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CAPITULO III
VARIABLE DEPENDIENTE CUALITATIVA Y LIMITADA
1.
MODELOS DE ELECCION DISCRETA
Los modelos de elección discreta consideran una variable indicadora dependiente.
Esta variable indicadora podrá tomar dos o más valores, si toma sólo dos valores (cero
o uno) se trata de una variable dicotómica.
Existen numerosos ejemplos de variables explicadas, a saber:
o
Existen también muchos métodos de analizar los modelos de regresión en lo que
el valor de la variable dependiente es cero o uno. Por ejemplo: el modelo de probabilidad
lineal, la función discriminante, modelo probit y modelo logit.
1.1.
MODELO DE PROBABILIDAD LINEAL
Se utiliza para denotar un modelo de regresión en el que la variable dependiente
Y es dicotómica, y toma el valor de uno o cero. Por simplicidad, asumiremos una sola
variable explicativa (X).
La variable Y es una variable indicadora que denota la ocurrencia o no ocurrencia
de un evento.
El modelo se describe como:
con
.
La esperanza condicional
probabilidad de que ocurre el evento, dado
, se interpreta como la
.
El valor calculado de Y a partir de la ecuación de regresión (
) nos da
la probabilidad estimada de que ocurre el evento, dado un valor específico para X. En
la práctica, estas probabilidades estimadas pueden encontrarse fuera del rango admisible
(0, 1).
78
Las razones por las cuales no se puede aplicar mínimos cuadrados ordinarios son:
1º
La no normalidad de las perturbaciones.Dado que
toma los valores de 1 o 0 entonces los errores en la
regresión tomará los valores siguientes:
En realidad los
siguen una distribución binomial. Aunque el método de
mínimos cuadrados ordinarios no requiere esto, se asumen con fines de inferencia
estadística. Por lo tanto, existe un problema con la aplicación de las pruebas
usuales de significancia.
El supuesto de normalidad no es tan crítico, porque las estimaciones
puntuales de mínimos cuadrados ordinarios siguen siendo insesgados; además,
a medida que aumenta indefinidamente el tamaño de la muestra los estimadores
de mínimos cuadrados ordinarios tienden por lo general a tener una distribución
normal.
Por lo tanto, para muestras grandes, la inferencia estadística de los
modelos de probabilidad lineal seguirá el procedimiento usual de mínimos
cuadrados ordinarios bajo el supuesto de normalidad.
2º
La varianza de la perturbación es heterocedástica.Las probabilidades respectivas de los eventos son:
se tiene que:
sacando factor común (
) y simplificando nos da:
también se puede expresar de la siguiente forma:
79
La varianza de
condicional de
es heterocedástica porque depende de la esperanza
, que depende del valor que tome
.
Los estimados de mínimos cuadrados ordinarios de no serán eficientes.
Es posible utilizar el procedimiento siguiente para estimar el modelo:
I.-
Se estima el modelo (ecuación 1) por mínimos cuadrados ordinarios y a
continuación se calcula
.
II.-
Se estima por mínimos cuadrados ponderados el modelo transformado
siguiente:
se soluciona el problema heterocedástico, pero subsiste los otros.
3º
La predicción cae fuera de los limites ( 0 , 1 ).La crítica más importante se refiere a la propia formulación, que la
esperanza condicional
puede estar fuera de los límites (0,1).
El gráfico de la siguiente página revela la acumulación de puntos sobre
y
. Es fácil que los valores predichos se encuentren fuera del
intervalo (0,1) y que los errores de predicción sean muy grandes.
Existen dos métodos para saber si los estimadores
entre 0 y 1; son:
están efectivamente
80
1.-
Estimar el modelo de probabilidad lineal por mínimos cuadrados
ordinarios y ver si los
se encuentran entre 0 y 1, si alguno de ellos es
menor a cero entonces se supone que para estos casos
es cero; si son
mayores a 1, se suponen iguales a uno.
2.-
Diseñar una técnica de estimación que garantice que las probabilidades
condicionales estimadas de
estén entre 0 y 1. Los modelos Logit y
Probit garantizarán que todas las probabilidades estimadas se encuentren
entre los límites lógicos 0 y 1.
4º
La medida de bondad de ajuste.El coeficiente de determinación considerado tiene un valor limitado en los
modelos de respuesta dicotómica.
El coeficiente de determinación será alto, únicamente cuando la dispersión
específica esté muy cercana a los puntos A y B del gráfico anterior, puesto que
en este caso es fácil fijar la línea recta uniendo los dos puntos. En este caso el
predicho está muy cerca de 0 o 1.
John Aldrich y Forrest Nelson plantean que el uso del coeficiente de
determinación como un estadístico resumen debe evitarse en aquellos modelos
que contengan variables dependientes cualitativas.
1.2.
EJEMPLO
El modelo especificado es:
Las variables se definen:
NOMBRE
DEFINICIÓN
UNIDAD DE
MEDIDA
CAPAGO
CAPACIDAD DE PAGO
NUEVOS SOLES
CLIENTE
CONDICIÓN DEL CLIENTE
PUNTUAL = 1
MOROSO = 0
EDAD
EDAD DEL CLIENTE
AÑOS
GARANTÍA
MONTO DE LA GARANTÍA
NUEVOS SOLES
INTERÉS
TASA DE INTERÉS EFECTIVA
MENSUAL
PORCENTAJE
81
NOMBRE
DEFINICIÓN
UNIDAD DE
MEDIDA
NUMCUOTA
NÚMERO DE CUOTAS
PERÍODO
DURACIÓN DEL PRÉSTAMO
MESES
PRÉSTAMO
MONTO DEL PRÉSTAMO
NUEVOS SOLES
SEXO
SEXO
MASCULINO = 1
FEMENINO = 0
VALCUOTA
VALOR DE LA CUOTA
NUEVOS SOLES
Para estimarlo se dispone de información estadística recopilada de una institución
financiera del Departamento de Piura.
