueden tener diferentes perímetros. A su vez,
terrenos con igual perímetro, pueden ocupar superficies diferentes.
Podemos extender esta conclusión a cualquier figura: dos figuras que ocupan la misma
superficie no necesariamente tienen el mismo perímetro. Y viceversa: dos figuras que
tienen el mismo perímetro no necesariamente ocupan la misma superficie.
ACTIVIDAD Nº 3: “PERÍMETROS Y SUPERFICIES”te
D
1.
Compare la superficie y el perímetro de los siguientes terrenos:
Terreno 1
Terreno 2
2. Dibuje un terreno distinto a los que vende la inmobiliaria que ocupe la misma superficie
que el terreno 1 y que tenga mayor perímetro.
3. Dibuje un terreno distinto a los que vende la inmobiliaria que ocupe menor superficie que el
terreno 1 y que tenga el mismo perímetro.
4. Dibuje un terreno distinto a los que vende la inmobiliaria que ocupe una superficie menor a
la del terreno 1 y que tenga un perímetro mayor.
5. Dibuje un terreno distinto a los que vende la inmobiliaria que ocupe la misma superficie
que el terreno 2 y que tenga menor perímetro.
6. Dos terrenos cuadrados contiguos de lados iguales se pueden comprar juntos o en forma
individual. El rectángulo que resulta de comprarlos juntos ¿ocupa el doble de la superficie
que cada uno de los cuadrados? Para cercar al terreno rectangular, ¿se necesita el doble
de alambre que para cercar cada uno de los terrenos cuadrados?
7. a) Represente, en una hoja cuadriculada, tres terrenos rectangulares diferentes que
tengan 80 metros de perímetro. Calcule la superficie de cada uno de los terrenos
dibujados.
b) Represente, también, un terreno cuadrado de 80 m de perímetro. Calcule su superficie.
c) ¿Cuál de los cuatro terrenos es el de mayor superficie?
d) De acuerdo con los cálculos realizados en los ítems anteriores, en general, entre los
rectángulos de igual perímetro ¿cuál piensa usted que es el que tiene mayor
superficie?
____________________________________________________________________
Le proponemos una nueva situación:
Medición de magnitudes - Simela
Matemática A – Unidad 6
123
MEDICIÓN DE MAGNITUDES – SIMELA
UNIDAD 6
Durante la construcción de una casa se discuten distintas alternativas sobre cómo recubrir el
piso. Una de las alternativas propuestas por el arquitecto es usar baldosones cuadrados de 1
m de lado.
Responda las siguientes preguntas teniendo en cuenta la información anterior:
1. En una habitación cuadrada de 5 m de lado, ¿cuántos baldosones de los propuestos
por el arquitecto serán necesarios para cubrir toda la superficie del piso de la
habitación? Si le resulta necesario realice una representación gráfica en hoja
cuadriculada que le permita contarlos.
2. ¿Qué cuenta le permitiría obtener la cantidad de baldosones necesarios sin contarlos?
3. ¿Cuántos baldosones hacen falta para cubrir el piso de una habitación rectangular de 5
m x 4 m? Escriba la cuenta que le permite calcularlo.
Si se nos ocurriera embaldosar la habitación con cuadraditos de 1 cm de lado (Flor de trabajo,
no?):
4. ¿Cuántos de esos cuadraditos serían necesarios para embaldosar la habitación
cuadrada? Escriba la cuenta que permite calcular esta cantidad.
5. ¿Cuántos de esos cuadraditos serían necesarios para embaldosar la habitación
rectangular? Escriba la cuenta que le permite calcular esa cantidad.
Para reflexionar sobre lo trabajado
Para cubrir la superficie del piso de la habitación cuadrada de 5 m de lado con baldosones de
1 m de lado, son necesarios 25 baldosones. El baldosón de 1 m de lado es la unidad utilizada
para medir la superficie del piso de la habitación. Llamamos área a la medida de la superficie.
Podemos decir, entonces, que la habitación tiene un área de 25 “baldosones de 1 m de lado”.
La cuenta que nos permite calcular el área del piso sin contar los baldosones uno por uno es 5
x 5 = 25 baldosones ya que podemos colocar 5 baldosones por lado.
Para cubrir el piso de la habitación rectangular de 5 m x 4 m son necesarios 20 baldosones de
1 m de lado.
Si en lugar de usar el “baldosón” como unidad de medida de la superficie queremos usar
unidades del SIMELA, tenemos que calcular el área del baldosón utilizando estas unidades. El
baldosón es un cuadrado de un metro de lado, por lo tanto tiene un área de 1 m x 1 m = 1 m 2.
Si en la habitación cuadrada de 5 m de lado entran 25 de estos baldosones, entonces el área
de la habitación expresada en unidades del SIMELA es de 25 m2. Pensando de la misma
forma podemos calcular el área de la habitación rectangular que resulta de 20 m2.
Podríamos embaldosar el piso con baldosas más pequeñas. Por ejemplo, con cuadraditos de
1 cm de lado como proponemos más arriba. Aunque estaríamos utilizando una unidad que no
resulta adecuada para medir una superficie tan grande, le proponemos hacerlo para poder
empezar a pensar en las equivalencias entre diferentes unidades de medición de superficies
dentro del SIMELA.
El área de la habitación cuadrada utilizando como unidad el cuadradito de 1 cm de lado es de
250000 “cuadraditos de 1 cm de lado” ya que los 5 m de lado equivalen a 500 cm, por lo tanto
podemos poner 500 cuadraditos de 1 cm de lado por cada lado, 500 x 500 = 250000
“cuadraditos de 1 cm de lado”. El área del piso de la habitación rectangular es de 200000
“cuadraditos de 1 cm de lado”.
Del mismo modo que hicimos con el baldosón, si calculamos el área de un cuadradito en
unidades del sistema métrico decimal, resulta que ésta es de 1 cm x 1 cm = 1 cm2.Por lo tanto
el área del piso de las habitaciones cuadrada y rectangular resulta de 250000 cm 2 y 200000
cm2, respectivamente.
Por lo tanto, un área de 25 m2 es equivalente a 250000 cm2, y un área de 20 m2 es
equivalente a 200000 cm2. De estas dos equivalencias podemos deducir que 1 m2 cuadrado
equivale a 10000 cm2. A su vez cada centímetro cuadrado es equivalente a 1 : 10000 m 2 =
0,0001 m2.
Medición de magnitudes - Simela
Matemática A – Unidad 6
124
MEDICIÓN DE MAGNITUDES – SIMELA
UNIDAD 6
Podríamos pensar del mismo modo considerando baldosas de 1 dm de lado y obtendríamos
la equivalencia del metro cuadrado con el decímetro cuadrado. Y así con el resto de las
unidades del sistema.
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: UNIDADES DE SUPERFICIE DEL SIMELA
Dado que el sistema decimal de medición de superficies es un sistema derivado del sistema
de medición decimal de longitudes (ya que para medir superficies consideramos longitudes)
podemos armar una tabla, como la utilizada con las unidades de longitud, para indicar las
unidades utilizadas en el SIMELA para medir superficies y sus equivalencias con el metro
cuadrado que es la unidad principal:
Unidad
principal
Múltiplos
1 km2
1 hm2
1 dam2
1000000 m2
10000 m2
100 m2
1 m2
Submúltiplos
1 dm2
1 cm2
1 mm2
0,01 m2
0,0001 m2
0,000001 m2
Observe en la tabla las posiciones relativas entre las unidades del sistema y el metro
cuadrado. Podemos ver que para escribir una superficie expresada en una unidad cualquiera
de la tabla en otra unidad mayor (para “movernos” de derecha a izquierda en la tabla)
debemos dividir por 100 a la cantidad que queremos convertir tantas veces como lugares
haya entre las posiciones de una unidad y otra en la tabla. Por ejemplo, si queremos expresar
en metros cuadrados un área medida en decímetros cuadrados, tenemos que dividir a la
cantidad de decímetros cuadrados por 100 (porque el decímetro cuadrado y el metro están
separados por un lugar en la tabla):
2dm 2 = 2 : 100 m2  0,02 m2
Para escribir una superficie expresada en una unidad cualquiera de la tabla en una unidad
menor (para “movernos” de izquierda a derecha en esta tabla) hay que multiplicar a la
cantidad por 100 tantas veces como lugares haya entre las posiciones de una unidad y otra en
la tabla. Por ejemplo, si queremos expresar en metros cuadrados un área medida en
decámetros cuadrados, tenemos que multiplicar a la cantidad de decámetros cuadrados por
100 (porque el decámetro cuadrado y el metro están separados por un lugar en la tabla):
3 dam 2  3 x 100 m 2 = 300 m 2
Resolviendo la siguiente actividad podrá trabajar un poco más con estas equivalencias:
ACTIVIDAD Nº 4: “PROBLEMAS CON ÁREAS”te D
1. En una ciudad llamamos manzana a un cuadrado rodeado por cuatro calles. Si cada lado
de ese cuadrado es una cuadra de 100 m, ¿cuál es el área de una manzana en metros
cuadrados?
2. Una chacra rectangular tiene un ancho de 1350 m y un largo de 2400 m.
a) ¿Cuál es el área de la chacra en m2?
b) ¿Cuánto mide la superficie en hm2?
c) ¿Cuál es el área de la chacra en hectáreas? (Recuerde que 1 ha ocupa una superficie
equivalente a la de un cuadrado de 100 m de lado).
d) Compare los resultados obtenidos en b) y c). ¿Qué conclusión puede sacar respecto
de la equivalencia entre los dos sistemas de medición de superficies?
e) Se divide la chacra en dos parcelas poniendo un alambrado por una de las diagonales
del rectángulo. ¿Cuál es el área de cada una de las parcelas?
f) Teniendo en cuenta el cálculo que realizó para obtener el área de la chacra
rectangular y el cálculo realizado en el ítem e) para obtener el área de la parcela
triangular, en general ¿qué cuenta tiene que realizar para calcular el área de un
triángulo?
