Tema 1 Sintaxis y semántica

Tema 1
Sintaxis y semántica
Lógica Proposicional
Antonio de J. Pérez Jiménez
Departamento Ccia.
Lógica Informática
Antonio de J. Pérez Jiménez (Departamento Ccia.)
Tema 1 Sintaxis y semántica
LI-06/07
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Sintaxis Proposicional
El Lenguaje de la lógica proposicional consta de:
1
2
3
Un conjunto numerable de sı́mbolos proposicionales:
SP = {p0 , q0 , r0 , s0 , t0 , ..., p1 , q1 .r1 , s1 , t1 , ..., p1 , ...}
Conectivas lógicas: ¬ (negación), ∨ (disyunción)
Paréntesis: ( , )
Definición: El conjunto, PROP, de las fórmulas proposicionales es el menor
conjunto que contiene a SP y tal que:
Si F ∈ PROP entonces ¬F ∈ PROP
Si F , G ∈ PROP entonces (F ∨ G ) ∈ PROP
Principio de lectura única: Si A ∈ PROP, se verifica una y sólo una de las
siguientes condiciones:
• A ∈ SP
• Existe una única B ∈ PROP tal que A es ¬B.
• Existen unas únicas B, C ∈ PROP tales que A es (B ∨ C ).
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Árboles de formación
Sea F ∈ PROP una fórmula proposicional.
1
Colocamos la fórmula dada, F , en la raı́z del árbol.
2
Mientras las hojas del árbol no sean sı́mbolos proposicionales:
3
Elegimos una hoja del árbol.
Si está etiquetada con ¬G , añadimos un nuevo nodo (hijo) etiquetándolo con G
[ volvemos a 2)].
Si está etiquetada con (A ∨ B) añadimos dos nodos etiquetando uno con A y el
otro con B [volvemos a 2)].
Ejemplo:
¬(¬(p ∨ q) ∨ (¬r ∨ s))
(¬(p ∨ q) ∨ (¬r ∨ s))
HH
H
¬(p ∨ q)
(¬r ∨ s)
HH
(p ∨ q)
¬r
s
H
H
r
p
q
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Subfórmulas
Los nodos del árbol de formación proporcionan todas las subfórmulas de una
fórmula dada.
Definición: B es una subfórmula de F ∈ PROP si es la etiqueta de un nodo
del árbol de formación de F .
Ejemplos: Sea F la fórmula: ((¬A ∨ B) ∨ ¬(C ∨ B)).
Son subfórmulas:
F , (¬A ∨ B), ¬(C ∨ B), (C ∨ B), ¬A, A, B, C
No son subfórmulas:
(A ∨ B), ∨B)∨, ¬(C , ∨B))
((¬A ∨ B) ∨ ¬(C ∨ B))
(¬A ∨ B)
¬A
A
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B
¬(C ∨ B)
(C ∨ B)
C
B
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Otras Conectivas
∧ (conjunci ón); → (implicaci ón); ↔ (equivalencia)
Abreviaturas:
(F ∧ G ) es la fórmula ¬(¬F ∨ ¬G ).
(F → G ) es la fórmula (¬F ∨ G ).
(F ↔ G ) es la fórmula ((F → G ) ∧ (G → F )).
Convenios:
Pueden eliminarse los paréntesis externos.
Establecemos una precedencia de asociación, según el siguiente orden:
¬,
∧,
∨,
→,
↔
De este modo, F ∧ G → ¬F ∨ G será la fórmula ((F ∧ G ) → (¬F ∨ G )).
Si una conectiva aparece repetidamente se asocia por la derecha. Ejemplo:
A∨B ∨C
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es
(A ∨ (B ∨ C ))
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Semántica Proposicional
Definición: Una valoración de verdad es una aplicación:
v : SP → {0, 1}
Funciones de verdad asociadas a ¬ y ∨:
Asociada a ¬:
H¬ : {0, 1} → {0, 1}
1
H¬ (i) =
0
Asociada a ∨:
si i = 0
si i = 1
H∨ : {0, 1} × {0, 1} → {0, 1}
0 si i = j = 0
H∨ (i, j) =
1 en otro caso
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Valoración de fórmulas
Cada v se extiende sobre las fórmulas como:
v (¬F ) = H¬ (v (F )).
v ((F ∨ G )) = H∨ (v (F ), v (G )).