El método de estimación es mínimos cuadrados ponderados y el procedimiento
a seguir es el siguiente:
1º
Estimar el modelo por mínimos cuadrados ordinarios
Se escribe en el Eviews:
LS CLIENTE C EDAD PRESTAMO SEXO PERIODO
a continuación se oprime ENTER y nos da el resultado siguiente:
Dependent Variable: CLIENTE
Method: Least Squares
Sample: 1 60
Included observations: 60
===========================================================
Variable
Coefficient
Std. Error
z-Statistic
Prob.
===========================================================
C
-0.815473
0.306770
-2.658258 0.0103
EDAD
0.014550
0.005161
2.819315
0.0067
PRESTAMO
1.89E-05
9.95E-06
1.895651
0.0633
SEXO
0.159441
0.110854
1.438297
0.1560
PERIODO
0.064383
0.022997
2.799581
0.0070
===========================================================
R-squared
0.332861
Mean dependent var
0.516667
Adjusted R-squared
0.284341
S.D. dependent var
0.503939
S.E. of regression
0.426316
Akaike info criteri
1.212381
Sum squared resid
9.995971
Schwarz criterion
1.386910
Log likelihood
-31.37144 F-statistic
6.860387
Durbin-Watson stat
1.511575
Prob(F- statistic)
0.000149
===========================================================
82
2º
Se realiza la estimación de la probabilidad de la siguiente forma:
Abrir la ecuación ⇒ Procs ⇒ Forecast ⇒ OK y se muestra un gráfico y el
software crea un icono con el nombre que se le colocó a la estimación
(CLIENTEF).
Para observar los resultados de la variable CLIENTEF se da dos clic y
paquete nos muestra lo siguiente:
CLIENTEF
==========================================================
Modified: 1 60 // fit(f=actual) clientef
1
0.417364
1.104751
0.155492
0.803627
0.554091
6
0.814965
0.515421
0.486014
0.909758
0.899076
11
0.475652
0.765374
0.770710
1.321578
0.987106
16
0.536256
0.575847
1.014905
0.341672
0.405989
21
0.230938
0.643846
0.488985
0.437800
0.606510
26
0.259805
0.262450
0.206271
0.085420
0.620479
31
0.717948
-0.136817 0.397171
0.315820
0.243069
36
0.389929
0.804237
0.755200
0.045541
0.188897
41
0.618349
0.155769
0.417060
0.830059
0.278586
46
1.075758
0.486799
0.248942
0.408926
0.518848
51
0.317095
0.186445
0.067943
0.465541
0.483412
56
0.673622
0.643638
0.507839
0.651220
0.545000
==========================================================
3º
Estimamos la varianza generándola de la siguiente forma:
GENR W = CLIENTEF * ( 1 - CLIENTEF )
y el Eviews nos da el siguiente resultado:
W
=====================================================
Modified: 1 60 // w=clientef*(1-clientef)
1
0.243171
-0.115724
0.131314
0.157811
0.247074
6
0.150797
0.249762
0.249804
0.082099
0.090738
11 0.249407
0.179577
0.176716
-0.424990 0.012728
16
0.248686
0.244247
-0.015127
0.224932
0.241162
21
0.177606
0.229308
0.249879
0.246131
0.238656
26
0.192306
0.193570
0.163723
0.078124
0.235485
31
0.202498
-0.155536
0.239426
0.216078
0.183987
36
0.237884
0.157440
0.184873
0.043467
0.153215
41
0.235993
0.131505
0.243121
0.141061
0.200976
46 -0.081498
0.249826
0.186970
0.241706
0.249645
51
0.216546
0.151683
0.063327
0.248813
0.249725
56
0.219855
0.229368
0.249939
0.227132
0.247975
=====================================================
83
4º
Por último, se estima el modelo transformado por mínimos cuadrados ordinarios,
es decir, se aplica mínimos cuadrados ponderados. El comando que se aplica es
el siguiente:
Quick ⇒ Estimate Equation ⇒ escribir en la pantalla en blanco lo siguiente:
CLIENTE C EDAD PRESTAMO SEXO PERIODO, luego clic en OPTIONS
⇒ se marca WEIGHTED LS / TSLS y en Weight se escribe: 1 / SQR( W ) ⇒
OK ⇒ OK y se muestra el siguiente resultado:
Dependent Variable: CLIENTE
Method: Least Squares
Sample: 1 60
Included observations: 55
Excluded observations: 5
Weighting series: 1/SQR(W)
==========================================================
Variable
Coefficient
Std. Error
z-Statistic
Prob.
