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COLEGIO SAN GABRIEL
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
Completar con un ejemplo numérico las propiedades de los números reales
Propiedad clasurativa
1. La adición y multiplicación son operaciones cerradas en el conjunto R. Es decir, si al sumar
o multiplicar dos elementos del conjunto R el resultado es un elemento del mismo conjunto.
Así en la adición: Si a, b R, a + b=c y c R
En la multiplicación si: a, b R, a x b=c y c R.
2. La adición y multiplicación son operaciones conmutativas.
En la adición: a + b=b + a
En la multiplicación: a x b=b x a
3. La adición y multiplicación son operaciones asociativas
Es decir, se pueden asociar en distintas formas sin que se altere el resultado.
En la adición: a+ (b + c)=(a + b) + c
En la multiplicación: a x b=b x a
4.
Los números reales tienen un elemento neutro aditivo único el cero, tal que
a+0=a
5. Los números reales tienen un elemento neutro multiplicativo único el uno, tal
que
a x 1= a
6. En la adición el inverso aditivo del número real a es - a, tal que, a + (-a) = 0
Ejemplos:
7.
En la multiplicación el inverso multiplicativo de a es
𝟏
𝒂
tal que a x
1
𝑎
8. La sustracción o la diferencia a - b de dos números reales se define:
a–b=a+(-b)
=1
9. La división el cociente a y b (con b ≠ 0) de dos números se define por la
igualdad:
1
𝑎 ÷ 𝑏 = 𝑎 ( ) b≠0
𝑏
10. Propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición.
Sean a, b, c R. entonces a (b + c) = a x b + a x c
Como una extensión de la propiedad distributiva:
(a + b) (d + e)=[(a + b) d] + [(a + b) e]=a x d + b x d + a x e + b x e
11. Propiedad de igualdad
Si a, b y c es cualquier número real
a + c = b + c, entonces a = b
a x c = b x c, entonces a = b
12. Producto donde interviene el cero
a x 0 = 0 para todo número real
si a x b = 0 entonces a = 0 o bien b = 0
13. Propiedad de los negativos
 -(-a)=a
 ( - a ) x b = - (a x b ) = a x ( - b )
 (-a)x(-b)=axb
 (-1)xa=-a
14. Notación para recíprocos
1
Si a ≠ 0, entonces 𝑎−1 =
𝑎
15. Propiedad de los cocientes
𝑎
𝑐

= si a x d = b x c
𝑏
𝑑






𝑎×𝑑
𝑏×𝑑
𝑎
−𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
=
=
𝑎
𝑏
−𝑎
𝑏
=−
𝑐
𝑎+𝑐
𝑏
𝑏
+ =
𝑎
𝑏
𝑐
𝑎𝑑+𝑏𝑐
𝑑
𝑏𝑑
+ =
𝑐
𝑎𝑐
𝑑
𝑏𝑑
𝑐
𝑎
𝑑
𝑎𝑑
𝑑
𝑏
𝑐
𝑏𝑐
× =
÷ = × =
16. Ley de la tricotomía
Si a y b son números reales, entonces exactamente una de las expresiones siguientes
es verdadera
a = b; a > b; o bien a < b
17. Leyes de los signos
Si a y b tienen el mismo signo, entonces a x b y
𝑎
𝑏
Si a y b tienen signos opuestos, entonces a x b y
𝑎
𝑏
son positivos
son negativos
18. Definición de valor absoluto
El valor absoluto de un número real a, denotado por |𝑎|, se define
 Si a ≥ 0 entonces |𝑎| = a
 Si a < 0 entonces |𝑎| = - a
19. Notación científica
a = c x 10n, donde 1 ≤ 𝑐 < 10 y n es un entero
20. Notación exponencial
an = a x a x a x a ……. x a
a1 = a
a2 = a x a, etc.
21. Exponente cero y negativo
a0 = 1
a-n =
1
𝑎𝑛
22. Leyes de los exponentes para los números reales
𝑎𝑚 × 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛
(𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚𝑛
(𝑎𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 𝑏 𝑛
𝑎 𝑛 𝑎𝑛
( ) = 𝑛
𝑏
𝑏
𝑎𝑚
= 𝑎𝑚−𝑛
𝑏𝑛
23. Teorema sobre exponentes negativos
𝑎−𝑚 𝑏 𝑛
=
𝑏 −𝑛 𝑎𝑚
𝑎 −𝑛
𝑏 𝑛
( ) =( )
𝑏
𝑎
24. Radicación
Sean n un entero positivo mayor de 1 y a, un número real
𝑛
Si a = 0, entonces √𝑎 = 0
𝑛
Si a > 0, entonces √𝑎 es un número real positivo b tal que bn = a
𝑛
Si a < 0 y n es impar, entonces √𝑎 es un número real negativo b tal que bn = a
𝑛
Si a < 0 y n es par, entonces √𝑎 no es un número real
25. Propiedades de la radicación
𝑛
𝑛
𝑛
( √𝑎) = 𝑎, 𝑠𝑖 √𝑎 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙
𝑛
√𝑎𝑛 = 𝑎, 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0
𝑛
√𝑎𝑛 = 𝑎 𝑠𝑖 𝑎 < 0 𝑦 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
𝑛
√𝑎𝑛 = |𝑎| 𝑠𝑖 𝑎 < 0 𝑦 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟
26. Leyes de los radicales
𝑛
𝑛
𝑛
√𝑎𝑏 = √𝑎 × √𝑏
𝑛
𝑎 √𝑎
√ =𝑛
𝑏
√𝑏
𝑛
𝑚
√ 𝑛√𝑎 =
𝑚𝑛
√𝑎
Reglas para el orden de las operaciones
1. Comience con el paréntesis que está más adentro y trabaje hacia afuera. Recuerde que al
dividir dos expresiones el numerador y el denominador se manejan como si estuvieran entre
paréntesis.
2. Realice potencias y raíces luego las multiplicaciones y divisiones, trabajando de izquierda a
derecha.
3. Realice las sumas y restas, trabajando de izquierda a derecha.