SIGMA 30
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SIGMA 30 EL ARTE DE NAVEGAR Pedro José Jauregui Sanz (*) Cuando un capitán de barco le dice al timonel “Rumbo 037” podemos asegurar que, en esa simple frase, están concentrados siglos de experiencia y grandes desarrollos científicos, matemáticos y técnicos. Para decirla, el capitán ha de saber dónde se encuentra el lugar a donde quiere ir, ha de saber donde está su barco y en función de ello determinar la dirección a seguir, osea, el rumbo. La localización de los puertos, los faros, los escollos, etc... es objeto de la cartografía, disciplina fuertemente relacionada con la geometría y no muy difícil de abordar técnicamente ya que sobre la superficie de la tierra existen puntos de referencia fijos para realizar las mediciones y los cálculos. La determinación y el seguimiento del rumbo son relativamente sencillos si aprovechamos la propiedad del magnetismo de la tierra y utilizamos el sencillo instrumento de la brújula o compás como referencia. El problema básico para un navegante es saber dónde se encuentra. En el mar no existen puntos de referencia fijos, como en la tierra. Las condiciones no son cómodas y la meteorología siempre juega malas pasadas. Podemos decir que el arte de navegar es el arte de saber dónde se encuentra el barco en todo momento. Una mala apreciación o un cálculo erróneo de la posición podía ocasionar grandes estragos al barco y a la tripulación. Un ejemplo de lo dicho se ve en el gráfico de la figura 1. Figura 1 El capitán esta realmente en el punto A. Pero si cree que esta en A’, el rumbo que dará al timonel para ir a B hará que el barco se pierda irremisiblemente embarrancando contra los escollos C. (*) Asesor de Ed. Secundaria del ámbito científico-tecnológico del Berritzegune de Sestao. Mayo 2007 • 2007ko Maiatza 151 Pedro José Jauregui Sanz Las ansias de conquista de los Estados, el valor estratégico de las posesiones de ultramar y el valor económico de las cargas que llevaban algunos barcos, obligaron a tratar el tema del cálculo de la posición y de la navegación de una manera exhaustiva y rigurosa. Y claro, qué mejor disciplina para abordar el formidable problema que esto suponía que las matemáticas. SISTEMA DE COORDENADAS La tierra es (casi) una esfera. En la figura 2 se puede ver una de las maneras de determinar la posición de un punto en la superficie de la esfera. Consiste en un sistema de coordenadas que toma por origen el centro de la esfera y como valores los ángulos tomados en dos círculos máximos, (círculos que pasan por el centro de la esfera) perpendiculares entre sí. Figura 2 Ahora bien, hace falta una referencia en la superficie a partir de la cual medir dichos ángulos. En principio podría ser cualquier lugar, pero había que pensar en alguna propiedad o característica significativa. La tierra gira alrededor de un eje que pasa por sus polos. Una buena manera de actuar es determinar el ángulo que forma nuestra posición respecto a ese eje (rho). Hay infinitos círculos máximos que pasan por los polos. A cada uno de ellos se le llama meridiano. Perpendicular a todos los meridianos solo hay un círculo máximo: el ecuador. Este va a ser el origen de la medida del ángulo. Y a esa manera de expresar el ángulo se le llama latitud. (Va a ser el ángulo complementario de rho). Por lo tanto podemos encontrarnos entre las latitudes de 0º (en el ecuador) a 90º (polo), tanto al norte o al sur. Para el otro ángulo (theta) necesitamos un meridiano de referencia a partir del cual empezar a contar. Contaremos hacia el este o hacia el oeste. Esa manera de expresar el ángulo se llama longitud. Podemos encontrarnos entre longitudes de 0º a 180º al este o el oeste de ese meridiano. Pero, ¿desde dónde empezamos a contar? No existe ninguna propiedad significativa para determinar el origen. La historia de los meridianos de referencia comienza con el meridiano de las Islas Canarias, más concretamente, el que transcurre por la isla del Hierro. Ptolomeo, el gran geógrafo griego de la Antigüedad (siglo II), lo estableció en los confines del mundo conocido, en las Islas Afortunadas. Esta tradición se mantuvo en Europa hasta la época de los descubrimientos, cuando intereses políticos, militares y técnicos hicieron que cada país decidiera qué meridiano origen emplear en sus mapas. Había comenzado el baile de meridianos. 