02. Números naturales, enteros y racionales

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Cálculo I
Los números naturales, enteros
y racionales
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Números naturales
24 · 09 · 2015
Se llaman números naturales a los elementos del conjunto N = {1, 2, 3, . . .}. En este
conjunto hay dos operaciones entre sus elementos, hay una relación de orden y también
propiedades que relacionan esas operaciones entre sı́. Formalmente, la suma se define como
una aplicación
s : (a, b) ∈ N×N −→ a + b ∈ N
y el producto es
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p : (a, b) ∈ N×N −→ a · b ∈ N.
Además, los números naturales están ordenados: a < b significa “a es menor que b” y
a ≤ b significa “a es menor o igual que b” .
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El producto es conmutativo, asociativo y tiene elemento unidad:
a·b = b·a
a · (b · c) = (a · b) · c
1 · a = a.
Además se tiene la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma:
a · (b + c) = a · b + a · c.
La relación de orden es transitiva
antisimétrica
a < b, b < c ⇒ a < c
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a+b = b+a
a + (b + c) = (a + b) + c.
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La suma es conmutativa y asociativa:
a<b⇒b≮a
2. Los números naturales, enteros y racionales – 1
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De estas propiedades básicas de (N, +, ·, <) se pueden obtener otras, como la ley de
simplificación:
a+c=b+c ⇒ a=b
a · c = b · c ⇒ a = b.
Números enteros
En el conjunto N×N se define una relación: se dice que (a, b) está relacionado con (c, d),
y se escribe (a, b) ∼ (c, d), si a + d = b + c. Por ejemplo, (7, 3) ∼ (9, 5) ∼ (12, 8).
Proposición. La relación anterior es de equivalencia, es decir:
1) es reflexiva: (a, b) ∼ (a, b)
2) es simétrica: (a, b) ∼ (c, d) ⇒ (c, d) ∼ (a, b)
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3) es transitiva: (a, b) ∼ (c, d), (c, d) ∼ (e, f ) ⇒ (a, b) ∼ (e, f )
La demostración, que se hace utilizando las propiedades de N, es muy simple. Por ejemplo,
para probar la propiedad transitiva, si (a, b) ∼ (c, d) y (c, d) ∼ (e, f ) entonces a + d = b + c
y c + f = d + e, de donde se sigue que a + d + c + f = b + c + d + e. Simplificando se sigue
que a + f = b + e y ası́ (a, b) ∼ (e, f ).
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Representación de los números enteros −2 y 3
Cada número natural n se identifica con la clase {(n + 1, 1), (n + 2, 2), . . .} = [(n + 1, 1)]
y ası́ se entiende que N es una parte de Z. Se define la aplicación
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Esta relación de equivalencia genera una clasificación en clases del conjunto N×N (una
clasificación es dar una colección de subconjuntos disjuntos que rellenan todo el conjunto
inicial). El conjunto cociente, formado por esas clases, se denota N×N/∼. El conjunto Z
de los números enteros es este conjunto cociente Z = N×N/∼. Cada número entero es
una clase de pares de números naturales.
f : n ∈ N −→ [(n + 1, 1)] ∈ Z
2. Los números naturales, enteros y racionales – 2
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a<b ⇒ a+c<b+c
a < b ⇒ a · c < b · c.
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y es total: si a, b ∈ N y a 6= b entonces se cumple a < b o b < a. Por último, la suma y el
producto son compatibles con el orden:
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que verifica:
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− Es inyectiva: cada elemento de Z es la imagen de un elemento a lo sumo (las imágenes
no pueden repetirse)
Esta aplicación no es sobreyectiva: hay elementos de Z que no son imagen de ningún
elemento de N.
Al ser una aplicación inyectiva, cada elemento de N se identifica con su imagen. Suele
escribirse N ⊂ Z.
Operaciones con números enteros. Si [(a, b)] y [(c, d)] son clases de Z, se define la suma
como
[(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c, b + d)].
Por ejemplo,
[(1, 3)] + [(7, 4)] = [(8, 7)].
