Cap´ıtulo 1

Capı́tulo 1
EL PROBLEMA DE LA LUZ COMO ANTECEDENTE
HISTÓRICO DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL
Ver parte I
1
Capı́tulo 2
INVARIANZA DE LAS LEYES DE MAXWELL
Ver parte I
2
Capı́tulo 3
EVOLUCIÓN DE CONCEPTOS HACIA LA TEORÍA DE LA
RELATIVIDAD
Ver parte II
3
Capı́tulo 4
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA TEORÍA DE LA
RELATIVIDAD ESPECIAL
Ver parte II
4
Capı́tulo 5
EFECTOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL EN LA DINÁMICA
5.1.
Nuevo concepto de masa
En la fı́sica clásica se define el momento de un cuerpo en movimiento como el producto de su
masa por la velocidad que lleve. La masa se considera una propiedad constante de la materia.
Sin embargo, para la Teorı́a Especial de la Relatividad la masa de una partı́cula no es una
constante, sino que es función de la velocidad. Estudiemos la colisión elástica de dos partı́culas
A y B con igual masa y rapidez como se ve en la figura 5.1 a). Para el observador O en reposo
con respecto al punto de colisión, la componente de la velocidad de cada partı́cula, paralela al
eje x de su sistema de referencia, conserva la magnitud, la dirección y el sentido después del
choque, mientras que la componente paralela al eje y invierte su sentido. El observador O’ en
movimiento relativo respecto al primero registrará el mismo fenómeno con velocidades primadas
(figura 5.1 b)).
Definamos el momento, tanto de A como de B, de la forma p = m(v) .v, siendo m(v) el valor
de la masa de cada partı́cula en función de su rapidez v. Como en el eje x no se notan cambios
para el movimiento de cada partı́cula, el cambio de momento de A y B sólo se dan en el eje y .
Especı́ficamente, O’ registra los siguientes cambios de momentum:
∆pB = m(vB0 ) .vB0 y − (−m(vB0 ) .vB0 y ) = 2m(vB0 ) .vB0 y
para la partı́cula B, y
∆pA = −m(vA0 ) .vA0 y − m(vA0 ) .vA0 y ) = −2m(vA0 ) .vA0 y
para la partı́cula A.
La ley de la conservación del momento establece que el momento vertical perdido por una de
las partı́culas es igual al ganado por la otra, de manera que ∆pB + ∆pA = 0. Por lo tanto,
2m(vB0 ) .vB0 y + (−2m(vA0 ) .vA0 y ) = 0 ⇒ m(vA0 ) .vA0 y = m(vB0 ) .vB0 y
5
Figura 5.1: Conservación del momento
m(vA0 ) = m(vB0 )
vB0 y
(5.1)
vA0 y
Expresemos ahora las componentes de las velocidades de A y B registradas por O’ en función
de las verificadas por O de acuerdo a las ecuaciónes (??) y (??) después del choque elástico,
, como lo sugiere la figura 5.1 b), esto es
q
−vA0 x =
(−vx )−V
V (−vx )
1−
2
c
vB0 x
=
vx −V
1− V v2x
c
=
−vx −V
1+ V v2x
, y también −vA0 y =
c
y ası́ mismo,
vB0 y
=
q
2
1− V 2
c
1− V v2x
q
2
1− V 2
c
V (−vx )
1−
c2
(−vy ) = −vy
2
1− V 2
c
1+ V v2x
c
vy
c
Los resultados
q en las siguientes fórmulas obtenidas por análisis vecq anteriores se reemplazan
0
0
0
0
torial: vA = (vAx )2 + (vAy )2 , y, vB = (vB0 x )2 + (vB0 y )2 ası́:
v
q
q
u
V2
u
2 + (v )2 (1 − V 2 )
1
−
(v
+
V
)
x
y
2
v
+
V
t
c
c2
x
vA0 = (
)2 + (vy
)2 =
V vx
V vx
V vx
1 + c2
1 + c2
1 + c2
q
s
2
2 (1 − V 2 )
(vx − V )2 + (vy )2 (1 − Vc2 )
(v
)
v
