El número Φ en la pirámide de Kheops

16-09-12
Re-revisado el 19-07-14
El número  en la pirámide de Kheops
El complejo de pirámides de Gizeh y la esfinge se construyeron durante los 220 años que duró la IVº
dinastía egipcia (desde 2670 hasta 2450 ac).
En el gráfico-1 he representado las medidas y los ángulos de la pirámide de Kheops, que es la mayor de las
pirámides del complejo de Gizeh. (En esta referencia (1) están el resto de medidas. Mi artículo ya lo había
terminado antes de conocer esta referencia).
Los investigadores europeos comprobaron que las proporciones entre la base y la altura de esta pirámide
eran 22:14. Las demás medidas no mantienen relación de números enteros entre sí.
Además de ser la pirámide de mayor tamaño sus caras son dobles, al estar divididas por la mitad creando
una concavidad. Las caras se inclinan 0,3º hacia el interior, de modo que en medio de una cara, en la base,
hay una diferencia de 60 cm entre el muro y la línea recta imaginaria trazada de vértice a vértice. Esto hace
que cada faceta tenga dos ángulos que definen su pendiente. (En la referencia (1) se dice que la inclinación
cóncava de la cara es de 27’ (equivalentes a 0,45º) y que la desviación lineal es de 90 cm).
Según vemos en el detalle del gráfico-1, θ1 indica la pendiente en el centro de la cara, donde la concavidad
1
es máxima. Su valor es θ1 = 52,0º. En este punto se cumple que cos 1  0,6156   (  1) . Parece que el

arquitecto hubiera pretendido “colocar” el número Φ en su obra, pero que no lo hubiera conseguido con
precisión. Hay investigadores que opinan que la semejanza de 0,6156 con el inverso del número Φ es pura
casualidad mientras que otros autores opinan lo contrario (Ver referencia de wikipedia).
Por otra parte, el ángulo θ2 indica la pendiente de las caras en sus extremos, en las aristas, donde la
concavidad es nula. El valor de este ángulo es 51,8º y cos  2  0,6184 
1
 (  1) .

Parece que ahora el arquitecto se pasó de largo y, aunque en esta ocasión fue más ajustado, tampoco
consiguió su propósito. ¿Pero, tenía realmente ese propósito?
La verdad es que el número Φ es un número irracional, con un número infinito de cifras decimales y, por
tanto, no se puede plasmar en ningún objeto real.
Entre las aristas y el centro (apotema) de las facetas la pendiente crece a medida que nos acercamos al
centro, desde 51,8º hasta 52º. Son sólo 0,2º de diferencia, pero aquí está el secreto del arquitecto: en algún
punto entre las aristas y la apotema hay una línea imaginaria (no representada físicamente), que va desde
la base hasta el vértice de la cúspide y cuya pendiente tiene un ángulo θ Φ  51,827229884....º , tal que
cos    0,6180339.......  (  1) .
Este ángulo se encuentra aproximadamente al 86,37% de la longitud que hay entre el centro de una cara
(apotema) y las aristas.
Por tanto, Φ y θ Φ están implícitas en las caras de la pirámide de Kheops. Podríamos trazar con lápiz una
línea por donde aproximadamente pasa la línea de pendiente θ Φ , y podríamos estar seguros de que dentro
del ancho de esa línea se encuentra la pendiente con un ángulo exactamente igual a θ Φ .
¿De que otra manera se podría haber incluido con absoluta seguridad el número Φ en la pirámide?
El arquitecto se aseguró muy bien de que la pirámide incluyera 8 veces el número áureo.
¡Precisamente 8 es el número divino para los egipcios! El número 8 simbolizaba tanto los ojos de Dios
como el infinito, aunque su infinito no tenía el concepto actual, pues era limitado, significaba una distancia
muy lejana.
Mirando una faceta de la pirámide desde lejos y de frente, la forma que se observa en la pirámide de Kheops
es la de un triángulo compuesto por dos triángulos de Kepler.
Estos triángulos simétricos son triángulos de
Kepler, ya que cumplen las relaciones:
CD 356 186,41



OD 220 115,2
OC 280 146,61


 
OD 220 115,2
2
2
 CD 
 OC 

 
 1
 OD 
 OD 
CD es una arista.
CO es la apotema, pero con la
perspectiva de frente es igual a la
altura de la pirámide.
DO es la mitad de la base de una
faceta de la pirámide.
En la pirámide de kheops también se cumplen las siguientes igualdades:

ˆ .( DAC )  58,23º  tan   1,618  
1



 ( ACD )  90    31,77 º  tan   0,619 


ˆ
 (OAC )  42º  tan   0,900




 
1
1
 (OCA)  90    48º  tan  
  1,111 ˆ1 (OEC )  52º  cos  1  0,6156  ;  sin 1 
tan 

4




1

1 (OCE )  90º 1  38º  sin 1  0,6156  ;  cos  1 

4


1

ˆ2 (ODC )  51,8º  cos  2  0,6184  ;  sin  2 

4


 
1
 2 (OCD)  90º  2  38,2º  sin  2  0,6184  ;  cos  2 

4
La pirámide tiene como argumento básico de construcción la relación de magnitudes
28 14

  y se
22 11
usaron como unidades de medida los Codos Reales (0,5236 m).
28 es el número de “dedos” en que se divide el codo real, y también es el número de divisiones de un
ángulo recto en el antiguo sistema egipcio de medición de ángulos.
4
Hay una relación exacta de entre un codo sagrado y un codo real.
7
OC OC 280 codos reales 490 codos sagrados 146,608 metros 28





OD DA 220 codos reales 385 codos sagrados 115,192 metros 22
El apotema mide 356,09 codos reales = 623,15 codos sagrados = 186,4 metros.
La hipotenusa mide 418,5 codos reales = 732,36 codos sagrados = 219,7 metros.
28
¿Qué pudo llevar a los egipcios a fijarse en la relación
?
22
En mi opinión se basaron en las relaciones numéricas de círculos y
cuadrados circunscritos.
Si a un cuadrado de lado 2r le inscribimos el mayor círculo que cabe en
Area cuadrado 4r 2 4 28
 2  
su interio,r la relación de áreas es:
;
Area círculo
 22
r
y la relación de perímetros:
Perímetro cuadrado
Perímetro círculo

8r
4 28
 
;
2r  22
 28

 22  0,9996 
La aproximación es bastante buena  4


 

Pongamos que el símbolo con el que los egipcios pudieron denominar a
28 14

 1, 27
esta relación hubiera sido:  
22 11
Es probable que luego colocaran el número  sobre la herramienta de
cálculo, que ahora conocemos como “Triángulo sagrado egipcio”, y
que la hipotenusa del triángulo resultante de tomar como catetos ““
y la unidad “1” también tuviera su símbolo. Pongamos que ese símbolo
fuera .
No tardarían mucho en darse cuenta de que esos dos números cumplían
unas relaciones excepcionales:
2  2 1
1 

2   1  2       
 
Este triángulo (hoy conocido como triángulo de Kepler) sería el
que plasmarían a lo grande en la pirámide de Kheops, multiplicado
todo por un factor de 220 (gráfico 2).
280
En realidad debieron multiplicar por 10   
220
Por otra parte, si a un círculo de radio r le inscribimos un cuadrado obtendremos estas relaciones:
2
Perímetro cuadrado 2 2
Area cuadrado r 2
280
2 280

