Actividad_4_electromag

ELECTROSTÁTICA
Germán Moncada M
14 de marzo de 2013
Índice general
1. Estrategia solución de problemas
1.0.1.
RECOMENDACIONES
1.0.2.
Carga eléctrica
1.0.2.1.
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Características de la carga eléctrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2. LEY DE COULOMB
2.0.2.2.
6
Montaje experimental para vericar la ley de Coulomb. . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Campo eléctrico
3.0.3.
8
10
3.0.2.3.
Campo eléctrico producido por una distribución de cargas puntuales
3.0.2.4.
Dipolo eléctrico
. . . . . . . .
10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.0.2.5.
Cuadrupolo Eléctrico lineal en su bisectriz
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Campo eléctrico producido por distribuciones continuas de carga . . . . . . . . . . . . . . . .
15
4. Ley de gauss para campo eléctrico
27
4.1.
Flujo vectorial
4.2.
Ecuación de Maxwell para campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
4.2.1.
4.3.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
LA LEY DE GAUSS Y LOS CONDUCTORES.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
5. Trabajo y Energía potencial eléctrica
5.1.
27
32
5.0.1.
Diferencia de potencial y Potencial eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
5.0.2.
DEFINICIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
5.0.3.
Diferencias de potencial en un campo eléctrico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Gradiente de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
6. POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGAS.
6.0.0.1.
Nota matemática
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
39
41
Capítulo 1
Estrategia solución de problemas
En este aparte se hace la siguiente recomendación general:
Decir lo que se hace, hacerlo que se dice, evidenciar el resultado ( producto) y en una etapa posterior mejorar el
proceso, para el caso del proceso de aprendizaje de la física en general:
Se dibujan las fuerzas que actúan sobre el sistema.
Se calcula la resultante por el principio de superposición.
Se aplica la segunda ley de Newton (ley Fundamental de la Dinámica), que se describe con la ecuación:
X
F = ma
En los problemas de campo electrostático de cargas puntuales o esféricas. La fuerza electrostática
cargas,
Q
y
q,
Fe
carga) separadas una distancia
r
se rige por la ley de Coulomb:
→
−
F =
La intensidad del campo electrostático
igual a la fuerza eléctrica
FE
E
Qq
2 r̂
4πε0 rQ,q
(1.0.1)
creado por una carga puntual
que ejercería la carga
Q
Q
en un punto situado a una distancia
q
r
es
sobre la unidad de carga positiva situada en ese punto.
E = FE /q
siendo
entre dos
puntuales o esféricas (conductoras huecas o macizas, o aislantes con una distribución homogénea de
(1.0.2)
la carga de prueba situada en el punto. La expresión queda:
E=k
Q
uˆr
r2
(1.0.3)
La intensidad de campo electrostático en un punto creado por varias cargas puntuales es la suma vectorial de
las intensidades de campo electrostático creadas por cada carga como si las otras no estuviesen (principio de
superposición).
El potencial electrostático en un punto situado a una distancia
r
de una carga puntual
Q
es el trabajo que hace la
fuerza electrostática cuando la unidad de carga positiva se traslada desde su posición hasta el innito:
2
CAPÍTULO 1. ESTRATEGIA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
V
V
ˆ∞ →
ˆ∞
−
−
F • d→
r
kQ
Wr→∞
−
=
û • d→
r
=
=
q
q
r2
r
r
Q ∞
Q
= −k = k
r r
r
3
(1.0.4)
(1.0.5)
El potencial electrostático en un punto debido a varias cargas puntuales es la suma de los potenciales electrostáticos
creados por cada carga como si las otras no estuviesen. Para calcular el trabajo necesario para trasladar una carga
q entre dos puntos A y B se calcula primero el trabajo que hacen las fuerzas del campo, que, siendo conservativo,
es igual a: trabajo que hacen las fuerzas del campo:
WA→B
EP A − EP B
= −(EP B EP A ) ==
(1.0.6)
= q(VA VB )
(1.0.7)
Suponiendo que la carga parte del reposo y que llega a
B
con velocidad nula, el trabajo de la fuerza resultante es
nulo, y el trabajo de la fuerza exterior será:
WF ext = −WA→B
En los problemas de movimiento de cargas en un campo magnético constante. Por la ley de Lorentz.
→
−
→
−
−
F = q(→
v ÖB )
(1.0.8)
la fuerza magnética es perpendicular a la velocidad, por lo que no realiza trabajo. La velocidad tendrá un valor
constante, y la aceleración sólo tiene componente normal. Como todas las magnitudes son constantes, también
lo será la aceleración normal y el radio de curvatura, por lo que la trayectoria será circular. Las trayectorias de
las partículas en el interior de un campo magnético constante son circulares. Entonces, la aceleración sólo tiene
componente normal:
aN =
v2
r
(1.0.9)
y, al no tener aceleración tangencial, el módulo de la velocidad es constante.
1.0.1.
RECOMENDACIONES
1. 1Se hará una lista con los datos, pasándolos al Sistema Internacional si no lo estuviesen.
2. Se hará otra lista con las incógnitas.
3. Dibujar un croquis de la situación, por ejemplo (diagrama vectorial) procurando que las distancias del croquis
sean coherentes con ella. Se deberá incluir cada una de las fuerzas o de las intensidades de campo, y su
resultante.
4. Se hará una lista de las ecuaciones que contengan las incógnitas y alguno de los datos, mencionando a la ley
o principio al que se reeren.
CAPÍTULO 1. ESTRATEGIA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
4
5. 5En caso de tener alguna referencia, al terminar los cálculos se hará un análisis del resultado para ver si es
el esperado. En particular, comprobar que los vectores campo electrostático tienen la dirección y el sentido
acorde con el croquis.
6. En muchos problemas las cifras signicativas de los datos son incoherentes. Se resolverá el problema suponiendo
que los datos que aparecen con una o dos cifras signicativas tienen la misma precisión que el resto de los
datos (por lo general tres cifras signicativas), y al nal se hará un comentario sobre el las cifras signicativas
del resultado.
1.0.2.
Carga eléctrica
En física, la carga eléctrica es una propiedad intrínseca de algunas partículas subatómicas que se maniesta mediante atracciones y repulsiones que determinan las interacciones electromagnéticas entre ellas. La materia cargada
eléctricamente es inuida por los campos electromagnéticos, siendo a su vez, generadora de ellos. La interacción
entre carga y campo eléctrico origina una de las cuatro interacciones fundamentales: la interacción electromagnética.
Desde el punto de vista del modelo estándar la carga eléctrica es una medida de la capacidad de la partícula para
intercambiar fotones. Una de las principales características de la carga eléctrica es que, en cualquier proceso físico,
la carga total de un sistema aislado siempre se conserva. Es decir, la suma algebraica de cargas positivas y negativas
presente en cierto instante no varía.Qi
= Qf
La carga eléctrica es de naturaleza discreta, fenómeno demostrado
experimentalmente por Robert Millikan. Por razones históricas, a los electrones se les asignó carga negativa: 1,
también expresada e. Los protones tienen carga positiva: +1 o +e. A los quarks se les asigna carga fraccionaria:
±1/3 o ±2/3, aunque no se han podido observar libres en la naturaleza. en la gura de abajo se muestra un modelo
icónico del comportamiento de las cargas eléctricas.
Figura 1.0.1: cargas eléctricas
1.0.2.1. Características de la carga eléctrica.
7. Modican las propiedades del espacio creando un campo eléctrico
8. Interaccionan con los campos eléctricos creados por otras partículas cargadas eléctricamente.
9. Partículas cargas de igual signo se repelen
10. Partículas de diferente signo se atraen.
11. La carga eléctrica no se crea ni se destruye sino que uye de un lugar a otro (conservación de la carga)
12. cualquier carga eléctrica experimenta una fuerza que depende de la magnitud y signo de la carga,
CAPÍTULO 1. ESTRATEGIA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
→
−
→
−
F = qE
5
Capítulo 2
LEY DE COULOMB
Ley de Coulomb expresando los signos de cargas de diferente signo, y de carga del mismo signo. La ley de Coulomb
puede expresarse como:
→
−
q1 q2 û
F = 2
r12
(2.0.1)
La magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas con que interactúan dos cargas puntuales en reposo es directamente
proporcional al producto de la magnitud de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia
que las separa y tiene la dirección de la línea que las une. La fuerza es de repulsión si las cargas son de igual signo,
y de atracción si son de signo contrario. La constante de proporcionalidad depende de la constante dieléctrica del
medio en el que se encuentran las cargas.
Charles-Augustin de Coulomb desarrolló la balanza de torsión con la que determinó las propiedades de la fuerza
electrostática. Este instrumento consiste en una barra que cuelga de una bra capaz de torcerse. Si la barra gira, la
bra tiende a hacerla regresar a su posición original, con lo que conociendo la fuerza de torsión que la bra ejerce
sobre la barra, se puede determinar la fuerza ejercida en un punto de la barra. La ley de Coulomb también conocida
como ley de cargas tiene que ver con las cargas eléctricas de un material, es decir, depende de si sus cargas son
negativas o positivas.
Variación de la Fuerza de Coulomb en función de la distancia. En la barra de la balanza, Coulomb colocó una
pequeña esfera cargada y a continuación, a diferentes distancias, posicionó otra esfera también cargada. Luego
midió la fuerza entre ellas observando el ángulo que giraba la barra. Dichas mediciones permitieron determinar que:
(
F
F
α q1
α q2
en consecuencia concluyó entonces que el valor de la fuerza era proporcional al producto de las cargas.
