Contaminación atmosférica: una aplicación del control

Contaminación atmosférica: una aplicación del
control multi-objetivo de EDPs
Lino J. Alvarez-Vázquez, Aurea Martı́nez
Dpto. Matemática Aplicada II, Universidad de Vigo, España
[email protected], [email protected]
Néstor Garcı́a-Chan
Dpto. Fı́sica, Universidad de Guadalajara, México
netog [email protected]
Miguel E. Vázquez-Méndez
Dpto. Matemática Aplicada, Universidad de Santiago de Compostela, España
[email protected]
Resumen
En el marco de la contaminación atmosférica, en este trabajo estudiamos la problemática derivada de la construcción de una nueva planta industrial. Hacemos una distinción clara entre objetivos económicos y
ecológicos y, buscando no sólo la ubicación más adecuada de la planta, sino
también la gestión óptima de sus emisiones contaminantes, formulamos
el problema en el marco del control óptimo multi-objetivo de ecuaciones
en derivadas parciales (EDPs). Desde una óptica cooperativa, buscamos
caracterizar las soluciones óptimo-Pareto del problema y desarrollar un
método que nos permita, a partir de la obtención del frente Pareto, asesorar al responsable en la toma final de decisiones.
Sección en el CEDYA 2011: MAI
1.
Introducción.
La modelización matemática basada en EDPs es ya una herramienta básica en el control de la contaminación ambiental. Los trabajos sobre simulación
numérica de dispersión de contaminantes son muy numerosos y existe gran
cantidad de software (tanto libre como comercial) dedicado a este fin. La simulación numérica es la base para la aplicación de técnicas de control óptimo y,
consecuentemente, el número de trabajos sobre control óptimo en gestión medioambiental ha ido también en aumento. No obstante, y a pesar de que este
tipo de problemas involucran aspectos tanto económicos como ecológicos, la mayorı́a de los trabajos publicados hasta el momento abordan problemas con un
único funcional objetivo. Por ejemplo, en [14] se analiza, entre otros problemas
de control medioambiental, la ubicación óptima de una nueva planta industrial,
pero se hace únicamente atendiendo a criterios ecológicos. En [2] se estudia un
problema similar en contaminación marina, pero a pesar de que se analizan
aspectos económicos y ecológicos, la priorización de estos últimos lleva a una
formulación en términos de minimización (con restricciones) de un único objetivo. En el marco de la contaminación atmosférica, en este trabajo se estudia la
problemática derivada de la construcción de una nueva planta industrial. Se tienen en cuenta objetivos económicos y ecológicos y se busca, no sólo la ubicación
más adecuada, sino también la gestión óptima de sus emisiones contaminantes. Para la simulación numérica de la contaminación atmosférica se presenta
(sección 2) un modelo basado en un sistema parabólico con condición frontera
tipo Neumann y datos medida, de carácter no lineal y fuertemente acoplado. A
partir de ese modelo, y distinguiendo claramente los objetivos ecológicos de los
puramente económicos, el problema se formula (sección 3) como un problema
de control óptimo multi-objetivo no convexo y se trata (sección 4) desde una
óptica cooperativa, buscando obtener sus soluciones óptimo-Pareto. Introduciendo el modelo adjunto, se propone (sección 5) una formulación alternativa de
gran utilidad en el caso lineal-desacoplado, y se presenta (sección 6) un algoritmo completo para su resolución numérica. Finalmente se muestran (sección 7)
algunos resultados numéricos obtenidos hasta el momento.
2.
Modelo de contaminación atmosférica.
Sea Ω ⊂ R2 un dominio acotado, donde plantas industriales localizadas en
los puntos pi ∈ Ω, i = 0, . . . , N producen emisiones contaminantes puntuales.
