Leyes de interconexión. Leyes de Kirchhoff

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Leyes de Interconexión.
Las ecuaciones de Kirchhoff establecen relaciones entre las corrientes y voltajes de
componentes eléctricas debido a la forma en que éstas están interconectadas. Si se abstrae el
tipo o naturaleza eléctrica de la componente y sólo interesa estudiar las interconexiones, la red
eléctrica puede describirse por un grafo orientado.
Grafos.
En un grafo orientado las componentes se representan por líneas que se conectan en sus puntos
terminales denominados vértices.
En la Figura 1, se muestra a la izquierda una componente de redes y a la derecha el elemento
orientado e, junto a sus vértices terminales, denominados a y b. La orientación del elemento se
escoge igual a la dirección de referencia para la corriente, y también simboliza el voltaje entre
los terminales a y b, es decir vab.
i
v
a
e
b
Figura 1. Elemento y sus vértices.
Se define un trayecto entre dos vértices, como una secuencia de elementos tales que el vértice
final de uno es el inicial del siguiente. Si el vértice inicial y final son iguales, y no se recorre
más de una vez un elemento, se denomina circuito al conjunto de elementos del trayecto. Si
denominamos grado de incidencia del vértice al número de elementos que están conectados a
ese vértice, puede decirse que en un circuito, todos sus vértices tienen grado de incidencia dos,
contados respecto del subgrafo formado por los elementos del circuito.
En el grafo de la Figura 2, los conjuntos: {1, 3, 5} y {1, 5, 6, 7} son circuitos.
El conjunto {1, 2, 4, 5} no es un circuito, ya que uno de sus vértices tiene grado de incidencia
tres.
Profesor Leopoldo Silva Bijit
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Teoría de Redes Eléctricas
6
1
a
b
2
c
5
3
4
7
d
Figura 2. Grafo con 7 elementos y 4 vértices.
La ley de corrientes de Kirchhoff establece que la suma de las corrientes que salen de un vértice
es cero en todo instante.
La ley de voltajes de Kirchhoff establece que la suma orientada de los voltajes en un circuito es
cero en todo instante.
Si la dirección de referencia para una corriente sale de un vértice, se considera con signo
positivo; y si entra al vértice, se considera con signo negativo. Si al recorrer un circuito se
encuentra primero la punta de la flecha de la polaridad, se considera ese voltaje con signo
positivo; si se encuentra la cola de la polaridad primero, se considera ese voltaje con signo
negativo.
Por ejemplo en el vértice a, se tiene aplicando LCK: i1 i3 i6 0
En el circuito {1, 2, 6}, se tiene por LVK:
v1 v2 v6
0.
Matriz de incidencia de los elementos en los vértices.
El grafo puede representarse por una matriz A, donde cada columna está asociada a un
elemento, y cada renglón a un vértice. Si la flecha de orientación del elemento j sale del vértice
i, se coloca +1 en el elemento aij de la matriz; si la flecha de orientación entra al vértice se
coloca -1; y si el elemento no es incidente con ese vértice se coloca valor cero.
La siguiente matriz, representa el grafo de la Figura 2. Las columnas de izquierda a derecha
representan a los elementos: 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 respectivamente. Los renglones de arriba hacia
abajo representan a los vértices a, b, c y d respectivamente.
A
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
Figura 3. Matriz de incidencia de los elementos en los vértices.
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Leyes de Kirchhoff
3
Nótese que el grafo y la matriz representan igual información. Puede dibujarse el grafo a partir
de la matriz y escribirse la matriz a partir del grafo.
Ecuaciones LCK en los vértices.
Si se aplica la ley de corrientes de Kirchhoff en cada uno de los vértices, se obtienen:
i1 i3 i6
0
i1 i2 i5
0
i2 i4 i6 i7
0
i3 i4 i5 i7
0
Mediante la matriz de incidencia de los elementos en los vértices, pueden representarse las
ecuaciones LCK en los vértices según:
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
i1
i2
i3
i4
i5
i6
i7
0
0
0
0
Figura 4. LCK en los vértices, empleando matriz de incidencia de los elementos en los vértices.
