3. probabilidad - Mauricio Contreras
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3. PROBABILIDAD Página 1 Combinatoria. Espacio muestral Probabilidad simple. Ley de Laplace. Probabilidad geométrica Paseos aleatorios y tiempos de espera Muestras, simulación y modelos Tablas de contingencia y diagramas de árbol. Probabilidad compuesta Página 2 1. COMBINATORIA. ESPACIO MUESTRAL. SEGMENTOS EN UN GEOPLANO En un geoplano 3 3 se pueden trazar segmentos de varias longitudes distintas, con los extremos en los clavos. Encuentra todas las longitudes posibles. Haz lo mismo con geoplanos de 4 4, 5 5, etc. RESTAURANTE En un restaurante nos ofrecen elegir un primer plato, un segundo y un postre entre los dos primeros, tres segundos y cuatro postres que entran en el menú del día. ¿Cuántas comidas diferentes podemos hacer?. CAMINOS a) ¿Cuántos caminos hay desde A hasta D?. A B C D b) ¿Hay alguna relación entre este número de caminos y el número de caminos que van de A a B, de B a C y de C a D?. Para efectuar conteos suele ser de gran utilidad construir un diagrama de árbol, en el que se muestran todas las posibilidades. En un diagrama de árbol distinguimos nudos y ramas. Si el diagrama es simétrico, el número de ramas del árbol es el producto de las ramas que salen en cada nudo. Así, por ejemplo en este diagrama, si de todos los nudos del mismo orden sale el mismo número de ramas, el número total de ellas es de 3 5 4 = 60. Página 3 c) ¿Cuántas ramas tiene este árbol ?. CESTA DE NAVIDAD Para confeccionar una cesta de Navidad voy a meter una pastilla de turrón, una botella de licor y una botella de champán. Puedo elegir entre 5 marcas de turrón, 4 licores distintos y 3 marcas de champán. ¿Cuántas cestas puedo confeccionar?. ENCUENTRO DE TENIS a) Dos jugadores de tenis van a disputar un encuentro particular: quien gane primero 2 sets es el ganador del encuentro. ¿Cuál es el número máximo de sets que tienen que disputar?. ¿Cuántos desarrollos posibles puede tener el encuentro?. b) Resuelve el mismo problema si se impone la condición de que gane el torneo el primero que consiga vencer en dos sets consecutivos. TIRO AL BLANCO En un tiro al blanco hay que lanzar un aro sobre el blanco, que está formado por diez caballitos numerados que giran alrededor de un punto fijo. Si se acierta a uno de ellos se enciende una luz con el número del caballo. a) ¿De cuántas maneras se pueden encender las luces con tres lanzamientos?. b) ¿Y si el primer lanzamiento da al caballo número 2 ?. ALFABETO MORSE En 1840, Morse presentó un sistema de telegrafía que utiliza un sistema convencional de puntos y rayas fácilmente transmisibles eléctricamente. a) Para los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 se utilizan necesariamente cinco signos de los dos de que se dispone. ¿Se pueden simbolizar los diez dígitos?. b) Para las 26 letras del alfabeto se pueden utilizar a lo sumo cuatro signos, aunque pueden usarse menos símbolos, claro está. Así: la letra B se simboliza por . La letra I se simboliza por . ¿Cuántos bloques podemos formar con la condición anterior?. ¿Sobran para simbolizar las 26 letras del alfabeto?. MATRÍCULAS ¿Cuántos coches se pueden matricular en Valencia si cada matrícula, como sabes, lleva un número de cuatro cifras y una palabra de dos letras (por ejemplo, V – 9254 – KL) ?. En los ejercicios anteriores has formado grupos de n elementos, repetidos o no, de entre m objetos. Estos grupos se llaman variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n. Dos grupos se distinguen entre ellos porque difieren en algún elemento o en el orden de colocación. El número de variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n se expresa así: VRm , n m n Página 4 CARRERAS DE GALGOS Las apuestas en las carreras de galgos consisten en acertar la llegada de los tres primeros perros. Si en cada carrera participan seis perros, ¿es fácil acertar?. LA RULETA Giro tres veces la siguiente ruleta, anotando ordenadamente los resultados: ¿Es fácil que consiga la palabra S O N ?. NÚMEROS DE CUATRO CIFRAS a) ¿Cuántos números de cuatro cifras distintas se pueden escribir con las cifras 2, 3, 4, 5, 6, 7 ?. ¿Cuántos de ellos son impares?. ¿Cuántos impares hay si partimos de las cifras 2, 3, 4, 5, 7, 9 ?. b) ¿Recuerdas que un número es múltiplo de 4 cuando sus dos últimas cifras forman un múltiplo de 4 ?. Explica por qué. ¿Cuántos de los números calculados anteriormente son múltiplos de 4 ?. c) ¿Cuántos números de 4 cifras, distintas o no, se pueden escribir con las cifras 2, 3, 4, 5, 6, 7 ?. En los ejercicios anteriores has tenido que formar grupos de n elementos diferentes de entre m objetos. Estos grupos se llaman variaciones de m elementos tomados de n en n. Dos grupos se distinguen entre ellos porque difieren en algún elemento o en el orden de colocación. Se diferencian de las variaciones con repetición en que ahora los elementos no pueden repetirse, es decir, deben ser todos diferentes. El número total de variaciones (sin repetición) de m elementos tomados de n en n se expresa así: Vm, n m m 1 m 2 n factores PALABRAS Y NÚMEROS a) ¿Cuántos números de 5 cifras distintas se pueden formar con las cifras 3, 4, 5, 7 y 9 ?. ¿Cuántos de ellos son pares y cuántos impares?. b) ¿Cuántos números de 5 cifras, distintas o no, se pueden formar con las cifras 3, 4, 5, 7 y 9 ?. c) ¿Cuántas palabras de cuatro letras se pueden formar con las letras A, O, M, R, de manera que no aparezcan letras repetidas?. ¿Cuántas de ellas empiezan por A ?. ¿Cuántas de ellas empiezan por A y terminan por R ?. FOTOGRAFÍAS Luisa, Juan, Ana y Pedro quieren fotografiarse juntos. Desean situarse uno al lado del otro de manera que alternen chicos y chicas. ¿De cuántas maneras pueden hacerse la fotografía?. ¿De cuántas maneras si se suprime la condición de estar alternados? Página 5 En ejercicios anteriores has tenido que ordenar los elementos de un grupo. Es decir, has formado grupos de n elementos con exactamente n objetos. Dos grupos se distinguen entre ellos porque sólo difieren en el orden de colocación. Estos grupos se llaman permutaciones de n elementos. Se representan así: Pn n n 1 n 2 3 2 1 n factores Llamamos factorial de un número al producto de todos los números naturales desde 1 hasta dicho número. La factorial del número N se representa por N ! , de forma que: N! n n 1 n 2 3 2 1 Por ejemplo: 3! 