Orbitas de Particulas Relativistas

Agri non omnes frugiferi sunt
Not all fields are fruitful
Cicero (106 BC–43 BC), Tusc. Quaest., 2, 5, 13
19
Órbitas de Partı́culas Relativistas
Las partı́culas que se mueven a grandes velocidades, cercanas a la velocidad de
la luz, son llamadas partı́culas relativistas. Si tales partı́culas interactúan unas
con otras o con un potencial externo, exhiben efectos cuánticos que no se pueden
describir por las fluctuaciones de la órbita de una sola partı́cula. En intervalos
temporales cortos, se crean o aniquilan partı́culas adicionales o pares de partı́culas
y antipartı́culas, por lo que el número total de las órbitas de las partı́culas ya no
es un invariante. La mécanica cuántica ordinaria, en la que se supone siempre
un número fijo de partı́culas, no puede describir tales procesos. La integral de
trayectoria asociada tiene el mismo problema, ya que es una suma sobre un número
dado de órbitas de partı́culas. Ası́, aún si la cinemática relativista se incorpora
apropiadamente, la integral de trayectoria no puede dar una descripción precisa
de las partı́culas relativistas. Será necesaria una extensión que incluya un número
arbitrario de órbitas fluctuantes mutuamente eslabonas y sus ramales.
Afortunadamente, existe una manera más eficiente de lidiar con partı́culas relativistas. La provee la teorı́a cuántica de campos. En la Sección 7.14, hemos demostrado que un ensemble gran canónico de órbitas de partı́culas se puede describir
por medio de la integral funcional de un solo campo fluctuante. Los puntos rama
de las partı́culas filamentales recien creadas se tienen en cuenta mediante términos
anarmónicos en la acción del campo. El cálculo de los efectos se hace en teorı́a de
perturbación, la cual se realiza sistemáticamente en términos de diagramas de Feynman, cuyas reglas de cálculo son muy similares a las de la Sección 3.18. Nuevamente
habrá lı́neas y vértices de interacción, la diferencia principal se encuentra en que las
lı́neas son funciones de correlación de los campos y no sólo varibles de posición x(t).
Las lı́neas y los vértices representan una imagen directa de la topologı́a de la lı́nea
universo de las partı́culas y sus posibles colisiones y creaciones.
La teorı́a cuántica de campos ha sido tan exitosa, por lo cual resulta muy ventajoso describir la mecánica estadı́stica de muchos objetos filamentales completamente diferentes en términos campos fluctuantes. Un ejemplo importante es la
teorı́a cuántica de polı́meros de la Sección 15.12. Otro dominio importante donde
la teorı́a ha sido extremadamente exitosa es en la teorı́a de defectos filamentales en
cristales, superfluidos y superconductores. En los dos últimos sistemas, los defec1443
1444
19 Órbitas de Partı́culas Relativistas
tos aparecen en forma de lı́neas de vórtices cuantizadas o lı́neas de flujo magnético
cuantizado, respectivamente. La entropı́a, de perfil clásico, de sus fluctuaciones determina la temperatura a la que tienen lugar las transiciones de fase. En lugar de
describir estos sistemas como ensembles de partı́culas con sus interacciones, lo cual
es la forma usual, se ha desarrollado una teorı́a de campo cuyos diagramas de Feynman son una representación directa de los defectos filamentales, la llamada teorı́a
de campo desordenado [1].
La ventaja más importante de la teorı́a de campo es que describe muy fácilmente
las transiciones de fase, en las cuales las partı́culas forman un condensado. La teorı́a
de desorden es por lo tanto particularmente apropiada para entender transiciones
de fase en las cuales proliferan defectos, vórtices o lı́neas de flujo, mismos que se
observan en el proceso de fusión de cristales, transiciones del estado superfluido
al estado normal o del estado superconductor al estado normal, respectivamente.
De hecho, la teorı́a de desorden es hasta ahora la única teorı́a en la cual el comportamiento crı́tico de los superconductores cerca de la transición de fase queda
entendido apropiadamente [2].
Una teorı́a cuántica de campos particular, llamada electrodinámica cuántica,
describe con gran éxito las interacciones electromagnéticas de electrones, muones,
quarks y fotones. La teorı́a se ha extendido exitosamente para incluir las interacciones débiles entre estas partı́culas y adicionalmente neutrinos, usando sólo algunos
campos cuantizados de Dirac lo mismo que el uso de potenciales vectoriales electromagnéticos cuantizados. La inclusión de un campo con norma no abeliana, el
campo del gluón, es un buen candidato para explicar todas las caracterı́sticas de las
interacciones fuertes.
En realidad es innecesario reproducir en una formulación orbital la gran cantidad de resultados obtenidos en el pasado utilizando la actual teorı́a de interacciones
electromagnéticas débiles y fuertes. De hecho, la formulación orbital fue propuesta
anteriormente por Feynman, en 1950 [3], pero nunca fue más alla debido al éxito de la
teorı́a cuántica de campos. Sin embargo, recientemente esta formulación se reactivó
debido a la aparición de una gran cantidad de publicaciones [4, 5]. La principal motivación de esto se encuentra en otro campo de investigación fudamental: la teorı́a de
cuerdas de las partı́culas fudamentales. En esta teorı́a, todas las partı́culas elementales se supone que son estados excitados de un solo objeto filamental con tensión,
diversas dificultades para obtener una teorı́a consistente en el espacio-tiempo han
conducido a una extensión, utilizando grados de libertad fermiónicos, cuyo resultado
obtenido es la llamada supercuerda. Las cuerdas que se mueven en el espacio-tiempo
forman superficies universo en lugar de lı́neas universo. Estas cuerdas no poseen una
formulación en la teorı́a cuántica de campos de segunda cuantización. Se han desarrollado elaboradas reglas para las integrales funcionales que describen la división
y aparición de las cuerdas. Si se cancela un grado de libertad en tal supercuerda,
tenemos una teorı́a de la división y surgimiento de lı́neas universo de las partı́culas.
Como una aplicación de las reglas de cálculo de las cuerdas, se han recalculado
procesos conocidos en la teorı́a cuántica de campos usando las reglas reducidas de
las supercuerdas. En este texto, daremos una pequeña probada de tales cálculos
19.1 Caracterı́sticas Especiales de las Integrales de Trayectoria Relativistas
1445
evaluando el cambio de la energı́a del vacı́o de campos electromagnéticos causado
por fluctuaciones relativistas de partı́culas sin espı́n y con espı́n 1/2.
Debe de hacerse notar que hasta ahora no se ha obtenido ningún resultado de
importancia de la teorı́a de supercuerdas,1 no hay necesidad de ahondar más en el
tema.
Mediante una breve introducción al tema, daremos un tributo a algunos desarrollos históricos en la mecánica cuántica, donde la generalización relativista de
la ecuación de Schrödinger fue un paso importante hacia el desarrollo de la teorı́a
cuántica de campos [6]. Por esta razón, muchos textos de teorı́a cuántica de campos empiezan con una discusión de la mecánica cuántica relativista. En analogı́a,
incorporaremos la cinemática relativista en las integrales de trayectoria.
Notemos que una posibilidad estética para obtener una estadı́stica en términos
de trayectorias de Fermi se basa en la teorı́a de Chern-Simons del entrelazamiento,
discutida en el Capı́tulo 16. Sin embargo, este enfoque está aún restringido a 2 + 1
dimensiones espacio-temporales [7], una extensión al espacio-tiempo fı́sico de 3 + 1
dimensiones no parece vislumbrarse aún.
19.1
Caracterı́sticas Especiales de las Integrales de
Trayectoria Relativistas
Considérese un partı́cula puntual de masa M moviendose libremente en el espaciotiempo de Minkowski de 3+1 dimensiones a una velocidad relativista. Su descripción
en términos de las integrales de trayectoria se formula en forma conveniente en
el espacio-tiempo Euclidiano de cuatro dimensiones donde las fluctuaciones de las
lı́neas universo son bastante parecidas a las fluctuaciones de los polı́meros, discutidas
en el Capı́tulo 15.
Ası́, usaremos un tiempo imaginario, i.e.,
t = −iτ = −ix4 /c,
(19.1)
y la longitud del cuatro-vector x = (x, x4 ) estará dada por
x2 = x2 + (x4 )2 = x2 + c2 τ 2 .
(19.2)
Si xµ (λ) representa una parametrización arbitraria de la órbita, la acción Euclideana
clásica es proporcional a la longitud invariante de la órbita en el espacio-tiempo:
S=
Z
λb
λa
q
dλ x′2 (λ),
(19.3)
de donde tendremos
Acl,e = McS,
1
(19.4)
Esta teorı́a paga el precio de haber gozado del más alto nivel de popularidad en la historia de
la ciencia, donde sus desarrolladores disfrutaron de un gran apoyo económico. La situación es muy
similar a la medieval visión geocéntrica del universo.
1446
19 Órbitas de Partı́culas Relativistas
o, explı́citamente,
Acl,e = Mc
Z
λb
λa
ds(λ),
(19.5)
donde
ds(λ) ≡ dλ
q
q
x′2 (λ) = dλ x′2 (λ) + c2 τ ′2 (λ).
(19.6)
Las variables primadas representan las derivadas con respecto al parámetro λ. La
acción es independiente de la elección de la parametrización. Si λ se reemplaza por
un nuevo parámetro
λ → λ̄ = f (λ),
(19.7)
entonces
1 ′2
x ,
f ′2
dλ → dλ f ′,
x′2 →
(19.8)
(19.9)
de tal manera que tanto ds como la acción permanecen invariantes.
Calculemos ahora la amplitud Euclidiana de la lı́nea universo de la partı́cula
que va del punto del espacio-tiempo xa = (xa , cτa ) al punto xb = (xb , cτb ). Por
generalidad, tratamos el caso de un espacio-tiempo Euclidiano en D dimensiones.
Observemos antes que la acción dada en la Ec. (19.5) no permite por sı́ misma un
cálculo fácil de la integral de trayectoria sobre e−Acl,e /h̄ . Por otro lado, existe una
forma alternativa de la acción clásica, la cual es más conveniente para el propósito
actual. Esta otra forma involucra un campo auxiliar h(λ), con lo cual tenemos:
Āe =
Z
λb
λa
"
#
Mc ′2
Mc
dλ
.
x (λ) + h(λ)
2h(λ)
2
(19.10)
Esta expresión tiene la ventaja de que contiene la órbita de la partı́cula en su forma
cuadrática, tal como el caso de la acción libre no-relativista. El campo auxiliar h(λ)
se introduce para asegurar que las órbitas clásicas de la acción (19.10) coinciden
con las órbitas de la acción original (19.5). De hecho, extremizando la acción Āe
respecto de h(λ) obtenemos la relación
q
x′2 (λ).
h(λ) =
(19.11)
Sustituyendo de nuevo este resultado en Āe , obtenemos la acción clásica
Acl,e = Mc
Z
λb
λa
q
dλ x′2 (λ),
la cual es igual a la acción dada por la Ec. (19.5).
(19.12)
1447
19.1 Caracterı́sticas Especiales de las Integrales de Trayectoria Relativistas
En este momento el lector puede creer que a pesar de que nueva acción (19.10)
describe la misma fı́sica clásica que la acción original (19.12), para el caso de una
partı́cula relativista esta acción podrı́a conducir a una fı́sica cuántica completamente
diferente. Sin embargo, con un poco de esfuerzo, se puede demostrar que esto no es
ası́. Dado que la demostración es bastante técnica, será dada en Apéndice 19A.
Para una configuración arbitraria de las fluctuaciones de las trayectorias, la
acción dada en la Ec. (19.12) y la acción de la Ec. (19.10) tienen en común la
propiedad de invarianza respecto a la reparametrización (19.7). Lo único que necesitamos es asignar un comportamiento apropiado a la transformación del campo
extra h(λ). Si λ se reemplaza por un nuevo parámetro λ̄ = f (λ), entonces x′2 y dλ
se transforman según las Ecs. (19.8) y (19.9) y la acción permanece invariante, y si
además h(λ) cambia simultáneamente en la forma
h → h/f ′ .
(19.13)
Ahora construiremos una integral de trayectoria para la partı́cula relativista asociada con la acción (19.10). Primero hallamos las sumas sobre las fluctuaciones de la
órbita considerando a h(λ) fija. Para encontrar la norma correcta de la integración,
usamos la formulación canónica en la cual la acción Euclidiana tiene la forma
Āe [p, x] =
Z
λb
λa
"
#
h(λ) 2
p + M 2 c2 .
dλ −ipx +
2Mc
′
(19.14)
Esta expresión debe particionarse en función del parámetro λ. Como es usual,
construimos N + 1 segmentos, escogiendo valores arbitrariamente pequeños ǫn =
λn − λn−1 dependientes de n, de donde hallamos que la partición de la acción tiene
la forma
ĀN
e [p, x]
=
N
+1
X
n=1
p2
Mc
−ipn (xn − xn−1 ) + hn ǫn n + ǫn hn
.
2Mc
2
"
#
(19.15)
En el espacio fase universal, la norma de esta integral de trayectoria es de la forma
[recordemos la Ec. (2.28)]
Z
D
D x
Z
N
D D p −Āe [p,x]/h̄ Y
e
≈
(2πh̄)D
n=1
Z
D
d xn
"
NY
+1 Z
n=1
dD pn −ĀNe [p,x]/h̄
. (19.16)
e
(2πh̄)D
#
Las variables del momentum pn se pueden integrar para obtener las integrales en el
espacio de las configuraciones (donde usamos λN +1 ≡ λb , hN +1 ≡ hb ) [comparemos
con la Ec. (2.79)]
1
q
2πh̄ǫb hb /Mc
D
N
Y
n=1