Observando la definición de la matriz A, y considerando que un elemento tiene sólo dos
vértices, la suma de los valores de una columna debe resultar cero. Por lo tanto uno de los
renglones puede determinarse a partir de los otros; lo que equivale a decir que un renglón es una
combinación lineal de los otros. Entonces una de las ecuaciones LCK en un vértice es una
combinación lineal de las ecuaciones planteadas en el resto de los vértices.
Esto nos permite concluir que en una red formada por e elementos y v vértices, se tendrá que se
pueden plantear (v-1) ecuaciones LCK. Nos interesa demostrar que estas (v-1) ecuaciones son
linealmente independientes.
Por ejemplo si no consideramos la ecuación asociada al vértice d, y dejamos al lado derecho las
corrientes que no están presentes en las otras ecuaciones obtenemos:
i1 i6
i1 i2
i2 i6
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i3
i5
i4 i7
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Podemos, para este ejemplo, comprobar que las (v-1) ecuaciones son linealmente
independientes, ya que cada una de ellas contiene una o más variables que no están presentes en
las otras.
Lo que nos interesa es demostrar en general que estas (v-1) ecuaciones son linealmente
independientes. Lo que tenemos hasta el momento es que podemos plantear (v-1) ecuaciones en
e variables.
Ecuaciones LCK en los nodos.
El vértice para el cual no se plantea LCK, suele denominarse vértice de referencia, y al resto de
los vértices se los denomina nodos.
Si elegimos d, como vértice de referencia, las ecuaciones LCK en los nodos pueden
representarse según:
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
i1
i2
0 i3
0 i4
1 i5
i6
i7
1
0
0
0
0
0
Figura 5. LCK en los nodos empleando matriz de incidencia de los elementos en los nodos.
Nos interesa determinar el rango de la matriz anterior. Para ello efectuaremos una partición de la
matriz, representándola según:
1
1
0
0
1
0
1 i1
0 i2
1 i3
0
0
1
0
1
1
1
0
0
i
0 4
i
0 5
i
1 6
i7
0
0
0
Figura 6. Matriz de incidencia de (v-1) elementos en los nodos.
Hemos formado una submatriz cuadrada de (v-1) renglones y de (v-1) columnas, seleccionando
(v-1) corrientes de las e totales. Denominemos Ar a la matriz de incidencia de los (v-1)
elementos seleccionados en los (v-1) vértices.
Se han escogido arbitrariamente los elementos 1, 2 y 3, para formar la matriz cuadrada. Si
Ar tiene inversa, podemos asegurar que el rango de la matriz A será (v-1). Lo cual es equivalente
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a plantear que estas (v-1) corrientes seleccionadas, pueden expresarse como una combinación de
las restantes (e-(v-1)) corrientes.
Estas (e-v+1) corrientes se denominan variables independientes en el sistema de (v-1)
ecuaciones en e variables.
En el caso del ejemplo, existe la inversa y las corrientes en los elementos 1, 2 y 3, podrán
expresarse como combinación lineal de las corrientes en los elementos: 4, 5, 6 y 7.
i1
i4 i5 i6 i7
i2
i4 i6 i7
i3
i4 i5 i7
Lo cual puede comprobarse para el caso propuesto.
Corrientes dependientes e independientes.
Entonces el problema puede plantearse del siguiente modo: Si se tienen e elementos y v vértices,
cómo seleccionar (v-1) corrientes que sean dependientes de las (e-v+1) restantes, a partir de las
LCK planteadas en los (v-1) nodos; es decir que la matriz resultante Ar tenga inversa.
Si se eligen (v-1) elementos tales que no contengan a uno de los vértices, se tendrá que
necesariamente entre ellos forman un circuito. Esto se ilustra, seleccionando tres elementos que
no contengan, a los vértices a, b, c y d respectivamente.
6
1
a
b
2
c
5
3
4
7
d
Figura 7. Grafo con tres nodos y 7 elementos.
