Transformada de Hilbert

Análisis de Señales en Geofísica
10° Clase
Transformada de Hilbert
Facultad de Ciencias Astronómicas y Geofísicas,
Universidad Nacional de La Plata, Argentina
Propiedades
• La transformada de Hilbert de una señal produce un
adelanto de su fase de π/2 radianes.
• Cuando una señal es causal en un dominio, ya sea
tiempo o frecuencia, la parte real y la imaginaria en el
otro dominio estarán vinculadas por la transformada de
Hilbert.
• Si la señal causal es además de fase mínima, entonces
el logaritmo natural del espectro de amplitud será igual a
la transformada de Hilbert del espectro de fase.
Transformada de Hilbert
2
Función Signo
Se define la función signo sgn(t ) como:
1
sgn(t )  
1
si
si
t0
t0
Su transformada integral de Fourier está dada por:
sgn(t ) 
Transformada de Hilbert
2
i
3
Función Signo
Calculemos la transformada integral de Fourier de la función signo:
+∞
𝐹𝑇 𝑒 −𝛼 𝑡 sgn 𝑡
−∞
0
−∞
𝑒 𝛼𝑡 𝑒 −𝑖Ω𝑡 𝑑𝑡 +
0
+∞
𝑒 −𝛼𝑡 𝑒 +𝑖Ω𝑡 𝑑𝑡 +
0
+∞
𝑒 −𝛼𝑡 𝑒 −𝑖Ω𝑡 𝑑𝑡 =
0
0
Transformada de Hilbert
+∞
𝑒 −𝛼𝑡 𝑒 −𝑖Ω𝑡 𝑑𝑡 =
0
𝑒 −𝛼𝑡
= 2𝑖
𝑒 −𝛼𝑡 +1 𝑒 −𝑖Ω𝑡 𝑑𝑡 =
0
+∞
−∞
=
=−
+∞
𝑒 𝛼𝑡 −1 𝑒 −𝑖Ω𝑡 𝑑𝑡 +
=
+∞
𝑒 −𝛼 𝑡 sgn 𝑡 𝑒 −𝑖Ω𝑡 𝑑𝑡 =
=
𝑒 +𝑖Ω𝑡 − 𝑒 −𝑖Ω𝑡
−
𝑑𝑡 = − 2𝑖
2𝑖
𝑒 −𝛼𝑡 𝑒 −𝑖Ω𝑡 − 𝑒 +𝑖Ω𝑡 𝑑𝑡 =
0
+∞
𝑒 −𝛼𝑡 sin Ω𝑡 =
0
2
Ω
𝑖 Ω2 + 𝛼 2
4
Función Signo
𝑒
−𝛼 𝑡
2
Ω
sgn 𝑡 ⟺
𝑖 Ω2 + 𝛼 2
Tomando el límite cuando a tiende a cero:
lim 𝑒
𝛼→0
−𝛼 𝑡
2
Ω
sgn 𝑡 ⟺ lim
𝛼→0 𝑖 Ω2 + 𝛼 2
Obtenemos:
2 Ω
sgn 𝑡 ⟺
𝑖 Ω2
O lo que es equivalente:
sgn 𝑡 ⟺
Transformada de Hilbert
2
𝑖Ω
5
Función Signo
Apliquemos la propiedad de simetría de la transformada de Fourier:
f (t )  F ()

F (t )  2 f ()
a la función signo:
sgn(t ) 
2
i

2
 2  sgn()
it
O lo que es equivalente:
−1 1  i  sgn() 𝑖𝜋2 Ω
⟺
𝑖 sgn Ω = 𝑒 Ω

t
𝜋𝑡
Transformada de Hilbert
6
Función Signo
Transformada de Hilbert
7
Transformada de Hilbert
Se define la transformada de Hilbert como la convolución con la función
1
:
t

1 1 f ( )
HT  f (t )  f (t ) * 
d

 t   t  
Convolucionar en tiempo por 1  t , es equivalente a multiplicar en frecuencia por
i  sgn() , es decir, no modificamos el espectro de amplitud, sólo estamos aplicando
un corrimiento en fase de + 2 para las frecuencias positivas, y de  2 para las
frecuencias negativas.
La transformada de Hilbert produce un adelanto de la fase de  2, por lo cual se
dice que una función y su transformada de Hilbert están en cuadratura.
Transformada de Hilbert
8
Transformada de Hilbert
de senos y cosenos
1  sin( )
cos(t ) 
 (t   ) d
 
