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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
APUNTES DOCENTES
ASIGNATURA: ELECTROMAGNETISMO
PROFESOR: CARLOS JAVIER JAIMES OCHOA
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
1.
1.1.
CAMPOS ELECRICOS
UNIDADES
Cuando se hacen cálculos en los cuales se aplique la Ley de Coulomb, la carga debe
estar en coulomb y la distancia en metros. La constante de proporcionalidad de la fuerza
k e , se expresa en [N.m2/C2].
1.2.
LEY DE COULOMB PARA SISTEMAS DISCRETOS O SISTEMAS DE CARGAS
PUNTUALES
La fuerza electrostática ejercida sobre la carga j-ésima, está dada por el vector suma de
las fuerzas ejercidas por cada una de las otras cargas individuales:

Fj 
N

 F ji
i  j 1
i j
Cuando se aplica la ley de Coulomb a sistemas de cargas que interactúan, es importante
utilizar el principio de superposición, que consiste en sumar las fuerzas que cada carga
ejerce sobre una carga determinada. El principio de superposición también se utiliza para
determinar el campo eléctrico resultante.
1.3.
FUERZA ENTRE DOS CARGAS PUNTUALES
La fuerza que la carga q1 ejerce sobre la carga q2 está dada por

qq
F21  k e 1 2 2 rˆ
r
Donde r̂ es un vector dirigido de q1 a q2.
1.4.
CAMPO ELECTRICO
El campo eléctrico en cualquier punto del espacio se define como la razón de la fuerza
eléctrica por unidad de carga, ejercida sobre una carga de prueba pequeña y positiva
situada en el punto donde el campo es determinado:
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
 F
E
q0
1.5.
CAMPO ELECTRICO EN UN PUNTO P SITUADO A UNA DISTANCIA r DE UNA
CARGA q
La ley de Coulomb conduce a la siguiente expresión:

q
E  k e 2 rˆ
r
Donde r̂ está dirigido de la carga q hacia el punto P.
1.6.
CAMPO ELECTRICO EN UN PUNTO P DEBIDO A UN SISTEMA DE N CARGAS
PUNTUALES
Del principio de superposición se sigue que:

q
E  k e  2i rˆi
i ri
1.7.
CALCULO DEL CAMPO ELECTRICO DE UN SISTEMA CONTINUO O UNA
DISTRIBUCION CONTINUA DE CARGA
La expresión general para determinar el campo eléctrico sobre un punto del espacio,
cercano a la distribución de carga, usando la ley de Coulomb es:

dQ
E  k e  2 rˆ
r
En este caso se debe tener en cuenta:
1) La densidad de carga: (caso uniforme)

Q dQ
, para una distribución volumétrica de carga.

V dV
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
Q dQ
, para una distribución superficial de carga.

A dA

Q dQ
, para una distribución lineal de carga.

L dL
2) La simetría, la cual permite simplificar los cálculos.
1.8.
CONSTANTES
Carga del electrón = e = 1.60217733x10-19C
Masa del electrón = m e= 9.1093897x10-31kg.
Masa del protón = m p = 1.672623x10-27kg.
Constante de Coulomb = k e = 8.9875x109N.m2/C2
1.9.
PROBLEMAS
1. Tres cargas puntuales están localizadas en los vértices de un triángulo equilátero.
Calcule la fuerza neta sobre la carga de
y
7.0  C
+
0.5 m
60º
+
2.0  C
_
x
-4.0  C
SOLUCION:
El campo eléctrico debido a la carga de 2 C , es:

q
(9 x10 9 N  m 2 / C 2 )(2 x10 6 C )
E1  k e 2 rˆ 
rˆ
r
(0.5 m) 2
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Pero:
rˆ  cos 60 0 iˆ  sen 60 0 ˆj  0.5iˆ  0.86 ˆj
Luego:

E1  (3.6 x10 4 iˆ  6.19 x10 4 ˆj ) N / C
El campo eléctrico debido a la carga de  4 C , es:

q
(9 x10 9 N  m 2 / C 2 )(4 x10 6 C )
E1  k e 2 rˆ 
rˆ donde
r
(0.5 m) 2
rˆ  cos 60 0 iˆ  sen 60 0 ˆj  0.5iˆ  0.86 ˆj
Luego:

E2  (7.2 x10 4 iˆ  1.23x105 ˆj ) N / C
El campo eléctrico resultante, está dado por:
 

E  E1  E2  (1.08x105 iˆ  6.11x10 4 ˆj ) N / C
Luego la fuerza neta sobre la carga de 7  C , es:


N
F  qE  (7.0C )(1.08 x10 5 iˆ  6.11x10 4 ˆj )
C


F  qE  (7.56 x10 1 iˆ  4.2 x10 1 ˆj ) N
2. Determine la fuerza eléctrica que una línea finita de carga de longitud l y densidad
carga uniforme  , ejerce sobre una carga puntual q situada a una distancia y sobre su
mediatriz, como se indica en la figura:
y
+
q

dQ= dx
x
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SOLUCION:

dF  dF (cos ˆj  sen  iˆ)
 k q dx
dF  e2
(cos  ˆj  sen  iˆ)
x  y2


F   dF  k e q
l/2

l / 2
dx
(cos  ˆj  sen  iˆ)
x2  y2
Por simetría, la integral anterior se reduce a:


F   dF  k e q
l/2

dx
(cos  ˆj )
x  y2
2
l / 2
Sustituyendo el valor de cos  , se sigue que:


F   dF  k e q
l/2

y
dx
(x  y )
l / 2
2
2
x  y2
2
ˆj
Usando la fórmula de integración:

dx
(x  a )
2
2
3

2
x
a2 x2  a2
,
se obtiene:

 k qy
F   dF  e 2
y
l/2
x
x2  y2  l / 2

k q 
l/2
F  e 

2
2
y
 (l / 2)  y

k ql 
1
F  e
y  (l / 2) 2  y 2


ˆj

 ˆj
2
2 
(l / 2)  y 
(l / 2)

 ˆj


3. Determine el campo eléctrico a una distancia x, sobre el eje de un anillo radio a, que
tiene una carga Q distribuida uniformemente. A qué distancia del centro del anillo se
presenta el máximo valor del campo eléctrico y diga cuál es.
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SOLUCION:

dE P  dE cos  iˆ  k e

 dl
x
(x  a ) (x2  a 2 )
 dl
x
2
2
 dE P   dE cos  iˆ  k e  ( x 2  a 2 )
x

EP  ke
(x 
2
iˆ
(x 2  a 2 )
iˆ
 dl iˆ
3
a2 ) 2

x(2 a)
EP  ke
iˆ
3
2
2 2
(x  a )

EP  ke
Qx
(x 
2
3
a2 ) 2
iˆ
La distancia a la cual se obtiene el máximo valor del campo eléctrico se obtiene de
acuerdo al criterio de la primera derivada, así:
3
1
dE
( x 2  a 2 ) 2  3x 2 ( x 2  a 2 )
0
dx
( x 2  a 2 )3
2
0
Luego simplificando se obtiene:
a
2
x 2  a 2  3x 2  2 x 2  a 2  x 
El máximo valor del campo eléctrico es:
E  ke
E  ke
a

Q a/ 2
2
 (a / 2 ) 2

3
 ke
2
Qa / 2
3a / 23a / 2
2
E

Q
6 3  0 a 2
2
1
2

Qa
3a / 2
3
2
2
Q
 
4  0 3a / 2 3a 2
1
2
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2. LEY DE GAUSS
2.1.
LEY DE GAUSS
La ley de Gauss constituye un método alternativo para calcular el campo eléctrico
producido por distribuciones de carga de elevada simetría.
La ley de Gauss dice que el flujo eléctrico neto que atraviesa una superficie hipotética
gaussiana cerrada es igual a la carga neta dividida por la permitividad eléctrica del vacío
0 .


 e   E  dA 
qin
0
,

donde qin representa la carga neta dentro de la superficie y E representa el campo
eléctrico en cualquier punto sobre la superficie cerrada. El símbolo

representa una
integral sobre una superficie cerrada. El campo eléctrico situado a una distancia r de una
carga puntual q se determina usando el Teorema de Gauss de la siguiente manera:


 e   E  dA   EdA  E  dA  E (4 r 2 ) 
q
0
dA
+
q
2.2.
E
FLUJO ELÉCTRICO
Es una medida del número de líneas de campo eléctrico que penetran alguna superficie.
El flujo eléctrico tiene las unidades de N  m 2 / C .
Para una superficie plana situada en un campo eléctrico uniforme, el flujo eléctrico
depende del ángulo que forma la normal a la superficie y la dirección del campo eléctrico.
 
