CUADERNO DE EJERCICIOS DE MATEMATICAS III DEPARTAMENTO ACADEMICO DE MATEMATICA AGOSTO 2005 ITAM,DM-A-94.1 1 En la presente edición se ha tenido el mismo propósito de la edición anterior de apoyar a los alumnos en la aplicación del Algebra Lineal en sus respectivas áreas de estudio. Yolanda I. Pretelin Muñoz de Cote 2 PREFACIO Éste es un cuaderno de apoyo para el curso de Matemáticas III. Se trata de una recopilación de ejercicios y aplicaciones cuyo propósito es enriquecer el material del curso. La disposición de los temas obedece al orden del temario y al final de cada capítulo se encuentran las soluciones de los problemas. Este trabajo es el resultado de un esfuerzo conjunto del Departamento Académico de Matemáticas. Cabe decir que en él las pretensiones de originalidad son nulas, y que agradecemos siempre las correcciones y comentarios que maestros y alumnos nos hacen llegar. Trinidad Martínez Cornejo preparó esta edición del cuaderno y a ella le agradecemos su excelente trabajo. Patricia Souza 3 MATEMATICAS III 1. GEOMETRIA EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2.1 2.2 2.3 *2.4 3. 3.2 3.3 3.4 * 3.5 Suma de matrices. Producto de un escalar por una matriz. Propiedades de las operaciones. Producto de matrices. Propiedades. Matrices particulares: diagonales, triangulares, simétricas, y elementales. Transpuesta de una matriz. Propiedades. Inversa de una matriz. Cálculo de la inversa de una matriz por medio de operaciones elementales Aplicación a sistemas de ecuaciones lineales nxn. La matriz de incidencia de una gráfica dirigida. DETERMINANTES 4.1 4.2 4.3 4.4 5. Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales de 2 x 2 y 3 x 3. Interpretación geométrica. Eliminación gaussiana y de Gauss-Jordan en sistemas de mxn. Pivotes. Grados de libertad. Planteamiento de problemas. Modelo de Leontief de insumo-producto. Sistemas homogéneos. Análisis de las soluciones de un sistema homogéneo. Sistemas no homogéneos y sistemas homogéneos asociados. Forma paramétrica de las soluciones. ALGEBRA DE MATRICES 3.1 4. Vectores. Representación geométrica. Suma de vectores. Producto de un escalar por un vector. Interpretación geométrica. Propiedades de las operaciones. Producto punto. Norma. Vectores ortogonales. Ecuaciones paramétrica y normal de la recta. Ecuaciones paramétrica y normal del plano. Concepto y desarrollo por cofactores. Propiedades de los determinantes. Matriz adjunta. Cálculo de la inversa de una matriz por medio de la matriz adjunta. Regla de Cramer. EL ESPACIO VECTORIAL R n 5.1 5.2 Vectores en R n . Suma de vectores. Producto de un escalar por un vector. Propiedades de las operaciones. Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales. Ejemplos. 4 5.3 *5.4 6. ORTOGONALIDAD 6.1 6.2 6.3 6.4 7. Producto punto en R n . Norma. Vectores ortogonales. Proyección sobre un vector. Proyecciones y el método de mínimos cuadrados. Ajuste de rectas, planos y polinomios. Ecuación normal de un hiperplano. Poliedros en R n . INTRODUCCION A LA PROGRAMACION LINEAL 7.1 7.2 7.3 7.4 * 7.5 7.6 * 7.7 8. Combinación lineal de un conjunto de vectores. Dependencia e independencia lineal. Bases y dimensión. Interpretación geométrica. Rango y nulidad, espacio nulo, espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz. Problemas de programación lineal en dos variables. Análisis gráfico. Programas lineales de maximización y de minimización en forma canónica y en forma estándar.Variables básicas y no básicas. Variables de holgura. Método Simplex. Planteamiento y solución de programas lineales. Problema general de Programación Lineal. Método de las dos fases. Dualidad. Introducción al análisis de sensibilidad. VALORES Y VECTORES PROPIOS 8.1 8.2 8.3 8.4 Definiciones. Polinomio característico. Cálculo de valores y vectores propios. Multiplicidad algebraica y multiplicidad geométrica de un valor propio. Diagonalización de matrices. Cadenas de Markov. 5 BIBLIOGRAFIA TEXTO S. GROSSMAN ”Álgebra Lineal con Aplicaciones” McGraw - Hill, 5a. edición 1996. REFERENCIAS 1. J.ARYA & R. LARDNER "Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía" Prentice - Hall Hispanoamericana, 4a. edición, 2002. 2. G. EPPEN, F. GOULD, C.SCHMIDT "Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa", Prentice - Hall Hispanoamericana, 5a. edición, 2000. 3. F. FLOREY "Fundamentos de Álgebra lineal y Aplicaciones" Prentice - Hall Hispanoamericana, 1987. 4. J. FRALEIGH & R. BEAUREGARD "Álgebra lineal" Addison - Wesley Iberoamérica, 1989. 5. H. GERBER "Álgebra Lineal" Grupo Editorial Iberoamérica, 1992. 6. R. MORONES "Programación Lineal. El Método de Dos Fases en el Simplex" ITAM, 1991. 7. E.F.HAEUSSLER, JR. & R.S. PAUL "Matemáticas para Administración y Economía"-Prentice Hall.10a. edición 2003 6 1. GEOMETRIA EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO Grafique los siguientes vectores en un sistema de coordenadas cartesianas: 1.1 a) b) c) d) e) f) u = 1, 2 v = −3, 1/4 w = 0, 0 x = 2, 1 y = −5, −2/3 z = 0, −8/5 Grafique los siguientes segmentos dirigidos en un sistema de coordenadas cartesianas: 1.2 a) b) c) d) e) AB donde A = 2, 4 y B = 4, 0 CD donde C = 0, 0 y D = −3, −1/2 EF donde E = 0, 3 y F = −1, 3 PQ donde P = 1/3, −5 y Q = 2, −1 RS donde R = 6, 7 y S = 6, 7 1.3 Grafique los siguientes vectores en un sistema de coordenadas cartesianas. (observe que, debido a la perspectiva, el resultado dependerá de cómo dibujemos los ejes coordenados): a) b) c) d) e) f) u = 0, 0, 3 v = 2, 0, −1 w = 1, 5, 3 x = −2, −6, −1 y = 0, 8, 0 z = −5, 0, 0 Grafique los siguientes segmentos dirigidos en un sistema de coordenadas cartesianas: 1.4 a) b) c) AB donde A = 2, 4, 0 y B = 4, 3, 1 CD donde C = 0, 0, 0 y D = 0, −2, 5 EF donde E = 4, 0, 0 y F = 4, 1, 2 Efectúe los cálculos indicados cuando u = 14 , 3, v = 0, 5 y w = −2, 1. 1.5 a) b) c) d) e) f) g) u+v 4w −2v 0u v − 2w w − 32 v + 2u u+0 7 Efectúe los cálculos indicados cuando x = 0, − 13 , 5, y = 2, 0, −7 y .z = −1, 45 , 0 1.6 a) b) c) d) e) f) x+y 3z −x 0y x + y − 2z 2x − y + 0 1.7 Encuentre dos números a, b tales que 3, 14 + a, b = 0, 0 1.8 Encuentre un escalar α tal que a) α2, 3 = 5, 15 2 b) α1, 2, 3 = 32 , 3, 9 Si x = 1, −2, 3 y y = 0, 1/5, −4, encuentre un vector z tal que 1.9 a) 3x + 2z = y b) 2x + y − 1 3 z=0 Calcule los vectores asociados a los segmentos dirigidos de los ejercicios 1.2 y 1.4. 1.10 1.11 Efectúe los cálculos indicados cuando u = 1, 2,v = 3, 1, w = −2, 0 y x = −2, 1. Observe que algunos cálculos se pueden simplificar usando las propiedades de producto punto. a) b) c) d) e) f) g) v⋅v u⋅x u + v ⋅ w u + v ⋅ 3w u⋅0 u + v ⋅ x − 13 w v − u ⋅ v/u ⋅ uu Efectúe los cálculos indicados en el ejercicio anterior si ahora u = 1, 2, 3, 1.12 v = −2, 0, 1, w = 0, 4, 0 y x = −3, 2, 1. Calcule la norma de los siguientes vectores: 1.13 a) b) 3, 4 21 , − 21 c) d) e) 2, 0, 1 −3, 0, 0 −1/ 2 6 , 2/ 2 6 , 1/ 2 6 2 2 8 Describa geométricamente los siguientes conjuntos de vectores: 1.14 a) b) c) d) xεR 2 ∣∥ x ∥= 1 xεR 3 ∣∥ x ∥= 1 x, yεR 2 ∣ xy = 0 x, y, zεR 3 ∣ xyz = 0 1.15 Halle la ecuación vectorial paramétrica X = A + td de las rectas que pasan por los puntos dados. Observe que hay muchas maneras de dar la ecuación pedida. a) b) c) d) 1/2, 0 y 2, 7 1. 3/4 y 1, −3 0, 2, 7 y 1, 2, −3/4 1, −3, 5 y −3, 2, 7 Halle la ecuación vectorial paramétrica X = A + td de la recta que: 1.16 a) b) c) Pasa por el punto 1, 2 y es paralela a la recta X = 0, 1 + t2, 3. Pasa por el origen y es paralela a la recta X = −2, 0, 1/3 + s1, 2, 4. Pasa por 1, −2, 3/7 y es paralela al eje Y. 1.17 Halle la ecuación vectorial paramétrica X = A + td de la recta que pasa por el punto dado y es perpendicular a la recta dada: a) 2, 4, X = 2 5 , π + t1, −3 b) 1 0, 5, X = 301 , e + t7, 2 1.18 Halle la ecuación cartesiana de la recta que pasa por el punto dado y es perpendicular a la recta dada: a) −3, 2, X = 2 2 , 4 + t2, −1 b) 0, 0 , X = 2, 8 + s1, −1 Halle la ecuación cartesiana de la recta que pasa por el punto dado y es paralela a la recta 1.19 dada: a) −3, 2, X = 2 2 , 4 + t2, −1 b) 0, 0 , X = 2, 8 + s1, −1 1.20 Halle la ecuación vectorial paramétrica del plano X = A + su + tv que pasa por los puntos dados. Observe que hay muchas maneras de dar la ecuación pedida. a) b) c) 1.21 1, 2, −5, 0, 0, 0 y 2, 1/3, 6 1, 2, 4, 1/7, 0, 2/3 y 1, 0, 0 −2, 6, 1, 0, 0, 5 y 2, 0, −6 Halle la ecuación cartesiana del plano que pasa por el punto dado y es perpendicular a la 9 recta dada: a) b) c) d) 0, 0, 0, X = 1, 0, 2 7 + s1, 3, −6 2, 3, 0 , eje Y 1, −3, 2 , X = 2, e, 1 + t1, 3, −6 1/2, 2, 9, X = 1, 0, −2 + r1, 1, −3 1.22 Encuentre la ecuación cartesiana del plano cuya normal es paralela a la recta X = 1, 3, −1 + s1, −3, 5 y que pasa por el punto 2, −4, 0. 1.23 Encuentre la ecuación vectorial paramétrica de la recta que es ortogonal al plano 2x − 3y + 5z = 8 y que pasa por el punto 2, 0, −5. 1.24 Encuentre la ecuación vectorial paramétrica del plano que contiene a las rectas X = 1, 0, 5 + t1, 0, 0, Y = 1, 0, 5 + s0, 4, 2 10 SOLUCIONES 1.1 a) u = 1, 2 y 4 2 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x -2 -4 b) v = −3, 1/4 y 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 1 -1 -2 -3 -4 -5 c) w = 0, 0 ; no tiene representación. (0,0) 11 2 3 4 5 x d) x = 2, 1 y 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4 -5 e) y = −5, −2/3 y 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 f) z = 0, −8/5 12 5 x y 4 2 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x -2 -4 1.2 a) AB donde A = 2, 4 y B = 4, 0; B − A = 4 − 2, 0 − 4 y 4 2 -5 -4 -3 -2 -1 1 -2 -4 13 2 3 4 5 x b) CD donde C = 0, 0 y D = −3, −1/2; D − C = −3 − 0, −1/2 − 0 y 4 2 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x -2 -4 c) EF donde E = 0, 3 y F = −1, 3; F − E = −1 − 0, 3 − 3 y 4 2 -5 -4 -3 -2 -1 1 -2 -4 14 2 3 4 5 x d) PQ donde P = 1/3, −5 y Q = 2, −1; Q − P = 2 − 1/3, −1 − −5 y 4 2 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 -2 -4 e) RS donde R = 6, 7 y S = 6, 7; S − R = 6 − 6, 7 − 7 (0,0) a) u = 0, 0, 3 1.3 15 4 5 x b) v = 2, 0, −1 c) w = 1, 5, 3 16 d) x = −2, −6, −1 e) y = 0, 8, 0 17 f) z = −5, 0, 0 a) AB donde A = 2, 4, 0 y B = 4, 3, 1; B − A = 4 − 2, 3 − 4, 1 − 0 1.4 18 b) CD donde C = 0, 0, 0 y D = 0, −2, 5; D − C = 0 − 0, −2 − 0, 5 − 0 c) EF donde E = 4, 0, 0 y F = 4, 1, 2; F − E = 4 − 4, 1 − 0, 2 − 0 1.5 a) d) g) 1/4, 8 0, 0 1/4, 3 b) e) −8, 4 4, 3 2, −1/3, −2 b) −3, 12/5, 0 c) f) 0, −10 −3/2, −1/2 1.6 a) 19 c) 0, 1/3, −5 d) 1.7 0, 0, 0 e) 4, −29/15, −2 f) −2, −2/3, 17 a = −3, b = −1/4 α = 5/2 b) No es posible encontrar tal escalar porque al igualar las coordenadas obtenemos que α debe valer simultáneamente 3/2 y 3. 1.8 a) 1.9 a) a) 6, −54/5, −6 b) Ejercicio 1.2: 1.10 a) d) −3/2, 31/10, −13/2 2, −4 5/3, 4 Ejercicio 1.4: 2, −1, 1 b) e) −3, −1/2 0, 0 c) −1, 0 b) 0, −2, 5 c) 0, 1, 2 1.11 a) d) g) 10 −24 2, −1 b) e) 0 0 −8 −7/3 c) f) 1.12 a) d) g) 5 b) 4 24 e) 0 −29/14, −1/7, 11/14 c) f) 5 3 c) 8 25/3 1.13 a) d) b) e) 1 1 2 5 1.14 a) b) c) d) 1.15 Circunferencia con centro en el origen y radio 1. Esfera con centro en el origen y radio 1. Unión de los ejes X e Y en el plano. Unión de los tres planos coordenados en el espacio. Una recta siempre puede ser descrita por diversas ecuaciones vectoriales paramétricas 20 diferentes. Esto lo ilustramos en el inciso (a). En los incisos restantes sólo escogemos una ecuación. a) b) d) X = 1/2, 0 + t3/2, 7 X = 2, 7 + t3/2, 7 X = 1/2, 0 + t−3/2, −7 X = 2, 7 + t−3/2, −7 X = 1/2, 0 + t3, 14 Etcétera. X = 1, −3 + t0, 15/4 X = −3, 2, 7 + t4, −5, −2 c) X = 0, 2, 7 + t1, 0, −31/4 1.16 a) c) X = 1, 2 + t2, 3 X = 1, −2, 3/7 + t0, 1, 0 X = t1, 2, 4 b) 1.17 a) X = 2, 4 + t3, 1 b) X = 0, 5 + t−2, 7 1.18 a) 2x − y = −8 b) x−y = 0 1.19 a) x + 2y = 1 b) x+y = 0 1.20 Mismo comentario que en el ejercicio 1.15. a) X = 1, 2, −5 + s1, 2, −5 + t2, 1/3, 6 X = s−1, 5/3, −11 + t−2, −1/3, −6 X = 2, 1/3, 6 + s2, 1/3, 6 + t−1, −2, 5 Etcétera. b) c) X = 1, 0, 0 + s0, 2, 4 + t−6/7, 0, 2/3 X = 0, 0, 5 + s−2, 6, −4 + t2, 0, −11 1.21 a) c) x + 3y − 6z = 0 x + 3y − 6z = −20 b) d) 1.22 x − 3y + 5z = 14 1.23 X = 2, 0, −5 + t2, −3, 5 21 y=3 x + y − 3z = −49/2 1.24 X = 1, 0, 5 + s1, 0, 0 + t0, 4, 2 22 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2.1 En cada uno de los incisos siguientes se pide construir ecuaciones de rectas en el plano. Busque ejemplos sencillos y argumente geométricamente porqué el ejemplo construido satisface las condiciones pedidas. a) b) c) Dé las ecuaciones de dos rectas en el plano que sean paralelas. Dé las ecuaciones de dos rectas en el plano que se intersecten exactamente en un punto. Dé dos ecuaciones distintas que representen a una misma recta en el plano. En cada inciso obtenemos un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. En (a) el sistema no tiene solución; en (b) el sistema tiene solución única; y en (c) el sistema tiene una infinidad de soluciones. 2.2 plano. a) b) c) d) Este ejercicio es análogo al anterior, pero con planos en el espacio en lugar de rectas en el Dé las ecuaciones de tres planos que sean paralelos. Dé las ecuaciones de tres planos que se intersecten en exactamente un punto. Dé las ecuaciones de tres planos que se intersecten en una recta. Dé tres ecuaciones distintas que representen a un mismo plano. En cada inciso obtenemos un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. En (a) el sistema no tiene solución; en (b) el sistema tiene solución única; en (c) y en (d) hay una infinidad de soluciones. 2.3 Grafique las rectas del siguiente sistema de ecuaciones lineales: x=1 y=2 x+y = 4 a) b) 2.4 a) ¿Cuántas soluciones tiene el sistema? ¿Qué sucede si sustituimos la tercera ecuación por x + y = 3? Decida si las siguientes matrices están en forma escalonada. 