Supongamos que esas emisiones contaminantes son transportadas a través del
dominio por masas de aire y por difusión turbulenta y que las únicas reacciones
que tienen lugar en ellas son reacciones de tipo cinético, sujetas a la ley de
acción de masas (la tasa de reacción es proporcional a la concentración de
reactantes). Supongamos que deseamos controlar las concentraciones de NS
sustancias contaminantes y, para j = 1, . . . , NS , sea φj (x, t) la concentración de
la sustancia j en el punto x ∈ Ω y en el instante t > 0. Bajo estas hipótesis, en
el intervalo de tiempo (0, T ) las concentraciones de cada una de las sustancias
verifican el siguiente sistema:
∂φj
+ ~u · ∇φj − ∇ · (µj ∇φj ) + fj (φ1 , . . . , φNS ) =
∂t
N
X
Qji (t) δ(x − pi )
(1)
en Ω × (0, T )
i=0
donde
~u(x, t) es la velocidad del viento que se supone conocida y que satisface la
ecuación de continuidad
∇.~u = 0,
en Ω × (0, T )
(2)
µj (x, t) es un coeficiente de difusión turbulenta horizontal,
Qji (t) es el flujo másico de sustancia j descargada en el punto pi ∈ Ω, y
δ(x − pi ) es la medida de dirac en ese punto,
fj (φ1 , . . . , φNS ) representa la velocidad de desaparición de la sustancia
j por reacciones cinéticas. Se supone conocida experimentalmente y que
viene dada por (ver [7])
1
NS
fj (φ1 , . . . , φNS ) = kj φ1 αj . . . φNS αj ,
(3)
donde kj mide la velocidad de reacción y los exponentes αji son conocidos
como ordenes de reacción, siendo nj = αj1 + . . . + αjNS el orden total de la
reacción.
Suponemos que, para cada j = 1, . . . , NS , la concentración inicial de la sustancia
j viene dada por una función conocida φ0j (x), de modo que,
φj (x, 0) = φ0j (x)
en Ω.
(4)
Finalmente, para cada punto de la frontera x ∈ ∂Ω, denotamos por ~n(x) el
vector normal unitario exterior y escribimos ∂Ω × (0, T ) = S − ∪ S + , donde
S − = {(x, t) ∈ ∂Ω × (0, T ) tal que ~u.~n < 0} representa la parte de la frontera
por la que entra el aire y S + = {(x, t) ∈ ∂Ω × (0, T ) tal que ~u.~n(x) ≥ 0} la
parte por la que sale. Consideramos que fuera del dominio Ω no hay fuentes de
polución y, en consecuencia, sobre S − admitimos que el flujo total (por advección
y difusión) de sustancia j es cero, mientras que sobre S + despreciamos el flujo
por difusión frente al flujo por advección. Esto nos lleva a completar el sistema
con las siguientes condiciones frontera:
µj
3.
∂φj
− φj ~u.~n = 0
∂~n
∂φj
=0
µj
∂~n
sobreS − ,
(5)
sobreS + .
(6)
Formulación matemática del problema
Nos planteamos ahora el problema del diseño y la gestión de una nueva
planta industrial. Para ello, suponemos que tenemos ya N plantas construidas
y funcionando (los puntos p1 , . . . , pN ∈ Ω y las funciones Qj1 (t), . . . , QjN (t), para j = 1, . . . , NS son conocidos) y que deseamos construir una nueva planta
que estará ubicada en un punto p0 ∈ Ω a determinar. La planta estará en funcionamiento un tiempo T y durante ese perı́odo de tiempo (0, T ) emitirá a la
~ 0 (t) = (Q1 (t), . . . , QNS (t)), también a determinar. Se
atmosfera unos flujos Q
0
0
busca que la planta sea económicamente lo más rentable posible, pero también
lo menos dañina posible en términos ecológicos.
Desde un punto de vista económico, la rentabilidad de la planta se puede
dividir en dos partes. Por una parte, parece claro que más emisiones contaminantes se corresponden con una mayor producción y, consecuentemente, con
una mayor rentabilidad. En ese sentido, suponemos conocida F (función real y
positiva de NS variables reales) que mide la rentabilidad de la planta en función
de sus emisiones, de modo tal que los beneficios económicos de la planta vienen
dados por
Z T ~ 0 (t) dt.
