1 ANÁLISIS COMPARATIVO DE LA ECONOMETRIA TRADICIONAL

ANÁLISIS COMPARATIVO DE LA ECONOMETRIA TRADICIONAL CON LA
DE SERIES DE TIEMPO
Ejercicio 1: Análisis econométrico
A. Enfoque tradicional
Del ejercicio en el capitulo VIII del libro
capturar la siguiente información:
obs
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
I.
Y
3
2
4
5
5
7
6
8
9
12
X1
1
2
2.5
3
4
5
7
8
9
15
“Introducción a la econometría”
X2
8
15
10
9
7
6
8
4
3
1
X3
16
17
18
15
17
20
19
21
22
23
Marco teórico: Teoría del consumo
Con Y: consumo, X1: Ingreso, X2: Inflación, X3: Inversión, con una serie de 10 años
para cada una de las variables, haciendo
Y=f(X1, X2)
Verificar la teoría económica de que el consumo, Y varia en razón directa del
ingreso X1, y en razón inversa de la inflación, X2. Lo anterior significa, entre otras
cosas, comprobar que el coeficiente del regresor o variable exógena, X1, tiene
signo positivo, en tanto que el coeficiente de la otra variable exógena, X2, tiene
signo negativo.
Así, vamos al programa EVIEWS, colocamos el cursor en Quick/ estimate
equation/ escribimos Y X1 X2 ok y aparece el siguiente cuadro
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Sample: 1993 2002
Included observations: 10
Variable
C
X1
X2
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
Coefficient
5.800837
0.442193
-0.309751
Std. Error
0.976443
0.076017
0.081265
t-Statistic
5.940785
5.817014
-3.811615
0.973305
0.965678
0.555441
2.159601
-6.526078
2.464587
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
Prob.
0.0006
0.0007
0.0066
6.100000
2.998148
1.905216
1.995991
127.6122
0.000003
1
Que le llamaremos “ecuación para predecir”
II.
Diagnóstico
1. La ecuación de regresión Y = 5.800837488 + 0.4421934197*X1 0.3097507478*X2 en lo que se refiere a los signos de los coeficientes de X1,
X2 cumplen con lo especificado por la teoría del consumo.
2. Las pruebas de significación estadísticamente usando α=5% realizadas con
2
t, para β 1, β 2 y F para R tienen una probabilidad de casí cero, lo cual,
corrobora que X1 y X2 e xplican satisfactoriamente a Y.
3. En ese sentido R2= 0.973305 como R 2 = 0.965678 muestra que X1, X2 son
suficientes para explicar a Y; no se necesita otra variable para determinar el
comportamiento presente y futuro de Y.
4. Sin embargo, independientemente de verificar si fueron o no violados
algunos supuestos del modelo estimado con el método de mínimos
cuadrados, digamos la homocedasticidad, la eficiencia, ausencia de
autocorrelación o de multicolinealidad entre las variables exógenas, con este
ejercicio haremos otras pruebas con el propósito de asegurarnos que la
ecuación de regresión múltiple antes descrita sirva para pronósticar y
visualizar escenarios futuros, es decir, para hacer planeación sobre el
consumo.
Dichas pruebas adicionales son:
III.
Pruebas de especificación del modelo.
1.- Omisión de variables explicativas, digamos X3.
Para verificar si omitimos algún regresor explicativo en el modelo aplicamos la
2
X cuadrada en su “razón de verosimilitud” como el estadístico F, que permiten
incorporar; uno o varios regresores explicativos y probar si su contribución al
modelo es significativo estadísticamente. Así, planteamos con α=5%
Ho: una o varias variable(s) explicativa(s) no es (son) significativa(s)
estadísticamente. No debe(n) incorporarse al modelo: en este caso X3.
Ha: Todo lo contrario de Ho, es decir, que si verificamos que es (son)
significativa(s) estadísticamente, entonces debemos incorporarlo(s) al modelo
porque también determina(n) el comportamiento de la variable endógena Y.
Para contrastar la contribución de las variables explicativas nuevas se requiere
que éstas, también llamadas “omitidas”, tengan el mismo tamaño de muestra
que Y, X1, X2; además, que el modelo especifique la ordenada al origen; C, y,
Y, X1, X2 .
Así, de la ecuación partimos, de su cuadro, nos colocamos en view/coefficient
tests/omitted variables- likelihood ratio/y en la caja de “omitted – redundant
variable test, escribimos X3/ok y obtenemos el siguiente cuadro:
2
Omitted Variables: X3
F-statistic
Log likelihood ratio
0.193073
0.316720
Probability
Probability
0.675754
0.573585
Test Equation:
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Sample: 1993 2002
Included observations: 10
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
X1
X2
X3
4.609288
0.407127
-0.303439
0.071535
2.903669
0.113580
0.087583
0.162801
1.587402
3.584513
-3.464580
0.439401
0.1635
0.0116
0.0134
0.6758
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.974138
0.961206
0.590519
2.092274
-6.367718
2.324024
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
6.100000
2.998148
2.073544
2.194578
75.33212
0.000037
La diferencia entre ambas F’s es la siguiente, la F asociada a la prueba de omisión
de variables y la F que asume un valor de 75.33212 es la evaluación de la
R 2 / k −1
regresión Y f(X1 ,X2) y se construye F =
(1 − R 2 ) / n − k
Como la probabilidad de F y la razón de verosimilitud >5%, aceptamos Ho y
decidimos no incluir en el modelo X3 como variable explicativa. Si hubiéramos
aceptado Ha usaríamos la nueva ecuación de regresión Y=f(X1 , X2, X3).
2. Variables explicativas redundantes, digamos X2.
En Eviews la prueba “Redundant variables- likelihood ratio contrasta la
significación estadística de una o varias variables exógenas, con el fin de
cerciorarse de que no sobran o de que son redundantes. Así con α=5%
supóngase que
Ho: X2 es redundante
Ha: X2 no es redundante
Como en el ejemplo anterior partimos del cuadro de la ecuación de regresión
en que Y=f(X1 , X2), colocamos el cursor en view/coefficient tests/redundant
3
variables-likelihood ratio/ escribimos X2 en “omitted redundant variables test/ok
y aparece el cuadro siguiente:
Redundant Variables: X 2
F-statistic
Log likelihood ratio
14.52841
11.23463
Probability
Probability
0.006614
0.000803
Test Equation:
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Sample: 1993 2002
Included observations: 10
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
X1
2.263158
0.679087
0.497606
0.071805
4.548090
9.457435
0.0019
0.0000
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.917901
0.907638
0.911169
6.641826
-12.14339
2.526715
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
6.100000
2.998148
2.828679
2.889196
89.44309
0.000013
2
Vemos que las probabilidades de F y de X en la razón de verosimilitud son
menores que 5%, por lo que aceptamos H a y al no ser redundante el X2, la
conservamos en el modelo como regresor explicativo de Y.
IV.
Pruebas de estabilidad estructural
I.
Contraste de Chow
Se usa cuando se piensa que dentro de la serie de años hay un año en que
por razones extremas cambió la trayectoria de la variable endógena; en
nuestro caso con 10 años suponga que en el año 6, ocurrió el desquiciamiento
de la economía, es decir, que el año 6 es 1998. Por el desequilibrio
económico hay razones de peso para pensar que cambió el valor de Y. Para
verificarlo, con α=5% establecemos la hipótesis nula de estabilidad estructural.
