Guía Proporcionalidad de segmentos

GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
Matemática
Programa Entrenamiento
Proporcionalidad en segmentos
Desafío
Sea ABCD un paralelógramo cualquiera. Se ubica un punto P en el lado AD de tal manera que
PD : PA = 1 : 2, y se ubica un punto Q en el lado BC de tal manera que QC : QB = 2 : 3. Si T es
el punto donde se intersecta el segmento PQ con la diagonal BD , entonces la razón TD : TB es
igual a
A)
B)
C)
D)
E)
1:3
5:9
3:5
2:3
3:4
Mis observaciones
GUICEN026MT22-A16V1
Resolución
1
Programa Entrenamiento - Matemática
Marco teórico
División de segmento
Existen varios tipos de
división de segmento:
A
P
B
A
B
P
A
P
B
El punto P divide
interiormente al segmento
AB en la razón m : n si
El punto P divide
exteriormente al segmento
AB en la razón m : n si
El punto P divide en
sección áurea o divina al
segmento AB si
m
AP
=
n
PB
m
AP
=
n
BP
AB
PB
=
= ϕ , con PB > AP
PB
AP
Si dos puntos dividen a un segmento, uno
interiormente y otro exteriormente en la misma
razón, se dice que lo dividen “armónicamente”.
2
División en sección
áurea o divina
División exterior
División interior
El número ϕ es una constante
llamada el “número dorado”
ϕ=
1+ �5
2
≈ 1,618...
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
Teorema de la bisectriz
A
aa
Un segmento de bisectriz dentro
de un triángulo determina trazos
proporcionales a los lados.
B
D
C
AB
Si AD es bisectriz del
ángulo BAC, entonces…
BD
=
AC
DC
Teorema de Thales
Rectas paralelas determinan
segmentos proporcionales
AB
BD
=
AC
AB
CE
BC
A
D
C
BC // DE
DE
AC
EF
CE
A
L1
L2
B
=
L3
C
A
D
BC
CD
B
E
B
=
C
F
D
E
L1 // L2 // L3
AB
BC
=
E
AB // DE
AD
AC
DE
AB
=
CE
DE
Como Δ ABC ~ Δ ADE,
entonces…
Como Δ ABC ~ Δ EDC,
entonces…
AC
BC
=
AE
BC
DE
AB
=
CD
DE
3
Programa Entrenamiento - Matemática
Homotecia
Es una transformación geométrica que afecta a longitudes en función de
una determinada razón k y un punto fijo O llamado centro de homotecia.
El triángulo ABC se transforma
en el triángulo DEF
Si k < − 1
Si k = – 1
C
A
O
E
F
Si − 1 < k < 0
Si 0 < k < 1
C
D
D
E
A
A
B
C
B
D
O
F
4
D
O
F
E
F
Todas las
longitudes se
multiplican
por 1, es
decir, las
distancias
son iguales
en relación
al triángulo
ABC.
B
C
E
Todas las
longitudes se
multiplican
por |k| y son
mayores
en relación
al triángulo
ABC.
F
C
A
O
E
B
B
O
Si 1 < k
Todas las
longitudes se
multiplican
por |k| y son
menores
en relación
al triángulo
ABC.
D
A
Todas las
longitudes se
multiplican
por |k| y son
menores
en relación
al triángulo
ABC.
Todas las
longitudes se
multiplican
por |k| y son
mayores
en relación
al triángulo
ABC.
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
Ejercicios PSU
1.
Dos segmentos están en la razón 1 : 3. ¿En qué razón quedarán si el segmento mayor es reducido
a la mitad?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
El segmento AB se divide interiormente en la razón 2 : 3 : 4. Si el segmento menor mide 18 cm,
¿cuánto mide el segmento AB?
A)
B)
C)
D)
E)
3. ¿Cuál(es) de los siguientes segmentos PQ está(n) dividido(s) interiormente por el punto R en la
razón 2 : 5?
1:1
1:3
2:3
3:2
Ninguna de las razones anteriores.
9 cm
27 cm
36 cm
81 cm
Faltan datos para determinarlo.
5
I)
P
II) P
10
R
A) B) C) D) E) Q
25
R
Q
14
III) P
2
4
R
Q
Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
5
Programa Entrenamiento - Matemática
4. En la figura, S es punto medio de PQ y el segmento RS triplica al segmento PR. El segmento PR
es al segmento RQ como
A) 1 : 8
P
R
S
Q
B) 1 : 7
C) 1 : 6
D) 1 : 4
E) 1 : 3
5.
