Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial 5# 2 3 4! , (3

Veri…car el teorema de Stokes para el campo vectorial F~ (x; y; z) = y + z; xz; y 2 siendo S la super…cie de la región
en el primer octante acotada por el plano 2x + z = 6 y por el plano y = 2 y que no está incluida en el plano XY , y C es
la curva frontera correspondiente.
Solución:
El
I teoremaZdeZ Stokes establece
F~ d~l =
r F~ n
bdS
C
S(C)
Haremos cada una de las integrales empezando por la de línea.
Tramo 1:
~Rr (t) = t (1; 0; 0) ; t 2 [0; 3]
(0; 0; 0) (1; 0; 0) dt = 0
C1
Tramo 2:
~Rr (t) = (3; 0; 0) + t (0; 1; 0) ; t 2 [0;
R 2]
2
3
+
t;
0;
3
+
t
(0;
1;
0)
dt
=
0dt = 0
C2
C2
Tramo 3:
~Rr (t) = (3; 2; 0) + t ( 1; 0; 0) ; R t 2 [0; 3]
(2; 0; 4) ( 1; 0; 0) dt = 2 C3 dt = 2 (3) = 6
C3
Tramo 4:
~r (t) = (0; 2; 0) + t (0; 1; 0) ; t 2 [0; 2]
R
R
2
2 t; 0; (2 t)
(0; 1; 0) dt = C4 0dt = 0
C4
I
F~ d~l = 6
C
Hagamos ahora la integral de super…cie del rotacional,
Z Z
r F~ n
bdS
S(C)
Tenemos
b
bi
b
j
k
r
y + z; xz; y =
@x
@y @z = (x + 2y; 1; z 1)
y+z
xz y 2
así que podemos hacer la integral sobre cada una de las super…cies,
Super…cie 1
~r (u; v) = (u; 0; v)
u 2 [0; 3] ; v 2 [0; 6 2u]
@~r
@~r
= (1; 0; 0)
= (0; 0; 1)
@u
@v
@~r
@~r
= (1; 0; 0) (0; 0; 1) = (0; 1; 0)
@u
@v
ZZ
R 3 R 6 2u
r F~ n
bdS = 0 du 0
dv (u; 1; v 1) (0; 1; 0) =
2
S
1
R 3 R 6 2u
R3
du 0
=
dv =
(6 2u) du = 9
0
0
Super…cie 2
~r (u; v) = (u; 2; v)
u 2 [0; 3] ; v 2 [0; 6 2u]
@~r
@~r
= (1; 0; 0)
= (0; 0; 1)
@u
@v
@~r
@~r
= (1; 0; 0) (0; 0; 1) = (0; 1; 0)
@u @v
Como tomaremos las normales hacía afuera, le cambiamos de signo y
ZZ
R 3 R 6 2u
r F~ n
bdS = 0 du 0
dv (u + 4; 1; v 1) (0; 1; 0) =
S
2
R 3 R 6 2u
R3
= 0 du 0
dv = 0 (6 2u) du = 9
Super…cie 3
~r (u; v) = (0; u; v)
u 2 [0; 2] ; v 2 [0; 6]
@~r
@~r
= (0; 1; 0)
= (0; 0; 1)
@u
@v
1
@~r
@~r
= (0; 1; 0) (0; 0; 1) = (1; 0; 0)
@u @v
Como tomaremos las normales hacía afuera, le cambiamos de signo y
ZZ
R2 R6
r F~ n
bdS = 0 du 0 dv (2u; 1; v 1) ( 1; 0; 0) =
S
3
R2
R6
= 2 0 udu 0 dv = 2 (2) (6) = 24
Super…cie 4
~r (u; v) = (u; v; 6 2u)
u 2 [0; 3] ; v 2 [0; 2]
@~r
@~r
@~r
@~r
= (1; 0; 2)
= (0; 1; 0)
= (1; 0; 2) (0; 1; 0) = 2 0 1
@u
@v
@u
@v
ZZ
R2 R6
R2 R6
r F~ n
bdS = 0 du 0 dv (u + 2v; 1; 6 + 2u 1) (2; 0; 1) = 0 du 0 dv (4u + 4v 7) = 18
S4
Finalmente
ZZ
r F~
S4
n
bdS = 9
9
24 + 18 =
6
Como era de esperarse se comprueba el teorema de Stokes.
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