Partículas del Sol

Q T-1
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Partículas del Sol
(10 puntos)
Los fotones de la superficie del Sol y los neutrinos que proceden de su núcleo nos informan sobre la
temperatura de nuestra estrella y confirman que la radiación que emite se debe a reacciones nucleares.
A lo largo de este problema tome la masa del Sol como:
, su luminosidad (energía radiante por unidad de tiempo):
Sol:
.
, su radio:
, y la distancia Tierra-
Nota:
∫
(
)
∫
(
∫
(
)
)
A Radiación proveniente del Sol:
A1
Suponga que el Sol emite radiación como un cuerpo negro perfecto. Utilice ese hecho para calcular la
temperatura, , de la superficie solar.
0.3
El espectro de la radiación solar puede describirse mediante la ley de distribución de Wien. De esa forma, la
energía solar incidente sobre cualquier superficie en la Tierra por unidad de tiempo y unidad de frecuencia,
, viene dada por
donde
es la frecuencia y
es el área de la superficie normal a la dirección de la radiación incidente.
Considere una célula solar consistente en un disco delgado fabricado de un material semiconductor de área
, situada perpendicularmente a la dirección de los rayos del Sol.
A2
Utilizando la ley de Wien, obtenga una expresión para la potencia total radiada por el Sol, , incidente
sobre la superficie de la célula solar, en función de ,
, , y las constantes fundamentales , , .
0.3
A3
Exprese el número de fotones,
, por unidad de tiempo y por unidad de frecuencia, incidente sobre la
superficie de la célula solar en función de ,
, , , y las constantes fundamentales , , .
0.2
El material semiconductor de la célula solar tiene un salto entre bandas de energía (“b d
”) .
Suponemos el modelo siguiente: cada fotón de energía
excita un electrón a lo largo del salto de
bandas. Este electrón contribuye con una energía, , a la energía útil de salida de la célula. El resto de la
energía se disipa como calor (no convertido en energía útil).
A4
Defina
,
,
A5
Exprese la eficiencia, , de esta célula solar en función de
A6
Dibuje una gráfica cualitativa de
mostrados. ¿Cuál es la pendiente de
,
con
. Exprese la potencia útil de salida de la célula,
y las constantes fundamentales , , .
, en función de
,
.
frente . Los valores de
en
y
?
1.0
0.2
y
deben ser claramente
1.0
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A7
Sea el valor de
aproximadamente
para el cual es máximo. Obtenga la ecuación cúbica que permite obtener
con una precisión de
. Después calcule
.
A8
La energía del “band gap” del silicio puro es
de una célula solar de silicio puro.
. Calcule
. Calcule, utilizando ese valor, la eficiencia,
,
1.0
0.2
A finales del siglo XIX, Kelvin y Helmholtz propusieron una hipótesis para explicar la radiación del Sol.
Postularon que a partir de una gran nube de distribución de masa
y densidad despreciable, el Sol se
habría ido contrayendo de forma continua. El brillo del Sol sería debido a la liberación de energía potencial
gravitatoria por esta lenta contracción.
Supongamos que la densidad de materia es uniforme dentro del Sol. Halle la energía potencial gravitatoria,
, del Sol en el momento actual, en función de G,
y
.
0.3
Estime el tiempo máximo posible,
(en años), que el Sol podría haber estado emitiendo radiación de
A10 acuerdo a la hipótesis de Kelvin-Helmholtz. Suponga que la luminosidad del Sol ha sido constante durante
todo ese periodo.
0.5
A9
El valor
calculado antes no coincide con la edad del sistema solar estimada a partir del estudio de los
meteoritos. Ello demuestra que la fuente de energía del Sol no puede ser solamente gravitacional.
B Neutrinos del Sol:
En 1938, Hans Bethe propuso que la fuente de la energía del Sol es la fusión nuclear del hidrógeno en helio
producida en el núcleo. La reacción nuclear neta es:
Los “neutrinos electrónicos”, , producidos en esta reacción pueden tomarse con masa nula, y la energía
que se llevan puede despreciarse en este problema. Estos neutrinos escapan del Sol y su detección en
la Tierra confirma quedentro del Sol se producen reacciones nucleares.
B1
Calcule la densidad de flujo, , del número de neutrinos que llegan a la Tierra, en unidades de
. La
energía liberada en la reacción anterior es
. Suponga que la energía emitida por el Sol se
debe enteramente a esta reacción.
0.6
Al viajar desde núcleo del Sol a la Tierra, alguno de los neutrinos electrónicos, , se convierten en otro tipo
de neutrinos, . La eficiencia del detector para detectar neutrinos es 1/6 de la eficiencia para detectar
neutrinos . Si no hubiera conversión de neutrinos, se detectaría un promedio de
neutrinos en un año.
Sin embargo, debido a la conversión se detecta en realidad un número promedio de
neutrinos (sumando
los dos tipos y ).
B2
B3
Calcule, en función de
, la fracción,
, de neutrinos
que se convierten en
.
Para la detección de neutrinos se utilizan grandes detectores llenos de agua. Aunque la interacción de los
neutrinos con la materia es poco probable, ocasionalmente golpean a los electrones de las moléculas de
agua en el detector. Estos electrones energéticos se mueven a través del agua a altas velocidades y emiten
radiación electromagnética si su velocidad es mayor que la velocidad de la luz en el agua (de índice de
refracción ). Esta radiación se llama “radiación Cherenkov” y se emite en forma de cono.
Suponga que un electrón golpeado por un neutrino pierde energía a razón constante por unidad de tiempo,
mientras viaja a través del agua. Si este electrón emite radiación Cherenkov durante un tiempo
,
determine la energía transferida por el neutrino a este electrón (
, n,
y .
d , en función de ,
(Suponga que el electrón se encuentra en reposo antes de su interacción con el neutrino.)
0.4
2
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La fusión de H en He dentro del Sol ocurre en varios pasos. En uno de los pasos intermedios se produce un
núcleo de
(masa en reposo,
). A continuación, este núcleo puede absorber un electrón, produciendo
un núcleo de
(masa en reposo,
<
) y emitiendo un neutrino . La reacción nuclear
correspondiente es
Cuando un núcleo de Be
en reposo absorbe un electrón, también en reposo, el
neutrino emitido tiene una energía
. Sin embargo, los núcleos de
están en
movimiento térmico aleatorio debido a la temperatura
en el núcleo del Sol y, por tanto, actúan como
fuentes en movimiento. Como resultado, la energía de los neutrinos emitidos fluctúa con un valor
cuadrático medio (root mean square, rms) igual a
.
B4
Si
=
, calcule el valor cuadrático medio de la velocidad de los núcleos de Be,
,ya
partir de la misma estime . (Ayuda:
depende del valor cuadrático medio de la componente de la
velocidad a lo largo del eje de medida).
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