 0,900 



y
; que también se
2
Perímetro círculo

311,04
Area círculo
 440
r
 
encuentran incluidas en las medidas de la pirámide de Kheops (ver gráfico 1).
Algunos tipos de unidades de longitud en el antiguo Egipto (más el codo sumerio para comparar)
Codo estándar
Codo sumerio (kus)
Codos djeser
Nombre
Dedo
Remen *
o codo
(igual al codo babilónico y
(djeser = sagrados)
pequeño
al codo persa)
Longitud en
dedos,
centímetros y
metros
Entre 1,87 y
1,875 cm
16 dedos de 1,875 cm
30,0 cm
3/10 de metro
20 dedos de 1,875 cm
37,5 cm
3/8 de metro
Un codo remen es la
Un codo sagrado es la longitud longitud del brazo desde
Es aprox. la
el codo (en ángulo recto)
anchura del dedo del brazo desde el codo (en
ángulo recto) hasta el extremo hasta la punta del dedo
corazón.
corazón de un hombre
del puño cerrado.
que mida 3,75 remen de
Equivale a 27/4
altura (140,6 cm).
2
Correlaciones de un grano
Equivale a
metros
La altura de un
sumerio, o sea
21
hombre es
6,75 granos.
aproximadamente 3,75
7
veces la longitud de su
Equivale a del codo real
4
codo, medido según se
(**)
miden los codos
Remen.
24 dedos de
1,875 cm
45,0 cm
9/20 de metro
Los Sumerios definían su codo
como la mitad de la longitud de
un péndulo cuyo período es de
1 segundo sumerio.
Es equivalente Un segundo sumerio es igual a
a un codo
1,9822 segundos actuales.
remen más la
Un metro actual es la longitud
de un péndulo cuyo
anchura de
cuatro dedos de semiperíodo es de 1,0003
la mano (sin el segundos modernos.
El semiperíodo de un péndulo
pulgar).
es el tiempo que transcurre
entre el punto muerto de la
izquierda y el de la derecha, o
viceversa.
28 dedos
de 52,36 a 52,5 cm
52,36 = π/6 de metro
Equivale a 28 dedos de
entre 1,87 y 1,875 cm.
Equivale a π/3 del
codo sumerio.
m
Símbolo
jeroglífico
(Símbolo ficticio inventado para
su uso en el texto de este artículo)
Código
Garnier D-50
Significado
del
jeroglifo
26,666 dedos
De 49,7 a 50 cm
½ metro
Codo Real
o codo grande
Abreviatura para
el número 10.000
Abreviatura para
la unidad de
medida dedo.
Código de Garnier D-44:
ideograma para guiar,
conducir, controlar.
Código Garnier D-41
Ideograma de brazo
Código Garnier
D-42: unidad de
medida codo
+
G-37: gorrión.
Determinativo
para pequeño.
Equivale a 180 granos
sumerios.

(Un grano son 2,7 mm)
Equivale a 25 uñas de pulgar
(25 pulgadas sumerias).
(Una "uña de pulgar"
sumeria son 20 mm)
: codo de medida
Ondas de agua:
para, de, por
Planta de junco: rey
: pan. Abreviatura de
padre.
 Codo del rey padre
Se considera que los egipcios hace 4.500 años desconocían que la distancia entre el ecuador y el polo norte,
que es de:
 33.333.333.333 codos sagrados
 26.666.666.666 codos remen
 22.222.222.222 codos estándar
 20.000.000.000 codos sumerios y persas.
 19.098.548.510 codos reales.
Y, por tanto, que el perímetro completo de la tierra es:
 133.333.333.333 codos sagrados
 106.666.666.666 codos remen
 88.888.888.888 codos estándar
 80.000.000.000 codos sumerios y persas (m es símbolo que he escogido para usar en este texto).
 76.394.194.040 codos reales.
Estas medidas tan “redondas” del arco de la tierra son una increíble casualidad . La verdad es que estos
números tan simétricos sólo se observan usando el sistema de números en base decimal.
Como hemos visto en la tabla comparativa, los sucesivos codos egipcios se obtienen sumando 4 dedos al
inmediatamente inferior:
1 codo sagrado = 16 dedos
1 codo remen = 20 dedos
1 codo estándar = 24 dedos
1 codo real
= 28 dedos
Parece como si a medida que pasaban los siglos los faraones fueran más altos y tuvieron que ir añadiendo un
"puñado" de dedos al codo previo.
Es curioso que la relación entre codo real y el codo sumerio sea:

 m  0,5236 metros
3
Los sabios que implantaron el codo de 28 dedos tal vez le atribuyeran otra cualidad de nivel superior.
Veamos:
10 7 km
 6.366 km
El radio de la tierra es 
2
Suponiendo que los antiguos egipcios hubieran conocido el radio de la tierra, tal vez al faraón le propusieron
referenciar su codo real con el radio de su universo. ¿Por qué no utilizar el radio del firmamento, donde
viven los dioses y circulan el Sol, la luna y las estrellas? Con esta sencilla ecuación:
Codo real
52,36 



 6.366 km  6.666 km

Codo sumerio
50
3
3
El número 666 tenía un significado especial para los sumerios, significado que muy probablemente no fuera
desconocido por las élites sacerdotales egipcias. Unos párrafos más adelante explico este significado.
Hipótesis
El uso del codo de 52,36 cm podría indicar que los egipcios en algún momento hubieron considerado que el
radio de la tierra es a 3 como el radio del firmamento es a, de modo que
52,36  6.666
 
