´Algebra y trigonometrıa: Conceptos fundamentales

Los números reales
Exponentes y Radicales
Álgebra y trigonometrı́a:
Conceptos fundamentales
CNM-108
Instituto de Matemáticas
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Universidad de Antioquia
Este documento es distribuido bajo una licencia
Creative Commons Atribución - No comercial 2.5 Colombia.
Referencias
Los números reales
Exponentes y Radicales
Contenido
1
Los números reales
Conjunto de los números reales
Propiedades de los números reales
2
Exponentes y Radicales
Exponentes
Raı́z n-ésima
3
Referencias
Referencias
Los números reales
Exponentes y Radicales
Conjunto de los números reales
Conjunto de números naturales: N = {1, 2, 3, . . .}
N0 = {0, 1, 2, . . .} = N ∪ {0}
Referencias
Los números reales
Exponentes y Radicales
Conjunto de los números reales
Conjunto de números naturales: N = {1, 2, 3, . . .}
N0 = {0, 1, 2, . . .} = N ∪ {0}
Conjunto de números enteros Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
Referencias
Los números reales
Exponentes y Radicales
Conjunto de los números reales
Conjunto de números naturales: N = {1, 2, 3, . . .}
N0 = {0, 1, 2, . . .} = N ∪ {0}
Conjunto de números enteros Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
N⊂Z
Referencias
Los números reales
Exponentes y Radicales
Conjunto de los números reales
Conjunto de números naturales: N = {1, 2, 3, . . .}
N0 = {0, 1, 2, . . .} = N ∪ {0}
Conjunto de números enteros Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
N⊂Z
1
Enteros positivos: Z+ = {1, 2, 3, . . .} = N
Referencias
Los números reales
Exponentes y Radicales
Conjunto de los números reales
Conjunto de números naturales: N = {1, 2, 3, . . .}
N0 = {0, 1, 2, . . .} = N ∪ {0}
Conjunto de números enteros Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
N⊂Z
1
Enteros positivos: Z+ = {1, 2, 3, . . .} = N
2
Enteros negativos: Z− = {. . . , −3, −2, −1}
Referencias
Los números reales
Exponentes y Radicales
Conjunto de los números reales
Conjunto de números naturales: N = {1, 2, 3, . . .}
N0 = {0, 1, 2, . . .} = N ∪ {0}
Conjunto de números enteros Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
N⊂Z
1
Enteros positivos: Z+ = {1, 2, 3, . . .} = N
2
Enteros negativos: Z− = {. . . , −3, −2, −1}
3
Enteros no-negativos: {0, 1, 2, 3, . . .} = N0
Referencias
Los números reales
Exponentes y Radicales
Conjunto de los números reales
Conjunto de números naturales: N = {1, 2, 3, . . .}
N0 = {0, 1, 2, . . .} = N ∪ {0}
Conjunto de números enteros Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
N⊂Z
1
Enteros positivos: Z+ = {1, 2, 3, . . .} = N
2
Enteros negativos: Z− = {. . . , −3, −2, −1}
3
Enteros no-negativos: {0, 1, 2, 3, . . .} = N0
Referencias
Los números reales
Exponentes y Radicales
Conjunto de los números reales
Conjunto de números naturales: N = {1, 2, 3, . . .}
N0 = {0, 1, 2, . . .} = N ∪ {0}
Conjunto de números enteros Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
N⊂Z
1
Enteros positivos: Z+ = {1, 2, 3, . . .} = N
2
Enteros negativos: Z− = {. . . , −3, −2, −1}
3
Enteros no-negativos: {0, 1, 2, 3, . . .} = N0
Z = Z+ ∪ Z− ∪ {0}
Referencias
Los números reales
Exponentes y Radicales
Conjunto de los números reales
Conjunto de números naturales: N = {1, 2, 3, . . .}
N0 = {0, 1, 2, . . .} = N ∪ {0}
Conjunto de números enteros Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
N⊂Z
1
Enteros positivos: Z+ = {1, 2, 3, . . .} = N
2
Enteros negativos: Z− = {. . . , −3, −2, −1}
3
Enteros no-negativos: {0, 1, 2, 3, . . .} = N0
Z = Z+ ∪ Z− ∪ {0}
Referencias
Los números reales
Exponentes y Radicales
Referencias
Conjunto de números racionales
nm
o
Q=
: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0
n
Todo entero n se puede escribir como el número racional n/1. Entonces,
Z⊂Q
Los números reales
Exponentes y Radicales
Referencias
Conjunto de números racionales
nm
o
Q=
: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0
n
Todo entero n se puede escribir como el número racional n/1. Entonces,
Z⊂Q
Conjunto de números irracionales: Se denota por Q∗ , son los
números reales que no admiten la representación racional.
