x1,x2

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Profesor: Juan Dueñas B.
Curso: Métodos Numéricos II
El espacio \n
Consideremos el conjunto de todas las n –adas ordenadas de
números reales, denotado por \n :
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b. Producto de una n-ada ordenada por un escalar
El producto de una n-ada (x1, x2,…, xn)∈ \n por el escalar c∈ \,
denotado por c(x1, x2,…, xn), se define por:
c(x1, x2,…, xn) = ( c x1, c x2,…, c xn)
n
\ = {(x1,x2,…, xn) / x1,x2,…, xn ∈ \ }
A cada uno de los números reales x1,x2,…, xn que conforman la n –ada
(x1,x2,…, xn) ∈ \n, se le llama componente o cooordenada de la n-ada
correspondiente. Al elemento xi, de la n–ada (x1,x2,…, xn), lo
denominaremos la i - ésima coordenada de (x1,x2,…, xn), donde i = 1,
2, ..., n.
Ejemplos:
PROPIEDADES
1. La suma es conmutativa, es decir
(x1, x2,…, xn) + (y1, y2,…, yn) =(y1, y2,…, yn) + (x1, x2,…, xn)
2. La suma es asociativa, es decir
(x1, x2,…, xn) + [ (y1, y2,…, yn) +(z1, z2,…, zn)] =[(x1, x2,…, xn) + (y1, y2,…, yn)] +(z1, z2,…, zn)
3.
a) \1 = \ no es más que el conjunto de los números reales
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Existe un elemento en \n, llamado cero 0 =(0,0,...,0), que actua de
manera neutra para la suma:
(x1, x2,…, xn) + (0,0,…, 0) = (x1, x2,…, xn)
b) \2 = {(x,y) / x, y ∈ \ }
c) \3 = {(x,y,z) / x, y, z ∈ \ }
4. Cada n-ada de \n tiene un “inverso aditivo”, el cual es un elemento
de \n que tiene la propiedad de que, sumado con la n-ada original,
Igualdad en \n
Dos n adas de \n, se dicen ser iguales, cuando todos y cada una de
sus coordenadas son iguales, es decir:
produce el cero de \n.
El inverso aditivo de (x1, x2,…, xn), es (- x1, -x2,…,- xn), pues:
(x1, x2,…, xn) + (- x1, -x2,…,- xn) = (0,0,…, 0)
(x1,x2,…, xn) = (y1,y2,…, yn) ⇔ x1= y1, x2= y2,..., xn = yn
5. Si λ es un escalar, se tiene que:
λ [ (x1, x2,…, xn) + (y1, y2,…, yn)] = λ (x1, x2,…, xn)+ λ (y1, y2,…, yn)
OPERACIONES EN \n
Las operaciones que definiremos en \n son:
a. Suma de n-adas ordenadas
Si (x1, x2,…, xn), (y1, y2,…, yn), son dos elementos de \n, definimos
la suma, denotada por (x1, x2,…, xn) + (y1, y2,…, yn) , como:
(x1, x2,…, xn) + (y1, y2,…, yn) = (x1+ y1, x2+ y2,…, xn+ yn)
6. Si λ, µ son escalares, se tiene que:
(λ+ µ) (x1, x2,…, xn) = λ (x1, x2,…, xn) + µ (x1, x2,…, xn)
7. Si λ, µ son escalares, se tiene que:
(λ µ) (x1, x2,…, xn) = λ[ µ (x1, x2,…, xn)] = µ [λ (x1, x2,…, xn)]
8. 1(x1, x2,…, xn) = (x1, x2,…, xn)
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BOLAS ABIERTAS
SISTEMA CARTESIANO EN EL ESPACIO
(0,0,c)
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Sea x0 ∈ \n y r > 0. La bola abierta de centro en x0 y radio r, denotada
(0,b,c)
por B(x0,r), es el conjunto de puntos de \n que distan de x0 en menos
(a,0,c)
de r, es decir:
B(x0,r) = { x ∈ \n / 7 x- x0 7 < r }
(0,b,0)
REPRESENTACION GRAFICA DE LAS BOLAS ABIERTAS EN
(a,b,0)
(a,0,0)
\: B(Xo,r)
\2: B(Xo,r)
NORMA Y DISTANCIA
\3: B(Xo,r)
z0
y0
• La norma euclideana de un vector x∈\n , denotada por 7x7, se
define como: 7x7=
y0
x0
x12 + x 22 + " + x n2
x0
En el presente curso, nos referiremos como norma a la norma
euclideana.
• La distancia entre los vectores x, y ∈\n , denotada por d(x,y), se
define como:
d(x,y)= 7x- y7
CONJUNTO ABIERTOS
Se dice que el conjunto U ⊆ \n es un conjunto abierto en \n, si para
cada x0 ∈ U existe un r > 0 tal que B(x0,r) ⊂ U.