Medición de magnitudes - Simela
Matemática A – Unidad 6
125
MEDICIÓN DE MAGNITUDES – SIMELA
UNIDAD 6
3. Calcule el área de cada una de las siguientes figuras teniendo en cuenta las dimensiones
indicadas en cada una de ellas:
0,02 hm
1,6 m
2m
0,4 dam
6 dm
0,003 km
500 cm
0,2 dam
0,5dam
40 dm
4m
40 dm
4. En un diario se lee la siguiente información: "El temporal continúa haciendo estragos en
varias provincias: 550 mil hectáreas del sudeste cordobés están bajo las aguas. Más de
700 milímetros de agua cayeron este mes en el sudoeste de Santa Fe."
a) La Ciudad de Buenos Aires tiene un área de 200 km2 aproximadamente. ¿Cuántas
"ciudades de Buenos Aires" estarían inundadas en el sudeste de Córdoba?
b) ¿Cuántos metros de agua cayeron en el sudoeste santafesino?
5. Un baño mide 4 m de largo, 3 m de ancho y 2,6 m de alto. Tiene una puerta que mide 1 m
de ancho y 2 m de alto. Se cubrirán las paredes hasta una altura de 1,80 m con azulejos
cuadrados de 20 cm de lado. Las cinco sextas partes del piso se cubrirán con baldosas
rectangulares de 10 cm de ancho y 20 cm de largo. También se colocará una guarda por
encima de los azulejos.
a) ¿Cuántos azulejos se necesitarán?
b) ¿Cuántas baldosas se necesitarán?
c) ¿Cuántos metros de guarda se necesitan?
d) El metro cuadrado de azulejos cuesta $ 45 y el de baldosas $ 72; el metro de guarda
sale $ 18,30; el total por mano de obra es de $ 2500. ¿Cuánto cuesta el arreglo del
baño?
6. Una inmobiliaria dispone de un terreno de 750 dam 2 . Desea lotearlo en parcelas de 1250
m 2 cada una. ¿Qué cantidad de parcelas puede obtener en el loteo?
7. Un campo rectangular tiene 1,5 kilómetros de ancho y 5 kilómetros de largo.
a) Calcule la superficie del campo en km2.
Medición de magnitudes - Simela
Matemática A – Unidad 6
126
MEDICIÓN DE MAGNITUDES – SIMELA
UNIDAD 6
b) Las tres quintas partes del campo se dedican a pastoreo de ganado. ¿Cuántos km 2 pueden
utilizar los animales?
c) La mitad del resto del campo están cultivadas con cereales. ¿Cuántos km2 se destinan para
el cultivo de cereales?
8. Un salón cuadrado tiene un área de 64 m2. Si hay una puerta de 1,2 m de ancho, ¿cuántos
metros de zócalo se necesitan para proteger la base de las paredes?
Volumen y Capacidad
Al iniciar la unidad también mencionamos las magnitudes volumen y capacidad. Si bien se
trata de conceptos vinculados, y que de hecho se presentan en su vida cotidiana como si se
trataran de la misma magnitud, son conceptos diferentes. Para poder diferenciarlos vamos a
definirlos y a analizar estas definiciones a la luz de un ejemplo que le permitirá visualizar la
diferencia.
En principio, el cálculo de la capacidad y el volumen, están referidos a los cuerpos. El
volumen de un cuerpo es el lugar que éste ocupa en el espacio. La capacidad es lo que puede
contener el cuerpo en su interior. De acuerdo con las características del cuerpo, puede ocurrir
que el espacio que el cuerpo ocupa coincida con la capacidad del mismo o no. Un ejemplo en
el que se puede visualizar un caso en el que no coinciden es el siguiente. Imagine una caja
fuerte cuyas medidas exteriores son: 1m de ancho, 1 m de profundidad y 1 m de alto. Por lo
tanto ocupa un volumen de 1m x 1m x 1m = 1 m3.
Para que la caja pueda cumplir su función debe tener paredes gruesas y resistentes. Así es
que el lugar interno, donde se guardan los valores, es más reducido que el espacio que ocupa
la caja.
Piense en algún otro objeto conocido en el que ocurra lo mismo.
Si el cuerpo tiene paredes finas, el volumen y la capacidad son casi coincidentes. En esos
casos puede despreciarse el grosor de las paredes y considerar que el cuerpo tiene tanta
capacidad como volumen y suele hablarse indistintamente de uno u otro. Esto ocurre con las
cajas, las botellas, las latas, los baldes, las ollas y la mayoría de los cuerpos que usted utiliza
en su vida cotidiana.
Para medir el volumen utilizando unidades del sistema métrico decimal se utiliza el metro
cúbico(m3) como unidad principal. Un metro cúbico es el volumen ocupado por un cubo de 1
m de arista -como el cubo de la caja fuerte. Una unidad más chica que la unidad principal,
seguramente conocida por usted, es el cm3. Un centímetro cúbico es el volumen ocupado por
un cubo de 1 cm de arista: 1 cm x 1 cm x 1 cm = 1 cm3. Por ejemplo:
1 cm
Si consideramos una caja de cartón con forma de cubo de 1 m de arista y paredes de grosor
despreciable y queremos guardar en su interior dados de 1 cm de arista,
1. ¿Cuántos dados es posible guardar en la caja?
2. ¿Cuál es el volumen de la caja utilizando como unidad de medición el dado?
3. ¿Cuál es el volumen de la caja en cm3? (tenga en cuenta la cantidad de dados que
entran en la caja y el volumen de cada dado).
Para reflexionar sobre lo trabajado
Cada dado tiene 1 cm de arista y la caja tiene 1 m de arista, es decir, 100 cm. Por lo tanto, en
la caja entran 100 x 100 x 100 dados = 1000000 dados. Como la caja tiene un volumen de 1
m3 y cada dado tiene un volumen de 1 cm3, podemos decir que en 1 m3 entran 1000000 de
cm3, o, que un volumen de 1 m3 es equivalente a un volumen de 1000000 de cm3. También
que 1 cm3 es equivalente a 1 : 1000000 m3 = 0,000001 m3
Medición de magnitudes - Simela
Matemática A – Unidad 6
127
MEDICIÓN DE MAGNITUDES – SIMELA
UNIDAD 6
Podríamos pensar del mismo modo considerando cubos de 1 dm de lado y obtendríamos la
equivalencia del metro cúbico con el decímetro cúbico. Y así con el resto de las unidades.
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: UNIDADES DE VOLUMEN Y DE CAPACIDAD DEL
SIMELA
Dado que el sistema decimal de medición de volúmenes es un sistema derivado del sistema
de medición decimal de longitudes (ya que para medir volúmenes consideramos longitudes)
podemos armar una tabla, como la utilizada con las unidades de longitud y de superficie, para
indicar las unidades utilizadas en el SIMELA para medir volúmenes y sus equivalencias con
el metro cúbico que es la unidad principal:
Múltiplos
1 km3
1000000000 m
1 hm3
3
1000000 m
1 dam3
3
1000 m
Unidad
principal
1 m3
3
Submúltiplos
1 dm3
0,001 m
1 cm3
3
0,000001 m
1 mm3
3
0,000000001 m
3
Observe en la tabla las posiciones relativas entre las unidades del sistema y el metro cúbico.
Podemos ver que para escribir un volumen expresado en una unidad cualquiera de la tabla en
otra unidad mayor (para “movernos” de derecha a izquierda en la tabla) debemos dividir por
1000 a la cantidad que queremos convertir tantas veces como lugares haya entre las
posiciones de una unidad y otra en la tabla.
Para escribir una superficie expresada en una unidad cualquiera de la tabla en una unidad
menor (para “movernos” de izquierda a derecha en esta tabla) hay que multiplicar a la
cantidad por 1000 tantas veces como lugares haya entre las posiciones de una unidad y otra
en la tabla.
Para medir capacidades se usa como unidad principal al litro (l). Sus múltiplos son: el
decalitro (dal), el hectolitro (hl) y el kilolitro (kl). Sus submúltiplos son: el decilitro (dl), el
centilitro (cl) y el mililitro (ml).
Le mostramos sus equivalencias con la unidad principal en la siguiente tabla:
Múltiplos
Unidad principal
1 kl
1 hl
1 dal
1000 l
100 l
10 l
1l
Submúltiplos
1 dl
1 cl
1 ml
0,1 l
0,01 l
0,001 l
Para las medidas de capacidad, las equivalencias entre la unidad fundamental, sus múltiplos y
submúltiplos son como las vistas para las medidas de longitud.
Existe una equivalencia entre las medidas de capacidad y de volumen. Es la siguiente:
1 litro = 1 dm3 = 1000 cm3
Seguramente en su alacena podrá encontrar productos en los que pueda leerse esta
equivalencia.
ACTIVIDAD Nº 5: “CÁLCULO DE VOLÚMENES Y CAPACIDADES”
1. Se cava un pozo para hacer una piscina. El volumen de tierra que se saca para hacer el
pozo es de 56 m3. La tierra se retira con carretillas que en cada viaje pueden cargar 400
dm3.
a) ¿Cuántos viajes de la carretilla son necesarios para retirar toda la tierra del pozo?
b) Suponiendo despreciable el grosor de las paredes, ¿cuántos litros de agua serán
necesarios para llenar la pileta de natación?
c) ¿A cuántos kilolitros de agua es equivalente la cantidad anterior?
Medición de magnitudes - Simela
Matemática A – Unidad 6
128
MEDICIÓN DE MAGNITUDES – SIMELA
UNIDAD 6
2. El volumen de un bidón es de 7500 cm3.
a) ¿Con cuántos litros de agua se puede llenar ese bidón?
b) ¿Cuántos mililitros de agua llenan el bidón?
c) Si el contenido del bidón se quiere repartir en botellas de 0,5 dm3, ¿cuántas de estas
botellas serán necesarias?
3. En las Cataratas del Iguazú caen 1700 m3 de agua por segundo.
a) ¿Cuántos litros de agua caen por minuto?
b) ¿Y por hora?