Ho: Hay un solo modelo para todos los datos (modelo restringido)
Ha: Cada subgrupo en que se dividen los datos tiene un comportamiento
diferente: no hay un solo modelo hay dos.
Luego si no hay diferencias estadísticas significativas entre el modelo
restringido y el otro aceptamos Ho: de estabilidad estructural del modelo; en
caso contrario, aceptamos Ha y decimos que hubo un cambio estructural en el
año 6 que fue 1998, en que todo el sistema económico se trastoco.
Para probar Ho dividimos en dos muestras nuestros datos: la primera del año
1993 a 1998 y la segunda del año 1999 a 2002. Como siempre partimos del
cuadro que muestra Y=f(X1 ,X2), de view/stability tests/chow break point test/
damos click y en la ventana que aparece escribimos 6 /ok genera el cuadro:
4
Chow Breakpoint Test: 1998
F-statistic
Log likelihood ratio
0.962950
5.436099
Probability
Probability
0.491917
0.142511
Al ver que la probabilidad de F y de la ra zón de verosimilitud es mayor que 5%,
aceptamos H0.
2. Contraste de predicción de Chow
Con α=5% planteamos:
H0: Hay estabilidad estructural, en un modelo restringio a un solo
comportamiento de todos los datos, cuyos residuos se comparan con los del
período más largo de los dos en los que la serie ha sido dividida.
Partimos de la ecuación de regresión Y=f(X1 , X2) e iniciamos el siguiente
proceso: view/stability test/chow forecast tests/click y en “Chow test” escribimos el
año en que pensamos a partir del cual pudo haber ocurrido un cambio estructural:
1998 / ok y aparece el cuadro:
Chow Forecast Test: Forecast from 1998 to 2002
F-statistic
Log likelihood ratio
0.630146
9.459914
Probability
Probability
0.707345
0.092067
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
X1
X2
4.376115
0.688921
-0.234532
1.536202
0.305989
0.109844
2.848659
2.251456
-2.135147
0.1043
0.1532
0.1663
Test Equation:
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Sample: 1993 1997
Included observations: 5
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.876682
0.753364
0.647519
0.838561
-2.630928
2.091172
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
3.800000
1.303840
2.252371
2.018034
7.109128
0.123318
Aceptamos H0 ya que la probabilidad de los estadísticos es mayor que 5% y
concluimos diciendo que hay estabilidad estructural, con esta muestra.
3. Estimación recursiva
Es útil cuando se trabaja con datos temporales como estos y se desconoce el
año en que se produjo el cambio estructural. Esta prueba consiste en la
estimación secuencial del modelo especificado para distintos tamaños
5
muéstrales. Si k=número de parámetros, entonces la primera muestra, su
tamaño es k+1, que usamos para estimar el modelo: de 1993 a 1995 porque
son dos parámetros. En las siguientes muestras añadimos una a una todas las
observaciones hasta agotar el total de la información (Carrascal; et al;
2000:193). De las sucesivas estimaciones del modelo con el resto de las
muestras se generan “las series de los llamados coeficientes recursivos y
residuos recursivos”. Si no hay cambio estructural: Ho. “Las estimaciones de
los parámetros se mantendrán constantes al ir aumentando las muestras
secuencialmente y los residuos no se desviarán ampliamente de cero” Así, de
View/stability tests/Recursive Estimate (OLS only)/ok y en la caja de diálogo
por default aceptamos C(1) C(2) / ok y aparece esta gráfica:
1 .5
1 .0
0 .5
0 .0
-0 .5
-1 .0
-1 .5
1 99 6
19 97
1 9 98
1 99 9
R ec ur sive R es idu als
2 00 0
2 00 1
20 02
± 2 S .E .
Claramente constatamos que hay estabilidad en el modelo en el período. Los
residuos recursivos no se salen de las bandas construidas con dos errores
estándar alrededor de Y ± 2S.E.
4. Errores de especificación en la forma funcional/ RESET
Estos errores se analizan con el contraste RESET elaborado por RAMSEY en
1969, con el cual se verifica si se esta usando una forma funcional lineal
incorrecta y cualquier error de omisión o la presencia de correlaciones entre las
variables explicativas y la perturbación (Carrascal et. al, 2000:203)
Con α=5% la probabilidad de rechazar una hipótesis cierta, establecemos;
Ho: Hay linealidad en el modelo
Ha: No hay linealidad en el modelo
6
Dar View/Stability tests/Ramsey Reset Test/ clic y aparece el cuadro de diálogo
“RESET Specification” y escribimos el número de potencias de la variable
endógena ajustada a incluir empezando por el cuadrado; así si indicamos se
añadirá el cuadrado de dicha variable, si ponemos 2 se incluirá el cuadrado y el
cubo, etc. Si dejamos la celda en blanco el programa entiende que se añadirá la
variable al cuadrado.
2
El resultado son las variables de F y χ de ra zón de verosimilitud junto con la
ecuación estimada. Luego de View/ Stability tests/Ramsey RESET y escribimos en
la celda en blanco 1 /ok y aparece el cuadro.
Ramsey RESET Test:
F-statistic
Log likelihood ratio
0.192822
0.316314
Test Equation:
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Sample: 1993 2002
Included observations: 10
Variable
Coefficient
C
5.911835
X1
0.541787
X2
-0.330648
FITTED^2
-0.011652
R-squared
0.974136
Adjusted R-squared
0.961205
S.E. of regression
0.590531
Sum squared resid
2.092359
Log likelihood
-6.367921
Durbin-Watson stat
2.643707
Probability
Probability
0.675950
0.573831
Std. Error
t-Statistic
1.068461
5.533039
0.240775
2.250178
0.098638 -3.352133
0.026536 -0.439115
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
Prob.
0.0015
0.0654
0.0154
0.6760
6.100000
2.998148
2.073584
2.194618
75.32899
0.000037
Al tener F y χ 2 de ra zón de verosimilitud probabilidades mayores que 5%
aceptamos Ho y concluimos que el modelo es lineal.
V.
Normalidad entre las perturbaciones
Este supuesto es básico para determinar el uso de otro métodos de estimación
distintos al de MCO y para hacer inferencias a partir del modelo. Para ello es
fundamental plantear con α=5% y verificar:
Ho: Hay normalidad en las perturbaciones: JB=0
Ha: No hay normalidad en las perturbaciones: JB ≠ 0
Como no son observables las perturbaciones se estudian con los residuos. Si
verificamos Ho ello indica que la distribución empírica de los residuos debe ser
similar a la de la distribución normal. Con la probabilidad de JB=0.847292 >5%
aceptamos Ho, además de que la kurtosis se acerca a 3, a pesar de que la
7
asimetría no sea cero. De View/Residual tests/Histogram normality test/ click y
aparecen el cuadro y la gráfica siguientes:
3.2
Series: Residuals
Sample 1993 2002
Observations 10
2.8
2.4
Mean
Median
Maximum
Minimum
Std. Dev.
Skewness
Kurtosis
2.0
1.6
1.2
0.8
0.4
Jarque-Bera
Probability
0.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.22E-15
-0.069172
0.846700
-0.765025
0.489853
0.315605
2.369937
0.331419
0.847292
1.0
VI.
Predicción
1. Partimos de File/open/workfile/clic/ aparece todo el archivo, ahí selecciono
solo mi archivo que llamo “ecuación para predecir” /abrir/clic y aparece ese
archivo.