Z
D
d xn
q
2πh̄ǫn hn /Mc


D  exp
1
− ĀN
[x] ,
h̄ e
(19.17)
y donde la partición temporal de la acción en el espacio de las configuraciones es
ĀN
e [x]
=
N
+1 X
n=1
Mc
Mc
(∆xn )2 + ǫn hn
.
2hn ǫn
2
(19.18)
1448
19 Órbitas de Partı́culas Relativistas
Con esto, en la Ec. (19.17) las integrales Gaussianas sobre xn se pueden evaluar
usando sucesivamente la fórmula (2.75), de donde encontramos [tal como hemos
hallado en la Ec. (2.80)]
Mc (xb − xa )2 Mc
exp
−
−
S ,
q
D
2h̄
S
2h̄
2πh̄S/Mc
"
1
#
(19.19)
donde S es la longitud total de la órbita particionada
N
+1
X
S≡
ǫn hn ,
(19.20)
dλ h(λ).
(19.21)
n=1
y donde el lı́mite continuo tendremos
S=
Z
λb
λa
El resultado de la Ec. (19.19) no depende de la función h(λ) pero sı́ de S, lo
cual es una consecuencia de la invariancia de la integral de trayectoria ante la
reparametrización. Mientras que el intervalo total de λ cambia bajo la transformación, la longitud total S de la Ec. (19.21) es invariante bajo las transformaciones
de juntura de las Ecs. (19.7) y (19.13). Esta invariancia es la que permite que sólo
la longitud invariante S aparezca en la expresión integrada (19.19), y la integral de
trayectoria sobre h(λ) se puede reducir a un integral simple sobre S. La integral de
trayectoria apropiada para la amplitud de evolución temporal será
(xb |xa ) = N
Z
∞
0
dS
Z
Dh Φ[h]
Z
D D x e−Āe /h̄ ,
(19.22)
donde N es el factor de normalización y Φ[h] una funcional que fija la norma en
forma apropiada.
19.1.1
La Elección más Simple de la Norma
La elección más simple de la funcional que fija norma es una funcional δ,
Φ[h] = δ[h − 1],
(19.23)
la cual obliga a que h(λ) sea igual a la velocidad de la luz en todas partes y tiene la
relación
S = λb − λa .
(19.24)
Este parámetro de longitud, que es un invariante de Lorentz, es la llamada longitud
propia de la relatividad especial, y es igual al producto de c por el tiempo propio.
19.1 Caracterı́sticas Especiales de las Integrales de Trayectoria Relativistas
1449
En analogı́a con la discusión termodinámica del Capı́tulo 2 denotaremos a λb − λa
por ch̄β y escribimos la Ec. (19.24) en la forma
S = λb − λa ≡ c h̄β.
(19.25)
Si además usamos la invariancia translacional de tal forma que λa = 0, obtenemos
la integral de trayectoria de norma fija
(xb |xa ) = N c h̄
Z
∞
0
−βM c2 /2
dβ e
Z
D D x e−A0,e /h̄ ,
(19.26)
donde
A0,e =
Z
h̄β
0
dλ
M 2
ẋ .
2
(19.27)
Aquı́ hemos usado un parámetro con propiedades de tiempo τ = λ/c, por lo que
el punto sobre la variable denotará la derivada temporal: ẋ(τ ) ≡ dx(λ)/dτ . Sorprendentemente, la acción para el caso de norma fija coincide con la acción de una
partı́cula libre no relativista en un espacio-tiempo Euclidiano de D dimensiones. HaR
biendo eliminado de la acción (19.14) el término trivial 0h̄β dτ Mc2 /2h̄, la expresión
2
(19.26) contiene un factor de Boltzmann e−βM c /2 para cada órbita de la partı́cula
de masa M.
La solución de la integral de trayectoria estará dada por
(xb |xa ) = N c h̄
Z
∞
0
1
dβ q
D
2πh̄2 β/M
Mc2
M (xb − xa )2
.
−β
exp −
2h̄
h̄β
2
#
"
(19.28)
Por medio de una transformada de Fourier, para la dependencia espacial en x, la
amplitud también se puede escribir como
(xb |xa ) = N c h̄
Z
0
∞
−βM c2 /2
Z
dD k
h̄2 k 2
,
exp
ik(x
−
x
)
−
β
b
a
(2π)D
2M
(19.29)
2Mc
h̄
Z
dD k
1
eik(xb −xa ) .
D
2
(2π) k + M 2 c2 /h̄2
(19.30)
dβ e
"
#
y evaluarse para obtener
(xb |xa ) = N
Expresando la constante de normalización N = λC
M /2, donde
λC
M ≡ h̄/Mc,
(19.31)
es la longitud de onda de Compton de una partı́cula de masa M [recordemos la
Ec. (4.377)], misma que es la función de Green de la ecuación de campo de KleinGordon para el tiempo Euclidiano:
(−∂b2 + M 2 c2 /h̄2 )(xb |xa ) = δ (D) (xb − xa ).
(19.32)
1450
19 Órbitas de Partı́culas Relativistas
En la representación de Fourier de la Ec. (19.30), se puede evaluar la integral
sobre k [o la integral sobre β en la Ec. (19.28)] de donde el resultado explı́cito para
la función de Green será
1
(xb |xa ) =
(2π)D/2
Mc
√
h̄ x2
!D/2−1
√
KD/2−1 Mc x2 /h̄ ,
(19.33)
donde Kν (z) es la función modificada de Bessel y x ≡ xb − xa . En el lı́mite no
relativista c → q
∞, el comportamiento asimptótico de la función modificada de
Bessel Kν (z) → π/2ze−z [ver la Ec. (1.357)] conduce al resultado
c→∞
(xb |xa ) = (xb τa |xa τa ) −
−−→
h̄ −M c2 (τb −τa )/h̄
e
(xb τb |xa τa )Schr ,
2Mc
(19.34)
donde obtenemos la amplitud de evolución temporal Euclidiana usual de la ecuación
libre de Schrödinger
(xb τb |xa τa )Schr
M (xb − xa )2
=q
exp
−
.
D−1
2h̄
τ
−
τ
b
a
2πh̄(τb − τa )/M
(
1
)
(19.35)
La prefactor exponencial de la Ec. (19.34) contiene el efecto de la energı́a en
reposo Mc2 , el cual se ignora en la teorı́a no relativista de Schrödinger.
Nótese que se puede calcular el mismo lı́mite utilizando la aproximación del
método del punto silla a la integral sobre β de la Ec. (19.28). Para c → ∞, el
exponente tiene un extremum agudo en
β=
q
(xb −xa )2
ch̄
=
q
(xb −xa )2 +c2 (τb −τa )2
ch̄
→
c→∞
(xb −xa )2
τb −τa
+ 2
+ . . . ,(19.36)
h̄
2c h̄(τb − τa )
y la integral respecto de β se puede evaluar en una aproximación cuadrática alrededor
de este valor. Este proceso dará una vez más el resultado hallado en la Ec. (19.34).
19.1.2
Función de Partición de un Ensemble de Partı́culas de
Lazos Cerrados
La amplitud diagonal (19.26), donde xb = xa , contiene la suma sobre todas las
longitudes y formas de un lazo cerrado de una partı́cula en el espacio-tiempo. Esta
suma se puede convertir en una función de partición de un lazo cerrado si eliminamos
el factor de degeneración proporcional a 1/L de la integral sobre L. Luego, todas las
permutaciones cı́clicas de los puntos del lazo se cuentan solamente una vez. Además
de un factor de normalización arbitrario, a fijar más adelante, la función de partición
de un solo lazo cerrado será
Z1 =
Z
0
∞
dβ −βM c2 /2
e
β
Z
D D x e−A0,e /h̄ .
(19.37)
19.1 Caracterı́sticas Especiales de las Integrales de Trayectoria Relativistas
1451
Sustituyendo la integral del lado derecho en la expresión (19.29) de la integral de
trayectoria (donde usamos xb = xa ), obtenemos
Z1 = VD
∞
Z
0
dβ −βM c2 /2 Z dD k
h̄2 k 2
,
e
exp −β
β
(2π)D
2M
!
(19.38)
donde VD es el volumen total del espacio-tiempo. Este resultado se puede evaluar
inmediatamente.
Por cada una de las D dimensiones, la integral Gaussiana dará un
q
2
factor 1/ 2πh̄ β/M, por lo cual de la fórmula (2.498) obtenemos
Z1 = VD
Z
0
∞
1
VD Γ(1 − D/2)
dβ −βM c2 /2
e
,
q
D = C D
β
(4π)D/2
λM
2πh̄2 β/M
(19.39)
donde λC
M es la longitud de onda de Compton dada en la Ec. (19.31). Con ayuda de la
fórmula (2.506), en la substracción mı́nima de la regularización analı́tica introducida
en la Subsección 2.15.1, el lado derecho de la Ec. (19.38) se puede escribir como
Z1 = −VD
Z
dD k
2
2
2 2
.
log
k
+
M
c
/h̄
(2π)D
(19.40)
El lado derecho de esta expresión se puede escribir en forma funcional como
Z1 = −Tr log −∂ 2 + M 2 c2 /h̄2 = −Tr log −h̄2 ∂ 2 + M 2 c2 ,
(19.41)
donde las dos expresiones son iguales a la regularización analı́tica de la Sección 2.15,
ya que de acuerdo a la regla de Veltman (2.508) una constante dentro del logaritmo
no aporta ninguna contribución a la función Z1 .
La función de partición de un ensemble gran canónico se obtiene por exponenciación de este resultado:
Z = eZ1 = e−Tr log(−h̄
2 2
∂ +M 2 c2
).
(19.42)
Para interpretar fı́sicamente esta expresión separamos la integral dD k/(2π)D en
una integral sobre la componente temporal k D y un remanente espacial, escribiendo
R
k 2 + M 2 c2 /h̄2 = k D
2
+ ωk2 /c2 ,
(19.43)
donde las frecuencias son
q
ωk ≡ c k2 + M 2 c2 /h̄2 .
(19.44)
Recordando el resultado dado por la Ec. (2.505) para la integral (2.491), obtenemos
Z1 = −2VD
Z
dD−1 k h̄ωk
.
(2π)D−1 2c
(19.45)
1452
19 Órbitas de Partı́culas Relativistas
El exponente es la suma de la energı́a del estado base de dos osciladores con energı́a
h̄ωk /2, que es la energı́a asociada en el vacı́o a dos partı́culas relativistas. En
teorı́a cuántica de campos las llamamos partı́cula y antipartı́cula. Muchas partı́culas
neutras son idénticas a sus antipartı́culas, por ejemplo los fotones, gravitones y el
pión de carga cero. En el caso de estas partı́culas no obtenemos el factor 2. La
integral (19.38) contiene un factor 1/2 que da cuenta del hecho de que distinguimos
las trayectorias en el espacio-tiempo que van a lo largo de la misma curva pero en
sentido contrario.
Comparando la Ec. (19.42) con las Ecs. (3.559) y (3.622), para j = 0, hallamos
la relación entre −Z1 h̄, −W [0] y la acción Euclidiana efectiva Γ del ensemble de
lazos:
−Z1 = −W [0]/h̄ = Γe /h̄.
19.1.3
(19.46)
La Amplitud de Energı́a Fija
La amplitud de energı́a fija está relaciona con la Ec. (19.22) por medio de una
transformada de Laplace:
(xb |xa )E ≡ −i
Z
∞
τa
dτb eE(τb −τa )/h̄ (xb |xa ) ,
(19.47)
donde τb , τa son una vez más las componentes temporales de xb , xa . Como se explicó
en el Capı́tulo 9, en esta amplitud los polos y la singularidad a lo largo del eje de
la energı́a contienen toda la información sobre los estados propios, discretos y del
continuo, del sistema. En la representación invariante de la reparametrización de
la integral de trayectoria, usando las convenciones de la Ec. (19.10), la amplitud de
energı́a fija tiene la forma
(xb |xa )E =
Z
Z
h̄ Z ∞
dL Dh Φ[h] D D x e−Āe,E /h̄ ,
2Mc 0
(19.48)
donde la acción Euclidiana es
Āe,E =
Z
λb
λa
E2
Mc
Mc ′2
.
dλ
x (λ) − h(λ)
+ h(λ)
3
2h(λ)
2Mc
2
"
#
(19.49)
Para demostrarlo, escribimos la parte temporal xD de la partición D dimensional de
la acción (19.18) en la forma canónica de la Ec. (19.15). En la integral de trayectoria
asociada (19.16), integrando todas las variables xD
n , obtenemos N funciones δ. Esto
elimina las integrales sobre las N variables de momentum pD
n , dejando solamente
D
una única integral sobre un p común. Finalmente, la transformada de Laplace
(19.47) elimina también esta integral al igualar a pD con −iE/c. Ası́, en el lı́mite
continuo obtenemos la acción dada en la Ec. (19.49).
La integral de trayectoria de la Ec. (19.48) es la base para el estudio de problemas
con potenciales relativistas. En lo que sigue, sólo algunos ejemplos relevantes serán
estudiados.
1453
19.2 El Tunelamiento en Fı́sica Relativista
19.2
El Tunelamiento en Fı́sica Relativista
La relatividad desembocó en varios fenómenos nuevos de tunelamiento, de los cuales
queremos discutir dos especialmente interesantes.
19.2.1
Razón de Decaimiento del Vacı́o en el Campo Eléctrico
En fı́sica relativista, un espacio de Minkowski vacı́o con un campo eléctrico constante
E es inestable. Existe una probabilidad finita de que se pueda crear un par partı́culaantipartı́cula. Para partı́culas de masa M, esto requiere la energı́a
Epair = 2Mc2 .
(19.50)
Esta energı́a puede ser proporcionada por un campo eléctrico externo. Si el par de
carga ±e se separa una distancia aproximadamente igual al doble de la longitud de
onda de Compton λC
M = h̄/Mc, dada por la Ec. (19.31), el par ganará la energı́a
e.
Por
lo
tanto
el decaimiento será significativo cuando
2|E|λC
M
|E| > Ec =
M 2 c3
.
eh̄
(19.51)
Acción Euclidiana
En el Capı́tulo 17 mostramos que en el lı́mite semiclásico donde la razón de decaimiento es pequeña, esta razón es proporcional al factor de Boltzmann e−Acl,e /h̄ ,
donde Acl,e es la acción de la solución clásica Euclidiana que regula el decaimiento.
Esta solución es fácil de encontrar. Usamos la acción clásica en la forma dada por
la Ec. (19.12), mientras el parámetro utilizado para hallar el tiempo imaginario será
λ = τ = it = x4 /c. Con esto, la acción toma la forma
Acl,e =
Z
τb
τa
dτ Mc
2
q
1+
ẋ2 (τ )/c2
− e E · x(τ ) .
(19.52)
Ahora, el extremum de esta expresión estará dado por la ecuación clásica de
movimiento
d
ẋ(τ )
M q
= −eE,
(19.53)
dτ 1 + ẋ2 (τ )/c2
cuyas soluciones en el espacio–tiempo son cı́rculos de radio lE , el cual depende de la
magnitud del campo E:
2
2
2
(x − x0 ) + c (τ − τ0 ) =
lE2
≡
Mc2
eE
!2
,
E ≡ |E|.
(19.54)
Para calcular la acción parametrizamos los cı́rculos en el plano Ê − τ utilizando el
ángulo θ, en la forma
x(θ) = lE Ê cos θ + x0 ,
τ (θ) =
lE
sin θ + τ0 ,
c
(19.55)
1454
19 Órbitas de Partı́culas Relativistas
aquı́ Ê es un vector unitario en la dirección de E. Un cı́rculo cerrado tiene la acción
Acl,e = Mc
2 lE
c
Z
0
2π
1
Ec
dθ cos θ
− cos θ = Mc lE π = h̄ π.
cos θ
E
(19.56)
Por lo tanto, la razón de decaimiento del vacı́o es proporcional a
Γ ∝ e−πEc /E .
(19.57)
Por supuesto, los cı́rculos (19.54) son la imagen espacio-temporal de la creación y
aniquilación del par partı́cula-antipartı́cula para los tiempos τ0 − lE /c, τ0 + lE /c y
las posiciones x0 , respectivamente (ver la Fig. 19.1). Una partı́cula también puede
(x0 , cτ0 + lE )
r
❄
✻
(x0 cτ0 )
r
(x0 , cτ0 − lE )
Figure 19.1 Imagen espacio-temporal de la creación de un par en el punto x0 , al tiempo
τ0 − lE /c y la posterior aniquilación al tiempo τ0 + lE /c.
moverse continuamente a lo largo del cı́rculo. Esto conduce a la fórmula
Γ∝
∞
X
Fn e−nπEc /E ,
(19.58)
n=1
donde los factores de fluctuación Fn serán determinados a continuación.
Fluctuaciones
Como se explicó anteriormente, las fluctuaciones deben de calcularse con ayuda de
la acción Euclidiana clásica (19.10), en la cual tenemos que incluir el campo eléctrico
por medio de un acoplamiento mı́nimo:
Āe =
Z
λb
λa
"
#
Mc
e
M ′2
x (λ) + h(λ)
− i A(x(λ)) x′ (λ) .
dλ
2h(λ)
2
c
(19.59)
El vacı́o decaerá por medio de la creación de un ensemble de pares, el cual en el
espacio-tiempo Euclideano corresponde a un ensemble de lazos de partı́culas. Para
partı́culas libres, la función de partición Z de la Ec. (19.42) se obtuvo como la exponencial de la función de partición de un lazo Z1 dada en la Ec. (19.37). La función
1455
19.2 El Tunelamiento en Fı́sica Relativista
de partición Z1 correspondiente, en la presencia de un campo electromagnético, es
la función de partición de un lazo
Z1 =
Z
dβ −βM c2 /2
e
β
∞
0
Z
D 4 x e−Āe /h̄ ,
(19.60)
donde la acción Euclidiana será
Āe =
Z
e
M ′2
x (τ ) − i A(x(τ )) x′ (τ ) .
dτ
2
c
h̄β
0
(19.61)
Ahora, las ecuaciones de movimiento son
e
(x′ E − i x′ × B) ,
Mc 4
x′′ =
x′′4 = −
e ′
x · E,
Mc
(19.62)
Si tenemos tanto campos eléctricos como campos magnéticos constantes, el potencial
vectorial es Aµ = −Fµν xν /2 y la acción (19.61) tiene la cuadratura simple
Āe =
h̄β
Z
0
dτ
e
M ′2
x − i Fµν xµ x′ν ,
2
2c
(19.63)
de donde las ecuaciones de movimiento (19.62) son
e
x′′µ = −i F µν x′ν ,
c
y donde Fij = −ǫijk B k , F i4 = iF i0 = iE i .
(19.64)
En caso que sólo tengamos un campo eléctrico, las soluciones son órbitas circulares:
x(τ ) = Ê A cos ωLE (τ − τ0 ) + c2 ,
x4 (τ ) = A sin ωLE (τ − τ0 ) + c4 ,
(19.65)
donde hallamos la versión eléctrica de la frecuencia de Landau o ciclotrón (2.648)
ωLE ≡
eE
.
Mc
(19.66)
Las órbitas circulares son las mismas que hallamos en la formulación previa (19.55).
Si E está dirigido en la dirección z, la acción (19.63) se puede separar en dos acciones
1
2
cuadráticas desacopladas Ā(12)
+ Ā(34)
e
e , para el movimiento en los planos x − x y
3
4
x − x , respectivamente, y función de partición (19.60) de un lazo se factoriza en
la forma:
Z1 =
Z
≡
Z
∞
0
0
∞
Z
(34)
dβ −βM c2 /2 Z 2 (12) −Ā(12)
D x e e /h̄ D 2 x(34) e−Āe /h̄
e
β
dβ −βM c2 /2 (12)
e
Z (0)Z (34) (E).
β
(19.67)
La integral de trayectoria para Z (12) (0), que contiene las flluctuaciones en el plano
x1 − x2 , tienen la acción trivial
Ā(12)
=
e
Z
0
h̄β
dτ
M ′2
(x + x′2 2 ),
2 1
(19.68)
1456
19 Órbitas de Partı́culas Relativistas
donde el determinante de la fluctuación es trivialmente Det (−∂τ2 ) = 1, de tal manera que para Z (12) (0) obtenemos la función de partición de la partı́cula libre en dos
dimensiones
Z
(12)
(0) = ∆x1 ∆x2
s
2
M
.
2πh̄2 β
(19.69)
El factor ∆x1 ∆x2 es el área total del sistema en el plano x1 − x2 . Nótese que en la
presente métrica Euclideana los ı́ndices superior e inferior son indiferentes.
Para el movimiento en el plano x3 − x4 , utilizando condiciones de frontera
periódicas, las fluctuaciones cuadráticas tienen el determinante funcional
−∂τ2
−ωLE ∂τ
Det
E
ωL ∂τ
−∂τ2
!
= Det −∂τ2 ×Det −∂τ2 − ωLE
2
=1×
sin h̄ωLE β/2
, (19.70)
h̄ωLE β/2
de donde obtenemos la función de partición
Z
(34)
(E) = ∆x3 ∆x4
s
2
sin h̄ωLE β/2
M
,.
2πh̄2 β h̄ωLE β/2
(19.71)
Por supuesto, este resultado puede obtenerse también sin cálculo alguno, observando que la integral de trayectoria Euclidiana para el campo eléctrico es completamente análoga a la integral de trayectoria magnética de tiempo real resuelta en
la Sección 2.18. De hecho, con el campo E orientado en la dirección z y para el
movimiento en el plano x3 − x4 , la acción (19.63) será
Ā(34)
e
=
Z
0
h̄β
e
M ′2
x3 + x′4 2 + E(x3 x′4 − x4 x′3 ) .
dτ
2
c
(19.72)
Este resultado coincide con la acción magnética (2.635) de tiempo real, si sustituimos
en esta expresión el potencial vectorial magnético (2.636) y reemplazamos a B por
E. Las ecuaciones de movimiento (19.62) se reducen a
x′′3 = ωLE x′4 ,
x′′4 = −ωLE x′3 ,
(19.73)
en total acuerdo con las ecuaciones magnéticas de movimiento (2.672) de tiempo
real. Ası́, si el campo magnético B, orientado en la dirección z, se intercambia por
un campo E de igual magnitud orientado sobre el eje x3 , en función del pseudotiempo τ el movimiento en el plano x3 − x4 es el mismo que el movimiento en el
plano x − y para el tiempo real. Por lo tanto, podemos utilizar directamente la
amplitud obtenida en la Ec. (2.668), — sólo tenemos que reemplazar la diferencia
temporal real tb − ta por h̄β. En todo caso, esta diferencia es cero para toda órbita
cerrada.
Otra forma de obtener el resultado (19.71) es sumar sobre los factores de Boltzmann de tiempo imaginario eiβEm , donde las energı́as Em = (m+ 21 )h̄ωLE corresponden
al Hamiltoniano asociado con la acción Euclidiana (19.72):
Z
(34)
(E) = ∆x3 ∆x4
s
2
∞
X
1
M
E
E
e−i(m+ 2 )h̄ωL .
h̄ω
β
L
2
2πh̄ β
m=0
(19.74)
1457
19.2 El Tunelamiento en Fı́sica Relativista
Sustituyendo las Ecs. (19.69) y (19.71) en la Ec. (19.67), obtenemos la función
partición para la órbita cerrada de una partı́cula en un espacio-tiempo Euclidiano
de cuatro dimensiones:
Z1 = ∆x4 V
Z
∞
0
dβ
β
s
4
M
ωLE h̄β/2 −βM c2 /2
e
,
2πh̄2 β sin ωLE h̄β/2
(19.75)
donde V ≡ ∆x1 ∆x2 ∆x3 es el volumen espacial total. Ahora extendemos el cálculo
al caso de tiempo real, para ello usamos la relación ∆x4 = ic∆t. Como se hizo en la
Ec. (19.42), obtenemos la función de partición del ensemble gran canónico hallando
la exponencial de la expresión substraida (19.75), y podemos identificar a Z1 con el
producto de i por la acción electromagnética efectiva originada por las fluctuaciones
del ensemble de lazos de las partı́culas
Z1 = i∆Aeff /h̄ = i∆t V ∆Leff /h̄.
(19.76)
En la Ec. (19.75) la integral sobre β diverge. Para hacerla converger, hacemos dos
substracciones. En la expresión substraida cambiamos la varible de integración por
la cantidad adimensional ζ = βMc2 /2, de donde obtenemos la densidad Lagrangiana
efectiva
∆L
eff
Mc
= h̄c
h̄
4
"
1 Z ∞ dζ
1 E
Eζ/Ec
−1−
2
3
4(2π) 0 ζ sin Eζ/Ec
6 Ec
2 #
e−ζ .
(19.77)
La primera substracción ha eliminado la divergencia que se obtiene de la singularidad
1/ζ 3 del integrando. Esto da origen a una contribución infinita real e independiente
del campo a la acción efectiva, la cual se puede omitir ya que no es observable
mediante experimentos electromagnéticos.2 Después de substraer esta divergencia,
la integral contiene todavı́a una divergencia logarı́tmica, la cual se puede interpretar
como una contribución a la densidad Langrangiana proporcional a E 2
∆Leff
div
Mc
= h̄c
h̄
4
1
24(2π)2
E
Ec
2 Z
0
∞
dζ −ζ
α
e =
ζ
24π
Z
0
∞
dζ −ζ
e ,
ζ
(19.78)
misma que cambia el término de Maxwell E 2 /2 a la forma ZA E 2 /2, donde
ZA = 1 +
α Z ∞ dζ −ζ
e .
12π 0 ζ
(19.79)
De acuerdo a las reglas de la teorı́a de renormalización, el prefactor se elimina
1/2
renormalizando la intensidad del campo, reemplazando E → E/ZA e identificando
1/2
el campo reemplazado con el campo fı́sico renormalizado E/ZA ≡ ER .
Debido a la presencia de la acción efectiva, el vacı́o ya no es independiente del
tiempo, sino que tiene una dependencia temporal de la forma e−i(H−iΓh̄/2)∆t/h̄ . Ası́,
2
Sin embargo, esta energı́a deberı́a ser observable en la evolución cosmológica a ser discutida
en la Subsección 19.2.3.
1458
19 Órbitas de Partı́culas Relativistas
la razón de decaimiento por unidad de volumen del vacı́o está dada por la parte
imaginaria de la densidad Lagrangiana efectiva
2
Γ
= Im ∆Leff .
V
h̄
(19.80)
Para calcular esta razón de decaimiento hacemos el reemplazo de Eζ/Ec por z en
la Ec. (19.77), mientras que en el integrando desarrollamos el cociente
∞
∞
X
X
z
z2
ζ2
n
(−1)
,
= 1 + 2 (−1)n 2
=
2
sin z
z − n2 π 2
ζ 2 − ζn2
n=1
n=1
ζn ≡ nπ
Ec
. (19.81)
E
Agregando a los polos, en el plano complejo, el cambio infinitesimal usual iη (ver
pág. 122) y con ayuda de la descomposición dada en la Ec. (1.329) hacemos el
reemplazo
ζ
π
π
P
ζ
→
.
=
i
δ(ζ
+
ζ
)
−
i
δ(ζ
−
ζ
)
+
ζ
n
n
ζ 2 − ζn2
ζ 2 − ζn2 + iη
2
2
ζ 2 − ζn2
(19.82)
Las funciones δ dan la parte imaginaria y de ahı́ obtenemos directamente la razón
de decaimiento
2
Mc
=
Im Leff = c
h̄
h̄
Γ
V
4 E
Ec
2
∞
n−1
1 1X
n−1 (−1)
(−1)
e−nπEc /E
4π 3 2 n=1
n2
∞
1 e2 2 X
(−1)n−1 −nπEc /E
=
E
e
.
8π 3 h̄c n=1 n2
(19.83)
El valor principal contiene la densidad Lagrangiana efectiva real
Mc
= h̄c
h̄
∆Leff
P
4
1
P
4(2π)2
Z
0
∞
dζ
ζ3
E 2 ζ 2 −ζ
Eζ/Ec
e . (19.84)
−1−
sin Eζ/Ec
6Ec2
!
Si usamos el desarrollo
z2
7 4
31 6
z
=1+
+
z +
z + ...
sin z
6
360
15120
(19.85)
y evaluamos las integrales sobre ζ, encontramos
∆Leff
Mc
= h̄c
h̄
4
1
4(2π)2
"
E
7
360 Ec
4
E
31
+
2520 Ec
6
#
+ ... ,
(19.86)
o también
Leff

1  2 7α2 (h̄c)3 4 31πα3 (h̄c)3
E +
E +
=
2
180 (Mc2 )4
315 (Mc2 )4
"
#2
E6 + . . .