Transformada de Hilbert
1  cos( )
 sin(t ) 
d

  (t   )
9
Espectro de la Función
Exponencial Compleja
Ω𝑜
Espectro del sin(Ωt)
−Ω𝑜
Ω
𝑖𝜋𝛿 Ω + Ω𝑜 − 𝑖𝜋𝛿 Ω − Ω𝑜
Ω
-𝜋𝛿 Ω + Ω𝑜 + 𝜋𝛿 Ω − Ω𝑜
Ω
𝜋𝛿 Ω + Ω𝑜 + 𝜋𝛿 Ω − Ω𝑜
−Ω𝑜
Espectro de i sin(Ωt)
Ω𝑜
Espectro del cos(Ωt)
−Ω𝑜
Ω𝑜
Espectro del cos(Ωt)+i sin(Ωt)
Ω𝑜
Ω
2𝜋𝛿 Ω − Ω𝑜
cos Ω𝑡 + 𝑖 sin Ω𝑡 = 𝑒 𝑖Ω𝑡 ⟺ 2𝜋𝛿 Ω − Ω𝑜
Transformada de Hilbert
10
La Función Analítica
Podemos escribir a la función exponencial compleja de la siguiente forma:
eit  cos(t )  i  sin(t )  cos(t )  i.HT cos(t )
Teniendo presente que cualquier función se puede expresar como una suma escalada
de exponenciales complejas, generalicemos esta idea y creemos una función compleja
a partir de una función real, cuya parte imaginaria tenga un retardo en fase de 90°
respecto de su parte real, es decir:
g (t )  f (t )  i  HT  f (t )
La función g (t ) es conocida como función analítica asociada a f (t ). Del mismo modo
como la transformada de Fourier de la función exponencial compleja es causal, la
transformada de Fourier es la función analítica es causal también.
Transformada de Hilbert
11
La Función Analítica
FT  g (t )  f (t )  i.TH  f (t )
G ()  F ()  i i.sgn()  F ()
G ()  F () 1  sgn() 
 2 F ()
G ()  
0
si   0
si   0
Dada una función en tiempo cuya parte imaginaria sea igual a menos la transformada
de Hilbert de su parte real, su transformada de Fourier será causal.
Análogamente, si una función temporal es causal, la parte real e imaginaria de su
transformada de Fourier estarán vinculadas por la transformada de Hilbert.
Transformada de Hilbert
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La Función Envolvente
Se define a la envolvente E (t ) de una función f (t ) como el módulo de su función
analítica:
E (t )  g (t ) 
f (t ) 2   HT  f (t ) 
2
En aquellos puntos donde la función y su envolvente se tocan, la envolvente E (t )
será tangente a la función f (t ). Dado que la envolvente es claramente mayor o
igual que la función en todo punto, la envolvente circunscribe a la función,
propiedad que le da su nombre.
Transformada de Hilbert
13
Transformada Generalizada
de Hilbert
Aplicar un adelanto arbitrario de la fase  , es decir multiplicar en el dominio de
las frecuencias por ei sgn(  ) , es conocido como transformada generalizada de
Hilbert:
GHT  f (t ),    cos     f (t )  sin     HT  f (t )
f  (t )  cos     f (t )  sin     f 2 (t )

Es fácil de ver que la aplicación de la transformada generalizada de Hilbert no
modifica a la función envolvente. Es decir que la función envolvente de f (t ),
circunscribirá a todas las funciones f  (t ) que se obtengan aplicando un adelanto
constante y arbitrario de la fase.
Transformada de Hilbert
14
Coeficientes de reflexión complejos
Cuando un rayo incide en una superficie de discontinuidad con un ángulo mayor al
ángulo crítico, la expresión que nos permite obtener el coeficiente de reflexión nos da
un valor complejo. En esta situación no se transmite energía a la capa subyacente,
toda la energía es reflejada hacia arriba. Esto es llamado reflexión interna total, y a
diferencia de las reflexiones precríticas en las que la forma de onda no cambia, en las
reflexiones postcríticas la forma de la onda es distorsionada. Esto se produce por la
multiplicación con un coeficiente de reflexión complejo r = |r| exp(iφ). En el dominio
de las frecuencias esto es equivalente a multiplicar por |r| exp(iφ Ω/|Ω|) donde φ es el
cambio de fase constante entre el rayo incidente y el reflejado. Un corrimiento de fase
positivo para las frecuencias positivas y negativo para las frecuencias negativas
produce un avance de la fase. El signo del corrimiento en fase debe cambiar para que
la señal en frecuencia siga siendo hermitiana y para que en tiempo siga siendo real.
Un coeficiente de reflexión r = i para las frecuencias positivas y r = –i para las
negativas, corresponde a un avance de la fase en π/2, es decir a la transformada de
Hilbert. Un corrimiento φ arbitrario de la fase corresponde a la transformada
generalizada de Hilbert. El signo del corrimiento en fase depende del signo de la
exponencial compleja utilizado en la definición de la transformada de Fourier.
Transformada de Hilbert
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Amplitud, Fase y
Frecuencias Instantáneas
La amplitud instantánea de una señal no es otra cosa que la función envolvente E (t ).
Se define a la fase instantánea inst . (t) de una señal f (t ) como:
 f 2 (t ) 
inst (t )  arctg 

 f (t ) 