2. Expandimos en 3 años el rango del archivo: “ecuación para predecir” con
procs/change workfile range: start 1; and 3/ ok
3. Le indicamos a Eviews que ahora deseamos ampliar el tamaño de la
muestra con: procs/Sample o sample en el workfile(archivo) en esa caja de
diálogo ponemos 1993 a 2005/ok.
4. Damos en la ventana de la ecuación estimate: procs/make regresión group,
aparecen Y, X1, X2 en blanco
5. Editamos pulsando edit/ escribir sus valores proyectados ver siguiente
cuadro
obs
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
Y
3
2
4
5
5
7
6
8
9
12
X1
1
2
2.5
3
4
5
7
8
9
15
X2
8
15
10
9
7
6
8
4
3
1
8
2004
2005
Para llenar las celdas de X1 , X2 hay 2 procedimiento:
1. Escribimos sus valores como en el siguiente cuadro (llamado grupo 2)
mismo que lo guardamos como grupo2
2. En la línea de comando escribir Data X1 X2 enter y aparece el cuadro del
grupo 4 y llenamos los años con los datos correspondientes.
Grupo 2
obs
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
Y
3
2
4
5
5
7
6
8
9
12
X1
1
2
2.5
3
4
5
7
8
9
15
13
14
15
X1
1
2
2.5
3
4
5
7
8
9
15
13
14
15
X2
8
15
10
9
7
6
8
4
3
1
1
2
2
X2
8
15
10
9
7
6
8
4
3
1
1
2
2
Grupo 4
obs
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
Regreso a EQ01: que fue la primera ecuación en el workfile: “ecuación para
predecir” y ahí voy a Forecast /aparece una pantalla que además de mostrar YF
nos pide sample range for forecast”, por default trae 1993- 2005 / ok y aparece el
siguiente cuadro :
9
14
Forecast: YF
Actual: Y
Forecast sample: 1993 2005
Included observations: 10
12
10
Root Mean Squared Error
Mean Absolute Error
Mean Abs. Percent Error
Theil Inequality Coefficient
B ias Proportion
V ariance Proportion
Covariance Proportion
8
6
4
2
0.4 64715
0.3 69380
7.6 45546
0.0 34564
0.0 00000
0.0 06764
0.9 93236
0
1 994
19 96
1998
2000
2 002
20 04
YF
Ahora en la pantalla de workfile: ecuación para predecir, seleccione (sombreo) Y y
YF para conocer el valor pronosticado de YF/ open group/clic y aparece el
siguiente cuadro que llamo grup03
obs
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
Y
3
2
4
5
5
7
6
8
9
12
YF
3.76502492522
2.03896311067
3.80881355932
4.33966101695
5.4013559322
6.1533000997
6.41818544367
8.09938185444
8.85132602193
12.1239880359
11.2396011964
11.3720438684
11.8142372881
Este cuadro también se obtendría así:
En la línea de comando escribimos “Show Y YF” / enter y aparece igual al caso
anterior.
Puesto que ya conocemos YF con 13 datos, ahora podemos evaluar
estadísticamente dicha predicción analizando en la figura anterior, la gráfica y las
estadísticas del cuadro. En el caso de la grafica observamos primero una caída y
luego un repunte; ello se debe a que X1, X2 en el período de predicción, primero
caen sus valores y luego aumentan.
Con respecto a las estadísticas, dado que casi todas (con la excepción de una:
mean abs, percent error) tienen valores menores a uno, decimos que es buena
estimación de la predicción.
Por consiguiente resultó adecuada la ecuación de regresión Y=f(X1, X2)
10
B. ECONOMETRIA D E S ERIES DE TIEMPO
La econometría de series de tiempo surgió porque el análisis tradicional aun
cuando trabajaba con series de tiempo y suponía que eran estacionarias, es decir,
que su media aritmética, µ, al igual que si varianza, σ 2 y su covarianza, γ 0 debían
observar constancia en el tiempo, lo anterior no se verificaba como tampoco
aspectos interesantes como los siguientes:
a) El hecho de que en algunos casos la autocorrelación se gesta porque las
series de tiempo en estudio no son estacionarias;
b) La aparición de un alto grado de asociación (su coeficiente de
determinación cercano a uno) sin sentido alguno y que no es real, al que se
le llama regresión espuria, como una consecuencia de que las series de
tiempo no son estacionarias;
c) En el caso de la predicción, de que las series de tiempo observarán el
fenómeno de caminata aleatoria, que de existir, como sucede en una serie
de tiempo no estacionaria, reduce el calculo de la predicción a considerar
digamos, en el caso de las acciones de una empresa, solamente su precio
actual más un choque puramente aleatorio (o término de error), situación
que en opinión de Gujaratí (2004:767), si fuera el caso, el pronóstico del
precio de las acciones sería un ejercicio inútil.
d) La conveniencia de realizar el análisis de la estacionalidad de las series de
tiempo antes del análisis de su causalidad.
e) Constatar la importancia de contar con una serie que tenga “ruido blanco”,
es decir, que no exista autocorrelación, tal que el coeficiente de correlación
sea cero.
En opinión de las personas que se dedican al estudio de las predicciones, es
fundamental corregir, eliminar o comprobar estas irregularidades, ya que limitan de
manera significativa la precisión de los pronósticos, situación que en el caso de la
planeación es muy importante hacerlo para poder crear escenarios confiables, en
corto, mediano y largo plazo.
Por otra parte, deb e aclararse que una serie no estacionaria se puede estudiar y
usarse para pronosticar solo para el periodo de tiempo bajo consideración, en
tanto que con una estacionaria se puede generalizar para todos los periodos, de
ahí que se recomiende siempre ob tenerla.
Al respecto, dicho en otras palabras, es necesario “descontaminar” la serie de la
variable endógena de los elementos irregulares de las estacionalidades que
inducen tendencias equivocadas. Esta descontaminación se logra con diversos
métodos dentro de los que destacan el de las MA, AR, etc.,que veremos más
adelante. Esta “limpia o descontaminación” debe hacerse porque hay datos que
transportan componentes indeseables que generan “ruido” en la predicción. Luego
hay que limpiar o descontaminar la serie depurándola, eliminándole los
componentes irregulares estacionales y quitar la tendencia a que nos están
conduciendo equivocadamente. Esta acción de descontaminación también se
conoce como filtrado, su resultado es al hacerlo producen ahora una serie con
ruido blanco: sin efectos negativos como por ejemplo la autocorrelación.
11
Los “filtros” de mayor uso son, como arriba se indicó: los autorregresivos o
diferenciados, (AR: auto regression) y los aditivos o de medias móviles,
(MA:moving averages)
Dentro de los primeros ( Gabriel Tapia Gómez, et al, 2002) el filtro univariante más
sencillo, AR,es aquel en que el operador diferencia, digamos que obtiene la
primera diferencia ordinaria y se denota así: AR(1).Con este procedimiento se
eliminan las frecuencias bajas pero se acentúan las más altas. Comenta que en
series suaves permite obtener estimaciones de los componentes estacional e
irregular y aproximar la tasa de crecimiento de la serie original cuando se filtra el
logaritmo y, por consiguiente se deduce que se utiliza como indicador del ciclo
cuando las series tienen comportamientos suaves. En este contexto es interesante
decir que existen otros filtros autoregresivos como el AR de orden mayor, que
consiste en obtener la diferencia de orden estacional, con lo que se eliminan las
frecuencias bajas y los ciclos armónicos de la frecuencia fraccional
correspondiente.