F Q
0
Por otra parte, de la ubicación de la planta dependen directamente, tanto los
gastos de construcción, como los gastos de gestión. Para los de construcción
partimos de una función G (real y positiva) que nos da directamente el gasto en
función de su ubicación. Para la gestión, suponemos la existencia de un punto
ideal pI0 (que representa, por ejemplo, la fuente de materia prima) y una función
real conocida s(t) (definida, por ejemplo, a partir del precio del combustible) de
modo que los gastos de gestión en el perı́odo de funcionamiento vienen dados
por
Z T
s(t)||p0 − pI0 ||2 dt,
0
donde k · k es la norma euclı́dea en R2 . Económicamente se trata pues de minimizar el funcional
Z T
Z T ~ 0 (t) dt +
~ 0) = −
s(t)||p0 − pI0 ||2 dt + G(p0 )
(7)
F Q
JE (p0 , Q
0
0
Desde un punto de vista ecológico, suponemos la existencia de NZ zonas sensibles Ak ⊂ Ω, para k = 1, . . . , NZ y medimos el impacto ambiental de la planta
a través de las concentraciones medias de las sustancias contaminantes en cada
una de esas zonas. Estas vienen dadas por los funcionales
Z
1
j
~
Jk (p0 , Q0 ) =
φj (x, t)dxdt,
(8)
|Ak |T Ak ×(0,T )
donde para k = 1, . . . , NZ , |Ak | denota el área de Ak y para j = 1, . . . , NS , las
funciones φj (x, t) son las soluciones del sistema (1),(4)-(6), llamado sistema de
estado.
Finalmente, debemos tener en cuenta la existencia de restricciones tecnológicas que limitan, tanto el lugar donde se puede ubicar la planta, como su producción. Para ello, denotamos por Xad ⊂ Ω el conjunto de puntos en los que es
N
posible colocar la planta y por Qad ⊂ (L∞ (0, T )) S el conjunto de emisiones
admisibles. De este modo el problema del diseño y la gestión de la nueva planta
industrial se formula como el siguiente problema de Control Óptimo Multiobjetivo:
Problema COM: Para k = 1, . . . , NZ y j = 1, . . . , NS , encontrar el punto p0 ∈
~ 0 ∈ Qad que minimice los funcionales JE , dado
Xad y el vector de funciones Q
j
por (7), y Jk , dados por (8), en el conjunto admisible Xad × Qad .
4.
Soluciones Optimo-Pareto.
Los costes económicos y ecológicos están en clara contraposición y, por consi~ 0 ) ∈ Xad × Qad que minimice
guiente, no es posible encontrar un elemento (p0 , Q
simultaneamente el funcional JE y todos los funcionales Jkj , para k = 1, . . . , NZ
y j = 1, . . . , NS . En ese sentido, el problema COM, como la práctica totalidad
de los problemas multi-objetivo, es mal definido. Aún ası́, existen elementos del
conjunto admisible que merecen una especial atención: aquellos para los que no
es posible encontrar otro elemento que mejore un objetivo, sin empeorar alguno
de los otros. Esos elementos suelen llamarse soluciones Pareto-óptimas. Una definición más formal es la siguiente (ver, por ejemplo, [11]):
~ ∗ ) ∈ Xad × Qad es una solución Pareto-óptima (óptimoDefinicion 1 (p∗0 , Q
0
~ 0 ) ∈ Xad × Qad que
Pareto) del problema COM si no existe ningún (p0 , Q
cumpla las dos condiciones siguientes:
~ 0 ) ≤ J j (p∗ , Q
~ ∗ ) para todo k ∈ {1, . . . , NZ } y j ∈ {1, . . . , NS } y
1. Jkj (p0 , Q
0
k 0
~ ∗ ).
~ 0 ) ≤ JE (p∗ , Q
además JE (p0 , Q
0
0
~ ∗ ) para algún k ∈ {1, . . . , NZ } y j ∈ {1, . . . , NS }, o
~ 0 ) < J j (p∗ , Q
2. Jkj (p0 , Q
0
k 0
~ ∗ ).
~ 0 ) < JE (p∗ , Q
bien JE (p0 , Q
0
0
~ ∗ ) ∈ Xad × Qad es una solución Pareto-óptima, el vector objetivo
Si (p∗0 , Q
0
∗ ~∗
~ ∗ )) se
~ ∗ ), . . . , J NS (p∗ , Q
~ ∗ ), . . . , J 1 (p∗ , Q
~ ∗ ), . . . , J NS (p∗ , Q
(JE (p0 , Q0 ), J11 (p∗0 , Q
0
0
0
0
0
0
1
NZ 0
NZ
dice también Pareto-óptimo. El conjunto de todas las soluciones Pareto-óptimas
se llama conjunto Pareto-óptimo y al conjunto de vectores objetivo Pareto-óptimos se le conoce como frente Pareto.
La interpretación gráfica del frente Pareto de un problema con dos funcionales objetivo JE y J11 (NZ = NS = 1) puede verse en la figura 1. El conocimiento
del frente Pareto es de vital importancia para el responsable de la toma de decisiones y establecer un método para obtenerlo es el principal objetivo de las
siguientes secciones.