La función y su transformada de Hilbert se pueden expresar en función de la
envolvente y de la fase instantánea del siguiente modo:
f (t )  E (t )  cos inst . (t ) 
f 2 (t )   E (t )  sin inst . (t ) 

La frecuencia instantánea está dada por la derivada de la fase instantánea respecto del
tiempo:
d
inst . (t )  inst .
Transformada de Hilbert
16
dt
Descomposición Par / Impar
Toda función f (t ) se puede descomponer como la suma de una función par f p (t ), más
una función impar fi (t ) :
Donde:
f (t )  f p (t )  fi (t )
f (t )  f (t )

f
(
t
)

 p
2

 f (t )  f (t )  f (t )
 i
2
Si f (t ) es una función real, cuya transformada de Fourier está dada por:
FT  f (t )  F ()  ReF ()  i Im F ()
Entonces por las propiedades de simetría de la transformada de Fourier:
Transformada de Hilbert
Re  F ()  FT  f p (t )  Fp ()

i Im  F ()  FT  f i (t )  Fi ()
17
Espectro de una
Función Real y Causal
Si f (t ) es una señal real y causal,
es fácil de ver que:
f p (t )  sgn(t )  f i (t )
fi (t )  sgn(t )  f p (t )
Transformada de Hilbert
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Espectro de una
Función Real y Causal
Si f (t ) es una señal real y causal, entonces:
f p (t )  sgn(t )  fi (t )
fi (t )  sgn(t )  f p (t )
Tomando transformada de Fourier a esta ecuaciones, teniendo en cuenta que
2
sgn(t ) 
, obtenemos:
2
i
Fp () 
* Fi ()
i
2
Fi () 
* Fp ()
i
La TF de las funciones pares e impares son iguales a la parte real y a la parte imaginaria
respectivamente, de la TF de la función original, entonces obtenemos:
2
Re F () 
* i Im F ()
i
2
i Im F () 
* Re()
i
Transformada de Hilbert
19
Espectro de una
Función Real y Causal
2
* i Im F ()
i
2
i Im F () 
* Re()
i
Teniendo en cuenta que cuando convolucionamos en el dominio de las frecuencias nos
aparece un factor 1 2 , obtenemos:

1 Im F ( )
Re F ()  
d   HT Im F ()
    
Re F () 
1  Re F ( )
Im F () 
d  HT Re F ()

    
Esto demuestra que si la función f (t ) es real y causal, la parte real y la parte imaginaria
de su transformada de Fourier, están vinculadas por la transformada de Hilbert.
Del mismo modo si la parte real e imaginaria de la TF de una función están vinculadas
por la transformada de Hilbert, la función debe ser necesariamente causal.
Transformada de Hilbert
20
La Transformada de Hilbert y la
Transformada Discreta de Fourier
Si tratamos de aplicar lo discutido hasta ahora sobre la transformada de
Hilbert a señales digitales y queremos aprovechar las ventajas de la
transformada discreta de Fourier, nos encontramos con dos problemas.
El primero es qué queremos decir con causalidad, ya que cuando
utilizamos TDF las señales son periódicas en ambos dominios y por lo
tanto no pueden ser causales. Sin embargo, definiremos causalidad en
el contexto de la TDF como aquella señal discreta que es cero en la
primera mitad de cada período. El segundo problema está relacionado
con el teorema de “Banda Limitada / Tiempo Limitado”. Por este
teorema sabemos que la señal que no se extiende desde  a  en
un dominio, tendrá que hacerlo en el otro dominio. Por lo tanto una
señal causal en el dominio del tiempo tendrá que contener
necesariamente todas las frecuencias, lo cual nos lleva a preguntarnos:
¿Cómo podremos implementar la transformada de Hilbert mediante la
Transformada Discreta de Fourier?
Transformada de Hilbert
21
La Transformada de Hilbert y la
Transformada Discreta de Fourier
La respuesta es que la “Transformada Ideal de Hilbert”, del mismo modo
que un filtro pasa-bajos ideal o filtro diferenciador ideal, son conceptos
valiosos en la teoría del continuo que sólo pueden ser implementados de
manera aproximada en forma digital. El diseño de operadores digitales
que apliquen la transformada discreta de Hilbert deberá realizarse con las
mismas técnicas que describimos para diseñar filtros de frecuencias,
como por ejemplo el uso de ventanas o zonas de transición. Debido a
que el operador en tiempo que aplique la transformada ideal de Hilbert
será infinitamente largo a causa de la discontinuidad de su respuesta en
frecuencia en el origen, cualquier implementación práctica del operador
discreto deberá truncarla de alguna manera, dando únicamente
resultados aproximados. La respuesta en frecuencia del operador
truncado tendrá la respuesta en fase exacta, pero la respuesta en
amplitud tendrá ripple. La alternativa es realizar la transformada de
Hilbert en el dominio de las frecuencias tolerando los errores introducidos
por la transformada discreta de Fourier.
Transformada de Hilbert
22
El Operador Ideal de la
Transformada Discreta de Hilbert
La respuesta impulsiva infinita de la Transformada Discreta de Hilbert es lo que se
denomina un filtro digital de cuadratura qn . Su respuesta en frecuencia ideal está
dada por:
Q( )  e
i
 