 
  E  A  E A cos 
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2.3.
OBSERVACIONES
1) Para el caso de una superficie cerrada general situada dentro de un campo eléctrico
no uniforme, el flujo eléctrico se calcula integrando la componente normal del campo
eléctrico sobre la superficie en cuestión.

 
E
  dA
sup erficie
El flujo eléctrico neto a través de las superficies de diversas formas que rodean una
carga q, es el mismo.
2) La ley de Gauss establece que el flujo  evaluado sobre una superficie hipotética
gaussiana cerrada es igual a la carga neta encerrada dividida por la constante de
permitividad eléctrica del vacío  0 . Si no hay carga en el interior de la superficie
cerrada el flujo eléctrico neto a través de la superficie es cero. Esto significa que el
número de líneas que entra a la superficie es igual al número de líneas que sale de la
superficie.
3) El campo eléctrico es cero en un conductor en equilibrio electrostático
4) El exceso de carga sobre un conductor aislado se sitúa totalmente sobre su
superficie.
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5) El campo eléctrico justamente en el exterior de un conductor cargado es
perpendicular a la superficie del conductor y tiene una magnitud igual a  /  0 , donde
 es la carga por unidad de área.
6) En los conductores de forma irregular la carga eléctrica tiende a acumularse en los
sitios donde el radio de curvatura es más pequeño, es decir en las regiones con
puntas.
7) La ley de Gauss debe ser escogida de tal manera que tenga la misma simetría de la
distribución de carga.
8) La superficie gaussiana debe escogerse de tal manera que incluya los puntos donde
se desea calcular el campo eléctrico.
9) La dirección del campo está determinada por la simetría de la distribución.
10) La superficie gaussiana puede dividirse en varias superficies, sobre las cuales debe
analizarse el ángulo que forma el campo eléctrico con el diferencial de área.
11) La carga total encerrada por la superficie gaussiana puede obtenerse de la
expresión:
q   dq ,
donde dq puede expresarse para las diferentes distribuciones de carga mediante: :
dq  dl ; dq   dA ; dq   dv , para los casos de distribución de carga lineal,
superficial o volumétrica.
2.4.
PROBLEMAS
1. Determine el campo eléctrico en el interior y en el exterior de una esfera aislante de
densidad de carga uniforme  , radio a y carga total positiva Q.
r
a
SOLUCION:
a) Para puntos situados en el exterior de la esfera r  R , la esfera se comporta como si
fuera una carga puntual, veámoslo:
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 
E
  dA  Q /  0 .
Pero:
   
E  dA  E dA cos 0 0  EdA .
Entonces:
E  dA  Q /  0 .
Además:
 dA  4 r
2
,
Entonces:
E (4 r 2 )  Q /  0 .
Despejando E , se obtiene:
E
1
Q
; r  R.
4 0 r 2
b) Para puntos situados en el interior se debe calcular la carga situada en el interior de la
superficie gaussiana usando la densidad de carga, así:
  Qin  (4 r 3 / 3)
E
  dA  
0
0
Teniendo en cuenta que:
   
E  dA  E dA cos 0 0  EdA
Se sigue que:
E (4 r 2 ) 
E
Q (4 r 3 / 3)
0
4 a 3
3
Q r
Qr
 ke 3 ; r  R
3
4 a  0
a
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Esto significa que cuando se hace la gráfica del campo eléctrico dentro de la esfera
aislante de radio a en función de la distancia r, es una línea recta.
E
a
E  ke
Qr
a3
E  ke
Q
r2
a
r
3. Calcule el campo eléctrico debido a un cascarón esférico delgado, de radio a y
carga total Q distribuida uniformemente sobre su superficie, en puntos interiores y
exteriores.
SOLUCION:
a) Para puntos exteriores el cascarón esférico se comporta como una carga puntual,
veámoslo:
Usando la ley de Gauss, se sigue que:
 
E
  dA  Q /  0
Pero:
   
E  dA  E dA cos 0 0  EdA
Entonces:
E  dA  Q /  0
Además:
 dA  4 r
2
Luego:
E (4 r 2 )  Q /  0
Despejando E, se obtiene:
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E
1
Q
; rR
4 0 r 2
b) Para puntos situados dentro del cascarón el campo eléctrico es nulo. Veámoslo:
De la ley de Gauss:


 E  dA  Q /  0
Pero, la superficie gaussiana, en esta oportunidad no envuelve ninguna carga eléctrica,
puesto que en los conductores toda la carga se localiza sobre su superficie, por tanto:


 E  dA  0  E  0 .
Determine el campo eléctrico a una distancia r de una línea infinita de carga positiva con
densidad lineal de carga uniforme  .
SOLUCION:
Aplicando la ley de Gauss, se obtiene:


l
 E  dA  Qin /  0   0
Debemos tener en cuenta que la integral cerrada se reduce solamente a la integral sobre
la superficie lateral de la superficie gaussiana cilíndrica. Por lo tanto se obtiene:
E (2 rl)   l /  0
Luego:
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E

(2 r ) 0
O también:
E  2k e

r
4. Determine el campo eléctrico debido a un plano infinito no conductor con densidad
superficial de carga uniforme  .
SOLUCION:
De la ley de Gauss se sigue que:


 E  dA  
A/0 .
Integrando sobre las dos bases del cilindro de área A, se sigue que:
2EA   A /  0
Simplificando por A, se obtiene:
E   / 2 0 .
3. POTENCIAL ELECTRICO
3.1.
DIFERENCIA DE POTENCIAL
La diferencia de potencial entre dos puntos B y A situados en un campo eléctrico, se
define como el trabajo por unidad de carga, hecho por un agente externo para mover una
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carga (lentamente para estar seguros de que permanece en equilibrio) de prueba q0
(pequeña y positiva), desde A hasta B.
B
VB  V A 
W A B

q0
 
 F  dl
A
q0

B
 
 q0  E  dl
A
q0
Por lo tanto, simplificando se sigue que la diferencia de potencial entre los puntos B y A se
obtiene por la integración a lo largo de la trayectoria de A a B:
B
 
VB  V A    E  dl
A
Para el caso en el cual el campo eléctrico es uniforme, la diferencia de potencial solo
depende de la distancia d paralela al campo E:
VB  V A   Ed
3.2.
POTENCIAL ELECTRICO EN UN PUNTO PROXIMO A UNA CARGA PUNTUAL
El potencial eléctrico calculado en un punto situado en la vecindad de una carga
puntual a una distancia r, considerando que el potencial en el infinito es nulo viene dado
por:
V k
3.3.
q
r
POTENCIAL ELECTRICO EN UN PUNTO PROXIMO A UN SISTEMA DE N
CARGAS PUNTUALES
El potencial eléctrico en punto en la proximidad de un sistema de N cargas puntuales
(sistema discreto), asumiendo que el potencial en el infinito es cero, está dado por:
N
qi
i 1 ri
V  ke 
3.4.
POTENCIA ELECTRICO EN UN PUNTO PROXIMO A UNA DISTRIBUCION
CONTINUA DE CARGA
El potencial eléctrico en un punto próximo a una distribución continua de carga (sistema
continuo), respecto al infinito en donde el potencial se define como cero, se puede
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calcular integrando la contribución debida a un elemento de carga dQ, sobre la línea,
superficie o volumen que contenga toda la carga, así:
V  ke 
dQ
r
donde de acuerdo al caso, el diferencial de carga puede expresarse en términos de la
densidad de carga, mediante:
dQ   dl; dQ   dA; dQ   dv
3.5.
ENERGIA POTENCIAL ELECTRICA
La energía potencial eléctrica de dos cargas puntuales separadas una distancia r,
representa el trabajo requerido para ensamblar el sistema desde una separación infinita.
Si las dos partículas tienen cargas de igual signo la energía es positiva, pero si tienen
cargas de signos opuestos la energía es negativa. La expresión para la energía
electrostática viene dada por:
U  ke
q1q 2
r12
La energía potencial eléctrica total de un sistema de N cargas puntuales se obtiene
sumando la energía para cada par de cargas y sumando los términos algebraicamente:
U
1 N N qi q j
k e 
2 i 1 j 1 rij
j i
o también:
N
N
U  k e 
qi q j
j i i 1
rij
donde U se denomina energía de ensamble.
La auto energía o energía potencial eléctrica de un sistema continuo puede
obtenerse mediante:
U
1
 0  E 2 dv
2
Cuando se conoce la función potencial en una región del espacio, el vector de campo
eléctrico se puede calcular como el gradiente negativo del potencial:

E  V
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En coordenadas cartesianas el gradiente negativo se expresa mediante:

V
V ˆ V
E  V  iˆ
 ˆj
k
x
y
z
Las componentes escalares del campo eléctrico en coordenadas cartesianas, están
dadas por:
Ex  
V
V
V
; Ey  
; Ez  
x
y
z
En coordenadas cilíndricas el campo eléctrico puede expresarse mediante:

V
1 V ˆ V
E  V   ˆ
 ˆ
k

 
z
En coordenadas esféricas el campo eléctrico puede expresarse mediante:

V ˆ 1 V
1 V
E  V  rˆ

 ˆ
r
r 
r sen  z
PROBLEMAS
1. Determine la diferencia de potencial entre los puntos B y A, situados en las
proximidades de una carga puntual q.
B
r
SOLUCION:
B
B
 
VB  V A    E  dl    Edl cos 180 0
A
A
B
B
A
A
B
dr
2
Ar
VB  V A   Edl    Edr  k e q 

A
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1
dr
1
 k e q  
2
 rB rA 
Ar
B
VB  V A  k e q 
Si rA   y definimos V =0, eliminando el subíndice, se sigue que:
V  ke q / r
2. Potencial eléctrico en un punto P situado a una distancia x sobre el eje de una anillo
cargado uniformemente de radio a y carga total Q.
2
r
a
x
+x
2
P
SOLUCION:
dQ
V  ke 
 ke
r
V  ke
(2 a)
x2  a2
2A

0
dl
x  a2
2
Q
 ke
x2  a2
4.
4.1.
CAPACITORES Y DIELECTRICOS
DEFINICIÓN DE CAPACITOR (O CONDENSADOR)
Es un dispositivo que consta de dos conductores (llamados conductores, armaduras o
placas) que poseen cargas iguales y opuestas y que sirve para almacenar cargas
energía.
4.2.
DEFINICIÓN DE CAPACITANCIA
La capacitancia de un capacitor se define como la carga sobre cualquiera de las placas
(electrodos o armaduras) dividida por la diferencia de potencial eléctrico entre ellas.
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C
Q
V

Q
V
C es una constante cuyo valor depende de la geometría del sistema (tamaño, forma,
separación de las placas y naturaleza del medio dieléctrico que llena el espacio entre las
placas).
Por convenio Q es la carga situada sobre el electrodo, placa o armadura positiva del
capacitor y V es la diferencia de potencial entre el electrodo con carga positiva y el
electrodo con carga negativa.
4.3.
UNIDAD DE CAPACIDAD
La unidad de capacidad en el sistema mksA y SI se denomina Faradio (F): 1F= 1C/V.
4.4.
CLASES DE CAPACITORES
Entre los condensadores de capacitancias fijas y variables se encuentran:
- El condensador de placas planas paralelas
- El condensador cilíndrico
- El condensador esférico.
4.4.1. Capacitor de Placas Planas Paralelas
+

-
d
C
Q

V
A
d
 
  E  dl
0

A
Ed

 A 0 A


d
d
0
La capacidad es proporcional al área de cualquiera de las placas e inversamente
proporcional a la distancia de separación de las placas.
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4.4.2. Capacitor Cilíndrico
b
a
C
l
Q


V Va  Vb
l
a
 
  E  dl
b
l
C

dr

2  0 b r
a



l
a
  Edr
b
2  0 l
2  0 l

a
b
 ln   ln  
b
a
La capacidad es directamente proporcional a la longitud del capacitor e inversamente
proporcional al logaritmo natural de la razón entre el radio b del cilindro exterior y el radio
a del cilindro interior.
4.4.3. Capacitor Esférico
b
Q
a
C
Q
Q


V Va  Vb
Q
Q
 a
 
  E  dl   Edr
a
b
C
b
4 0
Q
ab

 4 0
a
(b  a)
Q dr  1 1 
  

2

4 0 b r
a b
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4.5.
COMBINACIÓN DE CAPACITORES
La capacidad equivalente a n capacitores conectados en paralelo está dada por:
n
C   Ci
i 1
La capacidad equivalente a n capacitores conectados en serie está dada por:
C
1
n
1
C
i 1
i
La expresión anterior se obtiene de la relación:
n
1
1

C i 1 Ci
La capacidad equivalente es menor que la capacidad de cualquiera de los capacitores de
la combinación.
Cuando se tienen solamente dos capacitores conectados en serie, la capacidad
equivalente es igual a la razón del producto de las capacidades a la suma de las
capacidades:
C
4.6.
ENERGÍA ALMACENADA EN UN CAPACITOR
U
4.7.
C1C 2
C1  C 2
Q2 1
1
 QV  CV 2
2C 2
2
DENSIDAD DE ENERGÍA
La densidad de energía está dada por:
uE 
4.8.
1
0E2
2
CAPACITANCIA DE UN CAPACITOR CON DIELÉCTRICO
Cuando la región entre las placas de un capacitor se llena completamente con un material
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de constante dieléctrica K, la capacidad aumenta en el factor K:
CK
4.9.
0 A
d
VARIACIONES DE ENERGÍA DEBIDAS
DIELÉCTRICO EN UN CAPACITOR
U U0 
A LA INTROMISIÓN DE UN
U0
 K 1
 U 0  U 0 
 ; carga constante
K
 K 
U  U 0  KU 0  U 0  ( K  1)U 0 ; potencial constante.
4.10. PROBLEMAS
1. Evalúe la capacitancia equivalente de la figura. Todas las capacitancias valen C.
SOLUCION:
C
C
C
C
C
C
En el primer lazo hay un capacitor de capacitancia C1 =C.
En el segundo lazo hay dos capacitores en serie que tienen una capacitancia equivalente
C2 
CC
C

C C 2
En el tercer lazo hay tres capacitores en serie que tienen una capacitancia equivalente
C3 
1
C

1 1 1
3
 
C C C
Luego la capacitancia equivalente se obtiene como si se tuvieran tres capacitores C1 , C 2
y C 3 conectados en paralelo, por tanto:
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
C  C1  C 2  C3  C 
C C 11
  C
2 3 6
2. Un capacitor esférico de capacitancia C está compuesto por dos superficies esféricas
tales, que el radio de una es dos veces el de la otra. Halle el volumen entre las esferas.
SOLUCION:
El volumen entre las esferas está dado por:
4
4
28
volumen   (2r ) 3   r 3   r 3
3
3
3
3. Una placa conductora de espesor d y área A se inserta dentro del espacio entre las
placas de un capacitor de placas paralelas con espaciamiento s y área superficial A como
en la figura anexa. ¿Cuál es la capacitancia del sistema?.
s
d
SOLUCION:
La capacitancia del sistema se calcula como si tratara de dos capacitores conectados en
serie, así:
C
C1C 2
C1  C 2
Teniendo en cuenta que:
C1 
0 A
sd 