Los números reales
Exponentes y Radicales
Referencias
Conjunto de números racionales
nm
o
Q=
: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0
n
Todo entero n se puede escribir como el número racional n/1. Entonces,
Z⊂Q
Conjunto de números irracionales: Se denota por Q∗ , son los
números reales que no admiten la representación racional.
Conjunto de números reales
R = Q ∪ Q∗
Los números reales
Exponentes y Radicales
Referencias
Conjunto de números racionales
nm
o
Q=
: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0
n
Todo entero n se puede escribir como el número racional n/1. Entonces,
Z⊂Q
Conjunto de números irracionales: Se denota por Q∗ , son los
números reales que no admiten la representación racional.
Conjunto de números reales
R = Q ∪ Q∗
Conjunto de números complejos Denotado por C es un conjunto
numérico que contiene a los números reales.
R⊂C
Los números reales
Exponentes y Radicales
Referencias
Conjunto de números racionales
nm
o
Q=
: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0
n
Todo entero n se puede escribir como el número racional n/1. Entonces,
Z⊂Q
Conjunto de números irracionales: Se denota por Q∗ , son los
números reales que no admiten la representación racional.
Conjunto de números reales
R = Q ∪ Q∗
Conjunto de números complejos Denotado por C es un conjunto
numérico que contiene a los números reales.
R⊂C
Los números reales
Exponentes y Radicales
Referencias
Cerrados respecto a la suma y al producto
Cerrados respecto a la operación adición(+)
A cada par de números reales a y b les corresponde un único número real
a + b.
Cerrados respecto a la operación multiplicación o producto (·, ×)
A cada par de números reales a y b les corresponde un único número real
a · b.
Los números reales
Exponentes y Radicales
Referencias
Cerrados respecto a la suma y al producto
Cerrados respecto a la operación adición(+)
A cada par de números reales a y b les corresponde un único número real
a + b.
Cerrados respecto a la operación multiplicación o producto (·, ×)
A cada par de números reales a y b les corresponde un único número real
a · b.
Los números reales
Exponentes y Radicales
Propiedades de los números reales
1
La adición es conmutativa.
2
La adición es asociativa.
a+b=b+a
a + (b + c) = (a + b) + c
Referencias
Los números reales
Exponentes y Radicales
Propiedades de los números reales
1
La adición es conmutativa.
2
La adición es asociativa.
3
0 es el neutro aditivo.
a+b=b+a
a + (b + c) = (a + b) + c
a+0=a
Referencias
Los números reales
Exponentes y Radicales
Referencias
Propiedades de los números reales
1
La adición es conmutativa.
a+b=b+a
2
La adición es asociativa.
3
0 es el neutro aditivo.
4
−a es el inverso aditivo o negativo de a.
a + (b + c) = (a + b) + c
a+0=a
a + (−a) = 0
Los números reales
Exponentes y Radicales
Referencias
Propiedades de los números reales
1
La adición es conmutativa.
a+b=b+a
2
La adición es asociativa.
3
0 es el neutro aditivo.
4
−a es el inverso aditivo o negativo de a.
5
La multiplicación es conmutativa.
a + (b + c) = (a + b) + c
a+0=a
a + (−a) = 0
ab = ba
Los números reales
Exponentes y Radicales
Referencias
Propiedades de los números reales
1
La adición es conmutativa.
a+b=b+a
2
La adición es asociativa.
3
0 es el neutro aditivo.
