Solución numérica para un flujo rotatorio en la vecindad de un disco

III Congreso Internacional sobre Métodos Numéricos en Ingeniería y Ciencias Aplicadas
S. Gallegos, I. Herrera, S. Botello, F. Zárate, y G. Ayala (Editores)
© ITESM, Monterrey 2004 CIMNE, Barcelona 2004
SOLUCIÓN NUMÉRICA PARA UN FLUJO ROTATORIO EN LA
VECINDAD DE UN DISCO ROTANDO
Arturo Lizardi Ramos*
Alen Díaz Cárdenas
Raymundo López Callejas**
Juan R. Morales Gómez
Araceli Lara Valdivia
Universidad Autónoma Metropolitana-Azcapotzalco
Departamento de Energía, Área de Termofluidos
Av. San Pablo 180, Col. Reynosa Tamaulipas
Del. Azcapotzalco, C. P. 02200, México D. F.
Tel. 52 (55) 5318-9060
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**[email protected]
Resumen. Se presenta un estudio sobre el coeficiente de fricción que se genera en un flujo rotatorio tipo
vórtice libre en un medio finito con superficie libre. En el estudio se modelan y resuelven en forma numérica
las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido viscoso e incompresible de propiedades físicas constantes y
en flujo permanente. Para simplificar las ecuaciones, éstas se formulan en función de la vorticidad, circulación
y función corriente meridional. Los resultados obtenidos en forma numérica consideran la condición de
frontera de superficie libre, una relación alto/radio del depósito igual a uno y distintos valores del número de
Reynolds. Como resultado del estudio se concluye que el movimiento del fluido en la vecindad de un disco
rotando, en el interior del recipiente cilíndrico abierto se forma de dos flujos radiales, dos flujos axiales y de
un flujo azimutal. Finalmente, para el rango del número de Reynolds estudiado, el coeficiente de fricción se
comporta de manera lineal en la escala logarítmica, tendencia que es característica de los flujos laminares.
Palabras clave: Flujo rotatorio, vórtice libre, coeficiente de fricción.
1
INTRODUCCIÓN
En la disciplina de la mecánica de fluidos se estudia el comportamiento de los líquidos y gases en reposo o
en movimiento y la interacción que ejercen sobre su entorno. Para la hidrostática un fluido se considera
estático si todas las partículas permanecen en reposo o tienen la misma velocidad constante con respecto a un
sistema de referencia inercial. La dinámica de los fluidos analiza los interesantes fenómenos asociados con el
movimiento de un fluido al considerar las leyes fundamentales que rigen el movimiento de las partículas del
fluido y las fuerzas específicas necesarias para producirlo. Por ultimo, la cinemática de los fluidos estudia
aquellos aspectos del movimiento de los mismos sin tomar en cuenta las fuerzas reales necesarias para
producirlo. Un caso especial que es motivo de estudio de esta disciplina es cuando un fluido se mueve
alrededor de un eje vertical, encontrándose tres posibilidades para este fenómeno en particular: movimiento
A. LIZARDI et al. / Solución numérica para un flujo rotatorio…
como vórtice forzado, movimiento como vórtice libre y, una combinación de los anteriores, el denominado
vórtice combinado de Rankine1. En todos estos casos, las ecuaciones que describen el movimiento del fluido
están dadas por la ecuación de Navier-Stokes en coordenadas polares cilíndricas, la diferencia estriba en las
condiciones de frontera que se presentan en uno u otro caso.
Por otro lado, la ecuación de Navier-Stokes, ecuación diferencial parcial no lineal y elíptica, presenta
dificultades críticas de integración global por lo que se requiere del uso de métodos numéricos para reducir