4 0 2 1 3 0 1 b) c) 0 0 −5 0 1 −3 0 0 1 7 d) 0 0 4 4 2 1 −3 5 4 1 2 3 e) 0 0 5 23 0 0 1 2 0 0 0 1 f) 8 3 5 0 0 −3 0 2 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 2.5 Para los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. i. Construya la matriz aumentada asociada al sistema ii. Usando el método de eliminación gaussiana decida si el sistema tiene solución. iii. En caso afirmativo, calcule el número de pivotes y el número de grados de libertad del sistema y dé la solución general del sistema. a) 2x + 4y = 6 3x + 6y = 5 b) 2x − 4y = 6 − 4x + 6y = 2 c) x + 3y = 6 2x − 2y = 4 4x + 4y = −8 d) x + 5y + 11z = −5 2x + 3y + 8z = 4 − x + 2y + 3z = −9 e) 3x + y + 4z = 5 6x + 4y + 5z = 11 − 3x + y − 6z = −4 f) w + 2x + 3y = 3 y + 2z = −1 2w + 4x + 4y − 4z = 8 g) 2w − 4x = 10 w − 3x + z = −4 w − y + 2z = 4 3w − 4x + 3y − z = −11 24 h) w − 2x + y − z = 4 2w − 3x + 2y − 3z = −1 3w − 5x + 3y − 4z = 3 − w + x − y + 2z = 5 i) 2x 1 + x 2 − x 3 − x 4 + x 5 = 0 x 1 − x 2 + x 3 + x 4 − 2x 5 = 0 3x 1 + 3x 2 − 3x 3 − 3x 4 + 4x 5 = 0 4x 1 + 5x 2 − 5x 3 − 5x 4 + 7x 5 = 0 2.6 Pruebe que el siguiente sistema es inconsistente si c ≠ 0 x − 2y + z = 2 2x + y + z = 4 5y − z = c 2.7 Pruebe que el siguiente sistema de ecuaciones lineales 3x + 2y − 4z = a − 4x + y − z = b 7x + 12y − 22z = c tiene una infinidad de soluciones si c = 5a + 2b. 2.8 Encontrar las condiciones que deben cumplir a, b, c, y d para que el siguiente sistema tenga (a) solución única, (b) solución múltiple, (c) ninguna solución: ax + by = c ax − by = d 2.9 En una empresa textil un empleado tarda una hora con cuarenta minutos en hacer una falda y cinco horas en hacer un saco. Tiene cuarenta horas de trabajo y se desea que se venda todo lo que se produce. Si sus clientes compran tres faldas por cada saco que adquieren, ¿ cuántas faldas y cuántos sacos deberá hacer? 25 2.10 Una máquina sella 480 piezas por hora si la pieza no tiene hoyo y 200 piezas si la pieza tiene hoyo. ¿ Cuántas piezas sella la máquina en una semana (40 horas) si hay 4 piezas sin hoyo por cada una con hoyo? 2.11 Tres especies de bacterias coexisten en un matraz de Erlenmeyer en la que hay tres nutrientes. Si la bacteria de tipo i consume a ij unidades del nutriente j por día, se tiene que a 11 = a 12 = a 13 = a 21 = a 31 = 1, a 23 = a 32 = 3, a 22 = 2, a 33 = 5. Si se suministran respectivamente 15000, 30000 y 40000 unidades al día de cada nutriente y si cada nutriente se consume totalmente, ¿ cuál es la población de cada bacteria que puede mantenerse en el tubo? 2.12 ¿Cuál sería la respuesta al ejercicio anterior si las cantidades diarias de nutrientes fueran 20000, 30000 y 40000 unidades, respectivamente? 2.13 Un departamento de caza y pesca estatal suministra tres tipos de alimento a un lago que mantiene tres especies de peces. Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio de una unidad del alimento 1, una unidad del alimento 2 y dos unidades del alimento 3. Cada pez de la especie 2 consume cada semana un promedio de tres unidades del alimento 1, cuatro unidades del alimento 2 y cinco unidades del alimento 3. Para un pez de la especie 3, el consumo semanal promedio es de dos unidades del alimento 1, una unidad del alimento 2 y cinco unidades del alimento 3. Cada semana se proporcionan al lago 15, 000 unidades del primer alimento, 10, 000 del segundo y 35, 000 del tercero. Suponiendo que los tres alimentos se consumen, ¿qué población de cada especie se encontrará en coexistencia? ¿Existe una única solución? 2.14 Una firma de transporte posee tres tipos distintos de camiones: A, B y C. Los camiones están equipados para el transporte de dos clases de maquinaria pesada. El número de máquinas de cada clase que puede transportar cada camión en una operación es: Camiones Tipo A Tipo B Tipo C Clase 1 2 1 1 Clase 2 0 1 2 Máquinas La firma consigue una orden para 32 máquinas de la clase 1 y 10 máquinas de la clase 2. Encuentre el número de camiones de cada tipo que se requieren para cumplir la orden, asumiendo que cada camión debe estar completamente cargado y que el número exacto de máquinas pedidas es el que se debe despachar. Si la operación de cada tipo de camión tiene el mismo costo para la firma ¿cuál es la solución más económica? 2.15 Se desea envasar nueces, almendras y cacahuates en lata, de manera que haya cuatro kilos de cacahuate por cada kilo de nuez y la misma cantidad de nueces y almendras. Si se desea envasar un 26 total de 20 kilos, ¿cuántos kilos de cada producto hay que adquirir? 2.16 Un estudiante dedica 6 horas a dormir y 2 a comer. El resto lo dedica a estudiar, a jugar boliche y a otras actividades. Cada hora de estudio le cuesta en promedio $20.00, cada hora de boliche $120.00 y el promedio por hora de otras actividades es de $40.00. Si dispone de $600.00 por día, ¿cómo puede dividir el tiempo entre las tres cosas? 2.17 Una inversionista le afirma a un corredor de bolsa que todas sus acciones son de tres empresas, una de aviación, una de hoteles y una de alimentos y que hace 2 días el valor total de sus acciones bajó en $350 pero que subió $600 el día de ayer. El corredor recuerda que hace dos días el precio por acción de la compañía de aviación bajó $1, que el de la compañía de hoteles bajó $1.50, pero que el de la de los alimentos subió $0.50. También recuerda el corredor que el día de ayer los precios por acción de las tres compañías se comportaron como sigue: subió el de aviación $1.50, el de hoteles cayó $0.50 y el de alimentos subió $1. Muestre que el corredor no posee información suficiente para calcular el número de acciones que posee la inversionista, pero que cuando ella dice tener 200 acciones de la empresa alimenticia, entonces sí es posible determinar el número de acciones restante. 2.18 Una fábrica distribuye su producción en tres tiendas. La primera pide tanto como las otras dos juntas y la segunda pide 10% más que la tercera. Si la producción total es de 42 unidades por semana, ¿de qué manera debe repartirse la producción entre las tres tiendas? 2.19 Un sistema de tuberías de agua enlaza a tres puntos A, B, C como muestra la figura. El agua fluye en la dirección que indican las flechas y el flujo se da en litros por minuto. El tamaño de las tuberías impone restricciones a los flujos. Así r 1 ≤ 700, r 2 ≤ 300, r 3 ≤ 600 y r 4 ≤ 400. Calcule las condiciones que deben satisfacer los flujos r 1 , r 2 , r 3 y r 4 si no hay fugas, es decir, si en cada punto la cantidad de agua que llega es igual a la que sale. Describa los valores de los flujos si (a) r 3 = 300, (b) r 1 = 50, (c) r 2 = 100. 100 r1 r4 B A r3 r2 300 C 2.20 Hace diez años, tres grupos indígenas han sido estudiados con fines económicos y de influencia en la Comunidad, considerando una población inicial total de 2000. Se calcula que el grupo I 27 se duplicó, el grupo II se incrementó en 50% y el grupo III se extinguió. Si el incremento de la población del grupo I fue igual al del grupo II y si la población total se incrementó en 500, ¿cuál fue la población inicial de cada grupo? 2.21 En cada uno de los siguientes diagramas se representa un sistema de calles. Las flechas indican el sentido y los números y variables la cantidad de vehículos que transitan por hora en la calle respectiva. Suponga que el número de vehículos que entran a un cruce es igual al número de vehículos que salen del mismo cruce. En cada caso diga cuáles son los valores posibles para x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ; cuál el valor mínimo de x 1 y cuál el de x 3 . a) 28 b) c) 29 d) e) 30 f) 2.22 Un turista que fue a Europa gastó $30 al día por hospedaje en Inglaterra, $20 al día en Francia y $20 al día en España. En cuanto a alimentos, el turista gastó $20 diarios en Inglaterra, $30 diarios en Francia y $20 diarios en España. Además, por conceptos varios el turista gastó $10 diarios en cada uno de los países mencionados. A su regreso, el registro de gastos del viajero indicaba un total de $340 por hospedaje, $320 por alimentos y $140 por gastos varios. Calcule el número de días que el viajero estuvo en cada uno de los tres países o bien muestre que el registro es incorrecto ya que las cantidades gastadas son incompatibles unas con otras. 2.23 Un espía sabe que en cierto aeropuerto secreto hay estacionados 60 aviones, entre cazas y bombarderos. El espía desea determinar cuántos de los 60 aviones son cazas y cuántos son bombarderos. Hay un tipo de cohete que es transportado por ambas clases de aviones; el caza porta seis de estos cohetes y el bombardero sólo dos. El agente sabe que con 250 cohetes quedan pertrechados por completo todos los aviones que se hallan en el aeropuerto. Además, se entera de que en esa base el número de aviones caza es el doble del número de bombarderos. Calcule el número de aviones caza y bombarderos que hay en el aeropuerto o bien muestre que la información del agente debe ser incorrecta, ya que es inconsistente. 2.24 Tres empresarios cultivan hortalizas . El empresario A cultiva jitomates, B cultiva maíz y 31 C lechugas. Los tres se ponen de acuerdo para repartir la cosecha entre ellos de la siguiente forma: A se quedará con la mitad de sus jitomates y recibirá 1/3 de la cosecha de maíz y 1/4 de la cosecha de lechuga. B recibirá 1/3 de la cosecha de jitomate, 1/3 de la de maíz y 1/4 de la lechuga. C 1/6 de la de jitomate, 1/3 de la de maíz y se quedará con la mitad de su cosecha de lechuga. ¿Qué valor deberán asignar a las respectivas cosechas si se debe satisfacer la condición de equilibrio de una economía cerrada y si la cosecha de menor valor debe venderse a $100? 2.25 Tres Divisiones en una Industria, Finanzas, Recursos Humanos y Logística trabajarán conjuntamente para desarrollar un proyecto realizando distintas innovaciones cada uno para lograr el objetivo. Deciden trabajar en total 10 días cada uno de acuerdo al siguiente programa: En el departamento de Días de trabajo efectuados por el departamento de Finanzas R. Humanos Logística Finanzas 2 1 6 R. Humanos 4 5 1 Logística 4 4 3 Por los impuestos, tienen que reportar y pagarse entre sí, un salario diario , incluyendo el trabajo que cada una hace en su propia División. Su salario normal diario está comprendido en el intervalo de $60 a $80, pero acuerdan ajustar sus percepciones de forma que ninguna tenga ventaja, es decir de forma que la cantidad total pagada por cada una sea igual a la cantidad total que reciba cada una. ¿Cuánto deben ganar diariamente las Divisiones de Finanzas, Recursos Humanos y Logística? 2.26 Una ciudad tiene, principalmente, tres industrias: una mina de carbón, una planta generadora de energía eléctrica y un ferrocarril local. Para producir $1.00 de carbón mineral, la mina tiene que comprar $0.20 de energía eléctrica para accionar sus equipos y paga $0.25 de transporte para cubrir sus necesidades de embarque. Para producir $1.00 de energía eléctrica, la planta generadora requiere de $0.65 de carbón como combustible, de $0.10 de su propia energía eléctrica para accionar 32 sus equipos auxiliares y $0.25 de transporte. Para proporcionar $ 1.00 de transporte, el ferrocarril requiere de $0.70 de carbón mineral como combustible y de $0.10 de energía eléctrica para su equipo auxiliar. En una semana, la mina recibe pedidos por $33,000 de carbón provenientes de consumidores externos y la planta generadora recibe también de consumidores externos pedidos por $17, 000 de energía eléctrica. El ferrocarril es la única industria que no tiene ninguna demanda externa. ¿Cuál debe ser la producción de las tres industrias, en esa semana, para satisfacer exactamente su demanda y la externa? 2.27 Cada uno de los siguientes tres ingenieros tiene un despacho de asesorías: IC (civil), IE (electricista) e IM (mecánico). En estos despachos se atienden varias disciplinas, por lo cual cada ingeniero puede recurrir a los servicios de los otros dos. Por cada $1.00 de asesoría que presta IC, éste paga $0.10 de asesoría a IE y $0.20 a IM. IE no requiere los servicios de sus dos colegas. Por cada $1.00 de asesoría que vende IM, éste paga $0.10 por los servicios de IC y $0.50 por los de IE. En una determinada semana, IC no recibe a ningún cliente externo, mientras que IE e IM reciben solicitudes de asesoría externa por $90 y $980, respectivamente. En esa semana, ¿cuánto ganará cada ingeniero en total por sus servicios de asesoría? 2.28 Las siguientes tablas de insumo-producto representan economías hipotéticas con dos industrias. Las cantidades están dadas en millones de pesos al año. En cada caso i. ii. iii. iv. a) Complete la tabla de ser necesario. Calcule las matrices de tecnología y de Leontief. Calcule la producción total de A y B que se necesita para satisfacer la demanda indicada. Escriba la tabla de insumo-producto que corresponde a la demanda indicada. A B Demanda Final Producción Total A 20 30 30 80 B 20 20 20 60 A B Demanda Final Producción Total A 240 270 90 B 300 90 60 Nueva demanda final (90,30) b) Nueva demanda final (63,105) 33 c) A A 200 B 200 B Demanda Final Producción Total 300 800 200 600 Nueva demanda final (630,300) 2.29 En cada uno de los incisos siguientes escriba la solución general del sistema no homogéneo Ax = b como una solución particular de este sistema más la solución general del sistema homogéneo Ax = 0 (a) A= (b) A= (c) 1 −1 −3 3 b= 1 2 b= 3 4 A= 1 2 3 4 2 4 7 9 (e) A= b= 0 −1 0 3 −6 0 2 0 4 0 1 A= 1 2 −1 3 −1 −2 5 −13 2 1 1 1 1 2 −4 3 b= 2 −4 2 −1 5 −3 f) 1 0 b= 2 A= −6 0 −3 −6 −9 −12 (d) 2 −9 b= 3 4 −1 8 −3 13 −7 34 Ejercicios de Repaso 2.30 Productos Unidos, S.A. fabrica calculadoras y tiene plantas en las ciudades de Exton y Whyton. En la planta de Exton los costos fijos son de $7000 por mes, y el costo de producir cada calculadora es de $7.50. En la planta de Whyton los costos fijos son de $8800 por mes, y cada calculadora cuesta $6 producirla. Si el mes siguiente, Productos Unidos debe producir 1500 calculadoras, ¿cuántas debe producir cada planta si el costo total en cada una debe ser el mismo? 2.31 Una compañía paga a sus trabajadores calificados $15 por hora en su departamento de ensamblado. Los trabajadores semicalificados en ese departamento ganan $9 por hora. A los empleados de envíos se les paga $10 por hora. A causa de un incremento en los pedidos, la compañía necesita contratar un total de 70 trabajadores en los departamentos de ensamblado y envíos. Pagará un total de $760 por hora a estos empleados. A causa de un contrato con el sindicato, deben emplearse el doble de trabajadores semicalificados que de trabajadores calificados. ¿Cuántos trabajadores semicalificados, calificados y empleados de envíos debe contratar la compañía? 2.32 Una compañía paga a sus agentes de ventas con base en un porcentaje de los primeros $100,000 en ventas, más otro porcentaje sobre cualquier cantidad que rebase esos $100,000. Si un agente recibió $8,500 por ventas de $175,000, y otro, recibió $14,800 por ventas de $280,000, encuentre los dos porcentajes. 2.33 Si las ecuaciones de oferta y demanda de cierto producto son 125p − q − 250 = 0 y 100p + q − 1100 = 0, respectivamente, encuentre el precio de equilibrio. 