06_modulo 6 magnetostatica dominios y paredes

Energía magnetostática – existencia de dominios
Energía magnetostática
Energía de interación entre los dipolos de un material magnetizado
EMmín ?
r
µi
...
E1
E2
r r
1
µ0
EM = − ∑ µi ⋅ Bi = −
2 i
2
r
µ0
∑i µi ⋅ H i = − 2
r
r r
Bi = ∑ B j (ri )
j ≠i
r
En
r r
µ0 v r
∑i M i ⋅ H i Vi ≈ − 2 ∫ M ⋅H dip dV
Bi
mi
Campos estáticos en
ausencia de corrientes:
Evaluación de:
EM = −
µ0
2
v r
∫ M ⋅HdV
r r
∇⋅B = 0
r r
∇× H = 0
Dado un cuerpo (forma,
volumen V, superficie S),
además
Una distribución de
magnetización M,
y las ecuaciones
de Maxwell:
(
r
r r
B = µ0 H + M
r
r
H = −∇U
)
Potencial
escalar
U continuo
r r
∇⋅B = 0
r r
r
∇ × E + ∂B / ∂t = 0
r r
∇⋅D = ρ
r r
r
r
∇ × H − ∂D / ∂t = j
(
)
r
r
r
∇ ⋅ − ∇U + M = 0
∇ U int
2
r r
= ∇⋅M
∇ 2U out = 0
En el interior de
un cuerpo
magnetizado
uniformemente
r
M (r ) dada
condiciones de
contorno
U int S = U ext
S
r
n
∂U int
∂n
S
∂U ext
−
∂n
Se puede demostrar
que el problema tiene
solución única
r r
= M ⋅n
S
+
r
U (r )
r
r
H = −∇ U
S
∇ U int
2
r r
= ∇⋅M
∇ 2U ext = 0
EM = −
µ0
2
v r
∫ M ⋅H dip dV
Ejemplo: Esfera de radio R magnetizada uniformemente
n
r r
∇⋅M = 0
z
M
M uniforme
R
z,
si
r≤R
r M
U (r ) = S × zR 3
3
si r > R
3
r
M
U int = S z
3
r
r
H int = −∇U int
H int x = H int y = 0
H int z = −
MS
3
U ext
M S R3 z
M S R3 z
=
=
3
3r
3 x2 + y2 + z 2
(
H extx
H ext y
H extz
)
3/ 2
M S R 3 xz
=
r5
M S R 3 yz
=
r5
M S R3  z 2 1 
 2 − 
=
3
r r
3
H int x = H int y = 0
H int z = −
MS
3
z
Hext
M
HD
energía
µ0
v r
µ0
µ0
M S 4πR 3 2πR 3 µ 0 M S2
EM = − ∫ M ⋅HdV = − M S H int zVesfera =
MS
=
2
2
2
3 3
9
H int z
2πR 3 µ0 M S2
EM =
9
MS
=−
3
generalizando
para otras
geometrías y
distribuciones
de la
magnetización
EM = Cµ 0 M S2
H int z = −
MS
3
Factor
demagnetizante
H int z = −
D
Esfera
MS
r
(
M = MSx ⇒
r
(
M = MS y ⇒
r
(
M = MSz ⇒
x
= 1/ 3
y
= 1/ 3
z
= 1/ 3
x
+
y
+
z
=1
Cilindro infinito magnetizado uniformemente en dirección perpendicular al eje
n
ρ
φ
M
M
H
D
x
z
H int z = H int y = 0
Hext
x
H int x
MS
=−
2
Energía magnetostática por unidad de área ⊥ al eje del cilindro
H int x = −
εM
MS
2
µ0
v r
µ 0πR 2 v r
µ0
M S 2 πR 2 µ 0 M S2
= − ∫ M ⋅HdS = −
M ⋅ H dip = − M S
πR =
2
2
2
2
4
εM =
πR 2 µ 0 M S2
4
de la forma
ε M = Cµ 0 M S2
y
x
M
z
+
=1
de la forma
Factor
demagnetizante
H int z = −
r
(
M = MSx ⇒
r
(
M = MS y ⇒
r
(
M = MSz ⇒
H int x
MS
=−
2
D
MS
x
= 1/ 2
y
= 1/ 2
z
=0
x
+
y
z
Otros cuerpos magnetizados uniformemente
M uniforme
Hint NO uniforme
Caso general
Superficie de 2do
grado (cónicas)
Hint uniforme
elipsoide
2
2
2
r
r
H D = − ˆM
 x  y z
  +  +  =1
a b c
M uniforme
Campo
demagnetizante
Tensor
demagnetizante
Traza unitaria
x
+
y
+
z
=1
Número si
además
Diagonal si los
ejes de
coordenadas
coinciden con
los del elipsoide
r
M=
r
M Si
r
MS j
r
MSk
r
M
Mz
r
r
ˆ
HD = − M
My
r
H
Mx
r r
H D , M no colineales
Hx = −
x
Mx
Hy = −
y
My
Hz = −
z
x
+
y
+
Mz
z
=1
M i , H i , unif .
µ0 v r
µ0
EM = − ∫ M ⋅HdV = − (M x H x + M y H y + M z H z )V
2
2
EM =
µ0
(
2
2
M
x
x +
2
M
y
y +
EMmín = 0, para M = 0
)
2
M
z
z V
Superficies no cuadráticas
EM =
µ 0V
2
(
2
M
x
x +
2
M
y
y +
2
M
z
z
)
Válido también para cuerpos con
superficies no cuadráticas: cubos,
prismas, cilindros, octaedros, etc.
