T - Docentes - Universidad Nacional de Colombia
Anuncio
Índice Índice ........................................................................................................................... 1 Capítulo 1 Elementos de la mecánica de sólidos para problemas lineales elásticos........ 3 1.1. Campos del desplazamiento y la deformación infinitesimal......................... 3 1.2. Campo del esfuerzo .................................................................................... 5 1.3. Ecuación constitutiva de un material lineal elástico isótropo: ley de Hooke. 6 1.3.1. Principio de los trabajos virtuales............................................................ 9 1.4. Planteamiento del problema en el medio continuo......................................10 1.5. Elementos de la mecánica de sólidos para problemas bidimensionales .......10 Capítulo 2 Formulación del problema elástico lineal bidimensional mediante el método de los elementos finitos.....................................................................................................15 2.1. Formulación general del problema elástico lineal.......................................15 2.2. Formulación del problema elástico lineal bidimensional ............................20 2.3. Elemento triangular lineal ..........................................................................25 2.4. Elemento rectangular bilineal.....................................................................32 2.5. Esfuerzos y deformaciones iniciales...........................................................42 2.5.1. Esfuerzos y deformaciones iniciales en un elemento triangular lineal .....44 2.5.2. Esfuerzos y deformaciones iniciales en un elemento rectangular bilineal44 2.6. Algoritmo de cálculo .................................................................................45 2.7. Aproximación de los elementos bidimensionales lineales a flexión pura ....48 2.8. Elementos finitos bidimensionales de orden superior .................................49 Capítulo 3 Problemas de elasticidad bidimensional......................................................51 3.1. Ejemplo de aplicación: ménsula de concreto sometida a una carga distribuida 51 3.2. Ejemplo de aplicación: principio de Saint Venant ......................................54 3.3. Ejemplo de aplicación: estructura de drenaje..............................................57 Capítulo 4 Formulación del problema elástico lineal tridimensional mediante el método de los elementos finitos.....................................................................................................61 4.1. Elemento tetraédrico de cuatro nudos.........................................................61 4.2. Otros elementos finitos tridimensional .......................................................66 Capítulo 5 Formulación de estructuras laminares elásticas lineales mediante el método de los elementos finitos.....................................................................................................69 5.1. Análisis de placas delgadas ........................................................................70 5.1.1. Teoría de placas de Kirchhoff ................................................................70 5.1.2. Formulación en el método de los elementos finitos ................................76 5.1.3. Elemento rectangular de cuatro nudos no conforme: MZC .....................76 Referencias..................................................................................................................85 2 Índice © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 Capítulo 1 Elementos de la mecánica de sólidos para problemas lineales elásticos A continuación se describen los elementos de la mecánica clásica de sólidos en el marco de la mecánica del medio continuo que intervienen en la descripción del problema (Timoshenko & Goodier 1970; Spencer 1990; Mase & Mase 1999). 1.1. Campos del desplazamiento y la deformación infinitesimal Se define el campo vectorial del desplazamiento u(x) = [u v w] como el cambio de posición de un punto material o partícula entre las configuraciones actual y de referencia, T ubicado en la posición x = [x y z ] de la configuración de referencia del sólido, como lo ilustra la Figura 1.1(a). En problemas bajo cargas estáticas monotónicas con material lineal elástico, la configuración de referencia o configuración no deformada establece la posición de cada partícula del sólido en el instante de tiempo inicial t = 0 , es decir en el momento en que aún no se han aplicado las cargas externas. En cambio, la configuración actual o configuración deformada describe la ubicación de cada partícula en el instante de tiempo presente t = t después de aplicadas la cargas externas. Sea L la longitud de un segmento recto PQ trazado entre dos puntos materiales denominado línea material en la configuración de referencia y l la longitud de la misma línea en la configuración actual (Figura 1.1(a)). La deformación longitudinal infinitesimal en esa dirección se define como el alargamiento de una línea material dividida entre su longitud en la configuración de referencia, es decir ε long = (l − L) L . T 4 Capítulo 2. Elasticidad Tridimensional t =0 y Configuración de referencia Q P Configuración actual L u (x P ) Ω 0 P XP Q l Ωt xP x t =t z (a) y y Entorno diferencial Py dy P dz dx Px Py dv P x dw t =0 Px du x Pz t =t (b) Configuración de Configuración z referencia actual Figura 1.1. Configuración de referencia y configuración actual de un cuerpo. Pz z En un entorno diferencial, una la línea material de longitud dx paralela al eje x en la configuración de referencia se alarga una cantidad du como lo indica la Figura 1.1(b), de tal forma que la deformación longitud en dirección x es igual a ε xx = du dx . Siendo u(x,y,z) la componente del desplazamiento en la dirección x función de la posición (x,y,z), la componente de deformación ε xx es igual a: ε xx = ∂u ∂x (1.1) De forma análoga, se obtienen las componentes de deformación longitudinal ε yy y ε zz en las direcciones y y z, de la forma: ε yy = ∂v ∂y , ε zz = ∂w ∂z (1.2) Sean PQ y PR dos líneas materiales perpendiculares entre sí de longitud dx y dy en la configuración de referencia, que cambian a los segmentos ab y ac en la configuración actual, como lo indica la xxx. El ángulo formado entre las líneas materiales, que es igual a π 2 en la configuración de referencia, se reduce a π 2 − γ xy , siendo γ xy la componente de deformación angular en notación ingenieril sobre el plano xy. El ángulo γ xy es igual a la suma de los ángulos α1 y α 2 mostrados en la xxx, los cuales son aproximadamente iguales a tan α1 = du dy y tan α 2 = dv dx respectivamente, bajo la hipótesis de deformación infinitesimal. Dadas las componentes del desplazamiento u(x,y,z) y v(x,y,z) en función de la posición, se concluye que la componente de la deformación angular ingenieril en el plano xy es igual a: © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 5 Análisis estructural mediante el método de los elementos finitos γ xy = ∂u ∂v + ∂y ∂x (1.3) De manera similar, se obtienen las deformaciones angulares ingenieriles γ xz y γ yz en los planos xz y yz respectivamente, de la forma: γ xz = ∂u ∂w ∂v ∂w + , γ yz = + ∂z ∂x ∂z ∂y (1.4) Las seis componentes de deformación anteriormente presentadas definen el estado de deformación infinitesimal de un punto material o campo de deformación ε (x) , el cual se puede expresar como una matriz columna de la forma: [ γ xy γ xz γ yz ]T ε (x) = ε xx ε yy ε zz (1.5) Por lo tanto, el campo de la deformación en notación ingenieril se puede expresar de forma matricial como el operador diferencial ∇ actuando sobre el campo del desplazamiento u(x) , es decir: ε xx ∂ x ε 0 yy ε zz 0 ε ( x) = ∇ u ( x ) → = γ xy ∂ y γ xz ∂ z γ yz 0 0 ∂y 0 ∂x 0 ∂z 0 ∂ xu ∂ v 0 y u ∂ z ∂zw v = 0 ∂ yu + ∂ xv w ∂ x ∂ z u + ∂ x w ∂ y ∂ z v + ∂ y w (1.6) Siendo, ∂ x 0 0 ∇= ∂ y ∂ z 0 1.2. 0 ∂y 0 ∂x 0 ∂z 0 0 ∂z 0 ∂x ∂ y (1.7) Campo del esfuerzo Como se indica en la xxx, el estado de esfuerzos en un punto material está definido por las tres componentes de esfuerzo normal σ xx , σ yy , σ zz en las direcciones x, y y z, respectivamen- © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 6 Capítulo 2. Elasticidad Tridimensional te y por las tres componentes de esfuerzo cortante σ xy , σ xz , σ yz en los planos xy, xz y yz, correspondientemente. Las componentes del estado de esfuerzos de un punto material o campo de los esfuerzos σ (x) se pueden expresar en una matriz columna de la forma: [ σ (x) = σ xx σ yy σ zz σ xy σ xz σ yz 1.3. ] T (1.8) Ecuación constitutiva de un material lineal elástico isótropo: ley de Hooke La ley de Hooke establece una relación lineal entre el esfuerzo normal y la deformación longitudinal en la misma dirección como lo indica la Figura 1.2(a), siendo la constante de proporcionalidad entre el esfuerzo y la deformación E, un parámetro del material denominado módulo de elasticidad o módulo de Young. De igual forma, la ley de Hooke para cortante establece una relación lineal entre el esfuerzo cortante y la deformación angular ingenieril en un plano específico, como lo indica la Figura 1.2(b), cuya constante de proporcionalidad G es otro parámetro del material denominado modulo de elasticidad a cortante y determinado de la forma: G= E 2(1 + ν ) (1.9) El esfuerzo de tracción actuante sobre la probeta produce un alargamiento en la dirección axial acompañado de una contracción transversal o perpendicular a la dirección del esfuerzo. En materiales elásticos lineales isótropos, la deformación lateral asociada a la contracción transversal es proporcional a la deformación axial asociada al alargamiento longitudinal. El cociente entre la deformación en la dirección lateral y la deformación en la dirección axial se conoce como relación de Poisson ν y se define como: ν=− ε lateral ε axial (1.10) τ σN E G 1 εE (a) 1 γ (b) Figura 1.2. Ley de Hooke en el campo unidimensional: (a) relación esfuerzo normal vs. Deformación longitudinal, (b) relación esfuerzo cortante vs. deformación angular. © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 7 Análisis estructural mediante el método de los elementos finitos Sea un paralelepípedo diferencial unitario de lados paralelos a los ejes coordenados xyz sometido exclusivamente a un esfuerzo normal σ xx en la dirección x mostrado en la Figura 1.3(a). La deformación longitudinal en la dirección x es igual a ε xx = σ xx E , mientras que la deformación lateral dada en las direcciones y y z corresponde a ε yy = ε zz = −ν σ xx E . De la misma manera, si el elemento diferencial está sometido a un esfuerzo normal σ yy solamente como lo indica la Figura 1.3(b), la deformación longitudinal en la misma dirección del esfuerzo será ε yy = σ yy E y la deformación lateral en las direcciones x y z es igual a ε xx = ε zz = −ν σ yy E . Si ahora actúa un esfuerzo normal σ zz sobre el elemento diferencial como se ilustra en la Figura 1.3(c), la deformación longitudinal en la misma dirección es igual a ε zz = σ zz E y la deformación lateral en las direcciones x y y corresponde a ε xx = ε yy = −ν σ zz E . x2 σ 22 x1 x3 ε 22 ε 22 ε 22 1 σ 11 ε 33 ε 33 1 ε11 ε11 1 (a) ε11 σ 33 ε 33 (b) (c) Figura 1.3. Deformaciones longitudinales en un elemento diferencial cuando actúa un esfuerzo normal: (a) en dirección x, (b) en dirección y, (c) en dirección z. Considerando que los esfuerzos cortantes solo producen deformaciones angulares, las deformaciones longitudinales obtenidas de la acción de los esfuerzos normales son iguales a: 1 (σ xx −νσ yy − νσ zz ) E 1 ε yy = (− νσ xx + σ yy − νσ zz ) E 1 ε zz = (− νσ xx − νσ yy + σ zz ) E ε xx = (1.11) Despejando las componentes de esfuerzo normal de la expresión anterior se obtiene las siguientes ecuaciones: © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 8 Capítulo 2. Elasticidad Tridimensional E (1 − ν )ε xx + νε