152 SIGMA Nº 30 • SIGMA 30 zk. El arte de navegar Llegó a haber más de 15 meridianos en las distintas cartografías; Rusia lo puso en San Petersburgo, Estados Unidos en Philadelphia, España en Cádiz, Francia en París y el Reino Unido en Greenwich. Esta controversia acabó a partir del año 1884 en el que tras un congreso se optó por el meridiano de Greenwich. Francia se resistió a adoptarlo hasta 1911 fecha a partir de la cual el consenso fue mundial. Figura 3 Es curioso, pero el punto 0º 00’ 00’’ de latitud y 0º 00’ 00’’ de longitud es un lugar que está en el mar, en el golfo de Guinea, en la costa oeste de África. No hay ni un faro, ni una isla, ni una ciudad ni nada remarcable. Ya tenemos el sistema de coordenadas para ubicar las posiciones. Pero las mesas de los barcos son planas. Los capitanes de barco necesitan mapas planos. Una manera de convertir una superficie esférica en una plana es por medio de proyecciones(1). ¿Cuál de las proyecciones es la que más interesa a un navegante? Aquella en la que las direcciones, los rumbos, se puedan dibujar por medio de una línea recta. La proyección que cumple este requisito es la de Mercator. (Cartógrafo flamenco, 1512-1594). Esta proyección hace que las cartas vengan representadas por una cuadrícula en la que los meridianos y los paralelos sean líneas paralelas y perpendiculares entre sí. Se pierde rigor en al representación de las distancias y las superficies, (sobre todo cuando nos alejamos del ecuador) pero se mantiene inmutable la expresión del rumbo. Es decir el ángulo que forma la dirección de marcha con el meridiano. Una curiosidad de la proyección de Mercator es que se tome el rumbo que se tome, manteniéndolo constante siempre, tarde o temprano, se acaba por llegar a alguno de los polos describiendo una espiral sobre la superficie de la tierra. Bien, el problema de conocer la posición se reduce ahora a saber la latitud y la longitud. ¿Cómo lo podemos hacer si no tenemos referencias en el mar? El caso es que sí las tenemos: los astros. LA LATITUD El Sol, la Luna, los planetas y las estrellas nos podrían ayudar. Pero se mueven. Bueno, todos no. En el hemisferio norte hay una estrella que parece que no se mueve, todas las demás giran a su alrededor. Es la estrella polar, y como su nombre indica está justo encima de la línea que determina el eje de rotación de la tierra. Si se mide el ángulo que forma esa estrella con el horizonte se habrá determinado la latitud a la que se encuentra el barco. Mayo 2007 • 2007ko Maiatza 153 Pedro José Jauregui Sanz Figura 4 Como se ve en la figura 4, dos ángulos que tienen los lados perpendiculares son iguales entre sí y por tanto (G.L.) la latitud geográfica, es igual a Alt (altura de la estrella polar sobre el horizonte). El Sol también nos puede ayudar para el cálculo de la latitud. La dificultad está en que el Sol se mueve. Analicemos la situación. El movimiento aparente del Sol está determinado por el movimiento de rotación de la tierra sobre si misma y de translación alrededor del Sol. Por otra parte el eje de rotación forma un ángulo con el plano de translación alrededor del Sol que hace que incida directamente al norte o al sur del ecuador en una posición determinada por un ángulo referido al ecuador. Ese ángulo se conoce como declinación. Figura 5 Cuando el Sol pasa por el meridiano de la posición, es decir, al mediodia, vemos cómo la latitud, la declinación y la altura del Sol sobre el horizonte están relacionados, como se ve en la figura 5, de tal manera que: Lat = 90º - Dec -Alt 154 (1) SIGMA Nº 30 • SIGMA 30 zk. El arte de navegar Por lo tanto conociendo la declinación del Sol en cada momento del año, basta con medir la altura del Sol sobre el horizonte al mediodia