Ejemplos:
CONJUNTOS CERRADOS
Calcular la distancia entre los puntos:
Se dice que el conjunto U ⊆ \n es cerrado, si el complemento de U es
i) P(-1) y Q(1.5)
ii) P(-2, 2) y Q(1,1.5)
iii) P(1.5,-1,1) y Q(0,0,3)
un conjunto abierto en \n.
Ejemplos Indicar si el conjunto es abierto ó cerrado en:
En \2:
En \:
P
Q
En \3:
i) A = <-∞,5 > ⊂ \
Q
d(P,Q)
iv)
P
3
ii) A = [-5, 6 ] ⊂ \
iii) A = [-5, 6 > ⊂ \
A = {(x,y)∈\2/ x>0, y>0 } v) A ={(x,y)∈\2/ x≥0, y≥0 }
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FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
La explicación ó descripción del mundo real y social han planteado, la
necesidad de considerar funciones de más de una sola variable. Por
ejemplo, considere la temperatura T en un punto de la superficie de la
tierra depende en todo momento de la longitud x y la latitud y del
punto. Podemos pensar en T como una función de dos variables x e y
ó como una función del par (x,y). Esta dependencia funcional lo
representaremos por T= f(x,y).
• Una función f de n variables f: D ⊂ \n → \, es una regla que
• El rango de f, denotado por Rg(f), es el conjunto de valores que
toma f, es decir:
Rg(f) ={ f(x1, x2,…, xn)/ (x1, x2,…, xn) ∈D}
Ejemplo: Determinar el dominio, rango de la función f(x,y)=
16 − x
2
− y
2
• Sea f: D ⊂ \n → \, una función con dominio D. La gráfica de f, es
el conjunto:
G(f) = { (x1, x2,…, xn, z)/ z = f(x1, x2,…, xn), (x1, x2,…, xn)∈D)}
asigna a cada elemento (x1, x2,…, xn) de D un único número real
f(x1, x2,…, xn).
(x,y,z)
Al conjunto D se conoce como dominio de f.
A menudo escribimos z = f(x1, x2,…, xn) para hacer explícito el valor
que toma f en el punto general (x1, x2,…, xn). Las variables x1, x2,…,
xn son las variables independientes y z es la variable
dependiente.
Observación: i) Si f: D ⊂ \ → \, su gráfica se encuentra en \2
Ejercicios: Encontrar el dominio de las siguientes funciones:
x+
iI) Si f: D ⊂ \2 → \, su gráfica se encuentra en \3
i)
f(x,y) = x + y
iv) f(x,y,z) =
ii)
f(x,y) =
v) f(x,y,z) = cos(x) + cos(y) + z
iii)
f(x,y)=
x2 + y2 −1
x+
y
(x,y)
y
Ejemplo: Obtener la gráfica de la función f , definida por: f(x,y) = 4
vi) f(x,y) = x ln(y2 - x)
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LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES
CONJUNTO DE NIVEL
Sea f: D ⊂ \n → \, una función y k∈\. Entonces el conjunto de nivel
Temperatura
de valor k, se define como: { x∈D/ f(x, y) = k } ⊂ \n
y
Si: n = 2, el conjunto de nivel será una curva de nivel (de valor k)
Lámina de
metal
(a, b)
Si: n = 3, el conjunto de nivel será una superficie de nivel (de valor k)
L
(x, y)
NOTA. Las curvas de nivel se usan frecuentemente en la elaboración
de mapas hidrográficos, meteorológicos, etc.
f(x, y)
x
0
Ejemplo Dibujar las curvas de nivel de la función f(x,y) = 2x – y
Ejercicio Graficar la función f(x,y) = x2 + y2
Si la temperatura f(x,y) se acerca a un valor fijo L, cuando (x,y) se
aproxima cada vez más a un punto fijo (a,b), entonces esto se
denotará como: (x,y)lim
f(x,y) = L
→(a,b)
4
2
y puede leerse: el límite de f(x,y) cuando (x,y) tiende a (a,b) es L
0
-2
-4
-4
-2
0
2
DEFINICIÓN FORMAL DE LIMITE
4
Sea f una función de n variables definida en alguna bola abierta B(p0,r)
excepto posiblemente en el punto p0 ∈\n . Entonces,
OPERACIONES CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Sean f, g: D ⊂ \n → \, funciones de n variables con dominios Df y Dg,
respectivamente, entonces f + g, f - g, f . g,
f
,
g
lim f(x) = L
x → p0
se definen como:
⇔ para cada ε>0, existe δ > 0, tal que f(x) –L  <ε ,
siempre que 0<7 x- p0 7 < δ
i) (f + g )(x) = f(x) + g(x), Df+g= Df ∩ Dg
ii) (f - g )(x) = f(x) - g(x), Df-g= Df ∩ Dg
iii) (f . g )(x) = f(x) g(x), Df.g= Df ∩ Dg
Ejemplo Demostrar que
f(x)
f
iv) ( )(x) =
, Df./ g= {x∈Df ∩ Dg/ g(x) ≠ 0 }
g
g(x)
Ejemplo: Determinar el dominio de la función: f(x,y) =
lim
(x , y , z ) →(1,2,3)
(7 x + y ) = 9
Prueba Para ε>0 , debemos encontrar δ > 0 tal que: 7x + y – 9  <ε,
siempre que 0<7 x- p0 7 < δ.