−
V
y
2
x
c
vB0 = (
)2 +
=
1 − Vcv2x
(1 − Vcv2x )2
1 − Vcv2x
Como los efectos relativistas se manifiestan en la dirección en que se da el movimiento relativo
entre los observadores O y O’ (eje x en este caso), podemos tomar vy −→ 0, lo que conduce a
que:
6
vA0 −→
vx + V
1 + Vcv2x
vB0 −→
vx − V
1 − Vcv2x
Ahora bien, de todos los observadores inerciales es lı́cito seleccionar O’ como aquel cuya
velocidad sea V = |vBx | = |vAx | = vx = v con respecto a O, es decir , que O’ se mueve con
velocidad igual a la componente positiva de vB en el eje x. Bajo estas condiciones, las ecuaciones
anteriores se reducen a:
vA0 −→
q
vB0 y
vA0 y
=
2v
=u
1 + v 2 /c2
vB0 −→ 0
(5.2)
(5.3)
2
1− V 2
vy
q
2
1− V 2
c
1− V v2x
c
vy
c
1+ V v2x
=
1 + v 2 /c2
=
1 − v 2 /c2
1
1−v 2 /c2
1+v 2 /c2
1
1
q
=q
=
=
1−v 2 /c2 2
1−2v 2 /c2 +v 4 /c4
( 1+v2 /c2 )
(1+v 2 /c2 )2
c
1
q
(1+v 2 /c2 )2 −4v 2 /c2
(1+v 2 /c2 )2
vB0
1
1
1
=q
=p
= 0y
=q
2v/c
2v/c
vAy
2
2
1 − u2 /c2
1 − ( 1+v
1 − ( 1+v
2 /c2 )
2 /c2 )
con u la velocidad obtenida de la ecuación (5.2). Finalmente la ecuación (5.1) se transforma
en:
1
m(u) = m(0) p
1 − u2 /c2
(5.4)
Esta es la ecuación más importante de la mecánica en la Teorı́a de la Relatividad
Especial. La masa de una partı́cula no es una constante, sino que es una función de la velocidad
u de la partı́cula; para u = 0 la masa se denomina ”masa en reposo” y se representa por m(0) o en
forma más sencilla por m0 . He aquı́ la modificación esencial del concepto de masa: este término
no designa únicamente a la cantidad de materia que conforma a cada móvil, sino también a su
inercia, la cual aumenta en virtud de su movimiento.
7
Figura 5.2: Momentos en la fı́sica clásica y en la fı́sica relativista
La versión newtoniana tiene la marca n y la einsteniana tiene la marca e
5.2.
5.2.1.
Nuevas cantidades dinámicas
Momento o cantidad de movimiento
Como ya se dijo, se define como
m0 u
ρ = m(u) u ⇒ ρ = p
1 − u2 /c2
para un móvil que, a la velociudad u, tiene una masa m(u). La figura (5.2) compara las
definiciones clásica (Newton) y relativı́stica (Einstein) de la masa y el momentum. Nótese la
coincidencia de ambas definiciones para bajas velocidades en comparación con c, y en particular,
la coincidencia de la masa newtoniana con la masa relativista en reposo.
5.2.2.
Fuerza
Manteniendo la validez del principio de inercia, que implica que los cambios de momentum de
un móvil se deben a la acción de fuerzas sobre él, podemos establecer el siguiente razonamiento,
involucrando la anterior definición relativı́stica del mometum:
dm(u) u
dm(u)
dρ
du
F =
⇒F =
= m(u)
+u
dt
dt
dt
dt
Por consiguiente:
dm(u)
F = m(u) a + u
dt
Aplicando regla de la cadena en el segundo término:
dm/dt =
dm du
= a(dm/du)
du dt
Ası́:
F = a(m + udm/du)
8
Entonces, la diferencia se debe al incremento de la masa relativı́stica con la velocidad, lo cual
respalda la idea de que la masa relativı́stica establece la inercia del móvil a la velocidad u:
Mientras mayor sea la velocidad, la fuerza que hay que aplicar para cambiar el momentum es
mayor.
5.2.3.