para conocer la latitud. En la siguiente gráfica se muestra la declinación del Sol cada mes del año: Grados sobre o bajo el ecuador Declinación del sol Meses del año Figura 6 Los astrónomos y matemáticos ya tenían trabajo, Tenian que medir la declinación, es decir la altura del Sol sobre el ecuador, para cada momento. Es por tanto necesario un observatorio astronómico y una definición de tiempo. Para aplicar el dato de la declinación para el mediodia de la posición hay que conocer el dato de la hora en ese momento en el observatorio de referencia. No debemos olvidar que cuando en Greenwich (Reino Unido) es mediodía, en Milwaukee (Estados Unidos), está amaneciendo. Por tanto, es imprescindible en el barco disponer de un cronómetro sincronizado con el meridiano de referencia. En 1714 el Parlamento Inglés ofrecio 20.000 libras para solucionar este problema. Los astrónomos podían determinar la longitud con la ayuda de las distancias lunares y otras observaciones, pero sus métodos eran totalmente impracticables en el mar (es costumbre que en el mar haya olas y el barco no deje de moverse, a veces impetuosamente). Al fin, después de trabajar toda su vida, John Harrison, natural de Yorkshire, recibió en 1774 el premio por su invento. Por eso el meridiano de referencia, además de un origen de longitudes, se convirtió en una referencia de tiempos. Y no cabe duda de que la longitud y el tiempo van a estar relacionados. Por ejemplo; en el hemisferio norte, el 28 de febrero del 2006, la altura del Sol sobre el horizonte es de 23º 15,5’ cuando es mediodía en la posición del barco, es decir, cuando el Sol tiene la altura mas alta(2). En ese momento el cronómetro del barco sincronizado con Greenwich marca las 10 h 30 m. A las 10h 30m la declinación del Sol el 28 de febrero del 2006 es 8º 20’. Al sur del ecuador (Dato obtenido de tablas). Mayo 2007 • 2007ko Maiatza 155 Pedro José Jauregui Sanz Por lo tanto si se aplica la ecuación (1) se obtiene la latitud del barco: Lat = 90º - 8º 20’ - 23º 15,5’ Lat = 58º 24,5’ N La longitud del barco es este, ya que es mediodía antes que en el meridiano de referencia. (Figura 7). Hay 1,5 horas de diferencia y como cada hora corresponde a 15º (es lo que resulta de dividir 360º entre 24 horas que tiene un dia) la longitud correspondiente en grados es: Long = 22º 30’ E Figura 7 Lo que es válido para el Sol se puede aplicar a otros astros. Por tanto, para saber la posición en un barco se necesita un instrumento para medir la altura de los astros sobre el horizonte, un cronómetro y una cohorte de astrónomos y matemáticos que creen las tablas en las que aparezca la declinación de los astros para cada momento. El cronómetro no apareció hasta el año 1774. Pero…¿cómo medían la altura de los astros? LA ALTURA DE LOS ASTROS El astrolabio Figura 8 156 SIGMA Nº 30 • SIGMA 30 zk. El arte de navegar Fundamentalmente es un círculo de bronce o latón (también los hubo de madera) atravesado por cuatro radios, situados a 90 grados uno del otro. La intersección con el círculo del radio situado en los 180 grados, tiene una mayor masa del material en el que se ha construido el astrolabio, para que haga el efecto plomada y disminuir la oscilación que el viento o el movimiento del buque puedan imprimirle. El diámetro vertical representa la línea zénit-nádir y el horizontal la línea del horizonte. En esta línea está situado el grado cero, correspondiendo el grado 90 al zénit. Dispone además de una anilla o “colgadero” para introducir por ella un dedo y sustentar el astrolabio. (figura 8). “El que quiera tomar el Sol con el astrolabio en la mar, se asentará y pondrá cerca del mástil mayor, que es donde la nave da menos vaivenes y está más quieta, y colgando el dedo segundo de la mano derecha de su anillo, pondrá el rostro y el astrolabio frontero del Sol derechamente y conocerá que está por la sombrea que el Sol, y alzará o bajará el penicidio (alidada) hasta que entre el Sol por los dos agujeros de las pínulas y estando así tomará del astrolabio los grados que muestre la