x2 − y2 + 9
ln (1- x)
Como: 7 (x, y, z) – (1,2,3)7= ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 + ( z − 3) 2 < δ
7
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x -1= ( x − 1) 2 ≤
( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 + ( z − 3) 2 < δ
y -2= ( y − 2) 2 ≤
( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 + ( z − 3) 2 < δ
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TEOREMA DEL ENCAJE
Dadas las funciones f,h,g tal que f(x) ≤ h(x) ≤ g(x), ∀x∈D⊂ Rn . Si
pero
lim f(x)= lim g(x), entonces, lim h(x)= lim f(x)= lim g(x)
x →x0
7x + y – 9 =7(x-1) + (y – 2 )≤ 7x – 1+y – 2≤ 7δ + δ= 8δ = ε
El número buscado es δ =
Ejercicio 1. Analizar si
Ejercicio 2. Analizar si
Ejercicio 3. Analizar si
ε
8
lim
(x,y)→(0,0)
lim
(x,y)→(0,0)
x →x0
x →x0
x →x0
x →x0
TEOREMA DE LA ACOTACIÓN
xy
x2 + y 2
x3 y 4
x4 + y 4
Si f es una función tal que lim f(x)=0 ; g(x) una función acotada (es
x →x0
=0
decir existe una constante k>0 de modo que: -k≤ g(x) ≤ k ) , entonces,
=0
lim f(x)g(x)=0
x →x0
7x 2 y 2
=0
(x,y)→(0,0) 2x 2 + y 2
lim
Este teorema nos indica que si una función tiene límite cero en un
punto, y otra función está acotada en los alrededores del punto,
entonces, su producto también tiene límite cero en dicho punto.
CALCULO DE LIMITES MEDIANTE OPERACIONES ALGEBRAICAS
Ejemplo: Calcular: i) lim (x 2 + y 2 )cos
(x,y)→(0,0)
Ejemplo: Calcular los siguientes límites:
1
xy
x3
(x,y)→(0,0) x + y 2
ii) lim
2
x+y −2
x2 − y 2
2. lim
(x,y)→(0,0) x + y
(x,y)→(1,5)
x
( x 3 − 1)( y 4 − 16)
x2 + y 2
4. lim
3. lim
2
(x,y)→(0,0)
(x,y)→(1,2) ( x − 1)( y − 4)
x2 + y 2 + 4 − 2
1.
lim
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PUNTO DE ACUMULACIÓN
CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Se dice que p0 es un punto de acumulación de un conjunto D ⊂ \n, si
toda bola abierta reducida B’(p0,r):= B(p0,r) – { p0} contiene infinitos
puntos de D, es decir: B’(p0,r) ∩ D ≠ ∅.
Sea f es una función de n variables y sea p un punto en \n
Ejemplo Analizar si el punto (0,0) es un punto de acumulación de
S= {(x,y) \2 / x > 0, y > 0}
• Se dice que f es continua en el punto p si se cumplen la tres
condiciones:
i)
f(p) esta definida
ii)
lim f(x) existe
iii)
lim f(x) = f(p)
x →p
x →p
REGLA DE LA TRAYECTORIA
Sea S1 y S2 conjuntos de \n que tienen al punto p0 como un punto de
acumulación. Si xlim
f(x) ≠ lim f(x) , entonces, lim f(x) , no existe.
x →p
→p
x →p
x∈S1
0
Ejemplo. Calcular: i)
iii)
x∈S2
lim
(x , y ) →(0,0)
lim
0
0
xy
, si existe. ii)
x2 + y 2
(x , y , z ) →(0,0,0)
lim
(x , y ) →(2,2)
xy
, si existe
x 2 + 3 xy
Si alguna de estas tres condiciones no se cumple, entonces, se dirá
que la función no es continua en el punto p.
• Sea f una función de n variables, definida en el conjunto abierto D
de Ñn. Se dice que f es continua en D (o simplemente que f es
continua) si f es continua en cada uno de los puntos xo ∈ D.
x 4 + y x3 + z 2 x 2
, si existe.
x4 + y 2 z 2
7 x + y si ( x, y, z ) ≠ (1, 2,3)
, determine si f es
 8.99 si ( x, y, z ) = (1, 2,3)
Ejemplo Si f(x,y,z) = 
continua en (1,2,3)
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