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Parte 3
Simulación del movimiento de sistemas de pocos cuerpos
En esta parte aplicaremos las leyes de Newton para analizar el movimiento planetario y otros sistemas de unas pocas partículas y
exploraremos algunas de las consecuencias a veces contrarias a lo que nos predice la intuición que se basa en las leyes de Newton.
3.1 • Las ecuaciones de movimiento planetario
El movimiento planetario tiene un significado especial, ya que tenía un papel
importante en la historia del desarrollo conceptual y la formación de la mecánica del
universo. Hay solo unas pocas teorías que han afectado a la civilización occidental
tanto como las leyes de Newton del movimiento y la ley de gravitación, que
permitieron dar una descripción del movimiento de los cuerpos celestes como el
movimiento de los cuerpos terrestres.
Primeras propiedades del movimiento
planetario fueran inicialmente resumidas en tres siguientes leyes de Kepler.
I-era Ley de Kepler. Cada planeta se mueve en una órbita elíptica con el Sol situado
en uno de los focos de la elipse. Notaciones para una trayectoria elíptica, siendo r1
Fig. 3.1 Parámetros de elipse: semiejes, mayor a y
menor b, la excentricidad e, semieje menor b. Sol está
ubicada en el foco F1
es la distancia más cercana al foco (cuando   0 ) y r2 es la distancia más alejada
del foco (cuando    ):

Semieje mayor a=(r2+r1)/2

Semieje menor b

Semidistancia focal c=(r2-r1)/2

La relación entre los semiejes es a2=b2+c2

La excentricidad e=c/a=(r2-r1)/(r2+r1)
II-da Ley de Kepler. La velocidad de un planeta se aumenta a medida que su distancia al Sol disminuye de tal manera que la línea entre
el Sol y el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.
 L  r  m  v  const 
Esta ley es equivalente a la constancia del momento angular
.
III-ra Ley de Kepler. Los cuadrados de los periodos T de revolución son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores a de la
elipse., es decir la razón T 2 a 3 es la misma para todos los planetas que giran alrededor del Sol.
Kepler obtuvo estas leyes por parte de un análisis cuidadoso de los datos de las observaciones recogidas durante muchos años.
Debido a que la mayoría de los problemas del movimiento planetario no es posible resolver en términos de funciones elementales, es
conveniente elaborar los métodos computacionales para la solución numérica de las ecuaciones del movimiento de los planetas y los
satélites en órbita.
A. Problema de dos cuerpos
El movimiento del Sol y de la Tierra es un ejemplo de un problema de dos cuerpos. Podemos reducir este problema a un
problema de un cuerpo en una de dos maneras. La forma más sencilla es utilizar el hecho de que la masa del Sol es mucho mayor que
la masa de la Tierra. Por lo tanto, podemos suponer que, con una buena aproximación, el Sol está en reposo en una posición la cual es
una opción conveniente escoger como el origen de nuestro sistema de coordenadas.
Otra manera más general es utilizar el concepto de masa reducida, usted sabe que la reducción a un problema de un solo cuerpo
es. Se puede demostrar que el sistema de ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de dos objetos de masas m y M, cuyos
vectores de posición son r1 y r2 , respectivamente, y cuya energía potencial total U es una función de sólo su separación relativa
U  U  r1  r2   U  r  ,en dos sistemas ecuaciones diferenciales independientes, un sistema que describe el movimiento de centro de
masas con el vector de la posición R   mr1  Mr2   m  M  y masa M T  m  M y otro que describe el movimiento relativo con el
vector de la posición r  r1  r2 y con la masa reducida   m  M  m  M  :
d 2R
d 2r
 U  r  ;
dt 2
dt 2
R   mr1  Mr2  M T ; M T  m  M ;
MT
 0; 
(3.1.1)
r  r1  r2 ;   m  M  m  M 
Debido a que la masa de la Tierra, m = 5,99 x 1024 kg, es mucho menor que la masa del Sol, M = 1,99 x 1030 kg, nos encontramos con
que prácticamente (¡con un error aproximadamente de orden de una millonésima!), la masa total de centro de masa es la de solo Sol
 MT
 M  y la masa reducida del Sol y la Tierra es la de solo la Tierra    m  . A continuación, consideremos el problema de una
sola partícula de masa m que se mueve alrededor de un centro fijo de la fuerza, que se toma como el origen del sistema de coordenadas.
La ley universal de la gravitación de Newton establece que una partícula de masa M atrae a otra partícula de masa m con una fuerza
dada por
F  U  r   G
mM
r3
r; G  6.67  1011
m3
(3.1.2)
kg  s 2
Aquí el vector r se dirige desde M a m y el signo negativo en (3.1.2) implica que la fuerza de la gravedad es atractiva. La constante
gravitacional G en (3.1.2) fue determinada experimentalmente. La ley de gravitación (3.1.2) es válida solamente para partículas
puntuales es decir solamente para los objetos de extensión espacial insignificante. Newton aplazó la publicación de su ley de la
gravitación durante veinte años, mientras que inventó el cálculo integral y demostró usando este cálculo que (3.1.2) también es válida a
cualquier esfera uniforme o capa esférica de la materia si la distancia r se mide desde el centro de masas.
Si fijamos el origen de sistema de coordenadas en el punto de localización de la masa M, la ecuación de movimiento de la partícula de
masa m (que en este caso describe solamente el movimiento relativo) es
m
d 2r
dt
2
 G
mM
r3
r; r   x , y , z 
(3.1.3)
Esta ecuación diferencial hay que completar con dos condiciones iniciales:
r  0   r0   x0 , y0 , z0  ;
dr  0 
dt

 v0  v x0 , v y 0 , v z 0

(3.1.4)
La fuerza de la gravedad tiene dos propiedades importantes: su magnitud depende sólo de la separación de las partículas, y su
dirección es a lo largo de la línea que une las partículas. Las fuerzas de este tipo se llaman fuerzas centrales. Una de las propiedades
que tienen estas fuerzas es que su torque es igual a cero ( τ  r  F  0 ) y en consecuencia de la II Ley de Newton para un movimiento
rotacional, dL dt  τ resulta en el hecho que el vector del momento angular L es una constante tanto en su dirección como en su
valor. La conservación de la dirección del momento angular implica que las órbitas son planas y las trayectorias correspondientes estas
orbitas están ubicadas todo el tiempo en un plano perpendicular al momento angular inicial. Por eso, en los cálculos a continuación
correspondientes al movimiento de un planeta solitario alrededor de Sol se asume que la órbita está ubicada en un plano asociado con
el plano XY y el momento angular L se conserva y está dirigido a lo largo de la tercera coordenada Z y su valor Lz se calcula como:




Lz   r  mv  z  m x  v y  y  v x  m x0  v y 0  y0  v x 0  const
(3.1.5)
La ley de conservación del momento angular para fuerzas centrales nos proporciona una constante del movimiento la cual se puede
utilizar en los cálculos numéricos como un indicador de la precisión de cálculo. Otro indicador de este tipo nos proporciona la Ley de
conservación de la energía total E s, la cual debe conservarse durante todo el movimiento y coincidir con su valor inicial:
E




2
2
m v2x 0  v2y 0
mv2
mM m v x  v y
mM
mM
G

G
 E0  const ; E0 
G
2
2
2
r
2
2
x y
x02  y02
(3.1.6)
En la base de las relaciones (3.1.1)-(3.1.4) se puede formular la siguiente problema de Cauchy para un sistema de dos ecuaciones
diferenciales e segunda orden en las coordenadas cartesianas:
d2x
dt
2