Trabajo
Siguiendo la definición de trabajo W realizadoRpor una Rfuerza F Rsobre un Rmóvil, a lo largo
de su trayectoria de movimiento, se obtiene W = F dr = dρ
dr = dρ dr
= d(m(u) u)u
dt
dt
R
R
Diferenciando, W = (m(u) du + udm(u) )u = (m(u) udu + u2 dm(u) )
Para hallar el valor del paréntesis procedemos de la siguiente forma:
m(u) = m = √
m0
1−u2 /c2
⇒ m2 (1 − u2 /c2 ) = m20 ⇒ m2 − m2 u2 /c2 − m20 = 0
Diferenciando,2mdm − d(m2 u2 )/c2 − 0 = 0 ⇒ 2mdm −
2mdm −
2m2
udu
c2
−
2mu2
dm
c2
= 0 ⇒ dm −
mu
du
c2
−
u2
dm
c2
1
(m2 du2
c2
+ u2 dm2 ) = 0
=0
Amplificando por c2 y reorganizando se obtiene: mudu + u2 dm = c2 dm
Éste es el valor del paréntesis que estábamos buscando de la integral anterior.
Por lo tanto: W =
R
c2 dm ⇒
W =c
2
Z
dm
(5.5)
Ésta fórmula establece una nueva interpretación del trabajo: en Teorı́a de la Relatividad
el trabajo está asociado al cambio de masa relativista que experimenta un cuerpo
en virtud del movimiento
Manteniendo el principio de inercia, el trabajo es ejercido por una fuerza al ser aplicada
sobre un móvil a lo largo de su trayectoria. Esto hace del trabajo una cantidad .externa”. Pero
su resultado es el cambio de energı́a del móvil, que significa un cambio de su estado mecánico. Por
lo que este cambio es una respuesta ”propia”del móvil. Ası́, en la ecuación de trabajo tenemos
una relación de causa-efecto. Ahora bien, clásicamente ese cambio de estado se manifiesta en
un cambio de velocidad (energı́a cinética), porque la masa es un atributo invariante, al menos
en el caso de partı́culas. Pero en el caso relativı́stico, un cambio de energı́a se manifiesta como
cambio de inercia, es decir, de masa relativı́stica. Representando dicho cambio de energı́a por
K resulta:
Z m
2
K=c
dm = mc2 − m0 c2 ⇒ K + m0 c2 = mc2
m0
9
Figura 5.3: Variaciones de la energı́a desde la fı́sica clásica y la fı́sica relativista
La versión newtoniana tiene la marca n y la einsteniana tiene la marca e
La energı́a mecánica total de la partı́cula, que representamos mediante la letra E, es la suma
K + m0 c2 . Luego:
E = K + m0 c2
E = mc2
m0 c2
E=p
1 − u2 /c2
(5.6)
(5.7)
(5.8)
La figura 5.3 establece un paralelo entre las versiones clásica y relativista para las energı́as
cinética y mecánica de un cuerpo en movimiento. Según la fı́sica clásica, no hay lı́mite para los
valores de u y por lo tanto, tampoco lo hay para la energı́a cinética o mecánica, puesto que
según Newton, K = E = 21 mu2 . En contraste, en la mecánica relativı́stica de Einstein se tiene
que K = (m − m0 )c2 , con la condición de que K es una cantidad real y finita, lo cual como es de
esperar, impone que m también lo sea. En consecuencia, u < c es una condición necesaria para
asegurar esta expresión. Es decir, móviles con masa en reposo no-nula y masa relativista finita
se deberán mover con velocidades menores que la de la luz. En efecto, su curva de energı́a vs
velocidad presentará un comportamiento asintótico hacia la ası́ntota vertical u = c, creciendo
indefinidamente cuando u tiende a c. En otras palabras, para llevar un objeto masivo desde el
reposo hasta que adquiera la velocidad de la luz, es necesario añadirle una cantidad infinita de
energı́a. Como es imposible acumular y usar una cantidad infinita de energı́a, concluimos que
ningún objeto masivo se puede llevar hasta la velocidad de la luz; la velocidad relativa entre dos
observadores inerciales es siempre menor que c.