==========================================================
C
-0.861520
0.236827
-3.637769 0.0007
EDAD
0.014138
0.005080
2.782852
0.0076
PRESTAMO
2.84E-05
1.09E-05
2.597112
0.0123
SEXO
0.187273
0.106147
1.764279
0.0838
PERIODO
0.064795
0.019214
3.372355
0.0014
==========================================================
Weighted Statistics
==========================================================
R-squared
0.639966
Mean dependent var
0.496512
Adjusted R-squared
0.611163
S.D. dependent var
0.632757
S.E. of regression
0.394567
Akaike info criteri
1.064452
Sum squared resid
7.784153
Schwarz criterion
1.246937
Log likelihood
-24.27243 F-statistic
13.15823
Durbin-Watson stat
1.394854
Prob(F- statistic)
0.000000
==========================================================
Unweighted Statistics
==========================================================
R-squared
0.290121
Mean dependent var
0.490909
Adjusted R-squared
0.233330
S.D. dependent var
0.504525
S.E. of regression
0.441760
Sum squared resid
9.757613
Durbin-Watson stat
1.391563
==========================================================
Las variables edad, préstamo y periodo son significativas al 5% (Prob < 0.05) y
la variable sexo es significativa al 10 % (Prob < 0.10) y el modelo es estadísticamente
significativo al 5 % (Prob < 0.05).
84
Se predice dentro de la muestra con la instrucción siguiente:
Abrir la ecuación ⇒ Procs ⇒ Forecast ⇒ OK y se muestra un gráfico y el software
crea un icono con el nombre que se le colocó a la estimación (CLIENTEF1).
Para observar los resultados de la variable CLIENTEF1 se da dos clic y paquete
nos muestra lo siguiente:
CLIENTEF1
=========================================================
Modified: 1 60 // modproblin.fit(f=actual) clientef1
1
0.453183
1.264643
0.135592
0.836835
0.598836
6
0.850146
0.519971
0.488047
1.081373
0.993891
11
0.530495
0.822073
0.907713
1.590984
0.994447
16
0.531559
0.572147
0.991846
0.311970
0.395700
21
0.185995
0.640793
0.466289
0.421358
0.568752
26
0.200522
0.216839
0.177498
0.057164
0.580712
31
0.705757
-0.186881 0.349757
0.259422
0.188732
36
0.333220
0.805080
0.713630
0.020425
0.178108
41
0.585508
0.103903
0.390143
0.822291
0.239000
46
1.073549
0.468637
0.223544
0.397997
0.464635
51
0.294014
0.161586
0.019346
0.446526
0.426291
56
0.618380
0.623329
0.494666
0.619459
0.525189
=========================================================
y los resultados se comparan con los valores observados de la variable endógena,
obteniendose 42 predicciones correctas ( 20 para CLIENTE = 1 y 22 PARA CLIENTE
= 0) y nos da un Coeficiente de Bondad de Conteo de 70 %.
1.3.
MODELO LOGIT Y PROBIT
Un enfoque alternativo es suponer un modelo de regresión:
no se observa ( se conoce como variable " latente " ).
Lo que se observa es una variable indicadora
definida por:
La diferencia entre la especificación (2) y el modelo de probabilidad lineal es que
en este último se analizan las variables dicotómicas tal como son, en tanto que en (2) se
supone la existencia de una variable latente subyacente para la que se observa una
85
evidencia dicotómica. Ejemplo:
1º
la persona tiene o no empleo.
la propensión o capacidad de encontrar empleo.
2º
si la persona compra o no un automóvil.
el deseo o capacidad de adquirir un automóvil.
por lo tanto, las variables explicativas de (2) contendrán variables que expliquen ambos
elementos.
Supongamos que
, esto nos permite fijar la escala de
.
Combinando (2) y (3) obtenemos:
donde F es la función de distribución acumulada de u.
Si la distribución de u es simétrica, entonces
anterior se puede escribir:
Los
, la expresión
Observados son sólo realizaciones de un proceso binomial cuyas
probabilidades están dadas por (4) y que varían de un ensayo a otro (de pendiendo de
), entonces la función de verosimilitud se puede escribir:
La forma funcional para F en (4) dependerá de la suposición en torno al término
de error u.
Se ha creado un problema de estimación porque
sino también en los
es no lineal no solamente en
; entonces, no se puede estimar mediante mínimos cuadrados
ordinarios. En esta situación, es preciso recurrir al método de máxima verosimilitud para
estimar los parámetros.
El método de máxima verosimilitud consiste en la maximización de la función de
verosimilitud (ecuación 5) para el modelo LOGIT y PROBIT y ésto se logra por medio
de métodos no lineales de estimación. La función de verosimilitud es cóncava (no tiene
86
múltiples máximos) y, por lo tanto, cualquier valor inicial de los parámetros será útil. Es
costumbre comenzar las iteraciones para el modelo logit y probit con los estimados del
modelo de probabilidad lineal.
Si la información disponible es sobre familias individuales, donde
familia posee una casa y
si una
si no la posee; entonces el modelo a estimar es (5) por
el método de máxima verosimilitud.
1.3.1. CONSTRUCCIÓN DE UN MODELO LOGIT O PROBIT
Los requisitos para la construcción de un modelo logit o probit son:
1º
Contar con una muestra representativa de clientes cumplidos e incumplidos, cuyo
tamaño mínimo se establece vía criterios estadísticos.
2º
Contar con suficiente información de los clientes contenida en sus solicitudes de
crédito o expedientes.
3º
Seleccionar las posibles variables explicativas de la probabilidad de default de los
clientes, en base al conocimiento o experiencia previa y a procedimientos
estadísticos (test de significancia individual).
4º
Escoger el modelo más apropiado en base a tests estadísticos sobre la "bondad de
ajuste" o "calidad predictiva" del modelo.
El procedimiento a seguir es:
1º
El significado de las variables aparece en el ítem 1.2.
2º
Buscar el mejor modelo explicativo de la probabilidad de default (cumplimiento)
de los clientes, en base al siguiente procedimiento general:
2.1.