punta del penicidio, y hará por ellos las cuentas según las reglas”. (Dr.García de Palacio. Instrucción Náutica para navegar. Méjico 1587). La ballestina Figura 9 Es un instrumento para medir alturas del Sol introducido por los portugueses en el mar alrededor de 1515, aunque ya se conocía su uso desde 1342. La primera descripción la realizó Levi Ben Gerson. (1288-1344). Es una pieza corredera engarzada en un vástago graduado de tal manera que, actuando como se ve en la figura 9, se puede medir el ángulo. Una esquina se enrasa con el horizonte y la otra con el Sol. El peligro de ceguera que ocasionaba esta forma de medir el ángulo obligó a trabajar con la ballestina de espaldas al Sol por medio de una pieza con ranura para enrasar el horizonte y haciendo coincidir la sombra proyectada de la pieza corredera. El instrumento dispone de piezas correderas de diferente tamaño y sus escalas correspondientes en el vástago para trabajar con ángulos de la mayor variedad posible de tamaños. Con este instrumento se aumentó la precisión y la exactitud de las medidas de la altura de los astros en relación con el astrolabio. Mayo 2007 • 2007ko Maiatza 157 Pedro José Jauregui Sanz El Cuadrante Figura 10 Con este sencillo instrumento, que debe su nombre a que tiene la forma de la cuarta parte de un círculo, es posible medir la altura del Sol teniendo en cuenta la relación de los ángulos tal como se expresa en la figura 10. Cristobal Colón utilizó uno de estos aparatos para determinar la latitud en sus viajes al Nuevo Mundo. Consta del cuadrante graduado y de una plomada sujeta al centro del circulo original que por mantener la verticalidad permite realizar la medida al alinear la vista con el Sol por uno de los lados. Cuando se realizan mediciones en tierra no se encuentra demasiada dificultad, pero al intentar hacerlo en un barco en movimiento, la plomada no está quieta casi en ningún momento y la calidad de los datos obtenidos no es muy buena. El cuadrante de Davis Figura 11 John Davis, fue un navegante inglés nacido en Sandridge, cerca de Dartmouth alrededor de 1550. A parte de descubrir el estrecho que lleva su nombre entre Groenlandia y América, y de otras aportaciones para la navegación, diseñó este instrumento que permitia conocer la altura de los astros con una precisión de minutos de arco. Hasta entonces errores de un grado se aceptaban como inevitables. El principio es el de la Ballestina (de hecho no es mas que una ballestina sofisticada) y se observa el Sol de espaldas. Consiste en dos escalas graduadas que representan trozos de circunferencia centradas en el mismo punto. Una pequeña y otra grande. La forma de proceder consiste en fijar en la escala pequeña un angulo en grados exactos (mas pequeño que la altura del Sol) y buscar en la grande la confluencia del horizonte y la 158 SIGMA Nº 30 • SIGMA 30 zk. El arte de navegar imagen o la sombra del Sol, moviendo una pínula por la escala. La altura del Sol será la suma de los dos ángulos. El octante El octante fue inventado por Hadley en 1731. Es el precursor del sextante y comienza los sistemas de medida de altura basados en la reflexión. La reflexión disminuye la imprecisión debida al balanceo del barco. El octante consiguió que el arte de medir alturas en el mar obtuviera una perfección teórica. Las mejoras conseguidas después solo se deben a los mejores métodos de construcción. Como su nombre indica estaba montado sobre un armazón que era la octava parte de un circulo. Los brazos del octante formaban un ángulo de 45º y permitian medir alturas de 90º como máximo. Figura 12 El sextante Figura 13 Mayo 2007 • 2007ko Maiatza 159 Pedro José Jauregui Sanz Es el instrumento mas utilizado para la determinación de alturas de astros en la actualidad. Fue inventado por Thomas Godfrey, practicamente a la vez que Hadley inventara el octante. Como su nombre indica el armazón tiene la forma de la sexta parte de un circulo. Es decir los brazos forman un ángulo de 60º. Esto le permite medir alturas de hasta 120º. Como se ve en la figura 14 el