Por otra parte, de la gráfica de E(vs)u, la energı́a mecánica newtoniana es cero cuando
u = 0, es decir, para él un cuerpo en reposo carece de energı́a cinética. Por lo tanto, su energı́a
mecánica total igualará a la energı́a potencial, cuyo valor es arbitrario, es decir, puede tomarse
como nulo sin afectar el estado mecánico de reposo. En contraste, según la ecuación (5.8), la
energı́a mecánica relativı́stica total en estado de reposo no es nula sino igual a mo c2 , cantidad
10
denominada energı́a mecánica de reposo, la cual está determinada por la masa en reposo del
móvil y es una cantidad significativa en virtud del factor c2 .
Energı́a relativı́stica del campo electromagnético
La teorı́a corpuscular einsteniana sobre la luz establece que ésta se encuentra conformada
por partı́culas móviles denominados fotones. Los fotones se hallan siempre en movimiento a la
velocidad c de la luz; poseen energı́a que corresponde, según Max Planck, al producto de la
frecuencia f por la constante h de Planck (E = h × f ). Einstein demostró que la energı́a y la
masa eran equivalentes (E = mc2 ). Ası́ pues, la energı́a en reposo cero de un fotón debe actuar
como una masa en reposo cero Mo medible por Mo = Eo /c2 = hf /c2 .
Cuando una masa se mueve adquiere un momento. Como un fotón circula a la velocidad de
la luz, su momento debe ser el producto de c por Mo , es decir, ρf oton = c × hf /c2 = hf /c = Eo /c
De hecho, a raı́z de esta masa Mo , la luz sufre de caı́da libre en campos de gravitación intensos,
como cualquier cuerpo másico, es decir, puede interactuar gravitacionalmente, y además puede
transferir momentum a través de colisiones.
5.2.4.
Aceleración
Ya vimos que la fuerza en la Teorı́a de la Relatividad Especial se define como:
F = m(u)
dm(u)
du
+u
dt
dt
(5.9)
y de la ecuación (5.7) se sigue:
m = E/c2 ⇒ dm/dt =
1 dE
c2 dt
=
1 d
(m0 c2
c2 dt
+ K) , esto es
1 dK
dm
= 2
dt
c dt
(5.10)
La variación de energı́a cinética relativı́stica dK es el resultado de un trabajo diferencial F dr.
Por lo tanto,
1 dr
1
dm/dt = 2 F. = 2 F.u
(5.11)
c
dt
c
Al reemplazar este resultado en la ecuación (5.9) queda:
F = ma + u
F.u
F
F.u
⇒a=
−u 2
2
c
m
mc
F
(1 − u2 /c2 ) ⇒
m
F
a=
(1 − u2 /c2 )3/2
mo
a=
11
(5.12)
Figura 5.4: Aceleración como función de la razón de velocidades v/c
Cuando la velocidad v se aproxima a la velocidad de la luz c, la aceleración se anula. Si v es despreciable frente
a c, la aceleración se resume a la segunda ley de Newton, es decir, a = F/mo
si u es mucho menor que c, la fuerza relativista se aproxima a la definición newtoniana
a = F/mo
La figura 5.4 describe la reducción de la aceleración conforme la razón v/c se incrementa
hacia la unidad, caso en el cual la aceleración se hace cero y el movimiento se vuelve entonces
uniforme a la velocidad de la luz. Conforme v/c se hace tan pequeña, en las proximidades de
cero, la aceleración obedece la segunda ley de Newton; esto nos indica las limitaciones de las
leyes de Newton a muy altas velocidades.
Dela ecuación (5.12) se desprende
F =
amo
(1 − u2 /c2 )3/2
Según la mecánica de Newton, el móvil responde a la acción de la fuerza acelerándose. Esta es
una manifestación de su inercia. A velocidades relativı́sticas, la inercia crece significativamente,
hasta el punto de que una fuerza finita no causa reacción sobre el móvil. Para obtener una
reacción visible en el móvil, la fuerza deberá también crecer. Por eso la luz çae”si el campo
gravitacional es tan intenso como el de un agujero negro.
12
5.3.