La definición es correcta, ya que no depende de los representantes elegidos: si (a, b) ∼
(a0 , b0 ) y (c, d) ∼ (c0 , d0 ) entonces a + b0 = a0 + b y c + d0 = d + c0 y se tiene
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[(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c, b + d)] = [(a0 + c0 , b0 + d0 )] = [(a, b)] + [(c, d)]
ya que a + c + b0 + d0 = b + d + a0 + c0 .
Además esta definición de suma en Z extiende a la suma ya definida en N. Si a, b ∈ N
entonces al identificar a, b con f (a) = [(a + 1, 1)], f (b) = [(b + 1, 1)] se tiene
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f (a) + f (b) = [(a + b + 2, 2)] = [(a + b + 1, 1)] = f (a + b).
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Todas las propiedades de la suma en N se siguen cumpliendo:
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Estas igualdades dicen que a, b se pueden sumar en primer lugar e identificarlos como
elementos de Z o bien hacer el proceso en orden inverso.
− es asociativa:
[(a, b)] + [(c, d)] + [(e, f )] = [(a, b)] + [(c + e, d + f )]
= [(a + (c + e), b + (d + f ))]
= [((a + c) + e, (b + d) + f )]
= [(a, b)] + [(c, d)] + [(e, f )]
− tiene elemento neutro: [(1, 1)] ∈ Z es un elemento que sumado con cualquier otro
da ese otro número, [(a, b)] + [(1, 1)] = [(a, b)]
− todo elemento tiene opuesto: [(a, b)] + [(b, a)] = [(1, 1)]
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− es conmutativa: [(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c, b + d)] = [(c + a, d + b)] = [(c, d)] + [(a, b)]
2. Los números naturales, enteros y racionales – 3
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− Es una aplicación: a cada n ∈ N le corresponde una imagen y esa imagen es única
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La multiplicación en Z se define ası́:
[(a, b)] · [(c, d)] = [(ac + bd, ad + bc)].
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Estas propiedades se suelen resumir diciendo que (Z, +) es un grupo conmutativo o abeliano
(Un conjunto que tiene definida una operación asociativa, con elemento neutro y elemento
opuesto se llama grupo. Si además la operación es conmutativa se dice que el grupo es
conmutativo o abeliano.)
Esta definición es correcta (no depende de los representantes elegidos). Para probarlo se
puede hacer en dos pasos: si (a, b) ∼ (a0 , b0 ) y (c, d) ∼ (c0 , d0 ) entonces (cada una de las
igualdades es un ejercicio sencillo)
[(a, b)] · [(c, d)] = [(a0 , b0 )] · [(c, d)] = [(a0 , b0 )] · [(c0 , d0 )].
La multiplicación de números enteros extiende a la multiplicación de N, es asociativa,
conmutativa y tiene elemento unidad. Además es distributiva con respecto a la suma. Se
dice que (Z, +, ·) es un anillo conmutativo.
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Se puede definir un orden en Z mediante
[(a, b)] < [(c, d)] ⇐⇒ a + d < b + c.
De nuevo se trata de una definición que no depende del representante elegido y que extiende
al orden de N. Se trata de una relación transitiva, antisimétrica y total (es un orden total
que extiende al existente en N.) Además es compatible con la suma
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[(a, b)] < [(c, d)] ⇒ [(a, b)] + [(e, f )] < [(c, d)] + [(e, f )]
y con la multiplicación
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Se tiene entonces que (Z, +, ·) es un anillo conmutativo ordenado que hereda las
propiedades de los números naturales. Los números enteros positivos se representan como
los naturales de los que son la imagen: {1, 2, 3, . . .}. El neutro se representa como 0.
Los demás son los opuestos de todos estos y se representan como {−1, −2, −3, . . .}. Por
ejemplo, [(9, 6)] se representa como 3 y [(2, 8)] se representa como −6. Con esta notación
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
En este conjunto se puede definir la resta
[(a, b)] − [(c, d)] = [(a, b)] + (−[(c, d)]) = [(a, b)] + [(d, c)],
ya que todo elemento tiene opuesto.
Se suele escribir N ⊂ Z para indicar la existencia de esta aplicación inyectiva
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[(a, b)] < [(c, d)], [(e, f )] > 0 ⇒ [(a, b)] · [(e, f )] < [(c, d)] · [(e, f )].