ángulo de incidencia y el de reflexión son iguales (angulo Y). Por lo tanto: 180º = 2. Y + _ + 60º 120º = 2. Y + _ 120º = 120º - 2._ + _ _ = 2._ Figura 14 Calibrando bien el sextante y haciendo las correcciones oportunas para la altura del observador, el semidiametro del Sol y la refracción producida por la atmósfera, las medidas de altura tomadas con este aparato tienen la suficiente precisión como para permitir la seguridad en la mar. Es un instrumento absolutamente imprescindible en todo barco. La longitud Hasta el invento del cronómetro la longitud era una mera especulación. Se llegaron a representar tres archipielagos de las Galápagos en el mismo paralelo. Se navegaba hasta encontrar la latitud del lugar hacia el que se quería ir y luego se mantenia esta latitud y... ¡ya se llegaría!. De ahí la máxima de los navegantes de “paralelo corriendo tierra encontrando”. Figura 15 160 SIGMA Nº 30 • SIGMA 30 zk. El arte de navegar Para el cronómetro todos los segundos son iguales y todos los días son iguales, pero la tierra recorre una orbita eliptica alrededor del Sol y en el perihelio (cuando más cerca está del Sol, en invierno) va mas deprisa que en el afelio (cuando mas lejos se encuentra del Sol, en verano) (siguiendo las leyes de Kepler. Por lo tanto, hay días “mas largos” que otros. Es decir el Sol tarda mas tiempo en pasar por la misma meridiana dependiendo en que día del año nos encontremos. Esta diferencia, que se llama ecuación del tiempo, puede llegar a ser de 15 minutos de adelanto o de retraso. Lo que puede originar un error de longitud de mas de 3º, osea ,180 millas nauticas (¡más de 300 Km!). La combinación del cambio de la declinación del Sol debido a las estaciones y este fenómeno de ralentización o aceleración de la tierra alrededor el Sol origina que, fotografiando el Sol a la misma hora (de cronómetro) durante los diferentes días del año, obtengamos la graciosa curva que aparece en la figura 15. Esta curva recibe el nombre de analema del Sol y tiene su importancia en la construcción de relojes de Sol de precisión. Los matemáticos y astrónomos tenían más trabajo. Ya no bastaba sólo la declinación del Sol, era necesario determinar la ecuación de tiempo, o saber en que posición se encontraba el Sol con respecto al meridiano de referencia a la hora que marcaba el cronómetro. Figura 16 En el ejemplo del 28 de febrero del 2006 el Sol va a pasar por el meridiano de referencia a las a las 12 h 01 m 56 seg (del cronómetro) por lo que ya no son 1,5 horas la diferencia entre las dos posiciones, sino 1,531 horas y a 15º la hora nos da la longitud 22º 57,9’ E, es decir casi 28 millas más al este (¡casi 52 Km!). Ya se puede calcular la posición del barco. De día se puede determinar la latitud y la longitud gracias al Sol, el sextante, el cronómetro y las tablas con la ecuación del tiempo y la declinación; y de noche podemos conocer la latitud con la ayuda de la estrella polar. Un ejemplo de esas tablas podría ser la extraida del almanaque de la figura 17. Si el Sol fuera un puntero laser los datos de HG y Dec serian las coordenadas del punto de iluminación sobre la superficie de la tierra y UT el timepo del cronómetro. Mayo 2007 • 2007ko Maiatza 161 Pedro José Jauregui Sanz 6 de mayo 1990 Sol PMG 11h 56,6m UT HG Dec 0 180º 50,4’ N 16º 24,1’ 1 195º 50,4’ N 16º 24,8’ 2 210º 50,5’ N 16º 25,5’ 3 225º 50,5’ N 16º 26,2’ 4 240º 50,6’ N 16º 26,9’ 5 255º 50,6’ N 16º 27,6’ 6 270º 50,7’ N 16º 28,3’ 7 285º 50,7’ N 16º 29,0’ 8 300º 50,8’ N 16º 29,8’ 9 315º 50,8’ N 16º 30,5’ 10 330º 50,8’ N 16º 31,2’ 11 345º 50,9’ N 16º 31,9’ 12 000º 51,0’ N 16º 32,6’ 13 015º 51,0’ N 16º 33,3’ 14 030º 51,1’ N 16º 34,0’ 15 045º 51,1’ N 16º 34,7’ 16 060º 51,2’ N 16º 35,4’ 17 075º 51,2’ N 16º 36,1’ 18 090º 51,1’ N 16º 36,8’ 19 105º 51,3’ N 16º 37,5’ 20 120º 51,4’ N 16º 38,2’ 21 135º 51,4’ N 16º 38,9’ 22 150º 51,4’ N 16º 39,6’ 23 165º 51,5’ N 16º 40,2’ 24 180º 51,5’ N 16º 40,9’ Figura 18 ¡Más cosas a tener en cuenta! La estrella polar no está exactamente encima del polo. En la actualidad se encuentra a 44’ de arco del eje de la tierra. Por lo que es necesario corregir nuestra latitud en función de este dato. (No nos podemos quejar. En tiempos de Colón la estrella polar se encontraba a mas de 3º 39’ del polo geográfico, con lo que el error podía ser de hasta ¡180 millas!) Ahora bien. ¿Qué suele ocurrir en el mar a mediodia? ¡Suele estar nublado! 