las ecuaciones diferenciales parciales a una aproximación en términos de ecuaciones algebraicas.
El objetivo de este trabajo es determinar y analizar el coeficiente de fricción que se genera en el flujo de un
fluido confinado en el interior de un recipiente cilíndrico vertical que tiene la envolvente sin movimiento, el
fondo giratorio y la superficie superior abierta a la atmósfera. Para llevar a cabo lo anterior, la metodología
que se propone consiste en resolver las ecuaciones de conservación de masa y de cantidad de movimiento
expresadas en función de la circulación (γ), la vorticidad tangencial (ς) y la función corriente meridional (ψ),
con las condiciones de frontera apropiadas. Los resultados obtenidos en el sistema de ecuaciones permitirán
obtener los campos de las componentes de velocidad (u, v, w) que definen al flujo. Del campo de velocidades
de la componente azimutal de la velocidad se obtendrán las funciones de variación de la misma a través de la
coordenada axial, lo que finalmente permitirá calcular el valor del coeficiente de fricción.
2
SITUACIÓN FÍSICA
El modelo físico que permite determinar el campo de las componentes de velocidad (radial, axial y
azimutal), que sirven de base para obtener el coeficiente de fricción, es el flujo de un fluido viscoso,
incompresible, de propiedades físicas constantes, en flujo permanente, confinado en un cilindro vertical fijo
de altura H y radio E, el cual tiene la superficie superior abierta a la atmósfera, Fig. 1. En el fondo del
depósito se cuenta con un disco impulsor que gira a una velocidad angular constante Ω y es el que genera el
movimiento del fluido. El flujo se considera laminar y debido a la geometría que se presenta el fluido gira en
forma simétrica respecto al eje vertical.
Ω
Figura 1. Esquema del modelo físico
3
DESARROLLO DEL MODELO MATEMÁTICO Y SOLUCIÓN NUMÉRICA
Las ecuaciones que permiten determinar el comportamiento dinámico de un fluido incompresible, viscoso,
confinado en un recipiente cilíndrico, son las ecuaciones de Navier-Stokes en coordenadas polares cilíndricas
(r, φ , z)2
A. LIZARDI et al. / Solución numérica para un flujo rotatorio…
1 ∂(r u) 1 ∂ v ∂ w
=0
+
+
r ∂r
r ∂φ ∂z
r
r
DV
1
= g − ∇ P + ν ∇2 V
Dt
ρ
(1)
(2)
La primer expresión es la ecuación de conservación de la masa y la segunda es la ecuación de conservación
de la cantidad de movimiento en forma vectorial. Una de las simplificaciones importantes para el análisis de
este problema es la consideración geométrica de simetría, lo cual permite transformar el modelo
tridimensional a uno bidimensional axisimétrico.
Analizando el sistema de ecuaciones anterior se tiene que las incógnitas son las tres componentes de
velocidad (u, v, w) y la presión P, pues las propiedades físicas del fluido y la aceleración gravitatoria se
consideran constantes. Debido a que la presión varía radial y axialmente en el sistema y a que es función del
valor de las componentes de velocidad es necesario transformar las ecuaciones de movimiento en otras
ecuaciones, de tal manera que se elimine la presión. Para llevar a cabo dicha transformación se emplea la
función corriente (ψ), la circulación (γ) y la vorticidad (ς); que se definen matemáticamente como
u=
1 ∂ψ
,
r ∂z
w=−
1 ∂ψ
,
r ∂r
v=
γ
,
2πr
ς=
∂u ∂w
−
∂z ∂r
(3)
Así, las ecuaciones resultantes constituyen un sistema de ecuaciones diferenciales parciales en un nuevo
marco de variables, que para el caso de flujo permanente se expresan como
u
u
(4)