La masa en la Teorı́a Relativista
1
La masa de un cuerpo no es sino la medida de su inercia, o sea la resistencia que la masa
a todo cambio de movimiento. De acuerdo a la Dinámica clásica, la relación entre dos masas se
puede medir por medio de las aceleraciones que una misma fuerza les comunica. De esta manera
la inercia de un cuerpo, o lo que es su masa, puede ser medida mediante la aceleración que
le imprime cierta y determinada fuerza, pero cabe preguntarnos ¿qué es una aceleración?. Es
la variación de la velocidad en la unidad de tiempo. De acuerdo a ello, en la medición de la
magnitud de una masa, entra como elemento decisivo, el valor del tiempo, pero como lo indica
el concepto de tiempo propio, el segundo de un sistema que se halla en movimiento es más largo
que el de uno que se encuentra en reposo; por consiguiente, la magnitud de la masa que se
determina mediante la unidad de tiempo variable, tampoco puede ser absoluta y constante sino
variable irremediablemente.
Para la ciencia tradicional, la masa era una invariante, es decir, una cantidad fija, o como
dicen los matemáticos, una magnitud absoluta, constante, que permanecı́a idéntica a sı́ misma
aunque cambiara de sistema de referencia. Por eso, para la Fı́sica clásica, la masa en reposo y
la masa en movimiento eran exactamente iguales.
De la identidad de la masa en reposo y en movimiento de acuerdo a la concepción newtoniana, se derivaba una consecuencia lógica: la fuerza necesaria para producir cierta aceleración
de un cuerpo era igual, cualquiera que fuese la velocidad de ese movimiento. La teorı́a de la
relatividad, en cambio, llega a conclusiones completamente opuestas: la masa es una magnitud
variable que aumenta con el movimiento; por eso la masa de un cuerpo en movimiento es mayor
que la masa del mismo cuerpo en reposo, de donde se desprende una conclusión muy evidente: si
la masa aumenta con el movimiento, la fuerza requerida con el fin de producir una determinada
aceleración será variable, aumentando con el aumento de la velocidad.
¿Cómo es posible demostrar el aumento de las masas de objetos en movimiento? Dentro de
un tubo, en el que se ha practicado el vacı́o y se provoca por la acción de la corriente una
descarga, el polo negativo (cátodo) arroja enormes cantidades de electrones los que se dirigen al
polo positivo (ánodo); estos electrones ”volando” libremente en el vacı́o son tanto más rápidos
cuanto más grande es la diferencia de potencial entre los polos; estamos pues en condiciones
de acelerar o retardar dichos electrones. Si el tubo de rayos catódicos se rodea de un campo
eléctrico, colocándolo entre dos placas cargadas, la carga positiva atraerá a los electrones y como consecuencia el haz de electrones se desviará de su trayectoria rectilı́nea.
El valor de la desviación del haz electrónico dependerá tanto de su velocidad como de su
masa; cuanto más grandes sean la velocidad y la masa, tanto más pequeña será la desviación.
Las experiencias más célebres con respecto a la desviación que un haz electrónico experimenta
bajo las acciones de campos eléctricos y magnéticos fueron llevadas a cabo por los fı́sicos suizos
GUYE y LAVANCHY. Cuando los electrones alcanzaban una velocidad cercana a los 165.000
1 Aparte
tomado de Jorge Quiroga en su obre Fı́sica, Primera Parte (1975), p 108-110. Editorial Bedout S. A.; Medellı́n-Colombia.
13
kilómetros por segundo, su masa experimentaba un aumento del 15 por ciento, en comparación
con la que tenı́a en reposo.
Una consecuencia de trascendental importancia derivada de la observación del acrecentamiento de la masa con el aumento de velocidad, ha sido el conocimiento de las relaciones entre la
energı́a y la masa. Un cuerpo en reposo no posee energı́a cinética, la adquiere cuando se pone en
movimiento. Puesto que la masa del cuerpo crece si su velocidad aumenta, el acrecentamiento de
su energı́a acontece simultáneamente con el de su masa. Por el contrario, si la energı́a disminuye,
disminuye también la masa. El hecho de que la masa y la energı́a experimenten variaciones que
se producen paralelamente llevó a Einstein a afirmar que, energı́a y masa son dos aspectos de
una misma entidad fı́sica y avanzando en el estudio de estas relaciones sostuvo que la energı́a
no es sino masa rarificada y la masa energı́a condensada.