4. Imagine (o busque) una caja de zapatos. Supongamos que esa caja de zapatos tiene 20
cm de ancho, 35 cm de largo y 10 cm de alto. Se quiere llenar con dados que tienen 1 cm
de arista.
a) ¿Cuántos dados caben en la caja?
b) ¿Cuál es el volumen de la caja en cm3?
c) ¿Cuál es la superficie, en cm2, de la base de la caja?
d) Si multiplica la superficie de la base por la altura de la caja, ¿qué obtiene?
e) ¿Cuántos cm2 de cartón se necesitan para armar la caja?
Para reflexionar sobre lo trabajado
Una caja de zapatos es un ejemplo de un cuerpo geométrico llamado prisma recto porque
sus "paredes" son perpendiculares a la base. Observe el siguiente gráfico:
La caja de zapatos es un prisma recto rectangular (porque su base es un rectángulo).
También hay prismas rectos cuadrangulares (con base cuadrada), triangulares (con base
triangular), pentagonales (su base es un pentágono), etc.
Para obtener el volumen de un prisma recto, como habrá calculado para la caja de zapatos,
se multiplica la superficie de la base por la altura del prisma. Es decir que:
Volumen prisma recto = Superficie de la base . altura
Para calcular la cantidad de cartón a utilizar para construir la caja, sumamos las superficies de
sus caras (que, en este caso, son 6 rectángulos).
5.
6.
7.
8.
Sigamos ahora calculando volúmenes y capacidades:
En un envase de salsa de tomate con forma de prisma recto rectangular, los lados de la
base miden 6 cm y 8 cm y la altura mide 5 cm.
a) ¿Cuál es el volumen del envase en cm3?
b) ¿Cuál es la capacidad de ese envase en litros?
Un envase de 1 litro de jugo tiene forma de prisma recto cuadrangular. Cada lado de la
base mide 8 cm. ¿Cuánto mide la altura?
Se quiere construir un depósito con forma de prisma recto rectangular para contener 200 hl
de agua. La altura del depósito es de 2 m.
a) ¿Cuál es la superficie de la base del depósito?
b) Si el largo de la base del depósito mide el triple del ancho, ¿cuáles son las dimensiones
del mismo?
Un aire acondicionado de 2500 frigorías es apropiado para ambientes de hasta 50 m 3.
Será instalado en una habitación de 2,80 m de altura, 3,5 m de ancho y 5 m de largo,
¿resultará suficiente la cantidad de frigorías para este ambiente?
Medición de magnitudes - Simela
Matemática A – Unidad 6
129
MEDICIÓN DE MAGNITUDES – SIMELA
UNIDAD 6
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: UNIDADES DE PESO DEL SIMELA
Para medir el peso de un objeto se utiliza como unidad principal o fundamental el gramo (g).
Sus múltiplos son: el decagramo (dag), el hectogramo (hg) y el kilogramo (kg).
Sus submúltiplos son: el decigramo (dg), el centigramo (cg) y el miligramo (mg). Le
mostramos sus equivalencias con la unidad principal en la siguiente tabla:
Múltiplos
Unidad principal
1 kg
1 hg
1 dag
1000 g
100 g
10 g
1g
Submúltiplos
1 dg
1 cg
1 mg
0,1 g
0,01 g
0,001 g
También para las medidas de peso, las equivalencias entre la unidad fundamental, sus
múltiplos y submúltiplos son como las vistas para las medidas de longitud.
Otra unidad de medida de peso que posiblemente usted haya escuchado es la tonelada. Una
tonelada es equivalente a 1000 kg.
Para concluir…
Como cierre del trabajo realizado en esta unidad, le proponemos que reflexione acerca de lo
aprendido a lo largo de la unidad en relación con:
 ¿Qué significa medir?
 La elección de la unidad de medición.
 Las diferentes magnitudes y las unidades más usuales para medirlas.
 La equivalencia entre las distintas unidades del SIMELA para cada magnitud.
 El cálculo de perímetros y superficies de diferentes figuras.
Si pudo reconocer estos temas y resolvió las actividades propuestas en relación con cada uno
de ellos, entonces está en condiciones de realizar la siguiente actividad integradora. Sino, le
proponemos revisar lo visto hasta ahora, y/o solicitar ayuda en alguno de los espacios de
orientación que le ofrece Adultos 2000 y encarar la actividad integradora luego de haber
resuelto sus dudas.
ACTIVIDAD INTEGRADORA
Claudio y Estela van a instalar un buffet dentro del club del barrio al que van sus hijos. El club
les alquila un pequeño espacio que no se encuentra en muy buenas condiciones y necesita
algunos arreglos. Como no pueden enfrentar demasiados gastos antes de la apertura del
buffet, deciden hacerle sólo un “lavado de cara” pintando las paredes, techo y aberturas y
acondicionando el piso del local.
Se trata de un local rectangular de 15 m de largo, 8 m de ancho y 4 m de altura. El mismo
presenta una puerta de acceso de 1,2 m de base y 2 m de altura y una ventana de atención al
público de 4 m de base y 1 m de altura. Tanto la puerta como la ventana, tienen un marco de
4 cm.
Pintarán con pintura al agua las paredes y el techo del local y con pintura al aceite la puerta y
la ventana de atención al público. Van a revestir el piso con placas vinílicas que consiguen en
rollos de 10 m2.
Calculan que con 4 litros de pintura al agua pueden cubrir, con dos manos de pintura, una
superficie de 40 metros cuadrados aproximadamente.
Responda las siguientes preguntas a partir de la información que le damos en el enunciado.
1. ¿Cuál es la superficie total a pintar con pintura al agua?
2. ¿Les alcanza una lata de 4 litros de pintura al agua para cubrir con dos manos de pintura
las paredes y el techo del local? ¿Por qué? Explique con sus palabras.
3. ¿Cuánto mide la superficie que será pintada con pintura al aceite?
4. ¿Cuántos rollos de vinílico deberán comprar para que les alcance para cubrir todo el piso
del local?
Medición de magnitudes - Simela
Matemática A – Unidad 6
130
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
7
UNIDAD 7
En esta unidad trabajaremos con la lectura e interpretación de datos que se muestran a través
de tablas o gráficos. Las tablas y los gráficos son formatos de uso habitual ya que permiten
visualizar rápida y claramente la información que contienen. Posiblemente usted los ve en
forma frecuente en diarios y revistas y es importante que pueda hacer una lectura adecuada y
crítica de la información que transmiten.
La rama de la Matemática que se ocupa de la recolección, organización, análisis e
interpretación de datos se denomina Estadística. En este nivel haremos una aproximación a
esta disciplina y a sus herramientas, que continuaremos estudiando en Matemática B. En
particular trabajaremos con el cálculo de algunas medidas como el promedio y el porcentaje.
Nos acercaremos también al cálculo de probabilidades y sus aplicaciones, que
profundizaremos en Matemática C.
Comenzaremos el estudio de la unidad analizando algunos gráficos que usted seguramente
conoce: los que vienen en las boletas de luz y de gas indicando los consumos de su casa.
____________________________________________________________________
El gráfico que sigue fue extraído de la boleta de gas de una vivienda de la Ciudad de
Buenos Aires. Tenga en cuenta que la facturación del servicio es bimestral. Por lo tanto,
cuando en la representación se indica Febrero, por ejemplo, el consumo corresponde al
período Enero - Febrero.
Responda las siguientes preguntas a partir de la observación del gráfico:
1. Si usted quiere saber cuál fue el consumo de gas de la vivienda en el período Mayo - Junio
de 2004, ¿dónde lo mira en el gráfico?
2. ¿Cómo resulta ser el consumo de gas de esta vivienda en el bimestre Mayo - Junio de 2004
en relación con el mismo bimestre en el año 2003? ¿Cómo observa esta información en el
gráfico?
3. ¿En qué bimestre se registra el mayor consumo de gas del período Junio de 2003 - Junio
de 2004? ¿Cuántos metros cúbicos de gas se consumieron en ese bimestre?
4. ¿En qué bimestre se registra el menor consumo de gas del período Junio de 2003 - Junio
de 2004? ¿Cuántos metros cúbicos de gas se consumieron en ese bimestre?
Le mostramos ahora otros dos gráficos extraídos de las boletas de electricidad de dos
viviendas de la Ciudad de Buenos Aires, una de la zona sur y otra de la zona norte.
Probabilidad y Estadística
Matemática A – Unidad 7
131
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Unidad 7
3/03
Responda las siguientes preguntas a partir de la observación de los gráficos:
1. En la vivienda de la zona sur:
a) ¿Cuál fue el bimestre del año 2004 en el que se registró el mayor consumo de energía
eléctrica? ¿Cuántos kilowatt/hora se consumieron ese bimestre?
b) ¿Cómo resulta ser el consumo de electricidad del cuarto bimestre del año 2004 en
relación con el consumo del mismo período en el año 2003? ¿Dónde lee esta
información en el gráfico?
2. En la vivienda de la zona norte:
a) ¿Qué se representa en cada una de las barras que muestra el gráfico de la factura?
b) ¿Cómo resulta ser el consumo del período actual en relación con el mismo período del
año anterior?
3. Si compara la forma de mostrar la información de cada una de las empresas de
electricidad, ¿qué similitudes y qué diferencias encuentra?
4. Si compara la forma de mostrar la información de las empresas de electricidad y la empresa
de gas, ¿qué similitudes y qué diferencias encuentra?
Los siguientes datos corresponden a las exportaciones de yerba mate de la provincia de
Misiones y fueron elaborados por la Subsecretaría de Comercio e Integración en base a datos
proporcionados por el INDEC.
Probabilidad y Estadística
Matemática A – Unidad 7
132
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Unidad 7
Responda las siguientes preguntas a partir de la observación de los gráficos:
1. Observe el gráfico que muestra la evolución en las exportaciones de yerba mate de la
provincia de Misiones y responda:
a) En él se muestran simultáneamente dos aspectos de la situación, ¿cuáles son?, ¿dónde
observa cada uno de ellos?
b) ¿Qué cantidad de yerba mate exportó la provincia en el año 2001?
c) ¿Cuál fue el precio por kilogramo ese año?
d) ¿En qué año se registró el mayor volumen de exportaciones de yerba mate de la
provincia? ¿Cuál fue dicho volumen? ¿Cuál fue el precio por kilogramo ese año?
e) ¿Pudo indicar los valores pedidos en los ítems b), c) y d) con exactitud? ¿Por qué?
f) ¿En qué año o años la provincia registró un volumen de exportaciones de
aproximadamente 15.000 toneladas?