2
4
5
3
4
6
1
3
5
1
2
6
a 0
b 1
c 1
0
0
1
0
1
0
a 1
b 0
c 0
0
0
1
1
0
1
a 1
b 1
c 0
1
0
0
0
1
0
a 1
b 1
c 0
0
1
1
1
0
1
Figura 8. Matrices Ar cuando los elementos seleccionados no contienen a un vértice.
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La matrices Ar resultantes no tendrán inversa, ya que uno de los renglones será cero, o bien la
suma de los renglones será cero, esto en caso de no considerar el vértice de referencia (d en el
caso del ejemplo).
La Figura 9, a la izquierda muestra un grafo de 5 vértices con 4 elementos, donde uno de los
vértices queda aislado. La de la derecha una selección de 4 elementos que conecta todos los
vértices pero sin formar circuitos.
Figura 9. Selección de elementos que forma un circuito y otra que no lo forma.
Entonces es necesario que los elementos seleccionados contengan todos los vértices, sin formar
circuitos.
Árbol.
Se denomina árbol al conjunto de elementos que establece una trayectoria entre todos los
vértices del grafo, pero sin formar circuitos.
Un árbol tiene (v-1) elementos en un grafo de v vértices y e elementos.
Demostración por inducción:
La propiedad se cumple para un grafo de dos vértices y e elementos.
Por ejemplo para v=2 y e=3. Resulta: r=v-1=1
Figura 10. Grafo con 3 elementos y dos vértices.
Si se cumple que un grafo de v vértices tiene un árbol formado por r = (v-1) elementos, si se
agrega un vértice necesariamente deberá agregarse un elemento al árbol para conectar ese nuevo
vértice.
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Figura 11. Grafo con e elementos y v vértices.
Entonces si denominamos con primas los nuevos valores se tendrán: r’=r+1 y v’=v+1.
Como se tiene que: r = v-1, también se cumple, sumando uno en ambos lados, que:
r+1= (v-1)+1
Y reconociendo las definiciones de r’ y v’, se tiene que la propiedad se preserva:
r’ = (v’-1)
Para el árbol de la Figura 7, existen numerosos árboles.
Para determinar todos los árboles escribimos las combinaciones de 3 elementos de un conjunto
de 7, y descartamos las que formen circuitos. Las combinaciones de r elementos de un conjunto
de e elementos queda dada por:
e
r
e!
r !(e r )!
En el caso del ejemplo resultan:
7
3
7!
3!(7 3)!
5 6 7
1 2 3
35
6
1
a
b
2
c
5
3
4
7
d
123
134
146 c 234
124
135 c 147 c 235
125
136
156
236
126 c 137
157
237
127
145
167
245 c
246
345
367 c
247 c 346 c 456
256
347 c 457 c
257 c 356
467 c
267
357
567
Figura 12. Combinaciones: Árboles y Circuitos.
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Se han marcado con una letra c, a la derecha de la combinación, a aquellas que forman circuitos.
Puede notarse que aquellas que contengan los elementos 4 y 7, contienen un circuito, formado
por dos elementos; el resto está formado por tres elementos. Adicionalmente existen circuitos
formados por 4 elementos: 1234, 1237, 1456 y 1567.
Se denominan ramas a los elementos de un árbol, y cuerdas a los elementos que no forman parte
del árbol. Se tienen (v-1) ramas y (e-v+1) cuerdas en un grafo de e elementos y v vértices.
Lo que debemos probar es que una selección de (v-1) ramas da origen a una matriz Ar que tiene
inversa. Demostraremos que el determinante de la matriz Ar , de incidencia de las ramas en los
nodos, es diferente de cero, ya que esto asegura la existencia de la inversa.
Debe existir al menos una rama conectada al vértice de referencia, sea esa la rama r j ; esa rama
está conectada entre el vértice i, y el vértice de referencia. Entonces en la columna j de Ar sólo
puede existir un valor diferente de cero, el asociado al renglón i.
i
rj
Figura 13. Rama j, entre vértice de referencia y vértice i.