Como sı́ntesis de sus estudios legó a la humanidad una importante fórmula por medio de la
cual es posible determinar cuantitativamente la energı́a que pueda obtenerse de una determinada masa, la fórmula muy conocida en la época actual tiene como expresión analı́tica: E = m.c2
5.4.
Experimento mental para la deducción de la famosa ecuación
de Einstein que relaciona energı́a y masa
2
En 1946, Einstein escribió una demostración de tal fórmula para el Technion Journal que
no hacı́a uso de la teorı́a de la relatividad, sino tan sólo de unas premisas básicas. Examinemos
el método empleado.
Supongamos, como Einstein sugiere, que aceptemos éstos cuatro principios:
- Que el principio de relatividad especial es correcto, es decir, que todos los marcos de referencia no acelerados son equivalentes. Ningún marco de referencia se halla en el ”verdadero”
reposo y sólo los movimientos relativos tienen significado fı́sico.
- Que el momento se conserva; al fin y al cabo, este principio es un artı́culo de fe incluso
en la fı́sica clásica. Para la materia ordinaria, el momento es igual a la masa multiplicada por
la velocidad. La conservación del momento significa que si, por ejemplo, sumamos todos los
momentos de todas las bolas en una mesa de billar inmediatamente antes de que choquen unas
con otras y repetimos el mismo cálculo tras la colisión, el resultado será el mismo.
- Que la radiación posee un momento; se trata de un hecho verificado experimentalmente y
aceptado desde hace mucho. (Es sabido por ejemplo, que lo que empuja hacia el exterior la cola
de los cometas es la luz del sol).
2 Aparte tomado y complementado de Graham Farmelo de su obra Fòrmulas Elegantes (2004), p 71-74. Editorial TusQuets;
Barcelona-España.
14
- Que un observador en movimiento ve una fuente de luz como si esta sufriera un cambio
en su ángulo aparente (”aberración estelar”). En otras palabras, se conocı́a desde hacı́a mucho
que un observador en la Tierra, por ejemplo, ve la luz de las estrellas como si procediera de
un punto desplazado un pequeño ángulo ø respecto a la posición verdadera de la estrella en el
cielo. Ese ángulo dependı́a de la velocidad de la tierra, V , y se aceptaba generalmente que, para
velocidades pequeñas comparadas con la de la luz (c),
ø ≈ V/c
(5.13)
Supóngase, decı́a Einstein, que en el espacio profundo tenemos un marco de referencia (el
”marco en reposo” ), el cual podrı́amos imaginar como un trasbordador espacial con los motores
apagados, muy lejos de cualquier objeto como una estrella o un planeta que pudiera ejercer una
fuerza gravitatoria significativa sobre él (ver figura 5.5). En éste marco e reposo, un libro flota
inmóvil en medio del transbordador, antes de que dos lámparas de flash, ubicadas a idéntica
distancia en los extremos, envı́en cada una un destello luminoso de energı́a E/2 directamente
hacia el libro. (E es la energı́a total que aportan las dos lámparas). La luz procedente de ambos flashes es absorbida entonces por el libro, que ve incrementada su energı́a en una cantidad E.