El segundo filtro, MA, se útil para extraer componentes en análisis del ciclo, ya
que “dejan pasar intacta la información contenida en determinada banda de
frecuencias mientras que eliminan o acentúan las restantes”. Con este método se
desestacionaliza extra yendo el componente ciclo tendencia.
Derivado de lo anterior podemos decir que con los filtros AM y AR, sucesivamente,
se tendrán como resultados correspondientes, la atenuación de altas frecuencias y
la atenuación de bajas frecuencias, resultando un pico en la función de
transferencia de la serie filtrada y una atenuación de determinadas frecuencias
intermedias. En opinión del investigador Gabriel Tapia, et al, los filtros más usados
son los de Hodrick & Prescott (1980), Prescott (1986) y los de Henderson.
Así, de la lectura anterior se deduce que es conveniente completar el análisis de
regresión tradicional hasta ahora efectuado, con el de series de tiempo, haciendo
hincapié en las pruebas de estacionalidad de las series de tiempo, en aquellas que
tienen raíz unitaria, como también en las que presentan correlación espuria etc,
para transformarlas en estacionarias. Agréguese a lo anterior que una vez “limpia”
la serie, es conveniente hacer las pruebas de cointegración con objeto de que la
serie de tiempo expresada en la ecuación de regresión sirva para pronosticar con
un alto grado de confianza estableciendo el equilib rio entre el corto y largo plazo.
1.- Pruebas de estacionalidad
Se toma como referencia la ecuación de regresión ya familiar, llamada
“ECUACIÓN PARA PREDECIR” donde: Yt=f(X1,X2).
1.1 Prueba gráfica
En eviews: Quick/graph/escribimos en “Series list: Y/ok luego/en graph type
escogemos: Line graph/ok y aparece
12
14
12
10
8
6
4
2
0
19 94
1996
1998
2000
2002
2 004
Y
Al analizar la evolución de Yt en 10 años vemos que el consumo (Yt) aumentó
porque su gráfica muestra una tendencia ascendente, situación que hace suponer
que su µ no ha permanecido constante, sino que ha cambiado, lo cual sugiere que
la serie de Yt es no estacionaria:
Ahora probemos con una técnica más rigurosa.
1.2 Función de autocorrelación (FAC) y Correlograma
Ahora si trabajamos Yt en función de X1 e X2, vamos al archivo general que
guarda la “Equation:EQ01” para 10 años (si no se localiza, obtengase con
Quick/Estímate Equation/ Y C X1 X2 /ok y aparece; ahí vamos a View/Residual
test/Correlogram Q-statistics/lags to include: aceptamos 11 /ok
13
y aparece el siguiente cuadro.
Para saber si la serie es estacionaria planteamos.
H0: No hay autocorrelación, la serie es estacionaria; ρ k=0
Ha : Si hay autocorrelación, la serie es no estacionaria, ρ k ≠ 0
Donde ρ k= coeficiente de autocorrelación con k rezagos
Con α=5% nivel de significación= probabilidad de rechazar H0 aún cuando es verdadera, es
decir, para aceptar H0 es necesario que la probabilidad sea mayor a 5%.
La columna AC=función de autocorrelación muestral usada para estimar la función de
autocorrelación poblacional, muestra los coeficientes de autocorrelación (ρi) para ocho
rezagos. Para saber si son estadísticamente significativos , construimos el intervalo de
confianza del 95% para cualquier ρk con ρˆ k ± Z α σ pk , como k=8 rezagos y n=10,
varianza= 1/10= 0.100 luego el error estándar= 0.10 = 0.31 y como α=5%; ξ =95% en una
1
distribución normal de ρ k que tiene µ=0 y σ 2 = . Fuente Gujarati (2004:786).
n
Sustituimos
ρˆ k ± 1.96( 0. 31)
ρˆ k ± 0.61
Tal que Pr ob (ρˆ k − 0.61 ≤ ρ k ≤ ρˆ k + 0. 61) = 95% = ξ
Así tenemos que para cualquier ρ k existe un límite inferior (LI) y un límite superior LS). Si
estos límites incluyen el cero no se rechaza la hipótesis de que el verdadero ρ κ sea cero;
sino incluye el cero, se rechaza la hipótesis de que el verdadero ρ κ sea cero. Si lo anterior lo
aplicamos a ρˆ k = −0.371; primer rezago
Tendremos LI=-0.371-0.61=-0.98
LS=-0.371+0.61=0.24
También si en el cuadro vemos que: ρˆ k = 0. 159; segundo rezago
14
Tendremos
LI=0.159-0.61=-0.45
LS=0.159+0.61=0.77
Igualmente si: ρˆ k = 0. 022; séptimo rezago
Tendremos LI=0.022-0.61=-0.59
LS=0.022+0.61=0.63
Vemos que estos y el resto incluyen al cero, luego se tiene la confianza del 95% de que el
verdadero ρ k=0, que no es significativamente diferente de cero; que indica que se acepta la
H0 de que la serie es estacionaria, lo que contradice a la prueba gráfica quizá porque la
curva tiene altibajas.
1.3. Estadística Q
Si en lugar de probar la significación estadística de cualquier ρ i, se prueban todos en
conjunto, se usa Q. Aquí.
H 0 = ρˆ 1 = ρˆ 2 = ... = ρˆ k = 0
donde k=1,2,3,...8
H a = ρˆ 1 ≠ ρˆ 2 ≠ ... ≠ ρˆ k ≠ 0
Q se usa para probar una serie de tiempo si es de ruido blanco (totalmente aleatoria y sin
autocorrelación) en muestras grandes como χ2 con m grados de libertad. Si Q>Qα, valor
2
crítico, de la tablas χ se rechaza H0 de que todas las ρ k son iguales a cero; también decimos
que si Q> χ α2 se rechaza H0; obviamente algunas son diferentes de cero. Con estas
referencias, si con α=5% y 8 gl tenemos χ α2 =2.73 vemos en este caso que algunos Q’s son
mayores y otras menores a 2.731 por lo que queda indefinida la decisión por lo pequeño de
la muestra.
1.3.1 Estadístico Ljung-Box (LB)
Es una variante de Q y se recomienda para muestras pequeñas. Así, decimos que si el valor
del estadístico Q<LB aceptamos H0. En el cuadro anterior el valor de Q oscila entre 1.84 y
4.71; vemos que la probabilidad (última columna) de obtener estos valores bajo la H0 de
que las ρ k sean cero es muy alta; en cada una de ellas es mayor al 5%=α. En consecuencia
aceptamos la H0 y decimos que la serie de tiempo de Yt es estacionaria, que es de un
proceso de ruido blanco: puramente aleatorio.
1.4. Correlograma
Esto representado gráficamente en la primera y numéricamente en la tercer columna del
cuadro con el nombre de AC: autocorrelación, su línea vertical continua representa el cero
y las punteadas sus límites de confianza; luego las “barras” a su izquierda expresan valores
negativos y las de la derecha positivos de las ρ k . Ejemplo el rezago 1 tiene una
autocorrelación negativa –0.371 y por eso está al izquierda del cero; el rezago 7 tiene una
autocorreelación =0.022 y por eso está a la derecha del cero. Como ninguna autocorrelación
15
rebasa los límites de confianza, aceptamos H0 de que Yt es una serie estacionaria con ruido
blanco, los ρ k no son significativamente diferentes de cero, sus valores son pequeños.
2.- La prueba de raíz Unitaria con un rezago.