162 SIGMA Nº 30 • SIGMA 30 zk. El arte de navegar LA RECTA DE ALTURA Es necesario, por lo tanto, no restringir el cálculo de la posición al paso del Sol por el meridiano. Otra vez había que echar mano de las matemáticas. Se dispone del sextante, que es un instrumento bastante preciso para determinar la altura de los astros sobre el horizonte, de un cronómetro para saber la hora del meridiano de referencia y de unas tablas que me permiten determinar donde está el punto de iluminación del astro para cada hora. Es decir, el punto en el que el astro estará en el cenit del observador. Figura 18 Si nos fijamos en la figura 18 vemos que la distancia angular entre la posición y el punto de iluminación del astro esta relacionada con la altura del astro de tal manera que: Dist. = 90º – alt Es decir, nos podemos encontrar en cualquiera de los puntos del lugar geométrico definido por una circunferencia cuyo radio contando desde el punto de iluminación sea 90º – alt1. Si la altura del astro es de 35º el radio sera de 90º – 35º = 55º, es decir 6.150 millas (¡11.400 km!) Pero si a la vez hago una observación de otro astro diferente obtendré otra circunferencia centrada en el punto de iluminación de ese otro astro y con radio 90º – alt2. Figura 19 Mayo 2007 • 2007ko Maiatza 163 Pedro José Jauregui Sanz Como se ve en la figura 19 esas circunferencias se van a cortar en dos puntos y uno de ellos va a ser la posición de la observación. Pero el gran tamaño de las cartas para hacer los círculos o su escala reducida, para poder trabajar en ellas, haría inviable este metodo debido a la poca precisión. (la marca del trazo del lápiz en el papel podría suponer sobre la carta unos 60 Km. La distancia entre Santander y Bilbao en línea recta). Otra vez hay que echar mano de las matemáticas. Cualquier navegante sabe de dónde sale. Sabe que rumbo lleva y puede calcular la velocidad de su barco. Ésto, en un momento determinado, le permite determinar una posición aproximada. Las corrientes, el viento, la calibración de los aparatos de medida de velocidad se encargan de desviar esa previsión. Esto se conoce como navegación por estima. Si un capitán no ha bebido mucho ron no puede equivocarse demasiado en su posición. Si se pudiera calcular a que altura vería el astro desde una posición supuesta sabría si está equivocado o no en su estimación y en qué cantidad. ¿Es posible este cálculo? Si, pero hay que recurrir a la geometría esférica. Figura 20 En la figura 20 se representa la tierra siendo E la posición estimada por el capitan del barco. I el punto de iluminación del astro al que se le quiere calcular la altura. P es el polo geográfico. El triangulo PEI es un triangulo esférico cuyos lados estan formados por secciones de circulos máximos, es decir círculos que cortan a la esfera pasando por su centro y se expresan en grados. El lado PE es el complementario de la latitud de la posición estimada. El lado PI es el complementario de la declinación del astro. El lado EI es la distancia angular entre la posición estimada y el punto de iluminación del astro, que como hemos deducido de la Figura 18 es el complementario de la altura a la que se vería el astro desde E. 164 SIGMA Nº 30 • SIGMA 30 zk. El arte de navegar El ángulo es el ángulo formado por la relación de las longitudes de los meridianos del punto estimado y del punto de iluminación del astro. Se le llama ángulo horario. El ángulo es el formado por el meriado de la posición estimada y la dirección hacia la que se encuentra el astro. A este ángulo se le llama azimut. El ángulo se llama paraláctico y esta formado por el meridiano del punto de iluminación del astro y la dirección hacia la que se encuentra la