 2 
; C2 
0 A
sd 


 2 
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
2


  A 
 0 
 sd 


 2   0A
Luego: C 

 sd
  A 
2 0 
 sd 


 2 
5. CORRIENTE Y RESISTENCIA ELECTRICA
5.1 CORRIENTE ELÉCTRICA
Corriente es la taza a la cual fluye carga por una superficie dada A. Si Q es la cantidad
de carga que pasa esta área en un intervalo de tiempo t, la corriente promedio, Iprom es la
carga que pasa por A en la unidad de tiempo:
I prom 
Q
t
La corriente instantánea I se define como el límite diferencial de la ecuación anterior:
I
dQ
dt
La unidad SI de corriente es el Ampere(A).
1A 
1C
1s
Si n representa el número de portadores de carga móvil por unidad de volumen, entonces
el número de portadores de portadores de carga móvil en el elemento de volumen Ax,
mostrado en la figura anexa,
x
vd
q
vdt
A
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
está dado por:
nAx
Por lo tanto, la carga en este elemento es:
Q  (nAx)q
donde q es la carga en cada partícula.
Si los portadores se mueven con una velocidad vd, la distancia que se mueven en un
tiempo t es:
x  vd t
Luego:
Q  (nAv d t )q
Luego la corriente en el conductor está dada por:
I  nqAv d
La velocidad v d es una velocidad promedio conocida como velocidad de arrastre o
velocidad de deriva.
5.2 RESISTENCIA Y LEY DE OHM
Cuando las cargas se mueven bajo la acción de un campo eléctrico dentro de un
conductor producen una corriente. El campo eléctrico dentro del conductor puede existir
cuando hay cargas en movimiento.
Densidad de Corriente:
La densidad de corriente se define como la corriente por unidad de área:
J
I
 nqvd
A
La densidad de corriente es una cantidad vectorial:


J  nqvd
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER


Una densidad de corriente J  nqvd se establece en un conductor cuando se mantiene
una diferencia de potencial a través del conductor. Si la diferencia de potencial es
constante, la corriente también lo es. Por lo general la densidad de corriente es
proporcional al campo eléctrico:


J  E
donde la constante de proporcionalidad recibe el nombre de conductividad del
conductor. A la ecuación anterior se le conoce como ley de Ohm, la cual establece que en
muchos materiales, la constante de proporcionalidad entre la densidad de corriente y el
campo eléctrico es una constante  , que es independiente del campo eléctrico que
produce la corriente. Para el caso de campo eléctrico uniforme, la diferencia de potencial
se relaciona con el campo eléctrico a través de un conductor de área A y longitud l, por
medio de la relación:
V  El
Luego, sustituyendo E en la ley de Ohm se tiene:
J 
V
l
J
I
A
Pero, teniendo en cuenta que:
Entonces:
I
V
V V
   I  A 
A
l
l
R
siendo R la resistencia del conductor, la cual está dada por:
R
l
V

A I
El inverso de la conductividad es la resistividad:

1

Luego:
R
l
A
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
l
vd
A
Vb
Va
E
La resistividad se expresa en Ohmio-metro (-m) y la conductividad se expresa en (-m)1
= ohm.
Para el caso de un cable coaxial que consta de dos conductores cilíndricos (uno macizo y
otro hueco), de radios a y b respectivamente, de la expresión diferencial correspondiente
a una sección de conductor dada por:
dR  
dl
A
se sigue para el caso particular del cable coaxial, que:
dR  
dr
2rl
Integrando se obtiene:
 dr
 b
R   dR 

ln  

2L a r 2L  a 
a
b
b
Dirección de la Corriente
dr
a
r
b
5.3 RESISTENCIA Y TEMPERATURA
En todos los metales la resistividad aumenta con el incremento de la temperatura,
aproximadamente en forma lineal:
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
   0 1   (T  T0 )
donde  es la resistividad a la temperatura T (en 0C),  0 es la resistividad a determinada
temperatura de referencia T0 (que suele considerarse igual a 200C) y  es el coeficiente
de temperatura de resistividad..
Este coeficiente puede expresarse como:

1 
 0 T
Análogamente, la resistencia varía con la temperatura de acuerdo a:
R  R0 1   (T  T0 ) .
1.2
ENERGÍA ELÉCTRICA Y POTENCIA
La tasa a la cual la carga Q pierde energía al atravesar un resistor es:
U Q

V  IV
t
t
Como la tasa a la cual la carga pierde energía es igual a la potencia P disipada P en el
resistor, tenemos:
P  IV
Teniendo en cuenta que V=IR, podemos expresar la potencia disipada por un resistor en
las siguientes formas:
P  I 2R 
V2
R
6 PROLEMAS
1. Suponga que la corriente que circula por un conductor disminuye exponencialmente
con el tiempo de acuerdo con
I (t )  I 0 e
t

UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
donde I0 es la corriente inicial (en t=0) y  es una constante que tiene dimensiones de
tiempo. Considere un punto de observación fijo dentro del conductor. a) Cuánta carga
pasa por este punto entre t=0 y t=?. b) Cuánta carga pasa por este punto entre t=0 y
t=10?. c) Cuánta carga pasa entre t=0 y t=?.
SOLUCION:
a) De la definición de intensidad de corriente instantánea:
I
dQ
 dQ  Idt
dt
Sustituyendo la expresión dada para I e integrando se sigue que:
Q


t
 dQ   I 0 e  dt  ( ) I 0 e
0
0
0
t

 1
  dt
 
  t 
Q  ( ) I 0 e  

0
Q  ( ) I 0 [e 1  1]
Q  I 0 [1  e 1 ]  (1  0.3678) I 0  0.632I 0
b) Para los límites entre t=0 y t=10, se utiliza el mismo procedimiento, obteniéndose la
siguiente expresión:
  t  10
Q  ( ) I 0 e  
  0
 10

Q  ( ) I 0 e   e 0 




Q  I 0 e 10  1  I 0 [1  e 10 ]  0.999I 0
c) Análogamente, para los límites entre t=0 y t=, se obtiene:
 t 
Q  ( ) I 0 e    I 0 [e   e 0 ]

0
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
Q   I 0 [0  1]  I 0
2. Un conductor coaxial con una longitud de 20 m está compuesto por un cilindro interior
con un radio de 3.0 mm y un tubo cilíndrico exterior concéntrico con un radio interior de
9.0 mm. Una corriente de fuga distribuida uniformemente de 10 A fluye dentro de los dos
conductores. Determine la densidad de la corriente de fuga (en A/m2) a través de una
superficie cilíndrica (concéntrica con los conductores) que tiene un radio de 6.0 mm.
SOLUCION:
J
I
I
(10A)(10 6 A / A)


A 2 rL 2 (6  10 3 m)(20  10 2 m)
J  1.32  10 4 A / m 2
6. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
6.1 FUERZA ELECTROMOTRIZ
Una fuente de fuerza electromotriz es cualquier dispositivo que produce un campo
eléctrico y que puede originar un movimiento de cargas en un circuito. La unidad S.I de
fuerza electromotriz es el voltio.
En el circuito mostrado en la figura anexa, el voltaje V=Vb-Va entre los terminales de la
batería es:
a


r
b

d

c

R
V    Ir
De aquí se sigue que:
  V  Ir
(1)
Este voltaje resulta igual al potencial a través de la resistencia de carga o resistencia
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
externa R, es decir:
V  IR
Igualando las dos ecuaciones anteriores se sigue que la corriente del circuito es:
I

(2)
Rr
El siguiente gráfico muestra las variaciones de potencial a medida que se recorre el

V
r
R

Ir
IR
a
b
c
d
circuito en el sentido de las manecillas del reloj.
La potencia suministrada I se convierte en la potencia disipada en la resistencia de carga
I2R y la potencia disipada en la resistencia interna I2r, como se expresa a continuación en
forma analítica, multiplicando la ecuación (1) por I, así:
I  I 2 R  I 2 r
La máxima potencia perdida en la resistencia de carga ocurre cuando R=r, como se
demuestra a continuación:
  
PI R
 R
Rr
2
2
Derivando P con respecto a R e igualando a cero se obtiene:
dP
d  R 
2


dR
dR  ( R  r ) 2 
 ( R  r ) 2  2 R( R  r ) 
dP
2
0
4
dR
(
R

r
)