5.
Formulación alternativa: el modelo adjunto.
En la expresión para los costes ecológicos (8) no aparecen directamente los
~ 0 , sino que la dependencia viene dada a través de la función
controles p0 y Q
φ(x, t), solución del sistema de estado. En el control óptimo de EDPs, una
técnica ampliamente utilizada para establecer una relación más directa entre
controles y funcionales objetivo es utilizar modelos adjuntos (ver, por ejemplo,
1
(JE,J1 )
1
J1
1
(JE(p0xQ0),J1 (p0xQ0))
XadxQad
p0xQ0
Frente Pareto
JE
Figura 1: Ejemplo de frente Pareto con dos funcionales objetivo JE y J11
[9] o [12]). Con esa intención introducimos, para j = 1, . . . , NS y k = 1, . . . , NZ ,
los siguientes sistemas adjuntos:
∂g j
− k − ~u · ∇gkj − ∇ · (µj ∇gkj ) + hj (φ1 , . . . , φNS ) gkj =
∂t
1
IA ×(0,T )
T |Ak | k
∂g j
µj k = 0
∂n
∂gkj
j
+ gk ~u · ~n = 0
µj
∂n
gkj (x, T ) = 0









en Ω × (0, T ) 



sobre S −
sobre S +
en Ω
donde:
(9)












IAk ×(0,T ) es la función indicatriz del conjunto Ak × (0, T ),
1 si (x, t) ∈ Ak × (0, T )
IAk ×(0,T ) (x, t) =
0 si (x, t) 6∈ Ak × (0, T )
NS
Y
i
i
fj (φ1 , . . . , φNS )
= κj
φi αj −δj ,
hj (φ1 , . . . , φNS ) =
φj
i=1
1 si i = j
i
i
siendo δj la delta de Kronecker, δj =
0 si i 6= j
Los costes ecológicos pueden ahora expresarse a partir de las soluciones de
(9), del siguiente modo:
T
T
1
IAk ×(0,T ) φj dxdt
T
|A
k|
0
Ω
0
Ak
!
Z TZ
∂gkj
fj (φ1 , . . . , φNS ) j
j
j
−
=
− ~u · ∇gk − ∇ · (µj ∇gk ) +
gk φj dxdt
∂t
φj
0
Ω
Z TZ ∂φj
=
+ ~u · ∇φj − ∇ · (µj ∇φj ) + fj (φ1 , . . . , φNS ) gkj dxdt
∂t
0
Ω
!
Z
∂gkj
j
j ∂φj
dΓ
− µj φ j
−φj gk ~u · ~n + µj gk
+
∂n
∂n
S + ∪S −
Z
Z
−
φj (x, T ) gkj (x, T ) dx +
φj (x, 0) gkj (x, 0) dx
~ 0)
Jkj (p0 , Q
=
1
T |Ak |
Z
Z
φj (x, t) dxdt =
Ω
=
Z
=
Z
T
0
0
Z
Z
Ω
Z X
N
Ω i=0
N
T X
i=0
Qji (t) δ(x − pi ) gkj dxdt +
Qji (t) gkj (pi , t) dt +
Z
Ω
Z
Ω
φ0j (x) gkj (x, 0) dx
φ0j (x) gkj (x, 0) dx
(10)
Conviene señalar que para que la expresión (10) tenga sentido es precisa
una cierta regularidad espacial para las funciones gkj , algo que, en general, no
tenemos garantizado. Además, esas funciones, soluciones de (9), dependen de
las funciones φj , soluciones de (1),(4)-(6) y, consecuentemente, de los controles
~ 0 . En ese sentido, la expresión (10) puede parecer, desde un punto de
p0 y Q
vista práctico, incluso menos útil que la expresión (8).
En el caso particular de que αji = δji , (sistema de estado lineal y desacoplado,
correspondiente a reacciones de orden total 1), tenemos que
fj (φ1 , . . . , φNS ) = κj φj .