2.34 Una compañía de inversiones vende tres tipos de fondos de inversión, estándar (E), de lujo (D) y Gold Star (G). Cada unidad de E tiene 12 acciones tipo A, 16 de tipo B y 8 tipo C. Cada unidad de D tiene 20 acciones tipo A, 12 tipo B y 28 de C. Cada unidad de G tiene 32 acciones tipo A, 28 tipo B y 36 de C. Suponga que un inversionista desea comprar exactamente 220 acciones tipo A, 176 tipo B y 264 tipo C, comprando unidades de los tres fondos. a. Determine las combinaciones de unidades E, D y G que satisfagan los requerimientos del inversionista. b. Suponga que cada unidad de E cuesta al inversionista $300 (las de D y G, $400 y $600 respectivamente). ¿Cuáles de las combinaciones de la parte (a) minimizarán el costo total del inversionista? 2.35 Un grupo de inversionistas decide invertir $500,000 en las acciones de tres compañías. La compañía D vende en $60 una acción y tiene un rendimiento esperado de 16% anual. La compañía E vende en $80 cada acción y tiene un rendimiento esperado de 12% anual. La compañía F vende cada acción en $30 y tiene un rendimiento esperado de 9% anual. El grupo planea comprar cuatro veces más acciones de la compañía F que de la compañía E. Si la meta del grupo es 13.68% de rendimiento anual, ¿cuántas acciones de cada compañía deben comprar los inversionistas? 35 2.36 Dada la siguiente matriz de insumo -producto: Industria Educación Gobierno Demanda Final Educación 200 500 500 Gobierno 400 200 900 Otros 600 800 Industria Encuentre la matriz de producción, si la demanda final cambia a 600 para Educación y 805 para Gobierno. Encuentre el valor total de los otros costos de producción que esto implica. 2.37 Dada la matriz de insumo-producto Industria Industria Gobierno Agricultura Manufactura Demanda Final Gobierno 400 200 200 200 Agricultura 200 400 100 300 Manufactura 200 100 300 400 Otros 200 300 400 con entradas en miles de millones de dólares, determine la matriz de producción para la economía, si la demanda final cambia a 300 para Gobierno, 350 para Agricultura y 450 para Manufactura. Redondee las entradas al entero de miles de millones de dólares más cercano. 36 SOLUCIONES 2.1 a) x+y = 0 x+y = 1 b) x+y = 0 x−y = 0 Estas rectas se intersectan en el origen. c) x+y = 0 2x + 2y = 0 2.2 a) x+y+z = 0 x+y+z = 1 x+y+z = 2 b) x=1 y=2 z=3 Estos tres planos se intersectan en el punto 1, 2, 3. c) x=0 y=0 x−y = 0 Estos tres planos son verticales y se intersectan en el eje Z. d) x+y+z = 0 2x + 2y + 2z = 0 3x + 3y + 3z = 0 37 2.3 a) El sistema no tiene solución porque las tres rectas no se intersectan simultáneamente en ningún punto. b) El nuevo sistema tiene solución única: x = 1, y = 2. 2.4 a) c) e) Sí No Sí b) d) f) No No No 2.5 En el inciso (i) indicamos la matriz aumentada pedida. En el inciso (ii) damos una matriz aumentada en forma escalonada. Esta matriz la obtuvimos de la matriz en (i) aplicando el metodo de eliminación gaussiana. El estudiante debe observar que esta matriz no es única. Es posible llegar a 38 diferentes matrices en forma escalonada partiendo de una misma matriz. a) i. 2 4 ∣ 6 1 2 ∣ ii. 3 6 ∣ 5 3 0 0 ∣ −4 Como hay una inconsistencia el sistema no tiene solución. b) i. 2 −4 ∣ 6 −4 6 1 −2 ∣ ii. ∣ 2 0 1 3 ∣ −7 El sistema sí tiene solución. iii. El sistema no tiene grados de libertad y tiene dos pivotes. La solución es única: x = −11, y = −7 ∣ 6 2 −2 ∣ 4 1 c) i. 4 3 4 1 3 ∣ 6 ii. 0 1 ∣ 1 ∣ −8 0 0 ∣ 3 Como hay una inconsistencia el sistema no tiene solución. d) i. 1 5 11 ∣ −5 2 3 −1 2 ∣ 8 1 5 11 ∣ −5 ii. 4 3 ∣ −9 0 1 2 ∣ −2 0 0 0 ∣ 0 El sistema sí tiene solución. iii. paramétrica El sistema tiene un grado de libertad y dos pivotes. La solución general es: en forma x = 5 − t, y = −2 − 2t, z = t o en forma vectorial paramétrica x, y, z = 5, −2, 0 + t−1, −2, 1 e) i. 3 1 4 ∣ 6 4 5 ∣ 11 5 ii. −3 1 −6 ∣ −4 iii. f) i. ∣ 5/3 1 1/3 4/3 0 1 −3/2 ∣ 1/2 0 0 1 ∣ 0 El sistema no tiene grados de libertad y tiene tres pivotes. La solución es única: x = 3/2, y = 1/2, z = 0 1 2 3 0 ∣ 0 0 1 2 ∣ −1 2 4 4 −4 ∣ 1 2 3 0 ∣ 3 ii. 0 0 1 2 ∣ −1 0 0 0 0 ∣ 8 3 0 El sistema sí tiene solución. iii. El sistema tiene dos grados de libertad y dos pivotes. La solución general es: en forma 39 paramétrica w = 6 − 2t + 6s, x = t, y = −1 − 2s, z = s o en forma vectorial paramétrica w, x, y, z = 6, 0, −1, 0 + t−2, 1, 0, 0 + s6, 0, −2, 1 g) i. 2 −4 0 0 ∣ 1 −3 0 1 ∣ −4 1 0 −1 2 ∣ 3 −4 3 −1 ∣ −11 1 −2 0 10 4 ii. 0 ∣ 5 0 1 0 −1 ∣ 9 0 0 1 −4 ∣ 19 0 0 0 13 ∣ −101 El sistema sí tiene solución. iii. El sistema no tiene grados de libertad y tiene cuatro pivotes. La solución es única: w = 97/13, x = 16/13, y = −157/13, z = −101/13 h) i. 1 −2 1 −1 ∣ 2 −3 2 −3 ∣ −1 3 −5 3 −4 ∣ 3 −1 1 −1 2 ∣ 5 1 −2 1 −1 ∣ 4 ii. 4 0 1 0 −1 ∣ −9 0 0 0 0 ∣ 0 0 0 0 0 ∣ 0 El sistema sí tiene solución. iii. El sistema tiene dos pivotes y dos grados de libertad. La solución general es: en forma paramétrica. w = −14 + 3t − s, x = t − 9, y = s, z = t o en forma vectorial paramétrica w, x, y, z = −14, −9, 0, 0 + s−1, 0, 1, 0 + t3, 1, 0, 1 −1 −1 1 1 −1 1 −2 ∣ 0 3 3 −3 −3 4 ∣ 0 4 5 −5 −5 7 ∣ 0 2 i) i. 1 1 ∣ 0 ii. 1 −1 1 0 3 −3 −3 5 ∣ 0 0 0 0 0 0 ∣ 0 0 0 0 0 0 ∣ 0 1 −2 ∣ 0 El sistema sí tiene solución. iii. El sistema tiene dos pivotes y tres grados de libertad. La solución general es: en forma paramétrica x 1 = 13 t, x 2 = r + s − 53 t, x 3 = r, x 4 = s, x 5 = t o en forma vectorial paramétrica x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 = r0, 1, 1, 0, 0 + s0, 1, 0, 1, 0 + t1/3, −5/3, 0, 0, 1 2.6 La matriz aumentada del sistema es: 40 1 −2 1 ∣ 2 2 1 1 ∣ 4 0 5 −1 ∣ c 1 −2 1 ∣ 2 0 5 −1 ∣ 0 0 0 0 ∣ c Esto muestra que el sistema es inconsistente cuando c ≠ 0, y que es consistente cuando c = 0 2.7 La matriz aumentada del sistema es: 3 2 −4 ∣ a −4 1 −1 ∣ b 7 12 −22 ∣ c Después de aplicar el método de eliminación gaussiana llegamos a la matriz aumentada 3 2 −4 ∣ 0 11 −19 ∣ 0 0 0 a 4a + 3b ∣ −5a − 2b + c Vemos entonces que el sistema es consistente solamente cuando −5a − 2b + c = 0. En este caso el sistema tiene un grado de libertad y por lo tanto hay una infinidad de soluciones. 2.8 a) a ≠ 0, b ≠ 0 b) a = b = c = d = 0 o bien a = 0, b ≠ 0, c = −d o bien a ≠ 0, b = 0, c = d c) a = 0, c ≠ −d ó b = 0, c ≠ d 2.9 1) Planteamiento: x = número de faldas que hace el empleado por semana y = número de sacos que hace el empleado por semana 100x + x − 300y 3y = 41 = 2400 0 2) Solución del sistema: x = 12, y = 4 3) Interpretación de la solución: El empleado deberá hacer 12 faldas y 4 sacos por semana. 2.10 1) x = número de piezas sin hoyo que sella la máquina por semana y = número de piezas con hoyo que sella la máquina por semana x − 4y = 0 x/480 + y/200 = 40 2) 3) x = 12, 000 , y = 3, 000 La máquina sella por semana 12,000 piezas sin hoyo y 3,000 piezas con hoyo. 2.11 1) x i = número de bacterias tipo i que se mantienen en el tubo, i = 1, 2, 3 x 1 + x 2 + x 3 = 15000 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 30000 x 1 + 3x 2 + 5x 3 = 40000 2) El sistema de ecuaciones no tiene solución. 3) Los tres tipos de bacterias no pueden coexistir con las cantidades de alimento proporcionado. 2.12 1) x i = número de bacterias tipo i que se mantienen en el tubo, i = 1, 2, 3 x 1 + x 2 + x 3 = 20000 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 30000 x 1 + 3x 2 + 5x 3 = 40000 2) El sistema tiene un grado de libertad. La solución general es: x 1 = 10000 + t, x 2 = 10000 − 2t, x 3 = t 3) Los valores de las variables deben ser enteros mayores o iguales a cero, pues indican un número de bacterias. De esto se sigue que t debe ser un número entero en el intervalo 0 ≤ t ≤ 5000. Por lo tanto hay 5001 soluciones diferentes: si t es un número entero entre 0 y 5000 obtenemos la solución. x 1 = 10000 + t, x 2 = 10000 − 2t, x 3 = t 42 2.13 1) x i = número de peces de la especie i, i = 1, 2, 3 x 1 + 3x 2 + 2x 3 = 15000 x 1 + 4x 2 + x 3 = 10000 2x 1 + 5x 2 + 5x 3 = 35000 2) El sistema tiene un grado de libertad. La solución general es: x 1 = 30000 − 5t, x 2 = −5000 + t, x 3 = t 3) Como las variables indican un número de peces, los valores que tomen deben ser enteros mayores o iguales a cero. De esto se sigue que t debe ser un número entero en el intervalo 5000 ≤ t ≤ 6000. Por lo tanto hay 1,001 soluciones diferentes. Si t es un número entero entre 5000 y 6000, obtenemos la solución x 1 = 30000 − 5t, x 2 = −5000 + t, x 3 = t 2.14 1) x = número de camiones del tipo A y = número de camiones del tipo B z = número de camiones del tipo C 2x + y + z = 32 y + 2z = 10 2) El sistema tiene un grado de libertad. La solución general es: x = 11 + t/2, y = 10 − 2t, z = t 3) Como las variables indican un número de camiones, los valores que pueden tomar son enteros no negativos. Para que esto suceda t debe ser un entero par en el intervalo 0 ≤ t ≤ 5. Por lo tanto hay 3 soluciones: 11, 10, 0, 12, 6, 2 y 13, 2, 4 La más económica es la que utiliza menos camiones, es decir: 13 camiones tipo A, 2 camiones tipo B y 4 camiones tipo C. 2.15 1) x = número de kilos de nueces y = número de kilos de almendras z = número de kilos de cacahuates 4x − z = 0 x−y = 0 x + y + z = 20 43 2) El sistema no tiene grados de libertad. La única solución es: x = 10/3, y = 10/3, z = 40/3 3) Hay que adquirir 3 13 kilos de nuez, 3 13 kilos de almendra y 13 13 kilos de cacahuates. 2.16 1) x = número de horas al día dedicadas a estudiar y = número de horas al día dedicadas a jugar boliche z = número de horas al día dedicadas a otras actividades x + y + z = 16 20x + 120y + 40z = 600 2) El sistema tiene un grado de libertad. La solución es: x = 66 − 4 t, y = 14 − 1 t, z = t 5 5 5 5 3) Como las variables sólo pueden tomar valores mayores o iguales a cero, el parámetro t varía en el intervalo 0 ≤ t ≤ 14. Para cualquier número t en este intervalo el estudiante puede dividir su tiempo como sigue: 13. 2 −. 8t horas para estudiar, 2. 8 − . 2t horas para jugar boliche y t horas para otras actividades. 2.17 1) x = número de acciones de aviación que tiene el inversionista y = número de acciones de hoteles que tiene el inversionista z = número de acciones de alimentos que tiene el inversionista − x − 1. 5y +. 5z = −350 1. 5x −. 5y + z = 600 2) El sistema tiene un grado de libertad. La solución es: x = 4300 − 5 t, y = − 300 + 7 t, z = t 11 11 11 11 3) Como las variables deben tomar valores enteros mayores o iguales a cero, el parámetro t debe ser un número entero en el intervalo 43 ≤ t ≤ 860. Además t debe asegurar que 4300 − 115 t y 11 7 − 300 + 11 t sean números enteros. Utilizando elementos de Teoría de Números se puede ver que para 11 que esto suceda t debe ser de la forma 2 + 11k, con k entero. Como t está en el intervalo arriba mencionado, k debe satisfacer las desigualdades 43 ≤ 2 + 11k ≤ 860. Resolviendo estas desigualdades para k entero, obtenemos que 4 ≤ k ≤ 78. Así vemos que hay 75 soluciones diferentes. Por ejemplo, si k = 4, t = 46 y obtenemos la solución (370, 2, 46). Si k = 78, t = 860 y obtenemos la solución (0, 44 520, 860). En resumen: el sistema tiene más de una solución. Por lo tanto el corredor no posee información suficiente para calcular el número de acciones de la inversionista. Si ahora ella dice tener 200 acciones de alimentos, se sigue de la solución general que la inversionista tiene 300 acciones de aviación y 100 acciones de hoteles. OBSERVACION. En este curso no se espera que el estudiante sepa Teoría de Números. Hicimos un análisis detallado del problema para mostrar que es posible describir todas las soluciones enteras usando otro tipo de herramienta matemática. Del estudiante se espera sólo que se dé cuenta que hay más de una solución posible a los datos proporcionados por la inversionista. 2.18 1) x i = número de unidades de producción enviadas a la tienda i a la semana, i = 1, 2, 3 x1 − x2 − x3 = 0 x 2 − 1. 1x 3 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 42 2) El sistema no tiene grados de libertad. La única solución es x 1 = 21, x 2 = 11, x 3 = 10 3) La fábrica envía a la semana 21 unidades a la tienda 1, 11 unidades a la tienda 2, y 10 unidades a la tienda 3. 2.19 1) Las variables están definidas en el diagrama r 1 + r 2 = 100 r1 − r3 + r4 = 0 r 2 + r 3 = 300 2) El sistema tiene un grado de libertad. La solución general es: r 1 = −200 + t, r 2 = 300 − t, r 3 = t, r 4 = 200 con 200 ≤ t ≤ 300 3) i. ii. iii. Si r 3 = 300, entonces r 1 = 100, r 2 = 0, r 4 = 200 Si r 1 = 50, entonces r 2 = 50, r 3 = 250, r 4 = 200 Si r 2 = 100, entonces r 1 = 0, r 3 = 200, r 4 = 200 2.20 45 1) x i = número de personas del grupo indígena i hace 10 años, i = 1, 2, 3 x 1 + x 2 + x 3 = 2000 x 1 +. 5x 2 − x 3 = 500 x 1 −. 5x 2 = 0 2) El sistema no tiene grados de libertad. La única solución es: x 1 = 500, x 2 = 1000, x 3 = 500 3) La población inicial era la siguiente: 500 personas del grupo indígena I, 1000 del grupo indígena II y 500 del grupo indígena III. 2.21 Para cada inciso las variables están definidas en el diagrama correspondiente. a) 1) x 1 + x 2 = 600 x 2 + x 3 = 1100 x 3 − x 4 = 100 − x 1 + x 4 = 200 2) El sistema es inconsistente, no tiene solución. 3) No es posible que entren y salgan al sistema de calles las cantidades de vehículos indicadas. La razón es que la cantidad total de vehículos que entran al sistema de calles, en este caso 1200, es diferente de la cantidad total de vehículos que salen del sistema de calles, en este caso 1400. b) 1) x 1 − x 2 = 300 x 2 − x 3 = 50 x 3 − x 4 = −150 − x 1 + x 4 = −200 2) El sistema tiene un grado de libertad. La solución general es: x 1 = 200 + t, x 2 = −100 + t, x 3 = −150 + t, x 4 = t 3) Los valores de las variables sólo pueden ser números enteros mayores o iguales a cero. Esto impone la restricción t ≥ 150 en el parámetro. Así, los valores posibles para x 1 , x 2 , x 3 , x 4 son los indicados en (2) con la restricción t ≥ 150. En este caso hay solución porque el número de vehículos que entran al sistema de calles es igual al número de vehículos que salen del sistema. Este número es 1200. El valor mínimo para x 1 es 350 y el valor mínimo para x 3 es 0. Obsérvese que las variables pueden tomar valores arbitrariamente grandes. Esto se debe a que 46 falta un dato: el número máximo de vehículos que puede circular por cada calle. Con esta información obtendríamos restricciones adicionales en el parámetro t. c) 1) x 1 − x 2 = −150 x 2 − x 3 = −300 x 3 − x 4 = −100 − x 1 + x 4 = 50 2) 3) d) 1) El sistema es inconsistente. No tiene solución. Misma explicación que en (a). x 1 + x 2 = 300 x2 − x3 = 0 x 3 + x 4 = 300 − x1 + x4 = 0 2) El sistema tiene un grado de libertad. La solución general es: x 1 = t, x 2 = 300 − t, x 3 = 300 − t, x 4 = t 3) Los valores posibles que pueden tomar las variables son los indicados en (2) con la restricción adicional: t es un entero en el intervalo 0 ≤ t ≤ 300. El valor mínimo de x 1 es 0, y el valor mínimo de x 3 es 0. e) 1) x 1 + x 2 = 400 x 2 − x 3 = 50 x 3 + x 4 = 400 − x 1 + x 4 = −50 2) 3) f) 1) El sistema es inconsistente. No tiene solución. Misma explicación que en (a). x 1 − x 2 = −100 x 2 + x 3 = 400 x 3 + x 4 = 300 − x1 + x4 = 0 2) El sistema tiene un grado de libertad. La solución general es: 47 x 1 = t, x 2 = 100 + t, x 3 = 300 − t, x 4 = t 3) Los valores posibles que pueden tomar las variables son los indicados en (2) con la restricción adicional: t es un entero en el intervalo 0 ≤ t ≤ 300. El valor mínimo de x 1 es 0, y el valor mínimo de x 3 es 0. 