( R  r ) 2  2R 2  2Rr
Luego, simplificando se obtiene:
Rr
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
6.2 RESISTORES EN SERIE Y EN PARALELO
a) Conexión en Serie: La corriente que circula por cada resistor es la misma. La caída de
potencial entre los extremos de la combinación es igual a la suma de las caídas de
potencial ocurridas en cada resistor.
b) Para el caso de dos resistores R1 y R2 conectados en serie se tiene:
V  V1  V2  IR1  IR2  I ( R1  R2 )
Luego los dos resistores conectados en serie se pueden sustituir por uno solo que tenga
una resistencia equivalente dada por:
Req  R1  R2
N resistores conectados en serie, pueden ser sustituidos por un solo resistor que tenga
una resistencia equivalente dada por:
N
Req  R1  R2     Rn
n 1
b) Conexión en Paralelo: La diferencia de potencial entre los extremos de cada resistencia
es la misma.
La corriente I se distribuye en cada resistor, de tal manera que para el caso de dos
resistores:
I  I1  I 2 
1
V
V
1 

V 

R1 R2
 R1 R2 
 1 
I V

 Req 
Luego:
1
1
1


Req R1 R2
Por lo tanto:
Req 
R1 R2
R1  R2
(3)
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
La expresión (3) puede generalizarse para N resistores conectados en paralelo, así:
Req 
1
N
n 1
2.3 TRANSFORMACION -Y, Y-:
A
Rb
Rc
C
B
Ra
A
R2
R1
C
R1 
Ra Rb
Ra  Rb  Rc
Rb Rc
Ra  Rb  Rc
Rc Ra
R3 
Ra  Rb  Rc
R2 
Ra 
R1 R2  R2 R3  R3 R1
R2
R3
B
1
R
n
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
Rb 
R1 R2  R2 R3  R3 R1
R3
Rc 
R1 R2  R2 R3  R3 R1
R1
2.4 PUENTE DE WHEATSTONE:
Se utiliza para medir resistencias desconocidas utilizando un circuito conocido como
puente de Wheatstone. El circuito consta de un galvanómetro, una batería, una
resistencia desconocida R x y tres resistores conocidos R1, R2, y R3, donde R1 es un
resistor variable.
Variando el valor de la resistencia conocida R1 se logra que la lectura en el
galvanómetro sea cero, lo cual significa que el potencial en el punto a debe ser igual al
potencial en el punto b y en este caso se dice que el puente está balanceado. Según
estas consideraciones se tiene:
I1
I2
R1
R2
+
-
b
G
a
R4
R3
I1 R1  I 2 R2
(1)
I1 R3  I 2 Rx
(2)
Dividiendo (1) por (2), se encuentra que:
Rx 
R2 R3
R1
La expresión (3) permite calcular la resistencia desconocida R x.
(3)
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
6.5 LEYES DE KIRCHHOFF
1) Ley de Nodos o Ley de Corrientes (LKC):
“La suma de las corrientes que entran a cualquier nodo o unión debe ser igual a la suma
de las corrientes que salen del nodo o unión”. Esta ley expresa el principio de
conservación de la carga.
2) Ley de Mallas o Ley de Voltajes (LKV):
“La suma algebraica de los cambios o variaciones de potencial a través de todos los
elementos alrededor de cualquier lazo de un circuito cerrado debe ser cero”. Esta ley
surge del principio de conservación de la energía.
Para aplicar la segunda ley deben tenerse en cuenta las siguientes reglas:
a) Cuando se recorre un resistor en el sentido de la corriente, la diferencia de potencial a
través del resistor es –IR.
b) Cuando se recorre un resistor en sentido opuesto a la corriente, la diferencia de
potencial a través del resistor es IR.
c) Cuando una fem se recorre de – a + , la diferencia de potencial es .
d) Cuando se recorre una fem de + a – la diferencia de potencial es -.
6.6 CIRCUITO RC
Consideremos el siguiente capacitor en serie con un resistor, una batería y un interruptor:
C

R
S
Cuando se cierra el interruptor y se aplica la Ley de Kirchhoff de voltajes, se obtiene:
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
  IR 
q
0
C
(1)
En el instante en que el circuito se cierra la carga en el capacitor es cero, luego haciendo
q=0, de la ecuación anterior se encuentra que la corriente inicial del circuito es:
  I0R  I0 

R
(2)
Cuando el capacitor se carga hasta su valor máximo Q, las cargas dejan de fluir y la
corriente en el circuito se hace cero. Reemplazando la corriente por cero en la ecuación
(1) se sigue que:

q
 0  Q  C
C
La expresión para la carga en función del tiempo se obtiene resolviendo la ecuación
diferencial (1), en donde al hacer la sustitución I=dq/dt se encuentra que:
dq 
q
 
dt R RC
Separando variables se tiene:
RC
dq
 C  q
dt
dq
1

dt
q  C
RC
Integrando se obtiene:
q
t
dq
1
 q   C   RC  dt
0
0
q
1
lnq   C   
t
0
RC
q   C 
1
ln 
t

RC
  C 

q   C 
RC

e
  C 
t
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
q   C   Ce
q   C   Ce

q(t )   C (1  e
q(t )  Q(1  e


t
RC
t
RC

t
RC
t
RC
)
)
q[t]
C

0.632C

t[s]
La expresión para la corriente en función del tiempo se obtiene a partir de la definición
I=dq/dt, así:
dq  C  RC
I

e
dt RC
t
Teniendo en cuenta que I0=/R, se sigue que:
t

dq
I
 I 0 e RC
dt
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
I [t]
I0
I0=/R
0.368I0

[t]
Cuando se carga el capacitor y se desconecta la batería, se puede calcular la variación de
la carga en función del tiempo, en el proceso denominado descarga del capacitor, a partir
de la ley de voltajes de Kirchhoff, así:
 IR 
q
0
C
Teniendo en cuenta que se produce una reducción o decrecimiento de la carga, se sigue
que la corriente viene dada por I=-dq/dt, por lo tanto:
q
dq
 R
C
dt
Separando variables:
dq
1

dt
q
RC
Integrando:
q
t
dq
1
 q   RC  dt
Q
0
ln q
q
Q

t
RC
ln q  ln Q  
1
t
RC
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
ln
q
1

t
Q
RC
t

q
 e RC
Q
q  Qe

t
RC
La intensidad de corriente en el proceso de descarga está dada por:
t
t


dq
1
I 

Qe RC  I 0 e RC
dt RC
En la ecuación anterior la corriente inicial es:
I0 
Q
RC
7.CAMPOS MAGNETICOS
En el siglo XIII A.C. los chinos utilizaron por primera vez la brújula, que básicamente
consta de una aguja magnética. Los griegos descubrieron en el año 800 A.C. que ciertas
piedras como la magnetita (Fe 3 O 4) atraían pedacitos de hierro.
Todo imán tenga la forma que tenga tiene dos polos llamados polo norte y polo sur. Los
polos diferentes se atraen y los polos iguales se repelen. Los polos magnéticos no
pueden aislarse es decir no se han podido encontrar monopolos.
En el año de 1819 Hans Chistian Oersted encontró que una corriente eléctrica en un
alambre desviaba una aguja de una brújula situada en sus proximidades, dando origen a
la ciencia del ELECTROMAGNETISMO, que relaciona efectos eléctricos con efectos
magnéticos.
7.1 CAMPO MAGNETICO
El campo magnético se encuentra rodeando cualquier sustancia magnética o cualquier
carga móvil.
El campo magnético B puede definirse en términos de la fuerza magnética ejercida sobre
un objeto de prueba apropiado, que puede ser una partícula cargada que se mueve con
velocidad v. La fuerza magnética sobre una partícula cargada viene dada por la siguiente
expresión:
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER

 
F  qv  B
Esto significa, que el campo magnético se define en términos de la fuerza que actúa sobre
la partícula cargada en movimiento.
Como puede verse la fuerza magnética es proporcional a la carga q y a la velocidad v de
la partícula. La magnitud y dirección de la fuerza depende de la velocidad de la partícula
y de la dirección del campo magnético. La fuerza F es perpendicular al plano formado por
v y B. La fuerza magnética sobre una carga positiva está en dirección opuesta a la
dirección de la fuerza sobre una carga negativa que se mueve en la misma dirección. Si
el vector velocidad forma un ángulo  con el campo magnético, la magnitud de la fuerza
es proporcional al sen .
Un campo magnético estático puede cambiar la dirección de la velocidad pero no la
magnitud de la velocidad o la energía cinética de una partícula cargada.
UNIDADES
La unidad SI del campo magnético es el Weber por metro cuadrado (WB/m 2) llamado
también Tesla (T).
1T  1
Wb
N
N