Figura 5.5: Un trasbordador en las profundidades del espacio actuando como un sistema de referencia en reposo
absoluto ”ideal”; una nave rusa se mueve con respecto a él
Ahora, continuaba Einstein, observemos el mismo proceso desde un marco de referencia ”en
movimiento” (por ejemplo, una nave espacial rusa) que se desplazará uniformemente hacia ”abajo” con velocidad v; observarla en la misma figura anterior. Vista desde este marco, la escena
resulta ligeramente distinta. Contemplado desde la nave espacial rusa, antes de ser alcanzado
por la luz de las dos lámparas, nuestro valioso libro se veı́a moviéndose hacia arriba con una
velocidad v; recordemos que el movimiento es relativo; (si un punto A se aleja del punto B en
reposo es porque B se aleja de A en sentido contrario). Esto quiere decir que, en el nuevo marco
de referencia, antes de que los haces alcancen el libro, de masa inercial en reposo M, el momento
del citado libro vale M.v. La teorı́a clásica de la luz nos dice que el momento de cada destello
de luz vale exactamente E/2c. Verifiquémolo en forma sencilla:
Por fı́sica clásica, el momento se define como ρ = m.∆v = f.∆t, ya que
f = m.a = m.∆v/∆t
15
Pero f.∆t = (f.∆d).∆t/∆d, siendo ∆d el cambio de desplazamiento. Cuando el movimiento es
uniforme la aceleración se requiere hasta tanto el cuerpo adquiere la velocidad final, instante en
el cual cesa la fuerza y y la velocidad permanece constante. Si el cuerpo parte del reposo, los
valores iniciales son cero y los incrementos se reducen a los valores finales. Por consiguiente, en
éste caso, ρ = m.(f.∆d).∆t/∆d = m.(f.d).t/d
Llamando E 0 = f.d , entonces el momento se redefine como
ρ = E 0 × t/d = E 0 × 1/(d/t) = E 0 × 1/v = E 0 /v
Esta expresión nos está diciendo que el valor del momento es igual a la energı́a requerida para
alcanzar la velocidad final, dividida por el valor de dicha velocidad.
Para el caso de un destello luminoso E 0 = E/2 (cada destello aporta la mitad de la energı́a
total) y v = c. Resulta, pues, que el momento de cada destello de luz será ρ = (E/2),1/c = E/2c.
Por otra parte, en el marco de la nave rusa la luz procedente de los flashes parece no viajar
horizontalmente, sino que (por efecto de la aberración) parte con un pequeño ángulo, ø ≈ v/c,
respecto a la horizontal. Véase la figura 5.6.
Figura 5.6: Movimiento relativo entre los marcos de referencia del trasbordador y la nave rusa
Desde la nave rusa el libro no se ve en reposo sino en movimiento en virtud del movimiento relativo entre ambos
sistemas. Los haces de luz no viajarán horizontalmente sino en forma oblicua.
En el marco de la nave espacial rusa, el momento del libro tras ser alcanzado por la luz de los
flashes es igual a la suma del momento original ascendente (M.v) más el momento que el libro
recibe del impacto de los dos haces de luz, que en este marco de referencia llega con un Ӈngulo
de aberración”. En consecuencia, los haces de luz contribuyen con un momento de magnitud
Ev/c2 al momento inicial del libro que ya valı́a M.v. Comprobémolo también en términos simples (figura 5.7):
16
Figura 5.7: Los dos rayos luz contribuyen con un momento de magnitud Ev/c2
Momento resultante vertical de los dos haces de luz:
ρy = (E/2c)senø + (E/2c)senø = 2(E/2c)senø = (E/c)senø
Los momentos horizontales se anulan por quedar en sentidos contrarios.
El valor de ø es muy pequeño y por teorı́a de lı́mites,
lı́m sin ø = ø
ø→0
Momento resultante vertical de los haces de luz es ρy = (E/c).ø
Ahora, de la ecuación 5.13 resulta ρy = (E/c).v/c.
Momento resultante de los dos haces de luz ρy = E.v/c2
Tras la absorción de la luz, el momento total del libro en el marco de referencia de la nave
rusa es igual al momento inicial más el momento aportado por los haces de luz: M.v + Ev/c2 .
