Trucos para el Surfer

IMAGINARY - Trucos avanzados para el programa SURFER
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Queremos contarles algunos trucos que se pueden usar en el programa Surfer a la hora
de crear la imagen que querramos. En general, empezamos con una ecuación simple, que
da origen a una cierta supercie. Por ejemplo, con la ecuación x2 + y 2 + 10z 2 − 1 = 0,
que se corresponde con un tipo de supercie llamado elipsoide. Después, los usuarios
rotan la supercie, le dan distintos colores y hacen zoom hasta encontrar algo que les
guste. Veremos cómo hacer para ir creando supercies cada vez más complejas, cómo
usar algunos ejemplos simples para poder construir (casi) cualquier forma que nos guste.
Algunos ejemplos
z = 0 es la ecuación del plano xy. Surfer, para dibujar las supercies, utiliza un sistema
de coordenadas con los ejes x, y y z , que sería como decir "largo, ancho y alto", con el
punto origen de coordenadas, mi punto cero, en el centro de la pantalla. Un punto está
dado por tres coordenadas (x, y, z), donde las letras toman valores numéricos, e indican
cuánto tengo que moverme en cada dirección para llegar desde el cero al punto. En este
caso, el plano xy es el conjunto de todos los puntos que tienen coordenada z igual a cero,
es decir, que verican la ecuación z = 0. Por ejemplo, los puntos (7, 3, 0) y (4, π, 0) están
en este plano, pero (3, −1, 1), no.
p
x2 + y 2 + z 2 − a2 = 0 es la ecuación de una supercie esférica de radio a. x2 + y 2 + z 2
indica la distancia desde el punto (x, y, z) al origen de coordenadas. a es lo que se
llama un parámetro: un número que se puede ir cambiando con la barra deslizadora que
aparece. Al usar el deslizador para a agrandamos o achicamos la supercie.
Si escribimos x2 + by 2 + z 2 − a2 = 0, tenemos una ecuación que es igual a la anterior,
excepto por la letra b. Ahora aparecen dos deslizadores: uno para a y otro para b. Al
usar el deslizador para a agrandamos o achicamos la supercie, como antes. El deslizador
de b tiene efectos más drásticos: si lo acomodamos para que b sea cero, la supercie se
transforma en un tubo. Si hacemos que b esté entre cero y uno, entonces tenemos algo
parecido a un huevo (el elipsoide del principio del texto, en verdad). Si lo deslizamos
hasta que b valga 1, tenemos una supercie esférica.
x2 − by 2 + z 2 − a2 = 0 es la ecuación de un hiperboloide, que se parece a un reloj de
arena. La ecuación es igual a la anterior, excepto que cambiamos un signo más por un
signo menos. Esto nos muestra una idea general en Surfer: con pequeños cambios en
las ecuaciones, podemos hacer grandes cambios en las supercies dibujadas. O quizás
estas no cambien mucho. La idea es siempre probar: cambiar los números, los signos, los
exponentes en la ecuación, para ver qué pasa en cada caso. También, en este ejemplo,
variando los parámetros a y b podemos cambiar la forma de la supercie. Fijate qué es
lo que pasa si hacemos esto.
Cuando experimenten con esta u otras ecuaciones, tengan en cuenta que Surfer imagina
una esfera invisible en el espacio, alrededor del centro de la pantalla, y graca sólo lo
que esté dentro de ella. Si tenemos una supercie no acotada como el hiperboloide, una
supercie que se extiende innitamente en alguna dirección, a la hora de dibujarla hay
que cortarla por algún lado, porque no entraría entera en la pantalla. Una supercie
acotada, como la de la esfera, en principio no tiene este problema. Con el deslizador
de zoom podemos agrandar o achicar esta esfera imaginaria de corte. Por eso, para
ciertos niveles de zoom algunas supercies pueden aparecer cortadas. También puede
pasar que haya supercies que al principio no se vean, sin cambiar el zoom que había
anteriormente. Hay que experimentar: este efecto puede ser bueno o malo, dependiendo
del tipo de supercie y de la imagen que querramos crear.
Hasta ahora vimos ejemplos de supercies con las que podés comenzar a experimentar, y
algunas cosas básicas que podés hacer para editar tus imágenes. Cuando hayas practicado
con esta primera parte, podés probar con los siguientes trucos.
Varias supercies
Si tenés dos supercies distintas, las podés unir escribiendo la multiplicación de sus
ecuaciones. Por ejemplo, x2 + y 2 + z 2 − 4 = 0 es la ecuación de una supercie esférica,
y x = 0 es la ecuación de un plano. Si querés gracar ambas supercies a la vez,
entonces podés usar la ecuación x(x2 + y 2 + z 2 − 4) = 0, que se formó multiplicando
las dos ecuaciones que tenías antes. Repitiendo este procedimiento, multiplicando las
ecuaciones individuales con más de dos ecuaciones distintas, podés unir las supercies
que vos quieras.