,
(19.87)
En la expresión para L se omitió el subı́ndice P debido a que la parte imaginaria
de la densidad Lagrangiana efectiva (19.83) no tiene desarrollo de Taylor. Cada
coeficiente en la Ec. (19.87) es exacto a primer orden en α.
1459
19.2 El Tunelamiento en Fı́sica Relativista
Los términos extras del desarrollo en la Ec. (19.87) implican que el vacı́o fı́sico
tiene una constante dieléctrica no trivial, dependiente de la energı́a ǫ(E). Este efecto
se debe a la creación y aniquilación virtual de los pares partı́cula-antipartı́cula.
Puesto que el desplazamiento dieléctrico D(E) se obtiene de la primera derivada
de Leff , la constante dieléctrica estará dada por ǫ(E) = D(E)/E = ∂Leff /E∂E. A
partir de la Ec. (19.87) encontramos los términos de menor orden del desarrollo
7α2 (h̄c)3 2 31πα3 (h̄c)3
ǫ(E) = 1 +
E +
90 (Mc2 )4
105 (Mc2 )4
"
#2
E4 + . . . .
(19.88)
Estos términos dan origen a una pequeña amplitud de la dispersión fotón-fotón en
el vacı́o, proceso que ha sido observado en el laboratorio.
Otra forma de evaluar la Ec. (19.83) utiliza la representación dada por la
Ec. (19.74) para la función de partición en términos de los valores propios de la
energı́a Em = (m + 21 )h̄ωLE del Hamiltoniano asociado con la Ec. (19.72). Con esto,
Z1 estará dada por
∞
Z
Z1 = ∆x4 V
0
dβ
s
4
∞
X
1
M
E
E
e−i(n+ 2 )h̄ωL β ,
ω
h̄
L
2
2πh̄ β
n=0
(19.89)
Luego, la representación integral de la Ec. (19.77) será (antes de hacer uso de la
substracción)
∆L
eff
Mc
= h̄c
h̄
4
1
2(2π)2
Z
∞
0
∞
1
dζ E X
ei(m+ 2 )2Eζ/Ec e−ζ .
2
ζ Ec m=0
"
#
(19.90)
Este resultado también se puede reescribir como
∆Leff
reg
Mc
= h̄c
h̄
4
i
2(2π)2
"
∞
X
(−1)k/2−1
E
(21−k −1)ζ(1 − k)2k−1
Ec
k=4,6,... (k−1)(k−2)
k #
,
α=1
(19.91)
Desarrollando los términos de la suma en potencias de E/Ec , obtenemos dos
términos divergentes más una serie regular
∆Leff
reg
Mc
= h̄c
h̄
∞
X
4
i
2(2π)2
"Z
k/2−1
(−1)
×
αk
m=0
(−1)
Z
dα dα
k/2−1
∞
X
k=4,6,...
[(m + )]
1
2
k−1 k−1
2
E
Ec
k #
.
(19.92)
α=1
Evaluando la suma sobre m, haciendo uso de las funciones de zeta de Riemann
(2.521), obtenemos
∆Leff
reg
Mc
= h̄c
h̄
4
i
2(2π)2
"
∞
X
(−1)k/2−1
E
(21−k − 1)ζ(1 − k)2k−1
Ec
k=4,6,... (k − 1)(k − 2)
resultado que coincide con el hallado previamente en la Ec. (19.87).
k #
,
α=1
(19.93)
1460
19 Órbitas de Partı́culas Relativistas
Inclusión de un Campo Magnético Constante Paralelo al Campo
Eléctrico
Veamos como se modifica tanto la razón de decaimiento dada por la Ec. (19.83) como
el Lagrangiano efectivo de la Ec. (19.77) por la adición de un campo magnético constante B. Inicialmente supondremos que el campo magnético es paralelo al campo
E, donde ambos campos están orientados en la dirección z. Entonces la acción que
describe el movimiento en el plano x1 − x2 , dada por la Ec. (19.68), será
Ā(12)
=
e
Z
h̄β
0
dτ
e
M ′2
x1 + x′2 2 + iB(x1 x′2 − x2 x′1 ) .
2
c
(19.94)
Por lo tanto, la función de partición en el plano x1 − x2 tendrá la misma forma que
la expresión (19.71), excepto que ωLE se reemplaza por iωLB :
Z (12) (B) = Z (34) (iB).
(19.95)
Ası́ el campo B cambia la función de partición dada en la Ec. (19.89), para una sola
órbita cerrada, a la forma
Z1 = ∆x4 V
Z
∞
0
dβ
β
s
4
ωLE h̄β/2
M
ωLB h̄β/2 −βM c2 /2
e
,
2πh̄2 β sin ωLE h̄β/2 sinh ωLB h̄β/2
(19.96)
y la Lagrangiana efectiva (19.77) será
Mc
∆Leff = h̄c
h̄
4
1
4(2π)2
Z
∞
0
dζ
(E 2 − B 2 )ζ 2 −ζ
Eζ/Ec
Bζ/Ec
e .
−
1
−
ζ 3 sin Eζ/Ec sinh Bζ/Ec
6Ec3
(19.97)
"
#
En el término substraido libre de campo de la Ec. (19.78), el término E 2 se cambia
por la combinación invariante de Lorentz E 2 − B 2 . La razón de decaimiento dada
por la Ec. (19.83) se modifica a la forma
Γ 2
Mc
= Im ∆Leff = c
V h̄
h̄
4 E
Ec
2
∞
1 1X
nπB/E
n−1 1
(−1)
e−nπEc /E. (19.98)
3
2
4π 2 n=1
n sinh nπB/E
En las Ecs. (7.521)–(7.525) hemos mostrado que todos los resultados hallados para campos eléctricos y magnéticos paralelos constantes son válidos si reemplazamos E → E, B → B, donde E y B están dados en la Ec. (7.524). Después
de esto podemos hallar el desarrollo, en potencias de ε y β, del integrando de la
Ec. (19.97) usando la Ec. (19.85)
eετ
1
e2 2
1 eβτ
4 τ
2
4
2 2
4
+
e
ε
−
β
7ε
−
10ε
β
+
7β
=
−
τ 3 sin eβτ sinh eετ τ 3 6τ
360
3 τ
31ε6 − 49ε4 β 2 + 49ε2 β 4 − 31β 6 + . . . .
− e6
1520
(19.99)
1461
19.2 El Tunelamiento en Fı́sica Relativista
y obtenemos el Lagrangiano efectivo que generaliza la Ec. (19.87):
L
eff
1
7α2 (h̄c)3
=
(E2 − B2 ) +
(E2 − B2 )2
2
180 (Mc2 )4
(
31πα3 (h̄c)3
+
315 (Mc2 )4
"
#2


(E2 − B2 )[2(E2 − B2 )2 − 4(EB)2] + . . .  ,(19.100)
Para campos intensos, la aproximación del punto de silla a la forma generalizada
de la integral (19.97) dará la forma asimptótica
L
eff
3
e2
2
2
2 (h̄c)
(E
−
B
)
log
−4e
(E2 − B2 ) + . . . .
≡−
192π 2
(Mc2 )4
"
#
(19.101)
Partı́culas de Espı́n 1/2
Comentamos ahora sobre la modificación necesaria para obtener el resultado análogo
para el caso de fermiones de espı́n 1/2. Las herramientas para este caso se desarrollarán en las Subsecciones 19.5.1–19.5.3. De hecho, la fórmula relevante se ha derivado
ya en la Ec. (7.520). Extendiendo esa ecuación a un tensor de campo constante,
que contiene tanto campo magnético como campo eléctrico, y utilizando el tiempo
imaginario τ = λ/c, con condiciones de frontera antiperiódicas en el intervalo tb −
ta = ih̄β, encontramos el determinante funcional
4 Det
1/2
e
−gµν ∂λ + i
Fµν
Mc2
= 4 det
1/2
!
e
h̄β
cosh
, (19.102)
Fµν
Mc
2
el cual contiene al determinante ordinario de la matriz de dimensión 4 × 4 del coseno
en el lado derecho. De acuerdo a las Ecs. (7.520) y (7.525), el resultado será
4 Det
1/2
e
−gµν ∂λ + i
Fµν = 4 cosh(µB Bβ/2) cos(µB Eβ/2).
Mc2
(19.103)
donde µB = eh̄/Mc es el magnetón de Bohr (2.649), y B y E están definidos en la
Ec. (7.525).
Para el caso donde solamente tenemos campo eléctrico, el lado derecho será de la
forma 4 cos(µB Eβ/2) = 4 cos(ωLE h̄β/2) [recordemos la Ec. (19.66)]. Multiplicando
el factor cos por el desarrollo hallado en la Ec. (19.81), obtenemos
z
∞
∞
X
X
z2
ζ2
cos z
,
=1+2
=
2
2
2 2
2
2
sin z
n=1 z − n π
n=1 ζ − ζn
ζn ≡ nπ
Ec
.
E
(19.104)
Hallando ahora la integral singular sobre ζ en la Ec. (19.77), obtenemos la misma
fórmula hallada en la Ec. (19.83) para la razón de decaimiento, excepto que los signos
alternantes están ausentes. El factor 4 en la Ec. (19.103) se reduce a un factor 2 en
1462
19 Órbitas de Partı́culas Relativistas
la acción efectiva. Por lo tanto, la densidad lagrangiana efectiva para fermiones de
espı́n 1/2 es
∆Leff
espı́n 21
Mc
= −h̄c
h̄
4
1
2(2π)2
Z
∞
0
Eζ/Ec
E 2 ζ 2 −ζ
e , (19.105)
−1+
tan Eζ/Ec
3Ec3
!
dζ
ζ3
resultado deducido por primera vez por Heisenberg y H. Euler en 1935 [8]. De la
parte imaginaria obtenemos la razón de decaimiento del vacı́o debido a la creación
del par
Γespı́n 1
2
V
2
Mc
=
Im ∆Leff
espı́n 21 = c
h̄
h̄
4 E
Ec
2
∞
1 e2 2 X
1 −nπEc /E
E
e
.
3
4π h̄c n=1 n2
=
∞
1 X
1 −nπEc /E
e
3
4π n=1 n2
(19.106)
La causa por la cual se reduce el factor 4 a 2 es que, la suma sobre las trayectorias
bosónicas tienen que ser divididas por una factor 2 para eliminar su orientanción
antes de aplicar el factor fermiónico 4. Este procedimiento no es tan obvio en este
momento, pero será entendido después de la Subsección 19.5.2. El factor 2 resultante
tiene en cuenta las dos orientaciones de espı́n de las partı́culas cargadas.
La serie de Taylor del integrando en la Ec. (19.105)
z
z2
1
2 6
= 1−
− z4 −
z − ...
tan z
3
45
945
(19.107)
conduce al desarrollo
∆L
eff
Mc
= h̄c
h̄
4
"
2
1 E
2
16π 45 Ec
4
E
4
+
315 Ec
6
#
+ ... ,
(19.108)
de donde hallamos
Leff

1  2 4α2 (h̄c)3 4 64πα3 (h̄c)3
E +
E +
=
2
45 (Mc2 )4
315 (Mc2 )4
"
#2
E6 + . . .


.
(19.109)

El término proporcional al factor α2 representa una pequeña amplitud de la dispersión fotón-fotón que puede observarse en el laboratorio [9].
Al igual que en el caso del bosón, dado por la Ec. (19.100), cada coeficiente es
exacto a primer orden en α, mientras que la creación y aniquilación virtual de los
pares fermión-antifermión dota al vacı́o fı́sico de una constante dieléctrica no trivial
dependiente de E
1 ∂Leff
8α2 (h̄c)3 2 64πα3 (h̄c)3
ǫ(E) =
=1+
E +
E ∂E
45 (Mc2 )4
105 (Mc2 )4
"
#2
E 4 + . . . . (19.110)
Si incluimos también un campo B constante y paralelo a E, las fórmulas (19.106)
y (19.105) para las partı́culas de espı́n 12 se modifican en la misma manera que
1463
19.2 El Tunelamiento en Fı́sica Relativista
las fórmulas bosónicas (19.83) y (19.84), excepto que en espacios espinoriales el
determinante (19.102) introduce el factor adicional cosh(eB/Mc). Ası́ obtenemos
∆Leff
espı́n 21 = −h̄c
Mc 4 1 Z ∞ dζ
(E 2 −B 2 )ζ 2 −ζ
Eζ/Ec
Bζ/Ec
e .
−
1
+
h̄ 2(2π)2 0 ζ 3 tan Eζ/Ec tanh Bζ/Ec
3Ec3
(19.111)
#
"
Para una combinación general de campos eléctricos y magnéticos constantes, simplemente intercambiamos E y B por los invariantes de Lorentz ε y β. De la parte
imaginaria obtenemos la razón de decaimiento
Γespı́n 1
2
V
Mc
2
= Im ∆Leff
espı́n 12 = c
h̄
h̄
4 ε
Ec
2
∞
1 X
1
nπβ/ε
e−nπEc /ε .(19.112)
3
2
4π n=1 n tanh nπβ/ε
Para campos intensos, la aproximación de punto de silla a la integral generalizada
(19.105) dará la forma asimptótica
L
19.2.2
eff
3
e2
2
2
2 (h̄c)
(E
−
B
)
log
−4e
(E2 − B2 ) + . . . .
≡−
48π 2
(Mc2 )4
"
#
(19.113)
Nacimiento del Universo
Una fenómeno de tunelamiento similar podrı́a explicar el nacimiento de un universo
en expansión [10].
Como una idealización de la densidad de materia observada, generalmente se
supone que el universo es isotrópico y homogenéo. Por lo tanto, resulta conveniente
describirlo en un marco de referencia en el cual la métrica sea rotacionalmente
invariante. Para dar cuenta de la expansión, tenemos que permitir una dependencia
temporal explı́cita en la parte espacial de la métrica. En la parte espacial, utilizamos
las coordenadas que participan en la expansión. Estas coordenadas se pueden ver
como ligadas al gas de partı́culas en un universo homogeneizado. Entonces el tiempo
en cada punto coordenado es el tiempo propio. En este contexto lo llamamos tiempo
estándar cósmico, a denotarse por t. Imaginemos que somos un observador en el
punto dxi /dt = 0, y medimos el tiempo t contando el número de órbitas de un
electrón alrededor de un protón en un átomo de hidrógeno, empezando a partir del
big bang (olvidandonos de momento que en los primeros segundos del universo el
átomo aún no existe).
Geometrı́a
Con esta calibración temporal, la componente g00 del tensor de la métrica es
idénticamente igual a la unidad
g00 (x) ≡ 1,
(19.114)
de tal manera que para un punto coordenado fijo, el tiempo propio coincide con la
coordenada temporal, dτ = dt. Mas aún, ya que todos los relojes en el espacio siguen
1464
19 Órbitas de Partı́culas Relativistas
la misma prescripción, no existe relación alguna entre el tiempo y las coordenadas
espaciales, una propiedad llamada ortogonalidad del tiempo, ası́ que
g0i (x) ≡ 0.
(19.115)
En consecuencia, el sı́mbolo de Christoffel Γ̄00 µ [recordemos la Ec. (10.7)] se anula
idénticamente:
1
Γ̄00 µ ≡ g µν (∂0 g0ν + ∂0 g0ν − g00 ) ≡ 0.
2
(19.116)
Esta es la forma matemática de expresar el hecho de que una partı́cula situada en un
punto coordenado donde dxi /dt = 0, y ası́ dxµ /dt = uµ = (c, 0, 0, 0), no experimenta
aceleración alguna
duµ
= −Γ̄00 µ c2 = 0.
dτ
(19.117)
Las coordenadas mismas son trivialmente comóviles.
Bajo tales condiciones, la distancia invariante tiene la siguiente forma general
ds2 = c2 dt2 − (3) gij (x)dxi dxj .
(19.118)
Ahora imponemos la isotropı́a espacial sobre la métrica espacial gij . Denotamos el
elemento de longitud espacial por dl, de tal manera que
dl2 = (3) gij (x)dxi dxj .
(19.119)
La isotropı́a y homogeneidad del espacio se expresa más fácilmente considerando la
curvatura del espacio (3) Rijk l , calculada a partir de la métrica espacial (3) gij (x). El
espacio corresponde a una superficie esférica. Si su radio es a, el tensor de curvatura
es, de acuerdo a la Ec. (10.161),
(3)
Rijkl (x) =
i
1 h(3)
(3)
(3)
(3)
g
(x)
g
(x)
−
g
(x)
g
(x)
.
il
jk
ik
jl
a2
(19.120)
En la Sección 10.4 la derivada de esta expresión utilizó la hipótesis de una superficie esférica con curvatura K ≡ 1/a2 positiva. Si además permitimos espacios
hiperbólicos y parabólicos, con curvatura negativa y nula, y caracterizamos la curvatura por la constante



esférico
parabólico
k = universo


hiperbólico

1 

0
,


−1
(19.121)
entonces, en la Ec. (19.120) el prefactor 1/a2 se reemplaza por K ≡ k/a2 . Para
k = −1 y 0, el espacio tiene una topologı́a abierta y un volumen total infinito.
1465
19.2 El Tunelamiento en Fı́sica Relativista
Para estos tres casos el tensor de Ricci y la curvatura escalar son [comparemos
con las Ecs. (10.163) y (10.156)]
(3)
Ril = k
2
gil (x),
a2
(3)
R=k
6
.
a2
(19.122)
Por construcción, es obvio que para k = 1 el espacio tri-dimensional tiene una
topologı́a cerrada y un volumen espacial finito, el cual es igual a la superficie de la
esfera de radio a en cuatro dimensiones
4
S a = 2π 2 a3 .
(19.123)
Un cı́rculo en este espacio tiene el radio máximo a y circunferencia máxima 2πa.
Una esfera con radio r0 < a tiene el volumen
(3)
Vra0
=
Z
2π
0
dϕ
Z
0
π
dθ sin θ
Z
r
0

r2
dr q
1 − r 2 /a2
s
(19.124)

r0 a2 r0
r0 2
a3
1 − 2 .
= 4π  arcsin −
2
a
2
a
Para valores pequeños de r0 , la curvatura es irrelevante y el volumen depende de r0
en la misma forma que una esfera en tres dimensiones:
(3)
Vra0 ≈ Vr0 =
4π 2
r0 .
3
(19.125)
Sin embargo, para r0 → a, (3) Vra0 se aproxima al volumen de saturación 2πa3 .
Las expresiones análogas para el caso de curvaturas negativas y cero son obvias.
Métrica de Robertson-Walker
En coordenadas esféricas, la distancia invariante cuatro-dimensional (19.118) define
la métrica de Robertson-Walker .
ds2 = c2 dt2 − dl2
dr 2
dl2 =
+ r 2 (dθ2 + sin2 θdϕ2 ).
1 − kr 2 /a2
(19.126)
(19.127)
Será de utilidad introducir el ángulo α sobre la superficie de la cuatro-esfera, en
lugar de r, de tal forma que
r = a sin α.
(19.128)
La métrica tiene la forma angular cuatro-dimensional
ds2 = c2 dt2 − a2 (t)[dα2 + f 2 (α)(dθ2 + sin2 θdϕ2 )],
(19.129)
1466
19 Órbitas de Partı́culas Relativistas
donde para espacios esféricos, parabólicos e hiperbólicos f (α) será igual a
f (α) =



sin α
α


sinh α
k = 1,
k = 0,
k = −1.
(19.130)
Para tener la simetrı́a máxima, es útil absorber a(t) en el tiempo y definir una
nueva variable temporal η por medio de
c dt = a(η) dη,
(19.131)
de tal manera que la distancia invariante estará dada por
ds2 = a2 (η)[dη 2 − dα2 − f 2 (α)(dθ2 + sin2 θdϕ2 )].
(19.132)
Entonces la métrica será simplemente

1



gµν = a2 (η) 
−1
−f 2 (α)