2.22 1) x = número de días que estuvo en Inglaterra y = número de días que estuvo en Francia z = número de días que estuvo en España 30x + 20y + 20z = 340 20x + 30y + 20z = 320 10x + 10y + 10z = 140 2) El sistema no tiene grados de libertad. La única solución es: x = 6, y = 4, z = 4 3) El turista estuvo 6 día en Inglaterra, 4 días en Francia y 4 días en España. 2.23 1) x = número de aviones de caza y = número de bombarderos x + y = 60 6x + 2y = 250 x − 2y = 0 2) 3) El sistema es inconsistente. No tiene solución. La información del agente es incorrecta porque el sistema es inconsistente. 2.24 1) x = valor de la cosecha de jitomate y = valor de la cosecha de maíz z = valor de la cosecha de lechuga 1x− 2 1 − x+ 3 − 1x− 6 2) 1y− 3 2y− 3 1y+ 3 1z = 0 4 1z = 0 4 1z = 0 2 El sistema tiene un grado de libertad. La solución general es: 48 x = 9 t, y = 15 t, z = t 8 16 3) La cosecha de menor valor siempre será la de maíz. Por lo tanto t = de las cosechas será: jitomate $120, maíz $100, lechuga $106.67. 1600 15 . Entonces el valor 2.25 1) x = salario diario de la D. Finanzas y = salario diario de la D. Recursos Humanos z = salario diario de la D. Logística 8x − y − 6z = 0 − 4x + 5y − z = 0 − 4x − 4y + 7z = 0 2) El sistema tiene un grado de libertad. La solución general es: x = 31 t, y = 8 t, z = t 36 9 3) Como los valores de x, y y z deben estar comprendidos en el intervalo de 60 a 80, obtenemos que el parámetro debe estar en el intervalo 69. 68 ≤ t ≤ 80 . Para cualquier valor de t en este intervalo obtenemos, utilizando los valores dados en (2), una solución diferente al problema. 2.26 1) x = producción semanal en pesos de carbón mineral y = producción semanal en pesos de electricidad z = producción semanal en pesos de transporte x − 13 y − 7 z = 33000 10 20 9 1 − x+ y − 1 z = 17000 5 10 10 1 1 − x− y+z = 0 4 4 2) El sistema no tiene grados de libertad. La única solución es: x = 80, 000, y = 40, 000, z = 30, 000 3) La producción semanal de carbón mineral debe ser de $80,000, la de electricidad de $40,000, y la del ferrocarril de $30,000. 2.27 1) x = ingreso semanal, en pesos, del ingeniero civil y = ingreso semanal, en pesos, del ingeniero electricista 49 z = ingreso semanal, en pesos, del ingeniero mecánico x− 1 z = 0 10 1 − x + y − 1 z = 90 10 2 1 − x + z = 980 5 2) El sistema no tiene grados de libertad. La única solución es: x = 100, y = 600, z = 1000 3) El ingeniero civil gana semanalmente $100, el ingeniero electricista gana $600 y el ingeniero mecánico $1000. 2.28 a) i. La tabla está completa. ii. La matriz de tecnología es 1 4 1 4 3 4 − 14 La matriz de Leontief es 1 2 1 3 − 12 2 3 iii. La producción total de A y B para satisfacer la nueva demanda debe ser, respectivamente, 200 y 120. iv. A B Demanda Final Producción Total A 50 60 90 200 B 50 40 30 120 b) i. 50 ii. A B Demanda Final Producción Total A 240 270 90 600 B 300 90 60 450 2/5 3/5 La matriz de tecnología es 1/2 1/5 La matriz de Leontief es 3/5 −3/5 −1/2 4/5 iii. La producción total de A y B para satisfacer la nueva demanda debe ser, respectivamente, de 630 y 525 unidades. iv. A B Demanda Final Producción Total A 252 315 63 630 B 315 105 105 525 A B Demanda Final Producción Total A 200 300 300 800 B 200 200 200 600 c) i. ii. La matriz de tecnología es La matriz de Leontief es 51 1/4 1/2 1/4 1/3 3/4 −1/2 −1/4 2/3 iii. La producción total de A y B para satisfacer la nueva demanda debe ser, respectivamente, de 1520 y 1020 unidades. iv. A B Demanda Final Producción Total A 380 510 630 1520 B 380 540 300 1020 Comentario. El estudiante habrá observado que las matrices de tecnología de los incisos (a) y (c) son iguales. En ambos casos se trata de la misma economía, pero con diferentes niveles de producción. 2.29 (a) (b) (c) (d) (e) (f) x, y = 2, 0 + t1, 1 x, y = −1, 1 + t0, 0 w, x, y, z = −3, 0, 1, 0 + s−2, 1, 0, 0 + t−1, 0, −1, 1 w, x, y, z = 2/3, 0, 0, 0 + r0, 1, 0, 0 + s1/3, 0, 1, 0 + t0, 0, 0, 1 w, x, y, z = 3/2, 0, −1/2, 0 + s−2, 1, 0, 0 + t−1/2, 0, 5/2, 1 w, x, y, z = 1, 11, 0, 0 + s−3/2, 2, 1, 0 + t0, −3, 0, 1 2.30 800 calculadoras de la Planta Exton 700 calculadoras de la Planta Whyton 2.31 20 trabajadores calificados 40 trabajadores semicalificados 10 empleados de envíos 2.32 4% sobre los primeros $ 100,000 6% sobre el resto 2.33 precio = 6 2.34 a) Sean e,d, g el número de unidades de E,D y G respectivamente. e = 5−t d = 8−t g=t Las seis combinaciones están dadas por 52 e 5 4 3 2 1 0 d 8 7 6 5 4 3 g 0 1 2 3 4 5 b) La combinación e=0 d=3 g= 5 2.35 D: 5000 acciones 2.36 1290 1425 E: 1000 acciones ; 1405 1301 2.37; 1215 1188 53 F: 4000 acciones 3. 3.1 A= a) d) 3.2 Efectúe los cálculos indicados cuando 1 0 −3 0 2 2 3 0 B= 4 A+B 0B 4A A− C= y 1 0 2 b) e) 1 2 c) 3 2 B + 2C 0 1 0 −5 0 −2 A − 4C Efectúe los cálculos indicados cuando 1 A= ALGEBRA DE MATRICES 3 5 B= 2A + 4B − 3.3 Si A = y 0 C= −2 0 a) 0 1 5 C 4 7 3A − 2B + 2C b) 1 3 5 7 y 2 4 6 8 B= c) A − 52A + 1 4 C 1 0 3 0 0 2 0 4 Encuentre una matriz C tal que a) 3A + 2C = B b) 2A + B − 13 C = 0 Aquí 0 denota la matriz "cero" del tamaño correspondiente. 3.4 Un fabricante de joyería tiene pedidos por dos anillos, tres pares de aretes, cinco prendedores y un collar. El fabricante estima que requiere 1 hora de trabajo el elaborar un anillo, 1 12 horas el hacer un par de aretes, 12 hora hacer un prendedor y 2 horas la elaboración de un collar. a) Exprese las órdenes de trabajo o pedidos como una matriz 1 x 4. b) Exprese los tiempos de elaboración de los diversos productos como una matriz 4 x 1. c) Utilice el producto de matrices para determinar el número total de horas que se requerirán para surtir los pedidos. 3.5 Una compañía les paga a sus ejecutivos su sueldo y les concede participación en las acciones como gratificación anual. El año pasado, el presidente recibió 80,000 unidades monetarias (u.m.) y 50 acciones, cada uno de los tres vicepresidentes recibió 45,000 u.m. y 20 acciones, y el tesorero, 40,000 u.m. y 10 acciones. a) Exprese los pagos en dinero y en acciones por medio de una matriz de 2x3. b) Exprese el número de ejecutivos de cada categoría por un vector columna. c) Utilice la multiplicación de matrices para calcular la cantidad total de dinero y de acciones 54 que erogó la compañía en el pago a sus funcionarios principales el último año. 3.6 Si A = 1 0 −5 2 B= y 0 3 −4 2 , 7 Calcule AB, A2B, 2AB y 2AB. 3.7 a) b) c) d) e) f) 3.8 Construya ejemplos de matrices de 2 x 2 tales que AB ≠ BA A 2 = −1 B2 = 0 y B ≠ 0 CD = −DC y CD ≠ 0 EF = 0 y ninguna entrada de E o de F es cero 1 0 0 0 B= 1 0 C ; pero B ≠ C 0 0 ¿Cuáles de las siguientes matrices son con seguridad iguales a A + B 2 ? B + A 2 , A 2 + 2AB + B 2 , AA + B + BA + B, A + BB + A, A 2 + AB + BA + B 2 3.9 a) d) 3.10 Calcule todas las potencias A 2 , A 3 ,..., A n de las siguientes matrices. A= A= 1/2 1/2 1/2 1/2 1 A= b) 0 0 −1 A= c) 0 1 0 1 1 A= e) 1 1 0 0 1 1 0 0 Encuentre una matriz w x y z 2 1 w x 5 3 y z 1/2 −1/2 1/2 −1/2 0 1 0 f) A= 0 0 1 0 0 0 tal que = 1 0 0 1 Sugerencia: plantee un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas y resuélvalo. 55 3.11 a) Dé la representación matricial de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. x−y = 3 x+y = 7 b) 3x + 2y − z = 5 y+z = 0 2x + 7z = −3 c) 2x − y + z = 3 − w − 3y + 4z = 2/7 3.12 a) b) c) Verifique que a b x c d y a b c d e f =x a =x a x y z a b c x d e f y g h i z c d +y b +y b d +z e a =x d c f b +y e g h c +z f i 3.13 Calcule las matrices transpuestas de las siguientes matrices. ¿Cuáles de ellas son simétricas? 1 a) −2 b) 3 d) 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2 3 c) 4 5 6 7 8 9 1 2 3 e) 2 4 5 3 5 6 56 f) 0 1 0 3.14 Si A = 3 1 2 yB = , calcule A T B, B T A, AB T , BA T 2 3.15 ¿Cuáles de las siguientes matrices son triangulares superiores, triangulares inferiores, diagonales? a) 1 0 0 1 2 b) 2 3 c) 0 2 0 0 0 3 1 0 1 d) 1 2 3 0 0 0 0 0 4 0 0 0 e) 0 3 0 0 0 0 2 4 0 1 0 0 3.16 Decida si las siguientes matrices son invertibles. En caso afirmativo calcule la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan. a) d) 3 2 1 2 2 1 b) 0 −3 0 0 3 2 1 2 3 e) 2 −1 11 h) k) 3.17 1 5 0 3 2 13 0 5 2 −1 4 −1 0 5 1 2 0 i) 0 3 1 1 2 5 1 0 0 0 1/4 1 0 0 1 0 1/3 1/3 4 0 5 3 8 19 −7 3 0 1 2 2 0 1 0 4 1 f) 1 2 4 0 0 5 j) c) −2 −6 2 0 1 g) 3 1/2 1/2 1/2 1 ¿Bajo qué condición es la matriz exista. 57 1 b c d invertible? Calcule la matriz inversa cuando 3.18 Invierta la matriz de Hilbert 1 A= 1 2 1 3 1 2 1 3 1 4 1 3 1 4 1 5 usando el método de Gauss-Jordan. Trabaje con quebrados. 3.19 Redondee las entradas de la matriz de Hilbert (a) a 2 decimales, (b) a 3 decimales, (c) a 5 decimales. En cada caso invierta la matriz obtenida usando calculadora y compare los resultados con el ejercico anterior. 3.20 a) b) c) d) Sea A una matriz cuadrada nxn invertible. Demuestre: Si B es una matriz nxm y AB = 0, entonces B = 0. Si B y C son matrices nxm y AB = AC, entonces B = C. A T es invertible y A T −1 = A −1 T . Si A es simétrica, entonces A −1 es simétrica. a 0 0 3.21 ¿Bajo qué condiciones es la matriz diagonal 0 b 0 invertible? 0 0 c Calcule la inversa cuando ésta exista. Formule un resultado análogo para matrices diagonales nxn. 3.22 a) Calcule las matrices de incidencia asociadas a las siguientes gráficas: 58 b) c) d) e) 59 f) 3.23 Calcule las gráficas asociadas a las siguientes matrices: 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 a) 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 b) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 c) 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 d) 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 3.24 Use las potencias de la matriz de incidencia calculada en el ejercicio 3.22c para determinar el número de caminos de 1 a 4 de longitudes dos, tres y cuatro. 3.25 ¿Cuántas gráficas dirigidas con n vértices hay? ¿Cuántas gráficas dirigidas, sin lazos, con n vértices hay? 3.26 ¿Qué se puede decir de la gráfica asociada a una matriz de incidencia simétrica? 60 Ejercicios de Repaso 3.27 Sean A = 1 −6 2 −4 2 1 2 3 ,B = 1 E= 0 0 2 0 ,C = 4 5 6 2 2 7 8 9 1 2 3 4 0 1 6 0 1 1 6 2 ,G = 1 6 2 ,H = 6 0 0 0 1 0 0 6 1 , 2 3 3 3 5 ,F = 1 0 ,D = ,J = 4 , 0 0 0 a. Establezca el orden de cada matriz. d. ¿Cuáles son vectores renglón? b. ¿Cuáles matrices son cuadradas? e. ¿Cuáles son vectores columna? c. ¿Cuáles matrices son triangulares superiores? ¿Triangulares inferiores? 3.28 Considere la siguiente matriz A= = a ij a) ¿Cuál es el orden de A? b) Determine las entradas siguientes. a 43 a 12 a 32 a 34 7 −2 14 6 6 2 3 −2 5 4 1 0 8 0 2 0 a 44 c) ¿Cuáles son las entradas de la diagonal principal? 3.29 La compañía Widget tiene sus reportes de ventas mensuales dados por medio de matrices cuyos renglones, en orden, representan el número de modelos regular, de lujo y de extra lujo vendidos, mientras que las columnas dan el número de unidades rojas, blancas, azules y púrpuras vendidas. Las matrices para enero (E) y febrero (F) son 2 6 1 2 E= 0 2 8 4 , F= 0 1 3 5 2 7 9 0 2 3 3 2 . 4 0 2 6 (a) En enero, ¿cuántas unidades de los modelos de extra lujo blancos se vendieron? (b) En febrero, ¿cuántos modelos de lujo azules se vendieron? 61 (c) ¿En qué mes se vendieron más modelos regulares púrpuras? (d) ¿De qué modelo y color se vendió el mismo número de unidades en ambos meses? (e) ¿En qué mes se vendieron más modelos de lujo? (f) ¿En qué mes se vendieron más artículos rojos? (g) ¿Cuántos artículos se vendieron en enero? 3.30 Encuentre todos los valores de x para los cuales x 2 + 2000x x2 x2 lne x = 2001 −x 2001 − 2000x x 3.31 Realizar las operaciones indicadas. a) b) 2 0 −3 −1 4 0 1 −6 5 1 4 c) 3 e) − 9 1 2 + 3 4 2 −6 7 −6 7 f) 4 −1 6 5 9 11 −2 2 1 0 −6 1 4 −0 −2 7 4 7 2 1 6 −2 1 −4 2 7 +2 1 −3 1 d) −3 6 −1 −2 7 6 + 2 0 0 6 −2 −4 0 10 9 0 3 + 1 3 0 3 0 3 9 9 3.32 Calcule las matrices requeridas si A= 2 1 3 −3 , B= −6 −5 2 62 −3 , C= −2 −1 −3 3 , O= 0 0 0 0 . a) e) −B b) 2O c) 2B − 3A + 2C f) 2A − 2B d) 3A − C + 6 A − 2B + 2C 1 2 Exprese la ecuación matricial 3.33 x 2 1 −y −3 5 =2 8 11 como un sistema de ecuaciones lineales y resuélvalo. 3.34 Resuelva las ecuaciones matriciales a) x 3 y −3 −2 4 2 b). 4 =4 6 y −2 −10 x +2 6 = −24 4z 14 3.35 Una compañía de artículos electrónicos fabrica televisores, VCR y reproductores de CD en dos plantas A y B. La matriz X representa la producción de las dos plantas para el minorista X, y la matriz Y representa la producción de las dos plantas para el minorista Y. Escriba una matriz que represente la producción total en las dos plantas para ambos minoristas. Las matrices X y Y son como sigue: A B TV A B 20 40 X= VCR CD TV ; 45 30 Y = VCR 15 10 CD 15 25 30 25 10 5 3.36 En los problemas siguientes realice las operaciones indicadas. a) 2 −4 4 3 −1 3 2 0 b) 63 2 0 3 −1 4 5 1 4 7 c) d) 1 4 −1 2 0 0 2 0 −1 1 −2 1 1 1 f) 3 g) h) i) 0 3 −1 1 0 1 2 3 1 −1 2 0 4 3 1 −1 3 1 −2 −1 2 3 −2 1 2 1 2 0 3 4 1 0 −2 0 1 0 y 1 0 0 z 2 3 −2 3 −4 1 1 2 2 3 4 1 −2 5 6 1 −2 1 2 x 3 e) −1 0 +2 0 0 1 2 1 2 1 3 0 x1 2 1 3 x2 4 9 7 x3 3.37 En los problemas siguientes calcule las matrices requeridas si 1 −2 A= 0 B= 3 −2 3 1 −4 1 3 0 0 E= 0 6 0 F= 0 0 3 a) DI − 1 3 E b)3A − 2BC C= 1 3 0 0 0 1 6 0 0 0 1 3 c) 2I − 64 −1 1 0 1 2 EF 0 3 2 4 1 0 0 I= 0 1 0 0 0 1 d) DCA 1 0 0 D= 0 1 1 1 2 1 3.38 Un agente de bolsa vendió a un cliente 200 acciones tipo A, 300 tipo B, 500 tipo C y 250 tipo D. Los precios por acción de A, B, C y D son $100, $150, $200 y $300, respectivamente. Escriba un vector renglón que represente el número de acciones compradas de cada tipo. Escriba un vector columna que represente el precio por acción de cada tipo. Utilizando la multiplicación de matrices encuentre el costo total de las acciones. 65 SOLUCIONES 3.1 a) c) 3 3 −3 1 2 6 1/2 −4 −3/2 20 1 0 8 16 0 0 0 d) 10 −2 e) 4 0 −12 b) 0 0 0 −5/2 −3 −23/2 −3 2 3.2 −27 22 a) b) 26/5 −9 c) 17 −47/5 −32 −35/4 26 3.3 a) −1 −9/2 −6 −21/2 −3 −5 −9 12 18 48 42 b) −10 12 36 36 72 3.4 1 a) A= b) 2 3 5 1 B= 1. 