2. Observe el gráfico que muestra los destinos de las exportaciones de yerba mate de la
provincia de Misiones y responda:
a) ¿Qué información en relación con las exportaciones puede observar en él? ¿Cómo la
observa?
b) ¿Cuáles son los países que reciben el mayor y el menor volumen de exportaciones de
yerba mate procedentes de Misiones?
c) ¿Es posible determinar a partir del gráfico qué parte de la producción se exporta a cada
uno de los países? ¿Y el monto de las mismas? Si su respuesta es afirmativa, indique
este valor a partir de la lectura del gráfico. Si su respuesta es negativa, indique cuál es
la razón que le impide hacerlo.
Probabilidad y Estadística
Matemática A – Unidad 7
133
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Unidad 7
Para reflexionar sobre lo trabajado
En las situaciones anteriores trabajamos con una de las formas utilizadas por la Estadística
para mostrar la información: los gráficos. Los gráficos tienen la ventaja de permitir visualizar la
información más rápidamente que si la miráramos tal como resulta de su relevamiento en una
encuesta o un censo, o si la tuviéramos que leer de un texto. Por esta razón son muy
utilizados en los medios de comunicación. Pero debemos ser muy cuidadosos porque si no
están bien elaborados también pueden transmitir una información errónea.
Los gráficos de las boletas de gas y de luz y el gráfico que muestra la evolución de las
exportaciones de yerba mate de la provincia de Misiones son gráficos de barras. Los
gráficos de barras se construyen en un sistema de ejes coordenados cartesianos.
En el caso la boleta de electricidad de Edesur y la evolución de las exportaciones de yerba
mate se trata de gráficos de barras verticales. En estos casos, en el eje horizontal, se
indican los períodos de tiempo para los que se realizaron los registros, y en el eje vertical se
indican las cantidades registradas en cada uno de esos períodos. En el gráfico
correspondiente a Edesur, la representación está simplificada para que la lectura sea más
sencilla y para que se pueda visualizar con exactitud cuál es el consumo registrado en cada
bimestre. Por esa razón, en lugar de mostrarse los consumos en un eje vertical, directamente
se indica cada uno de ellos en la parte superior de la barra correspondiente a cada período.
En el gráfico que muestra la evolución del volumen de las exportaciones de yerba, no se
puede visualizar con exactitud cuál es el volumen exportado en cada período. Por ejemplo, en
el año 2001 se exportaron aproximadamente 32500 toneladas de yerba mate. Si tuviéramos
que hacer un análisis pormenorizado de la situación, el gráfico no nos sería suficiente,
necesitaríamos complementar la información. Pero si nos interesara solamente obtener
información sobre la evolución de las exportaciones de yerba mate de la provincia de Misiones
en un período determinado, el gráfico resultaría suficiente.
El gráfico de las exportaciones de yerba mate, muestra además el precio por kilogramo en
cada uno de los períodos considerados. Por esta razón se utilizan dos ejes verticales. En el
eje ubicado a la izquierda, se indica el volumen exportado (en toneladas) y en el eje de la
derecha se indica el precio del kilogramo de yerba (en dólares). Puede observarse, por
encima de las barras, la representación de una curva. Esta curva nos muestra la evolución
del precio promedio del kilogramo de yerba mate a lo largo de esos años.
Si no sabe de qué hablamos cuando hablamos de promedio, no se preocupe. Más adelante en la unidad veremos de qué se
trata.
En la boleta de gas y en la boleta de electricidad de la vivienda de la zona norte se utilizaron
gráficos de barras horizontales. En este caso se indican, en el eje vertical, los períodos a
los que corresponden los registros realizados, y en el eje horizontal, las cantidades
registradas en cada uno de ellos. En los dos casos, las representaciones están simplificadas.
En la boleta de gas se muestra directamente el consumo correspondiente a cada período a la
derecha de la barra. La boleta de Edenor se muestra únicamente el consumo del último
período, el del mismo período del año anterior y el consumo promedio del último año. Todos
estos valores se muestran a la derecha de cada barra.
También podemos representar gráficamente un conjunto de datos utilizando gráficos
circulares, como el que se utilizó para mostrar los destinos de las exportaciones de la
provincia de Misiones. Para realizar este tipo de gráficos se divide a un círculo en sectores. En
el ejemplo dado, hay tantos sectores como países o regiones a los que esa provincia exporta
sus productos. El tamaño de cada sector se determina, en este caso, en base al volumen de
exportaciones registrado hacia cada uno de los países o regiones.
Los gráficos circulares permiten visualizar rápidamente qué parte del total representa cada
uno de los sectores, cosa que no es de visualización inmediata en un gráfico de barras. Por
ejemplo, en el gráfico circular correspondiente al destino de las exportaciones de la provincia
de Misiones, se puede visualizar que, aproximadamente, la cuarta parte de las mismas tienen
por destino los EEUU.
Probabilidad y Estadística
Matemática A – Unidad 7
134
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Unidad 7
Para que, además, el gráfico circular permita visualizar el volumen numérico correspondiente
a cada sector, debe agregarse más información al mismo o bien complementarse la
información del gráfico a través de otro medio como puede ser, por ejemplo, una tabla que
también es habitual encontrar en diarios y revistas. Por ejemplo:
____________________________________________________________________
La tabla que sigue corresponde al destino de las exportaciones de la provincia de
Misiones del año 2001:
Países o regiones destinatarios Monto (en miles de u$s)
EEUU
59894
Mercosur
69061
Otros países de América
13525
Europa y países del Este
82022
Países asiáticos
9329
Australia
352
Siria y Líbano
10347
Sudáfrica y países de África
3516
Total
248046
Fuente: Subsecretaría de Comercio e Integración. Provincia de Misiones.
Teniendo en cuenta la información que le agrega la tabla, calcule a qué parte del total de las
exportaciones corresponde el monto exportado a EEUU, al Mercosur y a Europa y Países del
Este.
Si tiene dificultades para calcular las fracciones pedidas, revise el concepto de fracción en la Unidad 2 de esta Guía.
Le mostramos ahora una nueva tabla construida en base a datos proporcionados por el censo
nacional de población de 2001:
Cantidad de
Superficie
2
Densidad de
Provincia
Mujeres
Varones
(km )
población (hab/km2)
Ciudad de Buenos
1517680
1258458
203
13675,5
Buenos Aires
7101324
6725879
307571
45
Chubut
206184
207053
224686
1,8
Córdoba
1577398
1489403
165321
18,6
La Pampa
150125
149169
143440
2,1
Santa Cruz
96479
100479
243943
0,8
Tucumán
680981
657542
22524
59,4
Aires
Fuente: INDEC, Censo Nacional de Población y Vivienda 2001. Instituto Geográfico Militar.
Responda las siguientes preguntas a partir de la información que le proporciona la tabla:
1. ¿Cuál es la cantidad total de habitantes de la Ciudad de Buenos Aires?
2. ¿Qué fracción de los habitantes de la Ciudad de Buenos Aires son mujeres?
2. ¿Cuál de las provincias consideradas en la tabla tiene una población total de 196958
habitantes?
Probabilidad y Estadística
Matemática A – Unidad 7
135
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Unidad 7
3. ¿Cómo se calculó la densidad de población de cada provincia? Escriba la cuenta realizada
en cada caso.
4. Explique con sus palabras cuál es la razón por la que dos provincias como Córdoba y La
Pampa, que tienen superficies similares, tengan densidades poblacionales tan diferentes.
5. Explique, también con sus palabras, cuál es la razón por la que la provincia de Tucumán
tiene una densidad de población tan alta.
Para reflexionar sobre lo trabajado
En los dos casos anteriores le mostramos la información a través de otra de las formas que
utiliza la Estadística para organizar la información: una tabla. Usted ya trabajó con ellas a lo
largo de todo el nivel. Las tablas, como ya observamos con los gráficos, permiten visualizar la
información rápidamente.
Para dar información en los medios a través de tablas, es necesario que se indique:
 Un título o una descripción del contenido de la tabla en forma breve.
 Qué información se indica en cada columna y en cada fila.
 Las unidades en las que están medidos los valores que se indican en la tabla.
 La fecha y la fuente de donde provienen.
Sin la información anterior la tabla no estaría completa y eso impediría que una persona que
se informa a través de ella pueda entender, sin errores, los datos que la misma proporciona.
____________________________________________________________________________
Identifique cada uno de estos puntos en las tablas anteriores.
ACTIVIDAD Nº 1: “LECTURA DE GRÁFICOS Y TABLAS”
1.
El siguiente gráfico de barras muestra la evolución de la producción de pomelo en la
provincia de Salta:
Responda las siguientes preguntas a partir de la lectura del gráfico:
a) ¿Qué se indica en las dos primeras barras del gráfico?
b) ¿Qué podría decirse sobre la evolución de la producción de pomelo entre los años 1980 1997?
c) ¿En qué año se produjo la mayor cantidad de toneladas de pomelo? ¿Cuál fue,
aproximadamente, la producción en ese año? ¿Puede visualizar este valor en forma
exacta a través del gráfico?
d) ¿En qué año se produjeron aproximadamente 80000 toneladas?
Probabilidad y Estadística
Matemática A – Unidad 7
136
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Unidad 7
2.
Al comienzo de la temporada 2004 – 2005 se realizó una encuesta a 1000 turistas
argentinos con el objeto de relevar algunos datos sobre sus hábitos vacacionales. El siguiente
gráfico circular muestra los destinos turísticos elegidos por los turistas encuestados:
Responda las siguientes preguntas teniendo en cuenta la información que le da el gráfico:
a) ¿Cuál es el destino más elegido? ¿Cuántos encuestados lo eligieron?
b) ¿Qué fracción de los turistas encuestados elige como destino turístico la Costa argentina?
c) ¿Cuántos turistas piensan ir de vacaciones a Mendoza? ¿Qué parte del total representa
esa cantidad?
