METODO DUAL SIMPLEX TEORIA DE LA DUALIDAD

METODO DUAL SIMPLEX
TEORIA DE LA DUALIDAD
Cada problema de programación lineal tiene un segundo problema asociado con el. Uno se denomina primal y el otro dual.
La solución óptima a un problema proporciona información completa sobre la solución óptima para el otro.
Beneficios
Se utiliza para disminuir esfuerzo de cómputo.
Disminuir el número de variables.
Información adicional sobre las variables en la solución óptima.
Definición del problema primal
Para poder elaborar el problema dual a partir del primal, este se debe presentar en su forma canónica de la siguiente forma:
Forma canónica (tiene una estructura, no es arbitrario).
donde i=1,2,3,4,…………,m (número de restriciones)
j=1,2,3,4,…………,n (número de variables)
El problema dual se puede obtener a partir del problema primal y viceversa de la siguiente manera:
Pasos
1. Cada restricción de un problema corresponde a una variable en el otro.
2. Los elementos del lado derecho de las restricciones en un problema son iguales a los coeficientes respectivos de la función
objetivo en el otro.
3. Un problema busca maximizar y el otro minimizar.
4. El problema de maximización tiene restricciones ( ≤ ) que y el problema de minimización tiene restricciones ( ≥ ) que.
5. Las variables en ambos casos son no negativas.
Problema 1. Considere el problema primal siguiente:
Maximizar Z = 5X1 + 6X2
Sujeto a:
i=1
.
.
.
n
j = 1 ………... n
X1 + 9X2
2X1 + 3X2
5X1 - 2X2
X2
X 1 , X2 ≥ 0
≤
≤
≤
≤
60
45
20
30
(W1)
(W2)
(W3)
(W4)
Elaborar el Dual (el problema se encuentra en su forma canónica)
Minimizar z= 60W1 + 45W2 + 20W3 + 30W4
Sujeto a
W1 + 2W2 + 5W3 + 0W4 ≥ 5
9W1 + 3W2 - 2W3 + W4 ≥ 5
W1 , W2 , W3 , W4 ≥ 0
Nota Cuando el problema primal no está en forma canónica, es necesario hacer ajustes para poder presentarlo así. Los cambios más
frecuentes son:

Si la función objetivo es minimizar, se puede transformar a una función objetivo de maximizar.
Minimizar
Z = C1X1 + C2X2 + C3x3 +.……..+ CnXn
Maximizar (- Z ) = - C1X1 - C2X2 - C3x3 -………- CnXn

Una restricción mayor o igual ( ≥ )se transforma en una restricción menor o igual ( ≤ ).
A11 X1 + A12 X2 +……+ A1n Xn ≥ bi
-A11 X1 - A12 X2 -….…- A1n Xn ≤ - bi

Una restricción de igualdad ( = )se transforma en 2 inecuaciones ( ≥ , ≤ ).
Restricción 1 A11 X1 + A12 X2 +……+ A1n Xn
= bi
Inecuación 1.1 A11 X1 + A12 X2 +……+ A1n Xn
Inecuación 1.2 A11 X1 + A12 X2 +……+ A1n Xn
≥ bi (es una restricción ≥)
≤ bi
Y la inecuación 1.1 debe transformase en
A11 X1 + A12 X2 +……+ A1n Xn ≥ bi
-A11 X1 - A12 X2 -……- A1n Xn ≤ - bi
Al final quedan tres inecuaciones
A11 X1 + A12 X2 +……+ A1n Xn ≥ bi
-A11 X1 - A12 X2 -…… - A1n Xn ≤ - bi
A11 X1 + A12 X2 +……+ A1n Xn ≤ bi
Problema 2 Considere el problema primal siguiente:
Primal
Maximizar Z = -10X1 + 20X2
Sujeto a:
X1 + 2X2 ≤ 4
2X1 - 3X2 ≥ 6
X1 , X2 ≥ 0
Una restricción ( ≥ )se transforma en
una restricción ( ≤ ).
Maximizar Z = -10X1 + 20X2
Sujeto a:
X1 + 2X2 ≤ 4
-2X1 + 3X2 ≤ -6
X1 , X2 ≥ 0
Dual
Minimizar z= 4W1 - 6W2
Sujeto a
W1 - 2W2 ≥ -10
2W1 + 3W2 ≥ 20
W1 , W2 ≥ 0
Problema 3 Considere el problema primal siguiente:
Primal
Max Z=5X1+12X2+4X3
Sujeto a:
X1 + 2X2 +X3 ≤ 5
2X1 - X2 +3X3 = 2
X1 , X2 ,X3 ≥ 0
Una restricción ( ≥ )se
transforma ( ≤ ).
Una restricción de ( = )se
transforma en 2 (≥ , ≤ ).
Max Z=5X1+12X2+4X3
Sujeto a:
X1 + 2X2 +X3 ≤ 5
2X1 - X2 +3X3 ≥ 2
2X1 - X2 +3X3 ≤ 2
X1 , X2 ,X3 ≥ 0
Max Z=5X1+12X2+4X3
Sujeto a:
X1 + 2X2 + X3 ≤ 5
-2X1 + X2 - 3X3 ≤ -2
2X1 - X2 +3X3 ≤ 2
X1 , X2 ,X3 ≥ 0
Dual
Min z= 5W1 - 2W-2 + 2W+2
Sujeto a
W1 - 2W-2 + 2W+2 ≤ 5
2W1 + W-2 - W+2 ≥ 12
W1 - 3W-2 + 3W+2 ≤ 4
W1,W-2,W+2 ≥ 0
Problema 4 Considere el problema primal siguiente:
Primal
Forma Canónica
Min Z = 5000X1 + 7000X2
Sujeto a:
100X1 + 140X2 ≥ 5000
10X1 + 6X2 ≥ 300
4X1 + 8X2 = 240
X1 , X2 ≥ 0
Max (- Z ) = - 5000X1 - 7000X2
Sujeto a:
-100X1 - 140X2 ≤ - 5000
-10X1 - 6X2 ≤ -300
-4X1 - 8X2 ≤ -240
4X1 + 8X2 ≤ 240
X1 , X2 ≥ 0
Dual
Min Z= -5000W1 - 300W2 -2402W-2 + 240W+2
Sujeto a
-100W1 - 10W2 - 4W-2 + 4W+2 ≥ -5000
-140W1 - 6W2 - 8W-2 + 8W+2 ≥ -7000
W1 ,W2 ,W-2 ,W+2 ≥ 0
Problema 5 Considere el problema primal siguiente:
Primal
Maximizar Z = 2000X1 + 500X2
Sujeto a:
2X1 + 3X2 ≥ 36
3X1 + 6X2 ≥ 60
X1 , X2 ≥ 0
Forma Canónica
Minimizar (- Z ) = - 2000X1 - 500X2
Sujeto a:
- 2X1 - 3X2 ≤ - 36
-3X1 - 6X2 ≤ - 60
X1 , X2 ≥ 0
Dual
Minimizar (- Z )= - 36W1 - 60W2
Sujeto a
-2W1 - 3W2 ≥ -2000
-3W1 - 6W2 ≥ -500
W1 , W2 ≥ 0