Entonces la expansión del determinante de Ar es el valor de ai , j , que puede ser +1 ó -1, por el
adjunto de ai , j . Se tiene entonces:
Ar
( 1) ( 1)i
j
Ar (i , j )
Donde Ar ( i , j ) es el menor complementario, que se obtiene eliminando el renglón i, y la
columna j del determinante de Ar . Este determinante está asociado a la matriz de incidencia de
un árbol, en el cual se ha contraído la rama r j , y el vértice i, se ha fundido con el vértice de
referencia.
i
Figura 14. Contracción de rama j, y fusión del vértice i con el de referencia.
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Del mismo modo pueden irse contrayendo todas las ramas que quedan, siempre eligiendo a
alguna que quede conectada al vértice de referencia. Lo cual demuestra que el determinante de
Ar , tendrá valor 1 ó -1. Es decir Ar tiene inversa.
Seleccionando el árbol {1, 2, 3} en la Figura 12, tenemos el grafo del árbol y la matriz Ar , que
se muestran a la izquierda en la Figura 15. Al centro se muestra el árbol, luego de contraer la
rama 3, y a la derecha luego de contraer la rama 1.
1
a
b
2
b
c
2
c
c
1
3
1
2
d
3
a 1
b 1
c 0
0
1
1
1
0
0
a
2
a
d
d
b
Figura 15. Contracción de rama 3, 1 y 2, y fusión del vértice a, b y c con el de referencia.
El determinante de Ar resulta diferente de cero.
Ar
( 1) ( 1)1
3
1
0
1
1
( 1) ( 1)1
3
( 1) ( 1)1 1
1
1 0
Volviendo al sistema de 3 ecuaciones con 7 incógnitas de la Figura 6, se tiene:
1
1
0
0
1
0
1 i1
0 i2
1 i3
0
0
1
0
1
1
1
0
0
i
0 4
i
0 5
i
1 6
i7
0
0
0
Pero ahora estamos seguros que existe la inversa de Ar y que pueden representarse las corrientes
de ramas en términos de las corrientes de cuerdas.
i1
i2
i3
1
1
0
0
1
0
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1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
i
0 4
i
0 5
i
1 6
i7
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1
1
1
1
0
1
1
1
0
i
1 4
i
1 5
i
1 6
i7
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Teoría de Redes Eléctricas
Las corrientes de cuerdas son variables independientes, y las corrientes de ramas se denominan
dependientes.
Exploramos a continuación una forma más simple de escribir las corrientes de ramas en
términos de las corrientes de cuerdas.
Conjuntos de corte.
La introducción del concepto de árbol nos permite clasificar a los elementos del grafo en ramas
y cuerdas.
Si se dibuja una superficie cerrada que encierre un subconjunto de los vértices, se tendrá que las
sumas de las corrientes que salen de la superficie será igual a la suma de las corrientes que
tienen dirección de referencia hacia el interior de ésta.
La ecuación LCK resultante, será la suma de las ecuaciones LCK en los vértices encerrados por
la superficie; si se emplea el convenio de colocar como positivas las corrientes que salen del
vértice y como negativas las que tienen dirección de referencia hacia el vértice.
Al conjunto formado por los elementos que atraviesan la superficie se la define como conjunto
de corte. Y aquellos conjuntos de corte, cuyas superficies, son sólo atravesados por una
corriente de rama y el resto cuerdas, se denominan conjuntos de corte fundamentales, para ese
árbol.
En la Figura 16, se muestra la forma de encontrar los conjuntos de corte fundamentales: se corta
una rama, y luego se intenta separar los vértices cortando solamente cuerdas. Si se cortan los
elementos del conjunto de corte, el grafo queda separado en dos.
6
ccf1
ccf2
1
a
3
b
2
c
5
4
7
ccf3
d
Figura 16. Conjuntos de corte fundamentales.