∂γ
∂γ
2 ∂γ
+w
= ν ∇ 2 γ −

∂r
∂z
r ∂r

∂ς u ς
∂ς
ς
1 ∂ (γ 2 )

−
−
= ν ∇ 2 ς − 2 
+w
2 3
∂z
∂r
r
4π r ∂z
r 

(5)
2 ∂ψ
=rς
r ∂r
∇2ψ −
(6)
Para adimensionalizar las ecuaciones (4), (5) y (6) se utilizan los siguientes parámetros adimensionales
r
= r* ,
E
z
= z* ,
E
ψ
=Ψ,
Ω E3
u
= u* ,
ΩE
γ
=Γ,
Ω E2
ς
=ξ,
Ω
v
= v* ,
ΩE
w
= w* ,
ΩE
Ω E2
Re =
ν
(7)
Al sustituir lo anterior, se obtiene la ecuación parabólica de transporte de la circulación, de transporte de la
vorticidad tangencial y la ecuación elíptica de Poisson para la función corriente meridional, todas ellas en
forma adimensional
u*
u*
∂Γ
∂Γ
1  2
2 ∂Γ 
+ w* * =
∇ Γ− * *
*

Re 
∂r
∂z
r ∂r 
(8)
u * ξ 1 ∂(Γ 2 ) 1  2
∂ξ
ξ 
* ∂ξ
w
+
−
− *3
=
∇
ξ
−
*
*
*
*
Re 
r * 2 
r
r ∂z
∂r
∂z
(9)
2 ∂Ψ
= r*ξ
*
*
r ∂r
(10)
∇2Ψ −
Las ecuaciones (8) y (9) son ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden no lineales del tipo
A. LIZARDI et al. / Solución numérica para un flujo rotatorio…
parabólico y la ecuación (10) es una ecuación diferencial parcial de segundo orden no lineal del tipo elíptico.
Las condiciones de frontera para el caso de superficie libre son, Goller y Ranov3, Gerber4
r * = 0,
r * = 1,
Ψ = 0,
Ψ = 0,
Γ = 0,
Γ = 0,
z * = 0,
Ψ = 0,
Γ = r *2 ,
z * = 1,
Ψ = 0,
∂Γ
= 0,
∂z
ξ=0
1 ∂2Ψ
r * ∂r * 2
1 ∂2Ψ
ξ = * *2
r ∂z
ξ=0
ξ=
(11)
Para resolver las ecuaciones de Navier-Stokes y las condiciones de frontera, en forma adimensional, es
necesario trasformarlas a un espacio discreto, el cual es el espacio manejado por las computadoras. Para
reemplazar las ecuaciones diferenciales parciales por expresiones algebraicas aproximadas, se emplea un
desarrollo truncado de la serie de Taylor. La aproximación empleada en el método numérico es de segundo y
cuarto orden para las expresiones que rigen en el interior del sistema y en las fronteras, respectivamente. Las
ecuaciones (8), (9) y (10) en diferencias finitas son



1
1
Ψi , j = 1/ 4  1 −  Ψi +1, j +  1 +  Ψi −1, j + Ψi ,j+1 + Ψi , j−1 − i a 3 ξ i ,j 
2i 
2i 



(12)


1  Re
Ψi , j+1 − Ψi , j−1  Γi +1, j +
 1 −  −
2i  4 ai






1  Re
Re
Ψi , j+1 − Ψi , j−1  Γi −1, j + 1 +
+  1 +  +
Ψi +1, j − Ψi −1, j  Γi , j+1 +
2i  4 ai



 4 ai



Re
+ 1 −
Ψi +1,j − Ψi −1, j  Γi , j−1 


 4 ai
(13)


1  Re
Ψi , j+1 − Ψi ,j−1  ξ i +1, j +
ξ i , j = i 2  1 +  −
2i  4 ai






1  Re
Re
Ψi , j+1 − Ψi , j−1  ξ i −1, j + 1 +
+  1 −  +
Ψi +1, j − Ψi −1, j  ξ i , j+1 +
2i  4 ai



 4 ai
−1
  2
Re Γi , j



Re
Re
Ψi , j−1 − Ψi , j+1 
+ 1 −
Ψi +1, j − Ψi −1,j  ξ i , j−1 + 2 3 Γi , j+1 − Γi , j−1  4 i + 1 +
a i
2a
 