posición. Los lados y los ángulos de un triángulo esférico estan relacionados entre sí por medio de las acuaciones de Bessel (matemático alemán 1784 - 1846, Königsberg): cos El = cos PI . cos PE + sin PI . sin PE . cos sin El . sin = . sin PI . sin sin El . cos = cos PI . sin PE – sin PI . cos PE . cos (2) (3) (4) Los datos que podemos medir son los complementarios de los que aparecen en estas acuaciones por lo que estas quedarían expresadas de la siguiente forma: sin a = sin d . sin l + cos d . sin l . cos H cos a . sin = cos d . sin H cos a . cos = sin d . cos l – cos d . sin l . cos H (5) (6) (7) Siendo a = altura del astro sobre el horizonte y tomada con un sextante, d = declinación del astro observado tomada de las efemerides a la hora de la observación, l = latitud estimada de la posición del barco y H = distancia angular de los meridianos del astro y de la posición. Lo que viene a ser su diferencia horaria. Si dividimos la ecuación (7) entre la (6) tenemos cos a . cos cos a . sen = sin d . cos l – cos d . sin l . cos H cos d . sin H (8) Es decir: cot = tan d . cos l – sin l . cos H sin H (9) Esta ecuación (9) nos permite calcular el azimut del astro que estemos observando. La ecuación (5) nos permite determinar cuál sería la altura teórica desde nuestra posición estimada. Utilizando una carta de navegación de escala pequeña como la de la Figura 21 la sección de la circunferencia de posición de la figura 19 estará muy proxima a una recta perpendicular al azimut (radio) en el punto donde nos encontramos. Figura 21 Mayo 2007 • 2007ko Maiatza 165 Pedro José Jauregui Sanz Desde cualquier punto de la linea roja veríamos el astro con la misma altura a la misma hora. Esa linea se denomina recta de altura. El barco puede estar en cualquier punto de esta recta. Cuando se realice la medida real de la altura del astro con el sextante habrá una diferencia. Si la altura que se mide es mayor que la calculada es que se está más cerca del astro de lo que se habia estimado, por lo que hay que mover la recta de altura hacia el astro (Figura 22) en una magnitud igual a la diferencia entre el valor tomado y el calculado. Figura 22 Si a la misma hora y en la misma posición se toma la altura de otro astro diferente al primero y se calcula por el mismo procedimiento su altura y su azimut y a continuación se compara con la medida real tomada por medio del sextante se puede representar sobre la misma carta (figura 23) otra recta de altura, encontrandose la posicióndel barco en el lugar en el que se encuentren las rectas de altura. Si la altura medida es menor que la calculada nos alejamos del astro. Figura 23 El problema de la posición estaba resuelto, siempre y cuando hubiera astros a la vista a los que poder calcular su altura y de los que se dispusiera información de su posición. La importancia de la navegación y el cuidado de los instrumentos que tenían los navegantes queda de manifiesto en un fotograma de la pelicula Master and Commander de Peter Weir 166 SIGMA Nº 30 • SIGMA 30 zk. El arte de navegar (2004) Figura 24, en la que se ve la actitud del primer oficial cuando, rendido el barco francés van en una barca a tomar poseión y guiarlo a puerto seguro. Figura 24 Esta cuidando con celo infinito, protegiendo con los dos brazos, los instrumentos básicos para la navegación: en la caja grande lleva el octante y en la pequeña, más valiosa, más delicada, si cabe, el cronómetro. El avance en el conocimiento de la geometría esférica propició que los viajes se acortaran. En la proyección de mercator la línea recta entre dos puntos no es la más corta. Si definimos el rumbo por la recta que une dos puntos de la carta: origen y destino, y lo mantenemos siempre andamos más camino que si lo hicieramos a través de círculo máximo que unen los dos puntos. A la derrota del barco por el círculo máximo se la llama ortodrómica. Veamos un ejemplo: Figura 25 En la figura 25 tenemos un mapa de la proyección de Mercator y las ciudades de Lisboa y Baltimore, que se encuentran en el mismo paralelo. Como la distancia