(N, +, ·, <) ,−→ (Z, +, ·, <)
2. Los números naturales, enteros y racionales – 4
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que extiende la estructura de N a Z. Estos números enteros permiten operaciones del tipo
5 − 14 que no podı́an hacerse en N. Sin embargo, cómo dividir una cantidad en partes
iguales representa un valor generalmente no entero.
En el conjunto Z×(Z \ {0})) se define la relación: (a, b) ∼ (c, d) si ad = bc. Esta relación
es de equivalencia (reflexiva, simétrica y transitiva) y genera una clasificación en dicho
conjunto. Al conjunto cociente
Q = Z× Z \ {0} /∼
se le llama conjunto de números racionales, y se representa por Q.
Se puede considerar Z como una parte de Q mediante la aplicación
f : a ∈ Z → [(a, 1)] ∈ Q
que es inyectiva pero no sobreyectiva, f (Z)
Q. Se suele escribir Z ⊂ Q.
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Operaciones con números racionales. Se define la suma en Q mediante
[(a, b)] + [(c, d)] = [(ad + bc, bd)]
que no depende de los representantes elegidos. Además extiende a la suma en Z, es decir,
si a, b ∈ Z entonces f (a + b) = f (a) + f (b).
Es fácil comprobar que la suma en Q es asociativa, conmutativa, tiene a [(0, 1)] como
elemento neutro y cada elemento [(a, b)] tiene su opuesto −[(a, b)] = [(−a, b)] = [(a, −b)].
En resumen, (Q, +) es un grupo abeliano.
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[(a, b)] · [(c, d)] = [(ac, bd)]
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que de nuevo no depende de los representantes elegidos y extiende a la multiplicación de
Z.
Es sencillo probar que el producto en Q es asociativo, conmutativo, tiene a [(1, 1)] como
elemento unidad y cada elemento no nulo [(a, b)] tiene su inverso [(a, b)]−1 = [(b, a)].
Además se tiene la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma.
Ası́, (Q, +, ·) es un cuerpo conmutativo que hereda las operaciones de N y Z y añade una
nueva, la división:
[(a, b)] : [(c, d)] = [(a, b)] · [(c, d)]−1 .
Orden en los números racionales. Cada elemento de [(a, b)] ∈ Q puede considerarse
con b > 0 (con denominador positivo). Con esta suposición de denominadores positivos
(b, d > 0), se define
[(a, b)] < [(c, d)] si ad < bc.
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Se define el producto en Q mediante
Se comprueba con facilidad que no depende de los representantes elegidos y es un orden
que extiende al orden de Z.
2. Los números naturales, enteros y racionales – 5
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Además es compatible con las operaciones
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[(a, b)] < [(c, d)], [(e, f )] > 0 ⇒ [(a, b)] · [(e, f )] < [(c, d)] · [(e, f )].
Ası́ (Q, +, ·, <) es un cuerpo ordenado: todo elemento no nulo tiene inverso.
La cadena de inclusiones
(N, +, ·, <) ,−→ (Z, +, ·, <) ,−→ (Q, +, ·, <)
se suele escribir como N ⊂ Z ⊂ Q.
Este cuerpo de los números racionales es arquimediano: dados [(a, b)], [(c, d)] ∈ Q con
[(c, d)] > 0 existe n ∈ N que verifica [(a, b)] < n[(c, d)], donde n[(c, d)] significa la suma de
n términos [(c, d)]+ . n. . +[(c, d)]. Se puede escribir ası́:
[(a, b)], [(c, d)] ∈ Q, [(c, d)] > 0
∃n ∈ N : [(a, b)] < n[(c, d)].
=⇒
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Esta propiedad dice que cualquier número racional positivo sumado suficientes veces
consigo mismo es mayor que cualquier otro número. También se cumple en N y en Z;
en Q es una consecuencia de aquellas.
Los números racionales se representan con fracciones
[(a, b)] =
y por tanto
a
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[(a, b)] = [(2a, 2b)] = [(3a, 3b)] = . . . =
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= = = ...