 4 ai
(14)
Γi , j =
(
1
4
(
)
)
(
(
)
(
(
(
)
)
)
)
(
(
)
)
(
)
En donde a es el valor del espaciamiento de la malla. Los subíndices i y j denotan los puntos en el espacio,
en las direcciones r y z, respectivamente. Para valores dados de i y j, las coordenadas en el espacio son r=ia,
z=ja.
Para obtener los campos de la vorticidad, circulación y función corriente meridional se generó un
programa de cómputo en lenguaje de programación C++. Dicho programa realiza el mallado del sistema,
aplica las ecuaciones (12), (13) y (14) a cada nodo interno de la malla y la ecuación (11) a cada nodo ubicado
en la frontera de la misma. Posteriormente, por medio de una subrutina, resuelve el sistema de ecuaciones en
forma iterativa hasta encontrar la convergencia. El criterio de convergencia utilizado es del tipo de error
relativo, de la forma: máx[(Ψσ+1- Ψσ)/ Ψσ]<Є. El orden de precisión Є se deja como una opción para el
usuario dentro del programa, donde se permiten valores en el rango 0.0001<Є<0.1.
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Por otro lado, para obtener los campos de la velocidad radial, tangencial y axial, se adimensionalizan y
discretizan las ecuaciones que definen a la función corriente y a la circulación y se emplean los resultados
obtenidos en el sistema de ecuaciones anterior.
Conocido el modelo de flujo, dado por la distribución de velocidad en el depósito, interesa conocer
cantidades técnicas, según el tipo de aplicación estudiada. En este caso el objetivo principal es obtener el
coeficiente de fricción entre fluido y la superficie sólida, provocado por el impulsor en movimiento. El
coeficiente de fricción o coeficiente de par se define como el momentum requerido por el disco impulsor
para girar y se calcula con la siguiente ecuación adimensional5
Cf =
4 π 1 ∂v *
r * 2 dr *
∫
0
Re
∂z * z * =1
(15)
La obtención del coeficiente de fricción se determina al encontrar la función de la variación de la componente
de velocidad v* a través de la coordenada axial, integrarla y finalmente evaluarla a lo largo del radio total del
sistema.
4
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Una vez resuelto numéricamente el sistema de ecuaciones (11), (12), (13) y (14), a través del software
diseñado, se hicieron corridas para un número de Reynolds igual a 100, 500, 1000, 10000 y 15000. Los
resultados de las componentes de velocidad radial, azimutal y axial, para un número de Reynolds igual a 100,
se muestran en las Figuras 2, 3 y 4, respectivamente.
El flujo radial, Fig. 2, se forma de dos flujos, uno negativo que abarca dos terceras partes de la altura H y
que se encuentra en la parte superior del sistema y otro positivo ubicado cerca del impulsor. Estos dos flujos
hacen que entre las capas límite formadas aparezca una zona donde no existe flujo radial, teniéndose como
flujo principal las componentes azimutal y axial. El flujo radial es grande junto al disco impulsor,
mostrándose una capa limite intensa sobre el mismo. Algo similar ocurre, pero con un flujo en dirección
contraria, junto a la superficie abierta a la atmósfera del recipiente.
En el flujo azimutal, Fig. 3, se observa un núcleo ubicado en la parte inferior izquierda del sistema. Su
magnitud es positiva, tiene su valor máximo en el núcleo y el mínimo sobre las paredes rígidas del depósito y
superficie libre. Se observa que la intensidad del vórtice tiene una tendencia a la disminución al dirigirse del
disco impulsor hacia la frontera con superficie libre. En general el flujo azimutal se reduce debido a las
paredes sólidas, fijas, excepto cerca del disco rotatorio, donde se tiene un flujo de capa límite de Ekman en la
dirección radial, alejándose del eje central del sistema. Este último efecto genera flujos secundarios
transitorios.
El flujo axial, Fig. 4, también se forma de dos flujos, uno negativo que abarca poco menos de la mitad del
radio E, cerca del eje del sistema y otro positivo ubicado cerca de la pared rígida del recipiente. Estos dos
flujos hacen que entre las capas límite formadas aparezca una zona donde no existe flujo vertical, teniéndose
como flujo principal las componentes radial y axial. Así, la velocidad vertical depende del radio, aunque es
poco intensa en la región central del recipiente. Cerca de la pared interior del recipiente se forma una capa
límite, similar a la generada sobre el disco impulsor y superficie libre del recipiente, caso de flujo radial. Las
características de la capa limite en la pared vertical es que resulta constante a lo largo de la pared.
Para los demás números de Reynolds se tiene el mismo comportamiento, aunque los valores numéricos
son diferentes. Por lo anterior y a manera de ejemplo solo se muestra el campo de la componente de
velocidad azimutal para Re=15000, que es el que interesan para determinar el coeficiente de fricción.