50
3 6.366
¡Qué mejor codo dedicado al faraón que uno que se basa en el firmamento donde se encuentran el Sol y
demás astros!
La altura sobre el nivel del mar de su “firmamento” sería: 6.666 – 6.366 = 300 km.
(300 km de altura corresponde a la mitad de la ionosfera, que llega hasta los 600 km).
pequeño como unidad de medida. Seguramente el acierto es pura casualidad, pero se suma a las otras
extrañas casualidades que expongo en este artículo.
Una anécdota: el codo pequeño se corresponde con el codo de una persona que mide 1,69 m de altura. Lo
cual parece una altura bastante razonable para una persona bien alimentada de esa época.
En la Biblia, el libro primero de los Reyes, capítulo 7, versículo 23 dice que Hiram Abif de Tiro “Hizo
fundir asimismo un mar (*) de diez codos de un lado a otro, perfectamente redondo; su altura era de cinco
codos, y lo ceñía a su alrededor un cordón de treinta codos.”
(*) Un mar es una pila o bañera grande.
En el mismo capítulo, el versículo 26 cuenta que “El grueso del mar era de un palmo menor, .....”.
Un palmo menor es la anchura de los cuatro dedos de la mano (sin el pulgar), y equivale a 7,5 cm.
Cuando dice “diez codos de lado a lado”, ¿se refiere a la medida interior o a la exterior de la tina?
Si se refiere al diámetro exterior tenemos que el perímetro es de 31,4 codos (10 codos x π), y si se refiere al
diámetro interior su perímetro es de 30,95 codos ( [10-0,15] x π).
En ambos casos está claro que el perímetro calculado no se corresponden con los treinta codos descritos en
las escrituras. Parece que hay algún dato es incorrecto, ¿o tal vez no?
Según se cuenta en el libro de Eduard Punset “El alma está en el cerebro”, se puede representar el perímetro
del universo con una precisión del diámetro del átomo de hidrógeno conociendo el radio del universo y los
36 primeros decimales del número π. ¿Para qué querríamos más de 36 cifras decimales de precisión en el
número π?; y los antiguos arquitectos egipcios, ¿para que querrían más precisión que π = 3,14?; y el escriba
de estos versículos de la Biblia, ¿para qué querría más precisión que π = 3? El escriba tal vez sólo pretendía
dar una idea aproximada del tamaño de la pieza, y al simplificar redondeó a 30 perímetro de la pila.
Otra explicación es que los codos de los que habla el versículo no fueran los mismos para cada medida, ni
tan sólo que fueran codos pequeños como los utilizados en la construcción del templo.
Así, una lectura alternativa del versículo 23 que no contiene errores de geometría podría ser:
“Hizo fundir asimismo una tina redonda de diez codos persas de diámetro exterior y 5 codos persas de
altura, y la cuerda de su perímetro externo medía 30 codos reales”.
Como ya sabemos, 10 codos persas multiplicado por  es igual a 30 codos reales.
Tal vez la información descrita en el versículo se modificó con el paso de los años hasta dejar una versión
en la que no se especifica el tipo de codos de cada medida, o que se diera por sentado que los codos de las
cuerdas eran por defecto π/3 ≈ 1,0472 mayores que los codos del diámetro.
Esta disertación supone que los escribas de la Biblia no eran analfabetos en geometría, y que sabían que la
longitud de la circunferencia era 2πR, y no 6R, aunque en esa época la exactitud del valor de π se limitara a
la segunda cifra decimal (π = 3,14)
Como podréis leer en la referencia de wikipedia sobre el número π, desde la antigüedad se han utilizado
métodos muy ingeniosos para calcularlo, cada vez con mayor precisión, pero el método más simple y que
permite obtener π con la precisión necesaria según la tecnología de cada época, consiste en dibujar un
círculo en el suelo con la ayuda de una cuerda y después medir el perímetro del círculo mediante
fragmentos de la cuerda. Es como un juego de niños.
¿Tendrá algo que ver la hipotética altura del “cielo” egipcio con el número de la bestia del
Apocalipsis?
Anteriormente hemos hecho unos cálculos, haciendo en ciertas suposiciones, que nos indicaban que para los