yy + νε zz (1 + ν )(1 − 2ν ) E = νε xx + (1 − ν )ε yy + νε zz (1 + ν )(1 − 2ν ) [ ] [ ] E νε xx + νε yy + (1 − ν )ε zz (1 + ν )(1 − 2ν ) ] σ xx = σ yy σ zz = [ (1.12) Por otro lado, la deformación angular ingenieril en el plano xy es proporcional al esfuerzo cortante en dicho plano de la forma γ xy = σ xy G . De igual manera, se obtienen las siguientes relaciones en los planos xz y yz. γ xy = σ xy G , γ xz = σ xz G , γ yz = σ yz (1.13) G Despejando las componentes de esfuerzo cortante y sustituyendo la Ecuación (1.9) se tiene que: σ xy = E γ xy 2(1 + ν ) , σ xz = E γ xz 2(1 + ν ) , σ yz = E γ yz 2(1 + ν ) (1.14) Las seis expresiones dadas en las ecuaciones (1.12) y (1.14) se pueden escribir de forma matricial como: ν ν σ xx (1 − ν ) σ (1 − ν ) ν yy σ zz (1 − ν ) E = σ xy (1 + ν )(1 − 2ν ) σ xz σ yz sim 1 2 0 0 0 0 0 0 (1 − 2ν ) 1 2 0 (1 − 2ν ) ε xx ε 0 yy ε zz 0 0 γ xy γ xz 0 1 γ yz 2 (1 − 2ν ) 0 (1.15) De acuerdo a lo anterior, se define la matriz constitutiva de un material elástico lineal isótropo D como: ν ν (1 −ν ) (1 −ν ) ν (1 −ν ) E D= (1 +ν )(1 − 2ν ) sim 1 2 0 0 0 0 0 0 (1 − 2ν ) 0 1 2 (1 − 2ν ) 0 0 0 0 0 1 2 (1 − 2ν ) (1.16) y por lo tanto, la ecuación constitutiva será de la forma: © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 9 Análisis estructural mediante el método de los elementos finitos (1.17) σ = Dε 1.3.1. Principio de los trabajos virtuales La posición de todas las partículas de un cuerpo material en un instante de tiempo se denomina configuración. Se definen como configuraciones admisibles al conjunto de configuraciones que satisfacen las condiciones de borde cinemáticas de un cuerpo. De todas las configuraciones admisibles, solo una de ellas, denominada configuración verdadera, responde a la condición de equilibrio de un cuerpo sometido a fuerzas reales. Las configuraciones admisibles están restringidas a la vecindad de la configuración verdadera, por lo tanto se obtienen de variaciones infinitesimales o simplemente variaciones de dicha configuración. Las variaciones dadas por las configuraciones admisibles que además cumplen con las condiciones de equilibrio en un cuerpo material se denominan desplazamientos virtuales. Tales desplazamientos corresponden a valores arbitrarios mientras actúan valores fijos de las fuerzas reales en el cuerpo. En cuerpos deformables, el trabajo virtual hecho por las fuerzas reales se puede dividir en dos partes: el trabajo virtual hecho por las fuerzas internas denominado trabajo virtual interno y el trabajo virtual realizado por las fuerzas externas llamado trabajo virtual externo (Oñate 1995). Sea un cuerpo de volumen V y de superficie de contorno ∂V , sujeto a fuerzas de cuerpo por unidad de volumen b, a fuerzas de superficie por unidad de área p y a fuerzas puntuales f (x n ) aplicadas sobre el contorno Γt ⊂ ∂V , como lo indica la xxx. Las condiciones de borde sobre el cuerpo corresponden a valores conocidos del desplazamiento real u = u∗ en los puntos materiales que hacen parte de un contorno definido Γu ⊂ ∂V . T El campo del desplazamiento virtual δu(x) = [δu δv δw] , definido como una variación del desplazamiento, corresponde a una función cualquiera que cumple con la condición de borde de la forma: δu(x) = 0 ∀x ∈ Γu (1.18) El trabajo virtual externo, es aquel realizado por las fuerzas reales externas b, p y f (x n ) mientras se presenta un desplazamiento virtual δu . En cambio, el trabajo virtual interno es el trabajo realizado por el esfuerzo σ mientras ocurren deformaciones generadas por desplazamientos virtuales ∇δu , es decir, es igual a la densidad de energía de deformación (∇δu)T σ integrada en el volumen del sólido. El principio de los trabajos virtuales establece que un cuerpo está en equilibrio si y solo si, el trabajo virtual realizado por todas las acciones internas y externas es nulo, es decir: r T T T T ∫ (∇δu) σ dV = ∫ δu p dS + ∫ δu b dV + ∑ δu(xn ) f (x n ) V Γt V © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 n =1 (1.19) 10 Capítulo 2. Elasticidad Tridimensional donde δu(x n ) y f (x n ) son los vectores de desplazamiento virtual y de fuerza puntual de una partícula ubicada en la posición x n . El parámetro r indica el total de puntos materiales donde se aplica una fuerza puntual. La ecuación anterior es válida para todo campo de desplazamientos virtuales que cumpla con las condiciones de borde cinemáticas dadas en la Ecuación (1.18). Los vectores de fuerzas puntuales f (x n ) , de fuerzas de superficie p y de fuerzas de cuerpo b son de la forma: [ p ] f (x n ) = f x [ p = px 1.4. py T z fy fz [ ] , b = bx T by bz ] T (1.20) Planteamiento del problema en el medio continuo El problema del comportamiento mecánico de un sólido sometido a acciones externas se plantea de la siguiente manera: Obtener el campo de los desplazamientos u(x) para todo punto material en la posición x que pertenece al dominio del sólido V, el cual cumple con las condiciones de borde u(x) = u∗ en todo x contenido en un contorno definido Γu ⊂ ∂V , y que además satisface la relación deformación – desplazamiento expresadas en la Ecuación (1.6), la relación constitutiva del material indicada en la Ecuación (1.15) y las condiciones de equilibrio (esta última planteada mediante el principio de los trabajos virtuales en la Ecuación (1.19)). Después de obtenido el campo de desplazamiento, se pueden calcular los campos de la deformación y del esfuerzo para todo punto material del sólido utilizando las expresiones (1.6) y (1.15). La solución analítica está limitada a problemas sencillos con geometrías regulares, por tal razón el planteamiento anterior requiere de una implementación mediante métodos numéricos como por ejemplo el método de los elementos finitos. 1.5. Elementos de la mecánica de sólidos para problemas bidimensionales En algunos problemas donde el comportamiento mecánico es el mismo en los puntos materiales contenidos en diferentes planos perpendiculares, el dominio se puede simplificar a un espacio bidimensional. Por lo tanto los campos del desplazamiento, la deformación y el esfuerzo no dependen de la componente de la posición normal al plano donde están contenidos, por ejemplo, si problema se simplifica a un plano xy, tales los campos son funciones de la posición (x,y) e independientes de z. Un sólido está en condición plana de esfuerzos en el plano xy, si las componentes de esfuerzo fuera de dicho plano son nulas, es decir: © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 11 Análisis estructural mediante el método de los elementos finitos σ zz = 0 , σ xz = 0 , σ yz = 0 (1.21) y en consecuencia el campo de los esfuerzos se puede expresar mediante una matriz columna de la forma: [ ] T σ ( x, y ) = σ xx σ yy σ xy (1.22) Las componentes de deformación dadas en las ecuaciones (1.11) y (1.13), se reducen a las siguientes: 1 (σ xx − νσ yy ) , ε yy = 1 (− νσ xx + σ yy ) , ε zz = − ν (σ xx + σ yy ) E E E 2(1 + ν ) = σ xy , γ xz = 0 , γ yz = 0 E ε xx = γ xy (1.23) Despejando las componentes de esfuerzo de las expresiones anteriores, se puede obtener la siguiente relación matricial σ = D ε entre las componentes de esfuerzo y de deformación contenidas en el plano xy, para una condición plana de esfuerzos. σ xx E σ yy = 1 − ν 2 σ xy 1 ν ν 1 0 0 ε xx 0 ε yy 1 2 (1 − ν ) γ xy 0 (1.24) donde la matriz constitutiva elástica para un estado plano de esfuerzos D y la matriz columna de las componentes de la deformación ε contenidas en el plano xy son iguales a: E D= 1 −ν 2 1 ν ν 1 0 0 ε xx 0 , ε = ε yy 1 γ xy (1 − ν ) 2 0 (1.25) La componente de deformación longitudinal en dirección z se expresa mediante una ecuación escalar adicional en función de las demás componentes de deformación longitudinal, de la forma: ε zz = − ν 1 −ν (ε xx + ε yy ) (1.26) Un sólido está en condición plana de deformaciones en el plano xy, si las componentes de deformación que no están contenidas en dicho plano son nulas, es decir: ε zz = 0 , γ xz = 0 , γ yz = 0 (1.27) y en consecuencia el campo de las deformaciones se puede expresar mediante una matriz columna de la forma: [ ε ( x, y ) = ε xx ε yy ε xy ]T © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 (1.28) 12 Capítulo 2. Elasticidad Tridimensional Las componentes de esfuerzo definidas en las ecuaciones (1.12) y (1.14), se reducen a las siguientes: E (1 − ν )ε xx + νε yy (1 + ν )(1 − 2ν ) E σ yy = νε xx + (1 −ν )ε yy (1 + ν )(1 − 2ν ) νE ε xx + ε yy σ zz = (1 + ν )(1 − 2ν ) E σ xy = γ xy , σ xz = 0 , σ yz = 0 2(1 + ν ) σ xx = [ ] [ ] [ (1.29) ] A partir de las ecuaciones anteriores se puede expresar una relación matricial σ = D ε entre las componentes de esfuerzo y de deformación contenidas en el plano xy, para una condición plana de deformaciones de la forma: σ xx (1 − ν ) E σ yy = (1 + ν )(1 − 2ν ) ν σ xy 0 ε xx 0 ε yy 1 (1 − 2ν ) γ xy 2 0 ν (1 − ν ) 0 (1.30) donde la matriz constitutiva elástica para un estado plano de deformaciones D y la matriz columna de las componentes de la esfuerzo contenidas en el plano xy son iguales a: (1 − ν ) E D= ν (1 + ν )(1 − 2ν ) 0 σ xx 0 , σ = σ yy 1 σ xy (1 − 2ν ) 2 0 ν (1 − ν ) 0 (1.31) La componente de esfuerzo normal en dirección z se expresa mediante una ecuación escalar adicional en función de las demás componentes de esfuerzo normal, de la forma: σ zz = ν (σ xx + σ yy ) (1.32) En general en problemas bidimensionales, solo se expresan las componentes contenidas en el plano xy del desplazamiento, las fuerzas puntuales, de superficie y de cuerpo, es decir: u( x, y ) = [u v ] [ f ( xn , yn ) = f x fy ] T [ , p ( x, y ) = px T py ] T [ , b( x, y ) = bx by ] T (1.33) A partir de la Ecuación (1.6), la relación entre las componentes contenidas en el plano xy de la deformación y del desplazamiento se expresa de la forma: ε xx ∂ x ε = ∇u → ε yy = 0 γ xy ∂ y ∂ xu 0 u ∂ y = ∂ yv v ∂ x ∂ yu + ∂ x v (1.34) donde el operador diferencial se reduce a: © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 13 Análisis estructural mediante el método de los elementos finitos ∂ x ∇=0 ∂ y 0 ∂y ∂ x © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 (1.35) Capítulo 2 Formulación del problema elástico lineal bidimensional mediante el método de los elementos finitos Este capítulo presenta la formulación mediante el método de los elementos finitos del problema mecánico bidimensional para sólidos sometidos a fuerzas estáticas puntuales o distribuidas, cuyo material es elástico, lineal e isótropo (Zienkiewicz 1980; Segerlin 1984; Weaver & Johnson 1984; Cook, Malkus et al. 1989; Oñate 1995; Hughes 2000; Oñate & Zárate 2000). 