−f 2 (α) sin2 θ,




(19.133)
y los sı́mbolos de Christoffel estarán dados por
Γ00 0 =
aη
aη
aη
, Γ00 i = 0, Γ0i 0 = 0, Γ0i j = δi j , Γij 0 = − 3 gij , Γij k = 0, (19.134)
a
a
a
donde los subı́ndices denotan derivadas con respecto a las variables correspondientes:
aη ≡
da
a da
a
=
≡ at .
dη
c dt
c
(19.135)
Calculemos ahora la componente 00 del tensor de Ricci:
R00 = ∂µ Γ00 µ − ∂0 Γµ0 µ − Γµ0 ν Γ0ν µ + Γ00 µ Γνµ ν .
(19.136)
Sustituyendo los sı́mbolos de Christoffel (19.134), encontramos
d aη
1 (19.137)
= −3 2 aηη a − a2η ,
dη a
a
2
2
aη
aη
= Γ00 0 Γ00 0 + Γ00 i Γ0i 0 + Γi0 0 Γ00 i + Γi0 j Γ0j i =
+3
, (19.138)
a
a
2
2
aη
aη
0
0
0
i
i
0
i
k
+3
, (19.139)
= Γ00 Γ00 + Γ00 Γi0 + Γ00 Γ0i + Γ00 Γki =
a
a
∂µ Γ00 µ − ∂0 Γµ0 µ = −∂0 Γi0 i = −3
Γµ0 ν Γ0ν µ
Γ00 µ Γνµ ν
de tal forma que
R00 = −
3
(aaηη − a2η ),
a2
R0 0 = g 00 R00 = −
3
(aaηη − a2η ).
a4
(19.140)
1467
19.2 El Tunelamiento en Fı́sica Relativista
Las otras componentes se pueden determinar mediante su relación con el tensor de
curvatura tridimensional (3) Rij , que tiene la forma simple dada por la Ec. (19.120).
Ası́ hallamos que
Rij = Rµij µ = Rkij k + R0ij 0
= (3) Rij − Γkj 0 Γi0 k + Γij 0 Γk0 k + R0ij 0 .
(19.141)
Sustituyendo
R0ij 0 = ∂0 Γij 0 − ∂i Γ0j 0 − Γ0j l Γil 0 − Γ0j 0 Γi0 0 + Γij l Γ0l 0 + Γij 0 Γ00 0 ,
(3)
Rij = k
2
gij
a2
(19.142)
(19.143)
y los anteriores sı́mbolos de Christoffel (19.134) obtenemos
Rij = −
1
(2ka2 + a2η + aaηη )gij
4
a
(19.144)
de donde la curvatura escalar será
1 3
3
R = g R00 + g Rij = − 2 2 (aaηη − a2η ) − 4 (2ka2 + a2η + aaηη )
a a
a
6
(19.145)
= − 3 (aηη + ka).
a
00
ij
Acción y Ecuación de Campo
En ausencia de materia, la acción de Einstein-Hilbert de un campo gravitacional es
f
A=
Z
f
√
1 Z 4 √
d x −g L= −
d x −g(R + 2λ),
2κ
4
(19.146)
donde κ está relacionada con la constante de gravitación de Newton
GN ≈ 6.673 · 10−8 cm3 g−1 s−2
(19.147)
1
c3
=
.
κ
8πGN
(19.148)
por medio de
Una escala natural de longitud en fı́sica gravitacional es la longitud de Planck , la
cual se puede obtener a partir de una combinación de la constante de gravitación de
Newton (19.147), la velocidad de la luz c ≈ 3 × 1010 cm/s y la constante de Planck
h̄ ≈ 1.05459 × 10−27 :
lP =
c3
GN h̄
!−1/2
≈ 1.615 × 10−33 cm.
(19.149)
1468
19 Órbitas de Partı́culas Relativistas
La cual corresponde a la longitud de onda de Compton lP ≡ h̄/mP c asociada con la
masa de Planck
mP =
ch̄
GN
!1/2
≈ 2.177 × 10−5 g = 1.22 × 1022 MeV/c2 .
(19.150)
En la acción (19.146), la constante 1/κ se puede expresar en términos de la
longitud de Planck en la forma
h̄
1
.
=
κ
8πlP2
(19.151)
Si a la acción (19.146) le agregamos una acción de materia y variamos la acción
combinada con respecto a la métrica gµν , obtenemos la ecuación de Einstein
1
1
Rµν − gµν R − λgµν = Tµν ,
κ
2
(19.152)
donde Tµν es el tensor de energı́a-momento de la materia. La constante λ es la
llamada constante cosmológica. Se cree que aparece de las oscilaciones del punto
cero de todos los campos cuánticos en el universo.
f
Un solo campo contribuye a la densidad Lagrangiana L de la Ec. (19.146) con
el término −Λ ≡ −λ/κ, el cual es tı́picamente del orden de h̄/lP4 . Para bosones, el
signo es positivo, para fermiones negativo, reflejando el llenado de todas las energı́as negativas en el vacı́o. Una constante de esta magnitud es mucho mayor que
la presente estimación experimental. En la literatura generalmente encontramos
estimaciones para la cantidad adimensional
Ωλ0 ≡
λ c2
.
3H02
(19.153)
donde H0 es la constante de Hubble, cuyo inversa es aproximadamente igual al tiempo
de vida del universo
H0−1 ≈ 14 × 109 años.
(19.154)
Ajustes recientes a supernovas distantes y otros datos cosmológicos dan la estimación
[11]
Ωλ0 ≈ 0.68 ± 0.10.
(19.155)
El valor de la constante cosmológica λ asociada, será
λ = Ωλ0
3H02
Ωλ0
Ωλ0
Ωλ0
≈
≈
≈
. (19.156)
2
27
2
9
2
c
(6.55 × 10 cm)
(6.93 × 10 ly)
(2.14 Runiverso )2
Nótese que en presencia de λ, la solución de Schwarzschild alrededor de una masa
M tiene la métrica
ds2 = B(r)c2 dt2 − B −1 dr 2 − r 2 dθ2 − r 2 sin2 θdφ2 ,
(19.157)
19.2 El Tunelamiento en Fı́sica Relativista
1469
donde
B(r) = 1 −
2MGN
2 2
M lP 2
r2
−
λ
r
=
1
−
−
Ω
.
λ0
c2 r
3
mP r
3
(2.14 Runiverso)2
(19.158)
Si las distancias son del orden del radio del universo, el término λ agrega una pequeña
fuerza de repulsión a la fuerza de Newton entre masas puntuales.
El valor de la constante Λ asociado con la expresión (19.155) es
Λ=
3H 2 l2
h̄
λ
= Ωλ0 2 0 P ≈ 10−122 4 .
κ
c 8π
lP
(19.159)
Un prefactor tan pequeño como éste sólo se puede obtener de una cancelación casi
perfecta de las contribuciones de los campos bosónicos y fermiónicos. Esta cancelación es la principal razón para postular una supersimetrı́a rota en el universo,
en la cual cada bosón tiene una contraparte fermiónica. Hasta ahora, el espectro
conocido de partı́culas no muestra trazas de tal simetrı́a. Existe por lo tanto una
necesidad de explicar este hecho por medio de algún otro mecanismo no conocido
aún.
El modelo más simple del universo regido por la acción (19.146) es llamado el
modelo de Friedmann o universo de Friedmann.
19.2.3
Modelo de Friedmann
Sustituyendo las Ecs. (19.140) y (19.145) en la componente 00 de la ecuación de
Einstein (19.152), obtenemos la ecuación para la energı́a
3 2
2
− λ = κT0 0 .
a
+
ka
η
4
a
(19.160)
En términos del tiempo cósmico estándar t, la ecuación general será
3
"
at
a
2
c2
+ k 2 − λc2 = c2 κT0 0 .
a
#
(19.161)
El modelo más simple de Friedmann utiliza el concepto del tensor de energı́amomento T0 0 de un gas ideal despresurizado de densidad de masa ρ:
Tµ ν = cρuµ uν ,
(19.162)
donde uµ es la velocidad cuatro-vectorial uµ = (γ,
q γv/c) de las partı́culas cuyas
µ
componentes son u = (γ, γv/c), donde γ ≡ 1/ 1 − v 2 /c2 , suponiendo que las
cuatro componentes se transforman en la forma (dx0 = cdt, dx). Suponemos además
que el gas está en reposo en nuestras coordenadas comóviles, de tal forma que la
única componente distinta de cero es T0 0 :
T0 0 = cρ.
(19.163)
1470
19 Órbitas de Partı́culas Relativistas
Esta componente es invariante bajo la transformación temporal (19.131).
Como un accidente afortunado, esta componente de la ecuación de Einstein no
tiene ningún término aηη a. Ası́ que podemos estudiar simplemente la ecuación diferencial de primer orden
3 2
2
− λ = cκρ.
a
+
ka
a4 η
(19.164)
Puesto que el volumen total del universo es 2πa3 , podemos expresar a ρ en términos
de la masa total M como sigue
M
.
2π 2 a3
ρ=
(19.165)
De esta manera llegamos a la ecuación diferencial
3 2
κMc
4GN M
(aη + ka2 ) − λ = 2 3 =
.
4
a
2π a
πc2 a3
(19.166)
Esta ecuación de movimiento también se puede obtener de otra forma. Expresamos la acción (19.146) en términos de a(η) usando para R la ecuación (19.145).
Usando el volumen (19.123) y la relación (19.131) reescribimos la norma de integración como
Z
4
√
d x −g =
Z
(4)
dt
a
S = 2π
2
2π 2
=
ˆ
κ
Z
Z
dη a4 (η),
(19.167)
ası́ que
2π 2
A =
2κ
f
Z
h
4
dη 6a(aηη + ka) − 2λa
i
h
i
dη −3a2η + 3ka2 − λa4 .(19.168)
La segunda expresión se obtiene de la primera mediante una integración parcial donde ignoramos los términos de frontera que no influyen en la ecuación de
movimiento. La materia de la discusión anterior está descrita por la acción
m
A =−
Z
4
√
d x −gcρ = −2π
2
Z
dη
Mc
a(η).
2π 2
(19.169)
La variación con respecto a a dará la ecuación de Euler-Lagrange
6(aηη + ka) − 4λa3 −
κMc
= 0.
2π 2
(19.170)
Nótese que en términos del tiempo de Robertson-Walker t [recordemos la
Ec. (19.131)], la ecuación de movimiento será
ä =
1 κMc
λ
a−
.
3
6 2π 2 a2
(19.171)
1471
19.2 El Tunelamiento en Fı́sica Relativista
Como es de esperar, la expansión cosmológica es desacelerada por la materia, debido
a la atracción gravitacional. Por otra parte, una constante cosmológica positiva,
acelera la expansión. Para el valor especial
λ = λEinstein ≡
4GN M
4πGN ρ
κMc
=
=
,
2
3
2
3
2π a
πc a
c
(19.172)
los dos efectos se cancelan entre sı́ y existe una solución independiente del tiempo
con radio a y densidad ρ. Este es el valor para la constante cosmológica que escogió
Einstein para reproducir el modelo de universo estacionario de Hoyle, antes del
descubrimiento de Hubble de la expansión del universo (elección que después él
llamarı́a la más grande tonterı́a de su vida).
Multiplicando la Ec. (19.170) por aη e integrando sobre η obtenemos la ley de la
conservación de pseudo-energı́a
3(a2η + ka2 ) − λa4 −
κMc
a = const,
2π 2
(19.173)
en total acuerdo con la Ec. (19.166), para el caso de una pseudo-energı́a nula.
Esta ecuación también se puede escribir como
λ
a2η + ka2 − amáx a − a4 = 0,
3
(19.174)
donde
amáx ≡
κMc
4GN M
=
.
2
6π
3πc2
(19.175)
Este resultado se parece a la ley de la conservación de la energı́a para partı́culas
puntuales de masa “2” en el potencial efectivo del universo
λ
V univ (a) = ka2 − amáx a − a4 ,
3
(19.176)
con energı́a total cero. Para el caso esférico k = 1, el potencial es muestra en la
Fig. 19.2.
El modelo de Friedmann ignora la constante cosmológica y considera la ecuación
a2η + ka2 − amáx a = 0.
(19.177)
La solución de la ecuación diferencial para esta trayectoria se encuentra por integración directa. Suponiendo k = 1, obtenemos
η=
Z
da
q
−V univ (a)
=
Z
da
q
−(a − amáx /2)2 + a2máx /4
= − arccos
2a
. (19.178)
amáx
Con la condición inicial a(0) = 0, esto implica que
a(η) =
amáx
(1 − cos η).
2
(19.179)
1472
19 Órbitas de Partı́culas Relativistas
4
V univ (a)/a2máx
2
1
-2
-4
-6
2
✻
3
4
5
6
a
amáx
a0
amáx
Figure 19.2 Potencial para un universo cerrado de Friedman en función del radio reducido a/amáx , donde λa2máx = 0.1. Nótese que el mı́nimo metaestable conduce a una
posible solución a ≡ a0 . En la región a la derecha, un proceso de tunelamiento conduce a
un universo en expansión.
Integrando la Ec. (19.131), encontramos la relación entre η y el tiempo fı́sico
(=tiempo propio)
1
t=
c
Z
amáx
dη a(η) =
2c
Z
dη (1 − cos η) =
amáx
(η − sin η).
2c
(19.180)
La solución a(t) es el cicloide mostrado en la Fig. 19.3. El radio del universo se
repite periódicamente con periodo t0 = πamáx /c, desde cero hasta amáx . Ası́ el radio
surge a partir del big bang, se expande con una velocidad de expansión decreciente,
debido a la atracción gravitacional, y se recontrae a un punto.
2.5
2
a
amáx
1.5
1
0.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
t/t0
Figure 19.3 Radio del universo como una función del tiempo en el modelo de Friedman,
medido en términos del periodo t0 ≡ πamáx /c (curva sólida= universo cerrado, curva a
trazos= universo hiperbólico, curva punteada= universo parabólico). La curva para el
universo cerrado es una cicloide.
Por otro lado, encontramos que para una densidad alta la solución es inaplicable,
ya que la aproximación del gas ideal despresurizado (19.163) no es correcta.
1473
19.2 El Tunelamiento en Fı́sica Relativista
Consideremos ahora el caso de curvatura negativa, k = −1. Entonces la ecuación
diferencial (19.177) será
λ
a2η − a2 − amáx a − a4 = 0.
3
(19.181)
Para comparar las curvas deberemos introducir de nuevo un parámetro de masa
M y reescribir la densidad como en la Ec. (19.165), aún cuando M ya no tiene el
significado de masa total del universo (la cual ahora es infinita). Para el caso λ = 0,
la solución será
amáx
(cosh η − 1),
2
amáx
t =
(sinh η − η).
2c
a(η) =
(19.182)
(19.183)
Nuevamente, la solución se bosqueja en la Fig. 19.3. Después del big bang, el universo
se expande, aunque con velocidad decreciente, debido al frenado gravitacional. La
cantidad amáx ya no es el radio extremum, ni t0 tampoco es el periodo.
Considérese finalmente el caso parabólico k = 0, donde la ecuación de
movimiento (19.177) será
λ
a2η − amáx a − a4 = 0,
3
(19.184)
donde M es el parámetro de masa definido anteriormente para el caso de curvatura
negativa. Ahora la solución para λ = 0 es simplemente
η=2
s
a
amáx
,
(19.185)
η2
.
4
(19.186)
la cual se puede invertir en la forma
a(η) = amáx
Luego, la solución de la Ec. (19.131) será
t=
amáx 3
η ,
12c
(19.187)
de donde
9
amáx
a(t) =
4
1/3
(ct)2/3 .
(19.188)
Esta solución es simplemente la continuación del término principal hallado en las
dos soluciones previas, para valores grandes de t.
1474
19 Órbitas de Partı́culas Relativistas
19.2.4
Tunelamiento de un Universo en Expansión
Resulta interesante observar que el potencial para el universo esférico de la Fig. 19.2
permite una solución independiente del tiempo, en la cual el radio se encuentra en un
mı́nimo metaestable, el cual podemos llamar a0 . La solución a ≡ a0 corresponde a
un universo independiente del tiempo. Ahora, podemos imaginarnos que el universo
en expansión surge del universo independiente del tiempo mediante un proceso de
tunelamiento hacia el abismo a la derecha del potencial [10]. Su razón de decaimiento
se puede calcular a partir de la acción Euclidiana asociada con la solución clásica
para el tiempo imaginario correspondiente al movimiento desde a0 hacia la derecha
en el potencial invertido −V univ (a).
Obsérvese que este proceso sólo puede conducir a un universo de curvatura positiva. Para una curvatura negativa, donde el término a2 en la Ec. (19.176) tiene
signo opuesto, no existe el mı́nimo metaestable.
19.3
Sistema Relativista Coulombiano
En la integral de trayectoria (19.48), se puede introducir un potencial externo independiente del tiempo V (x), sustituyendo la energı́a E por E − V (x). En el caso de
un potencial atractivo Coulombiano, el segundo término en la acción (19.49) será
Aint = −
Z
λb
λa
dλ h(λ)
(E + e2 /r)2
,
2Mc3
(19.189)
donde r = |x|. La integral de trayectoria asociada se calcula mediante una transformada de Duru-Kleinert en la siguiente forma [12].
Considérese el sistema Coulombiano tri-dimensional donde la dimensión del
espacio-tiempo es D = 4. Incrementemos el espacio tri-dimensional por medio
de una cuarta componente muda x4 , tal como se hizo en el tratamiento no relativista de laR Sección 13.4.
Al final, la variable adicional x4 se elimina mediante
R
la integral dx4a /ra = dγa , como en las Ecs. (13.120) y (13.127). Luego, hacemos uso de la transformada de Kustaanheimo-Stiefel (13.106), dxµ = 2A(u)µ ν duν .
Este proceso cambia x′µ2 a 4~u2~u′ 2 , donde el sı́mbolo vectorial indica la naturaleza
cuatro-vectorial. La acción transformada será:
Ãe,E =
λb
Z
λa
4Mc ~u2 ′ 2
h(λ)
e4
2 4
2 2
2
dλ
~u (λ) +
(M
c
−
E
)~
u
−2Ee
−
2h(λ)
2Mc3~u2
~u2
"
#
. (19.190)
Si ahora usamos la norma h(λ) = 1 y luego cambiamos de λ a un nuevo parámetro
adimensional s, via la transformación dependiente de la trayectoria dλ = f ds, en
donde f = ~u2 . El resultado es la acción transformada DK
ĀDK
e,E
=
Z
sb
sa
"
#
ds 4Mc2 ′ 2
e4
1
2
2
2 4
2
~u (s) +
M c − E ~u − 2Ee − 2 .
c
2
2Mc2
~u
(19.191)
1475
19.3 Sistema Relativista Coulombiano
Esta acción describe una partı́cula de masa µ = 4M moviendose, en función del
“pseudotiempo” s, en un potencial armónico oscilatorio de “frecuencia” adimensional
1 √ 2 4
M c − E 2.
2Mc2
ω=
(19.192)
El oscilador posee un potencial adicional atractivo −e4 /2Mc2~u2 , que se parametriza
convenientemente mediante una barrera centrı́fuga
Vextra = h̄2
2
lextra
,
2µ~u2
(19.193)
cuyo momento angular cuadrático tiene un valor negativo
2
lextra
≡ −4α2 .
(19.194)
Aquı́ α denota la constante de estructura fina α ≡ e2 /h̄c ≈ 1/137. Adicionalmente,
existe también un potencial constante trivial
Vconst = −
E 2
e .
Mc2
(19.195)
Si por el momento ignoramos la barrera centrı́fuga Vextra , se obtiene inmediatamente
la solución de la integral de trayectoria [ver la Ec. (13.127)]:
h̄ 1
(xb |xa )E = −i
2Mc 16
Z
0
∞
e2 ES/M c2 h̄
dS e
Z
4π
0
dγa (~ub S|~ua 0) ,
(19.196)
donde (~ub S|~ua0) es la amplitud de evolución pseudotemporal del oscilador armónico
cuatro-dimensional.
No existen correcciones debidas a la partición temporal por la misma razón que
nos las hay en el caso tri-dimensional. Esta afirmación se obtiene de la conección
afı́n de la transformada de Kustaanheimo-Stiefel, la cual cumple la relación
Γµ µλ = g µν ei λ ∂µ ei ν = 0
(19.197)
(ver la discusión dada en la Sección 13.6).
Efectuando la integral sobre γa en la Ec. (19.196), obtenemos
!
√
Z
2 ̺q
h̄ Mκ 1
̺−ν
(xb |xa )E = −i
(rb ra + xb xa )/2
d̺
I0 2κ
2Mc πh̄ 0
(1 − ̺)2
1−̺
"
#
1+̺
× exp −κ
(rb + ra ) ,
(19.198)
1−̺
donde usamos la varible
h ≡ e−2ωS ,
(19.199)
1476
19 Órbitas de Partı́culas Relativistas
y los parámetros
e2 E
α
,
=q
2
2ωh̄ Mc
M 2 c4 /E 2 − 1
1√ 2 4
Eα
µω
=
.
κ =
M c − E2 =
2h̄
h̄c
h̄c ν
ν =
(19.200)
(19.201)
Como en el tratamiento posterior a la Ec. (13.203), el uso de la fórmula
I0 (z cos(θ/2)) =
∞
2X
(2l + 1)Pl (cos θ)I2l+1 (z)
z l=0
(19.202)
nos permite hallar la descomposición en ondas parciales
(xb |xa )E =
=
∞
1 X
2l + 1
Pl (cos θ)
(rb |ra )E,l
rb ra l=0
4π
∞
l
X
1 X
∗
(rb |ra )E,l
Ylm (x̂b )Ylm
(x̂a ).
rb ra l=0
m=−l
(19.203)
La amplitud radial se normaliza de forma ligeramente diferente a la dada en la
Ec. (13.210):
(rb |ra )E,l
h̄ √
2M
= −i
rb ra
2Mc
h̄
Z
0
∞
dy
1
e2νy
sinh y
× exp [−κ coth y(rb + ra )] I2l+1
√
2κ rb ra
(19.204)
!
1
.
sinh y
A partir de este momento, incorporamos la barrera centrı́fuga mediante el reemplazo
2l + 1 → 2˜l + 1 ≡
q
2
(2l + 1)2 + lextra
,
(19.205)
como se hizo en las Ecs. (8.146) y (14.223). De acuerdo a la Ec. (9.29), la integración
sobre y será
(rb |ra )E,l = −i
h̄ M Γ(−ν + ˜l + 1)
Wν,l̃+1/2 (2κrb ) Mν,l̃+1/2 (2κra ) . (19.206)
2Mc h̄κ (2˜l + 1)!
Esta expresión posee polos en la función Gamma, cuyas posiciones satisfacen las
ecuaciones ν − ˜l − 1 = 0, 1, 2, . . . . Mismos que determinan los estados ligados del
sistema Coulombiano. Para simplificar las expresiones subsecuentes introducimos el
parámetro de valores positivos pequeños dependiente en l
δl ≡ l − ˜l = l + 1/2 −
q
(l + 1/2)2 − α2 ≈
α2
+ O(α4 ).
2l + 1
(19.207)
1477
19.3 Sistema Relativista Coulombiano
De donde los polos cumplen con la relación ν = ñl ≡ n − δl , para n = l + 1, l + 2, l +
3, . . . . Usando la relación (19.200), obtenemos las energı́as de los estados ligados:
Enl
#−1/2
α2
= ±Mc 1 +
(n − δl )2
"
#
α2
α4
3
1
2
6
≈ ±Mc 1 − 2 − 3
+ O(α ) .
−
2n
n 2l + 1 8n
2
"
(19.208)
Nótese que la aparición del signo más-menos es una propiedad caracterı́stica de
las energı́as en la mecánica cuántica relativista. Una interpretación correcta de la
energı́a negativa como la energı́a positiva de las anti-partı́culas es inmediata sólo
en la teorı́a cuántica de campos y no será discutida aquı́. Aún si ignoramos las
energı́as negativas, existe un acuerdo pobre con el espectro experimental del átomo
de hidrógeno. Debemos de incluir el espı́n del electrón para obtener resultados más
satisfactorios.
Para encontrar las funciones de onda, hacemos la siguiente aproximación cerca
de los polos ν ≈ ñl :
(−)nr 1
Γ(−ν + ˜l + 1) ≈ −
,
nr ! ν − ñl
E 2 2Mc2
2 h̄2 κ2
1
,
≈
2
ν − ñl
ñl 2M Mc2 E 2 − Enl
E 1 1
,
κ ≈
Mc2 aH ñl
(19.209)
donde el número cuántico radial es nr = n − l − 1. En analogı́a con la ecuación no
relativista (13.213), la última ecuación se puede reescribir como
κ=
1 1
,
ãH ν
(19.210)
donde
ãH ≡ aH
Mc2
E
(19.211)
representa el radio modificado de Bohr dependiente de la energı́a [comparemos con
la Ec. (4.376)]. Este radio determina la escala de los estados relativistas ligados
en términos de la energı́a E. En lugar de ser igual a la longitud de Compton del
electrón h̄/Mc multiplicada por 1/α ≈ 137, el radio modificado de Bohr es igual al
producto de 1/α por h̄c/E.
Cerca de los polos de energı́a positiva, tenemos la aproximación
−iΓ(−ν + ˜l + 1)
(−)nr 1
M
≈ 2
h̄κ
ñl nr ! ãH
E
Mc2
2
2Mc2 ih̄
.
2
E 2 − Enl
(19.212)
1478
19 Órbitas de Partı́culas Relativistas
Usando este comportamiento y la fórmula (9.48) para las funciones de Whittaker
[en adición con la Ec. (9.50)], tenemos que la contribución de los estados ligados a
la representación espectral de la amplitud de energı́a fija será
(rb |ra )E,l
∞
h̄ X
E
=
Mc n=l+1 Mc2
2
2Mc2 ih̄
Rnl (rb )Rnl (ra ) + . . . .
2
E 2 − Enl
(19.213)
Una comparación entre los polos de la Ec. (19.206) y la Ec. (19.213) nos permite
hallar la función de onda radial
1
1/2
ãH ñl (2˜l + 1)!
1
Rnl (r) =
v
u
u
t
(ñl + ˜l)!
(n − l − 1)!
×(2r/ñl ãH )l̃+1 e−r/ñl ãH M(−n + l + 1, 2˜l + 2, 2r/ñl ãH )
1
=
1/2
ãH ñl
(19.214)
v
u
u (n − l
t
− 1)! −r/ñãH
e
(2r/ñl ãH )l̃+1 Lñ2l̃+1
(2r/ñl ãH ).
l −l−1
˜
(ñ + l)!
Las funciones de onda normalizadas apropiadamente serán
1
ψnlm (x) = Rnl (r)Ylm (x̂).
r
(19.215)
Las funciones de onda continuas se obtienen en la misma forma como se hizo en el
caso de las amplitudes no relativistas que nos llevó a las fórmulas (13.221)–(13.229).
19.4
Partı́cula Relativista en un Campo Electromagnético
Consideremos ahora a la partı́cula relativista en un campo vectorial electromagnético Aµ (x) dependiente de un espacio-tiempo general.
19.4.1
Acción y Función de Partición
En la acción canónica (19.14) se puede incluir un campo electromagnético Aµ (x) de
la forma usual, mediante la substitución mı́nima (2.644):
Āe [p, x] =
Z
λb
λa
(
h(λ)
dλ −ipẋ +
2Mc
"
2
e
p− A
c
2 2
+M c
#)
,
(19.216)
con lo que la amplitud (19.22):
(xb |xa ) =
h̄
2Mc
Z
0
∞
dS
Z
Dh Φ[h]
Z
D D x e−Āe /h̄ ,
(19.217)
donde la acción de acoplamiento mı́nimo será [comparemos con la Ec. (2.706)]
Āe =
Z
λb
λa
"
#
Mc 2
e
Mc
dλ
,
ẋ (λ) + i ẋ(λ)A(x(λ)) + h(λ)
2h(λ)
c
2
(19.218)
1479
19.4 Partı́cula Relativista en un Campo Electromagnético
por lo que en la norma más simple de la Ec. (19.23), la amplitud se reduce a la
extensión dada en la Ec. (19.26):
h̄2
(xb |xa ) =
2M
∞
Z
0
−βM c2 /2
dβ e
Z
D 4 x e−Ae ,
(19.219)
cuya acción es
Ae = Ae,0 + Ae,int ≡
h̄β
Z
0
M 2
e
dτ
ẋ (τ ) + i ẋ(τ )A(x(τ )) .
2
c
(19.220)
La función de partición para un lazo de cualquier forma y longitud de una partı́cula
en un campo electromagnético externo es, de acuerdo a la Ec. (19.37),
Z1 =
∞
Z
0
dβ −βM c2 /2
e
β
Z
D D x e−Ae /h̄ .
(19.221)
Como en las Ecs. (19.45) y (19.46) esto dará, hasta un factor de 1/h̄, la acción
efectiva de un ensemble de lazos cerrados de partı́culas en un campo electromagnético
externo.
19.4.2
Desarrollo Perturbativo
Dado que el acoplamiento electromagnético es muy pequeño, podemos separar el
exponente e−A/h̄ como e−A0 /h̄ e−Aint /h̄ y desarrollar el segundo factor en potencias de
Aint :
n Z h̄β
(−ie/h̄c)n Y
=
dτi ẋ(τi )A(x(τi )) .
n!
0
n=0
i=1
∞
X
−Aint /h̄
e
(19.222)
Si la acción efectiva no interactuante contenida en las Ecs. (19.39), (19.37) y (19.46)
se denota por
Γe,0
≡ −Z1 = −
h̄
Z
∞ dβ
β
0
e−βM c
VD
2 /2
q
2πh̄2 β/M
D
=−
VD
D
λC
M
1
Γ(1−D/2), (19.223)
(4π)D/2
utilizando la longitud de onda de Compton λC
M dada por la Ec. (19.31), obtenemos
el desarrollo no perturbativo
Γe Γe,0
=
−
h̄
h̄
Z
∞ dβ
0
β
VD
−βM c2 /2
e
q
2πh̄2 β/M
D
∞
X
(−ie/c)n
n=1
n!
*
n Z
Y
i=1
0
h̄β
dτi ẋ(τi )A(x(τi ))
+
,
0
(19.224)
donde h . . . i0 representa los valores esperados de la partı́cula libre [comparemos
con las Ecs. (3.483)–(3.486)] hallados de la integral de trayectoria libre utilizando
1480
19 Órbitas de Partı́culas Relativistas
trayectorias periódicas para valores fijos de β [comparemos con las Ecs. (19.38) y
(19.41)]:
hO[x]i0 ≡
R
q
D D x O[x] e−Ae,0 /h̄
R
.
D D x e−Ae,0 /h̄
(19.225)
D
El denominador es igual a VD / 2πh̄2 β/M .
En el desarrollo (19.224) se puede omitir la acción efectiva libre permitiendo que
la suma empieze a partir de n = 0.
La evaluación de los cumulantes se obtiene por descomposición de Fourier de los
campos vectoriales, usando la forma
A(x) =
Z
dD k ikx
e A(k),
(2π)D
(19.226)
y reescribiendo la Ec. (19.224) como
Γe,0
Γe
=
−
h̄
h̄
Z
∞
0
VD
dβ −βM c2 /2
e
q
D
β
2πh̄2 β/M
#* n Z
"Z
+
n
h̄β
Y
(−ie/h̄c)n Y
dD ki µi
µi
iki x(τi )
×
A (ki )
dτi ẋ (τi )e
.(19.227)
n!
(2π)D
0
n=1
i=1
i=1
0
∞
X
Primero evaluamos los valores esperados
D
ẋ(τ1 )eik1 x(τ1 ) · · · ẋ(τn )eikn x(τn )
E
0
.
(19.228)
Debido a las condiciones de frontera periódicas, como en la Sección 3.25, separamos
la trayectoria promedio x0 = x̄(τ ) [recordemos la Ec. (3.807)], escribiendo
x(τ ) = x0 + δx(τ ),
(19.229)
y factorizando la Ec. (19.228) en la forma
D
ei(k1 +...+kn )x0
E D
0
δ ẋ(τ1 )eik1 δx(τ1 ) · · · δ ẋ(τn )eikn δx(τn )
E
0
.
(19.230)
El primer promedio se puede encontrar como un promedio con respecto a la parte
x0 de la integral de trayectoria cuya norma se dio en la Ec. (3.811). Esto dará una
función δ, asegurando con ello la conservación de la energı́a total y el momentum
de los n fotones involucrados:
D
ei(k1 +...+kn )x0
E
0
=
1
(2π)D δ (D) (k1 + . . . + kn ).
VD
(19.231)
El denominador se obtiene de la normalización de aquel valor esperado que tiene
R
una integral dD x0 en el denominador.
El segundo promedio se obtiene usando el teorema de Wick. La función de correlación hδxµ (τ1 )δxν (τ2 )i0 , se obtiene a partir de la Ec. (3.842) en el lı́mite Ω → 0,
1481
19.4 Partı́cula Relativista en un Campo Electromagnético
donde τ1 , τ2 ∈ (0, β). Esta función de correlación es el propagador periódico cuyo
modo cero se ha substraido:
hδxµ (τ1 )δxν (τ2 )i0 = δ µν G(τ1 , τ2 ) = δ µν
h̄ ¯
∆(τ1 , τ2 ),
M
(19.232)
¯ 1 − τ2 ) es la función de Green periódica substraida Ga (τ − τ ′ ), codonde ∆(τ
ω,e
rrespondiente al operador diferencial −∂τ2 , calculada en la Ec. (3.254), y donde se
utiliza la notación abreviada de la Subsección 10.12.1 [ver la Ec. (10.565)]. En las
unidades actuales tendremos:
′
′ 2
¯ τ ′ ) ≡ ∆(τ
¯ − τ ′ ) = (τ − τ ) − τ − τ + h̄β ,
∆(τ,
2h̄β
2
12
τ ∈ [0, h̄β].
(19.233)
Usando la Ec. (10.566), las derivadas temporales de la Ec. (19.233) serán:
τ − τ ′ ǫ(τ − τ ′ )
−
,
h̄β
2
¯ τ ′ ) = −∆˙(τ,
¯
˙∆(τ,
τ ′) ≡
τ, τ ′ ∈ [0, h̄β].
(19.234)
Con estas funciones y usando la regla de Wick (3.310) para j(τ ) =
es directo calcular el valor de esperado:
D
eik1 δx(τ1 ) · · · eikn δx(τn )
E
1
0
= e− 2
Pn
i,j=1
ki kj G(τi ,τj )
Pn
i
ki δ(τ −τi ),
.
(19.235)
Reescribiendo el lado derecho en la forma
1
e− 2
Pn
i,j=1
ki kj G(τi ,τj )
1
= e− 2
Pn
ki kj [G(τi ,τj )−G(τi ,τi )]− 21 (
i,j=1
vemos que, si la suma de los momenta ki es cero
la Ec. (19.235) por
D
eik1 δx(τ1 ) · · · eikn δx(τn )
E
0