5 c) .5 2 3.5 a) c) A= AB = 80000 45000 40000 50 20 10 255000 120 66 1 b) B= 3 1 AB = 11 3.6 a) AB = 9 A2B = 2AB = 2AB = b) −22 18 −44 3.7 a) 1 2 Sean A = 0 3 3 Entonces AB = b) Sea A = c) Sea B = d) Sean C = 1 2 4 2 −1 0 3 Sean E = f) Sean B = Entonces 3.8 4 6 1 2 3 4 1 0 0 0 2 16 −1 2 −2 1 y CD = −DC 3 0 2 3 −1 −2 Entonces B ≠ 0 y B 2 = 0 yD = 1 −2 4 Entonces A 2 = −1 . −1 −2 2 y BA = . −1 0 Entonces CD = e) 8 6 12 0 −1 0 yB = yF = yC = B= 1 0 0 0 −3 3 2 −2 Entonces EF = 0 1 2 5 6 CyB ≠ C Las siguientes matrices son siempre iguales a A + B 2 : B + A 2 , AA + B + BA + B, A + BB + A, A 2 + AB + BA + B 2 . La matriz A 2 + 2AB + B 2 puede ser distinta de A + B 2 67 3.9 a) An = b) An = c) An = 1/2 1/2 1/2 1/2 1 0 0 1 0 0 0 0 ,n ≥ 1 si n es par; ,n ≥ 2 An = 1 0 si n es impar. 0 −1 2 n−1 2 n−1 A n = 2A n−1 = d) 2 n−1 2 n−1 ,n ≥ 2 0 0 1 e) A2 = 1 0 0 , A 3 = I, A 4 = A 0 1 0 Si n ≥ 1 sea r el residuo que se obtiene al dividir n entre 3, r = 0, 1, 2. Entonces A n es igual a: I si r = 0, A si r = 1, A 2 si r = 2. 0 0 1 f) 2 A = 0 0 0 , A n = 0 si n ≥ 3. 0 0 0 3.10 Se obtiene el sistema de ecuaciones: 2w + y = 1 2x + z = 0 5w + 3y = 0 5x + 3z = 1 El sistema tiene solución única. La matriz buscada es: w x y z 3.11 68 = 3 −1 −5 2 a) 1 −1 x 1 y 1 3 = b) 7 3 2 −1 x 0 1 1 y 2 0 7 z 5 = 0 −3 x c) 2 −1 1 0 y 0 −3 4 −1 z = 3 2 7 w 3.12 a) En cada inciso desarrollamos ambos lados de la igualdad obteniendo la misma matriz: ax + by ax + by + cz b) cx + dy dx + ey + fz ax + by + cz c) 3.13 1 a) T −2 = 1 −2 3 3 b) = 1 1 1 T 1 4 7 = 4 5 6 7 8 9 d) 1 2 2 3 1 2 3 e) 2 4 5 3 5 6 1 1 1 1 1 2 3 c) 1 1 T 1 1 1 2 5 8 No es simétrica. 3 6 9 T 1 2 = Sí es simétrica. 2 3 T 1 2 3 = 2 4 5 3 5 6 69 Sí es simétrica. dx + ey + fz gx + hy + iz f) T 0 1 0 0 = 1 0 3.14 ATB = 3 1 BTA = 2 2 AB T = BA T = 2 2 3 1 3 1 2 2 = 8 = 8 2 2 = 3 1 = 3.15 a) No es nada. c) Triangular superior. e) Triangular inferior. 3.16 Sí. A −1 = c) Sí. A −1 = 6 2 6 2 b) d) Sí. A −1 = 1/2 −1/2 −1/4 3/4 1/3 −8/15 0 Sí. A −1 = 1/5 0 1 −2 2 −2 1 −1 1 0 1/2 g) 2 2 Diagonal. No es nada. Una matriz cuadrada es invertible si el número de pivotes es igual al número de columnas. a) e) 6 6 0 0 0 No d) No f) No h) No −1/10 1/3 −2/15 0 b) 1/5 70 i) Sí. A −1 = 13/15 −2/3 2/15 1/15 1/3 −1/15 −1/5 0 1/5 5/6 j) A −1 = Sí. 1/4 −1/12 1/6 −2/3 k) Sí. A −1 = −1/6 0 0 1/3 1 0 0 0 −1/4 1 0 0 1 0 −1/4 −1/3 −1/4 −1/3 −1/2 1 3.17 1 b Llevamos la matriz A = a la forma escalonada U. Para esto restamos al c d segundo renglón c veces el primero. Obtenemos la matriz U = 1 b . Sabemos que A es 0 d − bc invertible si y sólo si U tiene dos pivotes, es decir, si y sólo si d − bc ≠ 0 o equivalentemente d ≠ bc, d −b 1 en cuyo caso A −1 = d−bc −c 1 3.18 A −1 = 9 −36 30 −36 192 −180 30 −180 180 3.19 1 a) A= . 5 . 33 . 5 . 33 . 25 . 33 . 25 1 b) A= A .2 .5 −1 = 55. 5556 −277. 778 255. 556 −277. 778 1446. 03 −1349. 21 255. 556 −1349. 21 1269. 84 . 333 .5 . 333 . 25 . 333 . 25 .2 A 71 −1 = 9. 67066 −39. 5082 33. 2836 −39. 5082 210. 186 −196. 951 33. 2836 −196. 951 195. 772 1 c) A= .5 . 33333 .5 . 33333 . 25 . 33333 . 25 .2 A −1 = 9. 06174 −36. 3232 30. 3026 −36. 3232 193. 675 −181. 562 30. 3026 −181. 562 181. 453 3.20 a) Suponemos AB = 0. Como A es invertible podemos multiplicar por A −1 ambos lados de la igualdad. Así obtenemos la cadena de igualdades B = IB = A −1 AB = A −1 AB = A −1 0 = 0 b) Suponemos AB = AC. Como A es invertible podemos multiplicar por A −1 ambos lados de la igualdad. Así obtenemos la cadena de igualdades B = IB = A −1 AB = A −1 AB = A −1 AC = A −1 AC = IC = C c) Para ver que A T es invertible y que A T −1 = A −1 T basta probar que A T A −1 T = I = A −1 T A T Esto se sigue de las igualdades: A T A −1 T = A −1 A T = I T = I = I T = AA −1 T = A −1 T A T d) Utilizando que A = A T del inciso anterior obtenemos que A −1 = A T −1 = A −1 T Por lo tanto A −1 es simétrica. a 0 0 3.21 La matriz 0 b 0 es invertible si y sólo si a ≠ 0, b ≠ 0 y c ≠ 0. 0 0 c En general una matriz diagonal de tamaño nxn es invertible si y sólo si todos los elementos de la diagonal son distintos de cero. 3.22 a) 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 b) 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 72 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 c) 1 1 1 d) 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 e) 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 f) 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 3.23 a) b) 73 c) d) 0 0 2 3 0 0 0 0 1 0 3.24 2 A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 Hay tres caminos de longitud dos de 1 a 4. 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 3 A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Hay dos caminos de longitud tres de 1 a 4. A 4 = 0. No hay caminos de longitud cuatro de 1 a 4. 74 Hay 2 3.25 vértices. n2 gráficas dirigidas con n vértices, y hay 2 n 2 −n gráficas dirigidas, sin lazos, con n 3.26 Dados dos vértices distintos cualesquiera de la gráfica o no hay aristas entre ellos, o hay aristas en ambos sentidos. 3.27 a) A2 × 3 B3 × 3 C3 × 2 D2 × 2 E4 × 4 F1 × 2 G3 × 1 H3 × 3 I1 × 1 b) B, D, E, H, J c) H, J Triangulares Superiores D, J Triangulares Inferiores d) F, J Vectores Renglón e) G, J Vectores Columna 3.28 a) 4×4 b) 2, −2, 4, 0 c) 7, 2, 1, 0 3.29 a) 7 b) 3 c) d) Azul de lujo e) Febrero f) Febrero g) 38 -2001 3.30 4 3.31 a) −2 10 5 10 e) −3 1 5 −5 5 b) 3 −12 36 −42 −6 −42 −6 −36 12 3.32 a) 6 5 −2 3 b) O c) c) −9 5 5 f) −9 −7 11 d) No definida 9 5 −4 1 0 7 −2 −3 3 13 28 22 −2 75 6 d)No definida e) −22 −15 −11 9 f) 21 19 2 29 2 −15 2 y = −28 x= 146 ; 3.33 13 13 3.34 a) x = 6 y = 43 b) x = −6 y = −14 z=1 35 65 75 55 3.35 25 15 3.36 a) e) i) 12 −12 b) 10 6 4 6 −4 6 6 9 −6 9 −8 −12 8 −12 2 −2 3 3 c) 50 1 −4 2 2 2 d) 4 −6 16 10 −6 −3 −2 3 f) 78 84 −5 g) −21 −12 z −8 −5 −20 2x 1 + x 2 + 3x 3 4x 1 + 9x 2 + 7x 3 0 3.37 a) 0 0 0 −1 1 1 3.38 23 2 0 b) −1 −20 −2 23 240, 000 76 c) 3 2 0 0 0 3 2 0 0 0 3 2 d) −1 5 2 17 1 31 h) y x 4. DETERMINANTES 4.1 Calcule, utilizando las fórmulas para los casos 2x2 y 3x3, los determinantes de las siguientes matrices: 1 a) 2 −5 −10 d) 4−λ 2 1 −λ b) e) 8 1 5 1 c) 1 2 3 0 −2 −1 5 7 4 −8 9 2 −3 4 1 −5 −4 f) 2 0 2 3 7 10 1 2 3 g) 0 2 3 0 0 3 a b = 5 calcule, utilizando las propiedades de los determinantes, los c d determinantes de las siguientes matrices: Si det 4.2 c d a) a b 3a 3b d) 3c 3d b) 2a b 2c d −b 2a e) −d 2c a c) b a+c b+d f) a c b d 4.3 Si A es una matriz nxn y α es un escalar, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? ¿Por qué? a) detαA = α det A b) detαA = α n det A 4.4 En general, la manera más eficiente de calcular determinantes es utilizando eliminación gaussiana. Calcule los determinantes de las matrices dadas con este método: 77 a) c) −3 2 1 −1 2 −1 4 0 1 2 −2 0 2 3 −4 1 4 b) −1 −2 0 2 0 5 3 2 d) 1 4.5 4.6 ¿Cuál es el determinante de 2 2 0 1 −1 2 4 0 −3 5 6 1 4 0 3 0 5 −6 7 −3 0 1 5 3 13 −9 4 −1 −5 0 3 0 3 7 2 15 7 0 −2 π 187 0 0 3 e .01 0 0 0 ? −4 Compruebe, utilizando propiedades de determinantes, que 1 a a2 a) det 1 b b2 = b − ac − ac − b 1 c c2 1 a a2 a3 b) det 1 b b2 b3 1 c c2 c3 = b − ac − ad − ac − bd − bd − c 1 d d2 d3 4.7 Demuestre que hay un único polinomio de grado 2 que pasa por los puntos 1, 0, 2, 3, 3, −1 y calcule dicho polinomio. Siga los siguientes pasos: a) Sustituya cada uno de los tres puntos en la ecuación y = α + βx + γx 2 . Así obtendrá un sistema con tres ecuaciones con incógnitas α, β, γ b) Calcule el determinante de la matriz asociada al sistema utilizando el ejercicio 4.6(a). Concluya que el sistema tiene solución única. c) Resuelva el sistema y obtenga el polinomio buscado. 4.8 Busque dos matrices A y B, de tamaño 2x2, tales que detA + B ≠ det A + det B 78 4.9 Cuando una matriz cuadrada tiene bastantes ceros puede ser conveniente calcular su determinante usando desarrollo por menores. Utilice este método para calcular los determinantes de las matrices siguientes: 0 −5 −1 0 3 2 a) b) 15 1 − 2 2 4.10 a) 4 0 0 2 0 − 5 0 0 − 12 7 3 e5 2 −3 153 − 14 0 105 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando la regla de Cramer. 2x + 3y = 4 5x − 7y = 11 2x + y + z = 6 b) 3x − 2y − 3z = 5 8x + 2y + 5z = 11 Observe que para un sistema nxn esta fórmula requiere del cálculo de n + 1 determinantes, lo cual es engorroso y poco práctico para n ≥ 3. Sin embargo, para cuestiones teóricas esta fórmula resulta de mucha utilidad. De ahí su inclusión en este curso. 4.11 a) Calcule la inversa de cada una de las siguientes matrices usando la matriz adjunta: 3 4 1 2 a b b) c d c) 1 3 −5 2 8 −7 −3 −8 17 Observe que este método es, para matrices nxn con n ≥ 3, mucho más tardado que el de Gauss-Jordan. Sin embargo, al igual que la regla de Cramer, resulta útil en cuestiones teóricas. 4.12 Encuentre el área del paralelogramo determinado por los vectores 3, 1, 2, 3. 4.13 Encuentre el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores 1, −3, 2, 2, −8, 5, 5, −13, 7. 79 Ejercicios de Repaso 4.14 Sean las matrices A = 0 −2 1 1 10 2 4 −1 0 Cof A= −2 −4 −8 −14 2 a) Completar la matriz de Cofactores de A. b) Calcular las matrices Adjunta e Inversa de A. c) Utilizar la matriz A −1 para resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: − 2y + z = 0 x + 10y + 2z = 0 4x = 5 + z 4.15 Calcular el determinante de la siguiente matriz: A= 1 0 1 −1 8 0 0 1 0 0 1 1 −1 0 1 −1 0 2 4 −1 0 −1 1 0 0 2 5 −1 4.16 Calcule el determinante 3 1 2 4 −6 6 por desarrollo por Menores 4.17 Supóngase que a b c det d e f =4 g h i Utilizar las propiedades de los determinantes para calcular el determinante de la siguiente matriz: 80 3g − 7d 3h − 7e 3i − 7f d e f a b c Justificar brevemente. 4.18 Supóngase que al resolver un sistema de ecuaciones por la Regla de Cramer se obtiene la siguiente información acerca de su solución única: 1 0 3 1 0 −5 0 −4 x1 = 0 2 D 0 1 0 0 −5 x3 = 6 2 0 D Utilizar esta información para obtener (exclusívamente) el valor de x 2 por la Regla de Cramer. No es necesario calcular x 1 ni x 3 . 4.19 Determine todos los valores de c tales que la regla de Cramer no pueda utilizarse para resolver el sistema siguiente: x + cy + 8z = −4 cx − z = 1 − 53x − 6y + z = 2 4.20 Demuestre que la regla de Cramer no se aplica a 2−y = x 3 + x = −y 81 SOLUCIONES 4.1 a) d) g) 0 λ 2 − 4λ − 2 6 4.2 a) d) −5 45 −1 327 b) e) b) e) c) f) 10 10 c) f) 10 0 5 5 4.3 a) No es válida en general. El inciso (d) del ejercicio anterior nos da un contraejemplo. b) Siempre es verdadera. Sea B una matriz cuadrada. Sea C la matriz que se obtiene al multiplicar un renglón de B por α. Entonces por una propiedad de los determinantes sabemos que det C = α det B La matriz αA se obtiene de A multiplicando cada renglón de A por el escalar α. Como A tiene n renglones, aplicando n veces la propiedad mencionada obtenemos detαA = α n det A 4.4 a) c) 32 20 −260 84 b) d) 4.5 Como la matriz es triangular superior, el determinante es el producto de las entradas en la diagonal. Por esto el determinante es igual a 24. 1 a a2 4.6 a) 1 b b2 1 c c2 = 1 = 0 0 1 b − a b2 − a2 1 c − a c2 − a2 b − a b − ab + a c − a c − ac + a = b − ac − ac − b 82 = b − ac − a 1 b+a 1 c+a 1 a a2 a 3 1 b b b) 2 b 1 c c2 c3 1 d d2 d3 = 1 3 0 0 0 2 = 3 1 b − a b − ab b − ab 2 1 c − a c 2 − ac c 3 − ac 2 1 d − a d 2 − ad d 3 − ad 2 b − a bb − a b 2 b − a 1 b b2 c − a cc − a c 2 c − a = b − ac − ad − a 1 c c 2 d − a dd − a d 2 d − a 1 d d2 = b − ac − ad − ac − bd − bd − c 4.7 Sustituyendo cada uno de los puntos dados en la ecuación y = α + βx + γx 2 obtenemos el sistema de ecuaciones lineales α+β+γ = 0 α + 2β + 4γ = 3 α + 3β + 9γ = −1 La matriz de coeficientes del sistema es 1 1 12 1 1 1 1 2 4 = 1 2 22 1 3 32 1 3 9 Por el ejercicio 4.6 (a) su determinante es igual a 2 − 13 − 13 − 2 = 2 ≠ 0. Como el determinante de la matriz de coeficientes del sistema es distinto de cero, el sistema tiene solución única. Por esto hay un único polinomio de grado 2 que pasa por los tres puntos dados. Resolviendo el sistema de ecuaciones encontramos que α = −10, β = 272 y γ = − 72 . Entonces el polinomio buscado es y = −10 + 4.8 27 2 x− 7 2 x2 Casi cualquier par de matrices sirve. Por ejemplo A = Entonces det A = 1, det B = 1 y detA + B = 4. 4.9 a) −1 b) 4.10 83 −1 1 0 0 1 =B a) x= 61 29 2 , y = − 29 1 −2 b) x = 2, y = 5, z = −3 b) 1 ad−bc 4.11 a) −1/2 3/2 d −b −c a c) −13 2 −3 8 −1 2 3 1 4.12 El área es igual al valor absoluto del determinante de la matriz 4.13 El volumen es igual al valor absoluto del determinante de la matriz 2 3 7. 1 −3 2 2 −8 5 . Éste es igual a 4. 5 −13 7 4.14 a) CofA = −10 4 −2 −4 −8 −14 1 −40 2 −10 −2 −14 b) AdjA = −4 1 −40 −8 2 9 x c) = y z 4.15 −10 −2 −14 A 35 29 −5 58 −5 29 28 84 −1 = −1 58 −11 19 80 −4 1 −40 −8 2 9 . Éste es igual a 4.16 8 4.17 -12 4.18 x 2 = 33 4 4.19 c= 3 c= 2 4.20 det = 0 85 5. 5.1 a) b) c) d) 5.2 de R 3 . EL ESPACIO VECTORIAL R n Calcule a1, 0 + b0, 1 a1, 0, 0, 0 + b0, 1, 0, 0 + c0, 0, 1, 0 + d0, 0, 0, 1 a1, 2, 3 + b1, 2, 3 + c1, 2, 3 3a, b + 3c, d Demostrar que todo plano en el espacio que pasa por el origen es un subespacio vectorial Sugerencia Emplear una ecuación cartesiana. 5.3 En cada uno de los siguientes incisos decida si el primer vector es combinación lineal de los restantes. En caso afirmativo calcule dicha combinación lineal y diga si ésta es única. Sugerencia: En cada caso plantee un sistema de ecuaciones y vea si hay inconsistencias; si no las hay, cuente los grados de libertad. a) b) c) d) 2, −1; 1, 0, 2, 3 1, 1; 2, 1, 1, 2, 0, 1 1, 2, 3; 1, 1, 1, 3, −1, 0, 4, 0, 1 5, 8, 0, 0; 1, 2, −1, 3, 3, 4, 2, 6 5.4 En cada uno de los siguientes incisos determine si los vectores son linealmente dependientes. En caso afirmativo encuentre una combinación lineal de estos vectores que sea igual a cero sin ser trivial (es decir: con al menos un escalar distinto de cero). a) b) c) d) e) 1, 0, 1, 1 1, 0, 1, 1, 0, 0 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1 2, −1, 3, −1, 4, 2, 3, 2, 8 1, 2, 3, 4, −1, 1, 0, 1 5.5 Sean v 1 , v 2 , v 3 , v 4 vectores en R n . ¿Son los vectores v 1 − v 2 , v 2 − v 3 , v 3 − v 4 , v 4 − v 1 linealmente dependientes o independientes? 5.6 Dé un ejemplo de tres vectores en R 5 que sean linealmente independientes. 5.7 Dé un ejemplo de tres vectores en R 4 que sean linealmente dependientes. 86 5.8 Encuentre un vector a, b, c tal que 2, 1, 2, −1, 3, 4 y a, b, c sean linealmente independientes. 