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 1994 2002
Included observations: 9 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
C
1.593287
1.945672
X1(-1)
1.020252
0.188746
X2(-1)
0.018857
0.151202
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.914784
0.886379
0.998670
5.984054
-10.93388
1.728872
t-Statistic
0.818888
5.405423
0.124712
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
Prob.
0.4442
0.0017
0.9048
6.444444
2.962731
3.096417
3.162159
32.20468
0.000619
Se usa la estadística o prueba tau (τ) de Dickey-Fuller (DF) para verificar si hay o no
estacionalidad en la serie con:
H0:δ=0, luego ρ=1 y existe raíz unitaria por lo que Yt es una serie de tiempo no
estacionaria;
Ha :δ ≠0, luego ρ ≠1 y no existe raíz unitaria por lo que Yt es una serie de tiempo estacionaria;
Donde δ= coeficiente estimado de la pendiente de X1t-1 y de X2t-1 usadas para estimar Yt,
con un rezago para ver si es o no estacionaria.
Si se rechaza H0 se puede usar t y no τ.
En este caso se gestó un resultado mixto: con X1t-1 se rechaza H0 y con X2t-1 se acepta. Sin
embargo con la prueba del correlograma Yt es estacionaria, también lo es con AC y con la
estadística de Ljung-Box para muestras pequeñas. Está prueba ha sido muy criticada por
expertos como M addala y Kim, quienes sugieren que no se aplique. (Gujarati, 2004:793).
MODELOS CON VARIABLES RETARDADAS
Comentan los estudiosos del tema que el efecto de una variable exógena sobre una
endógena no termina en el periodo de análisis, por el contrario su efecto es prolongado en
el tiempo, como lo podemos observar digamos en el caso del ingreso (X1) sobre el
consumo(Y), éste continúa por varios periodos de tiempo más. Como la evidencia muestra
que lo anterior es cierto, también lo es que se requiere se ha establecido una metodología
apropiada dado que al meter el factor tiempo ahora se pasa de un análisis estático a uno
dinámico de las series de tiempo. La incorporación de efectos diferidos en el tiempo en un
modelo uniecuacional se realiza mediante la incorporación de variables “retardadas o
rezagadas”, que es la razón por la que se conoce como modelos con variables retardadas,
que pueden ser de dos clases:
I.- Los modelos autoregresivos y
16
II.- Los modelos de retardos distribuidos
I.-MODELOS AUTORREGRESIVOS ( Carrascal, et al, 294)
Estos modelos suponen la violación de la hipótesis establecida en el modelo de regresión
lineal clásico: la hipótesis de que los regresores no son aleatorios, ya que la variable
endógena retardada depende de la perturbación aleatoria y, por consiguiente, tiene un
carácter estocástico. Así, los resultados del modelo están condicionados al tipo de
dependencia que exista entre los regresores estocásticos y las perturbaciones. Puede haber 3
tipos de dependencia:
1.- Independencia total, con la que se mantienen todas las propiedades de los estimadores
obtenidos con M CO.
2.- Dependencia parcial: aquí el regresor estocástico sólo depende de la perturbación en
periodos de tiempo pasados, no existiendo dependencia en tiempos presente y futuros: en
este caso el estimador es consistente pero ya es sesgado.
3.- Dependencia total. El regresor estocástico depende de la perturbación en todos los
periodos: pasados, presente y futuros. En este caso el estimador además de ser sesgado es
inconsistente, obligando a buscar un método alterno de estimación que al menos garantice
que sea consistente. Aquí usaremos el método de variables instrumentales, que parte de la
definición de una matriz Z de instrumentos que sustituye a la matriz X de regresores del
modelo .Las variables que componen Z tienen que cumplir dos requisitos.
1.- estar fuertemente correlacionadas con la variable que instrumentan o sustituyen.
2.- No estar correlacionadas con la perturbación.
La forma más común de instrumentar las variables del modelo autoregresivo consiste en
sustituir los regresores exógenos por ellos mismos, porque cumplen a la perfección con los
dos supuestos exigidos, y la variable endógena retardada por otra variable exógena con la
que observe mayor correlación, retardada en el mismo número de periodos.
La determinación del tipo de dependencia en este tipo de modelos entre el regresor
estocástico ( la variable endógena retardada) y la perturbación, en la práctica se realiza
estudiando la existencia de autocorrelación entre las residuos del modelo. Así, la
incorrelación de las perturbaciones implica una situación de dependencia parcial, en tanto
que la presencia de correlación conlleva a la dependencia total. Para detectarla usaremos h
de Durbin modificada, el contraste h; correlogramas, Q y la prueba Breusch- Godfrey.
Sean los datos ya conocidos:
obs
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
Y
3.000000
2.000000
4.000000
5.000000
5.000000
7.000000
6.000000
8.000000
9.000000
12.00000
X1
1.000000
2.000000
2.500000
3.000000
4.000000
5.000000
7.000000
8.000000
9.000000
15.00000
X2
8.000000
15.00000
10.00000
9.000000
7.000000
6.000000
8.000000
4.000000
3.000000
1.000000
X3
16.00000
17.00000
18.00000
15.00000
17.00000
20.00000
19.00000
21.00000
22.00000
23.00000
17
Para copiarlos y traerlos hacia acá: Abro el programa “Econometric Views”con Inicio/
file/new/workfile/1993-2002/ok, enseguida escribo en barra de control:data y x1 x2 x3 y
voy al archivo en que están estos datos ( unas hojas atrás),baño sus datos ( sólo ellos, es
decir, empiezo con el 3 de y y termino con el 23 de x3)/editar /copiar regreso aEviews, ahí
le doy enter y aparecen las celdas en blanco de las 4 variables, oprimo el botón derecho del
cursor, lo coloco en la primera celda / edit/ paste y se llena el cuadro que aparece arriba.
Le doy un nombre al archivo:” modelo autocorrelac”, lo salvo con file/ save as
GSB/Econometría/series de tiempo/abrir ejercicio 1/guardar. Obtenemos su ecuación de
regresión. Ahora el archivo contiene los datos en Group 1/ lo abro/ voy a “quick”/estimate
equation/ en barra de control escribimos y c x1 x2 x3/ok y aparece el siguiente cuadro.
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 06/27/06 Time: 05:56
Sample: 1993 2002
Included observations: 10
Variable
C
X1
X2
X3
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
Coefficient
4.609288
0.407127
-0.303439
0.071535
Std. Error
2.903669
0.113580
0.087583
0.162801
t-Statistic
1.587402
3.584513
-3.464580
0.439401
0.974138
0.961206
0.590519
2.092274
-6.367718
2.324024
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
Prob.
0.1635
0.0116
0.0134
0.6758
6.100000
2.998148
2.073544
2.194578
75.33212
0.000037
Queremos ver el efecto del tiempo: Planteamos Ho: ρ=0, que significa ausencia de
correlaciones y la Ha: ρ<0 ó ρ >0, que expresa la existencia de autocorrelación AR(1)
positiva o negativa, con un nivel de significación (alfa) del 5%.