F αq1 q2
La fuerza de interacción entre dos cargas y duplica su magnitud si alguna de las cargas dobla su valor, la triplica
si alguna de las cargas aumenta su valor en un factor de tres, y así sucesivamente. Si la distancia entre las cargas
es , al duplicarla, la fuerza de interacción disminuye en un factor de
6
4 = (22 );
al triplicarla, disminuye en un factor
CAPÍTULO 2. LEY DE COULOMB
de9
= (32 )
7
y al cuadriplicar , la fuerza entre cargas disminuye en un factor de16
= (42 ).
En consecuencia, la fuerza
de interacción entre dos cargas puntuales, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia:
Fα
1
r2
Asociando ambas relaciones: Finalmente, se introduce una constante de proporcionalidad para transformar la
relación anterior en una igualdad. La ley de Coulomb es válida sólo en condiciones estacionarias, es decir, cuando
no hay movimiento de las cargas o, como aproximación cuando el movimiento se realiza a velocidades bajas y en
trayectorias rectilíneas uniformes. Es por ello que es llamada fuerza electrostática. En términos matemáticos, la
magnitud de la fuerza que cada una de las dos cargas puntuales y ejerce sobre la otra separadas por una distancia
se expresa como:
Dadas dos cargas puntuales y separadas una distancia en el vacío, se atraen o repelen entre sí con una fuerza cuya
magnitud está dada por:
La Ley de Coulomb se expresa mejor con magnitudes vectoriales:
−
−
→
−
q1 q2 (→
r2−→
r 1)
F =
3
kr2 − r1 k
(2.0.2)
donde es un vector unitario, siendo su dirección desde la cargas que produce la fuerza hacia la carga que la experimenta. Al aplicar esta fórmula en un ejercicio, se debe colocar el signo de las cargas q1 o q2, según sean éstas
positivas o negativas. El exponente (de la distancia: d) de la Ley de Coulomb es, hasta donde se sabe hoy en día,
exactamente 2. Experimentalmente se sabe que, si el exponente fuera de la forma , entonces .
Representación gráca de la Ley de Coulomb para dos cargas del mismo signo. Obsérvese que esto satisface la
tercera de la ley de Newton debido a que implica que fuerzas de igual magnitud actúan sobre y . La ley de Coulomb
es una ecuación vectorial e incluye el hecho de que la fuerza actúa a lo largo de la línea de unión entre las cargas.
La constante, si las unidades de las cargas se encuentran en Coulomb es la siguiente y su resultado será en sistema
MKS o sistema internacional:
1 N m2
4π C 2
La ley de Coulomb establece que la presencia de una carga puntual general induce en todo el espacio la aparición
de un campo de fuerzas que decae según la ley de la inversa del cuadrado. Para modelizar el campo debido a varias
cargas eléctricas puntuales estáticas puede usarse el principio de superposición dada la aditividad de las fuerzas
sobre una partícula. Sin embargo, matemáticamente el manejo de expresiones vectoriales de ese tipo puede llegar a
ser complicado, por lo que frecuentemente resulta más sencillo denir un potencial eléctrico. Para ello a una carga
puntual se le asigna una función escalar o potencial de Coulomb tal que la fuerza dada por la ley de Coulomb
sea expresable como:Constante de Coulomb La constante es la Constante de Coulomb y su valor para unidades SI
es Nm²/C². A su vez la constante donde es la permitividad relativa, , y F/m es la permitividad del medio en el
vacío. Cuando el medio que rodea a las cargas no es el vacío hay que tener en cuenta la constante dieléctrica y la
permitividad del material. La ecuación de la ley de Coulomb queda nalmente expresada de la siguiente manera:
La constante, si las unidades de las cargas se encuentran en Coulomb es la siguiente y su resultado será en sistema
MKS (). En cambio, si la unidad de las cargas están en UES (q), la constante se expresa de la siguiente forma y su
resultado estará en las unidades CGS ().
→
−
F 12 = q2 ∇φ1
De la ley de Coulomb se deduce que la función escalar que satisface la anterior ecuación es:
CAPÍTULO 2. LEY DE COULOMB
8
φ1 (r) =
donde
q
4π0 kr − rq1 k
→
−
r es el vector posición genérico de un punto donde se pretende denir el potencial de Coulomb y , es el vector
de posición de la carga eléctrica cuyo campo pretende caracterizarse por medio del potencial. [editar]Limitaciones
de la Ley de Coulomb La expresión matemática solo es aplicable a cargas puntuales estacionarias, y para casos
estáticos más complicados de carga necesita ser generalizada mediante el potencial eléctrico. Cuando las cargas
eléctricas están en movimiento es necesario reemplazar incluso el potencial de Coulomb por el potencial vector de
Liénard-Wiechert, especialmente si las velocidades de las partículas son grandes comparadas con la velocidad de la
luz.Vericación experimental de la Ley de Coulomb
2.0.2.2. Montaje experimental para vericar la ley de Coulomb.
Es posible vericar la ley de Coulomb mediante un experimento sencillo. Considérense dos pequeñas esferas de masa
"m" cargadas con cargas iguales, del mismo signo, y que cuelgan de dos hilos de longitud l, tal como se indica en la
gura adjunta. Sobre cada esfera actúan tres fuerzas: el peso
mg ,
la tensión de la cuerda T y la fuerza de repulsión
eléctrica entre las bolitas . En el equilibrio: (1) y también: (2) Dividiendo (1) entre (2) miembro a miembro, se
obtiene:
Siendo la separación de equilibrio entre las esferas cargadas, la fuerza de repulsión entre ellas, vale, de acuerdo con
la ley de Coulomb y, por lo tanto, se cumple la siguiente igualdad: (3) Al descargar una de las esferas y ponerla,
a continuación, en contacto con la esfera cargada, cada una de ellas adquiere una carga q/2, en el equilibrio su
separación será y la fuerza de repulsión entre las mismas estará dada por:
Con esta aproximación, la relación se transforma en otra mucho más simple: De esta forma, la vericación se reduce
a medir la separación entre cargas y comprobar que su cociente se aproxima al valor indicado. Comparación entre
la Ley de Coulomb y la Ley de la Gravitación Universal
Esta comparación es relevante ya que ambas leyes dictan el comportamiento de dos de las fuerzas fundamentales
de la naturaleza mediante expresiones matemáticas cuya similitud es notoria. La ley de la gravitación universal
establece que la fuerza de atracción entre dos masas es directamente proporcional al producto de las mismas e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Expresándolo matemáticamente:
Siendo: la constante de gravitación universal, las masas de los cuerpos en cuestión y la distancia entre los centros de
las masas. A pesar del chocante parecido en las expresiones de ambas leyes se encuentran dos diferencias importantes.
La primera es que en el caso de la gravedad no se han podido observar masas de diferente signo como sucede en el
caso de las cargas eléctricas, y la fuerza entre masas siempre es atractiva. La segunda tiene que ver con los órdenes
de magnitud de la fuerza de gravedad y de la fuerza eléctrica. Para aclararlo analizaremos como actúan ambas
entre un protón y un electrón en el átomo de hidrógeno. La separación promedio entre el electrón y el protón es
de5, 3
datos:
· 10−11 m.
La carga del electrón y la del protón valen y respectivamente y sus masas son y . Sustituyendo los
CAPÍTULO 2. LEY DE COULOMB
Figura 2.0.1: Representación campo eléctrico
9
Capítulo 3
Campo eléctrico
3.0.2.3. Campo eléctrico producido por una distribución de cargas puntuales
Para hallar el campo eléctrico, en un punto P, producido por una distribución de cargas puntuales, se suma vectorialmente el campo producido por cada una de las cargas en dicho punto
P .En
la gura de abajo se representa una
distribución de cargas que producen campos indivifduales pero que afectan modicando las propiedades de una una
región del espacio La superposición de estas deformaciones se describe mediante:
→
−
Figura 3.0.1: Representación vectorial de E producido por cargas puntuales
EP
EP
n
X
qi uˆri
= E1 + E2 + E3 + .. =
2
4πε
0 ri
i=1
X−
→
=
Ei
Obsérvese que el campo eléctrico es una cantidad vectorial y por consiguiente se deben determinar adecuadamente
sus componentes
10
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO
11
Figura 3.0.2: Lineas de campo eléctrico para dos cargas puntuales
3.0.2.4. Dipolo eléctrico
Consideremos ahora un caso especial de distribución de cargas, llamado dipolo el eléctrico, donde se tienen dos
cargas
q
de de igual valor, pero de signo contrario. Para calcular el campo en la perpendicular bisectriz que une las
cargas como se indica en la gura de arriba , se tiene que:
−
→ −
→ −
→
Er = E1 + E2
por la simetría de la gura se observa que la componentes en
−
→
Ex =
X
del campo se anulan:
2
X
−→ −−→ −−→
Exi = Ex1 + Ex2 = 0
i=1
Eyr
=
2
X
→
−
→
−
→
−
−→
E yi = E y1 + E y2 = 2Ey
i=1
En consecuencia en campo resultante total es, con dirección del eje
Y
y apuntando hacia abajo, su magnitud se
calcula como:
→
−
Ey
→
−
Er
→
−
E 1 cos θ
→
−
= 2 E 1 cos θ
=
como ya se indico el campo producido pr un a partícula puntual esta dado por:
→
−
E1=
q
4πε0 x2
de la geometría de la gura se observan dos relaciones:
x2
=
y cos θ
=
a2 + r2
a
√
2
a + r2
(3.0.1)
(3.0.2)
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO
12
reemplazando en la ecuación(1.2) se obtiene la siguiente ecuación
sí la distancia
r >> a
→
−
Er
=
→
−
Er
=
1
2qa
√
4πε0 (a2 + r2 ) a2 + r2
1
2
4πε0 (a + r2 )3/2
(3.0.3)
(3.0.4)
se obtiene la siguiente expresión:
→
−
E =
2qa
4πε0 r3
(3.0.5)
se dene el momento dipolar electrice como:
P =2aq
de forma que el campo producido por un dipolo electrice queda descrito por
→
−
E =
P
4πε0 r3
Figura 3.0.3: Dipolo eléctrico
3.0.2.5. Cuadrupolo Eléctrico lineal en su bisectriz
Se puede crear un cuadrupolo eléctrico lineal superponiendo dos dipolos eléctricos de orientación opuesta de modo que se superpongan sus cargas positivas. Este caso se puede tratar analíticamente y proporcionarnos algún
conocimiento sobre la naturaleza de los campos cuadrupolares. El campo eléctrico de cualquier conjunto de cargas
se puede obtener por la ley de Coulomb mediante la suma vectorial de los campos de los elementos de cargas
individuales.