5.9 a) b) 5.10 a) b) 5.11 Sean v 1 , . . . , v n vectores en R m . Determinar cuáles de las opciones: n < m,n = m, n > m pueden pasar si v 1 , . . . , v n son linealmente independientes v 1 , . . . , v n son linealmente dependientes Sea A = 2 4 0 1 1 2 −1 3 −1 −2 5 −13 Dé un ejemplo de un vector b, distinto de cero, tal que el sistema Ax = b tenga solución. Dé un ejemplo de un vector b tal que Ax = b no tenga solución. Sea B = 2, −1, 4, 1, 0, k, 3, −1, 5 ¿Para qué valores de k es B una base de R 3 ? 1 2 4 0 5.12 Sea A = 3 1 3 1 0 1 0 1 a) b) c) d) e) f) Calcular el rango y la nulidad de la matriz A. Determinar el espacio nulo de A e interpretarlo geométricamente. Dar una base para él. Dar una base para el espacio de renglones de A. Indicar cuáles de los siguientes vectores pertenecen al espacio de renglones de A: 2, 6, 8, 2, 4, 4, 7, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0 Dar una base para el espacio de columnas de A. Indicar cuáles de los siguientes vectores pertenecen al espacio de columnas de A: 2 −3 1 4 , 4 4 5 , 1 0 87 3 , 4 5 SOLUCIONES 5.1 a) b) c) d) a, b a, b, c, d a + b + c, 2a + 2b + 2c, 3a + 3b + 3c 3a + 3c, 3b + 3d Un plano π en R 3 que pasa por el origen posee una ecuación cartesiana de la forma π : ax + by + cz = 0. Este subconjunto de R 3 contiene al origen, luego es no vacío. Sean x 1 , y 1 , z 1 , x 2 , y 2 , z 2 dos puntos cualesquiera de π. Entonces ax 1 + by 1 + cz 1 = 0 y ax 2 + by 2 + cz 2 = 0. Sea α cualquier escalar. Entonces x 1 , y 1 , z 1 + x 2 , y 2 , z 2 = x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 es a su vez un punto de π porque ax 1 + x 2 + by 1 + y 2 + cz 1 + z 2 = ax 1 + by 1 + cz 1 + ax 2 + by 2 + cz 2 = 0 + 0 = 0 a la vez que αx 1 , y 1 , z 1 = αx 1 , αy 1 , αz 1 pertenece al plano π porque aαx 1 + bαy 1 + cαz 1 = αax 1 + by 1 + cz 1 = α0 = 0. 5.2 Por lo tanto π es un subespacio vectorial de R 3 . 5.3 En cada inciso se indica la matriz aumentada del sistema planteado. a) 1 2 ∣ 2 0 3 ∣ −1 El sistema no tiene grados de libertad. La combinación lineal 2, −1 = es única. b) 2 1 0 ∣ 1 1 2 1 ∣ 1 8 3 1, 0 − 1 3 2, 3 El sistema tiene un grado de libertad. Hay una infinidad de combinaciones lineales. Una de ellas es: 1, 1 = 23 2, 1 − 13 1, 2 + 10, 1 1 c) 3 4 ∣ 1 1 −1 0 ∣ 2 1 0 . El sistema es inconsistente. El vector 1, 2, 3 no es 1 ∣ 3 combinación lineal de los restantes. 88 d) 1 3 ∣ 5 2 4 ∣ 8 −1 2 ∣ 0 3 El sistema es inconsistente. El vector 5, 8, 0, 0 no es combinación 6 ∣ 0 lineal de los restantes. 5.4 a) c) e) No. No. No. b) d) Sí: 01, 0 + 01, 1 + 10, 0 = 0, 0 Sí: −22, −1, 3 − 1−1, 4, 2 + 3, 2, 8 = 0, 0, 0 5.5 Los vectores son linealmente dependientes porque v 1 − v 2 + v 2 − v 3 + v 3 − v 4 + v 4 − v 1 = 0 5.6 Los vectores 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1 son linealmente independientes. 5.7 Los vectores 1, 1, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 1, 1, 2, 2 son linealmente dependientes. 5.8 Cualquier vector a, b, c tal que 2a + 10b − 7c ≠ 0. Por ejemplo el vector 1, 1, 1. 5.9 a) n≤m b) Cualquiera de las tres. 5.10 a) El vector b puede ser cualquier combinación lineal de las columnas. Por ejemplo para b = 2, 1, −1, una solución del sistema es x = 1, 0, 0, 0. b) Si el vector b = c, d, e es tal que −2c + 5d + e ≠ 0, el sistema Ax = b no tiene solución. Por ejemplo, cuando b = 2, 1, 0. 5.11 B contiene tres vectores en R 3 , luego B constituye una base de R 3 si y sólo si estos vectores son linealmente independientes. Esto se cumple para todo valor de k distinto de 1 ya que el determinante de la matriz 2 −1 4 es igual a 1 − k. 1 0 k 3 −1 5 89 5.12 a) El rango de A es igual a 3 La nulidad de A es igual a 1. X = t−2, −3, 2, 3 Constituye una recta en R 4 que pasa por el origen. Una base para este espacio es −2, −3, 2, 3 b) c) d) e) Por ejemplo B = 1, 2, 4, 0, 3, 1, 3, 1, 0, 1, 0, 1 Solamente los primeros dos. Por ejemplo 1 B= 3 2 , 0 f) 1 1 Todos. 90 4 , 3 0 6. ORTOGONALIDAD 6.1 a) c) e) Calcule la norma de los siguientes vectores: 1, 1 b) 1, 1, 1 1, 1, 1, 1 d) 1, 4, 0, 2 1, 0, 2, 0, 7 6.2 a) c) Calcule el producto punto de los siguientes pares de vectores. ¿Cuáles son ortogonales? 1, 2, 3, 2, 1, 1 b) −3, 2, 0, 4, 1, − 32 , 8, 0 4, 1, 2, 5, 0, 3, −2/3, 1/4 6.3 Dé un ejemplo de dos vectores en R 2 que sean linealmente independientes pero no ortogonales entre sí. 6.4 Sea v ∈ R n un vector y sea λ un escalar. Decida cuál de las siguientes igualdades es verdadera y demuéstrela. Para cada una de las igualdades que no son ciertas en general dé un contraejemplo. a) c) 6.5 ‖λv‖ = λ‖v‖ ‖λv‖ = 2 λ ‖v‖ b) d) ‖λv‖ = |λ|‖v‖ ‖λv‖ = λ 2 ‖v‖ Encuentre todos los vectores que son ortogonales a 1, 4, 4, 1 y a 2, 9, 8, 2. 6.6 ¿Qué múltiplo de 1, 1, 1 es el más cercano a 2, 4, 4? ¿Cuál es el punto en la línea que pasa por 2, 4, 4 y el origen que está más cercano a 1, 1, 1? 6.7 ¿Cuál es la proyección de a 1 . . . a n sobre el vector 1, . . . , 1? 6.8 En cada uno de los incisos siguientes encuentre la recta que mejor se ajusta a los puntos dados y calcule el vector de errores. Grafique los puntos, la recta encontrada e interprete el vector de errores. a) 0, 0, 1, 1, 2, 7 b) 1, 3, −2, 4, 7, 0 c) −1, 1, 1, 1, 2, 3, 0, 1 6.9 Encuentre la línea que mejor se ajusta a los puntos −2, 4, −1, 3, 0, 1, 2, 0. También calcule la proyección del vector 4, 3, 1, 0 y exprésela como combinación lineal de las columnas de 91 1 −2 A= 1 −1 1 0 1 2 6.10 Encuentre el plano z = α + βx + γy que mejor se ajusta a los puntos a) 0, 0, 0, 2, 0, 1, 0, 2, 1, 0, 0, 2 b) 0, −1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 1, 0 6.11 Utilizando el método de mínimos cuadrados encuentre el plano z = α + βx + γy que mejor se ajusta a los puntos 0, 0, 0, −1, −1, −1, 1, 1, 1, 2, 2, 2. ¿Es este plano único? Justifique su respuesta. 6.12 Encuentre la parábola y = α + βx + γx 2 que mejor se ajusta a los puntos −2, 3, −1, 0, 1, 0, 2, 1. 6.13 Utilizando el método de mínimos cuadrados demuestre que la línea horizontal y = c que m mejor se ajusta a los puntos a 1 , b 1 , . . . , a m , b m está dada por c = b 1 +...+b , el promedio de las m ordenadas de los datos. 6.14 Encuentre el polinomio de grado tres y = α + βx + γx 2 + δx 3 que mejor se ajusta a los puntos −1, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 0. 6.15 Un hospital somete a algunas víctimas de quemaduras graves a un tratamiento nuevo. La siguiente tabla muestra los resultados obtenidos. Mes (X) No. de pacientes (Y) -1 0 0 0 1 10 2 20 a) Utilizar el método de mínimos cuadrados para determinar la recta que mejor se ajusta a estos datos. b) ¿Cuántos pacientes espera curar el hospital en el mes 4? 6.16 Un distribuidor compra grandes cantidades de refacciones para autos. El observa que el 92 costo depende cuadráticamente del número de cajas que compra. De experiencia anterior obtiene la tabla siguiente: a) b) No. de cajas Costo Total 0 $10 0 $20 1 $30 1 $20 2 $50 Encuentre su función de costo. Estime el costo que corresponde a 3 cajas. 6.17 El dueño de una empresa quisiera pronosticar cuál será el Indice Nacional de Precios al Consumidor en los siguientes meses para saber si le conviene o no firmar un contrato. En el radio oye que los cambios en dicho índice están fuertemente ligados a los cambios en el gasto del gobierno y piensa que si pudiera establecer una función entre estas dos series de datos podría obtener los pronósticos que necesita. Para establecer dicha función cuenta con la siguiente información: Mes INPC Gasto del gobierno Enero 99 1 Febrero 110 1 Marzo 220 2 Abril 330 3 a) Grafique los datos anteriores tomando al INPC como variable dependiente y al gasto como variable independiente. b) Decida, al analizar los datos, si la forma de la función que se va a establecer es lineal o cuadrática. Ajuste la más conveniente usando el método de mínimos cuadrados. c) Grafique el resultado en la misma gráfica de (a). d) Si al dueño de la empresa le aseguran que el gasto del gobierno en el mes de noviembre será de 2.5 millones de pesos, ¿ cuál será el valor del Indice Nacional de Precios al Consumidor en ese mes? 6.18 En cada uno de los siguientes incisos calcule la ecuación cartesiana X ⋅ h = A ⋅ h, del hiperplano en R n que pasa por el punto dado, y que es ortogonal a la dirección dada: a) A = 2, 5, h = −10, 4 b) A = 1, 0, 2, h = 1, 1, −1 c) A = 0, 1, 2, 3, h = −2, 0, 1, −1 93 d) A = 0, 0, 0, 0, 0, h = 1, −2, −1, 5, 3 6.19 Grafique las regiones en el plano definidas por los conjuntos de desigualdades dados en los incisos siguientes: a) x ≥ 0, y ≥ 0 b) 2x + y ≤ 5 2x − y ≥ −2 x−y ≤ 1 x + y ≥ −1 c) 2x − y ≤ 5 − x + y ≥ −2 y≤3 x, y ≥ 0 d) x+y ≥ 2 −x+y ≥ 1 y≤3 x, y ≥ 0 e) x + 2y ≤ 2 x+y ≥ 3 y≥0 f) −x+y ≤ 1 y≤2 x, y ≥ 0 6.20 Utilice desigualdades lineales para definir los polígonos cuyos vértices se dan a continuación. a) 1, 0, 3, 0, 2, 1, 3, 1 b) 2, 1, 4, 1, 3, 3 c) 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 0 6.21 Grafique las regiones en el espacio definidas por los siguientes conjuntos de desigualdades: a) x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 b) 94 x≤2 y≤2 z≤2 x, y, z ≥ 0 c) d) e) Las desigualdades del inciso (b) y además x + y + z ≤ 5. Las desigualdades del inciso (b) y además x + y ≤ 3. −x+z ≤ 2 3x + y + 2z ≤ −4 x, y, z ≥ 0 f) x+y ≤ 1 x, y, z ≥ 0 95 SOLUCIONES 6.1 a) d) 2 2 21 b) e) 2 3 3 6 c) 2 2 2 35 6.2 a) 7 b) −6 c) 12 Como el producto punto no es cero ninguna de las tres parejas de vectores es ortogonal. 6.3 Los vectores 1, 0 y 1, 1 son linealmente independientes pero no ortogonales entre sí. 6.4 a) b) c) d) 6.5 Falso. v = 1, 0, λ = −2 Verdadero. ‖λv‖= 2 λv ⋅ λv = 2 λ 2 v ⋅ v Falso v = 1, 0, 0, λ = 4 Falso v = 0, 1, λ = 2 = λ 2 2 v ⋅ v =|λ|‖v‖ 2 Son todos los vectores a 1 , a 2 , a 3 , a 4 que satisfacen simultáneamente: a 1 + 4a 2 + 4a 3 + a 4 = 0 2a 1 + 9a 2 + 8a 3 + 2a 4 = 0 La solución general de este sistema de ecuaciones es: a 1 = −4s − t, a 2 = 0, a 3 = s, a 4 = t 10/3, 10/3, 10/3 a) 6.6 6.7 a 1 +...+a n 1, . . . , 1 n 6.8 a) 6.9 y = − 56 + b) y= 68 21 c) y= 6 5 y= 61 35 − 36 35 7 2 + 3 5 x 5/9, 10/9, 10/9 E = 56 , − 53 , 56 x 19 42 − b) E = 143 , − 17 , − 141 x E = 25 , − 45 , 35 , − 15 x El vector proyección es p = 133 , 35 97 35 96 , 61 35 , − 11 = 35 61 35 1, 1, 1, 1 − 36 35 −2, −1, 0, 2 6.10 a) z=1 2 3 z= b) − 1 3 x 6.11 El plano no es único. Al intentar resolver el problema utilizando mínimos cuadrados obtenemos el sistema de ecuaciones 4 2 2 α 2 6 6 β 2 6 6 γ 2 = 6 6 Las columnas de la matriz de coeficientes son linealmente dependientes. Por eso la solución no es única. En este caso hay una infinidad de soluciones. La solución general del sistema anterior es: α = 0, β = 1 − t, γ = t. Así para cualquier valor de t en el plano z = 1 − tx + ty es una posible solución dada por el método de mínimos cuadrados. Nota: en este caso la solución no es única porque los cuatro puntos son colineales, es decir, están contenidos en una línea recta. 6.12 y = − 23 − 2 5 6.13 Aplicando el método de mínimos cuadrados llegamos al sistema de ecuaciones x+ 2 3 x2 mc = b 1 +. . . +b m 6.14 y = 0. El resultado es una recta y no un polinomio de grado 3 porque los puntos dados son colineales. 6.15 a) y = 7x + 4 6.16 a) y = 15 + 2. 5x + 7. 5x 2 b) b) 32 pacientes $ 90 aproximadamente 6.17 La función es lineal. Si y denota el INPC y x denota el gasto del gobierno, entonces y = −8 + 113x El INPC para noviembre será 274. 50 aproximadamente. 6.18 a) −10x + 4y = 0 c) −2x 1 + x 3 − x 4 = −1 b) d) 97 x + y − z = −1 x 1 − 2x 2 − x 3 + 5x 4 + 3x 5 = 0 6.19 a) 98 c) 99 d) e) La región es vacía f) 100 6.20 a) x≤3 y≤1 x−y ≥ 1 y≥0 b) y≥1 2x − y ≥ 3 2x + y ≤ 9 c) −x+y ≤ 1 x+y ≤ 3 − x + y ≥ −1 x, y ≥ 0 6.21 a) La región es todo el primer octante. b) 101 c) 102 d) e) f) La región es vacía. Prisma vertical y no acotado en el primer octante. 103 104 7. INTRODUCCION A LA PROGRAMACION LINEAL 7.1 Transforme los siguientes programas lineales en programas lineales de maximización en forma canónica. a) Max 2x + 2y 2x + y ≤ 4 s.a. − x − 2y ≥ −5 x, y ≥ 0 b) Min − 5x − y 3x + y ≤ 7 s.a − x − y ≥ −3 − x − 2y ≥ −5 x, y ≥ 0 c) Min x + 4y s.a. x + y ≤ 7 x+y ≥ 5 x≤4 − y ≥ −4 x, y ≥ 0 7.2 Transforme los siguientes programas lineales en programas lineales de minimización en forma canónica. a) Min x − y s.a. x + y ≥ 4 x + 2y ≤ 10 x, y ≥ 0 105 b) Max x + 3y s.a. x + 2y ≥ 3 4x − y ≤ 6 x, y ≥ 0 c) Max 2x + 7y s.a. 2x + 5y ≤ 8 4x + 6y ≥ 11 x, y ≥ 0 7.3 Resuelva los programas lineales de los ejercicios 7.1 y 7.2 usando el método gráfico. 7.4 Considere la región factible del ejercicio 6.19.c. a) Construya una función objetivo que alcance su máximo solamente en el punto 4, 3. b) Construya una función objetivo que alcance su máximo simultáneamente en los puntos 3, 1 y 2, 0. ¿Hay otros puntos de la región factible en los cuales la función construida alcanza el máximo? 7.5 gráfico. a) ¿Tienen solución óptima los siguientes programas lineales? ¿Por qué? Utilice el método Max 3x + 4y s.a. −x+y ≤ 2 y≤4 x, y ≥ 0 b) Max s.a − x + y ≤ 2 y≤4 x, y ≥ 0 c) 106 − 3x + y Max x − 2y x + 2y ≤ 2 s.a. − x − y ≤ −3 x, y ≥ 0 7.6 Resuelva cada uno de los siguientes programas lineales usando el método simplex. Grafique la región factible y dibuje la trayectoria simplex del origen al punto óptimo. a) Max 3x + y s.a. x≤5 y≤4 x−y ≤ 3 x, y ≥ 0 b) Max 6x + 3y x+y ≤ 4 s.a. 2x + y ≤ 6 x, y ≥ 0 c) Max x + 2y + 3z x≤2 s.a. y≤2 z≤2 x+y+z ≤ 5 x, y, z ≥ 0 d) Max y + 3z s.a. x≤2 y≤2 z≤2 x+y ≤ 3 x, y, z ≥ 0 107 7.7 En los siguientes programas lineales la región factible es no acotada y la función objetivo no alcanza su máximo. ¿Cómo podemos saber ésto usando el método simplex? a) Max 3x + y − 2x + y ≤ 1 s.a. x−y ≤ 2 x, y ≥ 0 b) Max − x + 2y − 3z x≤3 s.a. z≤1 x + 3z ≤ 3 x, y, z ≥ 0 7.8 Un gerente de producción está planeando cómo distribuir tres productos en dos máquinas. Para ser manufacturado cada producto requiere cierto tiempo (en horas) en cada una de las dos máquinas. El tiempo requerido está resumido en la siguiente tabla: Producto Máquinas 1 2 A 1 1 B 2 1 C 2 2 La máquina 1 está disponible 40 horas a la semana y la 2 está disponible 34 horas a la semana.Si la utilidad obtenida al vender los productos A, B y C es de 2,3 y 5 pesos por unidad respectivamente, ¿cuál debe ser la producción semanal que maximiza las utilidades? ¿Cuál es la utilidad máxima? 