= exp −

n
X
i<j
Pn
i=1
Pn
i=1
2
ki ) G(τi ,τi )
, (19.236)
ki = 0, podemos reemplazar


ki kj [G(τi , τj ) − G(τi , τi )] .
(19.237)

Por lo tanto, es útil introducir la función substraida de Green
G′ (τi , τj ) ≡ G(τi , τj ) − G(τi , τi ).
(19.238)
Recordemos la situación similar hallada en la evaluación de la Ec. (5.377).
Una extensión obvia de la Ec. (19.235) será
D
ei[k1 δx(τ1 )+q1 ẋ(τ1 )] · · · ei[kn δx(τn )+qn ẋ(τn )]
Pn
1
= e− 2
i,j=1
0
1
q
k
i
j ˙G (τi ,τj )− 2
i,j=1
Pn
1
ki kj G(τi ,τj )− 2
E
(19.239)
Pn
i,j=1
Pn
1
ki qj G˙(τi ,τj )− 2
q q ˙G˙(τi ,τj )
i,j=1 i j
donde los puntos tienen el mismo significado que el dado en la Ec. (10.395).
,
1482
19 Órbitas de Partı́culas Relativistas
19.4.3
Polarización del Vacı́o a Orden Menor
Considérese el caso no trivial de orden menor n = 2. Diferenciando la Ec. (19.237)
con respecto a iq1 e iq2 y usando el valor qi = 0, para k2 = −k1 = −k obtenemos:
E
D
h
i
ẋ(τ1 )eikδx(τ1 ) ẋ(τ2 )e−ikδx(τ2 ) = ˙G˙(τ1 , τ2 )+k 2 ˙G (τ1 , τ2 )G˙(τ1 , τ2 ) ek
0
2 [G(τ ,τ )−G(τ ,τ )]
1 2
1 1
.
(19.240)
Sustituyendo este resultado en la Ec. (19.227), después de hacer una factorización
de acuerdo a la Ec. (19.230), obtenemos la corrección de orden menor a la acción
efectiva
e2
∆Γe=−
2h̄c2
Z
×
Z
0
∞ dβ
β
0
h̄β
dτ1
Z
e
q
2πh̄2 β/M
h̄β
0
1
−βM c2 /2
D
"
2 Z
Y
i=1
d D ki
(2π)Dδ (D)(k1+k2)Aµ (k1 )Aν (k2 )
(2π)D
#
2
dτ2 [˙G˙(τ1 , τ2 )δ µν + k1µ k1ν ˙G (τ1 , τ2 ) G˙(τ1 , τ2 )] ek1 G (τ1 ,τ2 ) ,
′
(19.241)
donde mostramos los ı́ndices vectoriales apropiados. Una integración por partes
sobre τ1 permite escribir la segunda lı́nea en la forma
−
Z
0
h̄β
dτ1
h̄β
Z
0
2
dτ2 k12 δ µν − k1µ k1ν ˙G (τ1 , τ2 ) G˙(τ1 , τ2 ) ek1 G (τ1 ,τ2 ) .
h
′
(19.242)
i
¯ 1 − τ2 ) − ∆(0)
¯
Expresando a G′ (τ1 , τ2 ) en la forma (h̄/M) ∆(τ
y usando la periodicidad sobre τ2 , obtenemos
Z h̄β
h̄2 2 µν
µ ν
˙ ′ 2 (τ )eh̄k12 M [∆′p (τ )−∆′p (0)] .
k
δ
−
k
k
h̄β
dτ ∆
1 1
1
p
2
M
0
(19.243)
Ahora, introducimos los tiempos reducidos u ≡ τ /h̄β y reescribimos las funciones
de Green para τ ∈ (0, h̄β) y u ∈ (0, 1) en la forma
¯ 1 − τ2 ) = − h̄β u(1 − u) − 1 ,
∆(τ
2
6
1
¯˙ 1 − τ2 ) = u − ,
∆(τ
2
(19.244)
(19.245)
de tal manera que en la Ec. (19.243) la integral será de la forma
1Z 1
2 2
du (2u − 1)2 e−βh̄ k1 u(1−u)/2M .
4 0
(19.246)
Sustituyendo este resultado en la Ec. (19.241) y eliminando los subı́ndices irrelevantes de k1 llegamos a la expresión
e2
∆Γe =
2h̄c2
Z
0
∞ dβ
β
1
−βM c2 /2
e
× k 2 δ µν − k µ k ν
q
2πh̄2 β/M
h̄4 β 2
4M 2
Z
0
1
D
Z
dD k µ
A (k)Aν (−k)
D
(2π)
2 2
k 2M u(1−u)/2M
du (2u − 1)2 e−βh̄
.
(19.247)
1483
19.4 Partı́cula Relativista en un Campo Electromagnético
Luego de reemplazar h̄2 β/2M → β, la integral sobre β se puede resolver fácilmente
usando la fórmula (2.498), de donde obtenemos
e2 h̄
1
1
∆Γe = 2
D/2
c (4π)
2c
× Γ (2 − D/2)
Z
0
Z
1
dD k µ
ν
2 µν
µ ν
A
(k)A
(−k)
k
δ
−
k
k
(2π)D
h
du (2u − 1)2 u(1 − u)k 2 + M 2 c2 /h̄2
iD/2−2
.
(19.248)
En el prefactor reconocemos la constante de estructura fina α = e2 /h̄c [recordemos
la Ec. (1.505)]. La integral del momentum se puede reescribir como
1 Z dD k
1 Z dD k µ
ν
2 µν
µ ν
=
A
(k)A
(−k)
k
δ
−
k
k
Fµν (−k)Fµν (k),
2 (2π)D
4 (2π)D
(19.249)
donde
Fµν (x) = ∂µ Aν (x) − ∂ν Aµ (x)
(19.250)
es el tensor de intensidad del campo electromagnético. Ahora abreviamos la integral
sobre u como sigue:
Z 1
i
h
4π
2 D/2−2
2
2 2
2
Π(k ) ≡ α
u(1
−
u)k
+
M
c
/h̄
.(19.251)
Γ
(2−D/2)
du
(2u
−
1)
(4π)D/2
0
2
Esto nos permite re-expresar la Ec. (19.248) en el espacio de configuraciones:
1
∆Γe =
16πc
Z
d4 xFµν (x)Π(−∂ 2 )Fµν (x),
(19.252)
donde Fµν (x) es la versión Euclidiana del rotacional 4-dimensional invariante de
norma del potencial vectorial:
Fµν (x) = ∂µ Aν (x) − ∂ν Aµ (x).
(19.253)
En el espacio de Minkowski, las componentes de Fµν son los campos eléctricos y
magnéticos:
F0i = −F 0i = −∂ 0 Ai + ∂ i A0 = −∂0 Ai − ∂i A0 = −E i ,
Fij = F ij = ∂ i Aj + ∂ j Ai = −∂i Aj + ∂j Ai = −ǫijk B k .
(19.254)
(19.255)
Esto está de acuerdo con las definiciones de la electrodinámica
1
E ≡ − Ȧ − ∇φ,
c
B ≡ ∇ × A,
(19.256)
donde A0 (x) se identifica con el potencial eléctrico φ(x).
En términos de Fµν (x) la acción de Maxwell, en presencia de una densidad de
carga ρ(x) y una densidad de corriente eléctrica j(x),
A
em
=
Z
i
1 h 2
1
dt d x
E (x) − B2 (x) − ρ(x)φ(x) − j(x) · A(x)
4π
c
3
,
(19.257)
1484
19 Órbitas de Partı́culas Relativistas
se puede escribir covariantemente como
Aem = −
Z
d4 x
1
1 2
Fµν (x) + 2 j µ (x)Aµ (x) ,
8πc
c
(19.258)
donde
jµ (x) = (cρ(x), j(x))
(19.259)
es el cuatro-vector formado por la densidad de carga y la corriente eléctrica.
Maximizando la acción (19.258) con respecto al campo vectorial Aµ (x), encontramos las ecuaciones de Maxwell en forma covariante
1
∂ν F νµ (x) = j µ (x),
c
(19.260)
cuyas componentes cero y espaciales se reducen a las famosas leyes de Gauss y de
Ampère:
∇ · E = 4πρ (ley de Gauss),
4π
j (ley de Ampère).
∇×B =
c
(19.261)
(19.262)
Expresando el campo eléctrico E(x) en términos del potencial, usando la Ec. (19.256)
e insertando esto en la ley de Gauss obtenemos la ecuación de Poisson para una carga
puntual e estática y localizada en el origen
−∇2 φ(x) = 4πeδ (3) (x).
(19.263)
Un electrón de carga −e experimenta un potencial mecánico atractivo V (x) =
−eφ(x). En el espacio del momentum este potencial cumple la ecuación
k2 V (k) = −4πe2 .
(19.264)
De esta expresión hallamos directamente el potencial de Coulomb del átomo de
hidrógeno
2 −1
(3)
V (x) = (∇ ) 4πeδ (x) = −
Z
e2
d3 k 4πe2
=
−
,
(2π)3 k2
r
r ≡ |x|,
(19.265)
donde e2 se puede expresar en términos de la constante de estructura fina α usando
la relación e2 = h̄c α (ver la Ec. (1.505)).
El resultado Euclidiano dado en la Ec. (19.252) implica que la fluctuación de la
órbita cerrada de una partı́cula cambia el primer término de la acción de Maxwell
(19.258) a la forma
Aeff
em = −
Z
dD x
h
i
1
Fµν (x) 1 + Π(−∂ 2 ) Fµν (x).
16πc
(19.266)
1485
19.4 Partı́cula Relativista en un Campo Electromagnético
La cantidad Π(−∂ 2 ) es la auto-energı́a del campo electromagnético, la cual se origina
por la fluctuación de la órbita cerrada de la partı́cula.
La auto-energı́a lleva las ecuaciones de Maxwell (19.261) y (19.262) a la forma
h
1 + Π(−∂ 2 )
i
∇ · E = 4πρ,
4π
j.
1 + Π(−∂ 2 ) ∇ × B =
c
h
i
(19.267)
Luego, la ecuación estática (19.264) para el potencial atómico cambia a la forma
h
i
1 + Π(k2 ) k2 V (k) = −4πe2 .
(19.268)
Ya que el orden de magnitud de Π(k2 ) es α ≈ 1/137, esta ecuación se puede resolver
aproximadamente usando la expresión
h
V (k) ≡ −4πe2 1 − Π(k2 )
i
1
.
k2
(19.269)
En el espacio real, a orden menor en α el potencial atómico atractivo tendrá la forma
−
h
i α
α
→ − 1 − Π(∇2 )
.
r
r
(19.270)
Calculemos explı́citamente este cambio. En D = 4−ǫ dimensiones y para valores
pequeños de ǫ y k 2 , desarrollamos la auto-energı́a dada en la Ec. (19.251) en la forma
αh̄2 k 2
2
M 2 c2 eγ
k2
α
−
− + log
+ O ǫ, 2 2 2 . (19.271)
Π(k ) =
24π
ǫ
160πM 2 c2
4πh̄2
M c /h̄
2
#
"
!
Sustituyendo este resultado en la Ec. (19.269) y usando la ecuación Poisson −∇2 ×
1/r = 4πδ (3) (x), vemos que la auto-energı́a lleva el potencial de Coulomb a la forma:
α
α2 h̄2 (3)
−
δ (x).
r
40M 2 c2
(19.272)
El primer término representa un pequeño factor de renormalización del acoplamiento
electromagnético, el factor dentro de los corchetes, el cual es aproximadamente igual
a la unidad para valores finitos de ǫ, ya que α es pequeño. Sin embargo, estamos
interesados en el resultado para un espacio-tiempo de D = 4 dimensiones, donde
ǫ → 0 y la Ec. (19.272) diverge. La solución fı́sicamente aceptable de este problema
divergente es suponer que, en la interacción electromagnética, la carga puntual inicial
e0 difiere de la carga observada experimentalmente, para compensar precisamente
el factor de renormalización, i.e.,
h
iα
α
2
M 2 c2 eγ
α
≈ − 1−
−
+log
− → − 1−Π(∇2 )
r
r
24π 2
ǫ
4πh̄2
(
e20
2
=e
(
"
α
2
M 2 c2 eγ
1+
−
+log
24π 2
ǫ
4πh̄2
"
#)
#)
.
(19.273)
1486
19 Órbitas de Partı́culas Relativistas
Con esto la Ec. (19.272) se obtiene en términos de e0 , i.e., reemplazamos α por α0 .
Luego, usando la Ec. (19.273) encontramos que a orden α2 el potencial atómico es
V
eff
α
α2h̄2 (3)
(x) = − −
δ (x).
r
40M 2 c2
(19.274)
El segundo término representa una interacción adicional atractiva de contacto. Esta
interacción cambia las energı́as, dadas en la Ec. (19.208), de los estados ligados de
una onda tipo s hacia valores ligeramente menores.
19.5
Integrales de Trayectoria para Partı́culas de Espı́n 1/2
Para partı́culas de espı́n 1/2 la formulación de la integral de trayectoria es algebraicamente más complicada. Recordemos primero algunos hechos de la teorı́a del
electrón de Dirac.
19.5.1
Teorı́a de Dirac
En la teorı́a de Dirac, los electrones se describen en el espacio-tiempo por un campo
de cuatro-componentes ψα (x), parametrizado por xµ = (ct, x), donde µ = 0, 1, 2, 3.
El campo satisface la ecuación de onda
(ih̄/
∂ − Mc) ψ(x) = 0,
(19.275)
donde ∂/ es una notación abreviada para γ µ ∂µ y γ µ son las matrices 4 × 4 de Dirac,
que cumplen con las reglas de anticonmutación
{γ µ , γ ν } = 2g µν ,
(19.276)
donde gµν es la métrica de Minkowski