3 2 1 6 , 4! 4 3 2 1 24 . Observa que el número de permutaciones de n elementos es igual a la factorial de n. FACTORIALES 8! 8! 4) 5! 3! 7! b) Expresa utilizando factoriales los productos: 1) 5 4 3 2) 10 9 8 a) Pn n ! Calcula: 1) 6! 3! 2) 7! 4! 3) 3) 10 11 12 13 HELADOS En una heladería hay ocho clases de helados. Un cucurucho se puede pedir de uno, dos o tres gustos. ¿Cuántas posibilidades de elegir tienes?. ARQUITECTOS Las cinco personas que forman parte de un equipo de arquitectura quieren elegir a dos para elaborar un proyecto. ¿De cuántas formas pueden hacerlo?. MINICINES En unos minicines ponen seis películas que me gustan y quiero elegir dos para ir esta semana. ¿Cuántas posibilidades tengo?. TRIÁNGULOS Y POLÍGONOS a) Dibuja un decágono regular. ¿Cuántos triángulos hay que tengan sus vértices en los del dodecágono que has dibujado?. b) ¿Cuántos triángulos diferentes hay que tengan sus vértices en los de un polígono regular de 20 lados?. ¿Y en un polígono regular de n lados?. En los ejercicios anteriores has tenido que formar grupos de n elementos diferentes tomados de entre m objetos. Dos grupos se distinguen entre ellos porque únicamente difieren en algún elemento. Es decir, si dos grupos tienen los mismos elementos entonces se consideran el mismo grupo, aunque los elementos estén dispuestos en orden diferente. Estos grupos se llaman combinaciones de m elementos tomados de n en n y se representan así: C m, n . Observa que el número de combinaciones de m elementos tomados de n en n se obtiene dividiendo el número de variaciones de estos m elementos tomados de n en n entre el número de permutaciones de n elementos. Es decir: Cm, n Vm , n Pn m m 1 m 2 n factores n! Página 6 CUERDAS EN UNA CIRCUNFERENCIA a) Dibuja una circunferencia de radio 5 cm. Divídela en 16 partes iguales y señala los puntos de división. A continuación traza las cuerdas que unen cada punto con todos los demás. ¿Cuántas cuerdas tendrás que dibujar?. b) ¿Y si la circunferencia está dividida en 32 partes iguales?. ¿Y si está dividida en 64 partes iguales?. POLIMINÓS Esta figura está compuesta por dos cuadrados unidos por un lado, es un dominó. Estas figuras, compuestas por tres cuadrados, son triminós. Un cuadrado está unido a otro por un lado. Estos son tetraminós. Intenta buscar todos los pentaminós distintos que existen. ¿Cuántos hay?. Dibuja todos los hexaminós diferentes que puedas. DIAMANTES Ahora, en lugar de cuadrados, vamos a trabajar con triángulos equiláteros. Las figuras planas construidas con triángulos equiláteros unidos por un lado se llaman diamantes. Este es el único diamante2 posible. Y éste es el único diamante – 3 posible. Busca todos los diamantes – 4. Dibuja algunos diamantes – 5 en una trama triangular. Página 7 FIESTA En una fiesta hay siete chicos y siete chicas. Hay una chica que siempre baila con el mismo muchacho. De los otros chicos hay otro que es el más decidido y siempre sale a bailar el primero, de modo que siempre puede elegir pareja. ¿De cuántas maneras puede elegir en los próximos cuatro bailes?. UN DADO Lanzamos un dado cinco veces y anotamos los resultados obteniendo una secuencia de caras y cruces. ¿Cuántas secuencias podemos obtener?. NÚMEROS ¿Cuántos números de tres cifras puedes formar usando para ello las cifras 7, 2, 5, 3, 8 ?. ¿Y si no se admiten cifras repetidas?. ¿Qué ocurre si queremos formar números de 2 ó 4 cifras ?. ¿Y si disponemos de 7 y no de 5 dígitos ?. ATLETISMO Seis corredoras participan en una carrera de 200 metros. ¿De cuántas maneras puede quedar la clasificación?. TEATRO Cuatro chicas van al teatro y quieren ocupar asientos seguidos de la misma fila. Hay 15 filas y cada fila tiene 20 asientos. ¿Cuántas posibilidades tienen?. LETRAS La palabra BABAB contiene tres B y dos A. ¿Qué palabras que como ésta contengan tres B y dos A podemos formar?. ¿Cuántas hay en total?. MEZCLAS Tenemos cinco botes de pintura de diferentes color R, A, N, B, V y queremos hacer todas las mezclas posibles con pintura de dos botes a la vez. ¿Cuántas mezclas podemos hacer?. PÓKER Con una baraja de póker de 40 cartas, se reparten 5 cartas a cada jugador: a) ¿De cuántas formas se puede recibir trío de ases servido?. b) ¿De cuántas formas se puede recibir póker servido?. c) ¿De cuántas formas se puede recibir trío servido?. BILLETES En una línea de ferrocarril hay ocho estaciones, incluidas las terminales. Si en cada billete va impreso el nombre de la estación de partida seguido del de la llegada, ¿cuántos billetes distintos deben imprimirse?. ¿Y si se añade en el billete la frase “o viceversa”?. Supongamos que no se imprimen los nombres de las estaciones, sino el precio, que es proporcional a la distancia. Las distancias entre los pueblos son todas distintas. ¿Cuántos billetes deben imprimirse?. ¿Y si las distancias entre los pueblos son iguales?. Página 8 ASCENSOR Un ascensor se pone en marcha con cinco pasajeros y se detiene en tres pisos. Calcula el número de diferentes formas en que pueden bajarse los pasajeros atendiendo sólo a su número. SUCESOS Espacio muestral es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un fenómeno o experimento aleatorio. Se representa por E. Los resultados posibles del experimento se llaman sucesos elementales. Suceso es un subconjunto del espacio muestral E. Suceso seguro es el que siempre se verifica al realizar el experimento aleatorio. Está formado por todos los resultados posibles del experimento y coincide con el espacio muestral E. Suceso imposible es el que nunca se verifica. Se representa por . Por ejemplo, en el experimento aleatorio consistente en el lanzamiento de un dado cúbico, el espacio muestral es: E = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Podemos considerar algunos sucesos asociados a este espacio muestral: A = Salir par = 2, 4, 6 C = Salir número primo = 2, 3, 5 F = Salir número mayor que 7 = B = Salir impar = 1, 3, 5 D = Salir número menor que 3 = 1, 2 G = Salir número menor que 8 = E 1) Tenemos una bolsa con nueve bolas numeradas del 1al 9. Realizamos el experimento que consiste en sacar una bola de la bolsa, anotar el número y devolverla a la bolsa. Halla el espacio muestral y construye los siguientes sucesos: A=obtener número impar, B=obtener número primo, C=obtener número mayor que 6. 