GM
r
3
x;
d2y
dt
2

x  0   x0 ; y  0   y0 ;
3.2
GM
3
r
dx  0 
dt
y; r  x 2  y 2 ;
=v x 0 ;
dy  0 
dt
(3.1.7)
=v y 0
Unidades astronómicas y adimensionales
Para resolver de la mayoría de los problemas de Física en computador es muy importante aprender escoger de manera adecuada
las unidades que caracterizan las escalas del tiempo, de la distancia y de la energía en correspondencia con el fenómeno considerado.
Es evidente que las escalas en los problemas de Física Atómica, Física Nuclear y en Astronomía y Cosmología son drásticamente
diferentes. Si para todos estos problemas utilizaremos las mismas unidades para las aplicaciones computacionales entonces en los
procedimientos numéricos van a aparecer los números demasiado grandes o demasiado pequeños. Por eso el primer paso aplicar en
estas áreas de Física los métodos computacionales debe ser la selección las escalas adecuadas y utilización de las unidades
adimensionales.
Antes de desarrollar los algoritmos para resolver el problema de Cauchy (3.1.7) es conveniente elegir un nuevo conjunto de
unidades en las que la magnitud del producto GM no sea ni demasiado grande ni demasiado pequeña. Utilizaremos con esta fin nuevas
unidades de la distancia l y de tiempo  e introduciremos nuevos parámetros adimensionales de la distancia l y de tiempo definidos
como
r  r  l ; t  t    r  r; t  t / 
(3.2.1)
En estas nuevas variables adimensionales r, t la ecuación diferencial (3.1.3) que describe el movimiento del planeta alrededor de sol
adquiere la siguiente forma:
d 2r
dt 2
 k 
r
G  M  2
r
l3
; r   x, y, z  ; k 
3
(3.2.2)
Las unidades de la distancia l y de tiempo  en (3.2.2) pueden escogerse de manera arbitraria, pero de tal manera que el coeficiente k
en (3.2.2) debe ser ni demasiado grande ni demasiado pequeño y las escalas de las distancias deben escogerse en concordancia con las
escalas experimentales.
Escalas naturales del tiempo y coordenada en los problemas planetarios son los periodos de rotación alrededor de Sol y la
magnitud del semieje mayor de la órbita elíptica. Pero estos dos parámetros no son independientes. Para establecer esta relación
consideremos un caso particular de las órbitas circulares. La magnitud de la aceleración a se relaciona con el radio r de la órbita circular
por a  v 2 r donde v es la velocidad del planeta. La aceleración se dirige siempre hacia el centro y es debido a la fuerza gravitacional.
Por lo tanto, tenemos
12
mv2 GMm
 GM 
 2 v

r
r
 r 
(3.2.3)
Usando este resultado podemos calcular el periodo de rotación:
T
2 r
4 2 3
T2 
r
v
GM
(3.2.4)
La relación (3.2.4) es un caso especial de la tercera ley de Kepler para una órbita circular cuando el radio r que corresponde a la semieje
mayor de una elipse.
En la calidad de escala de distancias en Astrónoma se utiliza la unidad astronómica (abreviada   ua ) es una unidad de
11
longitud igual por definición a l  1au  149 597 870 700 m  1, 496 x 10 m. y que equivale aproximadamente a la longitud del
semieje mayor de la órbita elíptica de Tierra de su órbita alrededor del Sol. La unidad de tiempo se supone que es un año o
  1año  3.15 x 107 s . En estas unidades el período de la Tierra es 1 año y su semieje mayor es a = 1 au y el coeficiente k en la
ecuación (3.2.2) es igual a:
k
G  M  2

l3


6.67  1011 1.99 x 1030  3.156 107
1, 496 x 10
11 3

2
 39.49  39.5
(3.2.5)
Por lo tanto, el problema de Cauchy (3.1.7) se puede escribir en la forma
d2x
dt
2

k
r
3
d2y
x;
dt
2

x  0   x0 ; y  0   y0 ;
k
3
y; r  x 2  y 2 ; k  39.5
r
dx  0 
dt
dy  0 
=v x 0 ;
dt
(3.2.6)
=v y 0
11
Pero ahora las distancias en (3.2.6) se miden en au ( 1au  1, 496 x 10 m. ) y el tiempo en años ( 1año  3.156  107 s )
La ley de conservación del momento angular en unidades adimensionales se puede escribir como


 


Lz  m  l 2   x  v y  y  v x  m  l 2   x0  v y 0  y0  v x 0  const  x  v y  y  v x  x0  v y 0  y0  v x 0
(3.2.7)
y la Ley de conservación de la energía total E:

E  ml 

2
v 2x  v 2y
2

2

 v2  v2
k
x
y


2
 2
x  y2

k
x y
2
2

v 2x 0  v 2y 0
2


  m l2  2




 v2  v2
k
x0
y0


2

2
x0  y02


  const 


(3.2.8)
k
x0  y02
2
Problema 3.2. l Análisis los datos experimentales usando escala logarítmica.
Una de aplicaciones de los métodos computacionales consiste en el establecimiento de una relación funcional entre diferentes
parámetros físicos. Dados resultados de medición de dos parámetros X e Y para N diferentes objetos  X i , Yi , i  1, 2, , N  hay que
establecer existe o no entre estos dos parámetros una relación funcional y si existe ¿cuál es la dependencia funcional Y  f ( X ) y cuál
es la fidelidad de esta conclusión? En los casos cuando se espera que la relación puede ser no lineal se utiliza la escala logarítmica. Un
ejemplo de un análisis computacional es deducción de la III-ro Ley de Kepler que establece la relación entre el periodo de rotación T de
las planetas y las magnitudes d las semiejes mayores a de las órbitas correspondientes, a partir de las mediciones experimentales.
Los valores de los periodos T y las magnitudes d las semiejes mayores a de nuestro sistema solar se dan en la Tabla 5.1. En
primer lugar, analizaremos estos valores y determinaremos si T y a satisfacen una relación matemáticamente simple. Si nosotros
deseamos determinar si dos variables x e y satisfacen una relación funcional, y = f (x) es natural probar inicialmente una relación más
simple entre, lineal, es decir, y = mx + b. La existencia de una relación de este tipo puede ser vista al graficar ladependencia
correspondiente y al verificar la línea es recta. De la Tabla 5.1 vemos que T no es una función lineal de a. Por ejemplo, un aumento en
T desde 0,24 hasta 1, aproximadamente en 4 veces, produce un aumento de la a solamente en aproximadamente 2.5 veces.
Tabla 3.1
Periodo T (dadas en años) y semiejes mayores a de órbitas de planetas (dadas en las unidades astronómicas au).
Planeta
i
Ti (años)
ai (au)
Mercurio
1
0.241
0.387
Venus
2
0.615
0.723
Tierra
3
1.0
1.0
Marte
4
1.88
1.523
Júpiter
5
11.86
5.202
Saturno
6
29.5
9.539
Urano
7
84.0
19.18
Neptuno
8
165
30.06
Plutón
9
248
39.44
xi  ln Ti
yi  ln ai
xi2
yi2

Otra alternativa simple para una dependencia funcional escoger la función de potencia T  C  a p En este caso si denotaremos Y  ln T
y X  ln a , esta dependencia se transforma en lineal
T  C  a p  Y  p  X  ln C
(A)
Y  ln T ;
X  ln a
(P5.1)
Aplíquese el método de cuadrados mínimos para deducir las fórmulas que permiten encontrar la línea de la regresión lineal para
las variables X e Y dadas en una tabla experimental y la fidelidad de en esta línea de regresión.
(B)
Prepárese el programa correspondiente y aplíquela a los datos presentados en la Tabla 5.1Se ilustra un simple análisis de los
datos de la Tabla 5.1. Encuéntrese los parámetros C y p Y en la relación (P1.5) y nivel de confianza de resultados obtenidos.
3.3
Orbitas elípticas, parabólicas e hiperbólicas
Tipos de órbitas que resultan a partir de solución del problema de Cauchy dependen esencialmente de las condiciones iniciales
para las coordenadas x0 , y0 y para las velocidades v x 0 , v y 0 , dadas en las unidades adimensionales, las distancias en l  1au , el tiempo