En la figura, AP = 10 cm y PQ = 30 cm. Se ubica un punto B en el segmento PQ, de tal manera
que P y Q dividen armónicamente al segmento AB. La medida de BQ es
A)
B)
C)
D)
E)
6 cm
10 cm
16 cm
20 cm
24 cm
6.
En la figura, el punto B divide al segmento AC en la misma razón que el punto C divide al segmento
A
Q
P
BD. Si AD = 19 cm, BC = 6 cm y AB > CD, entonces ¿cuánto mide BD ?
A)
B)
C)
D)
E)
4 cm
9 cm
10 cm
12 cm
15 cm
7.
En el triángulo ABC de la figura, BD es bisectriz del ángulo CBA. Si AC = 10 cm, entonces el
segmento AD mide
A
B
C
C
20
A) cm
7
50
B) cm
11
60
C) cm
11
50
D) cm
7
6
E)
ninguna de las medidas anteriores.
D
5 cm
D
A
6 cm
B
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
8.
En el triángulo ABC de la figura, AD es bisectriz del ángulo BAC. Si BC = p + 1, con p número
positivo menor que 2, entonces el segmento BD es igual a
C
2p
A)
2p + 1
2p
B)
p+1
2p
p
C)
p+1
p+1
D)
2p + 1
p+1
E)
2p
9.
D
A
B
1
En el triángulo ABC de la figura, el valor de AE es
C
9
A)
5
45°
15
B) 7
3
45°
4
5
C)
2
A
16
D)
5
B
E
20
E)
7
10. En el triángulo ABC de la figura, AD = x, AB = z y BC = y. El segmento AC es igual a
C
A) xy
z
25º
z–x
B)
xy
x(z – x)
C)
y
A
60º
D
70º
B
D)xy
x–z
E)xy
z–x
7
Programa Entrenamiento - Matemática
11. En la figura, E es el punto de intersección entre BC y AD . Si AB // CD, ¿cuál es el valor de AE?
D
B
A)45
B)35
C)25
D)20
E)
5
30
E
10
15
A
C
12. En el triángulo AFH de la figura, AB = BC = CD = DE = EF = 2 cm y EG = 3 cm. ¿Cuánto mide AH ?
A)
5,3 cm
B)
6,6 cm
C)
9 cm
D)
12 cm
E)
15 cm
H
G
A
B
D
C
F
E
13. En el triángulo ABC de la figura, ED // CB. Si DB = (x + 6) metros y AB = (3x + 6) metros, entonces la
medida de AD es
A)
B)
C)
D)
E)
C
1 metro.
2 metros.
4 metros.
8 metros.
12 metros.
E
4m
A
D
12 m
B
14. Un poste perpendicular al suelo que mide 2,5 metros proyecta una sombra de 5 metros de largo.
Si a esa misma hora y en ese mismo lugar, una casa proyecta una sombra de 9 metros, ¿cuál es
la altura de la casa?
8
A)
B)
C)
D)
E)
4,5 metros
5,5 metros
6,5 metros
7,5 metros
18 metros
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
15. En la figura, el triángulo PQR es isósceles en R, RP // TM, RQ // TN , PM = 2 y TS = 3. Si
PM : MS = 1 : 2, entonces ¿cuál es el valor de RP ?
A)
7,5
B)
2,5
R
T
3�10
C)
4
P
M
�10
D)
2
E)
S
Q
N
Faltan datos para determinarlo.
16. Un edificio que proyecta una sombra de 15 metros, está a 5 metros de otro edificio de 12 metros
de altura, tal como muestra la figura. ¿Cuál es el valor de x?
A)
B)
C)
D)
E)
6 metros
8,3 metros
12,5 metros
15 metros
18 metros
x
12 m
a
5m
15 m
17. En el triángulo de la figura, x es igual a
m
A)
n+m
B) m–n
m
C) n
m–n
D) m
m–n
E)
m
1
x
b
n
b
ninguna de las expresiones anteriores.
9
Programa Entrenamiento - Matemática
18. ¿En cuál(es) de las siguientes figuras el valor de x es 8?
I)
L4
II) L3
L5
L1
12
14
L2
x
10
L3
L1 // L2 // L3
L4 y L5 son tranversales
A) B) C) D) E) L1
L2
III)
L4
L1
15
x
A) B) C) D) E) L4
x
12
20
15
5
6
L2
L1 // L2
L1 // L2
L3 y L4 son tranversales
L3 y L4 son tranversales
Solo en I
Solo en II
Solo en III
Solo en I y en II
En ninguna de ellas.
