Cardinalidad - Gestionar Fondos

Cardinalidad
Dados dos conjuntos A y B, decimos que A es equivalente a B, o que A y B tienen la
misma potencia, y lo notamos A ∼ B, si existe una biyección de A en B. Es fácil probar
que ∼ es una relación de equivalencia entre conjuntos. La clase de equivalencia de un
conjunto A es el conjunto
A = {B/B ∼ A}.
El cardinal o potencia de A es la clase de equivalencia de A. Frecuentemente, para
describir una de estas clases, especificaremos un elemento que pertenece a ella, que la
represente.
Algunos cardinales tienen sı́mbolos asignados. Por ejemplo
∅ = 0;
{1, 2, ..., n} = n;
N = ℵ0 ;
R = c.
El sı́mbolo ℵ se lee alef y corresponde a la primera letra del alfabeto hebreo. La
potencia de R, R = c, se llama la potencia del continuo.
Un conjunto se dice finito si tiene cardinal 0 ó n, n ∈ N. En otro caso el conjunto
se dice infinito. Los cardinales 0 ó n, n ∈ N se llaman cardinales finitos. Cualquier otro
cardinal se llama cardinal transfinito. Un conjunto que tiene cardinal finito o ℵ0 se llama
numerable; en otro caso el conjunto se llama no numerable.
Teorema 0.1 Si A es numerable y B ⊂ A entonces B es numerable.
Demostración. Si A es finito y B ⊂ A, B es finito. Supongamos que A es infinito entonces
A = ℵ0 , es decir que existe f : A → N biyectiva. Luego f : B → f (B) ⊆ N es biyectiva.
Si f (B) es finito entonces B es finito.
Supongamos que f (B) es infinito. Sea n1 = mı́n f (B), n2 = mı́n f (B) − {n1 }, etc.
Luego la aplicación g : f (B) → N, g(nk ) = k es biyectiva y f (B) es numerable.
Corolario 0.2 Si A no es numerable y A ⊂ B entonces B no es numerable.
Teorema 0.3 Todo conjunto infinito contiene un subconjunto infinito numerable.
Demostración. Sea A un conjunto infinito. Construimos una sucesión de elementos de A
de la siguiente forma: sea α1 ∈ A. A − {α1 } 6= ∅, pues, de otro modo A serı́a finito. Sea
α2 ∈ A − {α1 }. De manera inductiva sea αn ∈ A − {α1 , ..., αn−1 } (A − {α1 , ..., αn−1 } =
6 ∅
pues, si no, A serı́a finito). Observemos que si n 6= m, αn 6= αm . Luego B = (αn ) ⊂ A y
f : B → N, f (αn ) = n es una biyección.
Corolario 0.4 Todo conjunto infinito es equivalente a un subconjunto propio. Es decir,
dado A un conjunto infinito, existe una biyección de A en un subconjunto propio de A.
Demostración. Si A es infinito, por el teorema anterior, existe B ⊂ A, B = (αn ) infinito
numerable. Definamos f como la identidad en A \ B yf (αn ) = αn+1 . Entonces f es una
biyección de A en A − {α1 }.
Para ordenar cardinales finitos podemos decir que, dados A y B conjuntos finitos
A < B si existe una biyección de A en un subconjunto propio de B. Observemos que
esta definición de orden no es satisfactoria para cardinales transfinitos: por ejemplo, las
correspondencias
n → n + 1, n → 2n, n → n2 .
son biyecciones de N en subconjuntos propios de N.
Dados dos conjuntos A y B, A ≤ B si existe una aplicación inyectiva f : A → B.
Es fácil ver que ≤ es reflexiva y transitiva. El siguiente teorema prueba que esta relación
es antisimétrica, es decir que si A ≤ B y B ≤ A entonces A = B. Se puede demostrar,
aplicando el axioma de elección, que dados dos cardinales, siempre son comparables.
Teorema 0.5 (de Cantor-Bernstein) Sean A y B dos conjuntos tales que existen aplicaiones inyectivas f : A → B y g : B → A. Entonces A y B son equivalentes.
Demostración. Sea A1 = g(B) ⊂ A. Definimos A2 = g(f (A)), A3 = g(f (A1 )) y Ak+2 =
g(f (Ak )), k ∈ N (observemos que Ak+2 es equivalente a Ak ). Si A = A0 vale que Ak ⊃
Ak+1 , k ≥ 0 y
∞
[
A=
(Ak \ Ak+1 ) ∪ D,
(1)
k=0
∩∞
k=1 Ak .
donde D =
Análogamente,
A1 =
∞
[
(Ak \ Ak+1 ) ∪ D.
(2)
k=1
Reordenando las fórmulas (1) y (2) obtenemos que
A = D ∪ [(A1 \ A2 ) ∪ (A3 \ A4 )...] ∪ [(A \ A1 ) ∪ (A2 \ A3 ) ∪ ...]
A1 = D ∪ [(A1 \ A2 ) ∪ (A3 \ A4 )...] ∪ [(A2 \ A3 ) ∪ (A4 \ A5 ) ∪ ...]