3. El siguiente gráfico representa la situación, al finalizar el ciclo lectivo, de los alumnos de
Historia en una escuela pública de la Ciudad de Buenos Aires:
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Aprobados
Marzo
Diciembre
1er año
2do año
3er año
Responda las siguientes preguntas observando la información del gráfico:
a) ¿Cuántos alumnos aprobaron la materia en cada uno de los tres cursos representados?
¿Y en total entre los tres años de la escuela?
b) ¿Cuántos alumnos deben rendir la materia en marzo en cada curso? ¿Y en total?
c) ¿Qué cantidad de alumnos tiene cada curso?
d) ¿Qué parte del total de alumnos de cada curso debe rendir la materia en diciembre?
e) ¿Qué parte del total de alumnos de los tres años debe rendir la materia en diciembre?
PROMEDIO
__________________________________________________________________
Le proponemos resolver la siguiente situación con la que empezaremos a pensar
juntos en la idea de promedio:
Marta, una estudiante de Adultos 2000, necesita obtener una beca para continuar estudiando.
Recorrió varias instituciones que ofrecen becas para estudiantes de nivel medio buscando
información sobre los requisitos que las mismas exigen para acceder al beneficio.
Probabilidad y Estadística
Matemática A – Unidad 7
137
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Unidad 7
Varias de ellas, para otorgar la beca, evalúan, entre otras cuestiones, los promedios de notas
de los aspirantes. Una de las instituciones en la que está interesada requiere un promedio de
notas de 8 puntos o más. Otra, que también ofrece una beca bastante interesante, exige un
promedio de 7 puntos, como mínimo.
Las notas de Marta, en los cuatro exámenes que rindió hasta el momento, son:
Lengua A: 6 Lengua B: 7 Geografía A: 8 Historia A: 8
Parte A
De acuerdo con las notas de Marta, responda:
1. ¿A cuál de las dos becas le parece que podría acceder? Explique con sus palabras la
razón de su respuesta.
2. Si tuviera que calcular el promedio de las notas de Marta, ¿cómo lo haría? Si puede
calcularlo escriba las cuentas que realizaría para obtenerlo e indique su resultado. Si no
puede hacerlo, no se preocupe. Siga trabajando con el ítem 3.
3. Como Marta no está segura de estar haciendo bien las cuentas, le pide ayuda a su
compañera Silvia, que aprobó Matemática y ya aprendió a calcular promedios. Silvia le
dice que para calcular el promedio de sus notas debe sumarlas y dividir al resultado de la
suma por 4. ¿Está de acuerdo con la cuenta propuesta por Silvia? ¿Cuánto da esta
cuenta?
Para reflexionar sobre lo trabajado
La cuenta que propone Silvia para calcular el promedio de notas de Marta es correcta. Al
realizarla obtenemos que el promedio de las notas de Marta es 7,25. Por lo tanto sólo podría
aspirar a la beca ofrecida por una sola de las instituciones en las que estaba interesada.
Continuemos con el ejercicio la situación …
A Silvia también le vendría bien una beca para continuar estudiando y se entusiasma a partir
de lo que le cuenta Marta. Decide calcular su propio promedio para ver si ella podría tener
acceso a alguna de las dos becas. Las notas de Silvia son las siguientes:
Lengua A: 6 Lengua B: 8
Matemática A: 7
Geografía A: 9 Geografía B: 10
Historia A: 8 Historia B: 8
¿Cuál es el promedio de las notas de Silvia? ¿A cuál de las becas podría aspirar?
Parte C
Élida, otra amiga de Marta que estudia en Adultos 2000, tiene el mismo promedio de notas
que Silvia y tiene rendidos también 7 exámenes.
Responda las siguientes preguntas a partir de la información anterior:
1. ¿Puede decir cuáles son las notas de Élida en cada uno de los exámenes? Si su
respuesta es afirmativa, indique cada una de ellas. Si su respuesta es negativa, indique
por qué no puede hacerlo.
2. Si además le informamos que Élida sacó la misma nota en cada uno de los exámenes que
rindió, ¿puede decir cuál es la nota que obtuvo en cada uno de ellos? Si su respuesta es
afirmativa, indique la nota obtenida en cada examen. Si su respuesta es negativa, indique
por qué no puede hacerlo.
Para reflexionar sobre lo trabajado
Para calcular el promedio de Silvia sumamos sus notas y las dividimos por 7 (porque estamos
promediando 7 notas):
6 + 8 + 7 + 9 + 10 + 8 + 8 = 56
56 : 7 = 8
Probabilidad y Estadística
Matemática A – Unidad 7
138
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Unidad 7
Por lo tanto el promedio de notas de Silvia es 8 y puede aspirar a cualquiera de las dos becas
de las que le habló Marta.
En la misma situación está Élida ya que su promedio es el mismo que el de Silvia. Si los
promedios son iguales y ambas rindieron la misma cantidad de exámenes, la suma de las
notas de Élida debe ser la misma que la suma de las
notas de Silvia. Pero no hay una única forma de sumar 7 notas y obtener como resultado 56.
Por lo tanto, sabiendo sólo el promedio de las notas de Elida no podemos saber cuáles son
las notas que ella obtuvo en cada uno de los exámenes. Si nos informan, además, que Élida
obtuvo la misma nota en todos sus exámenes, entonces sí podemos calcular la nota en cada
uno de ellos haciendo la cuenta 56 : 7 = 8.
Podemos ver entonces que el promedio entre 6, 8, 7, 9, 10, 8 y 8 coincide con el promedio
entre 8, 8, 8, 8, 8, 8 y 8
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: PROMEDIO
De acuerdo con lo realizado en la actividad anterior, podemos observar que cuando
calculamos un promedio de un grupo de notas, estamos reemplazando a dicho grupo por una
única nota que representa al conjunto. Si sumamos esta nota promedio tantas veces como la
cantidad de notas que tenemos en el grupo obtenemos el mismo resultado que si sumamos
las notas del grupo.
Para calcular el promedio de un grupo o conjunto de datos, se suman todos los datos del
grupo y se divide el resultado obtenido por la cantidad de datos que tiene dicho conjunto. Si
bien el promedio de un grupo de datos es un número que puede ser representativo del
conjunto, no siempre resulta así. Más adelante analizaremos una situación en la que
podremos visualizar esta dificultad. Mientras tanto le proponemos continuar pensando un rato
más en la beca de Marta:
Marta accedió a la beca y cada 6 meses debe presentar un certificado con sus notas.
Parapoder conservar la beca su promedio no debe bajar de 7 puntos y debe rendir al menos
unexamen cada semestre. En la próxima fecha tiene pensado rendir Química A y Geografía B.
Responda las siguientes consignas teniendo en cuenta la nueva información:
1. Si Marta aprueba ambos exámenes, ¿qué nota debería sacar como mínimo en cada uno
de ellos para mantener la beca?
2. Si Marta saca un 5 en el examen de Química A, ¿cuánto debería sacar, como mínimo, en
el examen de Geografía B para mantener la beca?
3. Dé un ejemplo de un par de notas que le impedirían a Marta mantener la beca.
Para reflexionar sobre lo trabajado
Para poder conservar la beca, Marta debe conservar su promedio de 7 ó más, aprobando al
menos uno de los exámenes. Si Marta aprobara ambos exámenes, debería sacar como
mínimo 6 y 7 en cada uno de ellos porque de ese modo la suma de las notas
correspondientes a los 6 exámenes daría 42 o más que, dividido por 6, da 7 o más.
Si consideramos la posibilidad de que Marta desapruebe alguno de sus exámenes, la nota del
otro deberá compensar a la del examen desaprobado de modo que se mantenga el promedio
exigido. Si sacara 5 en uno de ellos, para que la suma de las notas siga siendo 42 o más,
debería sacar como mínimo 8 en el otro. Si sacara 4, debería sacar como mínimo 9 en el otro.
Si sacara 3, en el otro examen tendría que obtener un 10. Si su nota fuera menor que 3 en
una de las materias, no tendría forma de mantener el promedio, al menos en ese turno de
exámenes. Lo mismo sucedería si aprueba ambos exámenes con 6.
____________________________________________________________________
Le presentamos una nueva situación para continuar pensando en el promedio como
representante (o no) de un conjunto de datos:
Probabilidad y Estadística
Matemática A – Unidad 7
139
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Unidad 7
La radio anuncia un conflicto salarial entre los trabajadores y los dueños de una empresa. Los
trabajadores se encuentran de paro en reclamo de mejoras salariales. Argumentan que sus
salarios se encuentran congelados desde hace dos años, y que han quedado muy retrasados
en relación con los aumentos que ha sufrido la canasta básica durante el último año. La radio
entrevista a uno de los empresarios quien dice lo siguiente:
"No entiendo cuál es el reclamo. Los empleados de la empresa cobran un sueldo promedio de
casi de $ 2400, que de ninguna manera es un sueldo que justifique esta medida de fuerza".
Escriba su opinión sobre el conflicto de los trabajadores con la empresa y sobre las
declaraciones realizadas por el empresario a los medios.
Como las declaraciones del empresario nos resultaron sospechosas, pedimos al delegado
gremial que nos informara sobre la cantidad de empleados perteneciente a cada sector de la
empresa y el sueldo que cobra mensualmente cada uno de ellos. Con la información obtenida
elaboramos la siguiente tabla:
Cantidad
Gerentes generales
Gerentes de sucursal
Contadores
Encargados
Empleados administrativos
Empleados para atención al publico
Técnicos
4
15
15
15
30
60
95
Sueldo mensual
(en $)
12500
7500
5000
3500
2000
1500
1200
Responda las siguientes preguntas a partir de la información de la tabla:
1. ¿Qué cantidad de empleados tiene la empresa?