2.1. Formulación general del problema elástico lineal Sea un sólido cuyo volumen V es aproximadamente igual a suma de m subdominios de cada elemento finito V (e ) como lo indica la XXX, el principio de los trabajos virtuales se puede expresar de la forma: m r T T T + ∑ δu (x )T f (x ) ( δ u ) σ dV δ u p dS δ u b dV ∇ = + ∑ ∑ (e ) (e) (e) (e) (e ) ( e) n n ∫ ∫ ∫ n=1 ( e ) ( e ) e =1 V e=1 Γt V m (2.1) donde los vectores p ( e ) , b ( e ) , σ ( e ) y δu(e ) , corresponden a las fuerzas de superficie, a las fuerzas de cuerpo, a los esfuerzos y a los desplazamientos virtuales respectivamente en el interior del elemento finito e. Ahora, x n corresponde a la posición un punto material ubicado en uno de los r nudos de la malla de elementos finitos. Por lo tanto el último término a la derecha en la ecuación anterior indica el trabajo virtual generado por las fuerzas nodales. En el problema mecánico se busca el campo vectorial del desplazamiento T T u(x) = [u v w] para todo punto material de posición x = [x y z ] del sólido. Si se (e ) divide el cuerpo en subregiones denominadas elementos finitos V , el campo del desplazamiento se puede representar mediante una función de aproximación suave y continua por T cada elemento u (e ) (x) = u ( e ) v ( e ) w( e ) , tal que u(x) = u (e ) (x) ∀x ∈ V (e ) . Se observa que la función de aproximación del elemento finito es una cantidad vectorial de tres componentes, las cuales se expresan como funciones de aproximación escalares independientes como: [ ] 16 Capítulo 2. Elasticidad Tridimensional u ( e ) ( x, y , z ) = N1( e) ( x, y, z ) u1( e ) + K + N n(e ) ( x, y, z ) un( e) ∀( x, y , z ) ∈ V ( e ) v ( e ) ( x, y, z) = N1( e) ( x, y, z ) v1( e ) + K + N n( e ) ( x, y , z ) vn(e ) ∀( x, y, z ) ∈ V (e ) (2.2) w( e ) ( x, y, z ) = N1(e ) ( x, y, z ) w1( e) + K + N n( e ) ( x, y , z ) wn( e ) ∀( x, y, z ) ∈ V (e ) El elemento finito tridimensional mostrado en la xxx, tiene tres funciones de aproximación asociadas a las tres componentes de desplazamientos y en consecuencia tiene tres valores nodales de desplazamiento ui( e ) , vi( e ) , wi( e) en el nudo i, de un total de n nudos. Asimismo, el elemento tiene n funciones de forma N i( e) . Estas ecuaciones escalares se pueden reescribir matricialmente de la forma: u (e ) N1(e ) ( e) v = 0 w( e ) 0 0 0 (e ) 1 0 N1( e) N 0 N 2( e ) 0 0 0 (e ) 2 N 0 0 L L L N n( e ) 0 L L L N 2(e ) L L L 0 0 0 N n( e ) 0 u1(e ) (e) v1 w1(e ) (e ) u2 v(e) 0 2(e ) w 0 2 M N n(e ) M M u n(e ) (e) vn w( e ) n (2.3) Por lo tanto, la función de aproximación del elemento finito corresponde al desplazamiento en cualquier punto de su interior u ( e ) (x) , el cual está definido como el producto entre las funciones de forma del elemento N ( e) (x) y el vector de valores nodales del desplazamiento a (e ) , es decir: u (e ) (x) = N (e ) (x) a ( e) ∀x ∈ V ( e) (2.4) donde, N1(e ) N ( e ) ( x, y, z ) = 0 0 [ a ( e) = u1( e ) v1(e ) w1( e ) 0 N1(e ) 0 u2(e ) 0 0 N1( e ) v2( e ) N 2( e ) 0 0 0 N 2(e ) 0 0 L L L N n(e ) 0 L L L 0 N 2( e) L L L 0 w2(e ) L L L un(e ) vn( e ) wn(e ) 0 N n(e ) 0 0 0 N n( e) ] T (2.5) © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 17 Análisis estructural mediante el método de los elementos finitos El número de filas de la matriz de funciones de forma N (e ) corresponde al número de funciones de aproximación escalares definidas por nudo o número de grados de libertad por nudo (tres en problemas tridimensionales), mientras que el número de columnas es igual al número de nudos del elemento multiplicado por el número de grados de libertad por nudo. El tamaño del vector de valores nodales de desplazamiento de un elemento finito a (e ) está definido por el total de grados de libertad del elemento, es decir por el número de nudos n multiplicado por el número de grados de libertad por nudo. La matriz columna de las componentes de la deformación es igual al operador diferencial actuando sobre el vector del desplazamiento. Al sustituir la expresión anterior en la Ecuación (1.6), se obtiene: ε (e ) (x) = ∇u (e ) (x) = ∇N ( e) (x) a (e ) ε (e ) (x) = B ( e ) (x) a (e ) (2.6) ∀x ∈ V (e ) Siendo B ( e) = ∇N ( e ) el operador diferencial definido en la Ecuación (1.7), actuando sobre la matriz de las funciones de forma del elemento, es decir: B(e) ∂ x 0 0 = ∂ y ∂ z 0 0 ∂y 0 ∂x 0 ∂z 0 0 ( e ) N ∂z 1 0 0 0 ∂x ∂ y 0 0 ( e) 1 N 0 0 N1(e ) N 2( e ) 0 0 0 ( e) 2 N 0 0 L L L N n(e ) 0 L L L N 2( e) L L L 0 0 0 (e) n N 0 0 0 N n( e) (2.7) El número de filas de la matriz anterior corresponde al número de componentes de deformación, seis en el problema tridimensional, mientras que el número de columnas es igual al número de grados de libertad del elemento finito. A partir de la relación entre el esfuerzo y la deformación definida por la Ecuación (1.17) para un sólido lineal elástico isótropo, se puede establecer dicha relación en el interior de un elemento finito de la forma: σ (e ) (x) = D( e ) ε (e ) (x) ∀x ∈ V (e ) (2.8) donde la matriz constitutiva elástica del elemento D(e ) es igual a la matriz D definida en la Ecuación (1.16). Sustituyendo la Ecuación (2.6) en la expresión anterior se tiene que: σ (e ) = D( e )B ( e) a (e ) (2.9) De la misma forma como se expresa el desplazamiento real en términos de las funciones de forma y los valores nodales, el desplazamiento virtual δu (e ) y la deformación virtual ∇δu (e ) en un elemento finito son iguales a: © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 18 Capítulo 2. Elasticidad Tridimensional δu( e ) = N ( e )δa( e ) , δuT( e ) = δaT( e ) NT( e ) , ∇δu (e ) = B (e ) δa ( e) (∇δu ) T (e) = δaT( e )BT( e ) (2.10) siendo δa (e ) el vector de valores nodales de desplazamiento virtual del elemento finito. Sustituyendo las expresiones (2.9) y (2.10) en la Ecuación (2.1), se obtiene lo siguiente: BT( e ) D( e )B ( e ) dV a( e ) = ∫ (e ) e =1 V m T T T + δaT f ( n ) a N p dS N b dV δ + ∑ (e) ∫ ( e ) (e ) ( e) (e ) ∫ e =1 V (e ) Γ ( e) m ∑ δa T (e) (2.11) donde δa y f (n ) corresponden a los vectores de desplazamiento virtual y de fuerza en los nudos de la malla de elementos finitos. El término entre paréntesis a la izquierda de la igualdad anterior se definen como la matriz de rigidez del elemento K (e ) , mientras que el término entre paréntesis a la derecha es el vector de fuerzas nodales equivalentes del elemento f (e ) , es decir: K (e) = ∫B T ( e) D(e ) B( e ) dV (2.12) ∫N (2.13) V (e ) f (e) = ∫N T ( e) p (e ) dS + Γ(e ) T (e ) b ( e ) dV V (e ) Reemplazando las ecuaciones (2.12) y (2.13) en la expresión (2.11) se tiene que: m ∑ δa e =1 m T ( e) K (e ) a (e ) − ∑ δaT(e )f (e ) − δaT f ( n ) = 0 (2.14) e =1 La ecuación anterior se puede escribir en términos del vector de desplazamiento virtual δa y del vector de desplazamiento real a en los nudos de la malla de elementos finitos, de tal forma que: δaT Ka − δaT f = 0 (2.15) donde K es la matriz de rigidez del sólido obtenida del ensamblaje de las matrices de rigidez de los elementos, de la forma: m K = A K (e ) ( e ) =1 (2.16) y f es el vector de fuerzas nodales de la malla resultante del ensamblaje de los vectores de fuerza nodales equivalentes de cada uno de los elementos finitos más el vector de fuerzas nodales aplicadas en los nudos de la malla, es decir: © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 19 Análisis estructural mediante el método de los elementos finitos m f = A f ( e) + f ( n ) ( e ) =1 (2.17) Cancelando el factor común δaT de la Ecuación (2.15), se tiene que: (2.18) Ka − f = 0 El vector de desplazamientos nodales del sólido a se puede dividir en un subvector de desplazamientos nodales desconocidos aα y un subvector de desplazamientos nodales conocidos a β dado por las condiciones de borde del problema, de tal manera que la ecuación anterior se puede reescribir como: K αα K βα K αβ aα fα 0 − = K ββ a β f β 0 (2.19) La matriz de rigidez K se ha dividido en las submatrices K αα , K αβ , K βα y K ββ , de acuerdo con el número de desplazamientos nodales (o grados de libertad) desconocidos y conocidos de la malla. Por las mismas razones el vector de fuerzas nodales f está conformado por los subvectores fα y f β . En consecuencia la ecuación anterior corresponde a dos ecuaciones matriciales de la forma: K αα aα + K αβ a β − fα = 0 K βα aα + K ββ a β − f β = 0 (2.20) Despejando el vector de desplazamientos nodales desconocidos de la primera expresión se tiene que: −1 aα = K αα (fα − Kαβ a β ) (2.21) [ ] T Obtenido el vector de desplazamientos nodales completo a = aαT aTβ , se pueden extraer a partir de él, los vectores de desplazamiento en los nudos de cada elemento a (e ) , de acuerdo con la numeración de los grados de libertad asociados al elemento que se indican en la tabla de incidencias. T El vector del desplazamiento en el interior del elemento u (e ) ( x, y, z ) = [u v w] se obtienen del producto de la matriz de funciones de forma evaluada para la coordenada (x,y,z) y el vector de desplazamientos nodales del elemento a (e ) , como lo indica la Ecuación (2.4). La matriz columna que contiene las componentes de la deformación en el interior de T cada elemento finito ε (e ) ( x, y , z ) = ε xx ε yy ε zz γ xy γ xz γ yz , se calcula mediante el producto entre la matriz de operadores diferenciales actuando sobre las funciones de forma evaluada para la coordenada (x,y,z) y el vector de desplazamientos nodales del elemento a (e ) , como lo indica la Ecuación (2.6). La matriz columna que contiene las componentes del esfuerzo en el interior de cada T elemento finito σ ( e ) ( x, y, z ) = σ xx σ yy σ zz σ xy σ xz σ yz , se obtiene de la multipli- [ [ © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 ] ] 20 Capítulo 2. Elasticidad Tridimensional cación matricial entre la matriz constitutiva elástica D( e ) y la matriz columna de la deformación ε (e ) ( x, y , z ) en un punto específico x, es decir: σ (e ) (x) = D( e) ε (e ) (x) ∀(x) ∈ V ( e) 2.2. (2.22) Formulación del problema elástico lineal bidimensional En problemas simplificados a un espacio bidimensional, el sólido muestra en el plano xy una geometría cualquiera, mientras que en la dirección z tiene un espesor constante t para un estado plano de esfuerzos o una espesor unitario t = 1.0 para un estado plano de deformaciones. La reducción del problema a un dominio bidimensional se establece expresando al volumen del sólido V como el producto entre su área A en el plano xy y su espesor t y por lo tanto un elemento diferencial de volumen del sólido dV = t dA . Asimismo, el dominio del problema se puede dividir en pequeños subdominios representados por elementos finitos bidimensionales de área A( e ) en el plano xy y espesor t ( e ) , donde el área del sólim do A ≅ ∑e =1 A( e ) . Siendo el campo vectorial de los desplazamientos la variable que se desea obtener del planteamiento del problema mecánico, la función de aproximación del elemento finito corresponde al vector del desplazamiento en cualquier punto de su interior. Si el desplazamiento es función de la posición (x,y), la función de aproximación del elemento finito estará definida en el espacio bidimensional xy, es decir u( x, y ) = u ( e) ( x, y ) ∀( x, y ) ∈ A( e ) . De acuerdo a lo anterior, la función de aproximación del elemento es una cantidad vectorial que a su vez corresponde a dos funciones de aproximación escalares independientes u ( e ) ( x, y ) y v ( e ) ( x, y ) , las cuales representan las componentes del desplazamiento en dirección x y y, respectivamente. Cada función de aproximación escalar se puede expresar en términos de las funciones de forma y de los valores nodales del elemento finito (Figura xxx), como: u ( e ) ( x, y ) = N1( e) ( x, y ) u1( e ) + K + N n(e ) ( x, y ) un( e) ∀( x, y ) ∈ A( e) v ( e ) ( x, y ) = N1(e ) ( x, y ) v1( e) + K + N n( e ) ( x, y ) vn(e ) ∀( x , y ) ∈ A( e ) (2.23) siendo n el número de nudos del elemento. Estas ecuaciones escalares se pueden reescribir matricialmente de la forma: © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 21 Análisis estructural mediante el método de los elementos finitos u ( e ) N1( e ) (e ) = v 0 0 N 2(e ) N1( e) 0 L L N n( e ) 0 N 2( e ) L L 0 u1( e ) (e ) v1 u2( e ) 0 v2(e ) N n(e ) M M u ( e ) n vn(e ) (2.24) Por lo tanto, el desplazamiento de cualquier punto (x,y) en el dominio de un elemento finito cuya matriz de funciones de forma es N ( e) ( x, y ) , se expresa en términos de los valores nodales del desplazamiento en el elemento a (e ) como: ∀( x, y ) ∈ A(e ) u (e ) ( x, y ) = N ( e ) ( x, y ) a ( e) (2.25) donde, N1(e ) N ( e ) ( x, y ) = 0 N 2( e ) 0 0 N1(e ) 0 L L N n( e ) N 2( e ) L L 0 0 N n( e) (2.26) [ = [u (e) 1 a (e ) = u u (e ) (e ) (e) 1 v v (e ) u (e ) 2 (e ) 2 v L L u ] ( e) T n ( e) n v ] T De acuerdo con la Ecuación (2.6), la matriz columna de la deformación en el interior del T elemento finito para problemas bidimensionales ε (e ) ( x, y ) = ε xx( e ) ε yy( e) γ xy(e ) se define como: [ ε (e ) ( x, y ) = B ( e ) ( x, y ) a (e ) ] ∀( x, y ) ∈ A( e ) (2.27) siendo B ( e ) ( x, y ) el operador diferencial dado en la Ecuación (1.35) actuando sobre las funciones de forma, es decir: ∂ x B ( e ) ( x, y ) = 0 ∂ y 0 (e) N ∂y 1 0 ∂ x ∂ x N1(e ) B ( e ) ( x, y ) = 0 ∂ y N1(e ) 0 N1( e) N 2(e ) 0 0 ∂ x N 2( e ) ∂ y N1( e ) ∂ x N1( e ) 0 ∂ y N 2( e) 0 L L N n( e ) N 2( e ) L L 0 0 L L ∂ x N n(e ) ∂ y N 2(e ) L L 0 (e ) ∂ x N 2 L L ∂ y N n( e ) © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 0 N n(e ) ∂ y N n( e ) ∂ x N n( e ) 0 (2.28) 22 Capítulo 2. Elasticidad Tridimensional La matriz columna que contiene a las componentes de esfuerzo en el interior de un eleT mento finito bidimensional σ (e ) ( x, y ) = σ xx( e) σ yy(e ) σ xy(e ) para materiales lineales elásticos, es igual a: [ ] σ (e ) ( x, y ) = D(e ) ε ( e ) ( x, y ) (2.29) ∀( x, y ) ∈ A( e ) σ (e ) ( x, y ) = D(e )B ( e ) ( x, y ) a (e ) La matriz constitutiva elástica D(e ) indicada en la Ecuación (1.25) para condición plana de esfuerzos y en la Ecuación (1.31) para condición plana de deformaciones, se puede expresar como: D11( e) = D12( e) 0 0 D( e ) D 0 0 D33(e ) cond . plana de esfuerzos D12( e ) (e) 22 νE E , D12( e) = 2 1 −ν 1 −ν cond . plana de deformación D11(e ) = D22( e ) = D11(e ) = D22( e ) = (1 − ν ) E (1 + ν )(1 − 2ν ) , D33(e ) = 2 , D12( e ) = (2.30) E 2(1 + ν ) νE (1 + ν )(1 − 2ν ) , D33( e ) = E 2(1 + ν ) La matriz de rigidez del elemento finito K (e ) definida en la Ecuación (2.12), se puede expresar para problemas bidimensionales de la forma: K (e) = ∫B V T (e ) D(e ) B ( e ) dV = (e ) ∫B T (e) D( e )B (e ) t dA ( e) (2.31) A donde el diferencial de volumen dV se ha sustituido por el producto entre el espesor t y el diferencial de área dA. t es la dimensión del dominio del problema en la dirección z y A(e ) es el área del elemento finito dada en el plano xy. A partir de la Ecuación (2.13), el vector de fuerzas nodales equivalentes de superficie en el elemento f s(e ) , se puede expresar para problemas bidimensionales de la forma: f s( e ) = ∫N Γ ( e) T (e) p ( e) dS = ∫N T (e ) p( e ) t dL L( e ) (2.32) donde el diferencial de superficie dS ha sido reemplazado por el producto entre el espesor t y el diferencial de longitud dL. La integral anterior está definida en las nc caras del elemento finito de longitud L(e ) = L(1e ) + L(2e ) + L + L(nce ) como lo indica la xxx, por lo tanto: nc f s(e ) = ∑ ∫ NT( e )p c(e ) t dL c =1 L( e ) c [ (2.33) ] T (e ) donde p c(e ) = p xc(e ) p yc es el vector de fuerzas distribuidas por unidad de área aplicada sobre la superficie definida por la cara c de longitud L(ce ) y el espesor t, mostrado en la xxx. © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 23 Análisis estructural mediante el método de los elementos finitos El vector de fuerzas nodales equivalentes de cuerpo en el elemento fb( e ) se puede expresar en el espacio bidimensional como: fb(e ) = ∫N T (e) b ( e ) dV = V ( e) ∫N T ( e) b ( e )t dA A( e ) (2.34) donde el diferencial de volumen dV ha sido reemplazado por el producto entre el espesor t y el diferencial de área dA. Las componentes del vector de fuerzas másicas (e ) (e) T b (e ) = bx by son las fuerzas distribuidas por unidad de volumen en dirección x y en y, como se indica en la xxx. El peso propio del material γ es el ejemplo más común de fuerT za másica, en cuyo caso el vector es de la forma b (e ) = [0 − γ ] suponiendo que la dirección de la gravedad es –y. De acuerdo con la Ecuación (2.13), el vector de fuerzas nodales equivalentes en el elemento finito es igual a: [ ] f ( e ) = f s(e ) + fb(e ) (2.35) Una forma alternativa para expresar las operaciones matriciales anteriores consiste en reescribir a las matrices elementales en términos de submatrices asociadas a cada nudo. La matriz de funciones de forma se puede expresar en términos de sus submatrices como: [ N ( e) = N1( e ) N (2e ) L N (ne ) ] (2.36) donde la submatriz de funciones de forma del nudo i en el elemento e es igual a: N ( e) i N i(e ) = 0 0 N i(e ) (2.37) De igual manera, la matriz de operadores diferenciales actuando sobre las funciones de forma se reescribe como: [ B ( e ) = B1(e ) B (2e ) L B (3e ) ] (2.38) donde la submatriz de operadores diferenciales actuando sobre funciones de forma del nudo i en el elemento e es igual a: B ( e) i ∂ x N i( e) = 0 ∂ y N i( e) ∂yN ∂ x N 0 (e ) i (e ) i (2.39) El vector de desplazamientos nodales de un elemento finito se puede expresar en términos de subvectores asociados a cada nudo de la forma: © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 24 Capítulo 2. Elasticidad Tridimensional a ( e) a1( e ) (e) a = 2 M (e) a n (2.40) donde el subvector a i( e ) contienen las componentes de desplazamiento en cada nudo, es decir: u ( e ) ai(e ) = i(e ) vi (2.41) La matriz de rigidez del elemento finito K (e ) definida en la Ecuación (2.31), se puede expresar en términos de submatrices por nudo de la forma: K (e ) B1(e )T ( e )T B T = ∫ B (e ) D(e )B (e ) t dA = ∫ 2 D( e ) B1( e) M A( e ) A( e ) ( e )T B n [ B1( e)T D(e )B1( e ) ( e)T B 2 D(e )B1( e ) = ∫ M A( e ) ( e)T (e) B n D(e )B1 ] B (2e ) L B (ne ) t dA B1( e )T D( e) B (2e ) L B1(e )T D( e )B (ne ) B (2e )T D( e) B (2e ) L B (2e )T D( e )B (ne ) t dA M M B (ne )T D( e) B1(e ) L B (ne )T D( e )B (ne ) (2.42) es decir, K ( e) ( e) K11 ( e) K = 21 M ( e) K n1 K (ije) = ∫B ( e )T i (e ) K12 L K 1(en) K (22e ) L K (2en) M M (e ) K n 2 L K (nne ) (2.43) D( e )B (je ) t dA (i, j = 1,2,L, n) A(e ) En la expresión anterior se observa que toda submatriz de rigidez K ij(e ) = K (jie ) , demostrando la simetría de la matriz de rigidez K (e ) . El vector de fuerzas nodales equivalentes de superficie indicado en la Ecuación (2.33) y el vector de fuerzas nodales equivalentes de cuerpo dado en la Ecuación (2.34) se pueden escribir de la forma: © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 25 Análisis estructural mediante el método de los elementos finitos N1( e)T p (ce ) ( e)T (e ) nc N 2 p c = ∑ ∫ t dL M c =1 L( e ) c N ( e)T p (e ) n c (2.44) N1(e )T b ( e ) ( e )T N 2 b(e) = ∫ t dA M A( e ) ( e )T N n b ( e ) (2.45) f s(1e ) nc ( e ) f = ∑ s 2 , f si( e ) = ∫ N (i e)T p (ce ) t dL (i = 1,2, L , n) M c =1 L(ce ) (e ) f sn (2.46) fb(1e ) (e ) f = b 2 , fbi( e ) = ∫ N i(e )T b (e )t dA (i = 1,2, L, n) M A( e ) (e ) fbn (2.47) f s(e ) fb(e ) es decir, f s(e ) fb(e ) 2.3. Elemento triangular lineal Sea el elemento finito triangular lineal definido por los nudos 1, 2 y 3 mostrado en la Figura 2.1, se pueden expresar las componentes de desplazamiento en x y en y de un punto (x,y) en el interior del elemento mediante funciones de aproximación polinómicas lineales de la forma: u ( e ) ( x, y ) = α1 + α 2 x + α 3 y ∀( x, y ) ∈ A( e) v ( e ) ( x, y ) = α 4 + α 5 x + α 6 y ∀( x, y ) ∈ A( e ) (2.48) Se definen los valores de las funciones de aproximación u (e ) ( x, y ) y v ( e ) ( x, y ) en los nudos del elemento como ui(e) y vi(e ) , es decir, las componentes del desplazamiento en x y en y, respectivamente, en el nudo i del elemento e. Despejando a los coeficientes α1,L,α 6 o coordenadas generalizadas en función de los valores nodales ui(e) y vi(e ) , las funciones de aproximación se pueden reescribir como: © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 26 Capítulo 2. Elasticidad Tridimensional u ( e ) ( x, y ) = N1( e) ( x, y ) u1( e ) + N 2(e ) ( x, y ) u2( e ) + N 3(e ) ( x, y ) u3( e) ∀( x, y ) ∈ A( e) v ( e ) ( x, y ) = N1( e) ( x, y ) v1( e) + N 2(e ) ( x, y ) u2(e ) + N 3( e ) ( x, y ) v3(e ) ∀( x , y ) ∈ A( e ) (2.49) donde N i(e) es la función de forma en el nudo i del elemento e. De acuerdo a lo anterior, el elemento triangular lineal tiene 2 componentes de desplazamiento en cada nudo, para un total de 6 componentes de desplazamiento nodal, es decir 6 grados de libertad. v3(e ) u3( e) ( x3 , y3 ) 3 v1(e ) y v2(e ) v ( e ) ( x, y ) u ( e ) ( x, y ) u 2( e) 2 ( x2 , y 2 ) ( e) 1 u x 1 ( x1 , y1 ) Figura 2.1. Elemento triangular lineal: Esquema general. Si se define la matriz de funciones de forma N (e ) , el vector de valores nodales de desplazamiento a (e ) y el vector de desplazamientos en el interior del elemento u (e ) como: N(e) N1(e ) = 0 0 [ 0 N v1(e ) u2(e ) v2(e ) [ v(e) u (e ) = u ( e ) N 3( e ) 0 (e ) 1 N a (e ) = u1(e ) N 2( e) (e) 2 0 u3( e) 0 N 3(e ) (2.50) ] (2.51) v3( e) T ] T (2.52) las expresiones indicadas en (2.49) se pueden escribir matricialmente como u ( e ) = N ( e )a (e ) , es decir: u (e ) N1(e ) ( e) = v 0 0 N 2( e ) 0 N 3(e ) N1( e) 0 N 2( e ) 0 u1( e ) (e ) v1 0 u2( e ) N 3( e) v2(e ) u ( e ) 3(e ) v3 (2.53) Las funciones de forma de un elemento finito triangular lineal se han definidas anteriormente como: © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 27 Análisis estructural mediante el método de los elementos finitos 1 (ai + bi x + ci y ) 2 A( e ) , bi = y j − yk , ci = xk − x j N i(e ) ( x, y ) = ai = x j yk − xk y j (2.54) (i, j , k ) = 1,2,3 ; (i, j, k ) = 2,3,1 ; (i, j, k ) = 3,1,2 es decir, 1 (a1 + b1 x + c1 y ) 2 A( e ) 1 N 2( e ) ( x, y ) = (a2 + b2 x + c2 y ) 2 A( e ) 1 N 3(e ) ( x, y ) = (a3 + b3 x + c3 y ) 2 A( e ) a1 = x2 y3 − x3 y2 , b1 = y2 − y3 , c1 = x3 − x2 N1( e ) ( x, y ) = (2.55) a2 = x3 y1 − x1 y3 , b2 = y3 − y1 , c2 = x1 − x3 a3 = x1 y2 − x2 y1 , b3 = y1 − y2 , c3 = x2 − x1 Las componentes de deformación en el interior de un elemento presentadas en la Ecuación (2.27), dependen de un operador diferencial actuando sobre las funciones de forma B ( e ) ( x, y ) expresado como: ∂ x N1(e ) B ( e ) ( x, y ) = 0 ∂ y N1(e ) ∂ x N 2( e ) 0 (e) 1 (e) 1 ∂yN ∂xN 0 ∂ y N 2( e ) ∂ x N 3(e ) 0 ∂yN ∂x N (e ) 2 ( e) 2 0 ∂ y N 3(e ) ∂yN ∂ x N 0 (e) 3 (e ) 3 (2.56) cuyos términos corresponden a las derivadas de las funciones de forma con respecto a x y a y, como se indica a continuación: B( e) b1 0 b2 1 = 0 c1 0 2 A( e ) c1 b1 c2 0 b3 c2 0 b2 c3 0 c3 b3 (2.57) Observación. En general, la matriz de operadores diferenciales actuando sobre funciones de forma es función de la posición en el interior del elemento (x,y), sin embargo en el elemento triangular lineal en particular la matriz B (e) es constante con respecto a (x,y), porque sus términos son derivadas de funciones lineales. De acuerdo con lo anterior, la matriz columna de la deformación definida como ε (e ) = B (e ) a (e ) , se pueden expresar en el interior de un elemento finito triangular lineal de la forma: © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 28 Capítulo 2. Elasticidad Tridimensional ε xx(e ) 1 (e ) ε yy = 2 A( e ) γ xy( e ) b1 0 b2 0 c 0 1 c1 b1 c2 0 b3 c2 b2 0 c3 u1( e ) (e ) v 0 1( e ) u c3 2(e ) v b3 2( e ) u 3(e ) v3 (2.58) Observación. En un elemento triangular lineal la matriz de operadores diferenciales y el vector de valores nodales es constante con respecto a la posición (x,y), por lo tanto las componentes de deformación son las mismas en cualquier punto del interior del elemento finito. Por esta razón los elementos triangulares lineales también son llamados elementos de deformación constante. La matriz columna de las componentes de esfuerzo se obtiene de la multiplicación entre la matriz de constitutiva elástica D(e ) indicada en la Ecuación (2.30) y la matriz columna de las componentes de deformación indicada en la ecuación anterior, es decir σ (e ) = D( e ) ε (e ) . Al igual que las deformaciones los esfuerzos son constantes en el interior de un elemento triangular lineal. Una forma alternativa de expresar las operaciones anteriores consiste en definir submatrices asociadas a cada uno de los nudos en las matrices elementales, de tal manera que la submatriz de funciones de forma del nudo i en el elemento e es igual a: N ( e) N (i e) = i 0 0 1 , N i( e ) = (ai + bi x + ci y ) (e ) 2 A( e ) Ni (2.59) la submatriz de operadores diferenciales actuando sobre las funciones de forma del forma del nudo i en el elemento e es igual a: B (e) i ∂ x N i( e) = 0 ∂ y N i( e) 1 ∂yN = 2 A( e ) ∂xN 0 (e) i (e ) i bi 0 ci 0 ci bi (2.60) y el subvector de desplazamientos en el nudo i del elemento e corresponde a: a (e ) i ui( e ) = (e ) vi (2.61) Por lo tanto la matriz de funciones de forma, la matriz B (e) y el vector de desplazamientos nodales de un elemento triangular lineal se pueden escribir en términos de sus submatrices como: © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 29 Análisis estructural mediante el método de los elementos finitos [ N ( e) = N1( e ) N (2e ) N (3e) ] [ , B (e ) = B1( e ) B (2e) B (3e) ] , a (e ) a1(e ) = a (2e ) a3(e ) (2.62) La matriz de rigidez de un elemento triangular lineal K (e ) se obtiene al sustituir las Ecuaciones (2.57) y (2.30) en la expresión (2.31) y después de realizar el triple producto matricial como se indica a continuación: K (e) = ∫B T (e) D( e ) B ( e ) t dA = B T( e) D( e )B ( e ) t A( e ) A( e ) K (e) t = 4 A( e ) 0 b1 0 b2 0 b3 0 c1 b1 (e ) D 11 c2 ( e ) D12 b2 0 c3 b3 c1 0 c2 0 c3 D12( e ) (e) 11 D 0 0 b1 0 b2 0 0 c1 0 D33( e ) c1 b1 c2 0 b3 c2 0 b2 c3 0 c3 b3 (2.63) Como se indicó en la Ecuación (2.43), la matriz de rigidez del elemento también puede expresarse en términos de submatrices asociadas a los nudos de la forma: K (e) (e) K 11 = sim K (ije ) = ∫B A (e ) K 12 K (22e ) ( e )T i ( e) K13 K (23e) K (33e) D(e ) B (je ) t dA (i, j = 1,2,3) (e ) (2.64) D 0 ci D ci bi 0 ( e) 11 ( e) 12 ( e) 12 ( e) 11 D D 0 0 b j 0 0 D33(e ) c j 0 cj b j K (e) ij t = 4 A( e ) bi 0 K (e) ij t = 4 A( e ) (bi b j D11( e ) + ci c j D33(e ) ) (bi c j D12( e ) + cib j D33(e ) ) (e) (e ) (e) (e ) (ci b j D12 + bi c j D33 ) (bi b j D33 + ci c j D22 ) El vector de fuerzas nodales equivalentes de superficie sobre los lados L(12e ) , L(23e ) , L(13e ) de un elemento triangular lineal es igual a: © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 30 Capítulo 2. Elasticidad Tridimensional nc f s( e ) = ∑ ∫ NT(e )p (ce ) t dL = ∫ NT( e )p1( e−)2 t dL + ∫ NT( e )p (2e−)3 t dL + ∫ NT( e)p1(e−)3 t dL (e ) (e ) c =1 L( e ) L(23e ) L13 c L12 N1( e ) 0 N (e) = ∫ 2 (e ) 0 L12 N (e) 3 0 N1( e) 0 N1(e ) 0 (e) N 2( e) 0 px1− 2 + t dL ∫(e ) 0 N 2(e ) p (ye1)− 2 L23 N ( e) 0 3 (e ) N 3 0 N1(e ) 0 N1(e ) 0 (e) N 2(e ) 0 px 2 − 3 + t dL ∫( e) 0 N 2(e ) p (ye2)− 3 L13 N (e ) 0 3 (e ) N 3 0 0 N1( e ) 0 p x(e1)− 3 t dL N 2( e ) p (ye1)− 3 0 N 3( e ) (2.65) [ ] T donde p (i−e )j = p x(e(i)− j ) p (ye()i− j ) corresponde al vector de fuerzas distribuidas por unidad de área actuante sobre el lado i – j del elemento finito. La Figura 2.2 muestra las fuerzas nodales equivalentes a la acción de las presiones en x y en y sobre la cara 2 – 3. f by( e3) 3 3 p p (ye()2−3) 3 (e ) x ( 2 −3 ) f bx( e3) L(23e ) f by( e2) f bx( e2) 2 2 2 y 1 1 x 1 Figura 2.2. Elemento triangular lineal: Fuerzas nodales equivalentes de superficie en la cara (2-3) del elemento. Utilizando las submatrices de las funciones de forma por nudo, la ecuación anterior se puede expresar como: f s( e ) f s(1e ) = ∑ f s(2e ) , f si(e ) = ∫ N i( e )T pc( e ) t dL (i = 1,2,3) (c = (1 − 2), (2 − 3), (1 − 3)) (2.66) c =1 L(ce ) f s(3e ) nc Las coordenadas de área de un triangulo l1 ( x, y ), l2 ( x, y ), l3 ( x, y ) coinciden con las funciones de forma de un elemento triangular lineal N1( e) ( x, y ), N 2( e ) ( x, y ), N 3(e ) ( x, y ) , respectivamente. Tal característica permite obtener la integral del producto de las funciones de forma en el área del elemento finito mediante la siguiente expresión propuesta por Eisenberg y Malvern en 1973: © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 31 Análisis estructural mediante el método de los elementos finitos ∫ A ( e) l1al2bl3c dA = ∫ A ( e) N1a N 2b N 3c dA = a!b!c! 2 A( e ) (2 + a + b + c )! (2.67) Asimismo, la integral de línea de las funciones de forma sobre cada lado del elemento se evalúa mediante la expresión presentada por Abramowitz & Stegun en 1964, de la forma: ∫ L(ije ) lial bj dL = ∫ ( e ) N ia N bj dL = Lij a!b! L(ije ) (1 + a + b)! (2.68) De acuerdo a lo anterior, la integral de la función de forma del nudo i cualquiera de un elemento triangular lineal e en el área es igual a: ∫ A N i(e ) dA = ( e) A( e ) 3 (2.69) La integral de la función de forma en el nudo i o en el nudo j sobre el lado i – j de un elemento triangular lineal e es igual a: ∫ L(ije ) N i dA = ∫ ( e ) N j dA = Lij L(ije ) 2 (2.70) La función de forma en el nudo k que no pertenece a el lado i – j es igual a cero por definición. Después de sustituir las funciones de forma dadas en la Ecuación (2.54) e integrar en la longitud de cada lado del elemento finito se obtiene un vector de fuerzas nodales equivalentes de superficie de la forma: f s( e ) p x(e(1) − 3) 0 p x(e(1)− 2) ( e) 0 (e ) p y (1−3) p y (1− 2) (e) e ( ) 0 px ( 2 −3 ) p (e ) (e ) = 12 L12 t x(e(1) − 2) + 12 L(23e )t ( e ) + 12 L13 t 0 p y (1− 2) p y ( 2 −3 ) p ( e) 0 px( e( )2 −3) y( e(1) −3) (e) p y (1−3) 0 px ( 2 −3) (2.71) El vector de fuerzas nodales equivalentes de cuerpo de un elemento triangular lineal es de la forma: fb(e ) N1( e) 0 N 2( e) T = ∫ N ( e )b (e ) t dA = ∫ 0 A( e ) A( e ) N ( e) 3 0 0 N1(e ) (e ) 0 bx (e ) t dL N 2(e ) by 0 N 3(e ) © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 (2.72) 32 Capítulo 2. Elasticidad Tridimensional [ ] T siendo b ( e ) = bx( e) by( e ) el vector de fuerzas distribuidas por unidad de volumen indicado en la Figura 2.3. f by( e3) 3 b 3 (e ) x by(e ) f bx( e3) 3 f by( e2) f bx( e2) f y(1e ) 2 2 2 y f 1 1 ( e) bx1 1 x Figura 2.3. Elemento triangular lineal: Fuerzas nodales equivalentes de cuerpo del elemento. Utilizando las submatrices de las funciones de forma por nudo, la ecuación anterior se puede expresar como: fb( e ) fb(1e ) = fb(2e ) , fbi(e ) = ∫ N i( e )T b ( e ) t dA (i = 1,2,3) A( e ) fb(3e ) (2.73) Después de sustituir las funciones de forma dadas en la Ecuación (2.54) e integrar en el área del elemento finito se obtiene un vector de fuerzas nodales equivalentes de cuerpo de la forma: fb(e ) 2.4. bx( e) ( e) by b ( e) = 13 A( e )t x( e) by b ( e) x( e) by (2.74) Elemento rectangular bilineal Sea el elemento finito rectangular bilineal definido por los nudos 1, 2, 3 y 4, cuya posición en su interior está dada de acuerdo con un sistema coordenado natural con origen en el centro del elemento y con ejes ξ y η paralelos a las direcciones x y y, respectivamente, como lo ilustra la Figura 2.4. La relación entre el sistema coordenado natural y el sistema coordenado xy para un elemento rectangular de base 2a y altura 2b es de la forma: © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 33 Análisis estructural mediante el método de los elementos finitos x x1 + x2 − a 2a ξ= ( x4 , y 4 ) y y1 + y3 − b 2b , η= (2.75) v3(e ) η v4(e ) u3( e) u4( e) η = +1 4 b ( x3 , y3 ) 3 (e ) v (ξ ,η ) η =0 u ( e) (ξ ,η ) v1(e ) b y η = −1 ( x1 , y1 ) ξ v2(e ) 1 u ( e) 1 u2( e) 2 ( x2 , y 2 ) a a x ξ = −1 ξ =0 ξ = +1 Figura 2.4. Elemento rectangular bilineal: esquema general. Las componentes de desplazamiento en x y en y de un punto en el interior del elemento (ξ ,η ) está determinado por medio de funciones de aproximación polinómicas bilineales de la forma: u ( e ) (ξ ,η ) = α1 + α 2ξ + α 3η + α 4ξη ∀(ξ ,η ) ∈ A(e ) v ( e ) (ξ ,η ) = α 5 + α 6ξ + α 7η + α 8ξη ∀(ξ ,η ) ∈ A( e ) (2.76) Dados los valores nodales de las componentes del desplazamiento en los nudos u ,L, u4(e ) en la dirección x y v1( e ) ,L, v4(e ) en la dirección y, se sustituyen las coordenadas generalizadas α1,L,α 8 de la ecuación anterior, de tal manera que: (e) 1 u (e ) (ξ ,η ) = N1( e ) u1( e) + N 2( e ) u2(e ) + N 3(e ) u3( e ) + N 4( e ) u4(e ) ∀(ξ ,η ) ∈ A(e ) v ( e ) (ξ ,η ) = N1( e ) v1(e ) + N 2(e ) u2( e ) + N 3( e ) v3(e ) + N 4( e) v4( e ) ∀(ξ ,η ) ∈ A( e ) (2.77) donde N i(e ) (ξ ,η ) es la función de forma en el nudo i del elemento e. Por lo tanto el elemento rectangular bilineal tiene 2 componentes de desplazamiento en cada nudo, para un total de 8 componentes de desplazamiento nodal , es decir 8 grados de libertad. Si se define la matriz de funciones de forma N (e ) , el vector de valores nodales de desplazamiento a ( e ) y el vector de desplazamientos en el interior del elemento u (e ) como: N (e ) N1( e ) = 0 [ a (e ) = u1( e ) 0 N 2(e ) 0 (e) 1 0 N v1( e ) u2(e ) N (e ) 2 N 3( e) 0 N v2(e ) u3(e ) v3(e ) [ v(e) u (e ) = u ( e ) N 4( e ) 0 ] T © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 (e) 3 u4( e) 0 v4( e) 0 N 4(e ) (2.78) ] (2.79) T (2.80) 34 Capítulo 2. Elasticidad Tridimensional Las dos funciones de aproximación del campo del desplazamiento indicadas en la Ecuación (2.77) se pueden escribir de forma matricial como u ( e ) = N ( e )a (e ) , es decir: u ( e ) N1( e ) (e ) = v 0 0 N 2(e ) 0 N 3( e ) 0 N 4( e) N1( e ) 0 N 2(e ) 0 N 3( e ) 0 u1( e ) (e ) v1 u2( e ) 0 v2(e ) N 4(e ) u3( e ) (e ) v3 u ( e ) 4 v4(e ) (2.81) Las funciones de forma de un elemento finito rectangular bilineal definidas anteriormente en un sistema coordenado natural son: 1 1 N1(e ) (ξ ,η ) = (1 − ξ )(1 − η ) , N 2(e ) (ξ ,η ) = (1 + ξ )(1 − η ) 4 4 1 1 N 3(e ) (ξ ,η ) = (1 + ξ )(1 + η ) , N 4(e ) (ξ ,η ) = (1 − ξ )(1 + η ) 4 4 (2.82) Las componentes de deformación en el interior de un elemento presentadas en la Ecuación (2.27), dependen de un operador diferencial actuando sobre las funciones de forma B ( e ) ( x, y ) expresado como: ∂ x N1(e ) B ( e ) ( x, y ) = 0 ∂ y N1(e ) 0 ∂ x N 2( e ) 0 ∂ x N 3( e ) 0 ∂ x N 4(e ) ∂ y N1( e ) ∂ x N1( e ) 0 ∂ y N 2( e) ∂ y N 2(e ) ∂ x N 2(e ) 0 ∂ y N 3( e ) ∂ y N 3( e) ∂ x N 3( e ) 0 ∂ y N 4(e ) ∂ y N 4( e ) ∂ x N 4( e ) 0 (2.83) cuyos términos corresponden a las derivadas de las funciones de forma con respecto a x y a y. De acuerdo con la Ecuación (2.75) y con la regla de la cadena dichas derivadas se pueden expresar como: ∂N i( e ) ∂N i( e ) ∂ξ ∂N i(e ) ∂η ∂N i( e ) 1 = + = ∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂x ∂ξ a ∂N i( e ) ∂N i(e ) ∂ξ ∂N i(e ) ∂η ∂N i(e ) 1 = + = ∂y ∂ξ ∂y ∂η ∂y ∂η b (2.84) En consecuencia la matriz de operadores diferenciales actuando sobre funciones de forma de un elemento rectangular bilineal es: © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 35 Análisis estructural mediante el método de los elementos finitos 0 b(1 − η ) 0 − b(1 − η ) 1 = 0 − a (1 − ξ ) 0 − a (1 + ξ ) 4ab − a (1 − ξ ) − b(1 − η ) − a(1 + ξ ) b(1 − η ) b(1 + η ) 0 − b(1 + η ) 0 0 a (1 + ξ ) 0 a (1 − ξ ) a (1 + ξ ) b(1 + η ) a (1 − ξ ) − b(1 + η ) B( e) (2.85) La matriz columna de la deformación en un punto (ξ ,η ) en el interior de un elemento finito rectangular bilineal es el resultado del producto entre la matriz de operadores diferenciales actuando sobre funciones de forma de la Ecuación (2.85) y el vector de desplazamientos nodales de la Ecuación (2.79), es decir ε (e ) (ξ ,η ) = B ( e) (ξ ,η ) a ( e) . La matriz columna del esfuerzo en el mismo punto (ξ ,η ) se obtiene multiplicando a la matriz constitutiva elástica del material dada en la Ecuación (2.30) por la matriz columna de la deformación, es decir, σ ( e ) (ξ ,η ) = D(e )ε (e ) (ξ ,η ) . Una forma alternativa de expresar las operaciones anteriores consiste en definir submatrices asociadas a cada uno de los nudos en las matrices elementales. La matriz de funciones de forma se puede expresar como: [ N ( e) = N1( e ) N (2e ) N (3e ) N (4e) ] N (e ) , N i(e ) = i 0 0 N i( e ) (2.86) donde las funciones de forma N i(e ) dadas en la Ecuación (2.82) se pueden escribir de manera general como: N i(e ) (ξ ,η ) = i si(ξ ) 1 −1 2 +1 3 +1 4 −1 1 (1 + si(ξ )ξ )(1 + si(η )η ) 4 si(η ) −1 −1 +1 +1 (2.87) Asimismo, la matriz de operadores diferenciales actuando sobre las funciones de forma se reescribe como: [ (e) 1 B ( e) = B B (e) 2 B (e) 3 B ( e) 4 ] , B (e) i ∂ x N i( e ) = 0 ∂ y N i( e) ∂yN ∂ x N 0 (e ) i (e ) i donde las derivadas de la función de forma con respecto a x y a y son: © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 (2.88) 36 Capítulo 2. Elasticidad Tridimensional ∂N i( e ) si(ξ ) ∂N i(e ) si(η ) = (1 + si(η )η ) , = (1 + si(ξ )ξ ) ∂x 4a ∂y 4b (2.89) Por lo tanto, la submatriz de operadores diferenciales actuando sobre las funciones de forma en el nudo i del elemento e es igual a: B (i e ) si(ξ )b (1 + si(η )η ) 0 1 (η ) (ξ ) = 0 si a (1 + si ξ ) 4ab (η ) si a (1 + si(ξ )ξ ) si(ξ )b (1 + si(η )η ) (2.90) El vector de