2) Hemos observado la distribución por sexo de los hijos en las familias compuestas de cuatro hijos. Halla el espacio muestral. Sean los sucesos: A=el hijo mayor es varón, B=los dos hijos menores son hembras, C=los dos hijos mayores son de diferente sexo. ¿Cuáles son los sucesos elementales de A, B y C?. 3) Dos amigos A y B juegan unas partidas de ping-pong y deciden que el ganador será aquél que gane dos partidas seguidas o tres alternativas. Halla el espacio muestral. Si decidiesen que el ganador va a ser aquél que gane dos partidas consecutivas, ¿cuál sería el espacio muestral?. OPERACIONES CON SUCESOS Dados dos sucesos A y B, llamamos intersección de dichos sucesos y lo representamos por AB, al suceso que ocurre cuando ocurren A y B al mismo tiempo. Sus sucesos elementales son los comunes a A y B. Dados dos sucesos A y B, llamamos unión de dichos sucesos y lo representamos por AB, al suceso que ocurre cuando ocurre A, ocurre B o bien ocurren A y B al mismo tiempo. Sus sucesos elementales son los que pertenecen a A, a B o a AB. Dos sucesos A y B son compatibles si AB . Dos sucesos A y B son incompatibles si AB = . Dado un suceso A, llamamos suceso contrario de A al suceso que se verifica cuando no se verifica A. Se representa por A, por A' o por A c . La unión de dos sucesos contrarios es el suceso seguro: A A E. La intersección de dos sucesos contrarios es el suceso imposible: Página 9 A B = . El contrario del suceso seguro es el suceso imposible: E . El contrario del suceso imposible es el suceso seguro: E. Ejemplos.- En el experimento aleatorio del lanzamiento de un dado cúbico cuyo espacio muestral es E=1, 2, 3, 4, 5, 6, consideramos los sucesos: A=salir impar=1, 3, 5, B=salir mayor que 2=3, 4, 5, 6. El suceso unión es: AB=salir impar o mayor que 2=1, 3, 4, 5, 6. El suceso intersección es: AB=salir impar y mayor que 2=3, 5. Los sucesos A y B son compatibles. El suceso contrario de A es A salir par 2, 4,6. El suceso contrario de B es B salir menoro igual que 2 1, 2. 1) Realizamos el experimento aleatorio de lanzar un dado cúbico y anotar el resultado. Para cada una de las parejas siguientes de sucesos, halla su unión y su intersección y estudia si son compatibles o incompatibles: a) A=salir par y B=salir número primo. b) E=salir impar y F=salir múltiplo de 3 c) M=salir menor que 7 y N=salir número primo 2) Consideramos el experimento aleatorio que consiste en sacar una carta de una baraja española y anotar el resultado. Sean los sucesos: A=salir copas, B=salir caballo, C=salir as o rey de copas. Expresa en lenguaje cotidiano el significado de los siguientes sucesos: a) AB, AC, BC b) AB, AC, BC c) A, B, C . 3) Tenemos una bolsa con nueve bolas numeradas del 1 al 9. Realizamos el experimento que consiste en sacar una bola de la bolsa, anotar el número y devolverla a la bolsa. Consideramos los siguientes sucesos: A=salir número primo y B=salir un número cuadrado. a) Calcula los sucesos AB y AB. b) Los sucesos A y B, ¿son compatibles o incompatibles?. c) Halla los sucesos contrarios de A y B. 4) Lanzamos tres monedas del mismo tipo y observamos los resultados obtenidos. Halla el espacio muestral. Construye los sucesos A=salir una cara y B=salir alguna cara. Halla AB y AB. Halla los sucesos contrarios de A y B. 2. PROBABILIDAD SIMPLE. LEY DE LAPLACE. PROBABILIDAD GEOMÉTRICA. ESTABILIDAD DE LAS FRECUENCIAS Seguramente ya sabes que si lanzas una moneda muchas veces (cuantas más mejor), la frecuencia (relativa) que esperas para la aparición de “cara” (éxito) es 1 / 2. Efectúa 10 lanzamientos de una moneda, anotando la frecuencia relativa de éxito. Recoge la información obtenida en tu clase y dibuja la gráfica que dé la frecuencia relativa de éxito según el número de pruebas: Página 10 frecuencias relativas de éxito O número de pruebas Comprueba que, en cada caso, la frecuencia relativa obtenida se acerca cada vez más a la esperada. Al efectuar un gran número de pruebas de un experimento aleatorio, se observa que las frecuencias relativas de un suceso A se acercan cada vez más y más a un cierto número, estabilizándose en torno a él. Este número se llama probabilidad del suceso A y se representa por p(A). Esta propiedad se conoce como ley de los grandes números. CHINCHETAS Se lanza una chincheta al aire. Puede caer con la punta hacia arriba o tocando el suelo. ¿A cuál de las dos posibilidades apostarías?. Para fundamentar un poco tus opiniones, efectúa 30 lanzamientos de una chincheta y anota los resultados. La información obtenida en tu clase puedes recogerla en una tabla como la siguiente: RESULTADOS RECUENTO FRECUENCIAS ¿Qué conclusiones obtienes?. ¿Qué probabilidad asignarías a cada uno de los resultados?. Hay ocasiones en que la experiencia que se va a realizar tiene unas condiciones de simetría tales que es posible conocer, antes de efectuar ninguna prueba, cuál será la probabilidad de un suceso. Posteriormente, la experimentación dará unos resultados que confirmarán la conjetura previamente formulada. La probabilidad asignada al suceso antes de experimentar se llama probabilidad a priori. Pero hay otras ocasiones en las que no tenemos ninguna referencia a priori. Entonces sólo la experimentación dará unos resultados que serán tanto más fiables, cuanto mayor sea el número de pruebas realizadas. En este caso, la probabilidad asignada al suceso coincide con su frecuencia relativa (para un elevado número de pruebas) y se llama probabilidad a posteriori. LEY DE LAPLACE En algunos experimentos aleatorios, podemos suponer que, por las condiciones de simetría, todos los sucesos elementales son equiprobables. En estos casos, la probabilidad de cada suceso elemental es: 1 p(suceso elemental)= nº de sucesos elementales de E Si los sucesos elementales son equiprobables, entonces la probabilidad de cualquier suceso A es: nº de sucesos elementales de A nº de casos favorables al suceso A nº total de sucesos elementales nº de casos posibles Esta fórmula se conoce como ley de probabilidad de Laplace. p(A)= Página 11 1) En el experimento aleatorio de lanzar cuatro monedas diferentes, calcula la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos: A=obtener dos caras, B=obtener al menos una cruz, C=obtener tres caras. 2) De una urna que contiene 8 bolas rojas, 5 amarillas y 7 verdes se extrae una al azar. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Sacar una bola roja; b) Sacar una bola verde; c) Sacar una bola roja o verde; d) Sacar una bola no roja. 3) Calcula la probabilidad de tener cuatro hijas en las familias formadas por cuatro hijos. TRES MONEDAS Lanzamos al aire tres monedas y observamos los resultados obtenidos. Consideramos los siguientes sucesos: A=salir una cara, B=salir alguna cara y C=no salir cara. Calcula pA, pB, pC, pA B, pA C, pA C, pA C, pB C, pB C . Extrae conclusiones. Si dos sucesos A y B son incompatibles, entonces p A B p A pB . Si dos sucesos A y B son compatibles, entonces p A B p A pB p A B SUCESOS CONTRARIOS Aplicando la regla de Laplace, puedes comprobar que: La probabilidad del suceso seguro es igual a 1: p(E)=1 La probabilidad del suceso imposible es igual a 0: p()=0 Si A y A son sucesos contrarios, entonces se cumple que p A A p A p A pE 1 Por lo tanto se cumple que: “la suma de las probabilidades de dos sucesos contrarios es igual a la unidad”. p A p A 1 p A 1 p A Luego: “la probabilidad de un suceso es igual a uno menos la probabilidad del suceso contrario”, fórmula que es muy útil en el cálculo de probabilidades. 1) Halla la probabilidad de no sacar ningún oro al extraer una carta de la baraja. 2) Halla la probabilidad de obtener al menos una cara en el lanzamiento de cinco monedas. 3) ¿Cuál es la probabilidad de no sacar un cuatro cuando lanzamos un dado cúbico?. 4) Lanzamos tres dados. Calcula la probabilidad de obtener por lo menos un cuatro. URNAS 1) De la urna de la figura se extraen sucesivamente dos letras al azar. ¿Es muy fácil obtener dos A seguidas?. 2) Construye todas las palabras posibles usando tres letras elegidas entre las letras A, B y C. 3) De la urna de la figura, se extraen sucesivamente tres letras al azar para formar una palabra. ¿Qué palabras se pueden formar?. Página 12 MONEDAS a) Un jugador, A, apuesta por la obtención de “al menos una cara en dos lanzamientos de una moneda” contra otro B, que apuesta por lo contrario. ¿En qué proporción han de efectuarse las apuestas para que el juego sea justo?. b) Se lanzan dos monedas. Se admiten tres tipos de apuestas: En ambas aparece cara. En ambas aparece cruz. Son distintos los resultados de ambas. ¿Tu apuesta?. DIANA Lanzamos dardos al azar sobre la diana de la figura adjunta. Utilizando la tabla de números aleatorios, simula 50 lanzamientos. ¿Cuántos dardos esperas que caigan en cada una de las tres zonas indicadas?. MÁS DIANAS Imagina que lanzamos un dardo sobre cada una de las dianas de la siguiente figura. ¿Cuál es la probabilidad de que el dardo quede en la zona coloreada de cada diana?. OTRA DIANA Lanzamos un dardo sobre esta diana. ¿Cuál es la probabilidad de acertar en la zona coloreada?. Página 13 3. PASEOS ALEATORIOS Y TIEMPOS DE ESPERA SALE SEIS Se tira un dado hasta que sale un seis. ¿Cuántas tiradas se necesitan, por término medio, para que vuelva a salir otro seis?. a) Efectúa lanzamientos reales de un dado cúbico (o simúlalos con una tabla de números aleatorios o una calculadora), anotando en cada caso el número de tiradas necesarias para que salga 6. Repite la experiencia 20 veces. b) Recoge la información obtenida en tu clase mediante una tabla de recuento. Dibuja el histograma correspondiente. Calcula la media, moda y desviación típica. ¿Es representativa la media?. ¿Qué conclusiones puedes extraer?. Partiendo del estado inicial I, si sale un 6 la experiencia finaliza, es un estado final, y 1 6 es la probabilidad de transición; si sale un resultado distinto de 6, probabilidad de transición 5 6 , hay que continuar lanzando y pueden ocurrir dos cosas: Obtener un 6, se llega al estado final. La probabilidad de transición de que esto ocurra es 1 6 . No obtener un 6, probabilidad de transición 5 6 , con lo que se vuelve a la misma situación y se debe continuar lanzando el dado. En este estado aparece un bucle, ya que puede repetirse una y otra vez. Si colocas una ficha en el estado I, no puedes decidir a qué estado (seis, no seis) pasa sin lanzar una vez el dado. Pero si colocas 6 fichas en I, es decir, empiezas el recorrido con 6 fichas, tras seis tiradas del dado por término medio, una de ellas pasará el estado seis y las 5 restantes al estado no seis. La ficha que ha alcanzado el estado seis ya no se mueve, pero para poder mover las 5 fichas del estado no seis necesitamos que entre una ficha más. La única forma de conseguir esto es volviendo a introducir en el estado inicial I otras 6 fichas y repitiendo el recorrido según las probabilidades de transición. Continua el proceso y recoge los resultados en una tabla como la siguiente: Nº FICHAS EN ESTADO INICIAL 6 Nº DE TIRADAS 6 ESTADO INTERMEDIO (NO SEIS) 5 ESTADO FINAL (SEIS) 1 a) ¿Cuántas tiradas han sido necesarias, por término medio, para que las seis fichas iniciales pasen al estado final?. b) ¿Cuántas tiradas serán necesarias, por término medio, para que una ficha pase al estado final?. c) ¿Cuántos lanzamientos del dado serán necesarios, por término medio, para que salga un seis?. Página 14 DADOS POLIÉDRICOS a) ¿Cuántas veces hay que lanzar, por término medio, un dado tetraédrico para obtener un 4 ?. b) ¿Cuántas veces hay que lanzar, por término medio, un dado octaédrico para obtener un 8 ?. EL RATÓN Y EL QUESO Observa el laberinto que representa el siguiente grafo. Tiene una entrada y dos salidas: una guardada por un gato y otra en la que hay un trozo de queso. Un ratón está en la entrada y avanza por el laberinto. En cada cruce elige al azar uno de los dos caminos posibles. Si llega al queso, sale del laberinto relamiéndose, pero si tropieza con el gato, está irremisiblemente perdido, el gato será el que se relama y se atuse los bigotes. ¿Cuál es la probabilidad de que salga del laberinto con vida y bien alimentado?. ¿Y de que se lo coma el gato?. Buscando su destino, el ratón puede ir por muchos caminos distintos: ¿requieren todos el mismo tiempo para recorrerlos?. ¿Cuánto tiempo le costará al ratón acabar, bien o mal, su paseo por el laberinto, si tarda un minuto en recorrer la distancia que separa dos nudos consecutivos?. PASEO DE LA HORMIGA Una hormiga realiza un paseo aleatorio sobre las aristas de un tetraedro (en cada vértice elige al azar una de las aristas concurrentes). Si empieza el paseo en el vértice O, ¿cuánto tardará por término medio en volver al punto de partida?. Página 15 PASEOS ALEATORIOS Con varios dados como el de la figura, con números enteros en sus caras, puedes simular paseos aleatorios. a) Disponemos de una recta graduada y colocamos una ficha en el origen. Dependiendo de los resultados del lanzamiento del dado, desplazamos la ficha un cierto número de lugares, en un sentido u otro. Si sale resultado positivo, hacia la derecha; si negativo, a la izquierda. ¿Hay muchas posibilidades de llegar al punto 3 por este procedimiento?. ¿Y de llegar al 3 ?. ¿Cuántos lanzamientos habrá que efectuar, por término medio, para volver al origen?. 