Se dice que v (F ) es el valor de verdad de F respecto de v .
Para las demás conectivas podemos usar las funciones de verdad:
1, si i = j = 1;
H∧ (i, j) =
0, en otro caso.
0, si i = 1, j = 0;
H→ (i, j) =
1, en otro caso.
1, si i = j;
H↔ (i, j) =
0, en otro caso.
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Valoración y árboles
Podemos ver el cálculo de v (¬(¬(p ∨ q) ∨ (¬r ∨ s)) en el árbol de formación.
Si tomamos la valoración de verdad: v (p) = v (q) = 1 y v (r ) = v (s) = 0,
obtendremos:
¬(¬(p ∨ q) ∨ (¬r ∨ s))
(0)
¬(p ∨ q) ∨ (¬r ∨ s)
(1)
HH
H
¬(p ∨ q)
(0)
(¬r ∨ s)
(1)
H
H
¬r
(1)
(p ∨ q)
(1)
H
H
p
(1)
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q
(1)
s
(0)
r
(0)
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Tablas de verdad
Dada una valoración v , el valor de verdad de F respecto de v está determinado
por los valores de verdad de las subfórmulas de F
Ejemplo: si v (p) = v (q) = 0 y v (r ) = 1, entonces
v (¬((p → q) ∨ r ))
= H¬ (H∨ (v (p → q), v (r ))) =
= H¬ (H∨ (H→ (v (p), v (q)), 1)) =
= H¬ (H∨ (H→ (0, 0), 1)) =
= H¬ (H∨ (1, 1)) =
= H¬ (1) = 0
Fijada v podemos presentar el cálculo de F mediante una tabla:
p
0
q
0
r p→q
1
1
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(p → q) ∨ r
1
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¬((p → q) ∨ r )
0
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Tablas de verdad. Ejemplo
Una tabla de verdad para F contiene una fila por cada valoración que asigne
valores distintos a las sı́mbolos proposicionales que aparecen en F .
p
0
0
0
1
1
1
0
1
q
0
0
1
0
1
0
1
1
r
0
1
0
0
0
1
1
1
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p→q
1
1
1
0
1
0
1
1
(p → q) ∨ r
1
1
1
0
1
1
1
1
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¬((p → q) ∨ r )
0
0
0
1
0
0
0
0
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Validez y consistencia
F es válida para v (o v modelo de F , v |= F ) si v (F ) = 1.
Diremos que F es satisfactible si existe v tal que v |= F .
v es modelo de un conjunto Γ, v |= Γ, si v es modelo de toda fórmula de Γ.
F es tautologı́a, |= F , si es válida para toda valoración. (Diremos también
que F es lógicamente válida).
Un conjunto de fórmulas Γ es consistente (o satisfactible) si existe una
valoración, v, que es modelo de Γ: v |= Γ. En caso contrario diremos que es
inconsistente (o insatisfactible).
Relación entre estos conceptos:
F tautologı́a =⇒ F satisfactible.
F tautologı́a ⇐⇒ ¬F insatisfactible.
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Consecuencia Lógica
• F es consecuencia lógica de un conjunto, Γ, de fórmulas (escribiremos:
Γ |= F ), si todo modelo de Γ es modelo de F . Es decir,
Para toda valoración, v ,
Ejemplos: {p → q, p} |= q;
v |= Γ
{p ∧ q} |= p;
=⇒
v |= F
{p ∨ q} 2 p
Relación entre consecuencia lógica, consistencia y validez:
Si Γ = {F1 , . . . Fn }, entonces son equivalentes:
{F1 , . . . , Fn } |= F
|= F1 ∧ · · · ∧ Fn → F
{F1 , . . . , Fn , ¬F } es inconsistente.
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