2 
 i si 0<  

i
 i  sgn( )  

i si      0
Como sabemos Q( ) es una función continua y periódica de la frecuencia de período
2 , y su transformada discreta inversa está dada por:

0

1
1
1
i n
i n
qn 
Q   e d 
(i )e d 
(i )ei n d



2 
2 
2 0



1
1
i
 i n
 i n
 i n
 i n
qn 
ie
d


ie
d


e

e
d





2 0
2 0
2 0
1 
1
qn   sin  n  d 
 cos  n   1
 0
n
Transformada de Hilbert
0

qn  
 2  n
si n es par o cero
si n es impar
   n  
23
El Operador Ideal de la
Transformada Discreta de Hilbert

2
 qn
Q( )
(a) El operador discreto ideal y su espectro. (b) El espectro de amplitud del
operador truncado. Su espectro de fase es exacto.
Transformada de Hilbert
24
Relación entre los espectros de amplitud
y de fase de una señal de fase mínima
Consideremos el siguiente dipolo de fase mínima:
xn  1,  
donde   1
Su transformada Z está dada por:
X  z  1 z
Tomemos el logaritmo natural de la transformada Z:

X
𝑋 𝑧z = ln 1   z   
n 1
n
n
zn
Este desarrollo en serie es convergente si   1.
Ahora tomemos transformada Z inversa:
 0 si n  0

𝑥x𝑛n=   n
si n  1

 n
Es decir que si xn es de fase mínima, entonces x𝑥n𝑛 es causal.
Transformada de Hilbert
25
Relación entre los espectros de amplitud
y de fase de una señal de fase mínima
Si 𝑥x𝑛n es causal, entonces:


Re X𝑋
X 
𝜔  HT Im
Im𝑋
𝜔
Pero como:
X (𝜔
 )  ln  X ( )  ln X ( )  i  arg  X ( )   ln X ( )  i  x ( )
𝑋
Entonces si xn es de fase mínima:
ln X ( )  HT x ( )
Transformada de Hilbert
26
Relación entre los espectros de amplitud
y de fase de una señal de fase mínima
Esta demostración se puede generalizar para una secuencia de fase mínima de longitud
arbitraria:
xn   x0 , x1 , x2 , , xN 1 
N 1
N 1
X ( z )   xn z   1   k z 
n
n0
k 1
si x0  1
 N 1
 N 1
𝑋X (𝑧z )  ln  X ( z )   ln  1   k z     ln 1   k z 
 k 1
 k 1
Si  k  1 para k  1, N  1, entonces:
 kn n  N 1  kn n
𝑋X 𝑧z   ln  X  z    
z 
z
n
n
k 1 n 1
n 1 k 1
Tomando transformada Z inversa obtenemos:
N 1 
0

 N 1 n
x

n
𝑥𝑛 = 
k

  n
 k 1
Transformada de Hilbert
si n  0
si n  0
27
Relación entre los espectros de amplitud
y de fase de una señal de fase mínima
Es decir que si xn de longitud arbitraria N es de fase mínima, entonces x𝑥n𝑛
es causal, por lo tanto el logaritmo natural del espectro de amplitud está
relacionado con el espectro de fase por la transformada de Hilbert,
es decir:
ln X ( )  HT x ( )
Transformada de Hilbert
si xn es de fase mínima.
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Bibliografía:
 Karl, John H. (1989), An introduction to Digital Signal
Processing, Academic Press.
Claerbout, Jon F. (1992), Earth Sounding Analysis,
Processing versus Inversion, Blackwell Scientific
Publications
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