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Cálculo Infinitesimal: grupo piloto
Curso 2006/07
Tema 6: Aplicaciones de la derivada.
A. Objetivos. Al finalizar el tema, los estudiantes deberán ser capaces de:
• Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de un función.
• Determinar los extremos de una función en un conjunto de \ .
• Determinar los intervalos de concavidad y convexidad de una función.
• Determinar los puntos de inflexión de una función.
• Representar gráficamente una función.
• Resolver problemas de máximos y mínimos aplicados.
B. Contenidos.
Crecimiento y decrecimiento de funciones en intervalos. Extremos relativos y absolutos
de una función en un intervalo. Convexidad, concavidad y puntos de inflexión de una
función. Representación gráfica de funciones expresadas en forma explícita.
C. Trabajo personal del alumno.
• Estudio del capítulo 9 del libro Teoría y problemas de Análisis Matemático en una
variable. Alfonsa García y otros. Ed. Clagsa.
• Comprensión de los siguientes problemas resueltos del mismo capítulo: 1, 2, 3, 5, 6, 7,
8, 9, 14, 19 y 20.
• Evaluación continua. Se deben entregar resueltos los siguientes problemas:
ƒ 4 apartado b), 6 apartado a) y 11.
D. Problemas
1. En los siguientes ejercicios, relacionar la gráfica de f en la columna de la izquierda con
la de su derivada en la columna de la derecha:
a)
1.
Aplicaciones de la derivada
Grupo piloto
b)
2.
c)
3.
d)
4.
e)
5.
x2
si x > 0 .
2
3. Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como la existencia de
extremos de la función:
xx
.
f ( x) =
1− x
4. Hallar los extremos absolutos de las funciones siguientes en los intervalos que se
indican.
a) f ( x ) = x3 − 3x 2 + 7 si x ∈ [ 0,5]
2. Demostrar que cos x > 1 −
⎧ x si x ≤ 0
x ∈ [ 0,3]
b) g ( x ) = ⎨ 2
⎩ x si x > 0
⎛ x +1 ⎞
5. Sea f ( x ) = ln ⎜
⎟
⎝ x −1 ⎠
a) Determinar el dominio de f.
b) Estudiar la existencia de asíntotas.
2
Aplicaciones de la derivada
Grupo piloto
c) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Calcular, si existen, los valores máximo y mínimo de la función.
e) Determinar los intervalos de concavidad y convexidad.
6. Representa gráficamente las funciones:
2x
a) f ( x ) = 3x +
b) f ( x ) = x 2 e x
x −1
100 t 2
, 0 ≤ t ≤ 3,
12 + t 2
donde t es el tiempo en años. Determinar el instante en el que las ventas anuales crecen
a un ritmo mayor.
8. Una ventana tiene forma de rectángulo coronado por un triángulo equilátero de lado
igual a la base del rectángulo. El perímetro total de la ventana es igual a 5 m. Sabiendo
que la cantidad de luz que atraviesa la ventana es proporcional a su área, hallar las
dimensiones de la ventana para que deje pasar la mayor cantidad posible de luz a través
de ella.
9. Hallar el punto a del intervalo [ 0,1] tal que el triángulo formado por la recta tangente a
7. Las ventas anuales S de un nuevo producto están dadas por S ( t ) =
y = x 2 en el punto de abscisa a, el eje OX y la recta x = 1 tenga área máxima. Calcular
dicha área.
10. Halla el rectángulo de área máxima que tiene un lado en el eje OX y está inscrito en el
triángulo de vértices ( 0, 0 ) , ( 2, 0 ) y ( 4 3, 4 3) .
11. Se forma un sólido pegando dos hemisferios a las bases de un cilindro circular recto .
El volumen total del sólido es de 24 cm 3 . Calcular el radio del cilindro de manera que
la superficie del sólido sea mínima.
E. Autoevaluación
Aplicaciones de la derivada.
Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
1. Sea f : \ → \ con f ′ ( x ) =
x3 − 4 x 2
entonces f tiene exactamente
x2 + 1
dos extremos locales.
2. Si f es derivable en ( a, b ) y f ′ ( x ) > 0 ∀ x ∈ ( a, b ) entonces f es
creciente en ( a, b ) .
3. Si
f
es
derivable
y
creciente
en
( a, b )
4. Si g ( x ) = f ( e x − 5 x ) con f derivable y creciente en un entorno de
x = 0 ; entonces g es creciente en un entorno de 1.
f ′ ( x ) < 0 para todo x en el intervalo
( −2,3)
entonces
f ( −1) > f ( 2 ) .
6. Existe un máximo o mínimo relativo en cada punto crítico
( f ′ ( x ) = 0) .
3
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
entonces
f ′ ( x ) > 0 ∀ x ∈ ( a, b ) .
5. Si
V
Aplicaciones de la derivada
Grupo piloto
7. La gráfica de todo polinomio cúbico tiene exactamente un punto de
inflexión.
8. Si f ′′ ( 4 ) = 0 , entonces la gráfica de f tiene un punto de inflexión
V
F
V
F
9. La ecuación e x + x = 0 posee una única raíz real.
V
F
10. Si consideramos todos los rectángulos de un perímetro dado P, el que
tiene mayor área es el cuadrado.
V
F
en x = 4 .
4