7.9 Una compañía mueblera fabrica tres tipos de libreros: el "intelectual", el "juvenil" y el "ejecutivo". Cada librero es elaborado utilizando tres tipos de madera: roble, pino y caoba. El librero tipo "intelectual" requiere 2 unidades cuadradas de hoja de roble, 6 de pino y 4 de caoba. El librero tipo "juvenil" requiere respectivamente 1, 4 y 3 unidades cuadradas de hoja de roble, pino y caoba. Y el librero tipo "ejecutivo" requiere respectivamente 2, 2 y 8 unidades cuadradas de hoja de pino, roble y caoba. 108 La ganancia por librero vendido de los tipos "intelectual", "juvenil" y "ejecutivo" es respectivamente de $20, $5 y $40. Si la compañía dispone en sus bodegas de 100 unidades cuadradas de hoja de roble, 600 unidades de pino y 300 unidades de caoba, ¿cuántos libreros de cada tipo se deberán fabricar para maximizar la ganancia? ¿Cuál es la ganancia máxima? 7.10 Un agricultor tiene 31 hectáreas donde siembra café y cacao. Los gastos son de 120 dólares por hectárea de café y de 480 dólares por hectárea de cacao. La "cosecha" debe ser almacenada en latas especiales. Por cada hectárea de café se llenan 32 latas, mientras que por cada hectárea de cacao sólo se llenan 8 latas. Cada hectárea de café produce una ganancia de 400 dólares y cada hectárea de cacao produce una ganancia de 500 dólares. Si el agricultor tiene sólo 800 latas y dispone de un capital de 12,000 dólares, ¿cómo debe distribuir su cosecha para maximizar su ganancia? 7.11 Una compañía que produce frutas mezcladas tiene en almacén 10,000 kilos de peras, 12,000 kilos de duraznos y 8,000 kilos de cerezas. La compañía produce tres mezclas de frutas, que vende en latas de un kilo. La primera combinación contiene la mitad de peras y la mitad de duraznos. La segunda combinación contiene cantidades iguales de cada fruta. La tercera combinación tiene la mitad de duraznos y la mitad de cerezas. Las ganancias por lata vendida de cada combinación son de $3, $4 y $5 respectivamente. ¿Cuántas latas de cada combinación deberán producirse con el objeto de maximizar ganancias? ¿Cuál es la ganancia máxima? 7.12 Un fabricante de muebles necesita una hora para hacer un archivero, una hora para hacer una silla y cuatro horas para hacer una mesa. El fabricante estima que no podrá vender más de 15 archiveros, 10 sillas y 3 mesas a la semana. Además él no quiere trabajar más de 30 horas a la semana. Si sus ganancias son de $25 por archivero, $60 por silla y $90 por mesa, ¿cuántos archiveros, sillas y mesas debe fabricar para maximizar ganancias? ¿Cuál es la ganancia máxima? 7.13 Jimmy Carter tiene almacenadas 121 toneladas de cacahuate y 49 toneladas de nuez de la India. Produce dos mezclas. La barata consta de 80% de cacahuate y de 20% de nuez, mientras que la mezcla de lujo consta de 30% de cacahuate y de 70% de nuez. Si vende a 5,000 y 8,000 dólares la tonelada de cada una de estas mezclas, ¿ qué cantidades de cada mezcla debe producir para maximizar sus ingresos? ¿Cuál es el ingreso máximo? 7.14 Un empleado de una tienda de helados quiere crear la combinación más rica en calorías que quepa en un vaso de 12 onzas. Los ingredientes son jarabe, crema, soda y helado. Para que se vea como soda y sepa a soda la mezcla no debe contener más de 4 onzas de helado; debe tener al menos tanta soda como la cantidad total de jarabe y crema combinados, y no más de una onza más de jarabe que de crema. El número de calorías por onza en cada uno de los ingredientes es, respectivamente, jarabe 75, crema 50 y helado 40. La soda no contiene calorías. ¿Cuántas onzas de cada ingrediente debe usar? ¿Cuántas calorías tendrá el producto? 7.15 Resuelva los siguientes programas lineales usando el método de las dos fases. En cada caso grafique la región factible y la trayectoria simplex. 109 a) Max x + 5y s.a. 2 ≤ y ≤ 3 x≥1 x+y ≤ 5 x, y ≥ 0 b) Max 2x + 4y s.a 3≤x≤5 x−y ≤ 2 x + 2y ≤ 13 x, y ≥ 0 7.16 Resuelva los siguientes programas lineales usando el método de las dos fases. En caso necesario transforme el programa lineal en uno equivalente de maximización y use el método simplex. a) Max 3x − y s.a. x+y ≤ 4 2x + 3y ≥ 18 x, y ≥ 0 b) Min − x + 2y − 3z x+y+z = 6 s.a. − x + y + 2z = 4 z≤2 x, y, z ≥ 0 7.17 a) Escriba el problema dual de cada uno de los siguientes programas lineales: Max 3x + 2y − z s.a. x−z ≤ 5 2x + y ≤ 3 x, y, z ≥ 0 110 b) Min x − y s.a. 3x − y ≥ 3 x + y ≥ −8 y≥5 x≥3 x, y ≥ 0 c) Max w + 2x − y − z s.a. x + 2z ≤ 5 w + 3y ≤ −2 w, x, y, z ≥ 0 7.18 a) Resuelva los siguientes ejercicios utilizando dualidad. Min 5x + 3y s.a. 2x + y ≥ 1 x + 2y ≥ 1 x+y ≥ 3 x, y ≥ 0 b) Min 2x + 3y s.a. 2x + y ≥ 1 x + 2y ≥ 1 x, y ≥ 0 c) Min 3x + 4y + 6z s.a. 4x + 7y + z ≥ 3 x + 3y + 5z ≥ 7 2x + y + 4z ≥ 10 x, y, z ≥ 0 111 7.19 Resuelva el siguiente ejercicio utilizando dualidad: Un fabricante produce dos alimentos a base de carbohidratos y proteínas. Cada kilogramo del primer alimento cuesta $5 y contiene un 90% de carbohidratos. Cada kilogramo del segundo alimento cuesta $10 y contiene un 60% de carbohidratos. ¿Qué cantidades de estos dos alimentos proporcionan dos kilos de carbohidratos y un kilo de proteínas a un costo mínimo? ¿Cuál es el costo por kilo de esta mezcla? 7.20 Una mujer quiere elaborar un programa semanal de ejercicios, el cual incluirá trote, ciclismo y natación. A fin de variar el ejercicio, ella planea dedicar al ciclismo por lo menos el mismo tiempo que le dedicará al trote y la natación combinados. Además quiere nadar al menos dos horas por semana. Si en el trote consume 600 calorías por hora, en el ciclismo 300 calorías por hora y en la natación 300 calorías por hora, ¿cuántas horas deberá dedicar a cada tipo de ejercicio, si quiere quemar en total al menos 3000 calorías semanales en el menor tiempo posible? 7.21 Un fabricante quiere producir latas de comida para perros. Desea que el contenido de una lata satisfaga el requerimiento mínimo diario de carbohidratos y proteínas de un perro promedio. Las carnes disponibles para la elaboración de este producto son bistec, carne de caballo e hígado. Un kilo de bistec cuesta $15 y proporciona 500 gramos de proteínas. Un kilo de carne de caballo cuesta $10 y proporciona 600 gramos de carbohidratos y 100 gramos de proteínas. Un kilo de hígado cuesta $25 y proporciona 400 gramos de carbohidratos y 300 gramos de proteínas. Se estima que el requerimiento mínimo diario de un perro promedio es de 600 gramos de carbohidratos y 300 gramos de proteínas. ¿Qué combinación de las tres carnes deberá elegir el fabricante de manera que se satisfagan estos requerimientos a un costo mínimo? ¿Cuál será este costo? 7.22 El gerente de Aurrerá desea anunciarse en Excélsior y en El Universal. El anuncio en Excélsior le cuesta $60,000 diarios y en El Universal $50,000 diarios. Entre los suscriptores de dichos periódicos se estima que por cada día de permanencia del anuncio, éste será visto por 200,000 lectores si aparece en Excélsior y por 100,000 lectores si aparece en El Universal. Pero El Universal es más popular que Excélsior entre los no suscriptores, de tal suerte que por cada día de permanencia del anuncio, éste será leído por 300,000 no suscriptores de Excélsior y por 400,000 no suscriptores de El Universal. El gerente ha determinado que el anuncio debe ser visto al menos por 5 millones de suscriptores y al menos por 9 millones de no suscriptores. ¿Cuántos días debe colocar el anuncio en cada diario para que su costo sea mínimo? 7.23 El dietista del Reclusorio Sur planea el menú para los desayunos. El desayuno incluye pan, frijoles y huevo. Se tiene interés en proporcionar por lo menos 290 unidades internacionales de vitamina A, 200 unidades de vitamina B y 210 unidades de vitamina C. La siguiente tabla proporciona las cantidades de vitamina A, B y C que tiene cada porción de cada uno de estos alimentos, así como su costo: 112 Vitaminas Costo A B C Pan 50 20 10 $10 Frijoles 30 10 50 $15 Huevo 20 30 20 $12 ¿Cuántas porciones de cada alimento se deben dar para obtener la dieta más barata que satisfaga los requerimientos nutritivos arriba mencionados? Ejercicios de Repaso 7.24 Maximizar P = 10x + 12y x + y ≤ 60 s.a. x − 2y ≥ 0 x, y ≥ 0 7.25 Maximizar P = 5x + 6y s.a. x + y ≤ 80 3x + 2y ≤ 220 2x + 3y ≤ 210 x, y ≥ 0 7.26 Maximizar Z = 7x + 3y s.a. 3x − y ≥ −2 x+y ≤ 9 x − y ≥ −1 x, y ≥ 0 7.27 Minimizar C = 2x + y s.a. 3x + y ≥ 3 4x + 3y ≥ 6 x + 2y ≥ 2 x, y ≥ 0 113 7.28 Producción para utilidad máxima. Un fabricante de juguetes prepara un programa de producción para dos nuevos juguetes, muñecas y soldados, con base en la información concerniente a sus tiempos de producción dados en la tabla que sigue: Máquina A Máquina B Acabado Muñecas 2 hrs. 1 hr. 1 hr. Soldados 1 hr. 1 hr. 3 hrs. Por ejemplo, cada muñeca requiere de 2 horas en la máquina A. Las horas disponibles empleadas por semana son: para operación de la máquina A. 70 horas; para la B, 40 horas; para acabado, 90 horas. Si las utilidades en cada muñeca y cada soldado son de $4 y $6, respectivamente, ¿cuántos juguetes de cada uno debe producir por semana el fabricante con el fin de maximizar la utilidad? ¿cuál es esta utilidad máxima? 7.29 Formulación de dieta. Una dieta debe contener al menos 16 unidades de carbohidratos y 20 de proteínas. El alimento A contiene 2 unidades de carbohidratos y 4 de proteínas; el alimento B contiene 2 unidades de carbohidratos y 1 de proteínas. Si el alimento A cuesta $1.20 por unidad y el B $0.80 por unidad, ¿cuántas unidades de cada alimento deben comprarse para minimizar el costo?¿cuál es el costo mínimo? 7.30 Extracción de minerales. Una compañía extrae minerales de una mina. El número de libras de los minerales A y B que pueden extraerse de cada tonelada de la mina I y II se dan en la tabla siguiente, junto con los costos por tonelada de las minas: Mina I Mina II Mineral A 100 lb 200 lb Mineral B 200 lb 50 lb Costo por tonelada $50 $60 Si la compañía debe producir al menos 3000 lb de A y 2500 lb de B, ¿cuántas toneladas de cada mina deben procesarse con el objetivo de minimizar el costo? ¿cuál es el costo mínimo? 7.31 Costo de construcción. Una compañía química está diseñando una planta para producir dos tipos de polímeros, P 1 y P 2 . La planta debe tener una capacidad de producción de al menos 100 unidades de P 1 y 420 unidades de P 2 cada día. Existen dos posibles diseños para las cámaras principales de reacción que se incluirán en la planta. Cada cámara de tipo A cuesta $600,000 y es capaz de producir 10 unidades de P 1 y 20 unidades de P 2 por día; el tipo B es un diseño más 114 económico, cuesta $300,000 y es capaz de producir 4 unidades de P 1 y 30 unidades de P 2 por día. A causa de los costos de operación, es necesario tener al menos 4 cámaras de cada tipo en la planta. ¿ Cuántas cámaras de cada tipo deben incluirse para minimizar el costo de construcción y satisfacer el programa de producción requerido? (Suponga que existe un costo mínimo.) 7.32 Utilice el método simplex para resolver los problemas siguientes: a) Maximizar Z = x 1 + 2x 2 s.a. 2x 1 + x 2 ≤ 8 2x 1 + 3x 2 ≤ 12 x1, x2 ≥ 0 b) Maximizar Z = −x 1 + 3x 2 s.a. x 1 + x 2 ≤ 6 − x1 + x2 ≤ 4 x1, x2 ≥ 0 c) Maximizar Z = 8x 1 + 2x 2 s.a. x 1 − x 2 ≤ 1 x 1 + 2x 2 ≤ 8 x1, x2 ≥ 0 d) Maximizar Z = 2x 1 + x 2 − x 3 s.a. x 1 + x 2 ≤ 1 x 1 − 2x 2 − x 3 ≥ −2 x1, x2, x3 ≥ 0 e) Maximizar W = x 1 − 12x 2 + 4x 3 s.a. 4x 1 + 3x 2 − x 3 ≤ 1 x 1 + x 2 − x 3 ≥ −2 − x 1 + x 2 + x 3 ≥ −1 x1, x2, x3 ≥ 0 7.33 Flete por envío. Una compañía de fletes maneja los envíos de dos corporaciones, A y B, que están ubicadas en la misma ciudad. La corporación A envía cajas que pesan 3 lb cada una y tienen un volumen de 2 pies 3 ; B envía cajas de 1 pie 3 que pesan 5 lb cada una. Ambas corporaciones envían 115 al mismo destino. El costo de transporte para cada caja de A es $0.75 y para B es $0.50. La compañía de fletes tiene un camión con capacidad de carga de 2400 pies 3 y una capacidad máxima de 36,800 lb. En un acarreo, ¿cuántas cajas desde cada corporación debe transportar este camión de modo que el ingreso de la compañía de fletes sea máximo? ¿cuál es el ingreso máximo? 7.34 Producción. Una compañía fabrica tres tipos de muebles para patio: sillas, mecedoras y sillones. Cada uno requiere madera, plástico y aluminio, como se muestra en la tabla siguiente: Madera Plástico Aluminio Silla 1 unidad 1 unidad 2 unidades Mecedora 1 unidad 1 unidad 3 unidades Sillón 1 unidad 2 unidades 5 unidades La compañía tiene disponibles 400 unidades de madera, 500 unidades de plástico y 1450 unidades de aluminio. Cada silla, mecedora y sillón se vende en $21, $24 y $36, respectivamente. Suponiendo que todos los muebles pueden venderse, determine la producción para que el ingreso total sea máximo. ¿Cuál es el ingreso máximo? 7.35 A causa de las reglamentacion es federales nuevas sobre la contaminación una compañía química ha introducido en sus plantas un nuevo y más caro proceso para complementar o reemplazar un proceso anterior para la producción de un producto químico en particular. El proceso anterior descarga 15 gramos de dióxido de azufre y 40 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro de producto químico producido. El nuevo proceso descarga 5 gramos de dióxido de azufre y 20 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro producido. La compañía obtiene una utilidad de 30 y 20 centavos por litro en los procesos anterior y nuevo, respectivamente. Si el gobierno le permite a la planta descargar no más de 10,500 gramos de dióxido de azufre y no más de 30,000 gramos de partículas a la atmósfera cada día,¿cuántos litros de producto químico deben producirse diariamente , por cada uno de los procesos, para maximizar la utilidad diaria? ¿Cuál es la utilidad diaria? SOLUCIONES 7.1 a) Max 2x + 2y s.a. 2x + y ≤ 4 x + 2y ≤ 5 x, y ≥ 0 b) 116 Max 5x + y 3x + y ≤ 7 s.a. x+y ≤ 3 x + 2y ≤ 5 x, y ≥ 0 c) Max − x − 4y x+y ≤ 7 s.a. − x − y ≤ −5 x≤4 y≤4 x, y ≥ 0 7.2 a) Min x − y s.a. x+y ≥ 4 − x − 2y ≥ −10 x, y ≥ 0 b) Min − x − 3y s.a. x + 2y ≥ 3 − 4x + y ≥ −6 x, y ≥ 0 c) Min − 2x − 7y − 2x − 5y ≥ −8 s.a. 4x + 6y ≥ 11 x, y ≥ 0 7.3 Ejercicio 7.1 (a) (b) (c) Punto óptimo Valor objetivo óptimo 1, 2 73 , 0 4, 1 6 − 353 8 117 7.2 (a) (b) (c) 0, 5 el problema es no acotado 78 , 54 −5 21 2 a) z = x ó z = x + y, por ejemplo b) z = x − y por ejemplo. Sí: todos los puntos que pertenecen al segmento de recta que une a los puntos 2, 0 y 3, 1. 7.4 a) b) c) 7.5 7.6 Inciso Punto óptimo (a) * (b) (c) (d) *(b) No: el problema es no acotado Sí: en 0, 2 con valor objetivo óptimo igual a 2. No: la región factible es vacía. Valor objetivo óptimo 5, 4 3, 0 ó 2, 2 1, 2, 2 0, 2, 2 19 18 11 8 En realidad la solución es múltiple: 2 + t, 2 − 2t con 0 ≤ t ≤ 1 7.7 En la tabla del método simplex existe un valor positivo en el renglón z bajo el cual no hay valores positivos (y por consiguiente no hay pivote en esa columna). En el inciso (a) ésto sucede después de la primera iteración. En (b), sucede al comienzo. 