(teorema de Brown-Morrish)
Casos particulares
Cubo,
octaaedro,
tetraedro
x
Prisma
regular,
cilindro
x
=
=
y
y
≠
=
z
= 1/ 3
z
Caso límite
x
=
y
1
= ;
2
z
=0
campo efectivo
Hapl
HD
HD = − M
M
H ef = H apl + H D = H apl − M
Cuando se grafica M vs. H debería usarse como abscisa el Hef
M
H ef = H apl − M
vs
M = χH ef
Si M << MS
H ef = H apl − χH ef
Cuando χ << 1
χ >> 1
Cuando
N<<1
H ef =
H apl
1+ χ
M ≈ χH apl
M≈
1
H apl
M=
χ
1+ χ
H apl
Independientemente de N
Fuertemente dependiente de N
χ aparente
campo de saturación
Hapl
HD
M
H efS = H apl − M S
Ejemplo, Ni
M S ≈ 4.8 x105 A / m ≈ 0.6 Tesla
H apl − M S > H S i →

H apl > 0.6 Tesla
≈1
H S i ≈ 0.01 − 0.03 Tesla
factores demagnetizantes
Cálculos en prismas
Factores demagnetizantes– referencias
Fórmulas, tablas y gráficos de factores demagnetizantes, Chen et al. IEEE Trans.
Magnetics 27, 3601-19 (1991)
Campo demagnetizante y medidas magnéticas, J.A. Brug y W.P. Wolf, J.Appl.Phys. 57,
4685-701 (1985)
Cálculo de factores demagnetizantes,
http://magnet.atp.tuwien.ac.at/dittrich/?http://magnet.atp.tuwien.ac.at/dittrich/content/tool
s/magnetostatics/streufeld.htm
Anisotropía de forma: NP elipsoidales
Elipsoide prolado u oblado
a=b<c⇒
a=b>c⇒
x
x
=
=
y
y
>
<
z
prolado
z
z
oblado
Anisotropía de forma: NP elipsoidales
Problema: analizar la energía magnetostática de NP elipsoidales
b
a
A partir de la expresión:
EM =
µ 0V
2
θ
(
r
M
2
M
x
x +
c
2
M
y
y +
a=b<c
2
M
z
z
)
Comparar con la expresión de la energía de anisotropía uniaxial.
Calcular su valor para una NP de magnetita con forma de elipsoide
prolado muy alargado, con:
M S ≈ 4.5 ×105 A / m
Anisotropía de forma: NP elipsoidales
a=b<c⇒
EM =
µ 0V
2
(
2
M
x
x +
x
=
y
>
z
)
2
M
y
y +
2
M
→
z
z 
y= x
µ0V
2
( (M
x
2
x
)
+ M y2 +
M S2 = M x2 + M y2 + M z2
EM =
µ 0V
2
EM = −
(
µ0V
2
z −
(
µ 0V
2
)
(
M
+
cte
=
x
z
2
z −
2
2
)
M
cos
θ + cte
x
S
2
2
2
)
M
sin
θ
+
cte
=
K
V
sin
θ + cte
x
S
ME
z −
EM = K MEV sin θ
2
K ME =
µ0
2
(
x −
2
)
M
z
S
2
M
z
z
)
Ejemplo: elipsoide prolado largo de magnetita
K ME =
µ0
2
(
x
−
z
)M S2 ;
x
≈ 1 / 2,
z
≈0
M S ≈ 4.5 ×105 A / m
K ME
2
4π ×10 −7 1
=
4.5 ×105 J / m 3 ≈ 6.4 × 10 4 J / m3
2
2
(
)
Energía magnetostática - Origen de los dominios
1 dominio
EM (n ) = C (n )µ 0 M
n dominios
2
S
EM (n ) 1
≈
EM (1) n
Regla
aproximada
Energía de pared de dominios
γ PD (J / m 2 )
n dominios
(
EPD ≈ S PD (n )γ PD J / m
2
)
Número de dominios en equilibrio
n dominios
E multi ≈
E
mono
M
n
Energía de pared
por unidad de área
+ S PD (n )γ PD
E magnetostática decrece
Ε
E pared dominios crece
multi
pared
magnetostática
Nro dominios en equilibrio
neq
n
Dominios y paredes
de dominio
MFM
Pseudo-3d MFM image of a (YSmLaCa)3 (FeGe)5
O12 magnetic thin film garnet, 4.5 x 4.5 µm2,
domain walls appear dark;
δ = Na
Eje fácil
Pared de Bloch de 180°
γ = ∆ε K + ∆ε J
anisotropía
ε
γ
intercambio
N
Optimización energía por unidad de área de pared
γ = ∆ε K + ∆ε J
Ancho de la pared
2 Js 2
2A
δ eq = eq a = π
=π
Ka
K
A ≈ Js 2 / a
Cte de stiffness
γ eq = 2π 2 KA
10 −12 J / m ≤ A ≤ 10 −11 J / m
103 J / m3 ≤ K ≤ 106 J / m3
A = 10 −11 J / m
K = 103 J / m3
K = 105 J / m3
δ eq = 444 nm
δ eq = 44.4 nm
Fin módulo