más corta entre dos Mayo 2007 • 2007ko Maiatza 167 Pedro José Jauregui Sanz puntos es la línea recta podríamos pensar que el rumbo mas adecuado para llegar sería directamente hacia el Oeste, es decir: 270º. Pero un análisis más pormenorizado del rumbo a seguir utilizando la ecuación (9), es decir, la que calcula la dirección a al que se encuentra el punto de iluminación (en este caso Baltimore) nos dice que el rumbo más adecuado es Oeste noroeste, osea 300º. Este rumbo se ira corrigiendo paulatinamente para seguir la ortodrómica, que es la que describe un circulo máximo y que nos lleva a latitudes más altas. El Titanic, queriendo batir el record de tiempo para la travesía, no solamente iba a mucha velocidad, sino que al seguir la derrota ortodrómica, más corta, se adentró en la zona de Icebergs, que se encuentran en latitudes más altas que las que se pueden apreciar observando sólo el mapa de Mercator. COLOFÓN En la actualidad el desarrollo de la tecnología electrónica y la conquista del espacio han hecho posibles sistemas de navegación que permiten conocer la posición, rumbo y velocidad con una precisión sin precedentes y que funcionan en cualquier situación metereológica. El GPS americano (Global Positioning System, Sistema de Posicionamiento Global en castellano), y el proyecto europeo “Galileo, en fase de implementación están siendo utilizados, tanto por profesionales de la navegación como en la nautica deportiva. Estos sistemas sustituyen a los astros, por satélites artificiales y la posición se calcula automáticamente midiendo el tiempo que tarda en llegar una señal electromagnética del satélite al receptor. El lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto es una esfera. Con dos satélites, dos esferas, que al cortarse generan una circunferencia. Con un tercer satélite tenemos dos puntos de dicha circunferencia, uno de los cuales lo podemos descartar por absurdo y el otro es nuestra posición. Un cuarto satélite sincroniza los relojes y un microprocesador hace los cálculos y nos envía el dato al receptor. ¿Donde queda el arte de navegar? Un GPS diferencial es capaz de detectar el balanceo del barco fondeado en un puerto. Un Receptor GPS con un error en la posición de 10 metros permite navegar con seguridad en la mas espesa de las nieblas y su costo es menor que el de un buen sextante, un cronómetro y las tablas anuales de las efemérides de los astros. Se puede pensar que la navegación astronómica queda para nostálgicos; pero todo navegante, profesional o deportivo que realice travesías de altura, lleva, en algun lugar del puente, un sextante y un par de cronómetros perfectamente sincronizados y calibrados por si acaso. Y en algun momento de ocio toma alturas de los astros y traza rectas de altura disfrutando del arte de navegar. (A veces comprueba si el GPS está bien) 168 SIGMA Nº 30 • SIGMA 30 zk. El arte de navegar BIBLIOGRAFÍA "Las artes de la mar", Enciclopedia Náutica Ilustrada. Editorial Raíces. 1976. Ignacio Fossi Gutierez, 1953: Tratado de Náutica. Ed. Dossat. Wilkes, Kenneth, 1995: Navegación en alta mar. Editorial Juventud. Gaztelu-Iturri Leicea y otros, Capitán de yate, 2001: Gobierno Vasco. Colección Itsaso Nº 20. S. Chinea, Carlos, 2002: Las fórmulas de la trigonometría esférica, apuntes Cartografía digital. Bluenav, Magellan. PÁGINAS WEB http://www.dehilster.info http://www.fh-friedberg.de/users/boergens/marken/briefmarke_02_05.htm http://www.rodamedia.com/navastro/online/online.htm http://www.inicia.es/de/vuelo/NAV/NAV72.html NOTAS (1) No hay que perderse el excelente artículo de Raul Ibáñez Torres, “Lo que Euler le dijo al Cartógrafo”, Revista SIGMA, sobre las diferentes proyecciones o representaciones de la tierra a través de mapas publicado en el Nº 27 (Noviembre). (2) Para calcular la máxima altura se toman alturas y tiempos un poco antes y un poco después del mediodía. A la altura mayor le corresponde el tiempo en el que es mediodía en la posición. Mayo 2007 • 2007ko Maiatza 169 Corporum ard m. Leonh ru o id g ri solidorum 65) Euler (17