7.8 Se deben producir: 0 unidades de A 6 unidades de B 14 unidades de C La utilidad máxima será de $88. 7.9 Se deben producir exclusivamente 37.5 libreros del tipo ejecutivo o se pueden producir 25 del tipo intelectual, ningún juvenil y 25 del tipo ejecutivo. La solución es múltiple: 25t, 0, 37. 5 − 12. 5t con 0 ≤ t ≤ 1 La ganancia será de $1500. 7.10 Se deben sembrar: 8 hectáreas de café 23 hectáreas de cacao La ganancia máxima será de 14,700 dólares. 118 7.11 Se deben producir: 8000 latas de la primera combinación 18000 de la segunda combinación y 4000 de la tercera La ganancia máxima será de $116,000. 7.12 Deben fabricar: 15 archiveros 10 sillas 1.25 mesas La ganancia máxima será de $1087.50 7.13 Debe producir: 140 toneladas de la mezcla barata 30 toneladas de la mezcla de lujo El ingreso máximo será de 940,000 dólares. 7.14 Debe usar: 2.5 onzas de jarabe 1.5 onzas de crema 4 onzas de soda 4 onzas de helado El máximo número de calorías será 422.5. 7.15 a) El valor objetivo óptimo es 17. El punto óptimo es 2, 3. b) El valor objetivo óptimo es 26. Un punto óptimo es 5, 4 De hecho son óptimos todos los puntos que pertenecen al segmento de recta que une a los puntos 3, 5 y 5, 4 7.16 a) b) La región factible es vacía. El valor objetivo óptimo es -4 y se alcanza en el punto 2, 2, 2. 7.17 a) Escriba el problema dual de cada uno de los siguientes programas lineales: 119 Min 5w1 + 3w2 w1 + 2w2 ≥ 3 s.a. w2 ≥ 2 − w1 ≥ −1 w1 , w2 ≥ 0 b) Max 3w1 − 8w2 + 5w3 + 3w4 s.a. 3w1 + w2 + w4 ≤ 1 − w1 + w2 + w3 ≤ −1 w1 , w2 , w3 , w4 ≥ 0 c) Min 5w1 − 2w2 w2 ≥ 1 s.a. w1 ≥ 2 3w2 ≥ −1 2w1 ≥ −1 w1 , w2 ≥ 0 7.18 Inciso (a) (b) (c) Punto óptimo Valor objetivo óptimo 0, 3 9 1/3, 1/3 5/3 11/3, 0, 2/3 15 7.19 Las cantidades son: kg del primer alimento kg del segundo alimento El costo mínimo será de $26.67 7.20 Deberá realizar: 2 horas de trote 4 horas de ciclismo 2 horas de natación El tiempo mínimo será de 8 horas. 7.21 Cada lata debe contener: 2 3 7 3 120 0.4 kg de bistec 1 kg de carne de caballo 0 kg de hígado El costo mínimo será de $16. 7.22 Debe colocar el anuncio: 22 días en El Excélsior 6 días en El Universal El costo mínimo será de $1’620,000. 7.23 La dieta debe constar de: 3 porciones de pan 2 porciones de frijoles 4 porciones de huevo El costo mínimo será de $108. 7.24 x= 40 y= 20 P=640 7.25 x = 30 y=50 P = 450 7.26 x = 9 y = 0 Z= 63 7.27 x = 3/5 y= 6/5 C= 12/5 7.28 15 muñecas 25 soldados Utilidad = $ 210 7.29 4 unidades de Alimento A, 4 unidades de Alimento B , Costo Mínimo $8 7.30 10 toneladas Mina I 10 toneladas Mina II Costo Mínimo $ 1,100 7.31 6 Cámaras Tipo A 10 Cámaras Tipo B Costo Mínimo $ 6,600,000 7.32 a) x 1 = 0 x2 = 4 121 Z=8 b) x 1 = 1 x2 = 5 Z = 14 c) x 1 = 10/3 x 2 = 7/3 Z = 94/3 d) x 1 = 1 x2 = 0 x3 = 0 Z=2 e) x 1 = 1 x2 = 0 x3 = 1 Z = 13 7.33 0 cajas de A 2400 cajas de B Ingreso $ 1,200 7.34 0 sillas 300 mecedoras 100 sillones 7.35 Proceso Anterior 0 litros Proceso Nuevo 1500 litros Utilidad = $300 122 8. VALORES Y VECTORES PROPIOS 8.1 a) c) e) g) Calcule el polinomio característico de cada una de las siguientes matrices: 1 k) b) 1 −2 5 13 d) −2 −5 9 −15 0 f) 8 0 8 −7 −2 13 2 0 h) −3 5 − 34 2 −7 −2 2 −3 0 3 0 0 6 3 7 0 1 4 0 1 −2 5 a i) 4 0 b π 0 0 c 1 −1 0 −1 2 −1 0 −1 1 5 4 2 j) 4 5 2 2 2 2 −7 −2 0 0 2 −3 0 0 0 0 1 4 0 0 1 −2 8.2 Para matrices 2x2 hay una fórmula sencilla para calcular el polinomio característico. Verifique que si A es una matriz 2x2, entonces su polinomio característico es igual a λ 2 − trAλ + det A Comentario. Los valores propios de una matriz son las raíces de su polinomio característico. Es muy fácil calcular las raíces de un polinomio de grado 2 de la forma ax 2 + bx + c, utilizando la conocida fórmula −b± 2 b 2 −4ac x= 2a Para polinomios de grado tres y cuatro las fórmulas de Cardano y Ferrari, respectivamente, expresan las raíces de los polinomios en función de los coeficientes. Estas fórmulas requieren operaciones elementales y extracción de raíces; su aplicación, sin embargo, es mucho más laboriosa. Un teorema profundo de Abel nos dice que para polinomios de grado mayor o igual a cinco no existe una fórmula como las anteriores. 123 La carencia de una fórmula explícita propició el desarrollo de diversos métodos numéricos. Estos nos dan aproximaciones de las raíces, tan buenas como se necesiten. Hoy en día existen paquetes de cómputo muy sofisticados, como Mathematica, que nos aproximan rápida y satisfactoriamente las raíces de un polinomio dado. 8.3 Calcule los valores propios de las matrices del ejercicio 8.1. Observe que en el caso del inciso (j) se necesita aplicar la fórmula de Cardano, algún método numérico o algún paquete. 8.4 Calcule la multiplicidad algebraica y la geométrica de los valores propios de las matrices del ejercicio 8.1 incisos (a), (b), (d)-(h), (k). También encuentre un vector propio de cada valor propio. 8.5 Las siguientes matrices tienen a 11 como valor propio con una multiplicidad algebraica igual a tres. Calcule, en cada caso, la multiplicidad geométrica y un conjunto máximo de vectores propios linealmente independientes para este valor propio. a) 11 0 0 0 11 0 0 0 11 b) 11 2 0 0 11 0 0 0 11 11 c) 2 0 0 11 2 0 11 0 8.6 Determine si cada una de las matrices A dadas a continuación es diagonalizable. En caso afirmativo encuentre una matriz invertible S y una matriz diagonal D tales que S −1 AS = D a) c) e) 8.7 1 4 b) 1 −2 5 13 d) −2 −5 3 1 f) −1 1 −7 −2 2 −3 1 −4 0 1 −7 −2 0 0 2 −3 0 0 0 0 1 4 0 0 1 −2 Despeje A de la fórmula S −1 AS = D del ejercicio anterior y explique porqué A k = SD k S −1 Con esta fórmula calcule la k-ésima potencia de las matrices del ejercicio 8.6, incisos (a), (b) y (f). 124 8.8 a) c) 8.9 a) d) ¿Cuáles de las siguientes son matrices de probabilidad? 1 0 1 2 1 2 1 4 1 4 b) − 12 3 2 3 4 1 4 1 2 1 0 0 1 4 1 3 1 4 0 0 1 0 1 0 1 3 1 3 1 3 d) ¿Cuáles de las siguientes matrices de probabilidad son regulares? 1 2 1 3 0 1 1 0 1 2 2 3 b) 1 2 1 2 1 0 c) 1 3 2 3 0 1 0 1 0 e) 0 0 1 1 0 0 8.10 El 1o. de enero de 2004 la población de México estaba distribuida de la siguiente manera: 60% vivía en las ciudades y 40% en el campo. De acuerdo a un estudio se espera que 2% de la población del campo emigre cada año a las ciudades y 5% de la población urbana emigre cada año al campo. Suponiendo que el número de habitantes permanece constante, ¿cómo estará distribuida la población el 1o. de enero de 2006? ¿Cómo se distribuirá la población a la larga? 8.11 En el área metropolitana la gente interesada en deportes compra el Ovaciones o el Esto (pero no los dos). De acuerdo con un estudio se sabe que el 1o. de septiembre este grupo de lectores se distribuyó de la siguiente manera: 60% compró el Ovaciones y 40% compró el Esto. De acuerdo al mismo estudio se sabe que durante el mes de septiembre el Ovaciones conservó 23 de sus lectores, mientras que el 13 restante empezó a leer el Esto. Por su parte el Esto conservó 34 de sus lectores, y los restantes cambiaron sus preferencias por el Ovaciones. Para simplificar los cálculos supondremos que no hay lectores nuevos y que los existentes siempre compran uno de los dos periódicos mencionados. a) ¿Qué proporción de lectores compró cada periódico el 1o. de octubre? b) Si continúa el mismo comportamiento de los lectores en los meses siguientes, ¿qué porcentaje de lectores comprará a la larga cada periódico? 8.12 Los registros meteorológicos de Villahermosa indican que si un día llueve, la probabilidad 125 de que llueva al día siguiente es 0.6; pero si un día no llueve, la probabilidad de que llueva al día siguiente es de 0.3. a) Verifique que la matriz de transición de este proceso es regular. b) Calcule la distribución de probabilidad estacionaria e interprétela. c) Si la probabilidad de que llueva el 4 de octubre es de 0.9 ¿cuál será la probabilidad de que llueva el 8 de octubre? 8.13 Cada año el departamento de publicidad de la revista Proceso envía cartas a una lista de personas invitándolas a suscribirse. Dicha lista incluye a los suscriptores. El 60% de éstos renueva su suscripción, mientras que el 25% de los que no están suscritos decide abonarse a la revista. El año pasado el 40% de las personas que recibieron su carta se suscribieron a Proceso. ¿Qué porcentaje de las personas que reciban carta este año ordenará una suscripción? ¿Y qué porcentaje lo hará a largo plazo? 8.14 En un laboratorio se diseña una caja con tres compartimientos. Supóngase que cualquier ratón que se encuentre en esta caja cambiará de compartimiento cada minuto de acuerdo a la siguiente matriz de probabilidades: P= 1 3 1 6 0 2 3 2 3 2 3 0 1 6 1 3 a) Demostrar que P es una matriz de transición regular. b) Si se coloca un ratón en el tercer compartimiento, ¿cuál es la probabilidad de que se encuentre en el primer compartimiento después de un minuto? ¿ después de dos minutos? ¿después de tres minutos? c) La persona a cargo del experimento decide salir del laboratorio por varias horas y asegura que cuando regrese encontrará al ratón en el segundo compartimiento de la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga razón? Ejercicios de Repaso 8.15 Pruebe que la matriz A = −3 4 −2 3 es diagonalizable y use este hecho para calcular A 4 . 8.16 Considérese una comunidad en la cual cada habitante posee un automóvil. Supóngase que cada persona se deshace de su coche al final de cada sexenio para comprar uno nuevo y que sólo hay coches de marca Honda (H), Chrysler (C) y Volkswagen (VW). a) Complete la siguiente matriz de transición si se sabe que cada sexenio, una persona que tiene un Chrysler no comprará un nuevo Chrysler, sino cambiará a Honda o VW con una probabilidad de 12 en ambos casos. 126 H C VW H T= 1 4 3 4 0 0 3 4 1 4 C VW b) Determine si la matriz es regular c) Calcule la distribución de probabilidad estacionaria e interprétela. 8.17 En la actualidad hay tres planes de inversión A,B y C, disponibles para los clientes de un Banco. Un cliente sólo puede usar un plan a la vez y puede cambiar de uno a otro sólo al final de cada año. La probabilidad de que alguien en el plan A continue con el es 30% y de que cambie a B es 10%. La probabilidad de que alguien en el plan B continue con él es 40% y de que cambie a A es 20%. La probabilidad de que alguien en el plan C continue con él es 50% y de que cambie a A es 50%. a) Construir la matriz de transición para los clientes. b) ¿Cuáles son los planes, más popular y el menos popular a largo plazo? 8.18 Calcule los valores y vectores propios de la siguiente matriz y determine si es diagonalizable. 5 0 1 0 5 0 0 0 5 127 SOLUCIONES 8.1 a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) λ2 + λ − 6 λ 2 + 10λ + 25 λ2 + 1 λ2 λ 2 − 17λ + 72 6 − λλ 2 + λ − 6 = −λ 3 + 5λ 2 + 12λ − 36 5 − λλ 2 + 10λ + 25 = −λ 3 − 5λ 2 + 25λ + 125 −λ 3 + 4λ 2 − 3λ a − λb − λc − λ −λ 3 + 12λ 2 − 21λ + 10 λ 2 + 10λ + 25λ 2 + λ − 6 Nota: La matriz del inciso (k) está formada por dos bloques. Estos dos bloques son precisamente las matrices de los incisos (b) y (a). Entonces se tiene que el polinomio característico de la matriz "grande" es el producto de los polinomios característicos de los bloques. Sea A = 8.2 a b c d detA − λI = det . El polinomio característico de A es igual a a−λ b c d−λ = λ 2 − a + dλ + ad − bc = λ 2 − trAλ + det A 8.3 a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) 8.4 −3, 2 −5, −5 No tiene valores propios reales. 0, 0 9, 8 6, −3, 2 5, −5, −5 0, 1, 3 a, b, c Utilizando algún paquete de cómputo encontramos que los valores propios son 1, 1, 10 −5, −5, −3, 2 Nota: Para cualquier valor propio λ valen las siguientes desigualdades: 1 ≤ mult. geom. λ ≤ mult. alg.λ. Damos las multiplicidades en la tabla. La primera columna da el valor propio, la segunda la 128 multiplicidad geométrica, la tercera la multiplicidad algebraica y la cuarta un vector propio. a) −3 2 1 1 1 1 −1, 1 4, 1 b) −5 1 2 −1, 1 d) 0 1 2 1, 0 e) 9 8 1 1 1 1 1, 0 15, 1 f) 6 −3 2 1 1 1 1 1 1 1, 0, 0 4, 9, −9 −19, 16, 4 g) 5 −5 1 1 1 2 50, 19, 86 0, −1, 1 h) 0 1 3 1 1 1 1 1 1 1, 1, 1 −1, 0, 1 1, −2, 1 k) −5 −3 2 1 1 1 2 1 1 −1, 1, 0, 0 0, 0, −1, 1 0, 0, 4, 1 8.5 a) La multiplicidad geométrica es 3. Tres vectores propios linealmente independientes son 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1. b) La multiplicidad geométrica es 2. Dos vectores propios linealmente independientes son 1, 0, 0 y 0, 0, 1. c) La multiplicidad geométrica es 1. Un vector propio linealmente independiente es 1, 0, 0. 8.6 a) Sí. D = b) c) d) e) f) No No No No No −3 0 0 2 ,S = 129 −1 4 1 1 8.7 Si S −1 AS = D, despejando A obtenemos A = SDS −1 Por lo tanto A 2 = SDS −1 SDS −1 = SD 2 S −1 También A 3 = A 2 A = SD 2 S −1 SDS −1 = SD 3 S −1 En general A k = A k−1 A = SD k−1 S −1 SDS −1 = SD k S −1 . 1 4 1 −2 8.8 a) b) c) d) Sí No Sí No 8.9 a) b) c) d) e) Sí Sí No No No 8.10 k = −1 4 1 −3 k 0 − 15 0 2k 1 5 1 4 5 1 5 . 95 . 05 La matriz de transición es . 02 . 98 El primero de enero de 2006 el 56% de la población vivirá en las ciudades y el 44% en el campo. A la larga el 28.57% de la población vivirá en las ciudades y el 71.43% vivirá en el campo. 8.11 2 3 1 4 La matriz de transición es 1 3 3 4 El primero de octubre el 50% de los lectores compró el Ovaciones y el 50% restante compró el Esto. A la larga 42.86% comprará el Ovaciones y 57.14% comprará el Esto. 8.12 a) La matriz de transición es .6 .4 .3 .7 Esta matriz es regular. b) El vector de probabilidades estacionario es 3 , 4 . 7 7 Esto quiere decir que a la larga la probabilidad de que llueva es de 42.86% y la probabilidad de 130 que no llueva es de 57.14%. c) La probabilidad de que llueva es de 43.2% y de que no llueva es de 56.8%. .6 La matriz de transición es 8.13 .4 . . 25 . 75 39% de las personas que reciban una carta este año ordenará una suscripción. A la larga lo hará el 38.5%. 8.14 a) En P 2 ningún elemento es igual a cero, luego P es una matriz regular b) 0, 1 , 4 9 27 2. c) 3 8.15 λ1 = 1 λ 2 = −1 Sí es diagonalizable. 1 4 1 2 A 4 = −1 1 1 0 −1 0 4 8.16 a) ● T= 1 4 1 2 3 4 0 0 0 3 4 1 2 1 4 b) Si es regular c) H, C, VW = 2 , 3 , 2 7 7 7 8.17 a) 0. 3 0. 1 0. 6 T= 0. 2 0. 4 0. 4 0. 5 6 b) A, B, C = 15 , 0 1 15 , 8 15 0. 5 131 1 −2 −1 1 Más popular: Plan C Menos popular: Plan B 8.18 λ 1 = 5; λ 2 = 5; λ 3 = 5 v 1 = 1, 0, 0 v 2 = 0, 1, 0 No es diagonalizable. 132