2 2
en   1año , la velocidad en au año , el momento angular adimensional L  L  ml   y la energía dimensional E  E ml  ,
siendo m la masa del planeta. El momento angular y la energía del planeta en estas unidades en el momento inicial son iguales:
L0  r  v 0  r0  v0 sin   x0  v y 0  y0  v x 0 ; E0 
v02 k
 ; v02  v2x 0  v2y 0 ; r0  x02  y02
2 r0
(3.3.1)
Se puede demostrar que el movimiento rotacional en el plano XY en el campo central con la fuerza gravitacional matemáticamente se
puede reducir a un problema del movimiento unidimensional en la dirección radial considerando la separación r entre el planeta y Sol
como la única variable que caracteriza la posición instantánea en un campo con la energía potencial efectiva definida como:
Veff  r   L20 2r 2  k r ; k  39.5
(3.3.2)
2
El gráfico de esta función en Fig. 3.2 muestra que el potencial es positivo Veff  0 , para pequeñas separaciones r  rp  L0 2k y su
magnitud se incrementa bruscamente y tiende al infinito cuando r  0 . Al contrario, que el potencial es negativo, Veff  0 para
r  rp  L20 2k y en esta región decrece mientras que rp  r  rmin  L 02 k , alcanzando en el punto r  rmin  L 02 k su valor
2
2
mínimo Vmin  Veff  rmin    k 2 L 0
(3.3.3)
Para analizar posibles trayectorias anotemos que la energía cinética debe ser positiva
K  E0  Veff  r   v 2 2  0 , y por eso en las regiones permitidas clásicamente
Veff  r   E0
(3.1.4)
En consecuencia, son válidas las siguientes seis reglas que se requieren para satisfacer esta
condición:
1) Los puntos rk , en los cuales Veff  rk   E0 separan las regiones permitidas
clásicamente donde Veff  r   E0 con las regiones prohibidas clásicamente donde
Veff  r   E0 y por eso se laman los puntos de retorno.
2
2
2) El movimiento con la energía inicial E0  Vmin   k 2 L 0 es clásicamente imposible
2
2
3) El movimiento con la energía inicial E0  Vmin   k 2 L 0 corresponde a una trayectoria circular con el radio
r  rmin  L20 k ya que existe un solo cruce entre línea horizontal E  E0 con la curva Veff  r  en el punto del mínimo que
separa dos regiones, ambas prohibidas (ver Fig.3.2) y la separación entre planetas
2
puede tener solo único valor rmin  L0 k .
4) El movimiento con la energía inicial Vmin  E0  0 corresponde a una trayectoria
elíptica
con la separación
menor r1  a  e  a y la mayor r2  a  e  a que
coinciden con dos puntos de retorno como dos cruces entre la línea horizontal E  E0
y la curva Veff  r  (ver Fig.3.2) correspondientes a dos raíces de la ecuación cuadrática
Veff  r   L20 2r 2  k r  E0 .(¡Encuéntrese las expresiones analíticas para las
separaciones, menor r1 y mayor r2 , semieje mayor a y excentricidad e!)
5) El movimiento con la energía inicial E0  0 corresponde a una trayectoria parabólica
con la separación mínima entre Sol y planeta rp , el único cruce entre la línea horizontal E  0 con la curva (ver Fig.3.2)
Veff  r   L20 2r 2  k r . La separación mínima es igual a rp  L20 2k .
6) El movimiento con la energía inicial positiva E0  0 corresponde a una trayectoria hiperbólica con la separación mínima
entre Sol y planeta r3 , que se encuentra como el único cruce entre la línea horizontal E  E0 con la curva
Veff  r   L20 2r 2  k r y corresponde a la única raíz positiva de la ecuación cuadrática L20 2r 2  k r  E0 (Encuéntrese la
expresión analíticas para el valor de r3 ).
Problema 3.3.1
Análisis de órbitas circulares
(A) Confeccione un programa “One_Planet” para resolver el problema de Cauchy (3.2.6) mediante dos algoritmos, de Euler y de
Runge-Kutta que utiliza como los parámetros de entrada las coordenadas y velocidades iniciales x0 ; y0 ; v x 0 ; v y 0 dados en las
unidades adimensionales (ua,, unidades astronómicas y ua/año, respectivamente), el paso y el tiempo final h  t , t F , dados
en años. Los parámetros de salida deben ser organizados en una tabla con las columnas respectivas para el tiempo coordinadas
y separación Sol-Planeta, las componentes de las velocidades y valor absoluta, el momento angular L y la energía E
adimensionales según las fórmulas (3.2.6) - (3.2.8).
(B) Para analizar el caso especial de las órbitas circulares considere un ejemplo con el programa “One_Planet”, eligiendo las
condiciones iniciales (en unidades astronómicas) x0  1; y0  0; v x 0  0 . Utilícese las reglas del punto 3) para encontrar el
valor de v y 0 que corresponde a una órbita circular. Cuán pequeño debe ser el valor de t para que una órbita circular se repita
durante muchos períodos? Su respuesta dependerá de la elección del método de solución del problema de Cauchy. Encuéntrese
los valores máximos de t para los cuales la órbita circula se repita durante muchas revoluciones en el marco de diferentes
variantes del algoritmos de Euler y en el marco del método de Runge-Kutta. ¿Es posible hallar un valor t máximo pequeño
para que el Método de Euler simple sea estable para este sistema dinámico?
(C) Utilizando el programa “One_Planet” analícese el cumplimiento de las Leyes de conservación del momento angular y de la
energía. Para un valor dado de t , qué algoritmo conserva el momento angular y la energía total mejor? ¿Es posible escoger
un valor de t para el cual los leyes de conservación se cumplan exactamente? ¿Cuál es el significado del signo negativo para
la energía total?
(D)
Escríbase un algoritmo independiente para determinar el valor numérico del periodo de revolución. Elijase diferentes conjuntos
de valores para las condiciones iniciales en concordancia con reglas para una órbita circular. Para cada órbita determínese el
radio y el periodo y verifíquese el cumplimiento de tercera ley de Kepler
Problema 3.3.2
A)
Verificación de la segunda y la tercera leyes de Kepler
Eligiendo las condiciones iniciales (en unidades astronómicas) y0  0; v x 0  0 y mediante el método de pruebas y errores
encuéntrese los valores x0 y v y 0 que corresponden unas órbitas elípticas de dimensiones convenientes. (Utilícese las reglas del
punto 4). Elabórese un algoritmo que a partir de los resultados del programa “One-Planet” con estas condiciones iniciales formara
una tabla de dependencia de la velocidad del planeta en función del ángulo de la rotación. ¿En qué puntos la velocidad es máxima
y mínima?
B)
Utilícese los datos iniciales del punto A) para calcular la energía total, el momento angular, semiejes mayor y menor,
excentricidad y el periodo para cada órbita. Presente los resultados de cálculo del periodo en función del semieje mayor
gráficamente y verifíquese el cumplimiento de la tercera ley de Kepler. A partir del análisis de este gráfico encuéntrese el valor
2
3
numérico de T a y utilizando este resultado calcúlese el valor de esta razón en unidades del SI para nuestro sistema solar.
C)
El centro de fuerza está ubicado en el origen de sistema de coordenadas  x  0, y  0  en uno de los focos de la trayectoria
elíptica. Encuéntrese la posición del segundo foco. Calcúlese para todos puntos de la trayectoria las sumas de las distancias
desde cada punto de la órbita hasta los dos focos y verifíquese que la órbita es una elipse.
D)
Según la segunda ley de Kepler, el planeta en su órbita barre áreas iguales en tiempos iguales. Si en
el programa “One-Planet” se utiliza una malla equidistante (es decir con un paso de tiempo t fijo,
entonces para hallar el área que barre el vector de posición durante este intervalo de tiempo
(bastantemente pequeño) es suficiente calcular el área del triángulo entre dos vectores de posición,
inicial y final en cada paso de tiempo. Esta área es igual a la mitad de la base del triángulo