Observemos que A\A1 es equivalente a A2 \A3 , A2 \A3 es equivalente a A4 \A5 , ect., luego
es posible construir una biyección entre A y A1 ya que las uniones que figuran en ambas
fórmulas son disjuntas. De este modo A y A1 son equivalentes y luego A y B también lo
son.
Corolario 0.6 Sean a y b dos cardinales tales que a ≤ b y b ≤ a entonces a = b.
Dados a y b dos cardinales, decimos que a es menor que b, y lo notamos a < b, si a ≤ b
y b a, es decir si A = a y B = b, existe una aplicación inyectiva f : A → B pero no
existe una aplicación inyectiva g : B → A.
Corolario 0.7 ℵ0 es el menor cardinal transfinito.
Demostración. Supongamos que A = ℵ0 y B = ℵ es transfinito. Por el Teorema 0.3 existe
f : A → B inyectiva. Luego ℵ0 ≤ ℵ.
Teniendo en cuenta el orden que definimos podemos decir que un conjunto A es finito
si A < ℵ0 , infinito si A ≥ ℵ0 , A es numerable si A ≤ ℵ0 y no numerable si A > ℵ0 .
Teorema 0.8 La unión de una familia numerable de conjuntos numerables es numerable.
Demostración. Sea {An }n∈N tal que cada An es numerable. Podemos suponer que los An
n−1
Ak , si n > 1). Es decir que
son disjuntos (si no, consideramos A01 = A1 , A0n = An \ ∪k=1
An = (ank )k∈N . Sea A = ∪n∈N An . Definimos la siguiente aplicación de A en N. El conjunto
A se mira como la siguiente “matriz” infinita
A1 : a11
a12
.
A2 : a21
.
a22
a14
...
.
a23
a24
...
a32
a33
a34
...
an2
an3
an4
.
A3 : a31
.
.
An : an1
.
.
a13
.
.
...
y se ordena ∪n An como indica el diagrama. Es decir, se consideran las diagonales ordenadas. Entonces se obtiene una aplicación f : A → N inyectiva (ya que algunos de los An
pueden ser finitos).
Observemos que en la demostración anterior hemos ordenado el conjunto de pares
ordenados de números naturales {(m, n) : m, n ∈ N} el siguiente modo: dados dos pares
(m, n) y (m0 , n0 ) consideramos que (m, n) < (m0 , n0 ) si m + n < m0 + n0 , es decir si el
primer par pertenece a una diagonal anterior al segundo. Si ambos pares están en la misma
diagonal, es decir si m + n = m0 + n0 entonces (m, n) < (m0 , n0 ) si m < m0 . Se deja como
ejercicio calcular la fórmula explı́cita de esta función.
Corolario 0.9 El conjunto de números racionales es numerable.
Demostración. Dado r ∈ Q, r = pq , p, q ∈ Z, q 6= 0. Para q ∈ Z, q 6= 0 fijo, sea Aq = { pq :
p ∈ Z}. Entonces Aq es numerable y Q = ∪q∈Z Aq . Luego Q es numerable.
Veamos algún ejemplo de un conjunto no numerable:
Teorema 0.10 El intervalo [0, 1] no es numerable.
Demostración. Basta ver que para toda sucesión (an )n∈N ⊂ [0, 1] puedo hallar un número
c ∈ [0, 1] que no pertenece a la sucesión. Para esto determinamos un intervalo [p1 , q1 ] ⊂
[0, 1] tal que a1 ∈
/ [p1 , q1 ] tal que q1 −p1 = 13 (éste será uno de los intervalos [0, 31 ], [ 31 , 23 ], [ 23 , 1]).
A continuación fijamos un intervalo [p2 , q2 ] ⊂ [p1 , q1 ] tal que a2 ∈
/ [p2 , q2 ] y q2 − p2 = 1/9.
En general determinamos un intervalo [pn , qn ] ⊂ [pn−1 , qn−1 ] tal que an ∈
/ [pn , qn ] y
1
qn − pn = 3n . T
Sea {c} = ∞
n=1 [pn , qn ], es decir c = lı́mn pn = lı́mn qn . Entonces c 6= an , ∀n ya que
an ∈
/ [pn , qn ].
Corolario 0.11 R no es numerable y c = R > ℵ0 .
A continuación veremos que dado un cardinal arbitrario ℵ siempre existe un cardinal
mayor. Dado un conjunto A, consideremos el conjunto partes de A, P(A) = {X : X ⊆
A}, de todos los subconjuntos de A.
Este conjunto es equivalente al conjunto de funciones de A en {0, 1}, que notaremos
{0, 1}A (es decir, {0, 1}A = {f : A → {0, 1}}). Para ver esta equivalencia basta considerar la aplicación g : P(A) → {0, 1}A , g(B) = χB , donde B ⊂ A y χB es la función
caracterı́stica de B, i.e.,

 1 si x ∈ B
χB (x) =
 0 si x ∈
/ B.
Teniendo en cuenta esta observación, si A = ℵ el cardinal de P(A) será notado 2ℵ , es
decir 2ℵ = P(A) = {0, 1}A .