Realización de regresiones bivariables y selección de variables explicativas según
signo y significancia estadística individual (escogemos las de probabilidad menor
del 10 por ciento).
Se estiman varias regresiones de la siguiente forma:
Clientei = α + β X i + ui
para seleccionar la variable se requiere analizar: el signo correcto, la significancia
de β (si es altamente significativo, significativo o relativamente significativo)
y el
2.2.
R 2 (debe estar entre 0.2 y 0.6).
Comparación de correlaciones entre variables a fin de eliminar el problema de
87
multicolinealidad. Entre las variables correlacionadas optamos por la de mayor
R2 de Mc Fadden.
Una vez identificadas las variables más relevantes a partir de modelos
bivariables, podemos descartar algunas de ellas en base a su correlaciones.
Variables altamente correlacionadas (con coeficientes de correlación mayores a
0.5) resultan redundantes, es decir, basta con que me quede con una de ellas en
el modelo, ya que si las incluyo todas sus significancias estadísticas individuales
tienden a ser bajas (no se puede distinguir el impacto de cada una de ellas sobre
la variable dependiente). El criterio práctico es eliminar las variables
correlacionadas con menor significancia estadística individual en las regresiones
bivariables, con menor R2 (Mc Fadden).
Para obtener la Matriz de Correlaciones entre variables, aplico:
Quick/Group Statistics/Correlations
y se escribe el nombres de las variables seleccionadas en el ítem anterior.
2.3.
Construcción de modelos multivariables en sus versiones logit, probit y lineal
incorporando las variables escogidas luego de los pasos 1 y 2. Los modelos se
van perfilando para dejar sólo las variables estadísticamente significativas
(probabilidad menor del 10 por ciento).
Con las variables explicativas escogidas, luego de los pasos 2.1. y 2.2. se
estima el modelo en su versión logit, probit o lineal. El modelo se perfila para
dejar sólo las variables con signos adecuados y estadísticamente significativas
(prob < 0.10).
2.4.
Evaluación de los modelos alternativos en base a siguientes criterios arrojados
por el programa E-views:
1.2.3.4.-
Signo correcto de los coeficientes.
Significancia estadística individual de los parámetros de acuerdo al
z-statistic y su probabilidad correspondiente.
Significancia conjunta del modelo.
Bondad de ajuste en base a R2 de Mc Fadden, Expectation-Prediction
Table, Goodness-of-Fit Test (Hosmer-Lemeshow).
A)
Bondad de ajuste:
La regla práctica nos dice que este valor debe
encontrarse entre 0.2 y 0.6 para considerarse
aceptable en el contexto de la modelación de
probabilidades.
Se han sugerido varias medidas de bondad de ajuste para
este tipo de modelos, por ejemplo:
1.-
La correlación entre CALF y CALFF al cuadrado:
88
2.-
Basada en la suma de cuadrados residual:
3.-
Amemiya:
4.-
Mc - Fadden:
=
Función de Máxima Verosimilitud con
=
respecto a todos los parámetros.
Función de Máxima Verosimilitud cuando se
hace con la restricción
5.-
Cragg - Uhler:
6.-
R2 de conteo:
B) Expecation-Prediction Table: Esta prueba nos permite averiguar
cuál es el porcentaje de acierto en las
predicciones que obtiene el modelo.
89
C) Goodness-of-Fit Test:
5.-
(test de Hosmer-Lemeshow). Esta prueba
parte de agrupar las observaciones en
quantiles y evalúa el desempeño del modelo
en cada uno de ellos en términos del número
de observaciones que predice el modelo que
deben ubicarse en cada quantil vs el número
de observaciones real.
Por defecto, me indica que la
información se va a agrupar en 10 quantiles o
grupos según niveles. Lo ideal es que el
número total de observaciones por quantil sea
el más grande posible (prueba para muestras
grandes).
Se recomienda hacer esta prueba con
el mayor número posible de observaciones
posible en cada quantil.
Criterio de Hannan Quinn (por ser una "función de pérdida", conviene
minimizarlo frente a los modelos alternativos).
Este es un criterio para comparar modelos alternativos. La regla es
escoger el modelo con menor H-Q (no se aplica al MLP).
6.-
Curva de Respuesta de Probabilidad de cada variable explicativa del
modelo.
Esta prueba es ratificatoria del test de significancia estadística
individual de las variables explicativas. Nos permite evidenciar mediante
un gráfico ad hoc si cada una de estas variables tiene poder para
discriminar entre buenos y malos pagadores, partiendo de un valor "c"
como parámetro de corte entre quienes se consideran dentro de ambas
categorías; usualmente este valor se sitúa en 0.5, es decir, quienes tienen
una probabilidad de cumplir menor o igual que 0.5 (50 por ciento), se
asumen como malos clientes y los que tienen una mayor, buenos clientes.
2.5.
Selección del modelo final en base a la perfomance relativa de éste al comparar,
entre modelos alternativos, los resultados de los test sugeridos en el ítem
anterior.
Lo primero que cabe destacar es que, en el caso del MLP, los efectos
marginales de las variables explicativas son constantes para todos los individuos,
mientras que en los casos del logit y el probit, estos efectos son diferentes para
cada individuo, dependiendo de los valores de las variables explicativas que lo
caracterizan.
Usualmente, en los modelos logit y probit se calculan los efectos
90
marginales de una variable o regresor para cada individuo, a fin de tener una idea
del rango de variación de dichos efectos y se asume que el promedio de estos
efectos individuales es una buena aproximación al "efecto marginal global" de
la variable (si se quiere tener un número - resumen), lo cual, desde luego, parte
de la premisa de que se cuenta con una muestra suficientemente representativa.