desplazamientos nodales de un elemento finito se puede expresar en términos de subvectores asociados a cada nudo de la forma: a (e ) a1( e ) (e) u (e ) a = (2e ) , a(i e ) = i( e ) a3 vi (e) a 4 (2.91) La matriz de rigidez del elemento finito K (e ) definida en la Ecuación (2.31), se puede expresar en términos de submatrices por nudo de la forma: ( e) K 11 = sim K (e) K (ije ) = ∫B ( e )T i (e ) K 12 K (22e ) (e) K 13 K (23e ) K (33e ) (e) K 14 K (24e ) K (34e ) K (44e ) (2.92) D (e ) B (je ) t dA (i, j = 1,2,3,4) A (e ) Recordando la relación entre sistemas coordenados, el diferencial de área dA expresado en función de las coordenadas naturales de obtiene así: x x1 + x2 − → a 2a y y +y η= − 1 2 → 2b b dA = dxdy = ab dξ dη ξ= dξ 1 = → dx = a dξ dx a dη 1 = → dy = b dη dy b (2.93) En consecuencia, la submatriz K ij(e ) corresponde a una integral en el área con respecto al sistema coordenado natural de la forma: K (ije ) = ∫ +1 +1 ∫ −1 −1 B (i e )T D( e) B (je) t ab dξ dη (i, j = 1,2,3,4) (2.94) Sustituyendo las ecuaciones (2.30) y (2.90) en la expresión anterior se tiene que: © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 37 Análisis estructural mediante el método de los elementos finitos +1 +1 K (e) ij t hi (η ) = ∫∫ 16ab 0 −1 −1 D (e ) g i (ξ ) 11(e ) 0 D gi (ξ ) hi (η ) 12 0 D12( e ) (e) D22 0 0 h j (η ) 0 0 D33( e ) g j (ξ ) 0 g j (ξ ) dξ dη h j (η ) hi (η ) = si(ξ )b (1 + si(η )η ) , g i (ξ ) = si(η ) a (1 + si(ξ )ξ ) h j (η ) = s (jξ )b (1 + s (jη )η ) , g j (ξ ) = s (jη ) a (1 + s (jξ )ξ ) (2.95) Realizando el triple producto, (e ) (e ) (e) (e ) t (hi h j D11 + g i g j D33 ) (hi g j D12 + gi h j D33 ) = ∫∫ dξ dη 16ab ( gi h j D12(e ) + hi g j D33(e ) ) (hi h j D33( e ) + g i g j D22(e ) ) −1 −1 +1 +1 K (e ) ij (2.96) Integrando en los límites dados por el sistema coordenado natura se obtiene: K ij( e) = (ξ ) (ξ ) (η ) 2 ( e ) (η ) (η ) ( ξ ) 2 ( e ) (3si(ξ ) s (jη ) abD12(e ) + 3s (jξ ) si(η ) abD33(e) ) t ( si s j rij b D11 + si s j rij a D33 ) ( si(ξ ) s (jξ ) rij(η )b 2 D33(e) + si(η ) s (jη ) rij(ξ ) a 2 D22(e) ) 12ab (3s (jξ ) si(η ) abD12(e ) + 3si(ξ ) s (jη ) abD33(e) ) rij(η ) = 3 + si(η ) s (jη ) , rij(ξ ) = 3 + si(ξ ) s (jξ ) (2.97) En conclusión la matriz de rigidez de un elemento rectangular bilineal en términos de sus submatrices por nudo es igual a: © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 38 Capítulo 2. Elasticidad Tridimensional (e) K 11 = (4b 2 D11( e) + 4a 2 D33(e) ) (3abD12(e) + 3abD33(e ) ) (e ) ) 12ab (3abD12( e) + 3abD33( e) ) (4b 2 D33(e) + 4a 2 D 22 (e) K 12 = t (−4b 2 D11(e) + 2a 2 D33(e ) ) (3abD12(e ) − 3abD33( e) ) (e ) 12ab (−3abD12( e) + 3abD33(e) ) (−4b 2 D33(e) + 2a 2 D 22 ) t K (e) 13 t (−2b 2 D11( e) − 2a 2 D33(e ) ) (−3abD12( e) − 3abD33(e) ) = (e ) 12ab (−3abD12(e ) − 3sabD33(e) ) (−2b 2 D33( e) − 2a 2 D 22 ) K (e) 14 (2b 2 D11( e) − 4a 2 D33(e ) ) (−3abD12(e ) + 3abD33(e ) ) = (e ) 12ab (3abD12( e) − 3abD33(e) ) (2b 2 D33( e) − 4a 2 D 22 ) t t (4b 2 D11(e) + 4a 2 D33(e ) ) ( −3abD12(e) − 3abD33( e) ) 12ab (−3abD12(e ) − 3abD33(e) ) (4b 2 D33( e) + 4a 2 D 22(e) ) t (2b 2 D11( e) − 4a 2 D33(e ) ) (3abD12(e) − 3abD33(e ) ) = (e ) ) 12ab (−3abD12(e ) + 3abD33( e) ) (2b 2 D33( e) − 4a 2 D 22 K (22e) = K (23e) K (24e) = t 12ab (−2b 2 D11(e) − 2a 2 D33( e) ) (3abD12(e) + 3abD33(e) ) ( e) ( e) 2 (e ) 2 (e) (3abD12 + 3abD33 ) (−2b D33 − 2a D 22 ) (e) ( e) K 33 = K 11 (e) (e) = K 12 , K 34 ( e) K 11 = sim K (e) ( e) K 12 K (22e) , K (44e ) = K (22e ) , K (ije ) = K (jie ) (e ) K 14 (e ) K 24 K (34e ) K (44e ) (e ) K 13 K (23e ) K (33e ) (2.98) η f sy( e3) η p (ye()2−3) f sx( e3) L(34e ) 4 b 3 3 ξ (e) L14 ξ (e) 23 L b (e) 12 1 L y x 4 a 2 f sy( e2) p (xe( )2−3) 1 2 f sx( e2) a Figura 2.5. Elemento rectangular bilineal: fuerzas nodales equivalentes de superficie sobre el lado (2-3) del elemento. La Figura 2.5 ilustra las fuerzas nodales equivalentes generada por las presiones en x y en y sobre el lado 2 – 3 del elemento finito. © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 39 Análisis estructural mediante el método de los elementos finitos (e ) (e ) El vector de fuerzas nodales equivalentes de superficie sobre los lados L12 , L(23e) , L(34e ) , L14 de un elemento rectangular bilineal, es igual a: nc f s(e ) = ∑ ∫ N T(e )p c(e ) t dL = ∫ N T( e)p1(−e)2 t dL + ∫ N T(e )p (2e−)3 t dL + ∫ NT(e)p 3(e−)4 t dL + ∫ N T( e)p1(−e)4 t dL L( e ) c =1 L( e ) L(23e ) L(34e ) L(14e ) c 12 (2.99) donde, NT( e) N1( e) 0 N 2( e) 0 = ( e) N 3 0 N ( e) 4 0 0 N1(e ) px( e1)− 2 p x(e2)− 3 (e) (e ) p1− 2 = (e ) , p 2 − 3 = (e ) 0 p y1− 2 p y 2 − 3 (e ) N2 , 0 px( e3)− 4 px( e1−) 4 (e) (e) (e ) = = , p p N3 (e) (e) 3− 4 1− 4 p y 3− 4 p y1− 4 0 N 4(e ) (2.100) Utilizando las submatrices de las funciones de forma por nudo, la ecuación anterior se puede expresar como: f s( e ) f s(1e ) nc ( e ) f i = 1, 2,3,4 = ∑ s(2e ) , f si( e ) = ∫ N (i e )T p(ce ) t dL c =1 f s 3 c = (1 − 2), (2 − 3), (3 − 4), (1 − 4) L(ce ) (e ) f s 4 (2.101) Como lo muestra la Figura 2.5, los lados (1–2) y (3–4) del elemento rectangular bilineal son paralelos al eje coordenado x, por lo tanto las integrales de línea de las funciones de forma sobre dichos lados se puede expresar en términos de x. Sin embargo, dado que las funciones de forma presentadas en la Ecuación (2.54), están expresadas en términos del sistema coordenado natural, la integral de línea en función de ξ se puede obtener así: (e ) ∫ N i t dL = ( e) L12 x2 +1 x1 −1 (e) (e ) (e) ∫ N i t dL = ∫ Ni t dx = ∫ Ni (ξ ,η ) t a dξ L(34e ) t a +1 ta = (1 + si(ξ )ξ )(1 + si(η )η ) dξ = (1 + si(η )η ) ∫ 4 −1 2 (2.102) Las integrales de línea de las funciones de forma sobre el lado (1–2), cuya coordenada natural η = −1 corresponden a: © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 40 Capítulo 2. Elasticidad Tridimensional ∫N (e ) 1 ∫N t dL = t a , ( e) L12 ( e) 2 ∫N t dL = t a , L(12e ) (e) 3 ∫N t dL = 0 , (e ) L12 (e ) 4 t dL = 0 L(12e ) (2.103) Las integrales de línea de las funciones de forma sobre el lado (3–4), cuya coordenada natural η = +1 corresponden a: ∫N (e ) 1 t dL = 0 , L(34e ) ∫N (e) 2 t dL = 0 , L(34e ) ∫N (e) 3 t dL = ta , L(34e ) ∫N (e ) 4 t dL = ta L(34e ) (2.104) Asimismo, los lados (2–3) y (1–4) del elemento rectangular bilineal son paralelos al eje coordenado y, por lo tanto las integrales de línea de las funciones de forma sobre dichos lados se puede expresar en términos de y. Sin embargo, dado que las funciones de forma presentadas en la Ecuación (2.54), están expresadas en términos del sistema coordenado natural, la integral de línea en función de η se puede obtener así: (e ) ∫ Ni t dL = L(23e ) y3 +1 y2 −1 (e) (e ) (e) ∫ N i t dL = ∫ Ni t dy = ∫ N i (ξ ,η ) t b dη L(14e ) (2.105) t b +1 tb = ∫ (1 + si(ξ )ξ )(1 + si(η )η ) dη = (1 + si(ξ )ξ ) 4 −1 2 Las integrales de línea de las funciones de forma sobre el lado (2–3), cuya coordenada natural ξ = +1 corresponden a: ∫N (e ) 1 t dL = 0 , L(23e ) ∫N (e) 2 t dL = t b , L(23e ) ∫N (e) 3 t dL = t b , L(23e ) ∫N (e ) 4 t dL = 0 L(23e ) (2.106) Las integrales de línea de las funciones de forma sobre el lado (1–4), cuya coordenada natural ξ = −1 corresponden a: ∫N (e ) 1 t dL = tb , ( e) L14 ∫N (e ) L14 (e) 2 t dL = 0 , ∫N ( e) L14 (e ) 3 t dL = 0 , ∫N (e) 4 (e ) L14 t dL = tb (2.107) Después de sustituir las integrales de línea de las funciones de forma se obtiene un vector de fuerzas nodales equivalentes de superficie igual a: f s( e ) px( e(1)− 4) 0 px( e(1) − 2 ) 0 (e ) 0 (e) 0 p y (1− 4) p y (1− 2 ) ( e ) 0 0 px( e(1) − 2 ) p x ( 2 − 3) (e) (e ) 0 0 p y ( 2 −3 ) p y (1− 2 ) + tb ( e ) + ta ( e ) + tb = ta px ( 3 − 4 ) 0 p x ( 2 − 3) 0 (e) (e ) 0 p y ( 3− 4 ) 0 p y ( 2 −3 ) p(e) p(e) 0 0 x (3− 4 ) x (1− 4) (e) p y(e(1) − 4) p y ( 3− 4 ) 0 0 (2.108) El vector de fuerzas nodales equivalentes de cuerpo de un elemento rectangular bilineal es de la forma: © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 41 Análisis estructural mediante el método de los elementos finitos N1( e) 0 N 2( e) 0 T = ∫ N ( e)b (e ) t dA = ∫ ( e) N A( e ) A(e ) 3 0 N ( e) 4 0 fb( e ) [ 0 N1(e ) 0 (e) N 2(e ) bx ( e ) t dL 0 by N 3(e ) 0 N 4(e ) (2.109) ] T siendo b ( e ) = bx( e) by( e ) el vector de fuerzas distribuidas por unidad de volumen indicado en la Figura 2.6. f by( e4) η f by( e3) η f bx( e3) f bx( e4) 4 b b 4 3 (e ) y ξ bx(e ) ξ f by( e1) b 1 2 y x 3 1 f by( e2) f bx( e1) 2 f bx( e2) a a Figura 2.6. Elemento rectangular bilineal: fuerzas nodales equivalentes de cuerpo sobre el elemento. Utilizando las submatrices de las funciones de forma por nudo, la ecuación anterior se puede expresar como: fb( e ) fb(1e ) (e ) f = b(2e ) , fbi(e ) = ∫ N i(e )T b (e ) t dA (i = 1,2,3,4) fb 3 A( e ) (e ) fb 4 (2.110) La integral en el área de la función de forma del nudo i del elemento finito e presentada en la Ecuación (2.54), se pueden evaluar en términos del sistema coordenado natural como: ∫N A( e ) (e) i t dA = ∫ +1 +1 −1 ∫ −1 N i( e ) (ξ ,η ) t ab dξ dη tab +1 +1 = (1 + si(ξ )ξ )(1 + si(η )η ) dξ dη = tab 4 ∫−1 ∫−1 (2.111) Después de sustituir las integrales de las funciones de forma en el área del elemento finito se obtiene un vector de fuerzas nodales equivalentes de cuerpo de la forma: © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 42 Capítulo 2. Elasticidad Tridimensional fb( e ) 2.5. bx( e ) (e) by bx( e ) (e) b = tab y( e ) b x( e ) by b( e ) x by( e ) (2.112) Esfuerzos y deformaciones iniciales Adicionalmente a las acciones externas aplicadas consideradas en los apartados anteriores, el sólido también podría estar sometido a esfuerzos y a deformaciones iniciales como por ejemplo, los esfuerzos causados pretensionamiento o las deformaciones generadas por cambios de temperatura. Para este último caso, la matriz columna de la deformación inicial causada por un cambio de la temperatura ∆T en problemas tridimensionales es igual a: ε 0 = [α ∆T α ∆T α ∆T 0 0 0] T (2.113) donde α es el coeficiente de dilatación térmica del material. Si el problema se puede simplificar a condición plana de esfuerzos o a condición plana de deformaciones, la matriz columna de la deformación inicial causada por cambio de la temperatura estará dada por la Ecuación (2.114) y por la Ecuación (2.115), respectivamente. ε 0 = [α ∆T α ∆T 0]T ε 0 = (1 + ν )[α ∆T (2.114) α ∆T 0]T (2.115) Al considerar esfuerzos y deformaciones iniciales, la relación entre el esfuerzo y la deformación se modifica, conservando su linealidad como se ilustra en la xxx para un problema unidimensional. Por lo tanto, la ecuación constitutiva del material incluyendo la matriz columna del esfuerzo inicial σ 0 y de la deformación inicial ε 0 , será de la forma: σ = D (ε − ε 0 ) + σ 0 (2.116) Se observa que se mantiene la proporcionalidad entre el esfuerzo y la deformación mecánica dada por la diferencia entre la deformación total y la deformación inicial. Asimismo, la relación entre el esfuerzo y la deformación en el interior de un elemento finito e cuyos esfuerzos y deformaciones iniciales son constantes es de la forma: σ (e ) (x) = D( e) (ε ( e ) (x) − ε 0( e ) ) + σ 0( e) ∀x ∈ V ( e) (2.117) © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 43 Análisis estructural mediante el método de los elementos finitos Sustituyendo la relación entre la deformación y el desplazamiento nodal presentada en la Ecuación (2.6) en la expresión anterior se tiene que: σ (e ) (x) = D( e )B ( e ) (x) a ( e ) − D( e )ε 0( e) + σ 0( e ) ∀x ∈ V (e ) (2.118) Reemplazando la ecuación anterior y la Ecuación (2.10) en el principio de los trabajos virtuales indicado en la Ecuación (2.1), se obtiene: BT( e) D( e )B ( e ) dV a (e ) = ∫( e ) e =1 V m δaT( e) ∫ NT( e )p ( e ) dS + ∫ NT( e )b (e ) dV + ∫ BT(e ) D( e )ε 0( e ) dV − ∫ BT( e )σ 0(e ) dV + δaT f ( n ) ∑ Γ e =1 V ( e) V (e ) V ( e) t m ∑ δa T ( e) (2.119) El término entre paréntesis a la izquierda de la igualdad anterior se define como la matriz de rigidez del elemento K (e ) mostrado