2. ¿Cuántos empleados de la empresa ganan un sueldo igual o superior al sueldo promedio
informado por el directivo de la empresa?
3. ¿Cuántos empleados ganan un sueldo inferior a ese sueldo promedio?
4. ¿Por qué cree usted que el directivo de la empresa utilizó el valor del sueldo promedio
para hacer sus declaraciones a los medios?
5. ¿Qué opina usted sobre el promedio como información representativa de los sueldos del
conjunto de los empleados de la empresa?
Para reflexionar sobre lo trabajado
Como seguramente usted habrá podido observar en la tabla, la mayoría de los empleados de
la empresa cobra un sueldo inferior al promedio. El valor del promedio se ve claramente
afectado por los sueldos altos de la empresa con lo cual, al haber mucha dispersión entre los
mismos, el promedio deja de ser un valor representativo del conjunto.
Continuaremos profundizando este concepto en Matemática B. Le proponemos ahora que
resuelva nuevas situaciones vinculadas al cálculo de promedios en la siguiente actividad:
ACTIVIDAD Nº 2: “CÁLCULO DE PROMEDIOS”
1. Carlos está preocupado por sus notas de Historia. En los dos primeros trimestres los
promedios de sus notas fueron de 5,40 y 5,80, respectivamente. Una vez terminado el año,
para aprobar la materia, debe promediar 6 o más entre los 3 trimestres.
a) ¿Qué promedio necesita en el tercer trimestre para aprobar Historia?
b) En las dos primeras pruebas del tercer trimestre tuvo un 5 y un 6. Queda una prueba
todavía, ¿tiene posibilidades de aprobar la materia? Si considera que tiene
posibilidades, indique qué nota debería sacar como mínimo en la tercera prueba para
Probabilidad y Estadística
Matemática A – Unidad 7
140
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
2.
Unidad 7
aprobar la materia. Si considera que no puede, explique la razón que justifica su
respuesta.
La siguiente lista corresponde a los pesos de 30 bebés recién nacidos en la Ciudad de
Buenos Aires durante el primer trimestre del año 2007. Los pesos están expresados en
kilogramos:
2,850
3,140
2,480
3 ,560
3 ,000
2 ,230
3,500
2,270
4,100
4,100
3,000
2,000
3,150
2,900
3,100
4,050
2,950
3,600
2,350
3,700
1,850
1,890
2,990
2,740
3,240
4,000
2,990
2 ,670
3 ,510
3 ,890
a) Calcule el peso promedio de los 30 bebés.
b) Exprese, en gramos, el peso promedio que calculó en el ítem a).
3.
En la lista que sigue le indicamos las tallas de los 30 bebés cuyos pesos indicamos en el
ítem 2. Las tallas están indicadas en centímetros:
40
44,8
40,1
45,3
42,5
38,9
47,2
38,5
56,5
55
40,8
38,4
40,8
41
45,6
54,5
41,6
48,9
39
50
35
36
42,3
40,2
43,8
52,8
42
39,9
48,7
54
a) Calcule la talla promedio de los 30 bebés.
b) Exprese, en metros, la talla promedio.
4.
5.
El siguiente gráfico de barras muestra los resultados de una encuesta realizada en la
Ciudad de Buenos Aires con el objetivo de medir la duración media de los botines
Golazo:
Responda las siguientes consignas a partir de los datos que le brinda la representación
gráfica:
a) Complete las siguientes frases para que resulten verdaderas:
 Los botines Golazo tuvieron una duración media de 18 meses para ......... de las
personas encuestadas.
 Para 50 de las personas encuestadas los botines Golazo tuvieron una duración
media de .......... meses.
b) Construya una tabla que muestre la misma información que el gráfico.
c) ¿Cuál fue la cantidad total de personas encuestadas?
d) ¿Qué fracción del total de personas encuestadas respondieron que los botines
tuvieron una duración media de 18 meses ?º 14
Luego de consultar el precio de un producto en 5 comercios de la Ciudad de Buenos
Aires, se calculó que el precio promedio de venta al público del mismo es de $ 105,40.
Probabilidad y Estadística
Matemática A – Unidad 7
141
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Unidad 7
A partir de la información anterior decida cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones
podría/n ser verdadera/s. Justifique las respuestas.
 En todos los comercios el precio de venta al público del producto es de $ 105,40.
 En ningún comercio el precio de venta al público del producto es de $ 105,40.
 En algunos comercios el precio de venta al público del producto es de $ 105,40.
 Exactamente en cuatro comercios el precio de venta al público del producto es de
$ 105, 40.
 En ningún comercio el precio de venta al público del producto puede ser superior a
$ 105,40.
5. Esteban trabaja de lunes a sábado y está haciendo muchas horas extra. Como es muy
minucioso, anota semana a semana la cantidad de horas extra que hizo cada día. En la
siguiente tabla se muestran las anotaciones que Esteban realizó esta semana:
Día
Cantidad de
horas extra
Lunes
3
Martes
2
Miércoles
3
Jueves
-
Viernes
4
Sábado
-
Para calcular el promedio de horas extra diarias de la semana, ¿debe:
 Sumar 3 + 2+ 3 + 4 y dividir a este resultado por 4?
 Sumar 3 + 2+ 3 + 4 y dividir a este resultado por 6?
Elija la opción que considere correcta. Escriba con sus palabras los argumentos que le
permiten decidir su respuesta.
6. Los siguientes datos sobre la tasa de fecundidad en la Argentina fueron publicados por el
diario Clarín del domingo 17 de octubre de 2004:
En 1970, el promedio de hijos por cada mujer era 3,2.
En 1980: 3,4.
En 1990: 3.
Y en 2001 bajó a 2,3.
a) ¿Qué interpretación le da a cada uno de los valores promedios indicados? Escriba su
interpretación utilizando sus palabras.
b) ¿Es posible que en el país, en el año 1970, haya una mujer que tenga 5 hijos? ¿Y 8
hijos?
c) ¿Es posible que en el país, en el año 1980, haya alguna mujer que tenga
sólo un hijo?
d) Represente en un diagrama de barras la evolución de la tasa de fecundidad en la
Argentina entre 1970 y 2001.
PORCENTAJE
A continuación comenzaremos a trabajar con el cálculo de porcentajes.
Insistimos una vez más en que no deje de lado los recursos que usted dispone en su vida cotidiana para resolver situaciones
en las que está involucrado este concepto. Le serán de utilidad para el estudio que le proponemos.
____________________________________________________________________
La fábrica "MS & Cía" produce piezas de tornería. El departamento de control de
calidad de la empresa realiza un informe semanal sobre la calidad de las piezas fabricadas en
cada semana. Para realizar dicho control, por razones de tiempo y costos, no se analizan
todas las piezas sino sólo 6 piezas de cada 100 producidas. Por esa razón, la fábrica organiza
su producción en paquetes de 100 piezas de donde se seleccionan las unidades a controlar.
El informe de control de calidad tiene los siguientes rubros: cantidad de piezas producidas en
una semana, cantidad de paquetes de 100 piezas, cantidad de piezas a controlar, cantidad de
piezas aceptadas como buenas en el control.
Parte A
Probabilidad y Estadística
Matemática A – Unidad 7
142
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Unidad 7
De acuerdo con la información anterior, responda las siguientes preguntas:
1. ¿De qué forma se podría armar el informe del departamento de control de calidad de la
empresa? Diseñe una posible forma de hacerlo.
2. a) Si la producción de una semana fuera de 400 piezas:
 ¿qué rubros del informe podría completar?
 ¿Qué números pondría en cada uno de los rubros? Complételos.
b) ¿Cómo respondería las preguntas anteriores si la producción semanal fuera de 700
piezas? ¿Y si fueran 1200 piezas? ¿Y si fueran 900 piezas?
c) Si el jefe del departamento de control de calidad quisiera controlar el informe, ¿qué
cuentas debería realizar?
d) Para cada caso de los dados en los ítems a) y b), escriba qué cuentas se deben realizar
para controlar el cálculo de:
 la cantidad de paquetes.
 la cantidad de piezas a controlar.
Parte B
Suponga, ahora, que el jefe del departamento de control de calidad de la empresa quiere
controlar los informes de varias semanas. El dato que más le interesa es el de la cantidad de
piezas a controlar.
Complete en la tabla que le damos a continuación cuál es la cuenta que se debe realizar en
cada caso para calcular la cantidad de piezas a controlar de acuerdo con la cantidad de
piezas producidas en la semana. Como ejemplo de lo pedido le damos una fila de la tabla
completa:
Cantidad de piezas
producidas
400
700
900
1200
Cuenta para obtener la
cantidad
de piezas a controlar
(400 : 100) . 6 = 24
El jefe del departamento quiere escribir una fórmula que le permita calcular la cantidad c de
piezas a controlar a partir de la cantidad q de piezas producidas en una semana. Teniendo en
cuenta las cuentas realizadas en cada fila de la tabla, escriba la fórmula que permite calcular
la cantidad c de piezas a controlar si se conoce la cantidad q de piezas producidas en una
semana.
Si tiene dificultades para escribir una fórmula revise lo realizado en la Unidad 1 en relación con este tema.
Para reflexionar sobre lo trabajado
En la tabla, usted calculó la cantidad de piezas a controlar de acuerdo con la cantidad de
piezas producidas. En cada caso debió escribir la cuenta que le permitió realizar dicho cálculo.
Podemos observar que, en todos los casos, a la cantidad de piezas producidas semanalmente
la dividimos por 100 para obtener la cantidad de paquetes (porque cada paquete contiene 100
piezas) y a este resultado lo multiplicamos por 6 (porque se controlan 6 piezas de cada
paquete).
Por lo tanto, si llamamos q a la producción semanal de la fábrica, para calcular la cantidad c
de piezas a controlar dividimos a q por 100 y luego multiplicamos a este resultado por 6. La
fórmula es:
c = (q : 100) . 6
Probabilidad y Estadística
Matemática A – Unidad 7
143
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Unidad 7
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: PORCENTAJE
La frase "Se controlan 6 piezas por cada 100 piezas producidas", es equivalente a la frase "Se
controla el 6 por ciento de las piezas producidas".