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 -1 -2 -3 b) Tomando como origen el punto O, en el cual colocamos la ficha de salida, podemos combinar dos escalas, una vertical y otra horizontal, análogas a las anteriores. Ahora lanzamos dos dados (uno para abcisas y otro para ordenadas), o bien un mismo dado dos veces consecutivas, y desplazamos la ficha según los resultados obtenidos. ¿Cuál será la distancia media de la ficha al origen después de 6 tiradas?. ¿Es fácil o difícil que vuelva la ficha al origen?. QUINIELAS ¿Cuántas veces hay que lanzar, por término medio, un dado de hacer quinielas para obtener una X ?. Recuerda que un dado de este tipo tiene tres caras marcadas con 1, dos caras con X y una cara con 2. Página 16 GAS Supón que en un recipiente A hay un gas, bastante raro, con sólo tres moléculas. Estas moléculas pueden pasar al recipiente B a través de un agujero. Simularemos este movimiento del siguiente modo: Cada segundo se sortea al azar uno de los números 1, 2, 3. La bola cuyo número ha salido en el sorteo cambia de recipiente. Describe los estados posibles del sistema (bolas – gas), si sólo nos interesa el número de bolas que hay en los recipientes. ¿Qué estados crees que van a aparecer con más frecuencia a lo largo del tiempo?. Efectúa al menos 60 simulaciones y concluye: ¿Qué estado es más frecuente?. ¿Qué tiempo hay que esperar para que, saliendo de dicho estado, retorne a él ?. ESCARABAJO Un escarabajo parte del centro O del cuadrado de la siguiente figura. Invierte 1 segundo en recorrer cualquiera de los doce pequeños segmentos. Se para cuando vuelve al punto O. ¿Cuánto tardará, por término medio, en volver a O?. O HORMIGA Una hormiga se pasea por las aristas de un cubo de alambre como el de la figura, partiendo del punto O. En cada vértice elige al azar uno de los tres caminos que parten de él. Al llegar al punto P un pájaro, que la estaba esperando con ansia, se la come. ¿Cuánto tiempo estará la hormiga paseándose por el cubo, por término medio, si le cuesta un minuto recorrer cada arista?. 4. MUESTRAS, SIMULACIÓN Y MODELOS ¿CUÁNTOS PECES HAY EN EL ESTANQUE? En un estanque hay peces de una sola especie. Queremos saber cuántos hay, pero, como el agua está muy turbia, no podemos contarlos a simple vista. Decidimos sacar unos cuantos, marcarlos para distinguirlos de los otros, devolverlos al agua, sacar una segunda muestra en la que esperamos que haya peces marcados y sin marcar. a) Con esta información, ¿podrías dar dos valores (máximo y mínimo) entre los cuales esté comprendido el número de peces del estanque?. b) Supongamos que hemos marcado 10 peces, los hemos devuelto al agua y, en una segunda muestra hemos extraído 20 peces de los que hay 2 marcados. ¿Cuántos peces crees que habrá – aproximadamente – en el estanque?. Página 17 LAS JUDÍAS Para contar el número de judías que hay en una bolsa procedemos así: 1) Sacamos un puñado de ellas, las señalamos, las contamos (187, por ejemplo) y las devolvemos a la bolsa. 2) Revolvemos largamente para que se mezclen y volvemos a extraer un buen montón, 411, de las cuales hay 44 señaladas. ¿Cuántas judías hay en la bolsa?. Población es el conjunto de individuos, cuyas características se pretenden estudiar. Muestra es un subconjunto de la población. En Estadística se necesita obtener una muestra de n elementos de una población de N individuos con el propósito de extraer conclusiones sobre la población a través de la muestra. Si la población es muy numerosa no tiene sentido obtener información de todos sus individuos, por razones de tiempo y dinero. Para recoger información acerca de la población se selecciona una muestra, es decir un subconjunto de la población y se efectúa con sus individuos una encuesta. Algunas preguntas de interés : ¿Cómo seleccionar la muestra para que sea representativa de la población y no esté sesgada ?. ¿Cuál es el tamaño idóneo de la muestra ?. Si la muestra es demasiado pequeña puede que la información obtenida no sea representativa de la población. Al aumentar el tamaño de la muestra se obtiene una mejor información, pero el tamaño no puede ser excesivo, por razones económicas. ¿Es fiable la información obtenida en la muestra ?. ¿Hasta qué punto es representativa de la población la información contenida en la muestra ?. Estas cuestiones sobre tamaño y nivel de confianza de una muestra se estudian en INFERENCIA ESTADÍSTICA. ¿Cómo se selecciona una muestra ? Para que la muestra sea representativa, debe ser una imagen miniaturizada de la población. Los caracteres interesantes en la muestra deben aparecer en la muestra con la misma proporción que en la población. Para que esto ocurra y la información no presente sesgos, seleccionamos los individuos que componen la muestra al azar, mediante un sorteo. La muestra obtenida por este procedimiento se conoce con el nombre de muestra aleatoria. En el caso de muestra aleatoria, todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad n / N de formar parte de ella. NÚMEROS ALEATORIOS Al aumentar el tamaño de una muestra, obtenemos una información mayor y más precisa sobre la población de procedencia. Pero no siempre es posible obtener una muestra de gran tamaño, por razones económicas y de tiempo. En estos casos se recurre a la simulación. Página 18 Con un dispositivo electrónico parecido a una ruleta decimal se generaron hasta un millón de dígitos que aparecieron en 1955 en un libro titulado “Un millón de dígitos al azar”. Una tabla de números aleatorios es una colección de dígitos que se han obtenido por este procedimiento (o por otros equivalentes, como por ejemplo, por medio de urnas y bolas, dados decimales, etc). Los dígitos están organizados