Pese a que los parámetros j de cada regresor, en los modelos logit y
probit, no nos miden, por sí solos el, efecto marginal de dicho regresor, si nos
indican la dirección (signo) del cambio inducido en la probabilidad por la
variable explicativa.
2.6.
Una vez elegido el modelo final, cálculo de los efectos marginales respectivos
Los efectos de los cambios en las variables explicativas sobre las
probabilidades de que cualquier observación pertenezca a uno de los dos grupos,
son proporcionados por:
donde:
y
es la función de densidad normal
estándar.
1.3.2. MODELO LOGIT PARA DATOS AGRUPADOS
Si la distribución acumulada de
LOGIT, es decir:
donde
Las probabilidades son:
es logística, se tiene el llamado modelo
91
El cociente entre ambas probabilidades es:
aplicando logaritmo neperiano, nos da:
En el modelo de probabilidad lineal se supone
como función lineal de las
variables explicativas; aquí, la razón logarítmica de momios o logit es una función lineal
de las variables explicativas.
Tiene las siguientes características:
1.-
Dado que P va de 0 a 1, es decir, a medida que Z varía entre
y
el logit
está entre
y
. En otras palabras, aunque las probabilidades se encuentran
entre 0 y 1, los logit no tienen estos límites.
2.-
Aunque el logit es lineal en X, las probabilidades mismas no lo son, en contraste
con el modelo de probabilidad lineal, donde las probabilidades aumentan
linealmente con X.
3.-
La interpretación del modelo logit es:
mide el cambio en logit por un cambio
unitario en X, es decir, nos muestra cómo varía la factibilidad del logit en favor
de poseer una casa a medida que X cambia en una unidad.
Si
es relativamente grande y si cada observación en una clase de
, está
distribuida en forma independiente como una variable binomial, entonces:
por lo tanto, el término de perturbación en el modelo logit es heterocedástico y el método
de estimación adecuado es mínimos cuadrados ponderados.
El procedimiento para estimar una regresión logit (7) es:
92
(1)
Para cada nivel de
como
, se calcula la probabilidad estimada de poseer una casa
.
(2)
Para cada valor de
, obténgase el logit como:
(3)
Para solucionar el problema de heterocedasticidad, se transforma así:
donde las ponderaciones
con varianza igual a
, porque
si
se distribuye normal
es suficientemente grande.
(4)
Estimar el modelo transformado utilizando mínimos cuadrados ordinarios (es un
modelo sin intercepto).
(5)
Establecer los intervalos de confianza y/o las pruebas de hipótesis en el marco
usual de mínimos cuadrados ordinarios, pero manteniendo en mente que todas las
conclusiones serán validas, si la muestra es razonablemente grande. Para
pequeñas muestras los resultados estimados deben interpretarse cuidadosamente.
1.3.3. MODELO PROBIT PARA DATOS AGRUPADOS
Si los errores
siguen una distribución normal, se tiene un modelo PROBIT (o
NORMIT), es decir:
donde
es un índice de conveniencia no observable que está determinado por una o
varias variables explicativas, así:
y t es la variable normal estandarizada, es decir, t se distribuye
.
Es razonable suponer que para cada familia hay un nivel crítico o umbral del
índice,
, tal que si excede a
, ocurre el evento, de lo contrario no sucederá. El
93
umbral
al igual que
no es observable, pero si se supone que esta distribuido
normalmente con la misma media y varianza. Por lo tanto, es posible estimar los
parámetros
y los valores del índice no observable. Es decir, la probabilidad sería:
Como
representa la probabilidad de que un evento ocurra, P se mide por el
área de la curva normal estándar desde
, como también de
y
hasta
. Para obtener la información de
, tomamos el inverso de la función de distribución
probabilística acumulada normal.
Se ha creado un problema de estimación porque
sino también en los
es no lineal no solamente en
; entonces, no se puede estimar mediante mínimos cuadrados
ordinarios.
Si
es relativamente grande y si cada observación en una clase de
, está
distribuida en forma independiente como una variable binomial, entonces:
por lo tanto, el término de perturbación en el modelo probit es heterocedástico y el
método de estimación adecuado es mínimos cuadrados ponderados.
El procedimiento para estimar una regresión probit es:
(1)
Para cada nivel de
como
, se calcula la probabilidad estimada de poseer una casa
.
(2)
Dado
, obténgase el índice de utilidad como:
(3)
Para solucionar el problema de heterocedasticidad, se transforma así:
94
donde las ponderaciones
con varianza igual a
, porque
si
se distribuye normal
es suficientemente grande.
(4)
Estimar el modelo transformado utilizando mínimos cuadrados ordinarios (es un
modelo sin intercepto).
(5)
Establecer los intervalos de confianza y/o las pruebas de hipótesis en el marco
usual de mínimos cuadrados ordinarios, pero manteniendo en mente que todas las
conclusiones serán validas, si la muestra es razonablemente grande. Para
pequeñas muestras los resultados estimados deben interpretarse cuidadosamente.
Si la información esta agrupada o replicada (observaciones repetidas), entonces
se puede obtener información sobre la variable dependiente y el índice de utilidad; por
lo tanto, el modelo a estimar se aplica mínimos cuadrados ponderados.