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO
13
Figura 3.0.4: Cuadropolo eléctrico
En la gura de arriba se aplica el principio de superposición de los campos eléctricos y se obtiene las siguientes
expresiones:
−−→
E2q =
−−→
E−q
=
−−→
E−q
=
2q
4πε0 r2
−2q sin θ
4πε0 (r2 + d2 )
−2qr
4πε0 (r2 + d2 )3/2
(3.0.6)
(3.0.7)
(3.0.8)
observe de la gura de arriba que:
sin θ = √
efectuando la suma vectorial en la dirección del eje
Y
r2
r
+ d2
se obtiene el valor de cada componente colineal con la bisectriz,
la descripción de todas las contribuciones se hace mediante la siguiente ecuación:
Er
=
Er
=
Er
=
Er
=
Er
=
2qr
−
4πε0 (r2 + d2 )3/2
r3
1− 2
(r + d2 )3/2
r3
√
1−
(r2 + d2 ) r2 + d2
r 3/r 3
2q
√
1−
1/r 2 (r 2 + d2 )1/r r 2 + d2
4πε0 r2
"
#
−3/2
2q
d2
1− 1+ 2
4πε0 r2
r
2q
4πε0 r2
2q
4πε0 r2
2q
4πε0 r2
dividendo el segundo termino del paréntesis por
r3
y haciendo una expansión binomial se obtiene la ecuación
2q
3d2
1−1− 2
4πε0 r2
2r
(3.0.9)
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO
14
haciendo una expansión binomial y tomando el hecho de:
d2
<< 1
r2
se utilizo :
−3/2
3d2
d2
=1− 2
1+ 2
r
2r
nalmente se obtiene=
Er =
3qd2
4πε0 r4
(3.0.10)
nota de aritmética
n
(1 + x) = 1n + n(1)n−1 x +
ejemplo
n(n − 1)1n−2 x2
n(n − 1)(n − 2)1n−3 x3
+
+ ... + xn
2
23
q1 = 3nC en el punto de coordenadas (0, 2) y q2 = −8nC en el punto de
= 9 109 N m2 /C 2 .Hacer un esquema de las cargas y calcular el campo eléctrico
en el punto de coordenadas (0, 0). Calcular el campo eléctrico en el punto de coordenadas (0, 5). Calcular el potencial
eléctrico en el punto (0, 0) y en el (0, 5).
Se tienen dos cargas puntuales:
coordenadas
(0, −4)
(en metros).K
Figura 3.0.5: Solución
Solución: en el primer caso los campos eléctricos producidos por las cargas dadas tienen el mismo sentido.
E1
E2
E1 + E2
q1
−9 109 3 10−9
ĵ
=
= −6,75N/C
r12
4
q2
−9 109 8 10−9
= −k 2 ĵ =
= −4,5N/C
r2
16
= −(6,75N/C) + (−4,5N/C)
=
−k
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO
Para el segundo caso:El campo
E1 yE2 tienen
E1
E2
E1 + E2
3.0.3.
15
sentidos opuestos en el punto
(0, 5)
q1
−9 109 3 10−9
ĵ
=
= 3N/C
r12
9
−9 109 8 10−9
q2
= −0,89N/C
= −k 2 ĵ =
r2
81
= 3N/C) − 0,89N/C)
=
k
Campo eléctrico producido por distribuciones continuas de carga
Las distribuciones continuas de carga pueden existir sobre una longitud, una supercie o un volumen; estas distribuciones se denen como:
λ
=
σ
=
Q
dQ
=
L
dL
Q
dQ
=
S
dS
dQ
Q
=
V
dV
ρ =
Por ejemplo si se dispone de una distribución supercial continua de carga,como se muestra en la gura de abajo
en la gura de abajo,en la que se modela el campo producido en un punto cualquiera y puede calcularse dividiendo
la carga en elementos innitesimales
dq .
Entonces, se calcula el campo
en cuestión, tratándolos como si fueran cargas.La magnitud de
~ =
dE
→
−
dE
→
−
dE
que produce cada elemento en el punto
está dada por:
1 dq
u~r
4π0 r2
Figura 3.0.6: Distribución continua de carga en una supercie
El campo resultante en el punto se encuentra, entonces, sumando los diferenciales de carga ; esto es, integrando;
las contribuciones debidas a todos los elementos de carga, esto signica que se debe efectuar la integral de las
contribuciones innitesimales. Cuya representación es:
ˆ
~ =
E
~
dE
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO
16
Para el caso de una carga distribuida sobre una supercie, la distribución continua de carga que se considera tiene
una densidad supercial de carga se dene:
σ=
y se puede expresar
dq = σds.
y la ecuación genérica que modela esta situación
ˆ
~ =
E
ˆ
~ =
dE
S
Actividad en clase
S
1 dq
u~r =
4π0 r2
ˆ
S.
1 σdS
u~r
4π0 r2
Sobre un material en forma de circunferencia se toma un arco de
cuadrante en el que hay una distribución lineal de carga
radio
dq
ds
λ,
90º
situado en el primer
¾qué campo creará en el centro de la circunferencia de
a?.
Figura 3.0.7: Distribución continua de carga eléctrica
Estrategia de solución
lo que se sabe
Problema
dq = λdl
Hallar el campo
distribución continua
l = aθ longitud de arco
→
−
−1 ´ λadθ
E =
(cos θ, sin θ)
4πε0
a2
→
−
r
r̂ =
|r|
Plan de acción
→
−
E
dibujar el vector de campo
en el origen de coordenadas
escribir las componentes del campo
dl = adθ
identicar las variables de integración
subproblema
identicar los limites de integración
representar grácamente el problema
Efectuar y comprender la integral
→
−
E =
Una barra de longitud
l,
1 ´ π/2 λadθ
(− cos θ, − sin θ)
4πε0 0
a2
→
−
−1λ
E =
[senθ, −cosθ]
4πε0 a
tiene carga positiva uniforme por unidad de longitud y la carga total es
campo eléctrico en un punto
pque
esta localizado al lo largo del eje de la barra a una distancia
barra como se muestra en la gura de abajo,
adel
Q.
Calcular el
extremo de la
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO
17
Figura 3.0.8: Barra uniformemente cargada
La estrategia de solución consta de tres categorías:
1. identicar y listar lo que se sabe ( variables constantes leyes)
2. Identicar y escribir en forma clara el problema
3. Ejecutar las acciones necesaria para resolver el problema,
lo que se sabe
dq = λdl
Problema
campo debido a una
Hallar el campo
Plan de acción
→
−
E
dibujar el vector de campo
distribución continua
X
dQ = λdx longitud de
−→
−λdx
dE =
4πε0 x2
λ es una constante
a lo largo del eje
arco
La integral es inmediata no
en el origen de coordenadas
escribir las componentes del campo
dl = dx
identicar las variables de integración
subproblema
identicar los limites de integración
representar grácamente el problema
Efectuar y comprender la integral
la barra esta a lo largo del eje
X
→
−
E =
representa alta dicultad
Actividad de clase
Calcular el campo eléctrico producido por un anillo con carga total
mente en toda su longitud
Estrategia de solución
1. identicar y listar lo que se sabe ( variables constantes leyes)
2. Identicar y escribir en forma clara el problema
3. Ejecutar las acciones necesaria para resolver el problema,
1 ´ l+a λdx
4πε0 a
x2
Q
distribuida uniforme-
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO
18
lo que se sabe
dq = λdl
Problema
campo debido a una
Hallar el campo
Plan de acción
→
−
E
dibujar el vector de campo
distribución continua
a lo largo de la longitud del
en el origen de coordenadas
escribir las componentes del campo
dl = dx
identicar las variables de integración
subproblema
identicar los limites de integración
anillo
dQ = λdl longitud
l = 2πa
−→
−λdl
dE =
4πε0 r2
de arco
Expresar la distancia del
diferencial de carga en función
de la distancia x y el radio del
anillo
λ
es una constante
representar grácamente el
Efectuar y comprender la integral
problema
La integral es inmediata no
el punto donde se calcula el
representa alta dicultad
campo esta sobre el eje de
→
−
E =
1 ´ λdl
4πε0 x2
simetría del anillo a una
distancia
x
Figura 3.0.9: Anillo uniformemente cargado
Ejercicio
q1 = 3nC en el punto de coordenadas (0, 2) y q2 = −8nC en el punto de
= 9 109 N m2 /C 2 .Hacer un esquema de las cargas y calcular el campo
en el punto de coordenadas (0, 0). Calcular el campo eléctrico en el punto de coordenadas (0, 5).
el potencial eléctrico en el punto (0, 0) y en el (0, 5).