multiplicada por su altura, es decir A  1 2  r  s  1 2  t  r  v  1 2  t  x  v y  y  v x (ver Fig. 3.4). ¿Es esta área
una constante? ¿A que la magnitud física corresponde esta constante?
E)
Demuéstrese que los algoritmos con un valor fijo de t fracasan si el "planeta" está demasiado cerca del sol. ¿Cuál es la causa
del fracaso del método? ¿Qué ventaja podría dar el uso de un paso variable? ¿Cuáles son las posibles desventajas?
Problema 3.3.2
(A)
Fuerzas Centrales diferentes de inversamente proporcional al cuadrado de distancia
Considere los efectos dinámicos producidos por un pequeño cambio en la ley de la fuerza gravitacional atractiva que es
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Por ejemplo, suponemos que la magnitud de la fuerza es igual a
Cm r 2 , donde 
1 . Para simplificar los cálculos tomase el valor numérico de la constante C en las unidades
adimensionales igual a k  4 2  39.5 como antes. Elijase las condiciones iniciales x0 =1.0, y0  0, v x 0  0, v y 0  5.0 ,
  0.05 y analícese la naturaleza de la órbita. ¿La órbita es cerrada? Es decir ¿El planeta vuelve sobre sí misma? Compruebe
que el resultado no se debe a su elección de t . ¿En la trayectoria espiral planeta se aleja de Sol o se dirige hacia el Sol? La
trayectoria del planeta se puede describir como una órbita elíptica que gira o un movimiento de precesión lenta en el mismo
sentido que el movimiento del planeta. Una medida conveniente de la precesión es el ángulo entre las orientaciones sucesivas
del semieje mayor de la elipse. Este ángulo es la tasa de precesión por revolución. Estimase la magnitud de este ángulo para su
opción de  . ¿Cuál es el efecto de disminución del semieje mayor con  fijo? ¿Cuál es el efecto del cambio de  con semieje
mayor fijo?
(B)
La teoría de Einstein de la gravitación (la teoría general de la relatividad) predice de existencia de una corrección en la fuerza
4
gravitacional entre planetas proporcional a 1 / r . Esto resulta en que la ecuación de movimiento para la trayectoria de una
partícula se puede escribir como
d 2r
dt 2
 G
2
mM 
GM  1 
1



 2  2  r
r 3 
 c  r 
(3.3.4)
2
3
Aquí el parámetro  es adimensional. Tome GM  4  k  39.5 y asume una   10 . Determínese la naturaleza de la
órbita para este potencial. (Para nuestro sistema solar, la constante  tiene valor máximo para el planeta Mercurio, pero es
mucho menor que 10
(C)
3
.)
Supongamos que la ley en una la fuerza gravitacional atractiva hipotética es inversamente proporcional al cubo de la distancia


Cm r 2 . ¿En qué unidades se mide C? Para simplificar los cálculos tomase el valor numérico de la constante C en las
unidades adimensionales igual a k  4 2  39.5 como antes.
Considere la condición inicial x0  1, y0  0, v x 0  0 y
determínese analíticamente el valor de v y 0 requerido para un órbita circular. ¿Cuán pequeño es el valor de t necesario para
que en la simulación se conservara una órbita circular durante varios períodos? ¿Cómo tan grande o pequeño es este valor de t
comparando con el valor similar necesario en el caso de la ley de la fuerza inversamente proporcional al cuadrado de disrancia?
(D)
Varía el valor de v y 0 encontrado en la parte (C) a partir de la condición para la órbita circular en aproximadamente un 2%.
¿Cuál es la naturaleza de la nueva órbita? ¿Cuál es el signo de la energía total? ¿La órbita está enlazada? ¿Está cerrada? ¿Todas
las órbitas enlazadas son cerradas? •
¿Qué ocurre con la órbita de un satélite de la Tierra cuando es golpeado por la basura espacial?
¿Qué ocurre con la órbita de un planeta cuando esta se colisione con un cometa espacial? Para
responder a estas preguntas hay que hacer algunas modificaciones en el programa anterior y con
esta fin modificaremos el programa “One:Planet” de manera que esta permita incluir la posibilidad de presencia de una fuerza impulsiva
la cual tiene la forma presentada en Fig. 3.5 y su dependencia de tiempo tiene la siguiente forma analítica:
para t  t0   y t  t0  
0

2
F t   
 t  t  2  1 para t    t  t  
m

f

0
0
0
0


(3.3.5)
Por lo tanto, el problema de Cauchy (3.2.6) debe ser reemplazado en este caso por la siguiente
d2x
2
dt
d2x

k
3
r
k
x;
d2y
dt
2

k
r
3
y ;  t  t0  
t  t0    ;
r  x 2  y 2 ; k  39.5
2
2
2
 t  t  2  1 ; d y   k y  f  t  t  2  1 ;  t    t  t  t   
x

f
x0
0
y0
0
0
0
2
3
2
3




dt
r
dt
r
dx  0 
dy  0 
x  0   x0 ; y  0   y0 ;
=v x 0 ;
=v y 0
dt
dt

(3.3.6)
En el problema a continuación comprensiones sus respuestas intuitivas sobre manera como funcionan las leyes del movimiento de
Newton bajo varias perturbaciones que actúan sobre un objeto en órbita con resultados de cálculo en computador
Problema 3.3.4
(A)
perturbaciones tangenciales y radiales
Modifíquese el programa “One_Planet” para resolver el problema de Cauchy (3.3.6) que pueda simular los efectos de las
perturbaciones sobre órbitas de planetas. Parámetros de entrada adicionales deben ser en el programa modificado t0 , , f 0 .
Antes de hacer la simulación para responder a las preguntas a continuación cada vez trátese dar respuesta basada en su intuición
(B)
Supongamos que una pequeña fuerza de impulso tangencial se aplica a un satélite en una órbita circular alrededor de la Tierra.
Para este problema elíjese en la calidad de escala de distancias el radio de la tierra l  RT  6.37  106 m y como la unidad de
tiempo una hora   1hora  3.6  103 s . Teniendo en cuenta que la masa de la tierra es M  5.99  10 24 , enestas unidades el
coeficiente k en la ecuación (3.3.6) es igual a:
k
G  M  2
l3


6.67  1011  5.99 1024  6.37 106

3.6  103

3

2
 20
(3.3.7)
Elijase las condiciones iniciales x0 =1.0, y0  0, v x 0  0 y v y 0 de tal manera que la órbita sea circular. Aplíquese una fuerza
impulsiva tangencial en un momento t 0 después de que el satélite ha hecho varias revoluciones. ¿En qué dirección cambia la
órbita? ¿La órbita es estable; es decir un pequeño impulso produce también un pequeño cambio en la órbita? ¿Trata la órbita
volver sobre sí misma después de aplicar la perturbación? Descríbase la forma de la órbita perturbada.
(C)
¿De qué manera se cambia la órbita en función de amplitud de la fuerza y su duración?
(D)
Verifíquese si ¿el momento angular y la energía total se cambian por la perturbación?
(E)
Aplíquese ahora un impulso radial al satélite y responda a las mismas preguntas formuladas en los numerales (A) - (C).
(F)
Analícese la estabilidad respecto las perturbaciones radial y tangencial en un caso cuando de la fuerza central de la interacción
entre la tierra y satélite está dada por la fórmula diferente de de la ley de la inversa del cubo (véase (3.3.4)).
En el problema anterior su intuición podría llevarlo a una respuesta incorrecta. Por ejemplo, usted podría haber pensado que la órbita
podría alargarse en la dirección de la aplicación de la fuerza. De hecho, la órbita hace alargado pero en una dirección perpendicular a
la dirección de la fuerza. No se preocupa! ¡Estás en una buena compañía! Pocos estudiantes tienen una buena comprensión cualitativa
de la ley de Newton del movimiento, incluso después de tomar un curso de introducción a la física. Una forma cualitativa de expresar
la segunda ley de Newton es:
Fuerzas actúan sobre las trayectorias de las partículas mediante el cambio de velocidad, no la posición.
Si no somos capaces de tener en cuenta esta característica de la segunda ley de Newton, nos encontraremos con situaciones físicas que
aparecen contrario a la intuición. Debido a que la fuerza cambia la velocidad, es razonable considerar tanto la velocidad y la posición
como dos bases equitativas. Las coordenadas de la posición y los componentes del impulso se tratan por esta en la mecánica clásica y
la mecánica cuántica como dos conjuntos e parámetros independientes indispensables para una descripción completa de la dinámica de
las partículas.
En el problema que sigue exploramos algunas de las propiedades de las órbitas en el espacio de velocidades en el contexto del
movimiento ligado de una partícula en una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Modifíquese el programa el
programa elaborado en el problema anterior de modo que este muestra la trayectoria en el espacio de las velocidades. Es decir, se marca