Simbólicamente: 6 %. Este tipo de expresión es muy habitual y probablemente usted se haya
encontrado con ella en muchísimas ocasiones en su vida cotidiana.
En general, para calcular el A % de una cantidad B dividimos por 100 a esa cantidad B y
multiplicamos al resultado por A:
“el A % de una cantidad B se calcula haciendo la cuenta (B : 100) .A”.
Parte C
Volvamos a la fábrica "MS & Cía".
Por razones económicas, en la empresa se decidió modificar la cantidad de piezas a controlar
por cada paquete de 100.
1. ¿Qué cantidad de piezas por paquete se controlan si se producen 700 piezas y se
controlan 35?
2. Si se producen 1500 piezas y se controlan 60, ¿cuántas piezas se controlan por paquete?
3. Esta situación, ¿está vinculada con la idea de porcentaje? ¿De qué manera? Más
precisamente, ¿qué representa la cantidad de piezas a controlar por paquete?
Para reflexionar sobre lo trabajado
Para responder la pregunta planteada en el ítem 1. se puede haber pensado del siguiente
modo:
Con 700 piezas se arman 7 paquetes. Si se controlan 35 piezas en total, se controlan 5 piezas
por paquete, o sea "5 piezas por cada 100". Es decir, se controla el 5 % de las piezas
producidas. Verifiquémoslo con las cuentas:
(700 : 100) .5 = 35
Para responder también podríamos plantear una ecuación que nos permita determinar lo
pedido. En esa ecuación la incógnita x representa el porcentaje de las piezas que serán
controladas. La ecuación es:
(700 : 100) . x = 35
De ella podemos despejar el valor de x:
7 . x = 35
x = 35 : 7 = 5
La respuesta es 5 %, que es la esperable de acuerdo con lo planteado.
Si tiene dificultades para resolver ecuaciones revise el tema en la Unidad 3 de esta Guía de estudio.
En el caso de la producción de 1500 piezas se arman 15 paquetes y se controlan 4 piezas de
cada 100, es decir el 4 % de las piezas producidas.
Es posible que al resolver este ejemplo usted no vea la necesidad de plantear una ecuación porque es posible resolver lo
pedido sin recurrir al planteo de ella. Pero esto no siempre ocurre de este modo. Hay situaciones más complejas en las que el
intento de resolver sin recurrir al planteo de una ecuación resulta demasiado complicado y, en algunos casos, imposible. Por
esta razón es importante que usted tenga presente el recurso, aunque, en muchos casos, su uso no sea imprescindible y, en
consecuencia, elija otro camino de resolución que le resulte más familiar que el planteo de una ecuación.
Continuaremos analizando algunos aspectos más relativos al porcentaje a partir de la
situación de la fábrica MS y Cía:
____________________________________________________________________
En la siguiente tabla se muestran las cantidades totales de piezas controladas en una
semana en los departamentos de control de calidad de 4 empresas competidoras de "MS y
Cía":
Probabilidad y Estadística
Matemática A – Unidad 7
144
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Unidad 7
Empresa
Cantidad de piezas controladas
A
B
C
D
120
75
50
150
A partir de la información de la tabla, ¿puede decidir cuál de estas cuatro empresas realiza un
mejor control de calidad de su producción? Si le parece que puede hacerlo, indique cuál es
dicha empresa y por qué considera que el control realizado por ella es mejor que el de las
otras. Si no puede hacerlo, explique por qué no puede decidir en qué empresa se hace un
mejor control de calidad de la producción a partir de la información dada.
Parte E
A continuación agregamos al cuadro anterior una nueva información en la que indicamos la
cantidad de piezas producidas en esa semana por cada una de las empresas:
EMPRESA A: 1600 piezas
EMPRESA B: 1000 piezas
EMPRESA C: 500 piezas
EMPRESA D: 3000 piezas
De acuerdo con esta nueva información:
1. ¿Qué diría sobre su respuesta a la pregunta sobre cuál de las cuatro empresas realiza un
mejor control de calidad de su producción?
2. ¿Qué parte o fracción de la producción fue controlada en cada empresa?
3. ¿Qué porcentaje de la producción fue controlada en cada empresa?
4. Si en la tabla en la que mostramos las cantidades de piezas controladas por cada una de
las empresa, en lugar de darle esa información, le hubiéramos informado el porcentaje de
piezas controladas, ¿cuál hubiera sido su respuesta a la pregunta sobre cuál de las
empresas es la que realiza un mejor control de calidad de la producción?
Para reflexionar sobre lo trabajado
Al responder la pregunta sobre cuál de las cuatro empresas realiza un mejor control de
calidad de su producción, es posible que inicialmente usted haya respondido que era la
empresa D ya que, de acuerdo con los datos de la tabla, es la empresa que mayor cantidad
de piezas controla. Pero, al conocer cuáles son las cantidades de piezas producidas por cada
una de las empresas en esa semana, habrá notado que en la empresa D se controlan 150
piezas de 3000, mientras que en la empresa C se controlan 50 de las 500 piezas producidas.
Por lo tanto, en la fábrica C se hace un mejor control de calidad que en la fábrica D, ya que se
controla 1 de cada 10 piezas producidas mientras que en la fábrica D se controla 1 pieza de
cada 20 producidas.
Esto nos permite observar que la cantidad de piezas controladas no nos indica nada en
cuanto a la eficacia del control si no la miramos en relación con la cantidad de piezas
producidas por la empresa.
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: CANTIDADES ABSOLUTAS Y RELATIVAS
En general, para establecer comparaciones entre grupos de cantidades diferentes, es
conveniente utilizar cantidades relativas. Estas cantidades resultan de la comparación entre
otras dos. En nuestro ejemplo, la cantidad de piezas controladas por cada una de las
empresas es una cantidad absoluta, mientras que, la parte o la fracción de la producción
controlada en cada empresa, es una cantidad relativa.
Las cantidades relativas resultan de dividir dos números. En el caso del control de calidad que
estamos analizando, se trata del cociente entre la cantidad de piezas controladas y la cantidad
de piezas producidas.
Probabilidad y Estadística
Matemática A – Unidad 7
145
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Unidad 7
La densidad de población, es otro ejemplo de una cantidad relativa que nos muestra la
cantidad de habitantes por unidad de superficie y que resulta de dividir la cantidad de
habitantes por la cantidad de superficie.
Los porcentajes y los promedios también son cantidades relativas y por lo tanto son muy
usados para establecer comparaciones.
ACTIVIDAD Nº 3: “CÁLCULO DE PORCENTAJES”
1. Según datos recogidos por el Departamento de Comercialización de la empresa “La
tranquilísima”, el 45 % de una población de 13000 habitantes consume alguno de sus
productos. ¿Qué cantidad de habitantes de esa ciudad eligen productos de la empresa?
2. Un comerciante calcula los precios de venta al público de sus productos incrementando un
28 % el precio de costo (es decir el precio que le sale comprar o producir el producto).
a) ¿A qué precio vende al público un artículo que tiene un precio de costo de $ 13,50?
b) ¿Cómo puede calcular el precio de venta al público haciendo una sola operación?
3. El siguiente detalle pertenece a una factura telefónica de una vivienda de la Ciudad de
Buenos Aires:
Conceptos locales: $46,24
Conceptos de internet: $ 38,26
Conceptos de larga distancia: $ 5,40
Otros servicios: $ 40,25
a) ¿Cuál es el total a pagar por el usuario si además debe sumarle el 21 % de la
facturación en carácter de impuestos?
b) ¿Cómo puede calcular el total a pagar haciendo una sola operación?
Para reflexionar sobre lo trabajado
En la situación planteada en el ítem 2., el comerciante incrementa los precios de costo un 28
% para determinar el precio de venta al público. Para calcular el precio de venta al público, si
el artículo tiene un precio de costo de $ 13,50, podemos calcular primero el 28 % de esta
cantidad, que es de $ 3,78, y luego sumar el precio de costo con el incremento para obtener el
precio de venta al público: $ 13,50 + $ 3,78 = $ 17,28.
El precio de costo representa al 100 % sobre el que se calcula la cantidad de dinero
correspondiente al 28 % de incremento. Por lo tanto son porcentajes referidos a la misma
cantidad que pueden sumarse y así se podría calcular el precio de venta al público haciendo
una sola operación: calcular directamente el 128 % de $ 13,50 que da también $ 17,28.
Lo mismo podemos hacer para calcular el total a pagar de la factura de teléfono: calculamos
el 121 % de la suma de todos los rubros.
4. Un negocio de venta de ropa está de liquidación por fin de temporada. Publica en el diario
la siguiente lista de precios:
Pantalón
Camisa
Campera
Precio de temporada
85
64
243
Precio de liquidación
57
43
163
¿Qué porcentaje de descuento tienen aproximadamente los precios de liquidación en
relación con los precios de temporada?
5. En un negocio los precios están rebajados un 20 % por liquidación de stock. En ese
negocio también ofrecen un descuento del 5 % por pago contado.
a) Luciana compró un producto cuyo precio de liquidación es de $ 36,50 y pagó al contado:
 ¿Cuánto pagó Luciana?
 ¿Cuál era el precio del producto antes de la liquidación?
Probabilidad y Estadística
Matemática A – Unidad 7
146
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Unidad 7

¿Qué porcentaje total de descuento sobre el precio original obtuvo Luciana por
comprar en la liquidación y al contado?
b) Pablo está interesado en un producto de ese negocio para el que no había tenido dinero
suficiente antes de la liquidación. El precio del producto en ese momento era de $ 127.
 ¿Cuál será el precio del producto en la liquidación?
 ¿Cuánto pagará si compra al contado?
 ¿Qué porcentaje total de descuento obtuvo Pablo por comprar el producto en la
liquidación y al contado?
c) De acuerdo con las conclusiones obtenidas en los ítems a) y b) decida si la siguiente
afirmación es verdadera o falsa. Escriba los argumentos que justifican su decisión:
"Si el precio de un producto se rebaja un a % sobre una cantidad rebajada previamente
un b %, entonces el precio del producto tiene una rebaja total del a % + b % sobre el
precio original".