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Figura 2. Componente u* para Re=100
Figura 3. Componente v* para Re=100
Figura 4. Componente w* para Re=100
Figura 5. Componente v* para Re=15000
Para obtener el coeficiente de fricción se sigue la metodología expuesta con anterioridad, es decir, de los
campos de la componente tangencial de la velocidad se obtienen las funciones de variación de la misma,
respecto a la coordenada axial. Estas funciones se derivan e integran para obtener el valor del coeficiente de
fricción para un radio constante. En las Figuras 6 y 7 se muestran las gráficas, en escala logarítmica, de la
variación del coeficiente de fricción (Cf) respecto al número de Reynolds (Re), para un radio constante de 1 y
9, respectivamente.
En este caso el coeficiente de fricción para bajos números de Reynolds (Re=100) tiene un valor de 0.065
junto al eje de rotación del sistema, mientras que en la zona aledaña a la pared vertical se tiene una magnitud
de 0.0043. Para altos números de Reynolds (Re=15,000), y cerca del eje de giro, la magnitud del coeficiente
Cf es de 3x10-6 mientras que en la frontera cercana a la pared vertical su valor es de 1.8x10-7. Lo anterior
indica que el coeficiente de fricción depende del radio pues en regiones alejadas del eje del cilindro su valor
disminuye sin importar el valor del número de Reynolds. Otra dependencia importante se encontró en el
número de Reynolds pues el coeficiente de fricción tuvo una variación de cuatro ordenes de magnitud al
cambiar de Re=100 a Re=15000, para los dos radios analizados.
Por ultimo, al comparar las curvas obtenidas en este trabajo con datos reportados en la literatura, se
encontró que la tendencia de la curva es correcta, asemejándose a la del flujo de un disco liso rotando en un
medio infinito. Para éste caso, la expresión que determina el coeficiente de fricción es6
Cf =
3.87
Re
(16)
esta ecuación es válida para números de Reynolds menores a 3x105. Cabe mencionar que la curva reportada
en este artículo se encuentra por encima de la del disco liso, esto es debido a la influencia que presentan las
condiciones de frontera propuestas en este trabajo.
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1
10
100
1000
1
0.1
0.0001
0.00001
0.000001
Re
Fig.6. Gráfica Cf visRe para r*=1
5
1
100000
1
0.1
0.01
0.001
0.0001
0.00001
0.000001
0.0000001
10
100
1000
10000 100000
Cf
Cf
0.01
0.001
10000
Re
Fig.7. Gráfica Cf visRe para r*=9
CONCLUSIONES
El propósito de este trabajo ha sido estudiar el comportamiento del coeficiente de fricción generado por el
movimiento de un fluido girando en un recipiente cilíndrico vertical con superficie libre. El estudio consiste
en modelar y resolver en forma numérica las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido viscoso e
incompresible de propiedades físicas constantes. Los resultados obtenidos muestran la forma de los campos
de las componentes de velocidad radial, tangencial y axial que son la base para definir el coeficiente de
fricción del sistema.
Como conclusión se tiene que el movimiento del fluido en el interior del recipiente se forma de: dos flujos
radiales, uno cerca del impulsor y otro de sentido contrario cerca da la superficie libre del líquido; dos flujos
axiales, uno cerca del eje de rotación y otro de sentido contrario cerca de la pared lateral del depósito; y un
flujo azimutal, cuyo valor disminuye al alejarse del centro de rotación hasta hacerse cero en la superficie
superior y en la pared rígida. Se determinó que el coeficiente de fricción varía en función de la coordenada
radial, tomando los valores más altos cerca del eje de rotación. También se observó una gran dependencia de
dicho coeficiente al variar el número de Reynolds obteniéndose una diferencia de cuatro órdenes de magnitud
en el rango estudiado. Finalmente, al comparar los resultados numéricos con los reportados en la literatura se
concluye que el comportamiento lineal del coeficiente de fricción, en la escala logarítmica, sigue la tendencia
del comportamiento del flujo en un disco liso rotando en un medio infinito, pero con valores más altos para
nuestro caso.
6
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
REFERENCIAS
J. W. Daily. “Dinámica de los fluidos con aplicaciones en ingeniería”. Editorial Trillas. México, (1969).
Landau y Lisfshitz, “Fluids Mechanics”, Pergamon Press, Vol. 6, (1982).
Goller, H., and Ranov, T., “Unsteady Rotating Flow in a Cylinder with a Free Surface”, ASME Journal of Basic Engineering, Vol.
90, No. 4, pp. 445-454, (1968).
Gerber, N., “Properties of Rigidly Rotating Liquids in Closed Partially Filled Cilindres”, ASME Journal of Applied Mechanics, Vol.
97, pp. 734-735, (1975).
Bertelá M., and Gori, F., “Laminar flow in a cylindrical container with a rotating cover”, Journal of Fluids Engs., Vol. 104, pp 3139, (1982).
Schlichting H., “Boundary-Layer Theory”, McGraw-Hill, (1968).