el punto vx , v y

de la misma manera que el programa anterior representa las coordenadas (x, y). Si la trayectoria espacial para las
posiciones es una elipse, ¿cuál es la forma de la órbita en el espacio de velocidades?
Problema 3.3.5 Propiedades de las órbitas en el espacio de las velocidades
(A)
Modifíquese el programa anterior que este muestre la órbita en los espacios de la posición y en el espacio de velocidades al
mismo tiempo. Compruebe que la órbita en el espacio de las velocidades es un círculo, incluso si la órbita en el espacio posición


es una elipse. ¿El centro de este círculo coincide con el origen vx , v y   0, 0  en el espacio de velocidades? Elija las mismas
condiciones iniciales que considerados en Problemas 3.3. y 3.3.4.
(B)
¿Cómo cambia la órbita en el espacio de velocidades cuando se aplica una fuerza impulsiva tangencial o en la dirección radial?
¿Cuál es la magnitud y dirección del cambio? A partir del cambio observado en la órbita velocidad y las consideraciones
anteriores, explíquese el cambio de la órbita observado en el espacio posición
3.4
Problemas de dos y tres cuerpos
Hasta ahora nuestro estudio de las órbitas planetarias se ha restringido al estudio de sistema de dos cuerpos interactuantes
mediante las fuerzas centrales Sin embargo, el sistema solar no es un sistema de dos cuerpos porque diferentes planetas ejercen fuerzas
gravitacionales entre ellas. Aunque las fuerzas interplanetarias son de pequeña magnitud en comparación con la fuerza gravitacional
del Sol, estas pueden producir efectos medibles. Por ejemplo, la existencia de Neptuno se conjeturó sobre la base de una discrepancia
entre la órbita de Urano medido experimentalmente y la órbita predicha calculada a partir de las fuerzas conocidas.
La presencia de otros planetas implica que la fuerza total en un determinado planeta no es una fuerza central. Por otra parte,
debido a que las órbitas de los planetas no están exactamente en el mismo plano, un análisis del sistema solar debe extenderse a tres
dimensiones si se requieren cálculos precisos. Sin embargo, para simplificar, vamos a considerar un modelo de un sistema solar de dos
dimensiones con dos planetas en órbita alrededor de un sol fija.
3.4.1
El problema de dos cuerpos en un campo central
Las ecuaciones de movimiento de dos planetas de masas m1 y m2 de masa
se pueden escribir en forma vectorial como (ver Fig. 3 5)
m1
d 2r1
dt 2
 G
m1M
r13
r1  G
m1m2
3
r21
r21 ;
m2
d 2r2
dt 2
 G
m1M
r23
r2  G
m1m2
3
r21
r21 ,
(3.4.1)
Aquí r1 y r2 son distancias desde el Sol a los planetas 1 y 2, respectivamente, y r21 = r2  r1 es el vector que une las planetas 1 y 2. Es
conveniente cancelar m1 en la primera ecuación y m2 en la segunda y presentar las ecuaciones (3.2.6) en las unidades adimensionales
astronómicas la siguiente forma:
d 2r1
dt
2
 r
r 
 k   13   2 21
;
3 
 r

r21
 1

d 2r2
dt
2
 r
m|
r 
m
,
 k   23  | 21
; k  39.5;  2  2 ; | 
3 
 r

M
M
r21 
 2
(3.4.2)
Las relaciones (3.4.2) presentan 6 ecuaciones diferenciales de segunda orden, pero pueden ser reducidas a 13 ecuaciones diferenciales
de primera orden
dr1
dr
dv
dv
 v1 ; 2  v 2 ; 1  a1 ; 2  a 2 ;
dt
dt
dt
dt
,
 r1


r
r2
r21 
a1  k   3   2 21
;
a

k



 3 | 3 
3 
 r
 2
r21
r21 
 1

 r2
(3.4.3)
Aquí dos vectores de posiciones r1 y r2, dos vectores de velocidades v1 y v 2 , dos vectores de aceleraciones a1 y a 2 , cada uno de 3D
pueden ser agrupados en vectores de 6D:


3
3

 r1 
 v1 
 a1   k  r1 r1   2 r21 r21
rˆ    ; vˆ    ; aˆ    
3
 r2 
 v2 
 a 2   k  r2 r23  1 r21 r21

  ; k  39.5; 
 
2

m|
m2
; | 
M
M
(3.4.4)
Con estas notaciones las cuatro ecuaciones diferenciales (3.4.3) se pueden representar en una forma más compacta como dos ecuaciones
de primera orden para los vectores en el espacio de 6D:
drˆ
dvˆ
 vˆ :
 aˆ ,
dt
dt
(3.4.5)
Vemos que 4 ecuaciones dinámicas (3.4.3) en el espacio vectorial 3D pueden ser reducidas a solo 2 ecuaciones (3.4.5) en el espacio
vectorial de 6D. Siguiendo este camino se puede esperar que el problema se reduce a solo una ecuación en el espacio de doce
dimensiones usando los siguientes vectores:



 x1   q1 


  
y

 1   q2 

 z1   q 


  3

 x2   q4 



v
 r1   y2   q5 


1
 drˆ 

 




k
 rˆ   r2   z2   q6  dQ  dt   vˆ   v 2 
Q 

  
R
   ;
v




ˆ
ˆ
ˆ
v
q
a
v
d
v
a
dt
1
x
   
 
1
7
1
k
 
   v   
 

 dt 
 v 2   1 y   q8 
 a2 

 
k
 v1z   q9 

v  q 
k
 2 x   10 

 v 2 y   q11 
k

 q 

 v 2 z   12 
 k

r21 
 x2  x1 2   y2  y1 2   z2  z1 2

v1x
v1 y
v1z
v2 x
v2 y

 y
 z
 x
 y
 z
v2 z
 x1 r13
3
  2  x2  x1  r21






1
3
r13   2  y2  y1  r21
1
3
r13   2  z2  z1  r21
2
3
r23  1  x2  x1  r21
2
3
r23  1  y2  y1  r21
2
3
r23  1  z2  z1  r21
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 k

 k
 
 k
 
 
 k
 
 k
 
  k
 
 q
 q
 q
 q
 q
 q
1
q7
q8
q9
q10
q11
q12
3
r13   2  q4  q1  r21
3
2 r1
  2  q5  q2 






3
r21
3
3
r13   2  q6  q3  r21
4
3
r23  1  q4  q1  r21
5
3
r23  1  q5  q2  r21
6
3
r23  1  q6  q3  r21










 (3.4.6a)