en grupos de cinco cifras. Para usar la tabla, elegimos un dígito de partida y leemos los números a partir de él. La lectura puede hacerse en cualquier orden: verticalmente, horizontalmente, en diagonal. Con la tabla de números aleatorios podemos simular cualquier sorteo. Por ejemplo, el lanzamiento de una moneda es equivalente a leer los dígitos de la tabla: si sale cifra par, convenimos que ha salido cara; si sale impar, cruz. Así, si leemos la tabla desde el principio, en dirección horizontal, obtenemos: 5 9 3 9 1 5 8 0 3 0 ... que equivale a X X X X X X C C X C ... siendo C=cara y X=cruz. Estos resultados cambian si leemos la tabla de otra forma. Otro ejemplo: para sortear 5 premios entre 50 personas, asignamos un número a cada una de las 50 personas y, a continuación, tomamos tiras de dos cifras de la tabla (hasta obtener en total cinco tiras válidas), admitiendo como válidos los números 01, 02, 03, 04, ..., 50 y rechazando los números que pasan de 50. Así, si leemos la tabla desde el principio, en dirección vertical, obtenemos: 59 18 19 51 91 91 91 74 27 86 57 27 18 Las personas afortunadas son las que tienen por números de orden 18, 19 y 27. Las que tienen números de orden 18 y 27 reciben dos premios cada una. Lógicamente el sorteo podría haber tenido otro resultado si hubiésemos leído la tabla de una manera diferente. a) Simula con la tabla de números aleatorios 12 lanzamientos de un dado cúbico. b) Simula con la tabla de números aleatorios 15 lanzamientos de un dado para hacer quinielas (dado cúbico que tiene tres caras marcadas con 1, dos caras marcadas con X y una cara marcada con 2). c) Simula un sorteo de 10 premios entre 150 personas. d) Simula 10 repeticiones del experimento consistente en lanzar simultáneamente tres dados cúbicos y construye la correspondiente tabla de frecuencias, anotando el número de “seises” obtenido en cada lanzamiento. GENERA NÚMEROS ALEATORIOS a) Utilizando un dado decimal (tiene diez caras iguales) construye una tabla de números aleatorios de 100 dígitos, efectuando para ello 100 lanzamientos del dado y anotando los resultados. Cuenta el número de veces que aparece cada dígito y construye la tabla de frecuencias correspondiente. b) Si unes tus resultados a los de tus compañeros tendrás una tabla con 3000 números aleatorios. Cuenta el número de veces que aparece cada dígito en esta macro-tabla y construye la tabla de frecuencias correspondiente. Página 19 USA LA CALCULADORA Las calculadoras y los ordenadores permiten obtener de forma rápida y sencilla series de números aleatorios. La mayoría de calculadoras científicas disponen de la función RAN#, que se suele activar con la combinación de teclas SHIFT . Cada vez que se activa esta función aparece en pantalla un número aleatorio entre 0 y 1 con un número predeterminado de cifras decimales (generalmente tres decimales). Ignorando el cero inicial y la coma decimal, consideramos los dígitos restantes como una secuencia de números aleatorios que podemos usar de la misma forma que la tabla de números aleatorios. Cada vez que necesitemos más dígitos volveremos a activar la función RAN#, hasta obtener la cantidad deseada de cifras. Si necesitamos trabajar con números de una cifra, leemos los dígitos de uno en uno, si necesitamos números aleatorios de dos cifras, los leemos de dos en dos, etc. a) ¿Cómo simular con la calculadora un juego con tres resultados posibles, 0, 1 y 2, que tienen como probabilidades respectivas 0’2, 0’5 y 0’3?. Simula en total 20 partidas. b) Utiliza una calculadora para simular 20 lanzamientos de dos monedas y construye la tabla de frecuencias correspondiente. Extrae conclusiones de la tabla. DADOS ¿Cómo podrías construir una tabla de números aleatorios con un dado icosaédrico?. ¿Y con un dado cúbico?. Justifica las respuestas. UNA RULETA Una ruleta está dividida en 10 sectores iguales. Dividimos la ruleta en tres trozos: el A, que incluye los sectores 1, 2 y 3; el B, que incluye los sectores del 4 al 8; y el C que incluye los sectores 9 y 0. Simula con la calculadora 50 tiradas de esta ruleta y construye la correspondiente tabla de frecuencias. Comenta los resultados. DOBLE SEIS Se sabe que es ventajoso apostar por la aparición de “al menos un seis en cuatro lanzamientos sucesivos de un dado cúbico”. ¿A cuántos lanzamientos es ventajoso apostar por la obtención de un doble seis con dos dados?. SONDEO ELECTORAL Se ha realizado una encuesta para conocer las intenciones de voto de los españoles por un determinado partido político A. En la ficha técnica del sondeo, leemos que el límite máximo de error es 2’8 %, es decir, 2’8 puntos de porcentaje, con una probabilidad del 95 %. En dicha encuesta se estima que el partido A obtendrá un porcentaje de votos del 33 %. ¿Entre qué valores mínimo y máximo puede fluctuar el porcentaje de votos del partido A, con una probabilidad del 95 % ?. Página 20 Si a es el porcentaje mínimo y b el máximo, se cumple que a 33 2'8 , b 33 2'8 . El intervalo (a, b) se llama intervalo de confianza con un nivel de confianza del 95%. Se cumple que la probabilidad de que el porcentaje p de votos del partido A esté entre a y b es del 95%, o sea: pa p b 0'95 . ESTATURA MEDIA a) Para estimar la estatura media de los 934 estudiantes de un instituto, extraemos una muestra de 53 de ellos. La media de la muestra es 172’6 cm. Expresa este resultado sabiendo que en la ficha técnica se dice que el error máximo es de 1’8 cm, con una probabilidad de 0’90. b) Si con el mismo estudio anterior admitimos que se cometa un error de 2’6 cm, el nivel de confianza, ¿será superior o inferior a 0’90?. c) ¿Cómo podríamos aumentar el nivel de confianza manteniendo la cota de error en 1’8 cm ?. DECRECIMIENTO Un juego para dos jugadores. Material: Cincuenta dados de parchís, una tabla de resultados y apuestas para cada jugador. Reglas del juego: Se lanzan los cincuenta dados y se retiran los que muestren la cara “seis”. Se lanzan de nuevo los que quedan y se retiran de nuevo los que caigan mostrando “seis”. Se repite el proceso hasta que no quede ninguno, contando el número de veces que hay que repetir la experiencia. Antes de empezar a jugar, cada jugador hace una apuesta sobre el número de lanzamientos necesarios. Una vez realizados los lanzamientos, cada jugador anota en su tabla la diferencia entre su apuesta y el número obtenido. Se juega 10 veces. El ganador es quien, al final de la partida, obtenga una suma menor de sus diferencias. PARTIDA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 APUESTA Nº LANZAMIENTOS DIFERENCIA TOTAL........................ a) Recoge la información obtenida en tu clase en una tabla de frecuencias. ¿Cuál es el número de lanzamientos necesario para eliminar todos los dados?. ¿Qué valor es más representativo, la moda o la media?. b) Dibuja la gráfica de la relación funcional nº de tiradas realizadas nº de dados sin retirar. Estudia las características de esta gráfica. La situación anterior es un modelo de la desintegración radiactiva, proceso por el que ciertas sustancias pierden masa a lo largo del tiempo, hasta desintegrarse. Este proceso es exponencial, es decir se ajusta, aproximadamente, a un modelo del tipo y a 2'7 bx , donde y es el número de partículas supervivientes y x el tiempo transcurrido. En un proceso de desintegración se llama vida media al tiempo necesario para que la cantidad de sustancia radiactiva se reduzca a la mitad. Página 21 c) ¿Cuál crees que es la vida media de la población inicial de dados?. Primero formula una conjetura y después trata de ajustar un modelo exponencial a los datos que has obtenido en los lanzamientos. d) Haz un estudio parecido al anterior, suponiendo que se lanzan dados tetraédricos y no cúbicos, de forma que, en cada tirada, se eliminan todos aquellos que muestren un 4. e) Repite el mismo estudio suponiendo que se lanzan dados octaédricos, de formar que, en cada tirada, se eliminan todos aquellos que muestren un 8. f) Investiga qué ocurre si en lugar de dados se lanzan monedas, eliminando cada vez todas aquellas que muestren “cara”. Extrae conclusiones. INDIFERENCIA Dos jugadores, A y B, se disponen a jugar sobre un tablero 4 4 del modo siguiente: Ambos disponen de 16 fichas, de diferente color para cada jugador. Cada jugador coloca 8 fichas sobre su medio tablero y guarda las otras 8 en reserva. Así pues, al principio del juego, la mitad del tablero se cubre con fichas de un color (negras, por ejemplo) y la otra mitad con fichas de otro color (blancas, por ejemplo). Se lanza ahora una moneda. Si sale “cara”, una ficha blanca puede ser reemplazada por una negra de la reserva. Si el resultado es “cruz”, una ficha negra puede ser sustituida por una blanca de la reserva. Gana el que logra llenar todo el tablero con sus fichas. Estudia este juego: ¿Cuáles son las situaciones más frecuentes?. ¿Hay una estrategia ganadora?. Estudia las tasas de nacimiento y muerte de las fichas. EQUILIBRIO Para este juego es necesario un tablero con coordenadas horizontales y verticales, un par de dados para seleccionar un cuadrado del tablero y fichas de dos colores, en número suficiente para llenar el tablero con cualquier color. 4 3 2 1 1 2 3 4 Dos jugadores por turno colocan al azar sus fichas en el tablero hasta que todos los cuadrados están llenos. Se lanzan los dos dados. La ficha seleccionada por los dados es sustituida por otra ficha de las reservas del color oponente. En cada lanzamiento el ganador (que tiene más fichas sobre el tablero) recibe un punto por cada ficha en exceso sobre la mitad de los cuadrados del tablero. Al final del juego (por ejemplo, después de 30 tiradas) cada jugador suma sus puntos y divide la suma por el número de veces que ha lanzado los dados. Gana el que obtenga mayor puntuación. Estudia este juego: estados posibles, frecuencia de aparición de cada estado con el tiempo, tasas de nacimiento y muerte de las fichas según la variación de la población de fichas. Página 22 CATÁSTROFE Este juego es igual que el anterior, pero difiere en el cambio de fichas. En lugar de reemplazar la ficha seleccionada por los dados por una ficha de color contrario, se dobla la ficha seleccionada a expensas del color contrario. Por ejemplo, si el dado selecciona un cuadro con una ficha blanca, otra blanca de las reservas puede sustituir a cualquier ficha negra del tablero. Haz un estudio parecido al del juego anterior. EVOLUCIÓN Se dispone de fichas de cuatro colores en número suficiente para llenar el tablero con cualquier color. Al comienzo del juego se colocan al azar, y en igual número los cuatro tipos de fichas en el tablero. Se lanzan un par de dados, aplicándose la siguiente regla: 1) La ficha elegida por los dados es eliminada del tablero y colocada en la reserva. Se vuelven a lanzar los dos dados, para elegir un cuadro no vacío. 2) La ficha elegida por el dado es doblada, es decir, se toma de la reserva una ficha del mismo color y se coloca en el cuadro vaciado por el lanzamiento previo de los dados. El juego termina cuando un color ha llenado completamente el tablero. Enumera los estados posibles. Estudia las probabilidades de transición entre ellos y la frecuencia de aparición de cada uno. Halla las tasas de nacimiento y muerte con respecto a la variación de la población de fichas. 5. TABLAS DE CONTINGENCIA Y DIAGRAMAS DE ÁRBOL. PROBABILIDAD COMPUESTA AFICIONES a) ¿Cuáles son las aficiones de tus compañeros de centro?. ¿Cómo podrías saberlo?. ¿Es necesario preguntar a todos ellos? Para recoger información de una población no es necesario obtener todos los datos, sino solamente los correspondientes a una parte de la población, a una muestra. Posteriormente, usaremos los datos de la muestra para inferir conclusiones sobre el comportamiento de la población. Surgen entonces algunas preguntas de interés: ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra para que sea representativa de la población?. ¿Cómo debe seleccionarse la muestra para que la información no esté sesgada?. ¿Hasta qué punto es fiable la información obtenida de la muestra?. ¿Es válido predecir el comportamiento de la población basándose en los datos de la muestra?. Página 23 b) Vamos a diseñar una encuesta para conocer las aficiones preferidas en tu centro. Piensa en cómo se puede diseñar la encuesta: Qué preguntas hacer. Cómo formular las preguntas para que no condicionen la respuesta. A cuántas personas hay que preguntar. A qué personas hay que preguntar. Cómo debe seleccionarse la muestra. c) Con el modelo de encuesta diseñado, recoge información de tu centro sobre aficiones de tiempo libre. Construye tablas de frecuencias como las siguientes: AFICIONES