4
−a es el inverso aditivo o negativo de a.
5
La multiplicación es conmutativa.
6
La multiplicación es asociativa.
a + (b + c) = (a + b) + c
a+0=a
a + (−a) = 0
ab = ba
a(bc) = (ab)c
Los números reales
Exponentes y Radicales
Referencias
Propiedades de los números reales
1
La adición es conmutativa.
a+b=b+a
2
La adición es asociativa.
3
0 es el neutro aditivo.
4
−a es el inverso aditivo o negativo de a.
5
La multiplicación es conmutativa.
6
La multiplicación es asociativa.
7
1 es el neutro multiplicativo.
a + (b + c) = (a + b) + c
a+0=a
a + (−a) = 0
ab = ba
a(bc) = (ab)c
a·1=a
Los números reales
Exponentes y Radicales
Referencias
Propiedades de los números reales
1
La adición es conmutativa.
2
La adición es asociativa.
3
0 es el neutro aditivo.
4
−a es el inverso aditivo o negativo de a.
5
La multiplicación es conmutativa.
6
La multiplicación es asociativa.
7
1 es el neutro multiplicativo.
8
a+b=b+a
a + (b + c) = (a + b) + c
a+0=a
a + (−a) = 0
ab = ba
a(bc) = (ab)c
a·1=a
Si a 6= 0, a1 = a−1 es el inverso multiplicativo (recı́proco) de a.
a a1 = 1
Los números reales
Exponentes y Radicales
Referencias
Propiedades de los números reales
1
La adición es conmutativa.
2
La adición es asociativa.
3
0 es el neutro aditivo.
4
−a es el inverso aditivo o negativo de a.
5
La multiplicación es conmutativa.
6
La multiplicación es asociativa.
7
1 es el neutro multiplicativo.
8
9
a+b=b+a
a + (b + c) = (a + b) + c
a+0=a
a + (−a) = 0
ab = ba
a(bc) = (ab)c
a·1=a
Si a 6= 0, a1 = a−1 es el inverso multiplicativo (recı́proco) de a.
a a1 = 1
La multiplicación es distributiva sobre la adición.
a(b + c) = ab + ac y (a + b)c = ac + bc
Los números reales
Exponentes y Radicales
Referencias
Propiedades de los números reales
1
La adición es conmutativa.
2
La adición es asociativa.
3
0 es el neutro aditivo.
4
−a es el inverso aditivo o negativo de a.
5
La multiplicación es conmutativa.
6
La multiplicación es asociativa.
7
1 es el neutro multiplicativo.
8
9
a+b=b+a
a + (b + c) = (a + b) + c
a+0=a
a + (−a) = 0
ab = ba
a(bc) = (ab)c
a·1=a
Si a 6= 0, a1 = a−1 es el inverso multiplicativo (recı́proco) de a.
a a1 = 1
La multiplicación es distributiva sobre la adición.
a(b + c) = ab + ac y (a + b)c = ac + bc
Los números reales
Exponentes y Radicales
Desigualdades:
a > b (a es mayor que b)
a − b es un número positivo.
a < b (a es menor que b)
a − b es un número negativo.
a ≥ b (a es mayor o igual a b)
a − b es positivo o igual a 0.
a ≤ b (a es menor o igual a b)
a − b es negativo o igual a 0.
Valor absoluto:
El valor absoluto de un número real a, denotado por |a|, se define como:
a
si a ≥ 0,
|a| =
−a si a < 0.
Referencias
Los números reales
Exponentes y Radicales
Desigualdades:
a > b (a es mayor que b)
a − b es un número positivo.
a < b (a es menor que b)
a − b es un número negativo.
a ≥ b (a es mayor o igual a b)
a − b es positivo o igual a 0.
a ≤ b (a es menor o igual a b)
a − b es negativo o igual a 0.
Valor absoluto:
El valor absoluto de un número real a, denotado por |a|, se define como:
a
si a ≥ 0,
|a| =
−a si a < 0.