1. Se tienen dos cargas puntuales:
coordenadas
eléctrico
Calcular
(0, −4)
(en metros).K
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO
19
Figura 3.0.10: Solución
−
→
−q1 ĵ
E1 =
4πεr12
−
→
yE2
=
−q2 ĵ
4πεr22
tiene el mismo sentido en el punto(0, 0)
→
−
valores numéricos se obtiene: E R
Ejemplo
Dos cargas eléctricas de
El campo eléctrico en
C(0, 5)
y en
= −11 25ĵ
3µC
N
C
están situadas en los puntos
→
−
−q1 ĵ
−q2 ĵ
ER =
+
4πεr12
4πεr22
A(4, 0)
y
B(−4, 0)
D(0, 9).
El potencial eléctrico en los mismos puntos C y D.
El trabajo para trasladar una carga
q = −1µC
de C a D.
Datos y ecuaciones
conocidas
valor carga situada en el
Intensidad del campo
A(4, 0)
= 3 10−3 C
punto
q1
eléctrico producido por
una carga puntual
Valor carga situada en el
Potencial electrostático
punto
de una carga puntual
B(−4, 0)q1 = 3 10−3 C
Valor carga que se
traslada q1
= 1 10−3 C
en la gura 2 abajo se muestra la solución gráca:
Trabajo para trasladar
una carga de
C→D
reemplazando los
en metros. Calcular:
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO
20
Figura 3.0.11: Solución gráca
La Intensidad del campo eléctrico producido por una partícula puntual se expresa como:
→
−
E =
Por el principio de superposición:
q
4πε0 r2
−
→ X−
→
Er =
Ei
El potencial creado por partículas puntuales:
V =
q
4πε0 r
potencial credo por varias partículas puntuales en un punto
V =
X
p
Vi
El trabajo hecho por la fuerza del campo eléctrico cuando se mueve una carga
q desde un punto A hata otro punto B
que se modela mediante la siguiente expresión:
WA→B = q(VB − VA )
La intensidad del campo electrostático en el punto
→
−
E A→C
Aes
debido a la carga de
3µC
situada en el punto
A
−4
î
+
5
ĵ
−6
3 10 C
√
=
4πε0 (42 + 52 )
42 + 52
La intensidad del campo electrostático en el punto
del punto
(0, 5)
C(0, 5)debido
a la carga situada en el punto
B
con respecto a la
simétrica.
→
−
E B→c =
3 10−6 C 4î + 5 ĵ
√
4πε0 (42 + 52 ) 42 + 52
al efectuar la suma de las componentes puede observarse que las componentes del campo en la dirección del eje
se anulan y solo queda la resultante vertical dirigida en sentido positivo del eje
Y
y es igual a:
X
5N
Ey = 1 028 10
C
.
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO
21
El campo eléctrico en el puntoD es cero porque únicamente tiene componentes en la dirección
OX y − OX
ED = 0
Los potenciales en el punto
C
debido alas cargas puntuales situadas en
A
y en
B
son iguales porque las distancias
son iguales y la cargas son iguales:
q
q
√
√
+
2
2
4πε0 4 + 5
4πε0 42 + 52
54 106
J
√
= 8,42 106
C
41
VC
= VA,C + VB,C =
VC
=
Se procede de manera análoga para el punto
D:
q
q
+
4πε0 4 4πε0 4
Vd
=
VA,d + VB,d =
Vd
=
54 106
= 13,5 106 [V ]
4
El trabajo que hace la fuerza del campo para trasladar una partícula de
−10−3 C
del punto
WC→D
= q (VC − VD ) = 10−3 C 8,43 106 − 13,5 106 [V ]
WC→D
=
C → Dq
5,1 103 J
La ley de Gauss explica la relación entre el ujo del campo eléctrico y una supercie cerrada. Se dene como ujo
eléctrico (φ) a la cantidad de uido eléctrico que atraviesa una supercie dada. Análogo al ujo de la mecánica de
→
−
uidos, este uido eléctrico no transporta materia, pero ayuda a analizar la cantidad de campo eléctrico ( E ) que
pasa por una supercie. Matemáticamente se expresa como:
˛
φE =
→
−
q
E • n̂s =
ε0
(3.0.11)
La ley dice que el ujo del campo eléctrico a través de una supercie cerrada es igual al cociente entre la carga (q)
o la suma de las cargas que hay en el interior de la supercie y la permitividad eléctrica en el vacío (), así:4 5
La forma diferencial de la ley de Gauss es:
donde
ρ
ε0
ρes
→
− →
−
ρ
∇•E =
ε0
(3.0.12)
la densidad de carga en el vacío. Intuitivamente signica que el campo
→
−
E
diverge o sale desde una carga
, lo que se representa grácamente como vectores que salen de la fuente que las genera en todas direcciones. Por
convención si el valor de la expresión es positivo entonces los vectores salen, si es negativo estos entran a la carga.
→
−
Para casos generales se debe introducir una cantidad llamada densidad de ujo eléctrico ( D ) y la nueva ecuación
se escribe como:
→
− →
−
∇•E
=
(3.0.13)
→
−
→
−
∇ • ε0 E
→
− →
−
∇•D
ρ
ε0
=
ρ
(3.0.14)
=
ρ
(3.0.15)
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO
22
Ejercicio
2. Tres cargas de
a)
b)
c)
+3µC
están situadas equidistantes entre sí sobre una circunferencia de radio2m. Calcula:
El potencial eléctrico en el centro de la circunferencia.
El vector campo eléctrico en el mismo punto.
El trabajo para traer una carga
9
2
9 × 10 N · m · C
q 0 = 1µC
desde el innito al centro de la circunferencia. Dato:
K =
−2
3. Hallar la carga equivalente encerrada en el hexaedro de la gura si
a = b = 0,4m y c = 0,6m
y el campo
eléctrico se describe mediante el vector:
→
−
N
E = (3 + 2x2 , 0 , 0)
C
Figura 3.0.12: Carga equivalente encerrada
4. Utilizando la ley de Gauss, determinar el campo eléctrico creado por un hilo innito con densidad lineal de
carga homogénea
λ siguiendo los siguientes pasos: Hacer un esquema de las líneas de campo eléctrico y dibujar
la supercie gaussiana que se empleará para determinar el ujo del campo. (Pincha para ver el resultado).
Calcular el ujo del campo eléctrico a través de la supercie gaussiana y el módulo del campo eléctrico.
Expresar el campo eléctrico en forma vectorial. (Pincha para ver el resultado)
5. Una pequeña bola de plástico de 2g esta suspendida de una cuerda larga de 0.20m en un campo eléctrico
uniforme
15°
→
−
E = 103 î N/C
como se ve en la gura,si la bola esta en equilibrio cuando forma un ángulo de
con la vertical ¾Cual es la carga neta de la bola?
Figura 3.0.13: diagrama de cuerpo libre
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO
23
6. Un disco de radioRtiene densidad de carga supercial
σ
.Calcular el campo eléctrico
E en un
xde su
a lo largo de la línea central perpendicular al diámetro del disco y a una distancia
punto P situado
centro, como se
muestra en la gura 3.
Figura 3.0.14: Carga electrice distribuida supercialmente
La estrategia de solución: escribir la denición de campo eléctrico para distribuciones continuas
→
−
dE
=
→
−
dE
=
→
−
E
=
E
=
Ex
=
Ex
=
dq
4π0 r2
(σ2πrdr)x
3/2
4π0 (x2 + r2 )
ˆ
(rdr)
2σπx R
4π0 0 (x2 + r2 )3/2
iR
2σπx h 2
−1
(x + r2 ) /2
4π0
0
i
−σx h 2
−1
2 −1/2
− (x2 ) /2
(x + R )
20
−σx
1
1
√
−
20
x
x2 + R 2
7. Una esfera de 5 cm está uniformemente cargada con una densidad de carga de
del campo eléctrico a una distanciar del centro, en el interior (r
cargada. Calcular el potencial en el centro
r = 0,
< 5)
de la esfera.
Figura 3.0.15: Aplicación ley de Gauss
1,2·10−5 C
πm3
.Calcular el módulo
y en el exterior (r
> 5)
de la esfera
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO
24
˛
φE =
→
−
E • n̂s =
˛
→
−
E scosθ = E
aplicando la ley de Gauss para campo eléctrico se calcula la carga
de radio
r
˛
s = E4πr2
q
contenida en una supercie Gaussiana esférica
y aplicando la ley de Gauss
˛
s
=
E4πr2
E4πr2
=
q
ε0
E
=
q
4πε0 r2
E
E
=
ρV
4πε0 r2
reemplazando el valor de la carga en la expresión para el campo eléctrico en
r < 0, 05
se obtiene:
1,2·10−5 C 4 3
πr
N
πm3
3
E=
= 144000r
2
4πε0 r
C
Para
r > 0,05
se tiene
q
= ρV
q
=
E
=
3
Calcular el potencial en el centro
r = 0,
1,2·10−5 C 4π (0,05)
3
πm
3
18 N
r2 C
de la esfera.