gµν = 
1
0
0
0
0 −1
0
0
0
0 −1
0
0
0
0 −1



.

(19.277)
Una representación explı́cita de estas reglas se puede escribir fácilmente en
términos de las matrices de Pauli (1.448):
0
γ =
σ0
0
0 −σ 0
!
,
i
γ =
0 σi
− σi 0
!
,
(19.278)
donde σ 0 es la matriz unidad de dimensión 2 × 2. Las reglas de anticonmutación
dadas en la Ec. (19.276) se siguen directamente de la regla de multiplicación para
las matrices de Pauli:
σ i σ j = δ ij + iǫijk σ k .
(19.279)
19.5 Integrales de Trayectoria para Partı́culas de Espı́n 1/2
1487
la acción del campo de Dirac es
Z
A=
d4 x ψ̄(x) (ih̄/
∂ − Mc) ψ(x),
(19.280)
donde el campo conjugado ψ̄(x) está definido como
ψ̄(x) ≡ ψ † (x)γ 0 .
(19.281)
Se puede mostrar que este resultado permite que, bajo las transformaciones de
Lorentz, ψ̄(x)ψ(x) se comporta como un campo escalar, ψ̄(x)γ µ ψ(x) es un campo
vectorial y A es un invariante. Si descomponemos a ψ(x) en sus componentes de
Fourier
ψ(x) =
X
k
1
√ eikx ψk (t),
V
(19.282)
donde V es el volumen espacial, la acción será
A=
Z
tb
ta
dt
X
k
ψk† (t) [ih̄∂t − H(h̄k)] ψk (t),
(19.283)
donde la matriz Hamiltoniana de dimensión 4 × 4 es
H(p) ≡ γ 0 p c + γ 0 Mc2 .
(19.284)
Esta matriz se puede reescribir en términos de submatrices de dimensión 2 × 2, en
la forma
Mc
p
− p −Mc
H(p) =
!
c.
(19.285)
Puesto que la matriz es Hermitiana, se puede diagonalizar por medio de una transformación unitaria
d
H (p) =
!
εk 0
0 −εk
,
(19.286)
donde
q
εk ≡ c p2 + M 2 c2
(19.287)
son las energı́as de las partı́culas relativistas de masa M y momentum p. Cada
entrada en la Ec. (19.286) es una submatriz 2 × 2.
Este resultado se obtiene por medio de la tranformación de Foldy-Wouthuysen
H d = eiS He−iS ,
(19.288)
donde
S = −i · /2,
≡ arctan (v/c),
v ≡ p/M = velocidad.
(19.289)
1488
19 Órbitas de Partı́culas Relativistas
El vector está orientado en la dirección de la velocidad v y tiene la longitud
ζ = arctan (v/c), tal que
cos ζ = √
Mc
,
p2 + M 2 c2
sin ζ = √
|p|
.
p2 + M 2 c2
(19.290)
Una función de un vector v se define por su serie de Taylor, donde las potencias pares
de v son escalares v2n = v 2n y las potencias impares son vectores v2n+1 = v 2n v. Si
v̂ denota, como es usual, la dirección del vector v̂ ≡ v/|v|, la matriz · v̂ tiene la
propiedad de que todas las potencias pares de ésta son iguales a la matriz unidad
4 × 4, hasta signos alternantes: ( · v̂)2n = (−1)n . Ası́ S = −i · v̂ζ y la serie de
Taylor de eiS será explı́citamente
(−1)n
e =
n=0,2,4,... n!
iS
X
ζ
2
!n
(−1)n−1
+ ( · v̂)
n!
n=1,3,5,...
X
ζ
2
!n
= cos
ζ
ζ
+ · v̂ sin . (19.291)
2
2
ˆ |p|, mientras que, debido a las reglas
Ahora, S conmuta trivialmente con · p = · de anticonmutación (19.276), anticonmuta con γ 0 . Por lo que en la Ec. (19.288),
podemos mover la transformación del lado derecho al lado izquierdo simplemente
con un cambio de signo de S, obteniendo
H d = e2iS H.
(19.292)
Es fácil calcular e2iS : simplemente tenemos que multiplicar la rapidez en la
Ec. (19.291) por un factor dos, de donde obtenemos
e2iS = cos ζ + · v̂ sin ζ = √
p2
Mc
(1 + · p/Mc) .
+ M 2 c2
(19.293)
Ası́ obtenemos
H d = e2iS H = √
Mc
(1 + · p/Mc) Mc2 γ 0 (1 + · p/Mc) .
2
2
2
p +M c
(19.294)
Moviendo el paréntesis del lado derecho de γ 0 hacia la izquierda obtenemos un
cambio de signo de . De tal forma que el producto (1 + · p/Mc) (1 − · p/Mc)
es simplemente 1 + p2 /M 2 c2 , por lo que
q
d
H = c p2 + M 2 c2 γ 0 = εk γ 0 = h̄ωk γ 0 .
(19.295)
Dado que γ 0 tiene la forma de la Ec. (19.278), tenemos entonces que H d tiene la
forma diagonal mostrada por la Ec. (19.286).
Utilizando los campo diagonales ψkd (t) = eiS ψk (t), la acción será
A=
Z
tb
ta
dt
X
k
h
i
ψkd† (t) ih̄∂t − H d (h̄k) ψkd (t).
(19.296)
1489
19.5 Integrales de Trayectoria para Partı́culas de Espı́n 1/2
Ası́ el campo de Dirac es equivalente a la suma de un número infinito de estados del momentum, donde cada estado se asocia con cuatro osciladores armónicos
tipo Fermi. La integral de trayectoria es el producto de integrales de trayectoria
armónicas independientes con frecuencias ±ωk .
Luego, es fácil calcular la función de partición mecánico-cuántica utilizando el
resultado de la Ec. (7.419) para cada oscilador, usando la continuación a tiempos
reales:
ZQM =
Yn
o
2 cosh4 [ωk (tb − ta )/2] .
k
(19.297)
Esto también se puede escribir como
ZQM = exp 4
X
k
!
log {2 cosh[ωk (tb − ta )/2]} ,
(19.298)
o en la forma
"
ZQM = exp 4
X
k
#
Tr log (ih̄∂t − h̄ωk ) = exp
(
X
k
h
d
Tr log ih̄∂t − H (h̄k)
)
i
. (19.299)
Puesto que la traza es invariante bajo transformaciones unitarias, podemos reescribir
este resultado como
ZQM = exp
(
X
k
)
Tr log [ih̄∂t − H(h̄k)] ,
(19.300)
o ya que el determinante de γ 0 es la unidad, en la forma
ZQM = exp
(
X
k
h
0
0
d
Tr log ih̄γ ∂t −γ H (h̄k)
)
i
= exp
(
X
k
Tr log ih̄γ ∂t −h̄c k−Mc
h
0
2
)
i
.
Si incluimos las coordenadas espaciales en la traza de la funcional, esto también se
puede escribir como
ZQM = exp Tr log ih̄γ 0 ∂t − ih̄c ∇−Mc2
h
i
= exp {Tr log [c (ih̄/
∂ − Mc)]} .
En la regularización análitica de la Sección 2.15, se puede omitir el factor c de la
traza logarı́tmica. Más aún, tenemos la indentidad algebraica
(ih̄/
∂ + Mc)(ih̄/
∂ − Mc) = −h̄2 ∂ 2 − M 2 c2 .
(19.301)
Los factores en el lado izquierdo tienen el mismo determinante funcional ya que
[comparemos con las Ecs. (7.338) y (7.420)]
Tr log(ih̄ ∂/ −M c)
V4
Det(ih̄/
∂ − Mc) = e
=e
= Det(−ih̄/
∂ − Mc).
R
d4 p
Tr
(2π)4
log(h̄ p/ −M c)
V4
=e
R
d4 p
Tr
(2π)4
log(−h̄ p/ −M c)
(19.302)
1490
19 Órbitas de Partı́culas Relativistas
Como una generalización de la Ec. (7.420), este resultado nos permite escribir
Det(ih̄/
∂ − Mc) = Det(ih̄/
∂ + Mc) =
q
Det(−h̄2 ∂ 2 − M 2 c2 )14×4 ,
(19.303)
donde 14×4 es una matriz unidad de dimensión 4 × 4. De esta forma llegamos a la
función de partición mecánico-cuántica
ZQM
1
f
= exp 4 × Tr log(−h̄2 ∂ 2 − M 2 c2 ) ≡ eiΓ0 /h̄ .
2
(19.304)
El factor 4 se obtiene de la traza en el espacio de las matrices 4 × 4, cuyos ı́ndices
han desaparecido en la fórmula. El exponente determina la acción efectiva Γ del
sistema cuántico, en analogı́a con la relación Euclidiana de la Ec. (19.46).
La función de Green de la ecuación de Dirac (19.275) es una matriz 4×4 definida
por la relación
(ih̄/
∂ − Mc)αβ (x|xa )βγ = ih̄δ (D) (x − xa )δαγ .
(19.305)
Suprimiendo los ı́ndices de Dirac, esta expresión tiene la representación espectral
(xb |xa ) =
Z
ih̄
d4 p
e−ip(xb −xa )/h̄ .
4
(2πh̄) p/ − Mc + iη
(19.306)
Este resultado se puede escribir formalmente como una matriz funcional
(xb |xa ) = hxb |
ih̄
|xa i,
ih̄/
∂ − Mc
(19.307)
que obviamente satisface la ecuación diferencial (19.305).
19.5.2
La Integral de Trayectoria
La representación en térmimos de la integral de trayectoria de la amplitud (19.307)
es directa:
(xb |xa ) =
Z
0
∞
dS
Z
xb =x(λb )
xa =x(λa )
4
D x
Z
D 4 p iA/h̄
e
,
(2πh̄)4
(19.308)
donde la acción es
A[x, p] =
Z
S
0
dλ [−pẋ + (/
p − Mc)] .
(19.309)
Al igual que en la Sección 19.1, el parémetro λ es la longitud definida a lo largo de
las órbitas, pero contrario a esa sección aquı́ trabajaremos con el tiempo real t, λ
estará relacionada con el tiempo t mediante la relación λ = ct y S es la longitud de
reparametrización invariante total. El punto denota la derivada ẋ ≡ dx(λ)/dλ. La
integral de trayectoria sobre x(λ) asegura que el momento es independiente de λ,
1491
19.5 Integrales de Trayectoria para Partı́culas de Espı́n 1/2
de tal manera que la integral de trayectoria sobre p(λ) se reduce a una integral de
Fourier ordinaria [comparar con la Ec. (2.41)]:
Z
xb =x(λb )
xa =x(λa )
Z
4
D x
D4p
=
(2πh̄)4
Z
d4 p ip(xb −xa )+iS( p/ −M c)/h̄
e
(2πh̄)4
(19.310)
Efectuando la integral sobre s en la Ec. (19.308) obtenemos
(xb |xa ) =
d4 p ip(xb −xa ) ih̄
e
,
(2πh̄)4
p/ − Mc
Z
(19.311)
de acuerdo con la amplitud (19.307). El signo menos enfrente del término pẋ es
necesario para obtener el signo positivo en la parte espacial pẋ de la métrica de
Minkowski (19.277).
La acción (19.309) se puede generalizar inmediatamente a la forma
Z
Ā[x, p] =
0
S
dλ [−pẋ + h(λ) (/
p − Mc)] ,
(19.312)
para toda función h(λ) > 0. Con lo cual tenemos una expresión invariante ante la
reparametrización
λ → f (λ),
h(λ) → h(λ)/f (λ).
(19.313)
La integral de trayectoria (19.308) contiene entonces una integración funcional extra
sobre h(λ) con una funcional Φ[h] que fija la norma, como en la Ec. (19.22), donde
en la Ec. (19.309) se uso la función Φ[h] = δ[h − 1].
La integral de trayectoria misma representa la amplitud
hx|eiS(ih̄ ∂/ −M c)/h̄ |xa i,
(19.314)
y en la Ec. (19.308) la integral sobre S da como resultado el propagador de la
Ec. (19.307). Al evaluar esta expresión se debe de suponer, como es usual, que la
masa contiene una parte infinitesimal imaginaria negativa iη. Esto es necesario para
garantizar la convergencia de la integral de trayectoria (19.308).
El electromagnetismo se introduce como es usual por medio de la substitución
mı́nima (2.644). En la versión de operadores, tenemos que hacer la substitución
∂µ −
−
−→ ∂µ + i
e
Aµ .
h̄c
(19.315)
Ası́, obtenemos la acción invariante de norma
Ā[x, p] =
Z
0
S
"
eh̄
/ − Mc
dλ −pẋ + h(λ) p/ − A
c
!#
.
(19.316)
Otra representación de la integral de trayectoria muy parecida al caso sin espı́n
se obtiene reescribiendo la Ec. (19.307) en la forma
(x|xa ) = (ih̄/
∂ + Mc) hx|
−h̄2 ∂ 2
ih̄
|xa i,
− M 2 c2
(19.317)
1492
19 Órbitas de Partı́culas Relativistas
donde, por brevedad hemos omitido el término infinitesimal imaginario negativo −ih̄
de la masa, y usado el hecho de que
(ih̄/
∂ + Mc)(ih̄/
∂ − Mc) = −h̄2 ∂ 2 − M 2 c2 ,
(19.318)
al considerar la relación de anticonmutación (19.276). Reecribiendo la Ec. (19.317)
como una integral de tiempo propio
1
(ih̄/
∂ + Mc)
(x|xa ) =
2Mc
∞
Z
0
dShx|eiS (−h̄
2 2
∂ −M 2 c2
)/2M ch̄ |x i,
a
(19.319)
encontramos inmediatamente la integral de trayectoria canónica
1
(x|xa ) =
(ih̄/
∂ + Mc)
2Mc
Z
∞
0
dS
Z
x=x(λb )
xa =x(λa )
4
D x
Z
D 4 p iA/h̄
e
,
(2πh̄)4
(19.320)
donde la acción será
A[x, p] =
Z
0
S
1 2
p − M 2 c2 .
dλ −pẋ +
2Mc
(19.321)
La eliminación de los ı́ndices de Dirac de la amplitud 4 × 4 en el lado izquierdo,
(x|xa )αβ , se debe por completo al prefactor (ih̄/
∂ + Mc)αβ del lado derecho.
Como en el caso de la generalización de la Ec. (19.309) a la Ec. (19.312), esta
acción se puede generalizar a la forma
Ā[x, p] =
Z
S
0
#
"
h(λ) 2
p − M 2 c2 ,
dλ −pẋ +
2Mc
(19.322)
para toda función h(λ) > 0, siendo ası́ invariante ante la reparametrización dada
por la Ec. (19.313), y la integral de trayectoria de la Ec. (19.308) contiene entonces
R
una integración funcional extra Dh(λ) Φ[h]. La acción (19.322), es por tanto la
versión de Minkowski de la integral de trayectoria de la partı́cula sin espı́n vista en
la sección previa [ver la Ec. (19.14)].
Introduciendo ahora el electromagnetismo mediante la substitución mı́nima,
dada por la Ec. (19.315), en el prefactor de la Ec. (19.317) y en el lado izquierdo de
la Ec. (19.318), el resultado anterior será entonces
e
ih̄/
∂ − A
/ + Mc
c
e
ih̄/
∂ − A
/ − Mc = h̄2
c
"
2
e
i∂ − A
h̄c
#
e
− Σµν Fµν − M 2 c2 ,
h̄c
(19.323)
donde
i
Σµν ≡ [γ µ , γ ν ] = −Σνµ
4
(19.324)
son los generadores de las transformaciones de Lorentz en el espacio de espinores
de Dirac. Para todo ı́ndice fijo µ, estos generadores cumplen con las reglas de
conmutación:
[Σµν , Σµκ ] = ig µµ Σνκ .
(19.325)
1493
19.5 Integrales de Trayectoria para Partı́culas de Espı́n 1/2
Debido a la antisimetrı́a de los ı́ndices, de aquı́ obtenemos todos los conmutadores
no cero del grupo de Lorentz.
Usando las Ecs. (19.254), podemos escribir el último término de la interacción
de la Ec. (19.323) en la forma
Σµν Fµν = −2Σi B i + 2Σ0i E i ,
(19.326)
donde Σi son los generadores de rotación
σi 0
0 σi
1
1
Σ ≡ ǫijk Σjk =
2
2
i
!
,
(19.327)
y
−σ i 0
0 σi
Σ0i ≡ iαi ≡ iγ 0 γ i = i
!
(19.328)
son los generadores libres de rotación de las transformaciones de Lorentz. Ası́
(B + iE)
0
0 (B − iE)
µν
Σ Fµν = −
19.5.3
!
.
(19.329)
Amplitud con Interacción Electromagnética
La generalización obvia de la integral de trayectoria dada por la Ec. (19.320), la cual
incluye interacciones electromagnéticas mı́nimas, es entonces
1
(x|xa ) =
2M
e
ih̄/
∂ − A
/ +Mc
c
Z
∞
Z
dS Dh(λ) Φ[h]
0
Z
x=x(λb )
xa =x(λa )
4
D x
Z
D4p
T̂ eiA/h̄ ,
(2πh̄)4
(19.330)
donde la acción será
Z
Ā[x, p] =
S
0
(
h(λ)
dλ −pẋ +
2Mc
"
2
e
p− A
c
h̄e
− Σµν Fµν − M 2 c2
c
#)
.
(19.331)
El sı́mbolo T̂ es el operador de ordenamiento temporal definido en la Ec. (1.241),
aplicado aquı́ al tiempo propio λ, el cual tiene que aparecer explı́citamente para tener
en cuenta la posible no conmutabilidad de Fµν Σµν /2 para diferentes λ. Integrando
las variables del momentum obtenemos la integral de trayectoria en el espacio de
configuraciones
1
(x|xa ) =
2M
e
ih̄/
∂− A
/ +Mc
c
Z
0
∞
dS
Z
Dh(λ) Φ[h]
Z
x=x(λb )
xa =x(λa )
D 4 x T̂ eiA/h̄ ,(19.332)
donde la acción es
Ā[x] =
Z
0
S
"
#
Mc 2 e
h̄e µν
Mc
dλ −
.
ẋ − ẋA − h(λ)
Σ Fµν − h(λ)
2
2h(λ)
c
2Mc
2
(19.333)
1494
19 Órbitas de Partı́culas Relativistas
El acoplamiento del campo magnético agrega a la energı́a en reposo, Mc2 , una
energı́a de interacción
Hint = −
h̄e
· B.
Mc
(19.334)
De este resultado obtenemos el momento magnético del electrón. Comparamos la
Ec. (19.334) con la energı́a de interacción general dada por la Ec. (8.316) e identificamos el momento magnético como
=
h̄e
.
Mc
(19.335)
Recordermos que en 1926 Uhlenbeck y Goudsmit explicaron la separación de los
niveles atómicos, observada por Zeeman, atribuyendo al electrón un espı́n semientero. Sin embargo, el momento magnético del eletrón resulto ser aproximadamente
el doble de lo que se esperarı́a para una esfera cargada en rotación con momento
angular L, cuyo momento magnético es
L
h̄
= µB ,
(19.336)
