Algunas propiedades peculiares de los

REGLA DE CRAMER
Demostración de la regla de Cramer
Supongamos que tenemos el sistema de n ecuaciones con n incógnitas:
a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1i xi + ... + a1n x n = b1 
a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2i xi + ... + a 2 n x n = b2 

...

ai1 x1 + ai 2 x 2 + ... + aii xi + ... + ain x n = bi 

...

a n1 x1 + a n 2 x 2 + ... + a ni xi + ... + a nn x n = bn 
Si queremos saber si es compatible hallaremos el rango de la matriz del sistema
y el de la ampliada. Para esto podemos usar determinantes:
Determinante dela matriz del sistema (A):
a11 a12 ... a1i ... a1n
 a11 a12 ... a1i ... a1n 


a 21 a 22 ... a 2i ... a 2 n
 a 21 a 22 ... a 2i ... a 2 n 
 ... ...

...
...
... ...
...
...
 → det( A) =
A=
ai1 a i 2 ... aii ... ain
 ai1 ai 2 ... aii ... ain 
 ... ...

...
... 
... ...
...
...

a

a n1 a n 2 ... a ni ... a nn
 n1 a n 2 ... a ni ... a nn 
si este determinante no se anula el rango de la matriz del sistema será n.
Además, si el rango de A es n también lo será el de la matriz ampliada A’ (porque
contiene a A).
Podemos elegir una columna de A y cambiarla por la columna de los términos
independientes de A’. Supongamos que hacemos esto con la columna i-ésima:
a11 a12 ... b1 ... a1n
a 21 a 22 ... b2 ... a 2 n
...
...
...
...
a i1
...
ai 2
...
... bi ...
...
ain
...
a n1
an 2
... bn
... a nn
Sustituimos los valores b por las expresiones que vienen dadas en el sistema.
a11 a12 ... b1 ... a1n
a11 a12 ... a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1i xi + ... + a1n x n
... a1n
... a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2i xi + ... + a 2 n x n
... a 2 n
a 21
a 22
... b2
... a 2 n
...
...
...
...
a i1
...
ai 2
...
... bi ...
...
ain
...
a n1
an 2
... bn
... a nn
=
a 21
a 22
...
...
a i1
...
ai 2
...
...
a n1
an 2
... a n1 x1 + a n 2 x 2 + ... + a ni xi + ... + a nn x n
...
ai1 x1 + ai 2 x 2 + ... + aii xi + ... + ain x n
...
...
...
ain
...
... a nn
y, utilizando la propiedad que permite separar un determinante en sumas queda:
2º Bachillerato – Matemáticas II – David Miguel del Río – I.E.S. Europa (Móstoles)
1
REGLA DE CRAMER
a11
a12
a 21
...
a 22
...
... a11 x1 ... a1n
... a 21 x1 ... a 2 n
...
...
ai1 ai 2 ... ai1 x1 ... ain
... ...
...
...
a n1 a n 2 ... a n1 x1 ... a nn
a11 a12 ... a1n x n ... a1n
+
a12
... a12 x 2
... a1n
a11
a12
... a1i xi
... a1n
a 21
...
a 22
...
... a 22 x 2
...
... a 2 n
...
a 21
...
a 22
...
... a 2i xi
...
... a 2 n
...
a i1
ai 2
... ai 2 x 2
...
a i1
ai 2
...
...
...
a n1
...
an 2
+ ... +
ain
a11
...
...
... a n 2 x 2 ... a nn
a12 ... a11 ... a1n
a 21
a 22
... a 21 ... a 2 n
...
...
= x1
ain
a i1
...
ai 2
...
... ai1
...
...
...
...
... a nn x n
... a nn
a n1
an 2
a 21
a 22
... a 2 n x n
...
a i1
...
ai 2
...
ain x n
...
...
a n1
an 2
+ xi
+
a11
...
... a 2 n
...
...
a11
a 21
a12
a 22
... a1i
... a 2i
... a1n
... a 2 n
...
...
...
...
a i1
...
ai 2
...
...
a n1
an 2
... a ni
aii
...
...
ain
...
... a nn
+ ... + x n
aii xi
ain
... ...
...
...
a n1 a n 2 ... a ni xi ... a nn
a11 a12 ... a12 ... a1n
a 21
a 22
... a 22
...
...
+ x2
ain
a i1
...
ai 2
...
... ai 2
...
...
...
...
...
... a n1 ... a nn
a n1
an 2
... a n 2
... a nn
...
a11
a 21
a12
a 22
... a1n
... a 2 n
... a1n
... a 2 n
...
...
...
...
a i1
...
ai 2
...
...
a n1
an 2
... a nn
ain
...
...
ain
...
= xi
... a nn
... a 2 n
...
...
+ ... +
ain
a11
a 21
a12
a 22
... a1i
... a 2i
... a1n
... a 2 n
...
...
...
...
a i1
...
ai 2
...
...
a n1
an 2
... a ni
aii
...
...
ain
...
... a nn
Todos los determinantes se anulan por tener columnas repetidas excepto aquel que
corresponde a la variable xi
Hemos obtenido:
a11 a12 ... b1 ... a1n
a 21 a 22 ... b2 ... a 2 n
... ...
...
...
xi A =
ai1 ai 2 ... bi ... ain
... ...
...
...
a n1
an 2
... bn
... a nn
Por lo tanto:
xi =
+ ... +
a11
a 21
...
a i1
a12
a 22
...
ai 2
... b1 ... a1n
... b2 ... a 2 n
...
...
... bi ... ain
...
a n1
...
an 2
...
...
... bn ... a nn
A
2º Bachillerato – Matemáticas II – David Miguel del Río – I.E.S. Europa (Móstoles)
2
= xi A