Si se plantean las ecuaciones LCK en los conjuntos de corte fundamentales, despejando las
corrientes de rama, se obtienen directamente las variables dependientes, en términos de las
independientes:
Profesor Leopoldo Silva Bijit
i1
i4 i5 i6 i7
i2
i4 i6 i7
i3
i4 i5 i7
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Cada una de estas ecuaciones contiene una corriente de rama que las otras no contienen, lo que
garantiza que son ecuaciones linealmente independientes.
Las ecuaciones LCK pueden escribirse en términos de la matriz de incidencia de los elementos
en los conjuntos de corte fundamentales. Los renglones están asociados a los conjuntos de corte
fundamentales, cada uno correspondiendo a una rama; las primeras columnas están asociadas a
las ramas, colocadas en el mismo orden en que están ordenados los renglones; el resto de las
columnas son las cuerdas. El elemento qij es +1, si las direcciones de las corrientes que
atraviesan la superficie de la rama i, y el elemento j son iguales; -1 si las direcciones son
opuestas; y cero si el elemento j no pertenece al conjunto de corte i.
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
i1
i2
1 i3
1 i4
1 i5
i6
i7
0
0
0
Figura 17. Matriz de incidencia de los conjuntos de corte fundamentales en los elementos.
Debido a la definición de esta matriz de incidencia, resulta una matriz unitaria de (v-1)
renglones y columnas, lo que permite asegurar que el rango de esta matriz es (v-1). En la cual
resulta simple obtener las corrientes de ramas en términos de las de cuerdas.
i1
i2
i3
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
i
1 4
i
1 5
i
1 6
i7
1
1
1
1
0
1
1
1
0
i
1 4
i
1 5
i
1 6
i7
Definamos la matriz Qc que emplearemos más adelante.
i1
i2
i3
i4
i
Qc 5
i6
i7
Aún nos falta determinar cuántas ecuaciones linealmente independientes de voltaje LVK pueden
escribirse, y además cuántos de estos voltajes son variables independientes.
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Teoría de Redes Eléctricas
Circuitos fundamentales.
Aprovechando el concepto de árbol, podemos observar que existen circuitos formados por una
sola cuerda y el resto ramas. Si sacamos todas las cuerdas, nos queda el árbol, y cada vez que se
conecta una cuerda se forma un circuito.
En la Figura 18, tenemos 4 circuitos fundamentales, uno por cada cuerda:
{ 4, 1, 2, 3}, {5, 1, 3}, {6, 1, 2} y {7, 1, 2, 3}
6
1
a
3
b
2
c
5
4
7
d
Figura 18. Circuitos fundamentales.
Si escribimos las ecuaciones LVK asociadas a los circuitos fundamentales, despejando los
voltajes de cuerdas, se obtienen:
v4
v1 v2 v3
v5
v1 v3
v6
v1 v2
v7
v1 v2 v3
Observamos que tenemos (e-v+1) ecuaciones en e variables. Cada una de ellas contiene un
voltaje de cuerda que las otras no contienen, por lo tanto las ecuaciones son linealmente
independientes. Además los voltajes de ramas son variables independientes; no así los voltajes
de cuerdas que dependen de los primeros.
Si representamos las ecuaciones LVK, mediante la matriz de incidencia de los circuitos
fundamentales en los elementos, tenemos:
1
1
1
1
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1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
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0
0
0
1
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
0
0
0
0
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Debido a la presencia de la matriz unitaria, se tiene que el rango de la matriz es (e-v+1), y que
pueden despejarse los voltajes de cuerdas en términos de los voltajes de ramas.
v4
v5
v6
v7
1
1
1
1
1
0
1
1
1
v1
1
v2
0
v3
1
Si definimos la matriz U r :
v4
v5
v6
v7
v1
U r v2
v3
Se cumplen las siguientes notables propiedades:
Qc
U rt
Ur
Qct
Lo cual permite determinar una a partir de la otra.
El índice t, indica la matriz transpuesta. Para la demostración: ver Capítulo 3 del texto.
Hasta aquí hemos logrado determinar que en una red eléctrica podemos plantear: (v-1)
ecuaciones LCK linealmente independientes y (e-v+1) ecuaciones LVK linealmente
independientes. Además conocemos que los voltajes de ramas y las corrientes de cuerdas son
variables independientes.