en la Ecuación (2.12). En cambio, el término entre paréntesis a la derecha es el vector de fuerzas nodales equivalentes del elemento f (e ) , el cual corresponde a la suma del vector de fuerzas nodales equivalentes de superficie f s( e ) , de cuerpo fb( e ) , de deformaciones iniciales fε( e ) y de esfuerzos iniciales fσ( e ) , como se indica en la siguientes ecuaciones. f ( e ) = f s(e ) + fb(e ) + fε( e ) + fσ( e ) ∫N f s( e ) = T (e) (2.120) p (e ) dS (2.121) b ( e ) dV (2.122) D( e )ε 0( e) dV (2.123) fσ( e ) = − ∫ BT( e )σ 0(e ) dV (2.124) Γ fb( e ) = ( e) ∫N T (e) V ( e) fε( e ) = ∫B T (e) V ( e) V (e ) El resto de la formulación del método de los elementos finitos está expresado en las ecuaciones (2.14) a (2.21), considerando que el vector de fuerzas nodales equivalente está dado en la Ecuación (2.120) y en las ecuaciones (2.121) a (2.124) . Los vectores de fuerzas nodales equivalentes obtenidos por deformaciones y por esfuerzos iniciales se puede escribir de la siguiente manera: © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 44 Capítulo 2. Elasticidad Tridimensional fε( e ) fε(1e ) (e ) f = ε 2 , fε(ei ) = ∫ B (i e )T D( e)ε 0( e ) dV M V (e) (e ) fε n fσ( e ) 2.5.1. fσ(e1) (e ) f = σ 2 , fσ(ei) = ∫ B (i e )T σ 0( e ) dV M V ( e) (e ) fσ n (i = 1,2,L,4) (i = 1,2,L,4) (2.125) (2.126) Esfuerzos y deformaciones iniciales en un elemento triangular lineal En particular, el vector de fuerzas nodales equivalentes asociadas a las deformaciones iniciales para un elemento triangular lineal es igual a: fε( e ) fε(1e ) = fε(e2) fε(3e ) fε( ei ) = ∫ A( e ) f (e) εi t 2 A( e ) bi 0 0 ci D11( e ) ci ( e ) D bi 12 0 D12(e ) D11(e ) 0 0 ε xx0( e ) 0 ε yy0( e ) dA (i = 1,2,3) D33( e ) γ xy0(e ) (2.127) ( e) 0 ( e) ( e ) 0( e ) ( e) 0 (e ) t bi ( D11 ε xx + D12 ε yy ) + ci D33 γ xy = 2 ci ( D12( e)ε xx0( e) + D22( e )ε yy0( e ) ) + bi D33( e)γ xy0(e ) Asimismo, el vector de fuerzas nodales equivalentes asociadas a los esfuerzos iniciales es igual a: fσ(e ) fσ(ei) 2.5.2. fσ( e1) t = fσ( e2) , fσ(ei) = − ∫ 2 A( e ) A( e ) fσ( e3) 0 ( e) 0 ( e) t biσ xx + ciσ xy = 0 ( e) 2 ciσ yy + biσ xy0( e) bi 0 0 ci σ xx0( e ) ci 0( e ) σ dA (i = 1,2,3) bi 0yy( e ) σ xy (2.128) Esfuerzos y deformaciones iniciales en un elemento rectangular bilineal El vector de fuerzas nodales equivalentes asociadas a las deformaciones iniciales para un elemento rectangular bilineal es igual a: © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 45 Análisis estructural mediante el método de los elementos finitos fε( e ) fε(1e ) (e ) f = ε(e2) , hi (η ) = si(ξ )b (1 + si(η )η ) , g i (ξ ) = si(η ) a (1 + si(ξ )ξ ) fε 3 (e ) fε 4 +1 +1 fε( ei ) f (e) εi 0 t hi (η ) = ∫∫ g i (ξ ) 4 0 −1 −1 D11( e) gi (ξ ) ( e) D12 hi (η ) 0 D12( e ) (e) D22 0 0 ε xx0( e) (2.129) 0 ε yy0( e) dξ dη (i = 1,2,3,4) D33(e ) γ xy0( e ) si(ξ )b( D11( e )ε xx0( e ) + D12( e )ε 0yy(e ) ) + si(η ) a D33(e )γ xy0( e ) = 2t (η ) (e ) 0 (e ) (e ) 0(e ) (ξ ) ( e) 0 (e ) si a ( D12 ε xx + D22 ε yy ) + si bD33 γ xy Asimismo, el vector de fuerzas nodales equivalentes asociadas a los esfuerzos iniciales es igual a: fσ( e ) fσ(e1) (e ) f = σ(e2) , hi (η ) = si(ξ )b (1 + si(η )η ) , g i (ξ ) = si(η ) a (1 + si(ξ )ξ ) fσ 3 (e ) fσ 4 fσ( ei ) σ xx0( e ) 0 gi (ξ ) 0( e ) t hi (η ) = ∫∫ σ yy dξ dη gi (ξ ) hi (η ) 0( e ) 4 0 −1 −1 σ xy +1 +1 (e) σi f 2.6. (i = 1, 2,3,4) (2.130) si(ξ )bσ xx0 (e ) + si(η ) aσ xy0( e) = 2t (η ) 0( e ) (ξ ) 0 ( e) si aσ yy + si bσ xy Algoritmo de cálculo La formulación presentada anteriormente permite obtener el campo de los desplazamientos, las deformaciones y los esfuerzos sobre un sólido en condición plana de esfuerzos o de deformaciones. El procedimiento desarrollado con el método de los elementos finitos se indica en las xxx, donde se incluyen los nombres de las subrutinas y variables implementadas en el programa PEFiCA. © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 46 Crear tabla de incidencias Inicializar variables Leer propiedades E,ν , t dim EYOU,POIS,… EDLECE crear la matriz de rigidez del sistema K Crear tabla numeración de GL por nudo crear matriz de rigidez del sistema llena de ceros MGL() KGL() NGLNUD MTCONS leer de parám. malla Leer tabla indicadores de desplaz conocidos EDLECE MRE() EDTABI Crear tabla de incidencias INC() NGLELE XYZ() leer tabla de desplaz nodales conocidos a β EDLECR MRV() ELE() organizar vector desplaz nodales conocidos EDLECI DBB() ORFUGL y MTSUBM ciclo por elemento finito FGE() MTCONS IELE=1,NELE for IELE=1,NELE for crear matriz de rigidez del elemento K (e ) f s(e ) vector de fuerzas equivalentes de superficie f b(e ) vector de fuerzas equivalentes de cuerpo FES() FEC() FTRIES ó FRECES FTRIEC ó FRECEC KEL() EDTABR Leer tabla de conectividades crear vector de fuerzas del sistema lleno de ceros ciclo por elemento finito NNUD,NELE,NGLN, NNUE,NDIM leer de tabla de coordenadas de nudos crear vector de fuerzas equivalentes del sistema f (1) Notación KTRIEL ó KRECEL Procedimiento general ensamblar la matriz de rigidez del elemento Procedimiento específico FEL()=FES()+FEC() MTSUMA KEL(), KGL() ensamblar vector de fuerzas equivalentes ENSAMK FEL(), FGE() ENSAMV Variable SUBRUTINA Sumar fuerzas equivalent Next IELE Next IELE Capítulo 2. Elasticidad Tridimensional © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 Figura 2.7. Algoritmo de cálculo para problemas mecánicos bidimensionales (parte 1). lectura de datos de entrada cálculo del vector de desplazamientos nodales cálculo de deformaciones y esfuerzos extraer submatrices de rigidez K αα , K αβ ciclo por elemento finito FXY() KAA() IELE=1,NELE EDTABR MTSUBM for organizar vector fuerzas nodales conocidos extraer submatrices de fuerza fα FGN() FAA() leer tabla de fuerzas nodales conocidas f (n ) Crear matriz constitutiva elástica del elem. D (e) crear vector de operador difer. f. forma B (e ) (x p ) BEL() BTRIEL ó BRECEL crear vector deformación ε ( e ) ( x p ) = B ( e ) ( x p )a ( e ) CEL() CELAPL ORFUGL y MTSUBM MTSUBM Sumar fuerzas FGL()=FGN()+FGE() multiplicar K αβ a β MTSUMA TM1() DAA() MTMULT SOCHLK restar fα − K αβ a β constr. vector desplaz nodales a = [aαT , aTβ ]T TM2() DGL() MTREST MTADJU solucionar el sist. ecuac. K αα aα = fα − Kαβ a β EPE() MTMULT extraer vector desplaz. nodales del elem. a (e ) Crear vector de esfuerzos DEL() σ ( e ) ( x p ) = D ( e ) ε ( e ) (x p ) EXTRAV STE() Análisis estructural mediante el método de los elementos finitos Figura 2.8. Algoritmo de cálculo para problemas mecánicos bidimensionales (parte 2). © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 crear vector de fuerzas del sistema f (2) MTMULT Ciclo por punto interno del elemento ( x p ) ( e) IPOI=1,NPOI for Organizar esfuerzos o deformaciones por nudo Next IPOI Next IELE NXX() ORSONO 47 48 Capítulo 2. Elasticidad Tridimensional 2.7. Aproximación de los elementos bidimensionales lineales a flexión pura Los elementos finitos triangular lineal y rectangular bilineal representan adecuadamente el comportamiento de sólidos sometidos a tracción o compresión uniforme. Sin embargo, en estructuras donde predomina la flexión, la precisión de tales elementos es baja, haciendo necesaria la utilización de mallas finas para representar el comportamiento. De acuerdo con la teoría de vigas, las componentes del desplazamiento en una región rectangular de base 2a y altura 2b corresponden a: u (ξ ,η ) = M Ma 2 Mb2 1−ξ 2 + 1 −η 2 abξη , v(ξ ,η ) = EI 2 EI 2 EI ( ) ( ) (2.131) siendo ξ y η las coordenadas en sistema coordenado natural cuyo origen corresponde con el centro del rectángulo (Figura 2.4). Como lo indica la Figura 2.9(a), el desplazamiento en dirección y varia de forma cuadrática con respecto a ξ y η . En cambio, un elemento finito rectangular de cuatro nudos conserva sus lados rectos cuando se deforma (Figura 2.9(b)), y por lo tanto las componentes de desplazamiento en flexión pura son: u (r , s ) = u rs , v(r , s ) = 0 η u u 4 v (ξ ,η ) u (ξ ,η ) (2.132) u u ξ M M M M 1 (a) u 3 u u (b) 2 u Figura 2.9. Región rectangular sometida a flexión pura: (a) deformada real, (b) deformada de un elemento finito rectangular bilineal. Por otro lado, la deformación angular obtenida a partir de las derivadas del campo del desplazamiento exacto se obtiene de la forma: γ xy = γ xy ∂u ∂v ∂u ∂ξ ∂u ∂η ∂v ∂ξ ∂v ∂η + = + + + ∂y ∂x ∂ξ ∂y ∂η ∂y ∂ξ ∂x ∂η ∂x M 1 Ma 2 (2ξ ) 1 = 0 = abξ − EI b 2 EI a (2.133) El resultado anterior ratifica que el esfuerzo cortante σ xy = γ xy E 2(1 + ν ) en un estado de flexión pura es nulo. En cambio, la deformación angular calculada a partir de las componentes de desplazamiento en un elemento rectangular bilineal es igual a: © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 49 Análisis estructural mediante el método de los elementos finitos γ xy = uξ a (2.134) Lo anterior indica la existencia de una deformación angular ficticia en flexión pura, generando un aumento de la rigidez de la estructura. Sin embargo, los errores inducidos se reducen con mallas finas o con técnicas de adición de nudos intermedios e integración reducida (Oñate 1995). 2.8. Elementos finitos bidimensionales de orden superior Algunos de los elementos finitos definidos en el espacio bidimensional cuya función de forma es de orden mayor obtenidos de formulaciones paramétricas se indican en la Figura 2.10 (Bathe 1996). © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 50 Capítulo 2. Elasticidad Tridimensional Figura 2.10. Elementos finitos bidimensionales. © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 Capítulo 3 Problemas de elasticidad bidimensional Este capítulo describe la formulación, implementación y aplicación del método de los elementos finitos en el cálculo de los desplazamientos, las deformaciones y los esfuerzos en sólidos en condición plana de esfuerzos y de deformaciones, sometidos a fuerzas estáticas puntuales o distribuidas, cuyo material es elástico lineal isótropo (Zienkiewicz 1980; Segerlin 1984; Weaver & Johnson 1984; Cook, Malkus et al. 1989; Oñate 1995; Hughes 2000; Oñate & Zárate 2000). 3.1. Ejemplo de aplicación: ménsula de concreto sometida a una carga distribuida La ménsula de una columna de concreto cuyas dimensiones se presentan en la Figura 3.1(a), soporta una reacción vertical de 100 kN dada por el extremo de una armadura como lo ilustra la Figura 3.1(b). La carga vertical se distribuye en una placa de apoyo de 0.10m por 0.40m ubicada a 0.20m de la cara interior de la columna. El concreto tiene un módulo de Young de 20.0 × 106 kN/m2 y una relación de Poisson de 0.25. El dominio modelado contiene el volumen de la ménsula y de un tramo de columna 0.20m por encima y por debajo de la ménsula. armadura 2500 kN/m2 0.20 0.20 100 kN 0.10 0.30 placa de apoyo dominio modelado ménsula 0.20 y t = 0.40 x 0.40 0.35 0.20 (a) columna (b) Figura 3.1. Ménsula de concreto sometida a una carga distribuida: (a) geometría, cargas y condiciones de borde del dominio modelado, (b) esquema del sistema estructural. 