1.3.4. MODELO LOGIT VERSUS MODELO PROBIT
Desde el punto de vista teórico, la diferencia entre ambos modelos es la
distribución de probabilidades (normal para el modelo probit y logística para el modelo
logit); ambas distribuciones están muy próximas entre sí, excepto en los extremos, la
logística tiene colas ligeramente más planas, es decir, la curva normal o probit se acerca
a los ejes más rápidamente que la curva logística. Por esta razón, no es probable obtener
resultados muy diferentes, a menos que las muestras sean grandes.
Sin embargo, los estimados de los parámetros
de ambos métodos no son
directamente comparables; porque la distribución logística tiene una varianza
y la
distribución normal tiene una varianza de 1. Entonces ambos coeficientes se relacionan
de la siguiente forma:
Amemiya sugiere multiplicar los estimados LOGIT por 1/1.6 = 0.625 porque esta
transformación produce una aproximación más cercana entre la distribución logística y
la función de distribución normal estándar. Es decir, la relación sería:
También sugiere que los coeficientes del modelo de probabilidad lineal
95
y los coeficientes del modelo logit
se relacionan así:
Aplicando regla de tres simple logramos encontrar la relación entre los
coeficientes del modelo probit y el modelo de probabilidad lineal, que nos da:
Si se tiene muestras de tamaños desiguales, no se afectan la estimación de los
coeficientes de la variables explicativas del modelo logit, pero si se afecta el término
constante. Este resultado no es valido para el modelo probit ni para el modelo de
probabilidad lineal. Si el modelo estimado se utiliza para propósitos de predicción, es
necesario ajustar el término constante.
Desde el punto de vista práctico, es generalmente utilizado con preferencia el
modelo logit sobre el modelo probit.
2.
MODELOS DE ELECCIÓN MÚLTIPLE
Existen varias formas en que se pueden analizar este problema:
1º
Con datos no ordenados:
1.1.
Multinomial, se utiliza cuando los regresores del modelo hacen referencia a las
observaciones muestrales, por lo que varían entre observaciones pero no entre
alternativas.
1.2.
Condicional, se utiliza cuando los regresores del modelo hacen referencia a las
alternativas, por lo que sus valores varían entre alternativas pudiendo hacerlo o
no entre observaciones.
2º
Con datos ordenados:
se utiliza cuando las alternativas que presenta la
variable endógena no indican ningún orden. Pueden
ser:
se utiliza cuando las alternativas de la variable
endógena representan un orden entre ellas.
Generalizaremos los resultados anteriores a casos en los que los individuos hacen
elecciones entre tres o más alternativas mutuamente excluyentes.
Un modelo multinomial de respuesta cualitativa se define de la siguiente forma:
96
Asume que la variable dependiente Yi toma
el modelo multinomial vendrá dado:
(
)
P(Yi = j ) = FY X * ,θ ;
mi + 1 valores {0, 1, 2, ..., mi }, entonces
i = 1,2,..., n
y
j = 1,2,..., mi .
*
donde X y θ son vectores de variables independientes y parámetros respectivamente.
De esta forma, mi depende de un i en particular cuando los individuos tienen diferentes
conjuntos de elección. Para definir el estimador de θ en el modelo usualmente se
definen
Σ in = 1 (mi + 1)
⎧= 1
Yij ⎨
⎩= 0
variables binarias, de la forma:
Yi = j
Yi ≠ j; i = 1,2..., n y j = 1,2,..., mi .
si
si
La función de verosimilitud viene definida como:
ln L =
n
mi
∑ ∑ Yij ln
i =1 j = 0
donde el estimador insesgado
θ$
Fij
de θ se define como una solución a la ecuación:
∂ ln L
= 0.
∂θ
Los modelos multinomiales de respuestas cualitativas se pueden clasificar en
modelos ordenados y no ordenados.
2.1.
MODELOS ORDENADOS
Un modelo ordenado se define como:
( )
P(Y = j X ,θ ) = p S j
para alguna medida de probabilidad p, sobre X y θ , y una secuencia finita de intervalos
sucesivos
{S } que depende sobre X yθ tal queU
j
jS j
=ℜ .
En los modelos ordenados, los valores que Y toma, corresponden a una partición
sobre la línea real. A diferencia de modelo no ordenado, donde la partición
correspondería a particiones no sucesivas sobre la línea real o a particiones de
dimensiones mayores sobre el espacio euclidiano. En la mayoría de las aplicaciones, el
modelo ordenado toma la forma:
97
(
)
(
)
P(Y = j X ,α , β ) = F α j +1 − X ′β − F α j − X ′β ; j = 0,1,..., m;α 0 = −∞ ;α j ≤ α j +1 ;α m+1 = ∞
Para alguna distribución F, se puede definir un modelo Logit ordenado o Probit
ordenado.
2.1.1. MODELO LOGIT
El modelo logit multinomial se define como:
−1
⎡ mi
⎤
P(Yi = j ) = ⎢ ∑ exp X ij′ β ⎥ exp X ij′ β ; i = 1,2,..., n y j = 0,1,..., mi
⎣ k =0
⎦
(
)
(
)
Mc Fadden (1974) considera el siguiente modelo multiecuacional derivado del
problema del consumidor. Considere a un individuo i cuyas utilidades están asociadas
con tres alternativas, de la forma siguiente:
U ij = µ ij + ε ij , con j = 0,1,2
donde U ij no es una función estocástica sino deterministica. Por otro lado, ε ij es el usual
término aleatorio de error. De esta forma, el individuo elige aquella alternativa en la que
obtiene la mayor utilidad. El multinomial logit se puede derivar del problema de
maximizar la utilidad sí y sólo sí los ε ij son independientes y la función de distribución
[exp( ε ) ]. De esta manera, la probabilidad de que el i
de ε ij viene dada por exp
ij
individuo elija una alternativa j, será:
P(Yi = 2) = P(U i 2 > U i1 ,U i 2 > U i 0 )
P(Yi = 2) = P(ε 2 + µ 2 − µ1 > ε 1 , ε 2 + µ 2 − µ 0 > ε 0 )
P(Yi = 2) =
exp( µ i 2 )
exp( µ i 0 ) + exp( µ i1 ) + exp( µ i 2 )
y tomará una forma parecida a la definición del modelo logit multinomial sí hacemos
µ i 2 − µ i 0 = X i′2 β y µ i1 − µ i 0 = X i′1β .