 q4  q1 2   q5  q2 2   q6  q3 2
r1  x12  y12  z12  q12  q22  q32 ; r2  x22  y22  z22  q42  q52  q62 ;
k  39.5;  2 
m2
m
; |  1
M
M
(3.4.6b)
Una solución numérica de 12 ecuaciones diferenciales (3.4.6) se puede obtener por la extensión directa de los métodos de Euler y sus
modificaciones y métodos de Runge –Kutta a los sistemas ecuaciones de órdenes arbitrarios. Pero para arrancar los procesos iterativos
en el marco de estos métodos hay que además definir 12 condiciones iniciales, 3 coordenadas de los vectores de posición inicial y tres
componentes de los vectores de velocidad de ambas planetas.
Problema 5.10
(A)
Perturbaciones de órbitas planetarias
Confeccione un programa “Two_Planet” para resolver el problema de Cauchy para las ecuaciones (3.4.6) mediante dos
algoritmos, de Euler y de Runge-Kutta que utiliza como los parámetros de entrada tres coordenadas y tres componentes de
velocidades iniciales de dos planetas dados en las unidades adimensionales (ua,, unidades astronómicas y ua/año,
respectivamente), el paso y el tiempo final h  t , t F , dados en años. Los parámetros de salida deben ser organizados en una
tabla con las columnas respectivas para el tiempo coordinadas y separación Sol-Planeta, las componentes de las velocidades y
valor absoluta, el momento angular L y la energía E adimensionales según las fórmulas (3.2.6) - (3.2.8).
(B)
Para analizar el caso especial de las órbitas circulares, considere un ejemplo con el programa “Two_Planet”, eligiendo las
condiciones iniciales (en unidades astronómicas)
x1  1; y1  0; z1  0; v1x  0; v1z  0 para la primera planeta y
x2  0; y2  1; z2  0.2; v2 y  0; v 2 z  0 para la segunda planeta. Utilícese la condición E0  Vmin   k
2
2 L 02 corresponde
a una trayectoria circular para encontrar los valores iniciales para componentes de las velocidades de v1y t v 2 x que corresponde
a una órbita circular. ¿Cuál sería la forma de las órbitas y los períodos de los dos planetas si no interactúan entre sí? ¿Cuál es el
efecto cualitativo de su interacción mutua? Descríbase la forma de las dos órbitas. ¿Por qué es un planeta está afectado más por
su interacción mutua que el otro? ¿Los momentos angulares y las energías individuales de los planetas se conservan? ¿La energía
total y el momento angular total del sistema de los dos planetas se conserva?
(C)
Utilizando el programa “One_Planet” analícese el cumplimiento de las Leyes de conservación del momento angular y de la
energía. Para un valor dado de t , qué algoritmo conserva el momento angular y la energía total mejor? ¿Es posible escoger un
valor de t para el cual los leyes de conservación se cumplan exactamente? ¿Cuál es el significado del signo negativo para la
energía total?
Problema 5.11
Estrellas dobles
Otro sistema dinámico interesante es un planeta que circula alrededor de dos estrellas fijas de masas iguales. En este caso no hay
órbitas ni planas ni cerradas, pero las órbitas se pueden clasificar como estables o inestables. Órbitas estables pueden ser bucles abiertos
que rodean alrededor las dos estrellas, ochos, u órbitas que rodean una sola estrella. Órbitas inestables que con el tiempo van a chocar
con una de las estrellas. Modifíquese el programa”Two-Planet” para simular el sistema de doble estrella, con la primera estrella situada
en (-1, 0,0) y la segunda estrella de masa igual situada en (1, 0, 0). Colóquese el planeta en la posición inicial (0,1, 1) y variando
sistemáticamente los componentes de la velocidad trátese obtener diferentes tipos de órbitas y después analícese cómo afecta el cambio
de la posición inicia.
3.4.2
El problema de tres cuerpos.
Poincaré demostró que es imposible obtener una solución analítica para el problema de tres y más partículas cuyos movimientos no
tienen ningunas restricciones y que interactúan entre sí mediante la fuerza de la gravedad. Sin embargo, para algunos pocos modelos
especiales las soluciones son conocidos, y es didáctico estudiar las propiedades de estos modelos. El programa anterior “Two_Planet
es fácil modificar en otra “Three Planet”, el orden de los vectores de 12 a 18 y excluyendo los términos de la interacción con el planeta
central.
En 1765 Euler descubrió una solución analítica en la que tres masas comienzan desde las posiciones ubicadas sobre una línea
recta y están rotando de tal manera que la masa central se mantiene una posición fija. Condiciones iniciales en el modelo para producir
este tipo de solución son siguientes: la primera masa se coloca en el centro, y las otras dos masas se colocan en lados opuestos con
velocidades que son iguales pero tienen direcciones opuestas. Debido a la simetría, las trayectorias son elipses con un foco común en el
centro.
La segunda solución analítica para el problema de los tres cuerpos fue encontrado por Lagrange en 1772. Para esta solución
em las condiciones iniciales tres masas se ubican en las esquinas de un triángulo equilátero. Cada masa se mueve en una elipse, de tal
manera que el triángulo formado por las masas permanece equilátero. Una nueva solución espectacular que se suma a la lista de escasas
soluciones analíticas de tres cuerpos fue descubierto por primera vez por Moore numéricamente y la demostración que es estable fue
encontrada por Chenciner y Montgomery (búsquese más información sobre este modelo en la literatura)
Problema 5.16
Estabilidad de soluciones al problema de los tres cuerpos
Examínese la estabilidad de las soluciones de una de los tres problemas de tres cuerpos descritos anteriormente. Con este fin
analícese los cambios en las soluciones al variar ligeramente la velocidad inicial de una de las masas. Procúrese que se está analizando
solamente los movimientos relativos y con este fin antes de definir su nuevo estado inicial cada vez calcúlese la velocidad del centro de
masa para restarla de la velocidad de cada cuerpo. Verifíquese que cualquier tipo de inestabilidad se debe a los procesos físicos y no
al error numérico de la solución de ecuaciones diferenciales. Compruebe la conservación de la energía total y del momento angular.
3.5
Problema de dispersión
Gran parte de nuestro conocimiento de la estructura de la materia proviene de los experimentos de dispersión. En esta sección
exploramos uno de los conceptos de la teoría de la dispersión, la sección eficaz diferencial de dispersión. Un experimento típico consiste
en un análisis del comportamiento de un haz de muchas partículas incidentes, todas con la misma energía cinética. El sistema de
coordenadas se muestra en la Figura. Las partículas incidentes venido de la izquierda con una velocidad inicial v en la dirección + x.
Escogemos la línea recta que une el centro del haz y el centro del blanco como el eje x. Definimos el parámetro de impacto b como la
distancia entre la trayectoria inicial de una partícula incidente (inicialmente paralela a eje X) y eje de simetría (véase la figura).
Suponemos que la anchura del haz es mayor que el tamaño del blanco. El objeto de bombardeo contiene muchos centros de dispersión,
pero a efectos de cálculo, se puede considerar la dispersión producida por un solo blanco si el tamaño de cada un blanco es
suficientemente pequeño.
Cuando una partícula incidente se acerca al blanco, esta se desvía. En un experimento típico, las partículas dispersas se registran
en un detector que está ubicado lejos del blanco. La velocidad final de las partículas dispersas es v', y el ángulo entre v y v' es el ángulo
de dispersión
.
Supongamos que la dispersión es elástica y que el blanco es mucho más
masivo que las partículas del haz de manera que se puede considerar que el blanco se queda
inmóvil. (Esta última condición puede estar cumplida en una forma exacta usando las
coordenadas centro de masa.) También asumimos que ninguna partícula incidente sufra una
dispersión más de una vez. Estas condiciones implican que la velocidad inicial y la velocidad
final de partículas incidente son iguales. La dependencia funcional de  en b está relacionada
con la fuerza que actúa sobre las partículas del haz de la parte del blanco. En un experimento típico, los detectores define el número de
partículas dN que después de dispersión se propagan dentro una región angular entre  y d para muchos diferentes ángulos  . Estos
detectores miden el número de partículas dispersadas en el ángulo sólido d   2 sin  d d Q centrada alrededor del ángulo azimutal
.
La sesión eficaz diferencial    se define mediante la relación
dN
 n    d   n    sin  d  d 
N
(3.5.1)
Aquí N es el número total de partículas en el haz, dN es el número de partículas dispersadas dentro del ángulo sólido d y n es la
densidad del flujo inicial, i. e. la parte de partículas que atraviesan la unidad de área de la sección transversal del haz incidente.
Según la fórmula (3.5.1) la sección eficaz    se puede interpretar la fracción de partículas dispersas en el ángulo sólido d
la cual es proporcional a d y la densidad del flujo de partículas de haz inicial. A partir de (3.5.1), vemos que    se puede
interpretar como el área efectiva de una parte del blanco desde la cual las partículas incidentes se dirigen hacia las direcciones que las
llevan al dentro del ángulo sólido d (ver Fig. 3.5.1). Otra forma de interpretar la característica    viene a partir del hecho que al
dentro del ángulo sólido d están llegando las partículas del haz incidente que están ubicados dentro de la región en el haz incidente
de área dA  2 b  db  d , donde b es llamado parámetro de impacto que define la distancia de la trayectoria inicial de la partícula
incidente desde de eje de simetría del sistema (ver Fig. 3.5.1). Teniendo en cuenta que dN N  n dA  n  2 b  db  d y comparando
esta fórmula con (3.5.1) se obtiene la siguiente relación entre la sesión eficaz diferencial    y el parámetro de impacto b:
   