2
C  m/ s A m
m
Otra unidad de uso común es el gauss (G), que se relaciona con el tesla por medio de:
1T  10 4 G
En los laboratorios los imanes convencionales pueden producir hasta 2.5 T. Los imanes
superconductores que se han construido producen hasta 25 T.. El campo magnético en
puntos cercanos a la superficie de la tierra es de 0.5x10-4G.
7.2 FUERZA MAGNETICA SOBRE UN CONDUCTOR QUE CONDUCE CORRIENTE
La fuerza magnética sobre una carga q que se mueve con una velocidad de arrastre o
velocidad de deriva vd es qvd xB. Para determinar la fuerza sobre un alambre recto de
longitud L multiplicamos la expresión anterior por el número de cargas nAL del segmento,
donde n es el número de cargas por unidad de volumen, así:



F  (qvd  B)nAL
Teniendo en cuenta que la corriente en el alambre es

 
F  IL  B
I= n q vd A, se sigue que:
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER

siendo L un vector dirigido en sentido de la corriente I.
Para un alambre de forma arbitraria y de sección transversal uniforme, la fuerza que un
campo magnético B ejerce sobre un segmento muy pequeño de longitud ds es:
Esto significa que la fuerza es máxima cuando B es perpendicular al elemento de

corriente Ids y es cero cuando B es paralelo al elemento de corriente.
Para el caso en el cual el campo magnético B es constante, las expresiones para la
fuerza sobre un lazo abierto y uno cerrado se obtienen por integración y están dadas
respectivamente por:

 b  
F  I   ds   B ; para lazo abierto
a 
 

 
F  I  ds  B ; para lazo cerrado.
Si en el caso de lazo abierto la suma vectorial de todos los vectores de desplazamiento es
L’ y está dirigido de a a b, la expresión para la fuerza es:

 
F  IL  B
Para el caso del lazo cerrado el conjunto de vectores de desplazamiento forma un
polígono cerrado cuya suma vectorial debe ser cero, es decir,

 ds  0 , por consiguiente F=0.
7.3 MOMENTO DE TORSIÓN SOBRE UN LAZO DE CORRIENTE (ESPIRA) SITUADO
EN UN CAMPO MAGNETICO
Cuando se tiene una lazo rectangular (o espira rectangular) por el que circula una
corriente I y se encuentra situado en un campo magnético B paralelo al plano del lazo,
como se muestra en la figura anexa, las fuerzas sobre los lados de longitud a son cero,
 
debido a que ds  B  0 . La magnitud de las fuerzas sobre los lados de longitud b, está
dada por:
F1  F2  IbB
La fuerza sobre el lazo izquierdo está dirigida hacia fuera del papel y la fuerza sobre el
lado derecho está dirigida hacia adentro del papel. Si suponemos que el lazo rectangular
tiene un pivote que le permite girar en torno al punto O, las dos fuerzas producen un
momento de torsión respecto de O que hace girar al lazo en el sentido de las manecillas
del reloj.
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
B
b
a
La magnitud del momento de torsión,  máx , es:
 máx  F1
a
a
a
a
 F2  ( IbB)  ( IbB)
2
2
2
2
 máx  IabB
Puesto que el área del lazo es A = a b, el momento de torsión máximo puede expresarse
como:
 máx  IAB
Si el campo magnético forma un ángulo  con la línea perpendicular al plano del lazo
rectangular, como se muestra en la figura anexa, el momento de torsión alrededor de O
tiene la magnitud:
a
a
sen  F2 sen
2
2
a
a
  IbB sen  IbB sen
2
2
  F1
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER

F1

a/2
A

B
x
F2
  IabBsen
  IABsen
En forma vectorial se puede escribir de la siguiente manera:



  IA  B
donde A es un vector perpendicular al plano del lazo rectangular. El sentido de A está
determinado por la regla de la mano derecha según se describe en la figura anexa. Al
colocar los dedos de la mano derecha en la dirección de la corriente en el lazo, el pulgar
apunta en la dirección de A.

A
I
El producto IA se define como el momento magnético  del lazo. Es decir:


  IA
En el SI la unidad del momento magnético es (A.m2). Con esta definición el momento
magnético de torsión puede definirse como:



  B
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
7.4 MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA CARGADA EN UN CAMPO MAGNETICO
Cuando la velocidad de una partícula cargada es perpendicular a un campo magnético
uniforme, la partícula se mueve en una trayectoria circular cuyo plano es perpendicular al
campo magnético B (ver figura anexa).
B in
x
x
x
x
q
x
x
x
v
x
x
F
x
x
x
x
xF x
x
x
x qx
r
x
x
F
x
v
x
x
x
x
q
x
v
x
x
x
x
x
De acuerdo con la segunda ley de Newton, se tiene que:
F  qvB 
mv 2
r
Despejando r se sigue que:
r
mv
qB
lo cual indica que el radio de la trayectoria es proporcional a la cantidad de movimiento
lineal e inversamente proporcional a la magnitud del campo magnético. La frecuencia
angular de la partícula está dada por:
w
v qB

r
m
El período T está dado por:
T
2 r 2 2 m


v
w
qB
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
Las expresiones anteriores muestran que la frecuencia angular y el período de
movimiento no dependen de la velocidad de la partícula ni del radio de la órbita.
Cuando una partícula cargada se mueve en un campo magnético uniforme con una
velocidad que forma un ángulo arbitrario con B, su trayectoria es una hélice. Por ejemplo,
si el campo está en la dirección x como se muestra en la figura anexa, no hay
componente de la fuerza en dirección de x, y, en consecuencia, ax=0 y la componente x
 
de la velocidad permanece constante. Además, la fuerza magnética qv  B hace que las
componentes vx y vy, cambien en el tiempo, y el movimiento resultante es una hélice que
tiene su eje paralelo al campo B. La proyección sobre el plano yz es un círculo y las
proyecciones sobre los planos xy y xz son sinusoides.
EJEMPLOS.
Un lazo rectangular consta de N vueltas enrolladas muy próximas entre sí y tiene
dimensiones a y b. El lazo se articula a lo largo del eje y, y su plano forma un ángulo 
con el eje x (figura anexa). ¿Cuál es la magnitud del momento de torsión ejercido sobre el
lazo por un campo magnético uniforme B dirigido a lo largo del eje x cuando la corriente
es I en la dirección indicada?. ¿Cuál es la dirección esperada de rotación del lazo?
SOLUCION:
Para el caso de una sola espira el momento de torsión está dado por:
y
 
  r F

I = 1.2 A
dónde:
0.40 m

r  a(cos xˆ  sen zˆ)
30
o
x
0.30 m
Y
z
F  IbB(zˆ)
Debe tenerse en cuenta que la fuerza sobre el lado superior de la espira se anula con la
fuerza sobre el lado inferior de la espira y además la fuerza sobre el lado izquierdo de la
espira no produce momento de torsión con respecto al eje y puesto que el brazo de
palanca es nulo. Luego el momento de torsión con respecto al eje y es:

  a(cos xˆ  sen zˆ)  IbB( zˆ)

  abIB cos  ( yˆ ) .
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
Luego la magnitud del momento de torsión es:
  abIB cos 
Para el caso de N espiras el momento de torsión aumenta N veces, entonces:
  NabIB cos 
Como el momento de fuerza va dirigido en sentido de –y significa que la espira rota en
sentido horario vista por observador situado encima de la espira.
7. Un electrón choca con un segundo electrón inicialmente en reposo. Después del
choque, los radios de sus trayectorias son 1.0 cm y 2.4 cm. Las trayectorias son
perpendiculares a un campo magnético uniforme de 0.044 T de magnitud. Determine la
energía (en KeV) del electrón incidente.
SOLUCION:
La expresión para la energía cinética de una partícula es:
K
1 2
mv
2
Cuando un electrón ingresa a la región donde hay campo magnético, éste ejerce sobre la
partícula una fuerza igual a la fuerza centrípeta, luego:
mv 2
Ber
B 2e2r 2
 evB  v 
 v2 
r
m
m2
Luego:
K
1  B 2e2 r 2  B 2e2r 2
m