antiguos egipcios el firmamento estaba situado a 666.666 codos pequeños de la superficie de la tierra.
El rey Nabucodonosor II de Babilonia conquistó Jerusalén e hizo destruir el templo de Salomón en 586 a.c.
Desde ese tiempo todo lo babilónico representa lo antagónico al pueblo de Israel.
Los babilonios habían dividido el firmamento en 36 cuadrículas, y cada cuadrícula tenía una estrella que
representaba a uno de sus dioses menores. Cada dios menor se identificaba en los escritos mediante un
número dado a cada cuadrícula.
Los Babilonios llevaban un amuleto hecho de barro que consistía en un Sudoku de 6x6 en el que estaban
representados numéricamente los 36 dioses, de tal forma que la suma de los seis números de cada línea y la
suma de los seis números de cada columna siempre daba 111. Al sumar los 36 números que conforman la
matriz 6X6 se obtiene el valor 666, que es la cifra que representaba al Sol. Durante un día el sol transitaba
por algunas de esas 36 cuadrículas, variando con la época del año.
Llevar este amuleto colgado del pecho implicaba estar protegido contra las maldades de esos 36 dioses
menores, que igual podían ser propicios que maliciosos.
En las dos tablas de más abajo podemos ver dos de las combinaciones posibles de este tipo de amuleto. He
añadido una columna y una línea extras para indicar el resultado de las sumas, que siempre dan 111.
El orden de las columnas y de las líneas se puede modificar sin alterar el resultado, de modo que estas
matrices son sólo dos de las muchas que se pueden plantear.
6
7
19
18
25
36
111
32
11
14
20
29
5
111
3
27
16
22
10
33
111
34
28
15
21
9
4
111
35
8
23
17
26
2
111
1
30
24
13
12
31
111
111
111
111
111
111
111
666
32
11
14
20
29
5
111
6
7
19
18
25
36
111
3
27
16
22
10
33
111
34
28
15
21
9
4
111
35
8
23
17
26
2
111
1
30
24
13
12
31
111
111
111
111
111
111
111
666
Este amuleto, y el panteón que representa, fue llevado a la ciudad de Pérgamo, en Anatolia, por los
sacerdotes que emigraron de Babilonia cuando fue conquistada por los persas. Cuando Pérgamo pasó a
formar parte del Imperio Romano éstas ideas llegaron a Roma, donde se mezclaron con las autóctonas, y
chocó en rivalidad con las nuevas creencias cristianas.
Juan evangelista anatemizó a los dioses paganos de Roma representados por el dios Sol (al que los egipcios
llamaban dios Ra), que como ya hemos dicho, su símbolo pagano era el número 666.
Así, los números del 1 al 36, que representan a los dioses que pueden hacer daño a los hombres, sumados
dan el número 666, el “número de la bestia”, el número del enemigo del cristianismo.
En resumen, el 666 representa toda la congregación de los diablos/dioses menores que se suponía que
habitaban el cielo, representa al dios Sol y representa a los paganos, rivales del cristianismo.
El número 666 pasó a significar todo lo opuesto a la iglesia de Pablo.
En griego el nombre de Satanás es TEITAN.
Los griegos no tenían símbolos para designar a los números. Para ello utilizaban letras de su propio alfabeto.
TEITAN en números griegos antiguos era el 666 : T =300; E = 5; I = 10; T = 300; A = 1; N = 50
Si sumamos, veremos que TEITAN en griego antiguo era una de las formas de expresar el número 666.
En el sistema griego de numeración cualquier combinación de las letras T,T,E,I,A,N significa 666.
¿Aún hay dudas de porque Juan el Evangelista escribió que el número de la bestia era el 666?
A pesar de la claridad de esta explicación aún siguen buscándole otros significados. ¡Tampoco es tan
críptico, creo yo!
Este escrito no pretende ser original ni he creo haber descubierto nada nuevo. Sobre estos temas se ha
escrito tanto, y desde tan antiguo que es seguro que todo ello ya habrá sido publicada con anterioridad. La
mayor parte de esta información la he leído en páginas web, pero una parte se me ha ocurrido a mi, como
se le habría ocurrido a cualquiera que hubiera estudiado un poco el tema y, con toda seguridad, mi
aportación tampoco será original, sino un simple redescubrimiento de cosas conocidas desde antiguo.
Esto es todo.
Saludos.
κβ