Cabe señalar que la especificación de AR(1) significa de orden 1: que sólo hay una
autocorrelación entre el último y el penúltimo término de la serie; será de segundo orden
cuando haya autocorrelación entre el último y el antepenúltimo término, y así
sucesivamente para el resto de
las perturbaciones del periodo analizado. La
autocorrelación se ve gráficamente por medio del diagrama de dispersión ( una curva) y del
correlograma (como una sola barra que se sale del intervalo de confianza establecido para
los residuos en estudio, cuando el rezago es de orden uno,AR(1). Al respecto, es lógico
suponer que las observaciones cercanas en el tiempo están muy correlacionadas y que las
observaciones lejanas entre si apenas tendrán alguna relación, comportamiento que es
congruente con las características del modelo AR(1). Al meter la variable tiempo estamos
dinamizando el modelo, pasando de un enfoque estático de las variables a uno en
movimiento para cualquier lapso de tiempo que deseemos.
18
También reiteremos que ρ es el coeficiente de correlación serial de primer orden y
que al no ser observables las correlaciones entre las perturbaciones, se utilizan las
variables de los residuos mínimos cuadráticos.
Ojo: ver autocorrelación en carrascal, pp 266.
Por otra parte, se usa h de Durbin en lugar de la d de Durbin Watson, porque tienen las
siguientes ventajas: a).-cuando el tamaño de la muestra es menor que 12 y b).- en la
ecuación de regresión se omite la ordenada al origen y c).- se pone la variable endógena en
función de si misma, como variable exógena, pero rezagada.
Para obtener la h que necesitamos en la prueba de Durbin-Watson modificada, en esta
ecuación vamos a proces/ make residual series/ aparece”ordinary y en “name for residual
series” escribimos EM CO/OK y aparece la siguiente serie de residuos, que son 10 porque
ese es el número de datos
Last
updated:
06/27/06 06:02
Modified:
1993 2002 //
eq04.makere
sid
-0.733465
-0.088056
0.119651
0.827254
-0.329821
0.745008
-0.390834
-0.154786
0.063112
-0.058064
De esta ecuación genero la serie de rezagos/retardos en un periodo de la siguiente forma:
estimate equation/ escribo emco emco(-) y aparece ahora ya para 9 datos por el rezago que
hicimos de un año.
Dependent Variable: EMCO
Method: Least Squares
Date: 06/27/06 Time: 06:08
Sample(adjusted): 1994 2002
Included observations: 9 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
19
EMCO(-1)
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
0.019677
-0.016503
-0.016503
0.587856
2.764598
-7.458965
0.341350
0.057646
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
Durbin-Watson stat
0.9554
0.071518
0.583065
1.879770
1.901684
2.072389
A continuación calculo “ρ” porque la necesitamos para el cálculo de h, usando la literal r en
su lugar . para ello almacenamos la ecuación alterior en un escalar. Escribimos en línea de
comandos :scalar r = @coefs(1)/enter y aparece hasta abajo el valor de
r=0.0196772976114, que sustituimos en la fórmula para calcular h cuyo valor resulta ser
0.0645623444212. El valor de h también lo podemos obtener en Eviews así: escribimos en
la barra de control scalar h = r*@sqrt(@regobs/(1-@regobs*(@stderrs(2))^2)), damos
enter y hasta abajo aparece el valor de h antes mencionado. Notas a).- el símbolo anterior se
obtiene con “Alt 94”; b).- Cuando abajo no aparece el valor de r o de h, escribimos en la
barra de control,”show r” o también “show scalar r” y su valor aparecerá en seguida.
Ahora establezco Ho: ρ=0 y la Ha: ρ<0 ó ρ >0 con α=5% en una prueba de dos
extremos tenemos que Ζ (distribución normal) de alfa es igual a más menos 1.64> que
el estadístico h=0.0645623444212.Así aceptamos la Ho, es decir no hay autocorrelación.
Conviene reiterar como ya lo hicimos cuando vimos el problema de la autocorrelación, que
ésta provoca que el estimador del parámetro deje de ser eficiente aun cuando sigue siendo
insesgado y asintóticamente consistente cuando aumenta el tamaño de la muestra.
El resultado obtenido con h, de que no hay autocorrelación también se verifica con el
contraste de Breusch-Godfrey en la primer ecuación, ahí vamos a view/ residual test/ serial
correlation LM test, lags( rezagos deseados )en este caso son 2/ok que por default
aceptamos, y aparece para dos y un rezago/retardo:
Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
F-statistic
Obs*R-squared
0.001106
0.000000
Probability
Probability
Test Equation:
Dependent Variable: RESID
Method: Least Squares
Date: 06/22/06 Time: 23:44
Presample missing value lagged residuals set to zero.
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
X1
0.001352
0.144885
0.009329
X2
0.000982
0.107654
0.009122
X3
-0.000789
0.082635 -0.009545
RESID(-1)
0.019873
0.449109
0.044249
RESID(-2)
0.007926
0.487570
0.016256
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
-0.000782
-0.801408
0.770670
2.969661
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
0.998895
1.000000
Prob.
0.9929
0.9931
0.9928
0.9664
0.9877
0.019064
0.574199
2.623740
2.775032
20
Log likelihood
-8.118699
Durbin-Watson stat
1.922721
Los resultados ( sus probabilidades mayores a 5%) para dos y un retardo aceptan la
hipótesis nula, decisión que se corrobora porque el valor de F es mayor que 5% aquí
también aceptamos la hipótesis nula Ho.
Ahora bien,como señala Carrascal et al ( 2002, pp299), si observamos los resultados para
dos y un retardo, podemos comprobar la no significación individual de RESID (-1) y
RESID (-2) es decir, hay incorrelación.Sin embargo, ello revela la dependencia entre la
variable endógena retardada y la perturbación, situación que determina la existencia de un
esquema AR(1) y hace que los estimadores mínimos cuadrados ordinarios “ni siquiera sean
consistentes, lo que determina la necesidad de obtener estimadores por el método de
variables instrumentales, que aprovechamos para exponer en que consiste este método.
Método de variables instrumentales.
Se requiere encontrar unos instrumentos que sustituyan a los regresores del modelo. Se
acostumbra utilizar como instrumento de la variable endógena retardada uno de los
regresores también retardado; en nuestro ejemplo usaremos X1(-1) en lugar de Y(-1). Así,
nos situamos en la ecuación original y pulsamos el botón Estimate de su barra de
herramientas. La ecuación específica seguirá siendo la misma, pero en la celda “method”
seleccionamos como método de estimación la opción TSLS- Two stages least squares ( tsls
and ARMA). En instrument list indicaremos la lista de instrumentos: x1 x1(-1),x2 x2(-1),
x3 x3(-1), porque el número de instrumentos debe ser al menos el número de variables
independientes incluidas en el modelo .
La peculiaridad de este método( Carrascal et al, 300) consiste en que en la primera etapa
calcula las regresiones por M CO de cada uno de los regresores de la ecuación inicial frente
a todos los instrumentos seleccionados; en la segunda etapa efectúa la regresión por M CO
de la variable endógena original utilizando como variables explicativas los valores
estimados de cada una de las regresiones de la primera etapa. Se demuestra que estas dos
etapas son equivalentes a la obtención de los estimadores por variables instrumentales
cuando se utilizan como instrumentos los valores estimados de cada regresor del modelo
frente a todos los instrumentos considerados, en otras palabras, los valores estimados de las
regresiones de la primera etapa.
Dependent Variable: Y
Method: Tw o-Stage Least Squares
Date: 06/23/06 Time: 00:21
Sample(adjusted): 1994 2002
Included observations: 9 after adjusting endpoints
Instrument list: X1 X1(-1) X2 X2(-1) X3 X3(-1)
Variable
C
X1
X2
X3
Y(-1)
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Coefficient
6.219008
0.321778
-0.372650
0.034205
0.035999
0.982163
0.964327
0.559581
Std. Error
3.232678
0.165332
0.097526
0.158260
0.252038
t-Statistic
1.923795
1.946254
-3.821023
0.216131
0.142832
Mean dependent var
S.D. dependent var
Sum squared resid
Prob.