Si a estas e ecuaciones, les agregamos las e ecuaciones de equilibrio, de cada uno de los
elementos, tendremos 2e ecuaciones; y como tenemos 2e incógnitas, los e voltajes y las e
corrientes, podremos determinar el valor de éstas si conocemos los parámetros de los elementos.
En el estudio de las redes eléctricas también se han definido otros conjuntos de variables
independientes.
Voltajes de nodos.
Si se elige un vértice como referencia, pueden definirse los voltajes de los (v-1) vértices
restantes como los voltajes de nodo a tierra. Se ilustran como: va , vb , vc en la Figura 19.
Aplicando LVK pueden determinarse todos los voltajes de los elementos en términos de los
voltajes de nodos, lo que muestra que estos voltajes son variables independientes.
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6
1
a
b
3 5
2
c
vb
4 7
va
vc
d
Figura 19. Voltajes de nodos.
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0 va
1 vb
0 vc
1
1
1
0
1
1 0 va
1 1 vb
0 0 vc
Partiendo la matriz anterior, se obtiene:
v1
v2
v3
La partición anterior selecciona (v-1) voltajes de los e totales, y los expresa en términos de los
voltajes de nodos. En el ejemplo se han seleccionado voltajes de ramas.
Si se seleccionan (v-1) voltajes que formen un circuito, entonces existirá una combinación lineal
de los renglones cuya suma sea cero, y la matriz no tendrá inversa. Y ya hemos visto que la
única forma de seleccionar (v-1) elementos que no formen circuitos es que esos (v-1) elementos
sean las ramas de un árbol.
Debido a que un árbol une todos los vértices, siempre es posible expresar los voltajes de nodos
como una combinación lineal de los voltajes de ramas. Apoyados en el concepto de árbol,
resulta simple plantear las ecuaciones LVK que expresen los voltajes de nodos como una
combinación lineal de los voltajes de ramas, lo cual equivale a calcular la inversa de la matriz
anterior.
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15
va
vb
vc
0 0
1 0
1 1
1 v1
1 v2
1 v3
La relación anterior muestra que los voltajes de nodos son una transformación lineal de los
voltajes de ramas. La matriz tiene inversa.
Por lo cual concluimos que los voltajes de nodos son un conjunto de variables independientes.
Debe notarse que pueden definirse voltajes de nodos en redes planas y no planas.
Corrientes de mallas.
En redes planas solamente puede definirse una malla como un circuito formado por los
elementos que forman los polígonos de la red. En la Figura 20 se tienen cuatro mallas formadas
por los elementos: {1, 2, 6}, {1, 3, 5}, {2, 4, 5} y {4, 7}.
6
a
im1
1
b 2
im2
im3
3 5
4
c
im4
4
7
d
Figura 20. Corrientes de mallas.
Puede demostrarse por inducción que en un grafo con e elementos y v vértices, se tienen (e-v+1)
mallas.
Se asume que las corrientes de mallas circulan por cada unos de los elementos que forman la
malla. De esta forma, aplicando LCK en cada uno de los elementos pueden representarse la
corriente en cada elemento, en función de las corrientes de mallas; mostrando de este modo que
la corrientes de mallas son variables independientes.
Profesor Leopoldo Silva Bijit
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Teoría de Redes Eléctricas
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Partiendo la matriz anterior, y fijándonos en las ecuaciones que expresan las corrientes de
cuerdas en términos de las de mallas, tenemos:
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im 2
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La partición anterior se efectúa seleccionando (e-v+1) elementos de los e totales. Si una
combinación lineal de las corrientes seleccionadas da cero, la matriz no podrá invertirse, por lo
tanto la selección no deberá ser un conjunto de corte. Si no se selecciona ninguna rama entonces
no habrá combinación lineal de (e-v+1) corrientes que sumen cero.
Si de las cuatro ecuaciones anteriores se despejan las corrientes de mallas en términos de las
corrientes de cuerdas, lo que equivale a invertir la matriz, se obtiene:
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Lo que muestra que las corrientes de mallas son una transformación lineal de las corrientes de
cuerdas, y por lo tanto variables independientes.