2 b db
sin  d 
(3.5.2)
En un experimento de dispersión, las partículas entran desde la izquierda (véase la figura 3.5.1) con valores aleatorios del
parámetro de impacto b y el ángulo azimutal  , y después se mide el número de partículas dispersas en los diversos detectores. En
nuestra simulación, sabemos el valor de b, y podemos integrar las ecuaciones de movimiento de Newton para encontrar el ángulo en el
que se dispersa la partícula incidente, es decir encontrar el ángulo de la dispersión en la función del parámetro de impacto     b  .
Debido a que la sección transversal diferencial suele ser independiente del ángulo  , podemos analizar sololas partículas del haz cuyos
ángulos azimutales de incidencia   0 . Hay que tener en cuenta el hecho de que en un haz hay más partículas dentro de los anillos
con mayor valor del parámetro impacto b proporcional al área del anillo, 2 b  b es decir, en el área entre dos anillos de radios b y
b  b . Aquí b es el intervalo entre los valores de b que vamos a utilizar en el programa. Debido a que sólo hay un blanco para el
haz, en el programa la densidad del flujo asumimos n  1  R 2 y el parámetro de impacto se varía dentro del intervalo  0  b  R  . En
cada paso del cálculo se encuentra la trayectoria y el ángulo de dispersión
para el parámetro de impacto dada. Después el parámetro de impacto se
incrementa sucesivamente y se encuentra la tabla de relaciones entre b y 
. Si el nuevo parámetro de impacto supera el radio R del haz el cálculo se
detiene y se analizan los datos acumulados.
En el programa condiciones iniciales de la partícula son
x  0   x0 , y  0   b, Vx  0   V0  2 E m ; Vy  0   0 , donde E es la energía de la partícula incidente. Si campo es central entonces
componentes del vector de la fuerza tiene la forma F   xf  r  r , yf  r  r  y el problema de Cauchy correspondiente tiene la forma
m  d 2 x dt 2  xf  r  r ; m  d 2 y dt 2  yf  r  r ;
x  0   x0 , y  0   b, Vx  0   2 E m ; V y  0   0
(3.5.3)
Para hallar el ángulo de dispersión  para cada valor dado de b se puede utilizar la condición:
  lim arcan  y  t  x  t  
t 
El resultado de este cálculo se organizara en una forma de una tabla i , bi , i  1, 2,
(3.5.4)
, n  y utilizando uno de los métodos de
interpolación se recuperan la función b   y la derivada db   d (es preferible usar la interpolación segmentaria o los programas
con las funciones de spline). Usando la relación (3.5.2 se puede hallar la sesión eficaz diferencial    . Además, se puede encontrar
la sección eficaz integral:

      d   2     sin  d
(3.5.5)
0
En el problema 5.13, consideramos un modelo del átomo de hidrógeno para el cual la fuerza sobre una partícula incidente de
haz es cero para r  a . Debido a que no se tienen en cuenta las partículas del haz que no sufren la dispersión, podemos escoger el radio
del haz igual a a .
Problema
(A)
3.5.1 Dispersión de un modelo de átomo de hidrógeno
Considere un modelo del átomo de hidrógeno en el cual el núcleo cargado positivamente de carga + e está apantallada por una
carga negativa de igual magnitud uniformemente distribuida dentro de la esfera de radio a . Se puede demostrar (usando el
teorema de Gauss que la fuerza entre un positrón de carga + e en un haz incidente y este modelo de átomo de hidrógeno está dada
por

1 r 2  a / r 3 ; r  a
f r   
ra

 0;
(3.5.6)
En (3.5.6) hemos elegido unidades adimensionales de tal manera que e 2 4 0  1 , y la masa del positrón es igual a uno. ¿Cuáles
son el potencial eléctrico correspondiente a esta fuerza y la energía de ionización en estas unidades? ¿Es la fuerza que actúa
sobre el positrón a partir de este modelo de átomo de hidrógeno puramente repulsivo? Elíjese a = 1 y establecer el radio del haz
máximo bmax  1 . Elíjese E = 0,125 y t  0,01. Calcúlese las trayectorias para b = 0,25, 0,5 y 0,75 y describase la naturaleza
cualitativa de las trayectorias.
(B)
Determínese la sección eficaz diferencial para diferentes energías desde E  0.1 hasta E  0.1 y explíquese su dependencia
energética cualitativamente. calcúlese con los pasos db  0,1, 0, 01, y 0, 002 . ¿Cómo afecta los resultados el cambo de pasos?
(C)
¿Cuál es el valor de la sección eficaz integral  para E = 0.125? ¿Depende la sección eficaz integral de la energía E? La sección
eficaz integral tiene unidades de área, pero una carga puntual no tiene un área. ¿A qué área se refiere en este caso? ¿Qué valor
de la sección eficaz integral se puede esperar para la dispersión de una esfera rígida de radio a (potencial infinito dentro y cero
afuera)?
(D)
Cámbiese el signo de la fuerza para el caso que se corresponda a la dispersión de electrones. ¿Cómo cambian las trayectorias?
Analícese los cambios en la función    .
Problema 3.5. 2
(A)
Dispersión de Rutherford
Uno de los más famosos experimentos de dispersión se realizó por Geiger y Marsden quienes analizaron la dispersión de un haz
de partículas alfa en una lámina de oro delgada. A partir de estos experimentos, Rutherford concluyó que la carga positiva del
átomo más pronto se concentra en una pequeña región en el centro del átomo en lugar de distribuirse uniformemente en todo el
volumen del átomo. Utilícese una fuerza de f  r   1 / r 2 y calcúlese las trayectorias para b = 0,25, 0,5 y 0,75 y descríbase las
formas las trayectorias. Elíjese E = 5 y t  0.01 . El valor del punto inicial x0  5 para este caso de la coordenada es razonable?
Justifíquese su respuesta.
(B)
Para E = 5 determinar la sesión eficaz diferencial    . Elija ancho de haz bmax  2 y en el cálculo variando el paso db estímese
la precisión de sus resultados comparando con los resultados analíticos para los cuales    varía proporcionalmente a
 sin  2 4
¿Cómo sus resultados calculados están en concordancia con esta dependencia analítica?
Si es necesario,
disminuyese el valor del paso. ¿Se acuerden sus nuevos resultados mejor o peor para pequeños ángulos, ángulos intermedios, o
grandes ángulos de cerca de 180 °? Explíquelo.
(C)
Debido a que la fuerza de Coulomb es de largo alcance, existe la dispersión para todos los parámetros de impacto, tanto grandes
como pequeños. Auméntese el radio del haz y determínese si los resultados para    sufren algún cambio. ¿Qué ocurre con la
sección eficaz integral a medida que aumenta el ancho del haz?
(D)
calcúlese    para diferentes valores de E y estímese la dependencia    de E
Problema 3.5.3 Dispersión por otros tipos de potenciales
A)
Una forma fenomenológica simple para describir la interacción efectiva entre electrones en un. metal es potencial de Coulomb
apantallado fuertemente (o potencial de Thomas-Fermi):
V r  
e2  r
e
4 0
rD
(3.5.7)
Aquí rD el llamado radio de Debye caracteriza la escala de apantallamiento de la carga eléctrica que depende de la densidad y la
temperatura de los electrones. La fórmula (3.5.7) se conoce como el potencial de Yukawa en el contexto de la interacción entre
las partículas nucleares y como el potencial de Debye en el contexto de plasmas clásicos. Elíjese las unidades adimensionales
de tal manera que e 2 4 0  1 , rD  1 y tenga en cuenta que la fuerza está dada por f  r   dV / d r . Elijese el ancho del haz
igual a 3. Compárese los resultados obtenidos para    con los resultados del potencial de Coulomb
B)