2  m2 
2m
Insertando los valores dados se obtiene:
K
(0.044T ) 2 (1.6  10 19 C ) 2 (2.4  10 2 m) 2
2(9.1  10 31 kg)
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
 1keV

K  1.56  10 14 J 
  98.03393keV
16
 1.6  10 J 
Análogamente para el otro electrón se tiene
K
(0.044T ) 2 (1.6  10 19 C ) 2 (1.0  10 2 m) 2 K  17.01978 keV
2(9.1  10 31 kg)
8. LEY DE FARADAY
Experimentos llevados a cabo por Michael Faraday en Inglaterra en 1831 e
independientemente por Joseph Henry en los Estados Unidos en el mismo año,
demostraron que una corriente eléctrica podría ser inducida en un circuito por un campo
magnético variable.
La ley de inducción de Faraday establece que:
“La magnitud de la fem inducida en un circuito es igual a la razón de cambio del flujo
magnético a través del circuito”
8.1 LEY DE INDUCCIÓN DE FARADAY
“La fem inducida en un circuito es directamente proporcional a la rapidez de cambio del
flujo magnético a través del circuito”. Este enunciado se puede expresar analíticamente
mediante
 
d E
dt
donde  es la fem inducida y E es el flujo eléctrico, que puede expresarse como
 E   B  dA
Si el circuito consta de N espiras, la fem inducida es:
  N
Fig.1.1.1
d E
dt
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
Consideremos una espira conductora de área A en presencia de un campo magnético
uniforme B, el cual forma un ángulo  con la normal a la espira como se indica en la figura
1.1.1, en este caso, el flujo a través de la espira es BAcos y la fem inducida puede
expresarse como:
 
d
( BA cos  )
dt
De esta expresión, se ve que la fem puede ser inducida en el circuito de varias formas:
1) Variando la magnitud de B con respecto al tiempo
2) Variando el área con respecto al tiempo
3) Cambiando el ángulo  entre B y la normal al plano con respecto al tiempo, y
4) Cualquier combinación de éstas
8.2 FEM DE MOVIMIENTO
Consideremos una barra conductora recta de longitud l moviéndose con una velocidad v
a través de un campo magnético B dirigido perpendicularmente a v . Una fem igual a Blv
se induce entre los extremos de la barra, veámoslo:
l
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
B
x enx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+x
+
-x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
v
F
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Fig.1.2.1.
Los electrones en el conductor experimentarán una fuerza magnética a lo largo del
conductor dada por Fm  qv  B , que producirá el desplazamiento de los electrones hacia
el extremo inferior del conductor dejando una carga neta positiva en el extremo superior.
Debido a la separación de las cargas se produce un campo eléctrico en el interior del
conductor produciendo una fuerza eléctrica sobre los electrones dada por Fe  q E dirigida
hacia arriba. En el momento en que la fuerza magnética es balanceada por la fuerza
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
eléctrica, las cargas dejan de fluir y la condición de equilibrio requerida es:
Fm  Fe  qvB  qE  vB  E
La relación entre el campo eléctrico y la diferencia de potencial entre los extremos del
conductor es:
V  El  vBl
donde el extremo superior está a mayor potencial que el extremo inferior.
Cuando el conductor en movimiento es parte de una trayectoria conductora cerrada, como
el circuito mostrado en la figura 1.2.2, que consta de una barra conductora de longitud l
deslizándose a lo largo de dos rieles conductores paralelos, el cálculo de la fem inducida,
de la corriente inducida y de la potencia se efectúa
Bende la siguiente manera:
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
l
Fm
R
I
v
Fap
x
Fig. 1.2.2. Barra conductora deslizándose con velocidad v a lo largo de dos rieles
conductores por acción de una
fuerza aplicada Fap .
Un campo magnético B uniforme y constante se aplica al plano del circuito. Cuando la
barra se jala hacia la derecha con una velocidad variable v por la influencia de una fuerza
aplicada Fap , las cargas libres de la barra experimentarán una fuerza magnética a lo largo
de la longitud de la barra. Esta fuerza a su vez produce una corriente inducida, puesto que
la rapidez de cambio de flujo magnético a través de la espira y por ende la fem inducida
es proporcional al cambio de área de la espira que se produce cuando la barra se mueve
a través del campo magnético.
El flujo magnético externo a través del circuito está dado por:
m  Blx
siendo lx el área del circuito en cualquier instante. De la ley de Faraday se sigue que la
fem inducida es:
 
dm
d
dx
  ( Blx )   Bl
  Blv
dt
dt
dt
Si la resistencia del circuito es R, la magnitud de la corriente inducida está dada por:
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
I

R

Blv
R
La potencia disipada por la fuerza aplicada es:
P  Fapv  ( IlB )v 
B 2l 2 v 2
R
Esta potencia mecánica es igual a la potencia eléctrica I suministrada por la fem
inducida y también es igual a la rapidez con que se disipa energía en la resistencia, I 2 R .
1.2
EJEMPLOS
EJEMPLO 1
Fem Inducida en una Barra que Gira:
Una barra conductora de longitud l gira con una velocidad w alrededor de un pivote fijo en
su extremo. Un campo magnético uniforme B está dirigido perpendicularmente al plano
de rotación, como se muestra en la figura 1.3.1.
Encuentre la fem inducida entre los extremos de la barra.
B en
x
x
x
x
x
x
x
x
v
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xr
x
x
x
x
x
xl
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
O
x
dr
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Fig.1.3.1
SOLUCIÓN
Considérese un segmento de barra de longitud dr que se mueve con velocidad v.
La fem inducida en el conductor está dada por:
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
d  Bvdr
   Bvdr
Teniendo en cuenta que la velocidad lineal v esta relacionada con la velocidad angular w
mediante: v  wr y que además B y w son constantes se sigue que:
l
  B  vdr  Bw  rdr 
0
1
Bwl 2
2
EJEMPLO 2
Fuerza Magnética sobre una Barra que se Desliza:
Una barra de masa m y longitud l se mueve sobre dos rieles paralelos, en presencia de un
campo magnético dirigido hacia dentro de la página. Si se le imprime a la barra una
velocidad inicial v0 hacia la derecha y después se libera. Encuéntrese la velocidad de la
barra como una función del tiempo.
B en
l
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Fm
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
v0
I
Fig. 1.3.2.
SOLUCIÓN
La corriente inducida circula en sentido contrario a las manecillas del reloj y la fuerza
magnética es Fm   IlB , donde el signo negativo denota que la fuerza está hacia la
izquierda y retarda el movimiento.
De la segunda ley de Newton
Fx  ma  m
dv
  IlB
dt
Como la corriente inducida está dada por la ecuación
I
Bvl
, entonces:
R
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
Fx  
Bvl
B 2 vl 2
dv
 lB  
m
R
R
dt