Teorema 0.12 Para cualquier cardinal ℵ, ℵ < 2ℵ .
Demostración. Supongamos que A = ℵ. La aplicación f : A → P(A), f (a) = {a}, a ∈ A
es inyectiva y luego ℵ ≤ 2ℵ . Veamos que no puede existir una biyección g : A → P(A).
Sea g : A → P(A) cualquier aplicación. Veamos que la imagen de g es un conjunto
propio de P(A). Sea B ⊆ A definido como B = {a ∈ A : a ∈
/ g(a)} entonces B ∈
/ Im g y
B ∈ P(A) pues supongamos que B = g(a0 ) para algún a0 ∈ A. Entonces a0 ∈ B si y sólo
si a0 ∈
/ g(a0 ) = B lo cual es absurdo.
1.
Operaciones con números cardinales
La suma de dos números cardinales m y n es, por definición, la potencia de la unión
de dos conjuntos disjuntos A y B tales que A = m y B = n. Si denotamos m + n a esta
suma, entonces
m + n = A ∪ B,
donde A ∩ B = ∅, A = m y B = n.
Observemos que si A = m y B = n entonces los conjuntos A1 = {1}×A y B1 = {2}×B
son disjuntos y A1 = A y B1 = B.
El producto mn de los números cardinales m y n se define como
mn = A × B,
donde A = m y B = n.
Ejercicio: Demostrar que si m, n ∈ N entonces las definiciones anteriores coinciden con
las operaciones de suma y producto en N.
Ejercicio: Probar que si n ∈ N entonces ℵ0 + ℵ0 = ℵ0 , ℵ0 ℵ0 = ℵ0 y ℵ0 n = ℵ0 .
La suma y el producto satisfacen las propiedades asociativa y conmutativa.
Proposición 1.1 (Propiedad distributiva) Si m, n, p son cardinales entonces
m(n + p) = mn + mp.
Demostración. Sean A, B y C tales que A = m, B = n, C = p y B ∩ C = ∅. Entonces
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).
Además (A × B) ∩ (A × C) = ∅. Luego A × (B ∪ C) = A × B + A × C.
Corolario 1.2 Si a y n son cardinales, n ∈ N, entonces
an = a + a + ... + a,
en donde el segundo miembro tiene n términos.
Demostración. Aplicar inducción sobre n y la propiedad distributiva.
Dados dos conjuntos A y B, el conjunto de funciones de A en B se nota B A . Es decir
que
B A = {f : A → B, f función }.
Si A = a y B = b definimos el cardinal
ba = B A
Es fácil ver que se verifican las siguientes fórmulas
nm+p = nm np
(mn)p = mp np
(nm )p = mmp
donde m, n y p son números cardinales.
Recordemos que P(X) = {0, 1}X , para cualquier conjunto dado X. luego, por definición,
P(X) = 2X .
2.
Propiedades del numero c
Definimos el número c como la potencia de R. Dados a, b ∈ R, (a, b) = [a, b] = R = c,
ya que dos intervalos arbitrarios (a, b) y (c, d) siempre son equivalentes y (− π2 , π2 ) es
equivalente a R, pues f : (− π2 , π2 ) → R, f (x) = tg x es una biyección. Como c = (a, b) ≤
[a, b] ≤ R = c , ya que (a, b) ⊂ [a, b] ⊂ R y ,(a, b) = c, resulta que estos cardinales
coinciden.
Ejercicio: Probar que c = c + n = c + ℵ0 = c + c = nc, donde n ∈ N.
La siguiente proposición vincula los cardinales ℵ0 y c.
Proposición 2.1 2ℵ0 = c.
Demostración. Sea A = {0, 1}N , es decir el conjunto de sucesiones de ceros y unos. Entonces A = 2ℵ0 . Sea B el subconjunto de A de las sucesiones (xn ) tales que xm = 0 si
m ≥ n0 , para algún n0 ∈ N. Definimos f : A → R de la siguiente forma:
si x = (xn ) ∈ B
∞
X
xi
= (0, x1 x2 ...)2 ,
f (x) =
i
2
i=1
si x = (xn ) ∈ A \ B
f (x) = 1 +
∞
X
xi
i=1
2i
= (1, x1 x2 ...)2 .
La función f es inyectiva y
(1, 2) ⊂ f (A) ⊂ R.
Luego, f (A) = c = A.
Corolario 2.2 ℵℵ0 0 = c = cℵ0 .
2
Demostración. 2ℵ0 ≤ ℵℵ0 0 ≤ cℵ0 = (2ℵ0 )ℵ0 = 2ℵ0 = 2ℵ0 .
Aquı́ usamos la siguiente propiedad: si m, n y p son cardinales tales que m ≤ n entonces
mp ≤ np .
Corolario 2.3 c = cℵ0 = c2 = cℵ0 .
Demostración. c ≤ cℵ0 ≤ c2 ≤ cℵ0 = c.
Corolario 2.4 2c = ℵ0 c = cc .
Demostración. cc = (2ℵ0 )c = 2ℵ0 c = 2c , pues aplicando el corolario anterior ℵ0 c = c.