ˆ
ˆ
ˆ
V
=
→
−
−
E • d→
r
=
ˆ
→
−
−
E • d→
r
0,05
(3.0.16)
→
−
−
E • d→
r +
ˆ
0
→
−
−
E • d→
r
ˆ
14000rdr +
0
V
Plano innitamente cargado
→
−
−
E • d→
r
0,05
ˆ ∞
0,05
=
∞
=
0,05
(3.0.17)
18 N
dr
r2 C
540v
(3.0.18)
(3.0.19)
La gura de abajo representa un plano de tamaño innito, observa que las
supercies laterales forman ángulo de
90◦
con las lineas de campo eléctrico por lo tanto el ujo eléctrico es cero.
Las únicas contribuciones no nulas al ujo son las que se producen a través de sus dos bases. El ujo del campo
eléctrico a través del cilindro es entonces:
˛
φE =
→
−
E • n̂s =
ˆ
sp later
→
−
E ds +
ˆ
Bas 2
→
−
E ds +
ˆ
Bas1
→
−
E ds
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO
25
Como las dos bases del cilindro son iguales y el módulo del campo es el mismo en todos los puntos de su supercie,
la integral anterior se simplica, quedando:
ˆ
φE = 2E
ds = 2ES
aplicando la ley de Gauss para campo eléctrico se tiene
2ES
=
E
=
E
=
q
ε0
q
2Sε0
σ
2ε0
Figura 3.0.16: Plano innitamente cargado
condensador de placas planas y paralelas
Un condensador o capacitor es un dispositivo formado por dos
conductores (denominados armaduras), generalmente con forma de placas, cilindros o láminas, separados por el
vacío o por un material dieléctrico (no conduce la electricidad), que se utiliza para almacenar energía eléctrica. La
forma más sencilla de un condensador consiste en dos placas metálicas muy cercanas entre sí con cargas q en una
y -q en la otra. Este tipo de condensador se denomina plano-paralelo.
El módulo del campo eléctrico creado por cada una de las placas del condensador, como se ha visto en el ejemplo
anterior, viene dado por:
→
−
σ
E =
20
Las líneas del campo eléctrico creado por la placa cargada positivamente están dirigidas hacia fuera de la misma,
lo contrario que ocurre para la placa con carga negativa. como se observa en la gura de abajo.
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO
26
Figura 3.0.17: Condensador de placa planas y paralelas
Por tanto, en el exterior del condensador el campo es nulo y en el interior su módulo es el doble del campo que
crearía una sola de las placas.La siguiente ecuación modela el campo eléctrico entre las placas del condensador:
E=
σ
ε0
(3.0.20)
los condensadores se utilizan en circuitos electrónicos como dispositivos para almacenar energía. El primer condensador fue fabricado en 1746.
Actividad en clase
Una esfera hueca de radio interior 3 cm y radio exterior 5 cm, contiene carga uniformemente
distribuida por todo su volumen con una densidad de
de radio cargada con
−4 · 10
−9
4 10−5 C
.
π
m3
En su centro hay una esfera conductora de
C.
Obtener, razonadamente, la expresión del campo eléctrico en las siguientes regiones
r > 5.
1cm
Calcular el potencial del centro de la esfera conductora .
r < 1, 1 < r < 3, 3 < r < 5,
Capítulo 4
Ley de gauss para campo eléctrico
4.1.
Flujo vectorial
El ujo denotado comoΦ es una propiedad de cualquier campo vectorial referida a una supercie hipotética que
puede ser cerrada o abierta. Para un campo eléctrico, el ujo (
ΦE
) se mide por el número de líneas de fuerza que
atraviesan la supercie. Para denir al ujo eléctrico con precisión considérese la gura de abajo, que muestra una
supercie cerrada arbitraria ubicada dentro de un campo eléctrico.
Figura 4.1.1: Flujo a travez de una supercie
La supercie se encuentra dividida en cuadrados elementales∆S , cada uno de los cuales es lo sucientemente
pequeño como para que pueda ser considerado como un plano. Estos elementos de área pueden ser representados
como vectores
~
∆S
, cuya magnitud es la propia área, la dirección es perpendicular a la supercie y hacia afuera.
En cada cuadrado elemental también es posible trazar un vector de campo eléctrico
tan pequeños como se quiera,
~ y ∆S
~ caracterizan
E
E
~
E
. Ya que los cuadrados son
puede considerarse constante en todos los puntos de un cuadrado dado.
a cada cuadrado y forman un ánguloθ entre sí y la gura muestra una vista amplicada de dos
cuadrados.
27
CAPÍTULO 4. LEY DE GAUSS PARA CAMPO ELÉCTRICO
28
El ujo, entonces, se dene como sigue:
φE
φE
X→
−
→
−
E • 4S

→
−
=
E • n̂ds
=
El ujo de un campo vectorial se dene como la cantidad de líneas de fuerza que atraviesa la supercie, es una
cantidad escalar. Para cuanticarlo, se toma solamente la componente normal de las líneas que inciden sobre la
supercie. En lagura de abajo se representa un ujo vectorial.
Figura 4.1.2: Flujo a través de una supercie
4.2.
Ecuación de Maxwell para campo eléctrico
El ujo del campo eléctrico a través de cualquier supercie cerrada es igual a la carga
supercie, dividida por la constante
0 .
q
contenida dentro de la
La supercie cerrada empleada para calcular el ujo del campo eléctrico
se denomina supercie gaussiana. Matemáticamente, la ley de Gauss es una de las ecuaciones de Maxwell, y está
relacionada con el teorema de la divergencia, conocido también como teorema de Gauss. Fue formulado por Carl
Friedrich Gauss en 1835. Para aplicar la ley de Gauss es necesario conocer previamente la dirección y el sentido
de las líneas de campo generadas por la distribución de carga. La elección de la supercie gaussiana dependerá de
cómo sean estas líneas.
4.2.1.
‰
→
−
q
E • n̂ds =
ε0
(4.2.1)
APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS.
La ley de Gauss es útil para la obtención del campo eléctrico producido por distribuciones de carga que posean
una alta simetría. Si la distribución de carga es muy simétrica, algunas características del campo como lo es su
dirección se pueden dar mediante una simple inspección de la simetría, sin necesidad de realizar cálculo alguno. En
estos casos se puede:
CAPÍTULO 4. LEY DE GAUSS PARA CAMPO ELÉCTRICO
29
1. seleccionar una supercie gaussiana que esté en consonancia con la simetría de la distribución de carga;
2. determinar el ujo de dicha supercie en función del campo eléctrico ; y.
3. resolver la ecuación 2.2.1 para obtener el campo . El primer paso es el más importante. Debe escogerse una
supercie gaussiana para la que se pueda determinar el ujo eléctrico de forma inmediata. Estos pasos se
ilustran con los ejemplo siguientes:
4.3.
LA LEY DE GAUSS Y LOS CONDUCTORES.
Como se vio en el capitulo anterior los conductores son materiales en los que los portadores de carga se mueven
libremente. Si un conductor se encuentra en equilibrio electrostático, la fuerza sobre los electrones libres en el interior
del conductor debe desaparecer. Las consecuencias de esto son:
4. En el interior del conductor
E=0
5. Inmediatamente afuera del conductor, el campo eléctrico es normal a su supercie: esto signica que es paralelo
al vector de supercie.
Además, esto permite enunciar un teorema que se puede probar mediante la ley de Gauss para los conductores
aislados:
La carga en exceso en un conductor aislado debe residir completamente en su supercie externa.
La primera propiedad puede entenderse considerando una placa conductora situada en un campo externo constante
producido por un plano innito como se muestra en la siguiente gura:
Figura 4.3.1: Conductor en equilibrio
En equilibrio electrostático, el campo eléctrico dentro del conductor debe ser cero. Si éste no fuera el caso, las
cargas libres se acelerarían bajo el campo. Antes de que se aplique el campo externo, los electrones se distribuyen
uniformemente por todo el conductor. Cuando se aplica el campo externo, los electrones aceleran hacia la izquierda
y producen una acumulación de carga negativa en la supercie izquierda y una carga positiva a la derecha. Esta
distribución de cargas crean su propio campo eléctrico interno, el cual se opone al campo eléctrico externo. El
sistema logra el equilibrio electrostático cuando:
CAPÍTULO 4. LEY DE GAUSS PARA CAMPO ELÉCTRICO
30
Ei = Eex
lo cual da lugar a que el campo eléctrico neto dentro del conductor sea cero.
Toda carga es generadora de un campo eléctrico, como el campo eléctrico dentro de un conductor es cero entonces
la carga neta dentro del conductor debe ser cero.
Como , el ujo a través de cualquier supercie de ese tipo es cero, y en consecuencia esa supercie no encierra carga
eléctrica neta, por lo tanto la carga en exceso debe estar en la supercie exterior.
Puede también utilizarse la ley de Gauss para determinar el campo justamente sobre la supercie de un conductor.
Este campo debe ser perpendicular a la supercie del conductor. Si el campo tuviera en la supercie del conductor
una componente tangencial, los portadores de carga se moverían a lo largo de la supercie, en respuesta a la fuerza
tangencial correspondiente y, por lo tanto, no se estaría en la condición electrostática. Por lo tanto, en la supercie
de un conductor en equilibrio el campo eléctrico solo tiene la componente normal.