Referencias
Los números reales
Exponentes y Radicales
Exponentes y Radicales
Sean n ∈ Z+ y b ∈ R.
bn : se lee b a la n-ésima potencia o simplemente, b elevado a la n.
bn = b| · b ·{zb · · · }b
n veces
b0 = 1
Referencias
Los números reales
Exponentes y Radicales
Referencias
Exponentes y Radicales
Sean n ∈ Z+ y b ∈ R.
bn : se lee b a la n-ésima potencia o simplemente, b elevado a la n.
bn = b| · b ·{zb · · · }b
n veces
b0 = 1
y para
b 6= 0,
b−n =
1
bn
para
b 6= 0
Los números reales
Exponentes y Radicales
Referencias
Exponentes y Radicales
Sean n ∈ Z+ y b ∈ R.
bn : se lee b a la n-ésima potencia o simplemente, b elevado a la n.
bn = b| · b ·{zb · · · }b
b0 = 1
y para
b 6= 0,
b−n =
1
bn
para
b 6= 0
n veces
Leyes de los exponentes para los números reales a y b y los enteros m y n
1
am an = am+n
2
(am )n = amn
3
(ab)n = an bn
4
Para b 6= 0,
5
Para a 6= 0,
am
an
am
an
a n
b
= am−n
=
1
an−m
=
an
bn
Los números reales
Exponentes y Radicales
Referencias
Exponentes y Radicales
Sean n ∈ Z+ y b ∈ R.
bn : se lee b a la n-ésima potencia o simplemente, b elevado a la n.
bn = b| · b ·{zb · · · }b
b0 = 1
y para
b 6= 0,
b−n =
1
bn
para
b 6= 0
n veces
Leyes de los exponentes para los números reales a y b y los enteros m y n
1
am an = am+n
2
(am )n = amn
3
(ab)n = an bn
4
Para b 6= 0,
5
Para a 6= 0,
am
an
am
an
a n
b
= am−n
=
1
an−m
=
an
bn
Los números reales
Exponentes y Radicales
Raı́z n-ésima de un número real a,
√
n
a
Si n es un número natural y a un número real,
√
Si a = 0, entonces n a = 0
√
n
a está definida por:
Referencias
Los números reales
Exponentes y Radicales
Raı́z n-ésima de un número real a,
√
n
a
Si n es un número natural y a un número real,
√
Si a = 0, entonces n a = 0
Si a > 0, entonces
√
n
√
n
a está definida por:
a = b, donde b > 0 y bn = a
Referencias
Los números reales
Exponentes y Radicales
Raı́z n-ésima de un número real a,
√
n
a
Si n es un número natural y a un número real,
√
Si a = 0, entonces n a = 0
Si a > 0, entonces
√
n
√
n
a está definida por:
a = b, donde b > 0 y bn = a
Si a < 0 y n es impar, entonces
√
n
a = b, donde b < 0 y bn = a
Referencias
Los números reales
Exponentes y Radicales
Raı́z n-ésima de un número real a,
√
n
a
Si n es un número natural y a un número real,
√
Si a = 0, entonces n a = 0
Si a > 0, entonces
√
n
√
n
a está definida por:
a = b, donde b > 0 y bn = a
Si a < 0 y n es impar, entonces
Si a < 0 y n es par, entonces
√
n
√
n
a = b, donde b < 0 y bn = a
a no es un número real.
Referencias
Los números reales
Exponentes y Radicales
Raı́z n-ésima de un número real a,
√
n
a
Si n es un número natural y a un número real,
√
Si a = 0, entonces n a = 0
Si a > 0, entonces
√
n
√
n
a está definida por:
a = b, donde b > 0 y bn = a
Si a < 0 y n es impar, entonces
Si a < 0 y n es par, entonces
√
n
√
n
a = b, donde b < 0 y bn = a
a no es un número real.