19. En la figura, AB // CD . Si 2 • DE = AD, entonces ¿cuál es el valor de
L3
CD
?
2
10
B
3
4
5
6
Ninguno de los valores anteriores.
25º
A
8
55º
E
12
D
C
20. En el triángulo PQR de la figura, RS : SP = 1 : 2. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es
(son) verdadera(s)?
I) PQ
RS
=
RP
ST
II) RT
1
=
TQ
2
III) RP TQ
=
SP RQ
A)
B)
C)
D)
E)
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
Ninguna de ellas.
10
R
S
P
a
a
T
Q
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
21. En el triángulo ABC de la figura, DE // BC . Si AD = (x + 4), DB = (x + 6), AE = x y EC = (x + 1),
entonces ¿cuál es el valor de AE?
C
A)4
B)3
C)2
D)1
E) Ninguno de los valores anteriores.
E
A
B
D
22. En la figura, AB // CD y AD se intersecta con BC en E. La expresión que representa a AD en
función de p, q y r es
B
pr
A)
q
D
p
qr
B)
p
r
qr
C) + r
p
A
E
q
C
rp
D) + r
q
E)
ninguna de las expresiones anteriores.
23. En el triángulo ABE de la figura, AB // CD. Si AB = 3b, AC = 3a y CE = a, entonces CD es igual a
E
3
A) b
4
3
B) ab
4
4
C) ab
3
C
A
D
B
D)
a
E)
faltan datos para determinarlo.
11
Programa Entrenamiento - Matemática
24. En la figura se muestra una homotecia de centro O que transforma al triángulo ABC en el triángulo
DEF. Si OC > OF, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta respecto a la razón de
homotecia?
C
D
E
O
B
F
A)
B)
C)
D)
E)
A
Es menor que – 1.
Es igual a – 1.
Es mayor que – 1 y menor que 0.
Es mayor que 0 y menor que 1.
Es mayor que 1.
25. En la imagen, O es centro de homotecia que transforma al cuadrilátero ABCD en el cuadrilátero
EFGH, con una razón de homotecia igual a 1,5. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)Si EF = 18, entonces AB = 12.
II) Si el perímetro de ABCD es 44, entonces el perímetro de EFGH es 66.
III)Si OA = 18, entonces AE = 27.
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
O
C
D
B
G
A
H
E
12
F
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
26. En la figura se muestra una homotecia de centro O y razón – 2,5 que transforma al triángulo ABC
en el triángulo DEF. Si ∠ ABC = 60º y BC = 8, ¿cuál es la medida del segmento FG?
F
B
D
E
O
A
G
C
A)
10�3
B)
10�2
C)
8�3
5
D)
20�2
E)
20�3
27. En la figura, AB = 26 cm. Se puede determinar la medida del segmento AD si:
(1)
AD : DB = 6 : 7
DB es el segmento mayor.
(2)
A)(1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
A
D
B
28. En la figura, AD y BC se intersectan en E. Se puede determinar la medida de BE si:
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
Se requiere información adicional.
D
B
(1)
AB = 10 cm y EC = 6 cm
(2)
EC = 6 cm y ED = 4 cm
a
E
8 cm
a
A
C
13
Programa Entrenamiento - Matemática
29. En el triángulo ABC de la figura, se puede determinar el valor numérico de DE si:
C
AB // DE y CD = 8
(1)
(2)
AB = 21 y AD = 12
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
Se requiere información adicional.
D
E
A
B
30. En la figura, L4 y L5 son transversales, L1 // L2 // L3 y DE = 2. Se puede determinar el valor de EF
si:
(1)
(2)
14
A)
B)
C)
D)
E)
AD 3
=
BE 4
L4
L1
AB 3
=
BC 4
(1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
Se requiere información adicional.
L2
L3
C
B
A
L5
D
E
F
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA

Tabla de corrección
Item
Alternativa
Habilidad
1
Aplicación
2
Aplicación
3
ASE
4
Aplicación
5
Aplicación
6
Aplicación
7
Aplicación
8
Aplicación
9
Aplicación
10
Aplicación
11
Aplicación
12
Aplicación
13
Aplicación
14
ASE
15
ASE
16
Aplicación
17
Aplicación
18
Aplicación
19
Aplicación
20
Comprensión
21
Aplicación
22
Aplicación
23
Aplicación
24
Comprensión
25
ASE
26
Aplicación
27
ASE
28
ASE
29
ASE
30
ASE
15
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