Actividad en clase
Un conductor posee una carga neta de
dentro de ella se encuentra una carga punto
Q = 3µC
10µC
. Dentro del conductor hay una cavidad y
como en la gura de abajo. Hállese la carga
interior del conductor (es decir en la pared de la cavidad), y la carga
q2 en
q1
en la supercie
la supercie exterior del mismo.
Figura 4.3.2: ejemplo conductor con cavidad interna
Para resolver este problema se escoge una supercie gaussiana en el interior del conductor que rodee la cavidad
como se muestra en la gura. Como la gaussiana queda comprendida completamente dentro del conductor,E
en todos sus puntos. por lo tanto, el ujo eléctrico de
entonces
E
=0
través de la supercie gaussiana es
˛
φE
q1
→
−
QN
q1 + Q
E • n̂s =
=
=0
ε0
εo
= −Q = −3µC
=
.
Como ,
q1 + q2 = 10µC
entonces
q2 = 10µC − (−3µC) = 13µC
. Así, la carga del conductor se distribuye a sí misma
como sigue:
q1
= −3µC (enlasuperf icieinterior)
q2
=
13µC (enlasuperf icieexterior)
CAPÍTULO 4. LEY DE GAUSS PARA CAMPO ELÉCTRICO
Ejercicio
de
Una placa plana, indenida de espesor
ρ = 2 10
−8
C
m3
2d = 2cm,
31
está uniformemente cargada, con densidad de carga
Obtener razonadamente la expresión del campo eléctrico en el interior y en el exterior de dicha
placa. Representar el módulo del campo eléctrico en función de la distancia a la placa. Hallar la diferencia de
potencial entre el origen (plano que divide a la placa por la mitad) y un punteo situado a
5cm
de dicho plano.
Figura 4.3.3: Placa innita
Ejercicio
6. Dos pequeñas esferas de plástico tienen cargas positivas de igual valor. Cuando están separadas 30 cm la
fuerza de repulsión es de
F = 0,15N .
diga:
a)
¾Cuál es la carga de cada esfera? y
b)
) ¾cuál sería la carga de cada una de si una de las esferas tiene tres veces la carga de la otra?
Capítulo 5
Trabajo y Energía potencial eléctrica
En esta sección se conceptualizará y se operará lo relacionado con los cambios de energía de partículas cargadas
en dentro de un campo eléctrico , estos cambios son conocidos como la Diferencia de potencial eléctrico entre dos
puntos.Es a±i como:
1. Los estudiantes comprenderán que es potencial eléctrico, y que es diferencia de potencial. como se descríbela
diferencial entre potencial en un campo eléctrico uniforme y un campo eléctrico no uniforme.
2. Los estudiantes comprenderán la naturaleza escalar del potencial eléctrico.
5.0.1.
Diferencia de potencial y Potencial eléctrico
La diferencia de potencial, también denominada voltaje (V ), entre dos puntos de un campo eléctrico o un circuito
eléctrico es la energía que gana o pierde la carga unidad al desplazarse entre ellos. Esta diferencia de potencial
provoca el movimiento de las cargas eléctricas y por ello a veces se le da el nombre de fuerza electromotriz
(f.e.m.).
La unidad de la diferencia de potencial en el Sistema Internacional de Unidades es el voltio (V).
Potencial eléctrico
A manera de analogía se recordaran los conceptos sobre energía potencial gravitacional y extender estos conocimientos al caso de la energía potencial eléctrica. Vamos a considerar un campo eléctrico como se muestra en la gura
01.
Figura 5.0.1: Trabajo hecho por una fuerza externa o por el campo
32
CAPÍTULO 5. TRABAJO Y ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA
33
Considérese el caso de transportar una carga de un punto muy lejano a otro dentro de ese campo en la dirección
radial de la gura . Pueden ocurrir dos cosas:
1. Si la carga es Carga positiva: se produce una fuerza de repulsión sobre ella, que es necesario compensar para
situarla por ejemplo en
hasta
A.En
este caso la fuerza externa tiene que realizar un trabajo para llevar la carga
A.
2. Si la Carga negativa: el campo produce un movimiento que acerca la carga al cuerpo, en estas condiciones, es
el campo el que hace trabajo.
Se puede concluir entonces que se produce un cambio de energía al transportar la carga desde el innito hasta el
punto A.
5.0.2.
DEFINICIÓN
El potencial en un punto dentro de un campo eléctrico, es el trabajo cuando se lleva una carga de prueba positiva
desde el innito hasta otro punto dentro del campo. El potencial será positivo si es necesario realizar un trabajo
(agente externo) para trasladar la carga y será negativo si es el campo que realiza el trabajo. Por ejemplo, consideremos una carga positiva próxima a una gran carga negativa, como en la gura de abajo, obsérvese que el la fuerza
del campo es de sentido contrario a ala fuerza externa . La situación es idéntica a la de una masa m en el campo
gravitacional de la tierra. El trabajo de un agente externo para llevar la partícula
B
q desde un punto A hasta un punto
más alejado , es igual al incremento de la energía potencial del sistema. Es signica: que si el ángulo que forman
la fuerza externa y el vector de desplazamiento dentro del campo es de
0°se
arma que la fuerza eléctrica realiza
un trabajo negativo ya que el vector de desplazamiento va en sentido contrario a la fuerza eléctrica y se modela
mediante la siguiente ecuación:
W = F • r = F r cos θ
(5.0.1)
Figura 5.0.2: Trabajo hecho por una fuerza externa y por el campo eléctrico
Debe notarse que la cargaq hay que transportarla desde
A hasta B
con velocidad constante, las fuerzas se equilibran,
esto signica
F externa = F campo
(5.0.2)
Entonces nos queda que:
W = 4U = UB − UA
Lo que signica que el trabajo realizado por la fuerza eléctrica es igual al decremento de la energía entre los puntos
A
y
B.
CAPÍTULO 5. TRABAJO Y ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA
CONCLUSIÓN
Si una partícula
q
se suelta en el interior de un campo eléctrico
34
E,
esta se moverá de la región
de menor potencial hacia la región de menor potencial.
POTENCIAL EN UN PUNTO
1. Hacer una síntesis escrita, previa lectura sobre potencial eléctrico
2. Deducir, experimentalmente la diferencia de potencial dentro de un campo eléctrico uniforme. potencial de
interacción entre una distribución de cargas.
3. Resolver, en equipo, los problemas del texto guía.
4. Analizar algunas de las aplicaciones, tecnológicas, Solucionar problemas del texto guía
1. Diseño, aplicación, y corrección pública, de una prueba escrita.
2. Solución de los problemas dados en la parcelación.
3. Informe escrito de laboratorio.
4. Trabajo en equipo.
6. Síntesis escrita sobre las consultas y actividades interactivas.
La descripción de la energía necesaria invertida para hacer trabajo dentro de un campo eléctrico, o el trabajo que
hace el campo eléctrico sobre una partículas cargadas, para trasladarlas de un punto dado a otro con coordenadas
(x, y, z)
y su articulación con con el concepto de potencial eléctrico y potencial eléctrico por unidad de carga o
diferencia de potencial. Hace referencia a la simbolización de los conceptos que explican el origen y el modelamiento
del potencial eléctrico. y su utilización en la construcción de explicaciones y modelos en diferentes contextos, a
su modelización por medio del lenguaje formal , establece relaciones de relaciones entre el campo eléctrico y el
trabajo necesario para mover partículas cargadas dentro de un campo eléctrico en forma de principios y leyes, que
constituyen la estructura del potencial eléctrico. Conceptos (Tópicos generativos) Energía potencial eléctrica (Hilo
conductor) Trabajo hecho por el campo eléctrico sobre una partícula cargada. Trabajo hecho en contra del campo
eléctrico para mover una partícula de un punto a otro Diferencia de potencial entre dos puntos Potencial eléctrico
de cargas puntuales. Potencial eléctrico de una distribución continua de carga Niveles de desempeño NIVEL 1
Reconocimiento y distinción del sistema de signicación básico se evidencia con 1. Diferenciar los distintos tópicos
del campo magnético listando sus atributos. Se dene el potencialV como la energía potencial por unidad de carga
V =
Como la energía potencial es un escalar,
V
es un campo escalar. Debido a que V es un escalar, en ocasiones es más
aconsejable su uso que el de campo eléctrico
la relación entre campo eléctrico
E
y
V
U
q
E
, y como se verá, uno de ellos se puede obtener del otro. De hecho
es análoga a la que existe entre una fuerza conservativa y la energía
potencial que lleva asociada.De la denición de potencial
ˆ
V
Si
cos θ = 1se
=
=
→
−
E • dl
dV
= −E • dl
dV
= −Edl cos θ
obtiene una expresión conocida como el gradiente de potencial.
→
−
dV
E =−
dl
CAPÍTULO 5. TRABAJO Y ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA
x, y y z
Si el campo se describe en función de
35
y se deja quel se reera a los mismos ejes
X, Y y Z , la ecuación anterior
se convierte en:
∇V = (−
En un campo eléctrico externo
E se
∂V
∂V
∂V
,−
,−
)
∂x
∂y
∂z
coloca una carga de prueba
(5.0.3)
q0 sobre
la cual se ejerce una fuerza eléctrica. Si
se aplica una fuerza externa que hace que esa carga este en equilibrio, dicha fuerza debe ser tal que.
F qEext = 0
El campo eléctrico también tiene otros atributos relacionados con la magnitud y la dirección Las líneas de campo
eléctrico señalan en la dirección de potencial decreciente. Si el potencial es conocido, puede utilizarse para calcular
el campo eléctrico.
