C vuutI ˆ

estad
stica maestr
a (2
o
cuatrimestre 2010)
pr
actica 4
A) Consistencia y distribucion asintotica.
1. (a) Sea n un estimador con V (n) < 1: Probar que si ECM ( ) ! 0; entonces n es
debilmente consistente.
(b) Sea X ; : : : ; Xn una m.a. tal que E (X ) = y V (X ) < 1: Consideremos el siguiente
estimador aleatorizado de :
+ "nn
n = (1 "n ) X
donde "n Bi (1; 1=n) y es independiente de las Xi: Probar que n es debilmente consistente, aunque ECM ( ) ! 1:
2. Sea un espacio parametrico nito y n el EMV de : Probar que n es debilmente consistente
si y solo si P (n = ) ! 1 8 2 :
3. Sea X ; : : : ; Xn una muestra aleatoria de una distribucion E () : Probar que el EMV de es
fuertemente consistente y asintoticamente eciente.
4. Sea X ; : : : ; Xn una muestra aleatoria de una distribucion P (). Consideremos n = X y
n
1
n
1
1
v
u
u
t
n
X
1
1
1
n =
2 + 4 + n i Xi
2
=1
(a) Analizar si estos estimadores de son fuertemente consistentes.
(b) Hallar sus distribuciones asintoticas. Decir si alguno de los dos es asintoticamente eciente.
(Nota: E (X ) = + 6 + 7 + )
5. Sea X ; : : : ; Xn una muestra aleatoria de una distribucion U (0; ).
(a) Probar que el EMV de es debilmente y fuertemente consistente y hallar su distribucion
asintotica.
(b) Probar que el estimador de momentos para es fuertemente consistente y hallar su distribucion asintotica.
(c) >Cual de estos dos estimadores preferira?>Por que?
6. Sea X ; : : : ; Xn una m.a. de una distribucion exponencial desplazada, cuya densidad es
f (x) = e x I ;1 (x) :
(a) Probar que el EMV de es debilmente y fuertemente consistente y hallar su distribucion
asintotica.
(b) Probar que el estimador de momentos para es consistente y hallar su distribucion
asintotica.
(c) >Cual de estos dos estimadores preferira?>Por que?
7. Sea X ; : : : ; Xn una m.a. de una distribucion F (x ) con F una funcion de densidad ja y
2 IR. Sea n un estimador de equivariante por traslaciones (i.e.: para cualquier constante
c 2 IR se verica que n (x + c; : : : ; xn + c) = n (x ; : : : ; xn ) + c). Mostrar que la varianza
asintotica de n (si existe) no depende de :
4
4
3
2
1
1
(
1
)
[
)
0
1
0
1
1
8. Sea X ; : : : ; Xn una muestra aleatoria de una distribucion F con densidad f (x
satisface: i) f (x) = f ( x), ii) f (x) continua en x = 0:
1
) donde f (x)
(a) Sea Za;i = I fXi ag:Mostrar que Za;i tiene distribucion Bi(1; F (a)):
(b) Sea Za = P Za;i. Mostrar que Za tiene distribucion Bi(n; F (a)):
(c) Probar que
P (Za n + 1) P (mediana(X ;:::; Xn ) a) P (Za n )
(d) Mostrar que mediana(X ;:::;Xn) es un estimador debilmente consistente de :
1
2
2
1
B) Ejercicio para hacer en la computadora.
1. Retomemos el ejercicio 1 de la practica 2 parte D). Para cada uno de los 4 conjuntos de
1000 datos realizar un histograma. Puede decir algo sobre las distribuciones asintoticas de los
estimadores?, a que familias pertenecen?, cuales son sus parametros?.
2