Cine Teatro TV Música Fútbol Baloncesto Atletismo Motociclismo Informática Excursiones TOTAL PRIMERO SEGUNDO TERCERO CUARTO TOTAL d) Representa gráficamente la información obtenida utilizando distintos diagramas: Dibuja, en unos mismos ejes, un diagrama de barras que muestre el número de aficionados a cada actividad para cada uno de los cursos. Dibuja, en unos mismos ejes, un diagrama de barras que muestre el número de aficionados a cada actividad para cuarto curso comparándolo con el total de encuestados. Haz lo mismo para comparar el total con los estudiantes de primero. Comenta las diferencias que observes. Dibuja un diagrama de sectores que muestre la información del total de encuestados. Dibuja un diagrama de sectores que muestre la información de cuarto curso y compáralo con el correspondiente al total de encuestados. e) Analiza la información obtenida: ¿Qué proporción de estudiantes de primero hay en la muestra?. ¿Y de segundo?. ¿Qué proporción de encuestados son aficionados al cine?. ¿Y a la música?. ¿Qué proporción de estudiantes de tercer curso son aficionados al cine?. ¿Y al atletismo?. Si elegimos al azar un estudiante de tu centro, ¿cuál es la probabilidad de que sea aficionado a la Informática?. ¿Y al teatro?. Elegimos al azar un estudiante de segundo curso. ¿Qué probabilidad hay de que sea aficionado al fútbol?. ¿Y de que sea aficionado al baloncesto?. Elegimos al azar un estudiante de tu centro y resulta ser aficionado al motociclismo. ¿Hay muchas posibilidades de que sea de primero?. ¿Y de que sea de cuarto?. Página 24 Elegimos al azar un estudiante de tu centro. Designamos: A = el estudiante elegido es de segundo curso. B = el estudiante elegido es aficionado al cine. Entonces el suceso que consiste en que el estudiante elegido es aficionado al cine sabiendo que es de segundo curso, se representa por B/A y se llama suceso B condicionado por A. La probabilidad de este suceso, es decir, la probabilidad de que el estudiante elegido sea aficionado al cine sabiendo que es de segundo curso, se representa por p(B/A) y se llama probabilidad condicionada. TABLA DE CONTINGENCIA Se han observado 50 enfermos de la piel tratados con un nuevo antibiótico y otros 70 enfermos no tratados. Anotadas las curaciones al cabo de dos semanas, los resultados han sido los siguientes: TRATADOS 40 10 CURADOS NO CURADOS NO TRATADOS 20 50 a) ¿Qué probabilidad hay de que un enfermo curado haya sido tratado?. b) ¿Qué probabilidad hay de que un enfermo curado no haya sido tratado?. Una tabla como la siguiente recibe el nombre de tabla de contingencias, ya que en ella figuran todas las probabilidades o contingencias de los sucesos A y B, A y no B, no A y B, no A y no B. A no A pA y B B pno A y B no B pA y no B pno A y no B TOTAL p(A) p(no A) TOTAL p(B) p(no B) 1 Teniendo en cuenta que el suceso no A es el suceso contrario de A (que se indica por A ), podemos expresar la tabla de contingencias de esta otra forma: A B B TOTAL A p AB pA B pA B pA B p(A) p( A ) TOTAL p(B) p( B ) 1 Las tablas de contingencias, junto con los diagramas de árbol, son herramientas muy útiles para el cálculo de probabilidades y la estadística. URNAS Disponemos de dos urnas M y N. La primera contiene 7 bolas negras y 3 blancas, y la segunda 5 negras y 3 blancas. Se saca una bola al azar de una de las dos urnas, elegida también al azar, y resulta ser blanca. ¿Qué probabilidad hay de que proceda de la urna M?. Página 25 LAS TRES FICHAS Disponemos de tres fichas: La primera tiene sus dos caras de color verde. La segunda tiene sus dos caras de color amarillo. La tercera tiene una cara de cada color. El jugador A muestra por una cara una cualquiera de las fichas. Si el jugador B adivina de qué ficha se trata, gana; en caso contrario gana A. ¿Quién crees que tiene ventaja, A ó B?. DADOS NO TRANSITIVOS Construye cuatro dados como los de la figura: 4 0 0 4 4 4 3 3 3 3 3 3 2 2 2 6 6 2 1 5 1 5 5 1 Te proponemos el siguiente juego con ellos: El primer jugador elige un dado. El segundo elige uno de los tres que quedan. Cada uno lanza su dado y gana quien obtenga mayor puntuación. ¿Qué jugador prefieres ser, el primero o el segundo?. UNA URNA a) En una urna hay 3 bolas blancas y 2 verdes. Se extrae una bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezca bola verde?. La bola extraída se vuelve a meter en la urna y se repite la prueba. ¿Cuál es la probabilidad de sacar bola verde otra vez?. ¿Depende este resultado de la primera prueba?. b) En la misma situación del apartado anterior, si después de la primera prueba no se vuelve a meter la bola en la urna, ¿cuál es la probabilidad de sacar bola verde en la segunda extracción?. ¿Depende ahora de lo que haya ocurrido la primera vez?. Página 26 c) En la misma situación de apartados anteriores, sacamos una bola y luego otra. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean verdes?. Distingue dos casos, según que la primera bola extraída se devuelva o no a la urna. Dos sucesos A y B son independientes cuando la probabilidad de uno de ellos no depende de la realización del otro. Dos sucesos A y B son independientes si la probabilidad de que ocurran simultáneamente es igual al producto de sus probabilidades. Es decir: A y B son independientes si se cumple pA B pA pB . En caso contrario, se dice que A y B son dependientes, lo que significa que la probabilidad de uno de ellos depende de la realización del otro. Por ejemplo, si en la actividad anterior llamamos: A=sale bola verde en la primera extracción. B=sale bola verde en la segunda extracción. Se cumple que: Si las extracciones se hacen con devolución, los sucesos A y B son independientes. Si las extracciones se hacen sin devolución, los sucesos A y B son dependientes. ¿SUCESOS INDEPENDIENTES? Di si son dependientes o independientes los sucesos A y B y calcula la probabilidad de que ocurra cada uno de ellos: a) Se lanza una moneda dos veces. A=sale cara la primera vez. B=sale cara la segunda vez. b) Se lanza dos veces un dado. A=sale 3 la primera vez. B=sale número impar la segunda vez. c) Se lanzan un dado azul y otro verde. A=sale 6 en el dado azul. B=sale número par en el dado verde. d) Se extraen, sin reemplazamiento, dos bolas de una urna que tiene 2 bolas verdes y 3 amarillas. A=la primera bola es amarilla. B=la segunda bola es amarilla. Página 27