0.1267
0.1235
0.0188
0.8395
0.8933
6.444444
2.962731
1.252525
21
F-statistic
Prob(F-statistic)
55.11518
0.000941
Durbin-Watson stat
3.250657
Sabiendo que Ho: ρ=0 y la Ha: ρ<0 ó ρ >0 ahora usamos la d Durban Watson para
contrastar: como d= 3.25 > 2 de manera rápida decimos que hay autocorrelación; sin
embargo no debemos de apresurarnos, mejor verifiquemos o corroborémoslo
con un
análisis pormenorizado de la estimación trabajando ahora con el
Correlograma de los residuos
Para ello en la ecuación anterior coloco el cursos en view/ Residual test/ Correlogram Qstatistics, mismo que aparecen enseguida como
Date: 06/23/06 Time: 08:03
Sample: 1994 2002
Included observations: 9
Autocorrelation
*****| . |
. |** . |
. *| . |
. | . |
. *| . |
. |* . |
. | . |
Partial Correlation
*****| . |
. **| . |
. | . |
. *| . |
. **| . |
. **| . |
. *| . |
1
2
3
4
5
6
7
AC
-0.645
0.304
-0.133
0.028
-0.144
0.081
0.002
PAC
-0.645
-0.190
-0.040
-0.059
-0.294
-0.291
-0.100
Q-Stat
5.1414
6.4499
6.7416
6.7574
7.2697
7.4856
7.4858
Prob
0.023
0.040
0.081
0.149
0.201
0.278
0.380
Aun cuando el gráfico está defectuoso, en Eviews se ve que ninguna barra se sale de los
límites de confianza tanto en la autocorrelación como en la correlación parcial de los
residuos, lo cual se corrobora con los valores de las ρ que salvo la excepción del primer
rezago en que toman los valores de -0.645, para el resto de ellos son bajos, es decir no hay
autocorrelaciones significativas. A una conclusión análoga llegamos con Q, cuyas
probabilidades para la mayoría de los rezagos son mayores a 5%, corroborando la hipótesis
nula de que no hay autocorrelación.
Ahora trabajando con el contraste de BREUSCH-GODFREY que, como recordamos sirve
para verificar si es que existe o no correlación serial, partimos de la ecuación inicial y
hacemos: view/ Residual tests / Serial Correlation LM Test en la barra de herramientas y
aparecen los siguientes resultados para dos y un retardo ( conviene decir que el programa
por default nos ofrece 2 retardos, los cuales aceptamos) son:
Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
F-statistic
0.001106 Probability
Obs*R-squared
0.000000 Probability
0.998895
1.000000
Test Equation:
Dependent Variable: RESID
Method: Least Squares
Date: 06/23/06 Time: 09:03
Presample missing value lagged residuals set to zero.
Variable
X1
X2
X3
RESID(-1)
Coefficient
0.001352
0.000982
-0.000789
0.019873
Std. Error
0.144885
0.107654
0.082635
0.449109
t-Statistic
0.009329
0.009122
-0.009545
0.044249
Prob.
0.9929
0.9931
0.9928
0.9664
22
RESID(-2)
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
0.007926
-0.000782
-0.801408
0.770670
2.969661
-8.118699
0.487570
0.016256
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
Durbin-Watson stat
0.9877
0.019064
0.574199
2.623740
2.775032
1.922721
De nuevo aceptamos Ho: ρ=0 y rechazamos la Ha: ρ<0 ó ρ >0 con α=5% en una prueba
de dos extremos porque el valor de F es > a 5%, así como también los valores de
las probabilidades de RESID (-1) Y RESID(-2), corroborando que los errores muestran
un esquema sin autocorrelaciones. Esta decisión de aceptar Ho también se sustenta en el
valor de d=1.922721 que es casi igual a 2, indicando que no hay autocorrelación.
Ahora bien por la importancia que tiene para hacer análisis de corto y largo plazo
ilustremos con estos datos el uso del método de variables instrumentales acompañado de
AR(1). Como lo hicimos en el ejercicio anterior pero ahora en la barra de herramientas o de
control agregamos AR(1), es decir: quick/estimate equation/ en barra de control escribimos
y c x1 x2 x3 y(-1) AR(1), en el method escribimos TSLS , en “instruments list” escribimos
x1 x1(-1) x2 x2(-1) x3 x3(-1)/ok y aparecen los siguientes resultados:
Dependent Variable: Y
Method: Tw o-Stage Least Squares
Date: 06/23/06 Time: 11:19
Sample(adjusted): 1995 2002
Included observations: 8 after adjusting endpoints
Convergence achieved after 7 iterations
Instrument list: X1 X1(-1) X2 X2(-1) X3 X3(-1)
Variable
C
X1
X2
X3
Y(-1)
AR(1)
Coefficient
7.606910
0.424144
-0.403514
-0.003625
-0.164103
-0.775286
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
F-statistic
Prob(F-statistic)
0.990126
0.965440
0.486811
40.09538
0.024512
Inverted AR Roots
-.78
Std. Error
2.500207
0.168943
0.200635
0.180319
0.344662
0.831568
t-Statistic
3.042512
2.510579
-2.011184
-0.020105
-0.476127
-0.932317
Mean dependent var
S.D. dependent var
Sum squared resid
Durbin-Watson stat
Prob.
0.0932
0.1287
0.1820
0.9858
0.6809
0.4496
7.000000
2.618615
0.473970
2.800310
Interpretación: Con este modelo podemos decir por ejemplo, si sólo interpretamos el
efecto de x1 en Y, lo siguiente: el efecto a corto plazo del ingreso (x1) sobre el
consumo(Y) es igual a 0.424144, que indica que si el ingreso aumenta en una unidad en el
periodo, el consumo crece en 0.424144 unidades en ese mismo lapso. De igual manera esa
unidad adicional de ingreso produce efectos sobre el consumo de los periodos siguientes de
tal manera que a largo plazo ( Carrascal et al, 305) el efecto del ingreso sobre el consumo
es de 0.36 unidades ( 0.424144/1-(-0.164103)=0.36). Este método de interpretación de los
23
coeficientes de las variables explicativas sobre la variable explicada también se puede
generalizar para X2 e X3 sobre Y.
Corolario: Es importante señalar que si persistiera la autocorrelación la expresaríamos
como R(1) de orden 1 ó R(2) de orden 2, trataríamos de eliminarla con retardos o rezagos
de las variables explicativas, todos los que fueran necesarios hasta lograr su erradicación.
Al respecto, recuerde que R(1) significa autocorrelación de orden 1, interpretación: sólo
hay una barra fuera del rango; y R(2) la autocorrelación de orden 2, interpretación: sólo
hay dos barras fuera del rango o intervalo de confianza establecido. También es bueno
comentar que, como se vio, la d Durban-Watson produjo resultados dudosos, nada
confiables, sobre si había o no autocorrelación, de ahí que mejor sea recomendable
aplicar su h y complementar dicho contraste con el del autocorrelograma y la Q, así como
la prueba Breusch-Godfrey.
Finalmente podemos decir que la ausencia de correlación serial en este modelo hace que
los estimadores conserven sus propiedades de consistencia, eficiencia, inses gamiento y de
suficiencia. Ahora ya podemos usar la ecuación para estudios de estructura y predicción.