Figura 5.0.3: Supercies equipotenciales de una carga puntual
Es así como se puede clasicar en Campo eléctrico uniforme y campo eléctrico donde puede estar variando la
dirección y la intensidad. Para el primer caso se utiliza el siguiente modelo; Sean
campo eléctrico uniforme, estando
Una carga de prueba
→
−
F,
q0
Po
se mueve de
a una distancia
Po
a
Pf
x de Pf
P0 yPf dos
puntos situados en un
en la dirección del campo, tal como muestra la gura.
en un campo eléctrico
→
−
E
uniforme por causa de una fuerza externa
se tiene que el trabajo hecho por la fuerza se describe mediante la siguiente expresión:
ˆ
W
=
ˆ
W
=
→
−
−
F • d→
r
(5.0.4)
→
−
−
q E • d→
r
(5.0.5)
Para el segundo caso se tiene un campo eléctrico donde puede estar variando la intensidad y la dirección del campo,
en este caso se tiene que el trabajo hecho por una fuerza externa para mover la carga de prueba en equilibrio
desdeP0 hasta
Pf
a lo largo de una trayectoria. Obsérvese en la gura de abajo que si una partícula con carga q se
mueve entre dos puntos identicados por A y B siguiendo una trayectoria que en cada punto forma un ángulo con
respecto al campo eléctrico, por lo que se hace trabajo y esta expresado por la ecuación 5.3.3
5.0.3.
Diferencias de potencial en un campo eléctrico uniforme
Como la diferencia de potencial es independiente de la trayectoria que se siga, el trabajo para llevar una carga
de prueba entre dos puntos
A
y
B
es el mismo por cualquier trayectoria. Este hecho es debido a que el campo
electrostático es conservativo. En la gura de abajo se consideran dos situaciones en la cual se mueve una carga de
prueba en presencia de un campo eléctrico uniforme.
CAPÍTULO 5. TRABAJO Y ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA
36
Figura 5.0.4: Movimiento de una partícula cargada en un campo eléctrico uniforme
En un caso la partícula cargada se mueve en forma antiparalela Quedando nalmente:as líneas de campo eléctrico
y en el otro el desplazamiento forma un ángulo
270◦
con el campo eléctrico. Las líneas de campo eléctrico siempre
apuntan en la dirección decreciente del potencial eléctrico; esto signica que el potencial mayor tiene signo positivo,
o un punto tiene mayor potencial que otro si su valor es mayor. Supercies equipotenciales: en la gura de abajo
se muestran una serie de supercies separadas por una cantidad de energía por unidad de carga de 1 voltio; surge
la pregunta que sucede si se lleva una partícula cargada de de la supercie
C
a la supercie
A,
o de_ la supercie
C a un punto cualquiera sobre la misma supercie A. Podría contestarse con una analogía de la energía potencial
mecánica. Para el caso de supercies equipotenciales De la gura se puede ver que
V b = V a.
Esto signica que, los puntosa y
b
V b − V c = V a − V c. Por lo tanto,
están al mismo potencial, o sea, pertenecen a una misma supercie
compuesta de una distribución continua de puntos que están al mismo potencial eléctrico. Esta supercie recibe el
nombre de supercie equipotencial.
Figura 5.0.5: Supercies equipotenciales
El trabajo
Wa→b
es proporcional a la carga
q0 . Si se divide este trabajo por la carga de prueba se obtiene el trabajo
V b − V a entre los puntos by a. La expresión
por unidad de carga. A esta cantidad se le llama diferencia de potencial,
anterior también se puede escribir como el cambio de energía potencial por unidad de carga y se describe mediante
V. El potencial electrostático
escalar es el trabajo por unidad de carga para mover una cargaq desde un punto inicial a un punto nal.
ˆ
Vb − Va =
b
→
−
→
−
E •d l
(5.0.6)
a
La ecuación 3.0.6 sólo dene una diferencia de potencial. Es decir, únicamente tienen importancia las diferencias
en V, por lo tanto se puede denir al potencial en un punto determinado de tal manera que tenga cualquier valor
CAPÍTULO 5. TRABAJO Y ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA
37
conveniente. Usualmente, se toma el potencial en el innito como cero. Entonces, el potencial en un punto
simplemente se expresa mediante la ecuación 2.6 Por otra parte la consideración de que.para cada punto
valor del potencial
potencial
VP
VP ;
P
P
es
hay un
esto es, el potencial es un campo escalar. Dependiendo de la distribución de las cargas, el
puede ser positivo, negativo, o cero.
ˆ
V =
→
−
E • dl
(5.0.7)
Si el potencial es positivo en un cierto punto; de acuerdo con la ecuación 3.3 el campo eléctrico realiza un trabajo
negativo por unidad de carga, lo cual indica que la carga de prueba ha experimentado una fuerza de repulsión. Por
lo tanto, el potencial cerca de una carga positiva es positivo. si el potencial es negativo ocurre entonces lo contrario.
Si el potencial es cero en algún punto, el campo eléctrico no realiza ningún trabajo al mover la carga de prueba
desde el innito, aunque la carga de prueba haya pasado por una región donde experimentó fuerzas eléctricas de
atracción o de repulsión. Esto signica que en un punto de potencial cero, no necesariamente el campo eléctrico
en dicho punto es cero. Para el caso anterior el mejor ejemplo, es el de dos cargas iguales y de signo contrario. El
potencial en el punto intermedio entre ellas es cero. Pero el campo en ese punto es diferente de cero. Si se conoce
el potencial Va del punto a respecto del innito y Vb del punto b respecto del innito, la diferencia de potencial
es la dada por la ecuación 3.2. El potencial en b puede ser mayor que, menor que, o igual que el potencial en a.
Por ejemplo, si Vb-Va >0, el campo eléctrico realiza un trabajo negativo por unidad de carga de prueba conforme
la carga de prueba se mueve en equilibrio de a hasta b. Puesto que la diferencia de potencial es una medida de
la energía, la unidad del SI del potencial es joule sobre coulomb, denido por una unidad especial, la unidad de
medida conocida como voltio debe su nombre al conde Alessandro Volta (1745-1827), que fue profesor de física en
la Universidad de Pavía, Italia. Volta inventó el primer dispositivo capaz de proporcionar una corriente eléctrica
continua, la pila eléctrica o batería. 6.1
Diferencias de potencial en un campo eléctrico uniforme Como la diferencia de potencial es independiente de la
trayectoria que se siga, el trabajo para llevar una carga de prueba entre dos puntos A y B es el mismo por cualquier
trayectoria. Este hecho es debido a que el campo electrostático es conservativo. En la gura de abajo se consideran
dos situaciones en la cual se mueve una carga de prueba en presencia de un campo eléctrico uniforme. En un caso
la partícula cargada se mueve en forma antiparalela a las líneas de campo eléctrico y en el otro el desplazamiento
forma un ángulo 270° con el campo eléctrico. 42 Las líneas de campo eléctrico siempre apuntan en la dirección
decreciente del potencial eléctrico; esto signica que el potencial mayor tiene signo positivo, o un punto tiene mayor
potencial que otro si su valor es mayor. Supercies equipotenciales: en la gura de abajo se muestran una serie de
supercies separadas por una cantidad de energía por unidad de carga de 1 voltio.
Figura 5.0.6: Líneas equipotenciales
CAPÍTULO 5. TRABAJO Y ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA
38
Figura 5.0.7: Lineas de campo y supercies equipotenciales
5.1.
Gradiente de potencial
La gura siguiente muestra las líneas de campo y supercies equipotenciales para dos carga puntuales de diferente
signo, observes que la supercies equipotenciales son perpendiculares a las lineas de campo. Las líneas de campo
eléctrico señalan en la dirección de potencial decreciente. Si el potencial es conocido, puede utilizarse para calcular
el campo eléctrico.
Figura 5.1.1: lineas equipotenciales
Capítulo 6
POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA
DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE
CARGAS.
La ecuación 4.8 puede ser transformada para obtener el potencial creado por una distribución continua de carga.
Para ello se divide la distribución continua en un número innito de cargas pequeñas, tratando este elemento como
una carga puntual (gura 4.6), el potencial V es:
1
V =
4πε0
ˆ
dq
r
(6.0.1)
Figura 6.0.1: Potencial debido a na distribución continua de carga
donde la integración se extiende a toda la distribución de carga y
r
es la distancia que hay desde
dq
al puntoP
donde se evalúa el potencial. Esta expresión paraV emplea como nivel de referencia cero en el innito.
Ejemplo 2. Determinar el potencial creado por un disco delgado de radio a, con densidad supercial de carga , en
los puntos de su eje como en la siguiente gura:
39
CAPÍTULO 6. POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGAS.
40
Figura 6.0.2: Potencial creado por un disco uniformemente cargado
Se divide el disco en anillos de ancho
dy ,
de forma que el área de cada uno de ellos es
2πydy
, y su carga
Q = σA
.
Por lo tanto el potencial producido por el anillo es:
σ
V =
4πε0
haciendo
u = x2 + y 2
se tiene que
du = 2ydy
ˆ
2πydy
p
x2 + y 2
(6.0.2)
y la integral queda:
V
ˆ
σπ
du
√
4πε0
u
p
2
2
x +a −x
=
V
σ
2
=
(6.0.3)
(6.0.4)
.