PROBABILIDADES
Le proponemos una nueva situación en la que comenzaremos a pensaren el concepto de
probabilidad. Para resolver no es necesario que usted sepa nada sobre probabilidades, la
resolución de la actividad le permitirá ir armándolas ideas necesarias.
____________________________________________________________________
Mauro y Bruno están pensando en ir al cine y no se ponen de acuerdo sobre cuál es
la película que irán a ver. Para dirimir la cuestión deciden arrojar una moneda. Si sale cara
elige Mauro, si sale ceca elige Bruno.
Parte A
Responda las siguientes preguntas teniendo en cuenta la información anterior:
1. Mauro o Bruno, ¿pueden saber cuál será el resultado que se obtendrá al arrojar la moneda
antes de tirarla?
2. ¿Cuáles son los posibles resultados que pueden obtenerse al arrojar una moneda?
3. ¿Alguno de los dos tiene más posibilidades de ganar? Explique con sus palabras el por
qué de su respuesta.
Parte B
Para reflexionar sobre lo trabajado
Para tomar una decisión, Mauro y Bruno eligieron arrojar una moneda al aire. Están
realizando una acción cuyo resultado depende del azar, y en la que no puede predecirse qué
ocurrirá antes de realizarla, o sea, antes de arrojar la moneda. Una vez arrojada la moneda,
sólo hay dos resultados posibles: que salga cara o que salga ceca. Cada uno de los chicos
seleccionó una de esas alternativas por lo tanto, Mauro y Bruno tienen las mismas
posibilidades de elegir la película ya que cada uno de ellos apostó a uno de los dos resultados
posibles.
EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: EXPERIMENTOS ALEATORIOS. ESPACIO MUESTRAL.
PROBABILIDAD DE UN SUCESO.
Aquellas acciones en las que el resultado depende del azar pero en las que podemos
describir todos los resultados posibles, reciben el nombre de experimentos aleatorios.
Seguramente usted puede encontrar muchos ejemplos vinculados a su vida cotidiana en los
que ocurre algo similar. Los juegos de azar son ejemplos de experimentos aleatorios.
Nosotros estuvimos trabajando con un experimento que consiste en arrojar una moneda al
aire. Este experimento tiene sólo dos resultados posibles: que salga cara o que salga ceca. El
conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimentos recibe el nombre de
espacio muestral. El espacio muestral correspondiente al experimento “arrojar una moneda
al aire” es:
E = {cara, ceca}
Probabilidad y Estadística
Matemática A – Unidad 7
147
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Unidad 7
Vamos a calcular la probabilidad de un suceso realizando el siguiente cociente:
P=
cantidad de casos favorables al suceso
cantidad de casos posibles
Si calculamos la probabilidad para el suceso "salga cara" haremos el cociente entre 1 y 2, ya
que hay un caso favorable (salga cara) de dos posibles (salga cara o salga ceca). Por lo tanto
P = 1/2. Lo mismo para el suceso “salga ceca”.
De acuerdo con la probabilidad de ocurrencia que tenga un suceso, puede clasificarse en
seguro, probable o imposible. Llamamos suceso seguro a aquel en el que la cantidad de
casos favorables es igual a la cantidad de casos posibles. Por ejemplo: sacar una moneda de
$1 de una urna donde sólo hay monedas de $1. La probabilidad de un suceso seguro es 1.
Piense por qué.
Llamamos suceso imposible a aquel en el que, entre todos los casos posibles, no hay ningún
caso favorable. Por ejemplo, sacar una moneda de $0,25 de una urna en la que hay solo
monedas de $1. La probabilidad de un suceso imposible es 0. Piense por qué.
Llamamos suceso probable a todo aquel en el que, entre todos los casos posibles, hay una
cantidad de casos favorables pero esta cantidad es inferior a la cantidad de casos posibles.
Según la cantidad de casos favorables que registre el suceso, se tratará de un suceso más o
menos probable. La medida de su probabilidad será un número mayor que cero y menor que
1. Cuanto más probable sea el suceso, más cercana a 1 será la medida de su probabilidad.
ACTIVIDAD Nº 4: “CÁLCULO DE PROBABILIDADES”
1. Para cada uno de los sucesos descriptos a continuación determine si corresponde o no a
un experimento aleatorio:
 Que salga un 5 al arrojar un dado cuyas caras están numeradas del 1 al 6.
 Que salga un 5 al arrojar un dado cuyas caras no están numeradas.
 Sacar una bola roja de una urna donde hay 25 bolas rojas.
 Sacar una bola roja de una urna donde hay 15 bolas rojas y 10 bolas verdes.
 Obtener una copa al sacar una carta de un mazo de 40 cartas españolas.
 Obtener una copa al sacar una carta de un mazo de 52 cartas de póquer.
 Sacar un alfajor de chocolate de una caja en la que hay 12 alfajores de
chocolate.
 Sacar un alfajor de chocolate de una caja en la que hay 6 alfajores de chocolate
y 6 alfajores de fruta.
 Contar la cantidad de horas que tiene el día de mañana.
2. Para cada uno de los sucesos enunciados en el ítem 1., determine si es probable, seguro
o imposible y determine su probabilidad.
3. Joaquín llevó a la escuela una caja con 15 alfajores: 6 de chocolate, 5 de dulce de leche y
4 de frutas. Convidó a tres compañeros que se comieron dos de chocolate y uno de dulce
de leche. Si se elige un nuevo alfajor al azar, ¿es más probable que sea de chocolate, de
dulce de leche o de fruta? ¿Por qué?
4. En una urna hay 10 bolas rojas y 10 bolas verdes. Se realizan 5 extracciones consecutivas
devolviéndose la bola a la urna luego de cada extracción. En las cuatro primeras
extracciones salió una bola roja, por lo tanto, en la quinta extracción:
 es más probable que salga una bola verde.
 Hay igual probabilidad de que la bola que sea verde o roja.
 Es más probable que salga una bola roja.
Elija la opción que considere correcta explicando el por qué de su elección.
5. De los 1500 aspirantes a los cursos de capacitación laboral que ofrece el gobierno de la
Ciudad de Buenos Aires, 450 se inscribieron sólo para el curso de carpintería, 670 se
Probabilidad y Estadística
Matemática A – Unidad 7
148
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Unidad 7
inscribieron sólo para el curso de plomería, 245 se inscribieron a ambos cursos y 135 se
inscribieron a otros cursos.
Si se elige un inscripto al azar,
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un alumno inscripto solamente al curso de
carpintería?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un alumno inscripto a los dos cursos mencionados?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea un alumno inscripto al curso de carpintería?
6. Los datos que se muestran en el siguiente cuadro muestran algunas características de los
inscriptos a los cursos de capacitación laboral:
Carpintería
Plomería
Otros cursos
Hombres
497
589
26
Mujeres
198
326
109
Mayor de 21 años
482
559
98
a) ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un inscripto al curso de carpintería y que
resulte ser mujer?
b) ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un inscripto a cualquiera de los cursos y que
resulte ser hombre?
c) ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un inscripto a cualquiera de los cursos y que
resulte mayor de 21 años?
Como cierre del trabajo realizado en la unidad le proponemos que reflexione acerca de lo
aprendido a lo largo de las actividades resueltas. Le será útil responder estas preguntas:

¿Reconoce de los medios que utiliza la Matemática para mostrar la información?
¿Puede leer la información que le brinda cada uno de ellos?

¿Puede calcular un promedio y entender su significado en relación con el conjunto de
datos que representa?

¿Puede calcular un porcentaje?

¿Comprendió todo lo trabajado en relación con el concepto de probabilidad?
Si sus respuestas son afirmativas, entonces está en condiciones de realizar la siguiente
actividad integradora. Sino, le sugerimos repasar lo visto hasta ahora, y /o concurrir a algunas
de los espacios de orientación que le ofrece ADULTOS 2000.
ACTIVIDAD INTEGRADORA
Un grupo de inversores quiere construir un parque temático. Los integrantes del grupo
investigaron antecedentes de este tipo de parques.
Los siguientes gráficos y tablas muestran algunos de los datos que se estuvieron analizando:
Ventas de vales de comida de un puesto en los parques A, B, C y D durante un día:
Probabilidad y Estadística
Matemática A – Unidad 7
149
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Unidad 7
Ventas de vales de bebida de un puesto en los parques A, B, C y D durante un día:
Visitantes del museo:
Pases vendidos en puestos de entretenimiento por día en los parques A, B, C y D:
Teniendo en cuenta la información anterior, responda:
1. ¿Qué cantidad de vales de comida y de bebida se venden por día en cada puesto de
comida y bebida de cada uno de los parques?
2. ¿Cuál es la cantidad promedio de vales de comida vendidos por día en los cuatro parques
estudiados?
3. ¿Cuál es la cantidad promedio de vales de bebida vendidos por día en los cuatro parques
estudiados?
4. Construya un gráfico de barras verticales que muestre las visitas al museo en el parque A
durante una semana.
5. Construya un gráfico de barras horizontales que muestre las visitas a los museos de los
parques A, B y C en un día sábado.
6. Teniendo en cuenta la asistencia de visitantes a los museos de los otros parques, calcule
el promedio esperable de visitantes al museo por semana.
7. ¿Cuántos pases para entretenimientos se vendieron por día en cada uno de los parques?
Probabilidad y Estadística
Matemática A – Unidad 7
150
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Unidad 7
8. Calcule el promedio de pases de entretenimiento vendidos por día en los cuatro parques
estudiados?
9. ¿Qué porcentaje de las visitas semanales a cada museo se produce durante el fin de
semana?
10. Se sabe que los pases de entretenimiento vendidos durante ese día representan,
aproximadamente, el 15 % de la cantidad de pases vendidos semanalmente. ¿Qué
cantidad aproximada de pases de entretenimiento se estima que venderá semanalmente
cada parque?
Probabilidad y Estadística
Matemática A – Unidad 7
151