Vibración de Cuerdas

Laboratorio de Física
VIBRACIÓN DE CUERDAS
1. OBJETIVO
Estudiar cómo varía la frecuencia fundamental de vibración de un hilo metálico, sujeto
por ambos extremos, en función de su longitud, de su diámetro y de una fuerza tensora.
2.- FUNDAMENTO TEÓRICO
Cuando las ondas están confinadas a una región limitada en el espacio, como una cuerda
en la que sus extremos están fijos, existen reflexiones en ambos extremos y por lo tanto aparecen
ondas que se mueven en ambos sentidos. Estas ondas se combinan de acuerdo con la ley general
de interferencia de ondas produciéndose las denominadas ondas estacionarias y cumpliéndose
la relación (figura 1):
L =n
λ
2
( n = 1, 2,3......)
⇒
λn =
2L
n
(1)
es decir, la longitud de la cuerda será igual a un número entero de medias longitudes de onda.
Figura 1: Ondas transversales estacionarias originadas
en una cuerda fijada por ambos extremos
A esta serie de longitudes de onda, λn, les corresponde una serie de frecuencias, fn,
estando relacionadas ambas magnitudes a través de la velocidad de propagación de la onda:
fn =
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υ
λn
(2)
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La frecuencia más pequeña f1 corresponde a la longitud de onda más grande λ=2L (para n=1) y
se denomina frecuencia fundamental :
f1 =
υ
2L
(3)
Las otras frecuencias se denominan también armónicos o sobretonos y son múltiplos enteros de la
frecuencia fundamental.
fn = n
υ
= n f1
2L
(4)
Estudio de la velocidad de propagación de las ondas en una cuerda.
En la figura 2 se puede observar la propagación de una onda transversal en una cuerda de
longitud L, sección s y densidad ρ tensada con una fuerza F.
Figura 2: Diagrama de fuerzas en un segmento de una cuerda tensada
La fuerza resultante sobre un elemento de cuerda de longitud dx es igual a:
Fy = - F senα + F sen (α+dα)
(5)
siendo α el ángulo que forman la fuerza F y el eje x. Como los ángulos son muy pequeños se realiza
la aproximación sen a≅ a ⇒:
Fy = F dα
(6)
La variación del ángulo α al desplazarnos una distancia dx es igual a:
∂ α ∂ ( tgα ) ∂ ( dy / dx ) ∂ 2 y
dα=
= 2 dx
=
=
∂x
∂x
∂x
∂x
(7)
∂2 y
Fy = F dα ⇒ Fy = F 2 dx
∂x
(8)
por lo tanto:
La masa de un elemento de cuerda dx puede expresarse:
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dm = ρ dV=ρ s dx
(9)
donde s=πr2 es la sección transversal, r el radio de la cuerda y ρ la densidad del material del que está
hecha la cuerda.
Considerando que la ecuación de movimiento de un elemento diferencial es:
∂2 y
Fy = dm 2
∂t
(10)
e igualando las expresiones (8) y (10) y sustituyendo dm por su valor, se llega a la ecuación de una
onda:
∂2 y F ∂2y
=
∂t 2 s ρ ∂x 2
(11)
con velocidad de propagación:
υ=
F
sρ
(12)
Sustituyendo ahora el valor de υ en la expresión (3):
f=
υ
1 F
⇒f=
2L
2L s ρ
(13)
Finalmente, tomando logaritmos se obtiene la expresión:
log f = log 0.5 – log L + 0.5 log F - 0.5 log s - 0.5 log ρ
(14)
Dicha expresión será en la que nos basemos para realizar el estudio objeto de esta práctica.
3.- MATERIAL UTILIZADO
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•
•
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•
•
•
Varillas, l=250 mm
Pie cónico
Nueces
Pinzas de mesa
Regla graduada, l=1000 mm
Dinamómetro, 20 N
Mango con gancho
Tensor de cuerdas
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•
•
Distribuidor de corriente
Fotoelemento de Silicio
Cables de conexión BNC
Cables de conexión bananas
Adaptadores y conectores
PEK portalámparas
Bombilla 6 V/0.5 A
Osciloscopio
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•
•
•
Contador digital
Amplificador de baja frecuencia
Soportes triangulares
Alambre de Constantán, D=0.4
mm, ρ=8.9 g/cm3
Alambre de Constantán, D=0.3
mm, ρ=8.9 g/cm3
•
•
•
Alambre de Constantán, D=0.25 mm,
ρ=8.9 g/cm3
Alambre de Cobre, D=0.4 mm, ρ=9.0
g/cm3
Alambre de Cobre, D=0.5 mm, ρ=9.0
g/cm3
4.- EXPERIMENTACIÓN
El dispositivo experimental utilizado se muestra en la figura 3.
Figura 3: Dispositivo Experimental
La cuerda a estudiar (alambre de constantán, cobre….) se sujeta por sus dos extremos;
uno de ellos a un dinamómetro y el otro a un tensor de cuerdas con el que se podrá variar la
tensión de la misma. No aplicar a las cuerdas tensiones superiores a las indicadas en cada
experimentación ya que podrían romperse.
El hilo se apoyará sobre los dos soportes triangulares que delimitarán en el experimento la
parte de la cuerda que vibra al ser pulsada. Su longitud se puede variar moviendo dichos soportes
sobre la regla graduada.
La cuerda debe estar situada entre la fuente de iluminación (bombilla) y la ranura
horizontal de la placa del sensor (fotoelemento de silicio) tal y como se muestra en la figura 4.