3
6
9
Entre cada dos números racionales p, q ∈ Q hay siempre otro número racional, por ejemplo,
(p + q)/2. Eso hace que haya infinitos números racionales entre p y q. Esta propiedad dice
que hay números racionales “por todas partes” lo que induce a pensar que son todos los
números. Sin embargo ya hace tiempo que se conocen magnitudes (números) que no son
racionales.
El conjunto Q de números racionales es un espacio vectorial sobre Q y tiene dimensión
1. Una base por ejemplo es {1}, ya que cada elemento x ∈ Q puede escribirse como una
combinación lineal x = x · 1. Ası́, todos estos conjuntos N ⊂ Z ⊂ Q se representan en una
recta. Una recta que aparentemente se rellena al ir colocando todos los números en ella.
¿Los números racionales ocupan la totalidad de la recta? La respuesta, que se verá más
abajo, es no. Hay huecos en esa recta: nuevos números que no son racionales.
El tamaño del conjunto de los números racionales puede resultar algo engañoso. Por
definición, se llama cardinal de un conjunto al número de elementos que tiene. A finales
del siglo XIX, el matemático G. Cantor amplió esta definición a conjuntos infinitos. Dos
conjuntos tienen el mismo cardinal si existe una aplicación biyectiva entre ellos. Se llama
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[(2, 3)] = [(4, 6)] = [(6, 9)] = . . . =
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Por ejemplo,
2a
3a
a
=
=
= ...
b
2b
3b
2. Los números naturales, enteros y racionales – 6
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[(a, b)] < [(c, d)] ⇒ [(a, b)] + [(e, f )] < [(c, d)] + [(e, f )]
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f : N −→ A
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2n
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conjunto numerable a cualquier conjunto con el mismo cardinal que N, que se escribe
card(N) = ℵ0 (ℵ es la letra ’alef’ o ’aleph’ hebrea, http://es.wikipedia.org/wiki/Alef).
Un conjunto A es numerable si existe una aplicación biyectiva f : N −→ A. Por ejemplo,
el conjunto de números pares A = {2, 4, 6, ...} = {2n : n ∈ N} es numerable, se escribe
card(A) = ℵ0 , y una aplicación biyectiva es
Un conjunto es numerable si sus elementos se pueden colocar en una fila infinita y
numerada: hay elemento 1, elemento 2, elemento 3,. . . Los elementos de un conjunto
numerable se pueden ir colocando de uno en uno dentro de las casillas del esquema
siguiente:
1
2
3
4
5
Una construcción ası́ se conoce como “hotel de Hilbert”, un hotel con infinitas habitaciones, la 1, la 2,. . .
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De forma sencilla se puede comprobar también que card(Z) = ℵ0 . Sorprendentemente,
también se tiene
card(Q) = card(Z) = card(N) = ℵ0 .
Para probarlo es suficiente saber colocar los elementos (de momento sólo se tratan los
positivos) de Q en una fila numerada 1, 2, 3, . . . ası́:
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Según indica el dibujo, se van eligiendo los números de las diagonales A, B, C, D, . . . de
forma ordenada
1 2 1 3 2 1 4
, , , , , , ,...
1 1 2 1 2 3 1
Los elementos de la diagonal A son las fracciones p/q con p, q > 0 y p + q = 2; los de la
diagonal B son las fracciones p/q con p, q > 0 y p + q = 3, etcétera.
Este argumento de “diagonalización” permite numerar conjuntos como Q, aunque hay
otras formas de poder numerarlos. Por último, para los números racionales negativos se
puede razonar de la misma forma. Además, es fácil argumentar qué se hace con los números
racionales, tanto los positivos como negativos.
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Sin embargo, a pesar que Q es infinito y que sus elementos están por todas partes al
representarlos en la recta, su tamaño no es lo suficientemente grande como para rellenar
esa recta completamente.
2. Los números naturales, enteros y racionales – 7
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La diagonal de un cuadrado de lado 1 es un número que no puede
escribirse como una fracción. Según el teorema de Pitágoras, d2 =
12 +12 = 2, y esto permite demostrar que d no es racional. Por reducción
al absurdo, se supone que d es racional, es decir, existen p, q enteros
positivos tales que d = p/q. Se puede suponer que la fracción p/q es
irreducible, es decir, p y q primos entre sı́ o también mcd(p, q) = 1.