Modifíquese la fórmula para la fuerza de la interacción por la ley de Lennard-Jones que f  r   24 2 / R13  1 / r 7 . Esta forma
de f (r) se utiliza para describir las interacciones entre moléculas simples. Descríbase algunas trayectorias típicas y calcúlese la
sección transversal diferencial para varias energías diferentes con este tipo de potencial. Escogerse bmax  2 . ¿Cuál es la
sección eficaz integral? ¿Cómo los resultados cambian al variar bmax ? ¿Cómo varía la sección transversal diferencial para
diferentes ángulos?
3.6
Proyecto 3.6.1
(A)
PROYECTOS
Efecto de " viento solar"
Suponga que un satélite se ve afectado no sólo por la fuerza gravitacional de la Tierra, sino también por un uniforme "viento
solar" débil de magnitud W que actúa en la dirección X. Las ecuaciones de movimiento se pueden escribir como
d 2x
GM
d2y
GM
  3 x W;
 3 y
2
dt
r
dt 2
r
(3.6.1)
Elija condiciones iniciales correspondientes a una órbita circular para W=0 y después seleccione un valor de W cuya magnitud
es aproximadamente el 3% de la aceleración debida al campo gravitacional y encuéntrese la trayectoria de la órbita. ¿Cómo
cambia la órbita?
(B)
Determínese los cambios introducidos en la órbita en el espacio de velocidades cuando se aplica el viento solar. ¿Cómo cambian
la energía total y el momento angular total? Explíquese en términos sencillos el cambio observado en la órbita espacio de las
posiciones. Ver mas en Arthur W. Luehrmann, "Orbits in the solar wind-a mini-research problem," Am. J. Phys. 42, 361 (1974).
Proyecto 3.6.2
(A)
Resonancias y el cinturón de asteroides
Un histograma del número de asteroides en función de la distancia del Sol muestra algunas brechas distintas. Estas brechas,
llamadas los huecos de Kirkwood, son debidas al efecto de “resonancia”. Es decir, si los asteroides se encontrarían en las regiones
correspondientes a estas brechas, sus períodos serían simples fracciones del periodo de Júpiter. Tómese la masa de Júpiter igual
a 0.001 de masa solar y los parámetros dados en la Tabla 3.1. Debido a que las masas de asteroides son muy pequeñas en
comparación con la de Júpiter, la fuerza de la gravedad sobre Júpiter es despreciable. Las condiciones iniciales escógeles en la
correspondencia con los parámetros de la tabla. Las condiciones iniciales para el asteroide corresponden a la tercera resonancia
(el período del asteroide es un tercio del de Júpiter). Descríbase la órbita del asteroide.
(B)
Utilícese la tercera ley de Kepler, T 2 / a 3  const , para determinar los valores of a, semieje mayor del asteroide, de tal manera
que la razón de su período de revolución alrededor del Sol con que el periodo de Júpiter sea 1/2, 3/7, 2/5, y 2/3. Asume el valor
inicial x  0   a para cada de estas razones y eligiese el valor inicial V  0  de manera que el asteroide tenga una órbita circular
si Júpiter no estaría presente. Descríbase las órbitas resultantes.
(C)
Es ilustrativo graficar el valor de a en función del tiempo. Sin embargo, debido a que no es sencillo encontrar directamente el
valor de a en la simulación, es más conveniente hacer el gráfico de la cantidad 2GmM / E , donde E es la energía total del
asteroide y m es su masa. Debido a que E es proporcional a m, esta cantidad es independiente de m. Si la interacción del asteroide
con Júpiter se ignora, se puede demostrar que a =-2GMm / E , donde E es la energía cinética de asteroides más la energía
potencial de la interacción el asteroide-Sol. Demuéstrelo este resultado para las órbitas circulares. Grafíquese la cantidad 2GmM / E en función del tiempo para una treintena revoluciones para las condiciones iniciales del punto (B).
(D)
Calcúlese la dependencia del tiempo del parámetro 2GmM / E para las órbitas de asteroides cuya posición inicial x  0  varía
de 2,0 a 5,0 con el paso 0,2. Elija los valores iniciales x  0  , de modo que se obtendría las órbitas circulares en ausencia de
Júpiter. ¿Hay algún valor de x  0  para el cual la dependencia del tiempo del parámetro a es inusual?
(E)
Grafíquese un histograma del número de asteroides en función del valor del parámetro 2GmM / E en el momento del tiempo
t = 2000. Asume que el valor inicial de x  0  varia de 2,0 a 5,0 en pasos de 0,02 y elíjese el valor inicial V  0  de manera que
el asteroide tenga una órbita circular si Júpiter no estaría presente. Use un ancho de paso de histograma de 0,1. Repite el cálculo
para t = 5000 y compare el histograma con los resultados anteriores. ¿Hay alguna evidencia de huecos de Kirkwood? Una
resonancia ocurre cuando los períodos del asteroide y Júpiter están relacionados por fracciones simples. Se espera que el número
de los asteroides con valores de a correspondiente a las resonancias debe ser pequeña.
(F)
Repita la parte (E) con velocidades iniciales que varían de sus valores para una órbita circular en unos 1, 3 y 5%.
Proyecto 3.6.3
El modelo de átomo de helio clásico
El modelo de átomo de helio clásico es un ejemplo relativamente simple de un problema de los tres cuerpos y es similar al
problema de los tres cuerpos gravitacional de un sol pesado y dos planetas de ligeras. La diferencia importante es que los dos electrones
se repelen entre sí, a diferencia del caso planetario donde la interacción interplanetaria es atractiva. Si nosotros ignoremos el pequeño
movimiento del núcleo pesado, las ecuaciones de movimiento para los dos electrones en las unidades adimensionales se pueden escribir
como:
a1  2
r1 r1  r2
r
r r
 3 ; a2  2 23  2 3 1
3
r1
r12
r2
r12
(3.6.2)
Aquí r1 y r2 son las distancias del electrón 1 y del electrón 2 desde el núcleo fijo en el origen, y r12 es la distancia entre los dos
electrones. Hemos elegido las unidades de tal manera que la masa y la carga del electrón se reduzcan a uno. La carga del núcleo de
helio es dos en estas unidades. Debido a que los electrones son a veces muy cerca del núcleo, su aceleración puede llegar a ser muy
grande, y se requiere un paso muy pequeño del tiempo t. No adecuado en este caso la utilización ningún paso del tiempo pequeño a lo
largo de la simulación, y en lugar de un paso de tiempo variable o se sugiere un algoritmo tamaño de paso de adaptable (un paso largo
para grandes distancias y corto para pequeñas). Un algoritmo con un paso adaptable automático nos proporciona el algoritmo RK45,
una buena opción versátil para este tipo de problemas.
(A)
Modifíquese el programa “Two_Planet” para simular el modelo de átomo de helio clásico. Elíjese el valor inicial del paso del
tiempo t  0.001 . Algunas de las posibles órbitas son similares a los que hemos visto en nuestro sistema de mini-solar. Por
ejemplo, considere la condición inicial r1   2, 0  , r2   1, 0  , V1   0, 0.95  , y V2   0, 1 .
(B)
La mayoría de las condiciones iniciales dan lugar a órbitas inestables en el que un electrón inicialmente enlazado escapa del
átomo
(auto
ionización).
La
condición
inicial
r1  1.4, 0  , r2   1, 0  , v1   0, 0.86  , y v 2   0, 1
da órbitas trenzadas. Hágase unos pequeños cambios en
esta condición inicial para observar auto ionización.
(C)
El modelo de átomo de helio clásico pude proporcionar las
órbitas muy complejas (véase la Fig. 3.6.1). Analícese las
trayectorias
con
las
condiciones
iniciales
r1   3, 0  , r2  1, 0  , v1   0, 0.4  , v 2  (0, 1) . ¿En
el movimiento se conserva el momento angular total?
Prueba también repetir el cálculo para
r1   2.5, 0  , r2  1, 0  , v1   0, 0.4  , y v 2   0, 1 .
(D)
Elíjese la condición inicial r1   2, 0  , r2   1, 0  , y v 2   0, 1 y varíe el valor inicial de v1 a partir de (0.6, 0) hasta (1.3, 0)
con el paso v=0.02 . Para cada conjunto de condiciones iniciales, calcúlese el tiempo que se necesita para auto ionización.
Azúmese que ionización se produce cuando alguna de electrones excede una distancia de seis desde el núcleo. Ejecútese cada
simulación durante un tiempo máximo de 2000. Grafíquese el tiempo de ionización encontrado en función de v1x .