Gráficas y juegos

Gráficas y juegos
Tarea sétima
Lee, piensa y responde con cuidado al menos siete preguntas. No
olvides justificar bien tus respuestas. La tarea se entrega individualmente.
Recuerden que las definiciones son las importantes. Para probar algo no
siempre es bueno sobreargumentar (ni tampoco quedar falto de argumentos).
Los mejores argumentos suelen ser los más simples.
1. Sea T un árbol de orden n tal que d(v) ∈ {1, 3}, para todo v ∈ V (T ).
Prueba que T contiene n−2
vértices de grado 3.
2
2. Encuentre todos los árboles T tales que T es un árbol.
3. Sabemos que un árbol de orden n cumple las siguientes propiedades:
a) 95 < n < 100,
b) el grado de todo vértice de T es uno, tres o cinco y
c) T tiene el doble de vértices de grado tres que de grado cinco.
¿Cuánto vale n?
4.
a) Considera una gráfica G de orden n, donde n es par y n ≥ 6, tal
que todo vértice tiene grado tres o cuatro. Si G posee dos árboles
generadores T1 y T2 tales que {A(T1 ), A(T2 )} es una partición de
A(G), ¿cuántos vértices de grado cuatro tiene G?
b) Muestra que existen un entero par n ≥ 6 y una gráfica conexa G
de orden n tal que
1) Cada vértice de G tiene grado tres o cuatro.
2) G posee el número de vértices de grado cuatro determinados
arriba y
3) G no posee dos árboles generadores T1 y T2 tales que {A(T1 ),
A(T2 )} es una partición de A(G).
1
5. Cn denota al ciclo de longitud n. Dado Cn y u un vértice que no esté
en Cn , la rueda Wn tiene por conjunto de vértices a V (Cn ) ∪ {u} y
por conjunto de aristas a A(Cn ) ∪ {vu : v ∈ V (Cn )}. La escalera Ln
tiene por conjunto de vértices a {u1 , u2 , . . . , un , v1 , v2 , . . . , vn } y por
conjunto de aristas a {ui ui+1 : i ∈ {1, 2, . . . , n − 1}} ∪ {vi vi+1 : i ∈ {1,
2, . . . , n − 1}} ∪ {ui vi : i ∈ {1, 2, . . . , n}}.
Dada una gráfica conexa G, τ (G) denota al número de árboles generadores distintos de G (no el número de árboles generadores no isomorfos
de G). Por ejemplo, τ (K3 ) = 3.
Calcula τ (Cn ), para todo entero n mayor o igual que tres.
Calcula τ (W4 ) y τ (W5 ).
Calcula τ (L3 ) y τ (L4 ).
6. Para cada n = 4, 5, . . . , construye una gráfica con p vértices tal que
δ(G) = p − 3 y κ(G) < δ(G).
7. Determina la conexidad puntual y lineal de la gráfica de Petersen.
8. Dada una gráfica G de orden n y tamaño m, prueba que m ≥ κ(G) n2 .
9. Prueba que si G es una gráfica de orden n que no es completa entonces
κ(G) ≥ 2δ(G) − n + 2.
2