Encender la fuente de iluminación conectando los cables de conexión al par de
conectores de 5V/1A del contador digital. Para originar la vibración del hilo basta con dar un
ligero golpe con un dedo, preferiblemente en su zona central cuando se quiere obtener el modo
fundamental.
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Figura 4: Dispositivo Experimental
Para iniciar una medición, una vez seleccionada en el contador digital la función
FRECUENCIA, pulsar la tecla START. La señal procedente del sensor se amplifica a través del
amplificador de baja frecuencia (figura 5) y se transmite al osciloscopio (figura 6) y al contador
digital de frecuencias (figura7). Con el osciloscopio se visualiza dicha vibración.
Para tomar el valor de la frecuencia se debe esperar unos pocos segundos después de
haber iniciado la vibración en el hilo, de modo que en el osciloscopio se observe la desaparición
de los armónicos de mayor orden. Si vibra algún tramo de la cuerda que esté fuera de la región de
los soportes, se puede parar la vibración apoyando ligeramente un dedo en su parte central
teniendo cuidado de no alterar la tensión de la cuerda.
AMPLIFICADOR DE BAJA FRECUENCIA
Elementos de función y mando para su correcta utilización:
Figura 5: Amplificador de baja frecuencia
1 y 2: Entradas de tensión alterna y continua mediante conector tipo BNC. La entrada de tensión
alterna estará activa cuando el botón 7 no esté pulsado, mientras que la entrada de tensión
continua lo estará cuando el botón 7 esté pulsado. En nuestro caso el botón 7 no estará pulsado.
3: Salida de potencia para transmitir una tensión amplificada. Tensión de salida máxima 10 V.
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4: Salida de medición para transmitir una tensión continua UA ≥ 10 V. En nuestro caso esta salida
no será utilizada.
5: Botón de ajuste de amplificación, debe estar siempre en posición CAL.
6: Indicador luminoso, al encender el interruptor principal el diodo se enciende.
7: Botón Modo de utilización. En función de la tensión continua o alterna con la que se trabaje el
botón estará o no pulsado.
8: Conmutador Amplificación para seleccionar el paso de amplificación. Estos valores estarán
activos cuando el botón 5 se halle en posición CAL.
OSCILOSCOPIO
Figura 6: Osciloscopio
La señal procedente del amplificador de baja frecuencia se lleva al osciloscopio a través de
una de sus dos entradas (17) mediante un cable con conector BNC. El equipo se enciende
mediante el interruptor 5 pudiéndose leer la amplitud y la frecuencia de la señal con la ayuda de
los interruptores 6 y 8. Con los interruptores 2 y 3 la señal puede desplazarse vertical y
horizontalmente.
CONTADOR DIGITAL
Figura 7: Contador Digital
1: Indicador digital
2: Tecla Función para seleccionar los diferentes modos de funcionamiento. El modo de
funcionamiento actual se indica a través de los diodos electroluminiscentes situados al lado de las
funciones. En esta práctica se seleccionará la función frecuencia, que viene dada en kHz.
3: Tecla START, para activar o comenzar una medición.
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4: Tecla STOP para finalizar la operación de medición.
5: Tecla RESET para poner la indicación a cero.
6: Conectores hembra para alimentación de las señales eléctricas que se desee estudiar. Margen de
frecuencias f=0.1 Hz……1 MHz. Margen de tensiones 0.1…..10 V.
7: Par de conectores hembra 5V/1A. Este par de conectores entrega una tensión continua para
alimentación de diferentes aparatos. En nuestro caso para alimentación de la fuente de
iluminación.
4.1.- Frecuencia fundamental de una cuerda vibrante en función la tensión aplicada
Estudio de las frecuencias fundamentales del hilo de cobre, para diferentes valores de la
tensión (mínimo 7) y para un valor constante de la longitud.
Representen los resultados gráficamente, log f = f(log F), realicen una regresión lineal y
determinen si el resultado se ajusta a la ecuación (14).
L=
Diámetro=
F (N)
ρ=
s=
log F
mm
f (Hz)
log f
4.2.- Frecuencia fundamental de una cuerda vibrante en función de su longitud
Estudio de las frecuencias fundamentales del hilo de cobre, para diferentes longitudes
(mínimo 7) aplicando una tensión constante.
Representen los datos gráficamente, log f = f(log L), realicen un ajuste por mínimos cuadrados y
determinen si el resultado se ajusta a la ecuación (14), es decir, si coinciden el valor de la
pendiente y de la ordenada en el origen.
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F=
ρ=
s=
Diámetro=
L (m)
log L
mm
f (Hz)
log f
4.3.- Frecuencia fundamental de una cuerda vibrante en función de su sección
transversal.
Estudio de las frecuencias fundamentales de los hilos de constantán de 0.25, 0.3 y 0.4 mm
de diámetro, para una longitud y tensión constantes.
Representen los datos gráficamente, log f = f(log s), realicen una regresión lineal y determinen si
el resultado se ajusta a la ecuación (14).
ρ=
D (mm)
F=
s (m2)
log s
L=
f (Hz)
log f
0.25
0.30
0.40
Al terminar la práctica, entreguen una copia de los datos experimentales obtenidos indicando
el título de la práctica, sus nombres y apellidos, grupo de teoría al que pertenecen y fecha de
realización.
En el Informe a entregar, se deben incluir todas las tablas de datos, las gráficas y ajustes
realizados, los valores calculados y su comparación con los valores reales, comentando los
posibles errores cometidos, y las conclusiones obtenidas.
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