Profesor Leopoldo Silva Bijit
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Leyes de Kirchhoff
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Índice general.
LEYES DE INTERCONEXIÓN. ........................................................................................................ 1
GRAFOS. ............................................................................................................................................ 1
MATRIZ DE INCIDENCIA DE LOS ELEMENTOS EN LOS VÉRTICES.............................................................. 2
ECUACIONES LCK EN LOS VÉRTICES. .................................................................................................. 3
ECUACIONES LCK EN LOS NODOS. ...................................................................................................... 4
CORRIENTES DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES. ................................................................................. 5
ÁRBOL. .............................................................................................................................................. 6
CONJUNTOS DE CORTE. ..................................................................................................................... 10
CIRCUITOS FUNDAMENTALES. ........................................................................................................... 12
VOLTAJES DE NODOS. ....................................................................................................................... 13
CORRIENTES DE MALLAS. ................................................................................................................. 15
ÍNDICE GENERAL. ............................................................................................................................. 17
ÍNDICE DE FIGURAS........................................................................................................................... 17
Índice de figuras.
FIGURA 1. ELEMENTO Y SUS VÉRTICES. ................................................................................................... 1
FIGURA 2. GRAFO CON 7 ELEMENTOS Y 4 VÉRTICES.................................................................................. 2
FIGURA 3. MATRIZ DE INCIDENCIA DE LOS ELEMENTOS EN LOS VÉRTICES. ................................................. 2
FIGURA 4. LCK EN LOS VÉRTICES, EMPLEANDO MATRIZ DE INCIDENCIA DE LOS ELEMENTOS EN LOS
VÉRTICES. ...................................................................................................................................... 3
FIGURA 5. LCK EN LOS NODOS EMPLEANDO MATRIZ DE INCIDENCIA DE LOS ELEMENTOS EN LOS NODOS. ... 4
FIGURA 6. MATRIZ DE INCIDENCIA DE (V-1) ELEMENTOS EN LOS NODOS. ................................................... 4
FIGURA 7. GRAFO CON TRES NODOS Y 7 ELEMENTOS. ............................................................................... 5
FIGURA 8. MATRICES AR CUANDO LOS ELEMENTOS SELECCIONADOS NO CONTIENEN A UN VÉRTICE. .......... 5
FIGURA 9. SELECCIÓN DE ELEMENTOS QUE FORMA UN CIRCUITO Y OTRA QUE NO LO FORMA. ..................... 6
FIGURA 10. GRAFO CON 3 ELEMENTOS Y DOS VÉRTICES. .......................................................................... 6
FIGURA 11. GRAFO CON E ELEMENTOS Y V VÉRTICES. ............................................................................... 7
FIGURA 12. COMBINACIONES: ÁRBOLES Y CIRCUITOS. ............................................................................. 7
FIGURA 13. RAMA J, ENTRE VÉRTICE DE REFERENCIA Y VÉRTICE I. ............................................................ 8
FIGURA 14. CONTRACCIÓN DE RAMA J, Y FUSIÓN DEL VÉRTICE I CON EL DE REFERENCIA. .......................... 8
FIGURA 15. CONTRACCIÓN DE RAMA 3, 1 Y 2, Y FUSIÓN DEL VÉRTICE A, B Y C CON EL DE REFERENCIA. ...... 9
FIGURA 16. CONJUNTOS DE CORTE FUNDAMENTALES. ............................................................................ 10
FIGURA 17. MATRIZ DE INCIDENCIA DE LOS CONJUNTOS DE CORTE FUNDAMENTALES EN LOS ELEMENTOS. 11
FIGURA 18. CIRCUITOS FUNDAMENTALES. ............................................................................................. 12
FIGURA 19. VOLTAJES DE NODOS. ......................................................................................................... 14
FIGURA 20. CORRIENTES DE MALLAS. .................................................................................................... 15
Profesor Leopoldo Silva Bijit
30-12-2009