Como d = p/q entonces 2 = d2 = p2 /q 2 y ası́ p2 = 2q 2 es un número par. Entonces p es
par y p2 es múltiplo de 4. Luego 2q 2 es múltiplo de 4 y por tanto q 2 debe ser par, lo que
obliga a que q sea par. Se llega a una contradicción: p y q son pares.
Este número d no es racional. Es√otro tipo de número. De él se conoce que verifica d2 = 2,
que suele escribirse como d = 2, y que no es una fracción. Se puede ir aproximando
qué número debe ser sabiendo que su cuadrado es 2. Este proceso no es difı́cil. Se trata
de ir comprobando qué cifras se pueden ir añadiendo para que al elevar al cuadrado salgan
cantidades menores que 2 y cada vez más cercanas a 2. Se obtienen números
1
10 4
10 41
10 414
10 4142 . . .
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cuyos cuadrados son menores que 2 aunque cada vez se aproximan más a 2. Este proceso
se
√ puede hacer más rápido con el algoritmo de la raı́z cuadrada. En el caso del cálculo de
2 es ası́:
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Los números reales R se construirán a partir de los
racionales como números que pueden ser aproximados
en un sentido que se explicará más adelante. Esta idea
de números que se consiguen mediante aproximación
es el motivo por el que aparecen sucesiones de números
racionales.
Otros números no racionales conocidos (y algunos no tan conocidos) son
• π, la constante descubierta por Euclides que indica la proporción entre la longitud
de una circunferencia y su diámetro. Su valor es π = 30 141593... y se conocen miles
de millones de cifras decimales. Es un número trascendente, es decir, no es raı́z de
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√
Esta cantidad
2 representa un “agujero” en el
sistema de números racionales. Se habla de cantidades
inconmensurables, como la diagonal del cuadrado y su
lado.
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y se van obteniendo los términos de la sucesión √(1, 10 4, 10 41, 10 414, 10 4142, . . .) que
representa (este término habrá que precisarlo más) a 2.
2. Los números naturales, enteros y racionales – 8
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• e, la base de los logaritmos neperianos, cuyo valor es e = 20 71828182... y que verifica
n
∞
X
1
1
= lı́m 1 +
= 2, 718281828459045 . . .
e=
n! n→∞
n
n=0
• a = 00 10100100010000 . . ., un número cuya expresión decimal ni es finita ni es
periódica.
• u = 00 123456789101112 . . ., un número que contiene en su expresión decimal
cualquier número natural. Por ejemplo, es este número aparecen todos los números
de teléfono de todos los alumnos de esta universidad. Si se codifican las letras
del alfabeto mediante números, por ejemplo, a = 23, b = 24, . . . , A = 70, B =
71, . . . , espacio = 99, . . ., en la expresión de u aparece la palabra ’Baba’ (el apellido
–sin tilde– del famoso personaje del cuento de los ladrones), y aparece infinitas veces.
Esta palabra es, después de la codificación, 71232423.
De la misma forma, cualquier texto conocido, como ’El Quijote’ o ’La Ilı́ada y la
Odisea’ aparecen en la expresión decimal de u. Y también cualquier variación suya,
como por ejemplo alguna versión que tenga algunos errores de escritura, o la versión
escrita al revés, las letras en orden inverso. También está cualquier periódico de
mañana, los mensajes que se vayan a escribir en el móvil dentro de dos dı́as,...
Incluso se podrı́a pensar en hallar todas estas cosas en alguna versión finita de u, ya
que todos estos números de los que se ha hablado están acotados.
El escritor Borges, en su relato ’La Biblioteca de Babel’ hace un juego similar sobre
una biblioteca un tanto especial y los libros que puede contener.
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Aparecen nuevos problemas aparentemente simples como “¿qué número es u + u?”,
entendiendo que 2u no es la respuesta esperada.
2. Los números naturales, enteros y racionales – 9
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∞
π2 X 1
=
6
n2
n=1
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ningún polinomio con coeficientes enteros. Hay muchas expresiones cuyo resultado
está relacionado con él, como por ejemplo