II.-MODELOS CON RETARDOS DIS TRIBUIDOS
II.1.- Finitos
En este tipo de modelos son las variables exógenas y no la endógena retardada
Las que ejercen efectos subsecuentes o prolongados sobre la variable endógena o
dependiente. Aquí hay que tener en cuenta que se debe determinar el número de
periodos,M, en los “que se mantiene el efecto”, razón por la que se denominan modelos de
retardos distribuidos finitos.
Aun cuando no se viola ninguno de los supuestos clásicos del M CO, no obstante tienen las
siguientes limitantes, en un modelo de una variable endógena:
a).- M ulticolinealidad imperfecta, dado que se incluyen como variable regresoras tanto la
exógena como retardos, situación que provoca una fuerte relación lineal entre ellas que
deriva en problema de multiolinealidad fuerte.
b).-Pérdida de grados de libertad. Se produce por dos razones: la primera, al aumentar el
número de retardos se pierden observaciones; la segunda, al aumentar el número de
retardos aumenta el número de parámetros ( ahora serán K+ 1+M ), por lo que si K: número
de parámetros, T: total de observaciones, M : número de periodos, los grados de libertad del
modelo serán T-2M -K-1, la reducción será en 2M .
Lo anterior impacta la precisión de los estimadores obtenidos los parámetros del modelo.
Para resolver estos dos problemas se incorpora información sobre la forma que adopta la
influencia de la variable exógena en el devenir del tiempo, que, en otras palabras significa
el establecer restricciones sobre los parámetros.
Longitud del retardo:
Con estas referencias teóricas ahora empezaremos por ilustrar cómo se determina la
longitud del retardo. Dados los valores de Y e X1 de los ejemplos anteriores, es decir si
queremos explicar el consumo (Y) a partir de la variable ingreso(X1) retardada en un
número diferente de periodos, en Eviews, pasos:
1.-Vamos al archivo file/open/ workfile/modelo autoregresión/las seleccionamos pulsando
en Y e X1 CTRL y el botón izquierdo del cursor y luego las abrimos como un grupo
24
haciendo doble clic en cualquier parte del área sombreada y eligiendo tal opción en el el
cuadro resultante.
Y
3.000000
2.000000
4.000000
5.000000
5.000000
7.000000
6.000000
8.000000
9.000000
12.00000
X1
1.000000
2.000000
2.500000
3.000000
4.000000
5.000000
7.000000
8.000000
9.000000
15.00000
2.- Nombramos el grupo pulsando el cursor en “name” y por default aparece Group01,
mismo que aceptamos.
3.- Enseguida calculamos los valores de los coeficientes: En Group01 pulsamos el botón
Procs/ make equation de la ventana del objeto grupo. En su cuadro de diálogo
especificamos los retardos requeridos para x1. por ejemplo si cero retardos;, escribimos Y
C X1/ok y salen los siguientes resultados:
Dependent Variable: X1
Method: Least Squares
Date: 06/29/06 Time: 02:58
Sample: 1993 2002
Included observations: 10
Variable
Y
C
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
Coefficient
1.351669
-2.595179
Std. Error
0.142921
0.961936
t-Statistic
9.457435
-2.697872
0.917901
0.907638
1.285497
13.22002
-15.58512
2.500257
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
Prob.
0.0000
0.0272
5.650000
4.229854
3.517025
3.577542
89.44309
0.000013
4.- Si ahora queremos un solo rezago, reespecificamos el modelo, vamos en su cuadro de
diálogo a “estimate “ y especificamos los retardos ahora requeridos para x1, digamos 1,
luego escribimos y c x1 x1(-1)/ok y sale:
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 06/29/06 Time: 03:08
Sample(adjusted): 1994 2002
Included observations: 9 after adjusting endpoints
Variable
C
X1
X1(-1)
Coefficient
1.893576
0.318743
0.560664
Std. Error
0.583155
0.231511
0.339015
t-Statistic
3.247123
1.376795
1.653802
Prob.
0.0175
0.2177
0.1493
25
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.935075
0.913433
0.871703
4.559192
-9.710091
1.974996
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
6.444444
2.962731
2.824465
2.890206
43.20702
0.000274
5.- Ahora para dos rezagos, en esa misma equation, vamos en su cuadro de diálogo a
“estimate “ y especificamos así : y c x1 x1(-1) x1(-2)/ok y sale:
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 06/29/06 Time: 03:12
Sample(adjusted): 1995 2002
Included observations: 8 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
C
2.691799
0.777559
3.461857
X1
0.383904
0.247584
1.550601
X1(-1)
0.114224
0.702856
0.162514
X1(-2)
0.286175
0.843348
0.339333
R-squared
0.945684 Mean dependent var
Adjusted R-squared
0.904948 S.D. dependent var
S.E. of regression
0.807333 Akaike info criterion
Sum squared resid
2.607147 Schwarz criterion
Log likelihood
-6.866768 F-statistic
Durbin-Watson stat
3.225951 Prob(F-statistic)
Prob.
0.0258
0.1959
0.8788
0.7514
7.000000
2.618615
2.716692
2.756413
23.21457
0.005430
6.- Como son pocos datos finalmente probemos con tres rezagos: vamos en su cuadro de
diálogo a “estimate “ y especificamos así : y c x1 x1(-1) x1(-2) x1(-3)/ok y obtenemos:
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 06/29/06 Time: 03:15
Sample(adjusted): 1996 2002
Included observations: 7 after adjusting endpoints
Variable
C
X1
X1(-1)
X1(-2)
X1(-3)
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
Coefficient
3.336029
0.042132
-0.000381
-0.229475
1.377233
0.944113
0.832340
1.026577
2.107720
-5.731508
3.182406
Std. Error
t-Statistic
1.366625
2.441071
0.638635
0.065971
0.945374 -0.000403
1.326342 -0.173014
2.103171
0.654837
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
Prob.
0.1347
0.9534
0.9997
0.8786
0.5798
7.428571
2.507133
3.066145
3.027509
8.446703
0.108650
7.- Comparemos y hagamos análisis con los siguientes datos:
M : No. retardos T: total de Coef.determina. Criterio
de Criterio
observaciones
ajustado
información de Schwarz
Akaike
0
10
0.92
3.52
3.58
1
9
0.93
2.82
2.89
2
8
0.945
2.72
2.75
de
26
3
7
0.944
3.07
3.03
De acuerdo con estos resultados decidimos seleccionar el modelo que comprende una
longitud de dos retardos de la variable X1 porque: a). representa el mayor coeficiente de
determinación ajustado; b).- el menor valor del criterio de información de Akaike y c).- el
menor valor del criterio de Schwarz, que aparece enseguida.
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 06/29/06 Time: 03:12
Sample(adjusted): 1995 2002
Included observations: 8 after adjusting endpoints
Variable
C
X1
X1(-1)
X1(-2)
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
Coefficient
2.691799
0.383904
0.114224
0.286175
Std. Error
0.777559
0.247584
0.702856
0.843348
t-Statistic
3.461857
1.550601
0.162514
0.339333
0.945684
0.904948
0.807333
2.607147
-6.866768
3.225951
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
Prob.
0.0258
0.1959
0.8788
0.7514
7.000000
2.618615
2.716692
2.756413
23.21457
0.005430
BIBLIOGRAFÍA
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Omega Ra-M a, España. 2001.
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