Ejemplo 3. Un trozo de alambre no conductor de longitud nitaL tiene una carga total
a lo largo de ella. Hallar el potencial
V
en el punto
P
q , distribuida uniformemente
L→∞ .Ver
en la perpendicular bisectriz ¾ Que sucede cuando
la gura de abajo:
Figura 6.0.3: Alambre no conductor
El elemento de longitud tiene carga
dq = λdl
. Puesto que el elemento está a una distancia de
debido a este elemento es
V
=
1
4πε0
V
=
λ
4πε0
ˆ
ˆ
dq
r
L/2
−L/2
dx
p
x2 + y 2
P,
el potencial en
P
CAPÍTULO 6. POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGAS.
41
integrando esta expresión ( ver tabla) se tiene :
V =
p
λ
ln x + x2 + y 2
4πε0
Evaluando se encuentra

L
2 +
2

V =
ln
4πε0 
(6.0.5)
r

L2
+ y2 
4


y
6.0.0.1. Nota matemática
La integral se realiza mediante la transformación trigonométrica:
x =
V
V
V
V
V
V
y tan θ
dx
=
p
x2 + y 2
=
p
x2 + y 2
=
y sec2 θdθ
q
y 2 tan2 θ + y 2
p
y 1 + tan2 θ
p
x2
=
y sec θ
=
+
y2
λ
4πε0
ˆ
L/2
x2 + y 2
y sec2 θdθ
y sec θ
ˆ
sec θdθ
−L/2
ˆ
dx
p
λ
4πε0
λ
= =
4πε0
λ
=
ln (sec θ + tan θ)
4πε0
!
p
x
λ
x2 + y 2
+
=
ln
4πε0
y
y
h
i
p
λ
x2 + y 2 + x − ln (y)
=
4πε0
=
Ejemplo 4. Para el alambre de carga q uniformemente distribuida con forma de arco de circunferencia de radio R
y que subtiende un ángulo
2θ
como en la gura de abajo. Calcular el potencial eléctrico en el punto
P.
CAPÍTULO 6. POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGAS.
42
Figura 6.0.4: Alambre doblado con carga distribuida uniformemente
El potencial medido respecto al innito para esta distribución es
V
=
V
=
ˆ
1
λdl
4π0
R
2λRθ
q
=
4π0 R
4π0 R
donde se ha tenido encuentra para la integración la simetría del alambre.
Ejemplo 5. Determinar el potencial creado por una esfera uniformemente cargada de radio a, con densidad volumétrica de carga , en los puntos
r > a, r = a y r < a.
ver gura Figura 2.06
Figura 6.0.5: Esfera uniformemente cargada
Lo que se sabe
Para
r>a
simetría
Para
r<a
el campo eléctrico tiene
´→
−
− →
esféricaV = −
E • dr =
−
−1 ´ r q →
• dr
∞
2
4π0
r
el campo ele¢trico es radial
y :
→
−
qr
ûr
E =
4πε0
Problema


V (r),
V (r),


V (r),
r>a
r=a
r<a
Plan de acción
1.Efectuar la integral de denición de
potencial con las condiciones de frontera
V =−
dadas:
´→
−
− →
E • dr
2.Efectuar la integral de denición de
potencial con las condiciones de frontera
ˆ
V
=
dadas:
ra
−
ˆara
VA − VB
=
−
a
→
−
qr
ûr • dr
4πε0
qrdr
1q
=
a2 − ra2
4πε0
4πε0 a3
CAPÍTULO 6. POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGAS.
Este resultado es familiar, pues, es equivalente al producido por una carga puntual. O sea, parar
43
> a la distribución
de carga se puede reemplazar por una carga puntual situada en el centro de la distribución. Puesto que el potencial
debe ser continuo en
r = a,
se puede obtener el potencial en la supercie de la esfera a partir de la expresión
obtenida anteriormente. Entonces el potencial en el punto
B
de la gura es Parar
> a
el campo eléctrico tiene
simetría esférica y se describe mediante la ecuación.
Q
4πε0 r2
E=
Para obtener el potencial en un punto exterior, como en
C e,
e sustituye en la ecuación:
ˆ
VC
=
−
E • dr
ˆ
VC
=
VC
=
VC
=
Q
• dr
4πε0 r2
ˆ
−Q
dr
4πε0
r2
Q
4πε0 r
−
Las anteriores ecuaciones sugieren la denición de una nueva unidad de energía, conocida como el electronvolt. Un
electronvolt, eV es igual al trabajo realizado sobre una partícula de carga e cuando se la mueve a través de una
diferencia de potencial de un voltio. Entonces se tiene que un electronvoltio es
1eV = (1,6022x10−19 C)(1V ) = 1,6022x10−19 J.
Ejemplo
En los famosos experimentos de dispersión de Rutherford que llevaron al modelo planetario del átomo,
las partículas
+79e).
α
cuya carga esta dada por:+2e,
masa = 6,6x10 − 27kg )
se dispararon contra núcleos de oro (cargas
Una partícula alfa inicialmente muy alejada del núcleo de oro se dispara a
α
el centro del núcleo. ¾Qué tanto se acerca la partícula
2,0x107 ms − 1directamente
hacia
a este centro antes de regresarse ?.
Si la partícula alfa esta muy alejada y el blanco está en reposo la energía inicial del sistema es toda cinética y está
dada por
K0 =
1
mα v02
2
Cuando la partícula alfa alcanza el máximo acercamiento al blanco toda la energía del sistema es potencial eléctrica
y está dada por:
Uf =
qα qbanco
4πε0 rα blanco
Aplicando el principio de conservación de energía del sistema
radio atómico del modelo de Rutherford:
ra =
E0 = Ef
2qα qbanco
4πε0 mv02
, entonces se obtiene una expresión para el
CAPÍTULO 6. POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGAS.
ejercicio
Hallar el potencial eléctrico en el punto
P,
44
el cual se halla ubicado en el punto medio de uno de los
lados del cuadrado de la gura 5.0.7 El cuadrado es de lado
a
y en cada vértice tiene sus respectivas cargas con sus
signos.
Figura 6.0.6: distribución discreta de cargas eléctricas
ejercicio
Calcular el vector de campo eléctrico y el potencial del sistema de cargas de la gura en el centro del
hexágono regular. Datos:
q = 10mC , lado = 10cm
Figura 6.0.7: Hexágono regular (todos los lados son iguales
Evaluación
En su estrategia de solución debe hacer: un diagrama de ujo de procesos para el punto1. En los
puntos de selección marque con una X la respuesta correcta.
1. Elija la respuesta correcta. Una de las siguientes propiedades no es la de un campo vectorial:
a)
Tienen magnitud.
b)
Tienen dirección
c)
Es un escalar
d)
Se representa por medio de vectores
e)
Se representan por medio de componentes
2. Una de las siguientes propiedades no es la de la carga eléctrica:
a)
Cuntizacion
CAPÍTULO 6. POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGAS.
b)
Conservación.
c)
Desintegración.
d)
Polarización
45
3. Cuando los electrones se transportan en presencia de un campo eléctrico ellos se mueven
e)
De mayor a menor potencial.
f)
De menor a mayor potencial.
g)
Perpendicularmente al campo.
h)
Con velocidad constante
4. Una bolita cargada pende de un hilo ligero en la forma indicada en la gura. La bolita tiene una carga
q2 de 0,060µC .
se mantiene ja una carga de
q1 de o,125µC .
A partir de estos datos y de las dimensiones
señaladas en la gura calcule el peso de la bola.
Figura 6.0.8: Aplicar condiciones de equilibrio
5. Tres cargas puntuales de
+4,0x10−6 C
están colocadas en los vértices de un triangulo equilátero cuyos lados
miden 10 cm ¾qué fuerza en magnitud actúa sobre cualquiera de las cargas?
6. Cuatro cargas puntuales iguales están localizadas en los vértices de un cuadrado. entonces se puede armar
que en el centro de un lado :
a)
El campo
→
−
E
b)
El campo
E
c)
El potencial es cero.
d)
El potencial es perpendicular al lado.
es nulo.
es perpendicular al lado.
7. Seleccione y justique la respuesta correcta. ¾cuánto campo eléctrico vertical se necesita para hacer levitar
una esfera de 1g que tiene una carga eléctrica de 5000C o que caiga con velocidad constante?
e)
196N/C.
f ) 1,96x10−2 N/C.
g ) 1,96x10−4 N/C.
CAPÍTULO 6. POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGAS.
46
h ) 1,96x10−6 N/C
8. Calcular el vector campo eléctrico y el potencial del sistema de cargas de la gura en el centro del hexágono
regular. Datos:
q = 10mC , lado = 10cm
Figura 6.0.9: Hexágono regular (todos los lados son iguales
9. En un tubo de rayos catódicos el haz de electrones se desvía en una región de campo eléctrico hacia una pantalla
uorescente. El campo entre las placa paralelas es de 400 N/C, el haz de electrones entra horizontalmente
como se observa en la gura a una velocidad de 5x106 m/s si el ancho de las placas es L= 4,0 cm ¾Qué
distancia vertical se desvía el haz al momento de salir si justamente alcanza a pasar entre estas.
Figura 6.0.10: Electrocinética
10. Elija la respuesta correcta: Una carga eléctrica q que se mueve con velocidad
uniforme
E,
v
paralela a un campo eléctrico
está sometida a una fuerza F:
a)
De módulo
qE
y paralela a
b)
De módulo
qE
y perpendicular a
c)
Nula.
v
v.
11. Describa el campo eléctrico. Tomando como referente las propiedades física y su modelo matemático Intensidad
de campo.