donde µB ≡ h̄e/Mc es el magnetón de Bohr dado en la Ec. (2.649). Teniendo
en cuenta esta relación, es costumbre parametrizar el momento magnético de una
partı́cula elemental de espı́n S, en la forma:
S
h̄
= gµB .
(19.337)
Comparada con la Ec. (19.336), a la razón adimensional g se le llama la razón
giromagnética o factor de Landé. Para una partı́cula de espı́n 1/2, S es igual a /2,
y comparando con la Ec. (19.335) tenemos que la razón giromagnética será
g = 2,
(19.338)
este resultado fue encontrado por primera vez por Dirac, el cual predice que el
momento magnético intrı́nseco µ de un electrón es igual al magnetón de Bohr µB ,
siendo ası́ dos veces el doble del valor que esperarı́amos de la relación (19.336), si
sustituimos en esa expresión el espı́n 1/2 para el momento angular orbital.
En electrodinámica cuántica podemos calcular correcciones de orden superior al
resultado de Dirac mediante un desarrollo perturbativo en potencias de la constante
de estructura fina α [recordemos la Ec. (1.505)]. La primera corrección a g debido
a los diagramas de los Feynman para un rizo fue encontrada por Schwinger:
α
g =2× 1+
2π
≈ 2 × 1.001161,
(19.339)
donde α es la constante de estructura fina, ver la Ec. (1.505). Experimentalmente,
la razón giromagnética se ha medido con una increible precisión:
g = 2 × 1.001 159 652 193(10),
(19.340)
1495
19.5 Integrales de Trayectoria para Partı́culas de Espı́n 1/2
en excelente acuerdo con la expresión (19.339). Si el desarrollo perturbativo se
calcula a orden superior, podemos reproducir los últimos dı́gitos conocidos experimentalmente [14].
En la literatura, existen otras representaciones de las integrales de trayectoria
para las partı́culas de Dirac que involucran variables de Grassmann. Para verlo
recordemos la discusión de la Subsección 7.11.3, donde vimos que una integral de
trayectoria sobre cuatro campos reales de Grassmann θµ , µ = 0, 1, 2, 3
"
i
D θ exp
h̄
Z
4
ih̄
dt − θµ θ̇µ
4
Z
!#
,
(19.341)
genera un espacio de matrices que corresponden a los operadores θ̂µ , mismos que
obedecen las reglas de anticonmutación
n
o
θ̂µ , θ̂ν = 2g µν ,
y cuyos elementos de matriz son
hβ|θ̂µ |αi = (γ5 γ µ )βα ,
(19.342)
β, α = 1, 2, 3, 4.
(19.343)
Entonces, es posible reemplazar la integral de trayectoria dada en la Ec. (19.332)
por
1
2M
(x|xa ) =
×
Z
Z
∞
0
dS
DχΦ[χ]
Z
Z
Dh Φ[h]
4
D θ
Z
Dx
Z
Dp i(Ā[x]+AG [θµ ,A])/h̄
,
e
(2πh̄)4
(19.344)
donde tenemos una acción relativista de la partı́cula sin espı́n [la acción dada por
la Ec. (19.333) sin el acoplamiento de espı́n]
Ā[x, p] =
Z
S
0
(
h(λ)
dλ −pẋ +
2Mc
"
2
e
p− A
c
2 2
−M c
#)
,
(19.345)
y una acción que involucra los campos de Grassmann θµ :
µ
AG [θ , A] =
Z
S
0
(
)
ih̄
ih̄e
dλ − θµ (λ)θ̇µ (λ) + h(λ)
Fµν (x(λ))θµ (λ)θν (λ) . (19.346)
2
4
4Mc
Este resultado se sigue directamente de la Ec. (7.513). La función h(λ) es la misma
función hallada en la acción bosónica (19.14) y la integral de trayectoria (19.22)
garantiza la invariaza ante la reparametrización (19.13).
Después de integrar las variables del momentum en la integral de trayectoria
(19.344), la acción canónica se reemplaza por la acción en el espacio de configuraciones (19.218). En la norma más simple (19.23), la acción total será
µ
Ā[x, θ ] =
Z
0
S
"
Mc 2 e
dλ −
ẋ −
2
c
!
#
h̄
Mc ih̄
ẋA − i
Fµν θµ θν −
+ θµ (τ )θ̇µ (τ ) .
4Mc
2
4
(19.347)
1496
19 Órbitas de Partı́culas Relativistas
Las variables de Grassmann se pueden integrar usando la fórmula (19.103), de lo
cual obtenemos [comparar con la Ec. (7.501)]:
Z
4
D θe
i
4
R
dt[−iθµ (t)θ̇ µ (t)+(ie/4M c)Fµν θ µ θ ν ]
= 4 Det
1/2
ie
−iδµν ∂t +
Fµν (x(λ)) . (19.348)
Mc
Para una tensor de campo constante Fµν , con las condiciones de frontera antiperiódicas usuales en el intervalo ct = λ ∈ (0, S), el lado derecho se obtuvo anteriormente en la Ec. (19.103). En el caso actual tenemos:
4 Det 1/2 −igµν ∂λ + i
19.5.4
e
S
S
e
e
cosh
. (19.349)
Fµν = 4 cos
B
E
2
2
2
Mc
Mc 2
Mc 2
Acción Efectiva en el Campo Electromagnético
En ausencia de electromagnetismo, la acción efectiva para las órbitas de fermiones
está dada por la Ec. (19.304). Su versión Euclidiana difiere de la expresión de
Klein-Gordon, dada en la Ec. (19.38), por el factor −2:
i
h
Γfe,0
= −2 Tr log −h̄2 ∂ 2 + M 2 c2 .
h̄
(19.350)
De las Ecs. (19.39), (19.41) y (19.46) tendremos explı́citamente:
Z ∞
Γfe,0
VD
dβ −βM c2 /2
1
1
= 2VD
e
Γ(1 − D/2). (19.351)
q
D = 2 C D
D/2
h̄
β
(4π)
0
2
λ
M
2πh̄ β/M
El factor 2 se puede ver como el producto 4 × 1/2, donde el factor 4 se obtiene de
la integral de trayectoria libre sobre el campo de Grassmann,
Z
D D θ e−Ae,0 [θ]/h̄ = 4.
(19.352)
la cual da cuenta de las cuatro componentes del campo de Dirac. Recordemos que
de la Ec. (19.286), el campo de Dirac posee cuatro modos, uno de energı́a h̄ωk , con
dos grados de libertad de espı́n, el otro de energı́a −h̄ωk con dos grados de espı́n.
Se demuestra en teorı́a cuántica de campos que, lo anterior corresponde a una antipartı́cula con espı́n 1/2. La integral de trayectoria sobre x (λ), la cual cuenta las
trayectorias en direcciones opuestas para la energı́a del estado base (19.39), describe
partı́culas y anti-partı́culas [recordemos todos los comentarios dados después de la
Ec. 19.45]. Esto explica el porque en la Ec. (19.351) sólo se mantiene el factor de
espı́n 2.
Incluyendo el potencial vectorial via la substitución mı́nima p̂ → p̂ − (e/c)A,
obtenemos la acción Euclidiana efectiva a partir de la Ec. (19.221), y ası́ tenemos
inmediatamente la representación de la integral de trayectoria
Γ̃fe
=2
h̄
Z
0
∞
dβ −βM c2 /2
e
β
Z
D D x e−Ae /h̄ ,
(19.353)
1497
19.5 Integrales de Trayectoria para Partı́culas de Espı́n 1/2
donde la acción Euclidiana está dada por la Ec. (19.220).
Este resultado no es aún la función de partición Γe verdadera de la partı́cula de
espı́n 1/2, ya que la integral de trayectoria propia contiene los términos de Grassmann adicionales de la acción (19.347). En la versión Euclidiana, la interacción
completa es
Z
Ae,int [x, θ] =
h̄β
0
i
e
Fµν (x(λ))θµ (λ)θν (λ) . (19.354)
dλ i ẋµ (λ)Aµ (x(λ)) −
c
4M
De donde obtenemos la representación de la integral de trayectoria
Γfe
=2
h̄
Z
∞
0
dβ −βM c2 /2
e
β
Z
D
D x
Z
D D θ e−{Ae,0 [x,θ]+Ae,int[x,θ]}/h̄ ,
(19.355)
y donde la parte libre de la acción Euclidiana es
Ae,0 [x, θ] = Ae,0 [x] + Ae,0 [θ] ≡
19.5.5
Z
h̄β
0
M
dτ ẋ2 (τ ) +
2
Z
h̄β
0
dτ
h̄ µ
θ (τ )θ̇µ (τ ).
4
(19.356)
Desarrollo Perturbativo
El desarrollo perturbativo es una generalización directa de la representación (19.224):
∞
X
Γfe,0 Z ∞ dβ −βM c2 /2
Γfe
2VD
(−ie/c)n
=
+
e
q
D
h̄
h̄
β
n!
0
2πh̄2 β/M n=1
×
*
n
Y
i=1
(Z
0
h̄β
dτi
"
(19.357)
h̄
ẋµ (τi )Aµ (x(τi )) −
Fµν (x(τi ))θµ (τi )θν (τi )
4Mc
#) +
.
0
Es claro que el término principal de la acción efectiva libre coincide con el término
n = 0 de la suma [comparemos con la Ec. (19.351)].
Los valores esperados estarán ahora definidos por la extensión de Grassmann de
la integral Gaussiana (19.225):
D D x D D θ O[x, θ] e−Ae,0 [x,θ]/h̄
hO[x, θ]i0 ≡ R D −Ae,0 [x]/h̄ R D −Ae,0 [θ]/h̄ .
D xe
D θe
R
R
q
(19.358)
D
donde el denominador es igual a (1/2)VD / 2πh̄2 β/M × 4.
Existe también un desarrollo análogo al dado por la Ec. (19.227), donde se
utilizan las componentes de Fourier de los potenciales vectoriales de acuerdo a la
Ec. (19.226). De donde obtenemos un desarrollo igual al hallado en la Ec. (19.227),
excepto por un factor −2, y donde los valores esperados se reemplazan por la siguiente expresión:
*
n Z
Y
i=1
0
h̄β
µi
iki x(τi )
dτi ẋ (τi )e
→
*
n Z
Y
i=1
0
h̄β
+
dτi
"0
#
ih̄ νi νi
k θ (τi )θµi (τi ) eiki x(τi )
ẋµi (τi ) +
2Mc i
+
. (19.359)
0
1498
19 Órbitas de Partı́culas Relativistas
La evaluación de estos valores esperados se obtiene como en las Ecs. (19.228)–
(19.239), excepto que también tenemos que formar las contracciones de Wick de
las variables de Grassmann de las funciones de correlación libres
hθµ (τ )θν (τ ′ )i = 2δ µν Gaω,e (τ − τ ′ ),
(19.360)
donde
1
Gaω,e (τ − τ ′ ) = ǫ(τ ),
2
τ ∈ [−h̄β, h̄β)
(19.361)
es la versión Euclidiana de la función anti-periódica de Green (3.109), la cual es
solución de la ecuación inhomogénea
∂τ Gaω,e (τ ) = δ(τ ).
(19.362)
Fuera del intervalo base [−h̄β, h̄β) necesitamos la continuación antiperiódica de la
función de acuerdo con la naturaleza fermiónica de las variables de Grassmann.
En el lenguaje de operadores, la función de correlación (19.360) representa el
ordenamiento temporal del valor esperado hT̂ θ̂(τ )θ̂(τ ′ )i0 [recordemos la Ec. (3.299)].
Usando el lı́mite τ → τ ′ una vez para valores superiores y otra para valores inferiores,
la función de correlación concuerda con la regla de anti-conmutación (19.342). Para
comprobar este resultado debemos usar el hecho de que el ordenamiento temporal
del producto de los operadores fermiónicos está definido por la siguiente modificación
de la definición bósonica de la Ec. (1.241):
T̂ (Ôn (tn ) · · · Ô1 (t1 )) ≡ ǫP Ôin (tin ) · · · Ôi1 (ti1 ),
(19.363)
donde tin , . . . , ti1 son los tiempos tn , . . . , t1 reetiquetados en el orden causal, de tal
manera que
tin > tin−1 > . . . > ti1 .
(19.364)
La diferencia se encuentra en el signo del factor ǫP , el cual es igual a 1 para una
permutación par y −1 para una permutación impar de las variables fermiónicas.
19.5.6
Polarización del Vacı́o
Veamos como las fluctuaciones del electrón a un lazo cambian la acción del campo
electromagnético. A orden menor, debemos de formar el valor esperado (19.359)
para n = 0 y k1 = −k2 ≡ k:
*"
#
"
#
+
ih̄ ν1 ν1
ih̄ ν2 ν2
ẋµ1 (τ1 )+
k θ (τ1 )θµ1 (τ1 ) eikδx(τ1 ) ẋµ2 (τ2 )−
k θ (τ2 )θµ2 (τ2 ) e−ikδx(τ2 ) .
2Mc
2Mc
0
(19.365)
1499
19.5 Integrales de Trayectoria para Partı́culas de Espı́n 1/2
De la contracción de las velocidades ẋµ1 (τ1 ) y ẋµ2 (τ2 ) obtenemos nuevamente el
resultado para el caso sin espı́n hallado en la Ec. (19.240), con lo cual el integrandro
de la Ec. (19.242) será
k12 δ µ1 ν2
−
k1µ1 k1µ2
2
˙G (τ1 , τ2 ) =
k12 δ µ1 ν2
−
k1µ1 k1µ2
h̄2
(u − 1/2)2 .
M 2 c2
(19.366)
Además, tenemos las contracciones de Wick de las variables de Grassmann:
*"
"
#
#
h̄ ν1 ν1
ih̄ ν2 ν2
k θ (τ1 )θµ1 (τ1 ) eikδx(τ1 )
k θ (τ2 )θµ2 (τ2 ) e−ikδx(τ2 )
2Mc
2Mc
= − k12 δ µ1 ν2 − k1µ1 k1µ2
+
0
h̄2 1 2
ǫ (τ1 − τ2 ).
M 2 c2 4
(19.367)
Dado que ǫ2 (τ1 − τ2 ) = 1, obtenemos que el resultado sin espı́n (19.366) tendrá la
forma
k12 δ µ1 ν2 − k1µ1 k1µ2 ˙G 2 (τ1 , τ2 ) = k12 δ µ1 ν2 − k1µ1 k1µ2
h̄2
[(u−1/2)2 −1/4]. (19.368)
M 2 c2
Recordando que en el desarrollo (19.358) se obtiene el factor −2 respecto al caso
sin espı́n, encontramos que la polarización del vacı́o, debido a las fluctuaciones de
las órbitas de espı́n 1/2, se obtiene del caso sin espı́n (19.251) cambiando en el
integrando el factor 4(u − 1/2)2 = (2u − 1)2 por el factor −2 × 4u(u − 1) = 8u(1 − u).
La función resultante Π(k 2 ) tiene el desarrollo
1 2
h̄2 k 2
M 2 c2 eγ
k2
Π(k ) =
−
.
− log
+
O
ǫ,
3π ǫ
15πM 2 c2
4πh̄2
M 2 c2 /h̄2
2
"
#
!
(19.369)
El primer término da lugar a una renormalización de la carga, la cual se trata como
en el caso bosónico [recordemos las Ecs. (19.271)–(19.274)], lo que da origen a una
interacción de contacto adicional
α
α
4α2h̄2 (3)
− →− −
δ (x).
r
r
15M 2 c2
(19.370)
Entonces, hallamos que la polarización del vacı́o tiene el efecto de disminuir el estado
2S1/2 , el cual es el estado s con número cuántico principal n = 2, a costa del estado
2P1/2 en la energı́a 27.3 MHz. El cambio experimental de la frecuencia es positivo
≈ 1057 MHz [recordemos la Ec. (18.600)], y se debe principalmente al efecto del
movimiento del electrón a través de un baño de fotones, como se calculó en la
Ec. (18.599).
El efecto de la polarización del vacı́o fue calculada por primera vez por Uehling
[13], quien supuso que esta era la causa principal del corrimiento de Lamb. Uehling
quedo decepcionado al encontrar que su resultado era sólo el 3% del valor experimental, además de hallar un signo incorrecto.
La situación en átomos muónicos es diferente. En este caso la polarización del
vacı́o sı́ es la causa principal del corrimiento de Lamb, la razón es simple: Mientras
1500
19 Órbitas de Partı́culas Relativistas
que el resto de los efectos contienen el factor M/Mµ2 , donde Mµ2 es la masa del muón,
la polarización del vacı́o contiene solamente un electrón a un lazo lo que incluye sólo
la masa del electrón M, por lo que esta polarización es mayor por un factor de
(Mµ /M)2 ≈ 2102 comparada con los otros efectos.
En electrodinámica cuántica se han calculado las correcciones a orden superior
para el caso de un electrón en el átomo[14]. El cálculo anterior pretende mostrar
que es posible obtener el resultado de la teorı́a cuática de campo en el formalismo
de las integrales de trayectoria. Mayores detalles pueden hallarse en el artı́culo de
revisión [5].
Como se mencionó al inicio, los cálculos anteriores son versiones muy simplificadas del cálculo análogo hecho en la teorı́a de supercuerdas, misma que hasta
ahora no ha producido ningún resultado interesante. Sin embargo, si esto llega a
suceder, es de esperar que también en este caso una teorı́a de campos de segunda
cuantización pueda ayuda a obtener datos observables. Hasta la fecha, tal teorı́a
está por desarrollarse [15].
19.6
Supersimetrı́a
Vale la pena notar que las diferentes acciones para las partı́culas de espı́n 1/2 son
invariantes bajo ciertas transformaciones de supersimetrı́a.
19.6.1
Invariancia Global
Consideremos primero la acción con norma fija
q (19.347). Su apariencia se puede
hacer algo más simétrica absorbiendo el factor h̄/2M en las varibles de Grassmann
θµ (τ ), de manera tal que tenemos
µ
Ā[x, θ ] =
Z
"
e
M
dτ − ẋ2 −
2
c
i
Mc2 M
ẋA + Fµν θµ θν −
+ iθµ (τ )θ̇µ (τ ) . (19.371)
2
2
2
#
Con esto, las funciones de correlación (19.360) para las variables θ serán