Referencias
Los números reales
Exponentes y Radicales
√
Algunas propiedades de n a, con n ∈ Z+ , a ∈ R
√ n
√
( n a) = a si n a es un número real
√
n n
a = a si a ≥ 0
√
n n
a = a si a < 0 y n es impar
√
n n
a = |a| si a < 0 y n es par
Observe que de estas propiedades podemos deducir que
√
x2 = |x|
Referencias
Los números reales
Exponentes y Radicales
√
Algunas propiedades de n a, con n ∈ Z+ , a ∈ R
√ n
√
( n a) = a si n a es un número real
√
n n
a = a si a ≥ 0
√
n n
a = a si a < 0 y n es impar
√
n n
a = |a| si a < 0 y n es par
Observe que de estas propiedades podemos deducir que
√
x2 = |x|
Referencias
Los números reales
Exponentes y Radicales
Referencias
Algunas leyes de la radicación:
Para a ∈ R, b ∈ R, m ∈ Z+ , n ∈ Z+ y siempre que las raı́ces sean números
reales.
√
√ √
n
ab = n a n b
p
n a
b
=
√
n
a
√
n
b
Los números reales
Exponentes y Radicales
Referencias
Algunas leyes de la radicación:
Para a ∈ R, b ∈ R, m ∈ Z+ , n ∈ Z+ y siempre que las raı́ces sean números
reales.
√
√ √
n
ab = n a n b
p
n a
b
=
√
n
a
√
n
p√
m n
a=
b
√
mn
a
Los números reales
Exponentes y Radicales
Referencias
Algunas leyes de la radicación:
Para a ∈ R, b ∈ R, m ∈ Z+ , n ∈ Z+ y siempre que las raı́ces sean números
reales.
√
√ √
n
ab = n a n b
p
n a
b
=
√
n
a
√
n
p√
m n
a=
b
√
mn
a
Exponentes racionales
Sea m/n un número racional,√donde n es un entero positivo mayor que 1. Si
a es un número real tal que n a existe, entonces
√
1 a1/n = n a
Los números reales
Exponentes y Radicales
Referencias
Algunas leyes de la radicación:
Para a ∈ R, b ∈ R, m ∈ Z+ , n ∈ Z+ y siempre que las raı́ces sean números
reales.
√
√ √
n
ab = n a n b
p
n a
b
=
√
n
a
√
n
p√
m n
a=
b
√
mn
a
Exponentes racionales
Sea m/n un número racional,√donde n es un entero positivo mayor que 1. Si
a es un número real tal que n a existe, entonces
√
1 a1/n = n a
√
√ m
2 am/n = ( n a)
= n am
Los números reales
Exponentes y Radicales
Referencias
Algunas leyes de la radicación:
Para a ∈ R, b ∈ R, m ∈ Z+ , n ∈ Z+ y siempre que las raı́ces sean números
reales.
√
√ √
n
ab = n a n b
p
n a
b
=
√
n
a
√
n
p√
m n
a=
b
√
mn
a
Exponentes racionales
Sea m/n un número racional,√donde n es un entero positivo mayor que 1. Si
a es un número real tal que n a existe, entonces
√
1 a1/n = n a
√
√ m
2 am/n = ( n a)
= n am
m
3 am/n =
a1/n
= (am )1/n
Los números reales
Exponentes y Radicales
Referencias
Algunas leyes de la radicación:
Para a ∈ R, b ∈ R, m ∈ Z+ , n ∈ Z+ y siempre que las raı́ces sean números
reales.
√
√ √
n
ab = n a n b
p
n a
b
=
√
n
a
√
n
p√
m n
a=
b
√
mn
a
Exponentes racionales
Sea m/n un número racional,√donde n es un entero positivo mayor que 1. Si
a es un número real tal que n a existe, entonces
√
1 a1/n = n a
√
√ m
2 am/n = ( n a)
= n am
m
3 am/n =
a1/n
= (am )1/n
Los números reales
Exponentes y Radicales
Referencias
E.W. Swokowski, J.A. Cole
Álgebra y Trigonometrı́a con Geometrı́a Analı́tica
undécima edición, editorial Thomson, 2006.
F.D. Demana, B.K. Waits, G.D. Foley, D. Kennedy
Precálculo
séptima edición, editorial Pearson, 2006.
M. Sullivan
Álgebra y Trigonometrı́a
séptima edición, editorial Pearson, 2006.
Referencias