En ese caso, admitiendo que ~u ∈ [L∞ (0, T ; W 1,∞ (Ω))]2 , podemos asegurar (ver
[6] y [10]) que el sistema de estado (1),(4)-(6) admite una única solución φj ∈
2
2
Lr (0, T ; W 1,p (Ω)) ∩ L2 (0, T ; L2 (Ω)), para r, s ∈ [1, 2),
+
> 3. Además,
r
s
resulta que
hj (φ1 , . . . , φNS ) = κj ,
con lo que (9) admite una única solución (ver [8]) gkj ∈ L2 (0, T ; H 1 (Ω)) ∩
H 1 ([0, T ]; L2 (Ω)) y la igualdad (10) es rigurosamente cierta. Finalmente, como las funciones φj no aparecen ya en (9), las soluciones gkj son completamente
~ 0 , y el problema COM se puede dividir
independientes de los controles p0 y Q
en dos subproblemas totalmente desacoplados:
Problema A: Para cada j = 1, . . . , NS y k = 1, . . . , NZ , encontrar la
función gkj ∈ L2 (0, T ; H 1 (Ω)) ∩ C([0, T ]; L2 (Ω)) que verifica el sistema
Adjunto (9) con hj (φ1 , . . . , φNS ) = κj .
Problema OM: Identificar el conjunto Pareto-óptimo del siguiente problema de Optimización Multi-objetivo (en espacios de Banach):
Minimizar
sujeto a
~ 0, Q
~ 0)
J(p
~
(p0 , Q0 ) ∈ Xad × Qad
(11)
NS
1
~ 0 ) dado
), estando JE (p0 , Q
, . . . , J1NS , . . . , JN
donde J~ = (JE , J11 , . . . , JN
Z
Z
j
~ 0 ) dado por (10).
por (7) y, para j = 1, . . . , NS y k = 1, . . . , NZ , Jk (p0 , Q
6.
6.1.
Resolución numérica.
Problema A
Como ya hemos comentado, si αji = δji entonces hj (φ1 , . . . , φNS ) = κj y
los sistemas (9) son similares para todo j = 1, . . . , NS , k = 1, . . . , NZ . Debido
a ello, y con la intención de aliviar la notación, en esta sección suprimos los
ı́ndices k y j en todas las funciones y parámetros que intervienen en (9).
Para resolver el problema A (sistema (9) con h(φ1 , . . . , φNS ) = κ) utilizamos un método que combina caracterı́sticas para la discretización temporal con
elementos finitos de Lagrange P1 para la discretización espacial y que puede
emplearse también para resolver el sistema de estado (ver [1]). El método de las
caracterı́sticas [13] se basa en la igualdad
Dy
∂y
(x, t) =
(x, t) + ~u · ∇y,
Dt
∂t
donde
(12)
Dy
denota la derivada material de y con respecto a ~u y t, esto es,
Dt
i
Dy
∂ h
(13)
(x, t) =
y(X(x, t; τ ), τ ) ,
Dt
∂τ
τ =t
siendo τ → X(x, t; τ ) la trayectoria que sigue la partı́cula del fluido que en el
instante t ocupa el lugar x. Esta función, llamada caracterı́stica, puede obtenerse
como la solución del siguiente problema de valor inicial

dX

= ~u (X(x, t; τ ), τ ) , 
dt
(14)


X(x, t; t) = x.
T
Tomamos N ∈ N, ∆t = N
, y definimos tn = n∆t. Denotamos por X n+1 (x) =
n n+1
X(x, t ; t
) la posición en el instante tn+1 de la partı́cula que en el instante
n
t estaba en xy consideramos
−
Dg
g(x, tn ) − g(X n+1 (x), tn+1 )
∂g
− ~u · ∇g = −
≃
,
∂t
Dt
∆t
(15)
lo que nos lleva a aproximar el problema A por el problema Adjunto SemiDiscretizado siguiente:
Problema ASD: Para n = N − 1, . . . , 0 encontrar las funciones g n (x) ∈ H 1 (Ω)
que verifiquen
g n − g n+1 ◦ Y n+1
1
− ∇ · (µ∇g n ) + κg n =
IA
∆t
T |A|
∂g n
=0
µ
∂n
∂g n
+ g n ~un · ~n = 0
µ
∂n
en Ω
(16)
sobre (S n )−
(17)
sobre (S n )+
(18)
donde g N = 0 ∈ H 1 (Ω), ~un = ~u(., tn ), (S n )− = {x ∈ ∂Ω tal que ~un .~n < 0},
(S n )+ = {x ∈ ∂Ω tal que ~un .~n ≥ 0} e IA es la función indicatriz de la región
A ⊂ Ω.