hθµ (τ )θν (τ ′ )i = δ µν Gf (τ, τ ′ ) ≡ δ µν
h̄ f
∆0 (τ − τ ′ ),
M
(19.372)
donde ∆f0 (τ − τ ′ ) = ǫ(τ − τ ′ )/2. En esta normalización, Gf (τ, τ ′ ) coincide, salvo
un signo, con el primer término de la derivada ˙G(τ, τ ′ ) de la función de correlación
bosónica [recordemos la Ec. (19.232) y el primer término de la Ec. (19.234)].
Hagamos la siguiente transformación infinitesimal en las variables
δxµ (τ ) = iαθµ (τ ),
δθµ (τ ) = αẋµ (τ ).
(19.373)
donde α es una parámetro arbitrario de Grassmann. Para los términos libres el
resultado es obvio. Los términos de la interacción cambian en la forma
Z
e
(19.374)
−iα d4 x θ̇µ Aµ + Fµν ẋµ θν .
c
1501
19.6 Supersimetrı́a
Sustituyendo Fµν ẋµ (τ ) = dAν (x(τ ))/dτ − ∂ν [Aµ (x(τ ))ẋµ (τ )], el primer término se
cancela y el segundo es un término de superficie, de tal forma que la acción es
invariante.
Las teorı́as supersimétricas tienen una representación compacta en un espacio
extendido llamado superespacio. Este espacio está formado por las parejas (τ, ζ),
donde ζ es una variable de Grassmann que resulta ser el conjugado supersimétrico
del parámetro temporal τ . Las coordenadas xµ (τ ) se extienden de igual manera
definiendo
X µ (τ ) ≡ xµ (τ ) + iζθµ (τ ).
(19.375)
La derivada supersimétrica se define por la relación
∂
∂
+ iζ
∂ζ
∂τ
µ
DX (τ ) ≡
!
X µ (τ ) = iθµ (τ ) + iζ ẋµ (τ ).
(19.376)
Si ahora definimos la integral, usando la fórmula de Grassmann (7.379),
Z
i
dζ h
dζ
µ
iẊµ (τ )DX (τ ) = dτ i ẋ(τ )+iζ θ̇µ (τ ) [iθµ (τ ) + iζ ẋµ (τ )] , (19.377)
dτ
2π
2π
encontramos
Z
Z
dτ −ẋ2 + iθµ θ̇µ ,
(19.378)
la cual es proporcional a la parte libre de la acción (19.347). Como una propiedad
curiosa de la diferenciación en un superespacio notamos que
D 2 X µ (τ ) = iẋµ (τ ) − ζ θ̇µ (τ ),
D 3 X µ (τ ) = −θ̇µ (τ ) − ζ ẍ(τ ),
(19.379)
de tal manera que el término cinético (19.377) se puede escribir también como
−
Z
dτ
dζ
Xµ (τ )D 3 X µ (τ ).
2π
(19.380)
La interacción se encuentra de la integral en el superespacio
i
Z
dτ
dζ µ
A (X(τ ))DX(τ )
2π
Z
dζ
= i dτ
[Aµ (x(τ )) + i∂ν Aµ (x(τ ))θν (τ )] [iθµ (τ ) + iζ ẋµ (τ )] , (19.381)
2π
la cual es igual a
−
Z
i
dτ Aµ (τ ) ẋ(τ ) + Fµν θµ (τ )θν (τ ) ,
2
reproduciendo ası́ la interacción de la Ec. (19.347). Por lo tanto, en forma simple la
acción en el superespacio se puede escribir como
A[X] = i
Z
M
dζ
e
− Xµ (τ )D 3 X µ (τ ) + Aµ (X(τ ))DX(τ ) .
dτ
2π
2
c
(19.382)
1502
19.6.2
19 Órbitas de Partı́culas Relativistas
Invarianza Local
Existen muchas más transformaciones supersimétricas para la acción sin norma fija,
la cual es la suma de la parte libre dada por la Ec. (19.345)
q más la interacción
dada por la Ec. (19.346). Absorbiendo de nuevo el factor h̄/2M en la variable
de Grassmann θµ (τ ) y reescalando adicionalmente a h(τ ) por el factor 1/c, ante la
reparametrización la acción invariante será
"
(
#
e 2
h(τ )
p − A − M 2 c2
Ā[x, p, θ, h] = dτ −pẋ +
2M
c
e
M
µ
µ
ν
+ iθµ (τ )θ̇ (τ ) − ih(τ ) Fµν (x(τ ))θ (τ )θ (τ ) . (19.383)
2
c
Construyamos ahora la acción a partir de elementos invariantes. Por simplicidad,
ingnoremos la interacción electromagnética. En un primer paso también omitimos
el término de masa. La variable extra h(τ ) require, por simetrı́a, del conjugado de
Grassmann χ(τ ), y formamos la acción
Z
Ā1 [x, p, θ, h, χ] =
Z
(
)
h(τ ) 2 M
i
dτ −pẋ +
p + iθµ (τ )θ̇µ (τ )+ χ(τ )θµ (τ )pµ (τ ) . (19.384)
2M
2
2
Esta acción posee una supersimetrı́a local. Ahora hallamos las versiones dependientes de τ de las transformadas supersimétricas (19.373)
δxµ = iα(τ )θµ ,
δh = iα(τ )χ,
δθµ = α(τ )p,
δχ = 2α̇(τ ).
δp = 0,
(19.385)
Si integramos los momenta en la integral de trayectoria, la acción (19.384) tendrá
la forma
ẋ2
M
i
Ā1 [x, θ, h, χ] = dτ −
+ iθµ (τ )θ̇µ (τ ) +
χ(τ )θµ (τ )ẋµ (τ ) , (19.386)
2h(τ )
2
2h(τ )
Z
(
)
donde se ha omitido un término proporcional a χ2 (τ ), ya que se anula debido a la
nilpotencia dada en la Ec. (7.375). Esta acción es localmente supersimétrica bajo
las transformaciones
i
α(τ )
ẋ − χ θµ ,
δxµ = iα(τ )θµ ,
δθµ =
h(τ )
2
δh = iα(τ )χ,
δχ = 2α̇(τ ).
(19.387)
Ahora agregamos el término de masa
1Z
dτ h(τ )Mc2 .
(19.388)
2
Este término requiere un conjugado supersimétrico para compensar la variación de
Am según la Ec. (19.387).
AM = −
A5 =
i
2
Z
h
i
dτ θ5 (τ )θ̇5 (τ ) + Mcχ(τ )θ5 (τ ) .
(19.389)
Apéndice 19A
Demostración de que la Acción Modificada contiene . . .
1503
De hecho, al agregar a la Ec. (19.387) la transformación
δθ5 = Mc α(τ ),
(19.390)
vemos que la suma AM +A5 es invariante. Agregando este resultado a la Ec. (19.384),
obtenemos la acción canónica localmente invariante
(
Z
Ā[x, p, θ, θ5 , h, χ] = dτ −pẋ +
i
h(τ ) 2 h(τ )
M h
p −
Mc + i θµ (τ )θ̇µ (τ ) + θ5 (τ )θ̇5 (τ )
2M
2
2
i
+ χ(τ ) [θµ (τ )pµ (τ ) + Mcθ5 (τ )] .
2
Apéndice 19A
(19.391)
Demostración de que la Acción Modificada
contiene la Misma Fı́sica Cuántica
Consideremos la partición de la integral de trayectoria para una partı́cula puntual relativista asociada con la acción original (19.12). Si fijamos los parámetros iniciales y finales λa y λb igual a λ0
y λN +1 y segmentamos el eje λ en los sitios λn (n = 1, 2, . . . , N ), la acción será
Acl,e = M c
N
+1
X
n=1
|xn − xn−1 |,
(19A.1)
p
donde |xn − xn−1 | = (xn − xn−1 )2 son las distancias Euclidianas [recordemos la Ec. (19.2)]. La
amplitud Euclidiana para la partı́cula que va desde xa = x0 hasta xb = xN +1 estará dada, por lo
tanto, por un producto de integrales en un espacio-tiempo de dimensión D.
(xb |xa ) = N
N Z
Y
n=1
PN +1
dD xn e−Mc n=1 |xn −xn−1 |/h̄ .
(19A.2)
Como una consecuencia de la invariancia de la reparametrización de la Ec. (19.12), esta expresión
es independiente del tamaño de la partición λn − λn−1 , misma que renombraremos como ≡ hn ǫ,
donde ǫ es un número pequeño.
Ahora, en el argumento de la exponencial la suma se puede factorizar como un producto de
N + 1 exponenciales y representamos cada factor como una integral [usando las fórmulas (1.347)
y (1.349)]
r
Z
2
ǫM c ∞
−Mc|xn −xn−1 |/h̄
e
=
dhn hn−1/2 e−ǫhnMc/2h̄−Mc(xn −xn−1 ) /2hn ǫh̄ .
(19A.3)
2πh̄ 0
Absorbiendo las constantes en el factor de normalización N , obtenemos
(xb |xa ) = N
N
+1 Z ∞
Y
n=1
0
1
N +1
e−McǫΣn=1 hn /2
dhn h(D−1)/2
n
× p
D
2πǫhN +1 /M c
"Z
N
Y
n=1
dD xn
#
N +1
e−McΣn=1 (xn −xn−1 )
p
D
2πǫhn /M c
2
/2hn ǫ
,
(19A.4)
La segunda lı́nea contiene sólo integrales armónicas sobre xn , las cuales se pueden hallar con ayuda
de las fórmulas del Apéndice 2B, el resultado será
2
1
(xb S|xa 0) = p
e−Mc(xb −xa ) /2Sh̄ ,
D
2πSh̄/M c
(19A.5)
1504
19 Órbitas de Partı́culas Relativistas
donde S es el parámetro de longitud total
S≡
N
+1
X
ǫhn ,
(19A.6)
n=1
Reemplazando la Ec. (19A.5) por su representación de Fourier [comparar con las Ecs. (1.333) y
(1.341)], podemos reescribir la Ec. (19A.4) como
(xb |xa ) = N
N
+1 Z ∞
Y
0
n=1
dhn h(D−1)/2
n
e
−McS/2h̄
Z
dD p −Sp2 /2Mc+ip(xb −xa )/h̄
e
.
(2πh̄)D
(19A.7)
Ası́, obtenemos el producto de las integrales sobre hn . Antes de que podamos resolver estas
integrales, debemos asegurarnos de respetar la suma (19A.6). Esto se logra introduciendo una
integral unidad auxiliar que distribuya la integral sobre la longitud total S:
Z ∞
Z ∞
Z ∞
dσ −σ(ΣN +1 ǫhn −S)/2λC
dS
+1
n=1
,
(19A.8)
e
1=
dS δ(ΣN
ǫh
−
S)
=
n
n=1
2λC −i∞ 2πi
0
0
donde λC es la longitud de onda de Compton (19.31). Entonces, en los paréntesis cuadrados de la
Ec. (19A.7), el producto de las integrales sobre hn se puede reescribir como sigue:
(Z
)
Z ∞
N +1 Z ∞
i∞
dS
dσ σS/2λC Y
(D−1)/2 −σǫhn /2λC
(19A.9)
e−S/2λC
e
dhn hn
e
2λC
0
0
−i∞ 2πi
n=1
Usando la relación hn = rn2 , tenemos que los términos entre los corchetes serán
Z
i∞
−i∞
N +1 Z ∞
2
dσ σS/2λC Y
D −σǫrn
/2λC
drn rn e
e
2πi
−∞
n=1
N +1Z i∞
2πλC
dσ σS/2λC −(N +1)(D+1)/2
=
σ
.
e
Γ(D+1)ǫ
−i∞ 2πi
(19A.10)
Para valores grandes de N , la integral sobre σ se puede aproximar por medio de una integral
Gaussiana en la vecindad del punto de silla σ = (N + 1)(D + 1)λC /S:
Z
i∞
−i∞
dσ σS/2λC −(N +1)(D+1)/2
σ
e
2πi
≈
N grande
(N +1)(D+1)/2
S
1
√
.(19A.11)
2π (N + 1)(D + 1)λC
Mientras que N tiende a infinito, mantenemos la razón S/(N + 1) ≡ ǭ fija. Con lo cual la expresión
del lado derecho se puede reescribir como una exponencial.
−S(D+1)/2ǭ
(D + 1)λC
1
1
√
= √ e−zS/2λC ,
ǭ
2π
2π
(19A.12)
donde
z ≡ ν log ν
para ν ≡ (D + 1)λC /ǭ
(19A.13)
es un número grande. Susituyendo la Ec. (19A.12) en el término entre corchetes de la Ec. (19A.9),
la constante z se puede absorber en la masa de la partı́cula reemplazando M por medio de la
cantidad renormalizada M1 = M (1 + z). Con esto, la Ec. (19A.9) será
Z ∞
dS −SM1 c/2h̄
e
,
(19A.14)
2λC
0
1505
Notas y Referencias
y la integral de trayectoria (19A.4) se reduce a la forma
Z
Z ∞
dD p −Sp2 /2Mc+ip(xb −xa )/h̄
dS −M1 cS/2h̄
e
e
,
(xb |xa ) = N ′′
2λC
(2πh̄)D
0
(19A.15)
donde todos los factores irrelevantes están contenidos en el factor de normalización N ′′ . Se puede
hallar la integral sobre S, de donde obtenemos
Z
1
dD k
′′
eik(xb −xa ) ,
(xb |xa ) = N
(2π)D k 2 + MR2 c2 /h̄2
donde MR es la masa renormalizada
MR = M (1 + z)1/2 .
(19A.16)
Si el factor de normalización es tal que N ′′ = 1, obtenemos resultado hallado anteriormente en
la Ec. (19.30) a partir de la acción modificada (19.10), siempre que en la acción original (19.12)
usemos la masa M/(1 + z)1/2 en lugar de M .
Notas y Referencias
La mecánica cuántica relativista está descrita en detalle en
J.D. Bjorken and S.D. Drell, Relativistic Quantum Mechanics, McGraw-Hill, New York, 1964,
la teorı́a cuántica de campos relativista en
S.S. Schweber, Introduction to Relativistic Quantum Field Theory, Harper and Row, New York,
1962;
J.D. Bjorken and S.D. Drell, Relativistic Quantum Fields, McGraw-Hill, New York, 1965;
C. Itzykson and J.-B. Zuber, Quantum Field Theory, McGraw-Hill, New York, 1985.
Para las citas individuales ver:
[1] El desarrollo y diversas aplicaciones pueden verse en el texto
H. Kleinert, Gauge Fields in Condensed Matter , World Scientific, Singapore, 1989; Vol. I,
Superflow and Vortex Lines (Disorder Fields, Phase Transitions); Vol. II, Stresses and Defects (Differential Geometry, Crystal Melting) (wwwK/b1, donde wwwK es una abreviatura de
(http://www.physik.fu-berlin.de/~kleinert).
[2] Ver Vol. I del texto [1] y el artı́culo original
H. Kleinert, Lett. Nuovo Cimento 35, 405 (1982) (ibid.http/97).
La predicción teórica de este artı́culo fue confirmada después de 20 años por
S. Mo, J. Hove, A. Sudbo, Phys. Rev. B 65, 104501 (2002) (cond-mat/0109260); Phys. Rev.
B 66, 064524 (2002) (cond-mat/0202215).
[3] R.P. Feynman, Phys. Rev. 80, 440 (1950).
[4] Existen básicamente dos tipos de aproximaciones a la formulación de las lı́neas universo de
las partı́culas con espı́n: una emplea variables auxiliares de Bose:
R.P. Feynman, Phys. Rev. 84, 108 (1989);
A.O. Barut and I.H. Duru, Phys. Rep. 172, 1 (1989);
la otra utiliza variables anticonmutantes de Grassmann:
E.S. Fradkin, Nucl. Phys. 76, 588 (1966);
R. Casalbuoni, Nuov. Cim. A 33, 389 (1976); Phys. Lett. B 62, 49 (1976);
F.A. Berezin and M.S. Marinov, Ann. Phys. 104, 336 (1977);
L. Brink, S. Deser, B. Zumino, P. DiVecchia, and P.S. Howe, Phys. Lett. B 64, 435 (1976);
L. Brink, P. DiVecchia, and P.S. Howe, Nucl. Phys. B 118, 76 (1976).
Estas formulaciones de las lı́neas universo se usaron para recalcular procesos electromagnéticos e interacciones fuertes en
1506
19 Órbitas de Partı́culas Relativistas
M.B. Halpern, A. Jevicki, and P. Senjanovic, Phys. Rev. D 16, 2476 (1977);
M.B. Halpern and W. Siegel, Phys. Rev. D 16, 2486 (1977);
Z. Bern and D.A. Kosower, Nucl. Phys. B 362, 389 (1991); 379, 451 (1992);
M. Strassler, Nucl. Phys. B 385, 145 (1992);
M.G. Schmidt and C. Schubert, Phys. Lett. B 331, 69 (1994); Nucl. Phys. Proc. Suppl. B,C
39, 306 (1995); Phys. Rev. D 53, 2150 (1996) (hep-th/9410100).
Para más referencias ver el artı́culo de revisión de la Ref. [5].
[5] C. Schubert, Phys. Rep. 355, 73 (2001);
G.V. Dunne, Phys. Rep. 355, 73 (2002);
[6] Como curiosidad histórica, Schrödinger encontró primero la ecuación relativista de KleinGordon y extrajo de ella la ecuación de Schrödinger tomando el lı́mite no relativista similar
al hallado en las Ecs. (19.34) y (19.35).
[7] En fı́sica de partı́culas, la teorı́a de Chern-Simons de rizos, explicada en la Sección 16.7, se
usó para construir integrales de trayectoria sobre órbitas fluctuantes de fermiones:
A.M. Polyakov, Mod. Phys. Lett. A 3, 325 (1988).
Para más detalles ver
C.H. Tze, Int. J. Mod. Phys. A 3, 1959 (1988).
[8] W. Heisenberg and H. Euler, Z. Phys. 98, 714 (1936).
Traducción al inglés disponible en wwwK/files/heisenberg-euler.pdf.
J. Schwinger, Phys. Rev. 84, 664 (1936); 93, 615; 94, 1362 (1954).
[9] E. Lundström, G. Brodin, J. Lundin, M. Marklund, R. Bingham, J. Collier, J.T. Mendonca,
and P. Norreys, Phys. Rev. Lett. 96, 083602 (2006).
[10] A. Vilenkin, Phys. Rev. D 27, 2848 (1983).
[11] Ver la dirección electrónica
http://super.colorado.edu/~michaele/Lambda/links.html.
[12] La integral de trayectoria del sistema relativista de Coulomb fue resuelta por
H. Kleinert, Phys. Lett. A 212, 15 (1996) (hep-th/9504024).
El método de solución posee una supersimetrı́a inherente como se muestra en
K. Fujikawa, Nucl. Phys. B 468, 355 (1996).
[13] E.A. Uehling, Phys. Rev. 49, 55 (1935).
[14] T. Kinoshita (ed.), Quantum Electrodynamics, World Scientific, Singapore, 1990.
[15] Para un primer intento ver
H. Kleinert, Lettere Nuovo Cimento 4, 285 (1970) (wwwK/24).
Nuevos desarrollos se pueden ver en los artı́culos recientes
I.I. Kogan and D. Polyakov, Int. J. Mod. Phys. A 18, 1827 (2003) (hep-th/0208036);
D. Juriev, Alg. Groups Geom. 11, 145 (1994);
R. Dijkgraaf, G. Moore, E. Verlinde, and H. Verlinde, Comm. Math. Phys. 185, 197 (1997).