 B 2l 2 
dv
dt
 
v
 mR 
Integrando esta última ecuación, utilizando como condiciones iniciales v=v0, para t=0, se
encuentra que:
v
dv
B 2l 2
t


t
v v
mR

0
mR
B 2l 2
v
t
 ln    

 v0 
siendo  
v  v0 e
La fem inducida viene dada por:   IR  Blv 0 e
corriente inducida viene dada por:


t

t

Blv Blv Blv 0 e
I


R
R
R
2.2
y la
,

t

.
LEY DE LENZ
La ley de Lenz establece que: ”La polaridad de la fem inducida produce una corriente que
crea un flujo magnético que se opone al cambio en el flujo magnético a través del
circuito”.
Considérese un imán de barra que se mueve hacia la derecha introduciéndose en una
espira estacionaria, como se muestra en la figura 1.4.1.
v
I
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
I
N
S
Fig.1.4.1.
a) Cuando el imán se mueve, en la espira conductora
estacionaria se induce una
corriente en la dirección mostrada.
b) Esta corriente inducida produce su propio flujo hacia la izquierda para contrarrestar el
incremento del flujo externo hacia la derecha.
Aplicación de la Ley de Lenz:
La figura 1.4.2. muestra una barra que se hala horizontalmente a través de un par de
rieles paralelos por una cuerda (se supone que sin masa) que pasa sobre una polea ideal
a la cual está sujeta y suspendida una masa M. El campo magnético uniforme tiene una
magnitud B, la barra deslizante tiene una masa m y la distancia entre los rieles es l. Los
rieles son conectados en uno de sus extremos por una resistencia de carga R. Deduzca
una expresión que dé el valor de la velocidad horizontal como función del tiempo,
suponiendo que la masa suspendida se dejó caer cuando la barra está en reposo para
t=0. Suponga que no hay fricción entre la barra y los rieles.
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
Fig. 1.4.2.
SOLUCIÓN
Fm  mg
De la cinemática se sabe que la posición de la barra en función del tiempo es:
x  v0 t 
1 2
at
2
Teniendo en cuenta que la aceleración es a=Mg/m, se sigue que:
x
De la definición de fem:
 
d
d
   B  dA
dt
dt
  
dA
dt
Pero A=lvt, entonces:
  
d
lvt   Blv
dt
  
d  1 Mg 2 
l
t
dt  2 m 
  
l Mg
t
2 m
La velocidad está dada por:
v
v

Bl

Bl Mg
t
2 m
Bl
1 Mg 2
t
2 m
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
Simplificando se obtiene:
Mg
t
2m
v
De la segunda ley de Newton:
F  ma :
g  Il  ma
Reemplazando el valor de I, se obtiene:
g 
g 

R
l  ma
 2l 2  g t
 ma
2 m R
  2l 2 t 
dv
g 1 
m

2 mR 
dt

dv 
 g   2l 2 t 
1
dt
m 
2 mR 
 g   2l 2 t 
1
dt
m 
2 mR 
0
v
t
 dv  
0
v
Mg
Mg
t2
t  2 B 2l 2
m
mR
2
dv 
Bd
mR
dt
Bd
 dv  mR  dt
 dv  
vd 2 B 2
t
mR
ln vv0  
v
d 2 B2
t
mR
v
d 2 B2
ln    
t
mR
 v0 
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER

v
e
v0
v  v0e
d 2B2
t
mR

d 2B2
t
mR
, que indica claramente que v decrece con el tiempo.
8.3 FEM INDUCIDAS Y CAMPOS ELÉCTRICOS
Consideremos una espira de radio r situada en un campo magnético uniforme que es
perpendicular al plano de la espira como se muestra en la figura 1.5.1.
Si el campo magnético cambia en el tiempo, se induce en la espira una fem dada por:
 
d m
.
dt
La corriente inducida implica la aparición de un campo eléctrico E, tangente a la espira. El
trabajo que se realiza para mover una carga de prueba q alrededor de la espira es igual a
q . El trabajo realizado por fuerza eléctrica sobre la carga eléctrica está dado por
qE 2r  ,donde 2r es la longitud de la circunferencia de la espira. Luego igualando las
dos expresiones para el trabajo se sigue que:
q  qE2Rr 

E
2r
x
E
x
x
x
x
x
x
x
xE
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
E x
r
x
x
x
x
E
x
Ben
Fig.1.5.1.
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
Teniendo en cuenta que   
d m
, siendo
dt
 m  BA  r 2 B , se
encuentra que el campo eléctrico inducido puede expresarse como:
E
1 d m
r dB

2r dt
2 dt
El signo menos indica que el campo eléctrico inducido E se opone al cambio del campo
magnético.
En general, la fem para cualquier trayectoria cerrada puede ser expresada como la
integral de línea E  dl sobre la trayectoria .
   E  dl  
d m
dt
Obsérvese que el campo eléctrico inducido E que aparece en la ecuación anterior no es
conservativo, varía en el tiempo y es generado por la variación de un campo magnético.
Campo Eléctrico Debido a un Solenoide:
Un largo solenoide de radio R tiene n vueltas por unidad de longitud y conduce una
corriente que varía en el tiempo sinusoidalmente I  I 0 cos t , ,donde I0 es la máxima
corriente y w es la frecuencia angular de la fuente de corriente como se aprecia en la
figura 1.5.2.
a) Determine el campo eléctrico fuera del solenoide, a una distancia r de su eje.
Trayectoria de
integración
R
r
Io cos  t
Fig. 1.5.2.
SOLUCION
 
d
d
2
2 dB
E
  dl   dt   dt   R   R dt


UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
2 r    R 2
B  0 nI 
B  0
dB
dt
dB
N d
 0
I 0 cos t
dt
e dt
N d
I 0 sent
e dt
2 r    R 2 0nI 0
2
d
cos t    R2 0nI0sent   0 nI 0R sent
2r
dt
rR
b) Cuál es el campo eléctrico dentro del solenoide a una distancia r de su eje.
 nI rsent
2 r   R 2 0nI 0sent  E  0 0
2
rR
8.4 GENERADORES Y MOTORES
Los generadores y motores son dispositivos que operan por el principio de inducción
electromagnética. El generador de corriente alterna (o generador de AC ),es un dispositivo
que convierte la energía mecánica en energía eléctrica. Un generador de AC consta de
una bobina de alambre que se hace girar dentro de un campo magnético. Cuando la
espira gira, el flujo magnético a través de esta cambia con el tiempo, induciendo una fem
y una corriente en un circuito externo. Supóngase que la bobina tiene N espiras de área A
y que gira con velocidad angular w. Si  es el ángulo entre el campo magnético y la
normal al plano de la espira como en la figura (1.6.1), entonces el flujo magnético a través
de la espira en cualquier instante t está dado por:
 m  BA cos   BA cos t
B
..
. .. .
Normal

+
+ +
+ ++
Fig. 1.6.1. Bobina con N espiras de área A que gira con velocidad angular w dentro de un
campo magnético B. La fem inducida varía sinusoidalmente en el tiempo.
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
Donde se ha utilizado la relación entre el desplazamiento angular y la velocidad angular
  t . Por lo tanto la fem inducida en la bobina está dada por:
  N
d m
d
  NAB cos t   NAB cos t
dt
dt
De la ecuación anterior se ve que la fem tiene un valor máximo  max  NAB . El cual
ocurre cuando   90 0 o   270 0 . La fem es nula cuando t  0 o 180 0 . La frecuencia
de los generadores comerciales es por lo general de 60 Hz .
Los motores son dispositivos que convierten la energía eléctrica en energía mecánica. Se
suministra corriente a la bobina por la medio de una batería y el momento de torsión que
actúa sobre la bobina provoca la rotación. A medida que la bobina gira, el flujo variable
induce una fem en ella; esta fem siempre actúa para reducir la corriente en la bobina. Esta
contra fem aumenta en magnitud con el aumento de la rapidez rotacional de la bobina.
8.5 ECUACIONES DE MAXWELL
Las ecuaciones de Maxwell para el espacio libre, en forma integral, son:
1) Ley de Gauss para el campo eléctrico:
Q
 E  dA  
(1)
0
2) Ley de Gauss para el campo magnético:
 B  dA  0
(2)
3) Ley de Faraday - Henry :
 E  dl  
d m
dt
(3)
4) Ley de Ampere- Maxwell:
 Bdl  
0
I   0 0
d e
dt
(4)
La ecuación (1) establece que el flujo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es
igual a la carga neta dentro de la superficie dividida entre la constante  0 .
La ecuación (2) establece que el flujo magnético total a través de una superficie cerrada
es cero.
La ecuación (3) describe la relación entre un campo eléctrico y un flujo magnético
variable. Como consecuencia de la ley de inducción de la Ley de Faraday se induce una
corriente en una bobina conductora colocada dentro de un campo magnético que varía en
el tiempo.
La ecuación (4) describe la relación entre los campos eléctrico y magnético y las
corrientes eléctricas.