2.2.
MODELOS NO ORDENADOS
Se enfocara el caso en que las alternativas no están ordenadas.
98
2.2.1. MODELO LINEAL DE PROBABILIDAD
Si asumimos que hay tres opciones j = 1, 2, 3, escribimos el modelo:
P1i = α 1 + β1 X i
Pji
P2i = α 2 + β 2 X i
P3i = α 3 + β 3 X i
es la probabilidad de que el individuo i elegirá la j ésima opción, mientras que
Xi
es el valor de X para el j ésimo individuo.
Para estimar cada una de las tres ecuaciones en el modelo por mínimos cuadrados
ordinarios, no es necesario ejecutar las tres regresiones lineales de probabilidad.
Dado que las probabilidades estimadas están restringidas para sumar 1, los
interceptos estimados para sumar 1 y los parámetros de pendiente para sumar 0.
Entonces, sólo se necesita ejecutar dos de las tres regresiones de mínimos
cuadrados. La solución para los parámetros de la tercera ecuación se deriva de las
primeras dos.
2.2.2. MODELO LOGIT
En este tipo de modelos las alternativas de la variable respuesta indican la
pertenencia de las observaciones a un determinado grupo sin incorporar información
ordinal. La formulación de un Logit Multinomial queda recogida a través de la siguiente
ecuación:
Pr ob(Yi = j ) = Pij =
e
j −1
β ′j X i
∑e
β ′j X i
j =0
Donde para el caso sencillo de un modelo en el que la variable endógena presenta
tres posibles alternativas de elección y sólo existe una variable explicativa en la
modelización, la probabilidad asociada a cada una de las alternativas posibles de elección
tomarían las siguientes expresiones:
P0 =
1
1 + eα1 + β1 Xi + eα2 + β2 Xi
eα1 + β1 Xi
P0 =
1 + eα1 + β1 Xi + eα2 + β2 Xi
con
P0 + P1 + P2 = 1 .
eα1 + β1 Xi
P0 =
1 + eα1 + β1 Xi + eα2 + β2 Xi
99
3.
MODELO CON VARIABLE DEPENDIENTE LIMITADA
Existen un gran número de datos cuya observación nos muestra que están
limitados o acotados de alguna forma. Este fenómeno lleva a dos tipos de efectos: el
truncamiento y la censura.
El efecto de truncamiento ocurre cuando la muestra de datos es extraída
aleatoriamente de una población de interés, por ejemplo, cuando se estudia el ingreso y
la pobreza se establece un valor sobre el cual el ingreso se encuentra por encima o por
debajo del mismo.. De esta forma, algunos individuos podrán no ser tenidos en cuenta.
Por otro lado, censurar es un procedimiento en el cual los rangos de una variable
son limitados a priori por el investigador; este procedimiento produce una distorsión
estadística similar al proceso de truncamiento.
3.1.
MODELO TRUNCADO
Una distribución truncada es la parte de una distribución no truncada antes o
después de un valor específico; imagínese por ejemplo que nosotros deseamos conocer
la distribución de los ingresos anteriores a 100,000 o el número de viajes a una zona
mayores de 2, ésta será tan sólo una parte de la distribución total.
Si una variable continua aleatoria X, tiene una función de densidad de
probabilidades, y a es una constante, entonces:
f ( X X > a) =
f (X)
Pr ob( X > a )
si X tiene una distribución normal con media µ y desviación estándar
σ
, entonces:
⎛a − µ⎞
Pr ob( X > a ) = 1 − Φ ⎜
⎟ = 1 − Φ(α )
⎝ σ ⎠
donde
α=
a−µ
σ
y
Φ(α )
es función de densidad acumulativa, entonces la
distribución normal truncada será:
f ( X X > a) =
(
−1 − ( − X − µ )
2
2 2
e 2σ
)
2πσ
f (X)
=
1 − Φ (α )
1 − Φ (α )
2
⎛ 1⎞ ⎛ X − µ⎞
⎜ ⎟ φ⎜
⎟
⎝σ⎠ ⎝ σ ⎠
=
1 − Φ (α )
donde φ será la función de densidad de probabilidades normal estándar. La distribución
normal estándar truncada con
µ = 0 y σ = 1 para a igual a -0.5, 0 y 0.5, será:
100
Si
[
X ≈ N µ ,σ 2
] con µ constante, entonces la media vendrá dada por:
E [ X truncamiento] = µ + σλ (α )
y la varianza por:
var[ X truncamiento] = σ 2 (1 − δ (α ))
donde
α = (a − µ ) / σ
λ (α ) =
λ (α ) =
. Por otro lado, nosotros observamos que:
φ (α )
1 − Φ(α )
si el truncamiento ocurre en X > a
− φ (α )
1 − Φ(α )
si el truncamiento ocurre en X < a
Tomando el logaritmo de la distribución normal truncada, y al realizar la suma de
los logaritmos de estas densidades, se obtiene:
1
−n
ln L =
ln( 2π ) + ln σ 2 −
2
2σ 2
(
)
∑ (Yi − β ′X i )
i
2
−
n
⎡
i =1
⎣
⎛ a − β ′X i ⎞ ⎤
⎟⎥
⎠⎦
σ
∑ ln⎢1 − Φ ⎜⎝
Las condiciones necesarias para maximizar ln L serán:
101
donde α i
3.2.