Consideramos ahora una aproximación poligonal Ωh de Ω y elegimos una
triangulación admisible τh de ésta, con triángulos de diámetro menor o igual
que h y vértices {xj , j = 1, ..., Nv } de modo que:
Los vértices de la frontera de Ωh (∂Ωh ) pertenezcan también a ∂Ω.
Para n = 0, . . . , N − 1, cada arista de ∂Ωh está contenida en (Shn )− =
{x ∈ ∂Ωh tal que ~un .~n ≤ 0} o en (Shn )+ = {x ∈ ∂Ωh tal que ~un .~n ≥ 0}.
Para cada n = N − 1, . . . , 0 consideramos la formulación variacional del problema (16)-(18) y aproximamos el espacio en el que se busca la solución por el
espacio de elementos finitos Vh = {vh ∈ C(Ω̄h ), vh |T ∈ P1 , T ∈ τh }. El problema ASD se convierte entonces en el problema Adjunto Discretizado siguiente:
Problema AD: Para n = N − 1, . . . , 0 encontrar las funciones ghn (x) ∈ Vh que
verifiquen
Z
Z
Z
ghn − ghn+1 ◦ Xhn+1
n
vh +
µ∇gh · ∇vh +
κghn vh
(19)
∆t
Ωh
Ωh
Ωh
Z
Z
1
vh
∀vh ∈ Vh ,
+
ghn (~un · ~n)vh =
n
|A|T
+
A
(Sh )
donde ghN = 0 ∈ Vh y Xhn+1 (x) es la aproximación de X n+1 obtenida al resolver
el sistema (14) con un esquema de Euler regresivo.
Como es bien sabido, si introducimos ahora BVh = {ṽ1 , ṽ2 , ..., ṽNv } la base
nodal de Vh , es decir, aquella que para i, k = 1, 2, . . . , Nv cumple
ṽi (xk ) = δki
la igualdad en (19) es suficiente con que se verifique para todo vh ∈ BVh . De
este modo (19) se convierte en un sistema lineal discreto que puede resolverse
por cualquier método estandar.
6.2.
Problema OM
Una vez resuelto el problema A y conocidas las funciones gkj , el problema
(11) resulta ser un problema de optimización multi-objetivo con restricciones,
en espacios de Banach. Existen distintos métodos numéricos para tratar de identificar el frente Pareto de (11) y resolver ası́ el problema OM. Uno de los más
sencillos es el clásico método de pesos:
Para cada vector de pesos dado por λE ≥ 0 y λjk ≥ 0 (con k = 1, . . . , NZ ,
NS
NZ X
X
λjk = 1 consideramos el problema:
j = 1, . . . , NS ) verificando λE +
k=1 j=1


 Minimizar


sujeto a
~ 0 ) = λE JE (p0 , Q
~ 0) +
JP (p0 , Q
NS
NZ X
X
k=1 j=1
~ 0 ) ∈ Xad × Qad
(p0 , Q
~ 0)
λjk Jkj (p0 , Q
(20)
Se verifica que (ver [3]), si λE > 0 y λjk > 0 para todo k = 1, . . . , NZ ,
j = 1, . . . , NS , entonces la solución del problema (20) es un óptimo-Pareto del
problema (11) -el recı́proco no tiene porque ser cierto, ya que el problema es
no convexo-. Esto proporciona directamente un primer método para obtener un
conjunto representativo de óptimos-Pareto de (11) e identificar, de ese modo,
su frente Pareto. Ese método puede dividirse en dos etapas:
Etapa 1: Generar un número suficiente de vectores de pesos que permitan
determinar la forma del frente Pareto. Es bien conocido (ver, por ejemplo,
[11] y las referencias allı́ contenidas) que, dependiendo de las caracteristicas del problema, esta etapa puede ser muy laboriosa. Una primera
manera de abordar esta tarea es escoger pesos uniformemente distribuidos
siguiendo el algoritmo descrito en [5].
Etapa 2: Resolver el problema (20) para cada uno de los vectores de pesos
elegido. Para ello puede utilizarse, por ejemplo, un algoritmo de gradiente
espectral proyectado como el que se estudia en [4]. (No obstante debe
tenerse en cuenta que el problema es no convexo y que, por consiguiente, el
algoritmo puede proporcionar mı́nimos locales, que deben ser rechazados).