Aunque el momento del libro se ha incrementado, su velocidad final hacia ”arriba” sigue
siendo v, la misma, en valor absoluto, de la nave rusa. (La velocidad del libro en el marco de
referencia de la nave rusa ha de continuar siendo v necesariamente: en el marco del trasbordador
espacial, los haces de luz inciden en direcciones opuestas, con lo que el libro sigue estacionario;
ası́ pues, tras la absorción, el libro sigue moviéndose a velocidad v respecto a la nave rusa. Por
lo tanto, según Einstein, la absorción de energı́a ha tenido qué incrementar la masa del libro;
puesto que la velocidad del libro no aumenta, es la única manera de justificar que el momento
sea mayor. Si llamamos M’ a la masa final del libro, desde el marco de referencia de la nave
rusa obtenemos: Momento final del libro ρ = M.v + E.v/c2 = M 0 .v
Dividiendo la ecuación anterior por v y restando M a ambos lados resulta:
M + E/c2 = M 0 ⇒ M + E/c2 − M = M 0 − M ⇒ E/c2 = M 0 − M
Despejando luego el valor de E resulta: E = (M 0 − M ).c2
Si expresamos abreviadamente M 0 − M (diferencia entre la masa del libro antes y después
de la llegada de los destellos de luz) como m, masa adquirida, llegamos al objeto de nuestros
17
deseos:
E = m.c2
Ahora bien, dado que toda forma de energı́a siempre puede ser convertida en otra, el resultado
no es solamente aplicable a los haces de luz. Por el contrario, significa que cualquier forma de
energı́a se añade a la masa inercial: una bola de billar caliente tiene más masa que una frı́a y
un planeta en rotación es más masivo que uno que estuviera inmóvil. De hecho, si a la masa
se le permite convertirse en energı́a, lo hará. ¿Qué es lo que pone lı́mite a estos cambios? Las
leyes de conservación: una ley de conservación es una afirmación de que ciertas magnitudes no
cambian en un sistema cerrado; por ejemplo, no podemos crear una carga eléctrica de la nada. El
momento (la tendencia de un cuerpo a moverse en lı́nea recta una vez se ha puesto en marcha)
permanece constante, salvo que apliquemos una fuerza. Debido a éstas leyes de conservación,
en la teorı́a de la relatividad un único electrón no puede desvanecerse, transformándose en
pura energı́a, ya que esto alterarı́a la carga eléctrica del universo. Ahora bien, si un electrón
choca con un anti-electrón (que tiene la carga opuesta), la historia es muy diferente. En este
caso, la suma de las cargas es cero; para la masa conjunta del electrón y el positrón sı́ resulta
posible la transformación total de energı́a. En sentido inverso respetando siempre las leyes de
conservación, la energı́a pura también puede convertirse en masa (por ejemplo, en un electrón
más un positrón).
18
Capı́tulo 6
DIDÁCTICA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL
Ver parte IV
19
Capı́tulo 7
DIAGRAMAS DE ESPACIO-TIEMPO Y TRANSFORMACIONES
DE LORENTZ
Ver parte V
CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS: Ver parte V
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS: Ver parte V
20
Índice de figuras
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
Conservación del momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Momentos en la fı́sica clásica y en la fı́sica relativista . . . . . . . . . . . . . . .
Variaciones de la energı́a desde la fı́sica clásica y la fı́sica relativista . . . . . . .
Aceleración como función de la razón de velocidades v/c . . . . . . . . . . . . .
Un trasbordador en las profundidades del espacio actuando como un sistema de
referencia en reposo absoluto ”ideal”; una nave rusa se mueve con respecto a él
5.6. Movimiento relativo entre los marcos de referencia del trasbordador y la nave rusa
5.7. Los dos rayos luz contribuyen con un momento de magnitud Ev/c2 . . . . . . .
21
6
8
10
12
15
16
17
Índice general
1. EL PROBLEMA DE LA LUZ COMO ANTECEDENTE HISTÓRI-
CO DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL
1
2. INVARIANZA DE LAS LEYES DE MAXWELL
2
3. EVOLUCIÓN DE CONCEPTOS HACIA LA TEORÍA DE LA
RELATIVIDAD
3
4. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA TEORÍA DE LA
RELATIVIDAD ESPECIAL
4
5. EFECTOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL EN LA DINÁMI-
CA
5
5.1. Nuevo concepto de masa . . . . . . . . . .
5.2. Nuevas cantidades dinámicas . . . . . . . .
5.2.1. Momento o cantidad de movimiento
5.2.2. Fuerza . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3. Trabajo . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4. Aceleración . . . . . . . . . . . . .
5.3. La masa en la Teorı́a Relativista . . . . . .
5.4. Experimento mental para la deducción de
relaciona energı́a y masa . . . . . . . . . .
. . . . . .
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la famosa
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ecuación de
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6. DIDÁCTICA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL
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Einstein
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que
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7. DIAGRAMAS DE ESPACIO-TIEMPO Y TRANSFORMACIONES
DE LORENTZ
20
CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS
20
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
20
22