=
∂ ln L
=
∂β
⎡ Yi − β ′X i λi ⎤
∑ ⎢⎣ σ 2 − σ ⎥⎦ X i = 0
i =1
∂ ln L
=
∂σ 2
⎡ − 1 (Yi − β ′X i ) 2 α X ⎤
∑ ⎢ 2σ 2 + 2σ 4 − 2iσ 2i ⎥ = 0
⎥⎦
i =1 ⎢⎣
a − βi X i
σ
y
n
n
λi =
φ (α i )
.
1 − Φ(α i )
MODELO CENSURADO
Un procedimiento normal con datos microeconómicos, consiste en censurar la
variable dependiente. Cuando la variable dependiente es censurada, los valores en un
determinado rango son todos transformados a un valor singular. De esta forma, si
definimos una variable aleatoria y transformada de la variable original como:
Y = 0 si Y * ≤ 0
Y = Y * si Y * > 0
El gráfico de la distribución censurada es:
⎛ − µ⎞
⎛ − µ⎞
Pr ob(Y = 0) = Pr ob Y * ≤ 0 = Φ⎜
⎟ = 1 − Φ⎜
⎟
⎝ σ ⎠
⎝ σ ⎠
(
La distribución correspondiente a Y
si
)
*
(
≈ N µ ,σ 2
) será:
Y * > 0 y tiene la densidad de Y * , entonces la distribución tiene partes discretas y
102
continuas, donde la probabilidad total será de 1como se requiere. Para lograr esto, se
asigna la probabilidad total en la región censurada al punto de censuramiento.
La media de una variable censurada vendrá dada por:
E (Y ) = Φ a + (1 − Φ )( µ + σλ )
y la varianza:
[
Var (Y ) = σ 2 (1 − Φ ) (1 − δ ) + (α − λ ) Φ
d o n d e :
2
]
⎡a − µ ⎤
*
=
α
=
ob
Y
≤ a = Φ;
Φ⎢
Φ
Pr
(
)
⎣ σ ⎥⎦
(
)
λ=
φ
;
1− Φ
δ = λ 2 − λα .
3.3.
MODELO TOBIT
El modelo Tobit se originó en el estudio de consumo de bienes no perecederos por
parte de las economías domésticas; el importe dedicado al consumo de estos bienes se
anula en el caso de familias que no pueden dedicar un mínimo de renta a la adquisición
de este tipo de productos. Así, el modelo Tobit es de la forma:
⎧β + β1 xi + ui
yi = ⎨ 0
mi
⎩
si y*i ≥ mi
si y *i < mi
en el que el valor mi es el límite mínimo por debajo del cual la variable endógena no
puede caer. Este modelo puede considerarse como uno de elección binaria, en el que la
variable endógena toma valores dependientes de las exógenas o bien un mínimo que no
depende de éstas.
Supongamos que
se observa si
definirá como:
asume que
.
, y no si
. Entonces,
se
103
Se le llama modelo Tobit o probit de Tobin o modelo censurado de regresión
normal, debido a que se censura (no se permite observar) algunas observaciones de
(aquellas que
). El objetivo es estimar los parámetros
y .
Ejemplo
1.-
Se especifica la demanda de automóviles de la siguiente forma:
donde
Son los gastos en automóviles y x el ingreso. En la muestra habría
un gran número de observaciones para las cuales los gastos en automóviles son
cero. El modelo censurado de regresión se puede especificar como:
2.-
Si existen observaciones sobre varias personas, de las cuales sólo algunas tienen
empleo, podemos especificar el modelo:
•
Caso horas trabajadas,
•
Caso salarios,
Método de estimación
La estimación de β y σ mediante mínimos cuadrados ordinarios no se puede
utilizar con observaciones positivas , pues cuando se escribe el modelo:
el término de error
no tiene media cero. Dado que las observaciones con
se omiten, esto supone que sólo se incluyen en la muestra las observaciones para las
104
cuales
. Por lo tanto, la distribución de
es normal truncada y su media no
es cero. La Distribución normal truncada es:
donde la función de densidad estándar normal es:
y la función de distribución acumulada estándar normal es:
Un método de estimación que se sugiere comúnmente es el de máxima
verosimilitud, que es el siguiente:
si maximizamos la función de verosimilitud con respecto a
estimados de máxima verosimilitud de estos parámetros.
β
y
σ
, obtendremos los
Los modelos Tobit se refiere a modelos censurados o truncados donde el rango
de la variable dependiente se restringe de alguna forma.
Dado el creciente uso de los modelos tipo Tobit, Amemiya realizó la laboriosa
tarea de clasificar, los modelos Tobit de acuerdo con similitudes en la función de
verosimilitud. La caracterización de los tipos de modelos Tobit es la siguiente:
105
TIPO
VARIABLE DEPENDIENTE
Y1
Y2
Y3
1
CENSURADO
-
-
2
BINARIO
CENSURADO
-
3
CENSURADO
CENSURADO
-
4
CENSURADO
CENSURADO
CENSURADO
5
BINARIO
CENSURADO
CENSURADO