Suavizando bordes
Las supercies no siempre son redondeadas como una pelota o una papa, a veces tienen
bordes o puntos angulosos, como la punta de un cono. Por ejemplo, la ecuación x2 −
y 2 + z 2 = 0 nos da dos conos pegados por sus vértices (este es el hiperboloide que vimos
antes, también llamado doble cono ). Imaginemos que pudiéramos separar los dos conos.
¾Qué pasaría si pudiéramos tocar con el dedo esos vértices? Sentiríamos un pinchazo.
En cambio, al pasar el dedo por el resto de la supercie, sentiríamos siempre la misma
forma, como una textura suave. Este experimento imaginario nos indica que la supercie
cónica no es suave en esa punta, mientras que en todos los otros puntos, sí. Esta clase
de puntos se llaman singularidades.
Puede ser, entonces, que si tenemos una supercie, estemos interesados en tener otra
parecida pero sin los bordes o puntos angulosos. Un truco que funciona en estos casos
es agregar a la ecuación un parámetro de ajuste con alguna de las letras a, b, c o d. Si
queremos suavizar el cono del ejemplo, restamos a y nos queda x2 +y 2 −z 2 −a = 0. Si con
el deslizador que aparece hacemos que a valga cero, entonces es como si a no estuviera,
y Surfer sigue gracando los conos. Si vamos cambiando el valor de a, entonces vemos
como la supercie se va transformando y deja de tener ese punto singular en el que se
unen los dos vértices, es decir, se suaviza.
Unión y suavizado
Cuando unimos varias supercies como vimos antes puede ser que la supercie resultante
tenga muchos puntos en los que no es suave. Pensando que la unión de dos supercies
es otra supercie, intentamos el mismo truco que antes para suavizarla. Siguiendo con el
ejemplo anterior, teníamos con x = 0 un plano y con x2 + y 2 + z 2 − 4 = 0 una supercie
esférica. Para unirlas, escribimos la ecuación x(x2 + y 2 + z 2 − 4) = 0. De esta ecuación
resulta una supercie formada por una esfera y un plano que la atraviesa por el centro.
En la parte que se cruzan podemos ver que hay un borde. Para suavizar este borde
hacemos x(x2 + y 2 + z 2 − 4) − a = 0, y con el deslizador que aparece introducimos un
valor pequeño para a. Así, logramos que la intersección de las supercies se suavice.
Dibujando curvas
Hasta ahora vimos distintos trucos pero todos tienen algo en común: siempre dibujamos
una supercie, algo que tiene ancho y largo pero no espesor, como si fuera una hoja de
papel. ¾Qué se puede hacer para dibujar una curva en lugar de una supercie? Bueno,
acá tenemos un problema: el Surfer no sabe dibujar curvas, sólo dibuja supercies. Una
solución posible a este problema es dibujar una supercie que se parezca mucho a una
curva, o sea, una supercie muy angosta, algo así como un hilo nada más.
Por ejemplo, si miramos una hoja de papel podemos pensar que es una supercie, una
porción de un plano. Supongamos ahora que cortamos la hoja por la mitad. Nos queda
una con el mismo largo y la mitad del ancho, sigue siendo una porción de un plano. Si
repetimos este proceso varias veces, vamos a llegar a algo que parece un hilo de papel,
en lugar de una hoja. Es decir, pasamos de una supercie a algo que sigue siendo una
supercie pero se ve casi como una curva.
Esta misma idea es la que tenemos que usar para que Surfer dibuje lo más parecido que
puede dibujar a una curva. Si tenemos dos supercies denidas por las ecuaciones f = 0
y g = 0, entonces la curva que se genera como intersección de las dos supercies tiene
ecuación f 2 + g 2 = 0. Por ejemplo, en el caso del plano y la esfera del ejemplo anterior
tendríamos x2 + (x2 + y 2 + z 2 − 4)2 = 0. Pero para hacer que funcione el truco, como
con la hoja de papel, tenemos que escribir la ecuación x2 + (x2 + y 2 + z 2 − 4)2 − a = 0
y con el deslizador probar distintos valores de a hasta tener el resultado deseado.
Con estos trucos, un poco de imaginación y otro poco de perseverancia van a poder
dibujar muchas supercies lindas. Todos estos trucos fueron sugeridos por el profesor
Gert-Martin Greuel, director del Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, y de
la exhibición Imaginary que se hizo en Alemania.