7.
Resultados numéricos.
Pensando en realizar un primer test enmarcado en la Comunidad Autónoma de Galicia, hemos tomado como dominio Ω una región cuadrada de 57600
Km2 (ver figura 2). Hemos supuesto la existencia de tres plantas industriales,
ubicadas en los puntos p1 = (62, 165), p2 = (161, 203) y p3 = (111, 45) y hemos
considerado una única zona sensible (NZ = 1) que ocupa el cuadrante superior
derecho del dominio Ω. Buscamos controlar una única sustancia (NS = 1) que
suponemos admite orden de reacción 1 (α11 = 1). Simulamos un año completo
W
p2
p1
A1
Vel. viento
10 Km/h
p0I
p3
40 Km
Figura 2: Dominio Ω utilizado para la simulación numérica. Se incluye la ubicación de las plantas industriales existentes (puntos p1 , p2 y p3 ), el punto ideal
para la nueva planta (pI0 ) y la zona sensible A1 (recuadrada en verde). En sobreimpresión aparece el mapa la Comunidad Autónoma de Galicia.
(T = 8760 h) y durante ese perı́odo consideramos que las plantas ya instaladas
van a realizar emisiones constantes a la atmósfera dadas por Q1 = 1000kg/h,
Q2 = 2000kg/h y Q3 = 4000kg/h. Para la nueva planta a controlar, admitimos
que el punto ideal es el punto pI0 = (100, 110) y que las emisiones, que no tienen
= 4000 kg/h.
= 100 kg/h y Qmax
porque ser constantes, deben estar entre Qmin
0
0
Tomamos velocidad de viento constante ~u(x, t) = (4, 9) km/h, difusión constante ν(x, t) = 100 km2 /h y velocidad de reacción dada por κ1 = 10−5 h−1 .
Finalmente partimos de una concentracion inicial nula (φ01 (x) = 0 kg/m2 ), despreciamos los gastos propios de la construcción de la planta (G(x) = 0) y, para
rentabilidad y gastos de gestión, consideramos:
F (Q) = 10−15 Q2 ,
s(t) = 10−8 .
En esta situación, al resolver el sistema adjunto (9) hemos observado que la
solución g11 (x, t) alcanza valores estacionarios en tiempo. Esos valores pueden
apreciarse en la figura 3, en la que se representan algunas de las curvas de nivel
de la función g11 (x, 0). Las curvas de nivel muestran que, desde un punto de
vista ecológico, la mejor ubicación para la nueva planta estarı́a hacia la esquina
superior izquierda.
El frente Pareto obtenido puede verse en la figura 4. En azul se muestran
los puntos obtenidos al resolver el problema (20) con vectores de pesos uniformemente distribuidos y se observa como la distribución uniforme de pesos no
W
Figura 3: Curvas de nivel de g11 (x, 0), solución del estado adjunto en el instante
t=0
proporciona, en este caso, puntos del frente uniformemente distribuidos. Eso indica que la Etapa 1 del método empleado para resolver el problema OM deberı́a
ser revisada. Por el momento, en este trabajo hemos elegido otros vectores de
pesos con los que hemos obtenido otra serie de puntos (marcados en rojo en la
figura 4) que proporcionan una buena aproximación del frente.
J1
1
0.04
0.02
0
0
1
2
JE
Figura 4: Frente Pareto
Para un punto central del frente Pareto (el que se corresponde con valores
de coste JE = 0,17 y J11 = 0,021) la solución Pareto óptima es p0 = (62, 134)
y Q0 (t) dado en la figura 5. Al terminar la simulación, la concentración de
polución (φ1 (x, T )) que se espera al adoptar esa solución (ubicar la planta en el
punto p0 = (62, 134) y realizar las descargas que indica la función Q0 (t) de la
figura 5) pueden verse en la figura 6.
Q0(t)
4000
100
4
8
12
t (meses)
Figura 5: Función de descargas a la atmosfera Q0 (t). Solución Pareto-óptima,
junto con p0 = (62, 134), correspondiente al punto del frente Pareto dado por
JE = 0,17 y J11 = 0,021
p2
p1
p0
p0I
p3
Figura 6: Concentración de polución al finalizar la simulación (φ1 (x, T )) ubicando la planta en el punto p0 = (62, 134) y realizando las descargas que indica
la función Q0 (t) de la figura 5.
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