52 Capítulo 3. Problemas elasticidad bidimensional El problema se simplifica a una condición plana de esfuerzos de dominio bidimensional en el plano xy con espesor de 0.40m, el cual se subdivide en 303 elementos triangulares lineales conectados entre sí por 179 nudos (Figura 3.2(a)). Las condiciones de borde corresponden a desplazamientos restringidos en ambas direcciones sobre los extremos superior e inferior de la columna. La carga distribuida se aplica sobre uno de los lados de los elementos finitos 1 y 3. El primero de los resultados del problema es el desplazamiento de cada uno de los nudos de la malla. La Figura 3.2(b) ilustra la geometría deformada exagerada de la ménsula y la Figura 3.3 muestra las curvas de igual desplazamiento en las direcciones x y y. 2500 kN/m 2 1 3 (a) (b) Figura 3.2. Ménsula de concreto sometida a una carga distribuida: (a) malla de elementos finitos, (b) geometría deformada. u (m) (a) v (m) (b) Figura 3.3. Ménsula de concreto sometida a una carga distribuida: (a) curvas de igual desplazamiento en dirección x, (b) curvas de igual desplazamiento en dirección y. © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 53 Análisis estructural mediante el método de los elementos finitos A partir de los desplazamientos nodales se calcularon las deformaciones en el interior de cada elemento con la Ecuación ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.. El valor promedio en los nudos de la deformación longitudinal en dirección x mostrada en la Figura 3.4(a), establece que la deformación máxima de extensión es de 8.49 × 10-5 en la intersección entre la cara superior de la ménsula y la columna, y que la deformación máxima de contracción es igual a -4.83 × 10-5 en la intersección entre la cara inferior de la ménsula y la columna. El esfuerzo en el interior de cada elemento se obtiene del producto entre la matriz constitutiva elástica y el vector de deformaciones indicado en la Ecuación ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.. La Figura 3.4(b) muestra la distribución de la componente de esfuerzo normal en dirección x, donde se observa que los valores máximo de tracción y compresión son de 1730 kN/m2 y -1170 kN/m2, respectivamente. ε xx (a) σ xx ( kN / m 2 ) (b) Figura 3.4. Ménsula de concreto sometida a una carga distribuida: (a) distribución de la deformación longitudinal en dirección x, (b) distribución del esfuerzo normal en dirección x. De la misma forma se obtienen las distribuciones de las componentes de esfuerzo normal en la dirección y y cortante en el plano xy como lo indica la Figura 3.5. Finalmente, se calculan los esfuerzos principales σ 1 ,σ 2 , los cuales se ilustran en la Figura 3.6. © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 54 Capítulo 3. Problemas elasticidad bidimensional σ yy (kN / m 2 ) (a) σ xy (kN / m 2 ) (b) Figura 3.5. Ménsula de concreto sometida a una carga distribuida: (a) distribución del esfuerzo normal en dirección y, (b) distribución del esfuerzo cortante en el plano xy. σ 1 ( kN / m 2 ) (a) σ 2 (kN / m 2 ) (b) Figura 3.6. Ménsula de concreto sometida a una carga distribuida: (a) distribución del esfuerzo normal en dirección y, (b) distribución del esfuerzo cortante en el plano xy. 3.2. Ejemplo de aplicación: principio de Saint Venant Con el fin de demostrar el principio de concentración de esfuerzos de Saint Venant (Timoshenko & Goodier 1970; Ortiz 1998), se analizó una lámina de acero de base b = 0.40m por una altura h = 2.5b =1.00m, la cual está sometida a la carga puntual P = 2 kN en el extremo superior mostrada en la Figura 3.7(a). El acero tiene un módulo de Young de 200.0 × 106 kN/m2 y una relación de Poisson de 0.25. © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 55 Análisis estructural mediante el método de los elementos finitos P/2=1kN P b/4 b/2 d 0.10 b h/2 0.10 y x 0.20 h/2 010 b/2 b/2 P (a) 0.20 (b) Figura 3.7. Principio de Saint Venant: (a) geometría de una lámina sometida a una carga puntual P, (b) malla de elementos finitos y condiciones de borde. Se desea obtener la distribución del esfuerzo normal en dirección y sobre tres cortes horizontales a las distancias de b/4, b/2 y b desde la cara superior. En virtud de la doble simetría del problema se modeló la cuarta parte de la lámina indicada en la Figura 3.7(a). Los ejes de simetría establecen que el desplazamiento vertical sobre el eje horizontal y el desplazamiento horizontal sobre el eje vertical están restringidos, como se muestra en la Figura 3.7(b). El dominio modelado está divido en 499 elementos triangulares lineales conectados entre sí por 284 nudos, dispuestos de tal manera que los cortes donde se desea evaluar el esfuerzo normal correspondan con los nudos de la malla. © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 56 Capítulo 3. Problemas elasticidad bidimensional v (m) (a) (b) Figura 3.8. Principio de Saint Venant: (a) geometría deformada, (b) curvas de igual desplazamiento en dirección y. Después de obtenido los desplazamientos en los nudos, el programa dibuja la geometría deformada del modelo mostrada en la Figura 3.8(a) y las curvas de igual componente de desplazamiento en dirección y indicada en la Figura 3.8(b). La distribución del esfuerzo normal en dirección y calculado en el dominio, se dibuja mediante el gráfico iso líneas de esfuerzo presentado en la Figura 3.9(a). Allí se observa que a pesar que el esfuerzo bajo la carga puntual es teóricamente infinito, el resultado numérico obtenido con esta malla es de 8.65 × 103 kN/m2. © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 57 Análisis estructural mediante el método de los elementos finitos 3.0 d=b/4 d=b/2 d=b 2.5 σ yy σ med d>>b 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.00 0.05 0.10 x (m) 0.15 0.20 (b) 2 (a) σ yy ( kN / m ) Figura 3.9. Principio de Saint Venant: (a) curvas de igual esfuerzo normal en dirección y, (b) distribución del esfuerzo normar en dirección y sobre tres cortes horizontales. Finalmente se obtiene la distribución de esfuerzos en dirección y sobre tres cortes horizontales, la Figura 3.9(a) presenta gráficamente dichos resultados. Se observa que el esfuerzo normal toma un valor máximo sobre el eje de la carga aplicada 2.59 veces mayor al esfuerzo medio sobre el corte a b/4, 1.44 veces mayor al esfuerzo medio sobre el corte a b/2 y 1.03 veces mayor al esfuerzo medio sobre el corte a b. Por lo tanto se demuestra que la distribución del esfuerzo normal es aproximadamente igual al esfuerzo medio para distancias superiores a el ancho b con respecto al punto de aplicación de la carga. 3.3. Ejemplo de aplicación: estructura de drenaje La estructura de drenaje hecha de concreto soporta una fuerza distribuida uniforme de w = 5000 kN/m2 en su cara superior como lo muestra la Figura 3.10. El material tiene un tiene un módulo de Young de 20.0 × 106 kN/m2 y una relación de Poisson de 0.3. Se desea obtener la distribución de esfuerzos principales en la estructura (Weaver & Johnson 1984). © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 58 Capítulo 3. Problemas elasticidad bidimensional w 3.00 5.20 3.00 3.00 3.00 3.00 Figura 3.10. Estructura de drenaje. Esquema descriptivo de geometría y cargas aplicadas. w 5.20 (a) 3.00 (b) 3.00 Figura 3.11. Estructura de drenaje: (a) malla de elementos finitos y condiciones de borde, (b) geometría deformada. El problema se simplifica a una condición plana de deformaciones con un espesor unitario. Dada la simetría del problema se modela la mitad del sólido indicada en la Figura 3.10. El dominio modelado se subdivide en 479 elementos triangulares lineales conectados entre sí por 281 nudos como lo indica la Figura 3.11(a). A partir de los desplazamientos nodales obtenidos se dibuja la geometría deformada del modelo (Figura 3.11(b)) y el campo de las componentes de desplazamiento en las direcciones x y y (Figura 3.12). © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 59 Análisis estructural mediante el método de los elementos finitos u (m ) v (m) (b) (a) Figura 3.12. Estructura de drenaje. Curvas de igual desplazamiento: (a) componente en dirección x, (b) componente en dirección y. Después de obtenidas las componentes esfuerzo σ xx , σ yy , σ xy del elemento se calculan los esfuerzos principales σ 1 , σ 2 . La Figura 3.13 y Figura 3.14 muestra la distribución de los esfuerzos principales en la malla obtenido como el valor promedio en los nudos o valor suavizado y como el valor en el interior de cada elemento o valor no suavizado. Los esfuerzos máximos a tracción y a compresión observados del valor promedio en los nudos son de 7.25 × 103 kN/m2 y -16.8 × 103 kN/m2 respectivamente. σ 1 (kN / m 2 ) (a) (b) Figura 3.13. Estructura de drenaje. Distribución del primer esfuerzo principal: (a) valor promedio en los nudos, (b) valor en el interior de los elementos. © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 60 Capítulo 3. Problemas elasticidad bidimensional σ 2 (kN / m 2 ) (a) (b) Figura 3.14. Estructura de drenaje. Distribución del segundo esfuerzo principal: (a) valor promedio en los nudos, (b) valor en el interior de los elementos. © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 Capítulo 4 Formulación del problema elástico lineal tridimensional mediante el método de los elementos finitos Retomando la formulación general del problema elástico lineal en el marco del método de los elementos finitos presentada en el Apartado 2.1, en este capítulo se deduce un elemento finito tridimensional de elasticidad lineal y se describen algunos ejemplos de aplicación. 4.1. Elemento tetraédrico de cuatro nudos El elemento tetraédrico de cuadro nudos es la extensión tridimensional del elemento triangular lineal. En este elemento se considera que las componentes del campo de los desplazamientos en su interior se describen mediante funciones de aproximación lineales de la forma: u ( e ) ( x, y , z ) = α1 + α 2 x + α 3 y + α 4 z ∀( x, y , z ) ∈ V ( e) v ( e ) ( x, y, z ) = α 5 + α 6 x + α 7 y + α 8 z ∀( x, y, z ) ∈ V ( e ) ( e) w ( x, y, z ) = α 9 + α10 x + α11 y + α12 z ∀( x, y , z ) ∈ V (4.1) (e ) Recordando que cada desplazamiento nodal corresponde a una de las componentes de desplazamiento en un nudo del elemento como lo indica la Figura 4.1, por lo tanto los cuatro desplazamientos nodales en dirección x son iguales a: u1( e ) = u (e ) ( x1 , y1, z1 ) = α1 + α 2 x1 + α 3 y1 + α 4 z1 u2( e ) = u (e ) ( x2 , y2 , z 2 ) = α1 + α 2 x2 + α 3 y2 + α 4 z 2 u3( e ) = u (e ) ( x3 , y3 , z3 ) = α1 + α 2 x3 + α 3 y3 + α 4 z3 (4.2) u4( e ) = u (e ) ( x4 , y4 , z 4 ) = α1 + α 2 x4 + α 3 y4 + α 4 z 4 Este sistema de ecuaciones simultaneas permite obtener a las coordenadas generalizadas Sustituyendo las coordenadas generalizadas en la función de aproximación del desplazamiento en x dada en la Ecuación (4.1), se tiene que: α1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 en función de los desplazamientos nodales u1, u2 , u3 , u4 . 62 Capítulo 4. Formulación del problema elástico lineal tridimensional u ( e ) (x) = N1(e ) (x)u1( e ) + N 2( e) (x)u2(e ) + N 3( e ) (x)u3(e ) + N 4( e ) (x)u4( e) (4.3) donde la función de forma del nudo i en el elemento e indicada como N i( e) es igual a: N i(e ) ( x, y, z ) = 1 (ai + bi x + ci y + di z ) ∀( x, y, z ) ∈ V ( e ) ( e) 6V (4.4) siendo, xj ai = xk xl yj yk yl zj zk zl 1 , bi = − 1 1 yj yk yl zj zk zl (4.5) xj ci = xk xl 1 1 1 zj zk zl xj , d i = xk xl yj yk yl 1 1 1 Los índices corresponden a la siguiente regla de permutación: i, j , k , l = 1,2,3,4 ; i, j, k , l = 2,3,4,1 ; i, j , k , l = 3,4,1,2 ; i, j, k , l = 4,1,2,3 w4(e ) u4( e ) 4 v4( e) w(e ) (e) 1 w u (e ) w3(e ) ( x, y , z ) v (e ) u1( e ) 3 z u3( e ) v3( e) w2(e ) 1 v1( e) u 2( e ) x y v2( e) 2 Figura 4.1. Elemento tetraédrico de cuatro nudos: esquema descriptivo. Asimismo, las componentes de desplazamiento en dirección y y z se pueden expresar en función de los valores nodales de desplazamiento de la forma: u ( e ) (x) = N1( e ) (x)u1( e) + N 2(e ) (x)u2( e ) + N 3( e) (x)u3(e ) + N 4( e ) (x)u4( e ) v ( e ) (x) = N1( e) (x)v1(e ) + N 2( e ) (x)v2( e) + N 3(e ) (x)v3( e ) + N 4(e ) (x)v4(e ) (4.6) w( e ) (x) = N1(e ) (x) w1(e ) + N 2( e ) (x) w2(e ) + N 3( e ) (x)w3( e ) + N 4(e ) (x) w4( e ) © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 63 Análisis estructural mediante el método de los elementos finitos En problemas mecánicos tridimensionales, el vector de desplazamientos nodales del elemento finito e está conformado por las componentes de desplazamiento en cada uno de los nudos de la forma: [ a (e ) = a1(e )T a(2e )T a(3e )T ] T a (4e)T (4.7) siendo a (i e ) el subvector de componentes de desplazamiento del nudo i, es decir: [ ai(e ) = ui( e ) vi( e) wi(e ) ] T (4.8) Por lo tanto, la matriz de funciones de forma de un elemento tetraédrico de cuatro nudos se expresa como: [ N ( e) = N1( e ) N (2e ) N (3e) N (4e ) ] (4.9) donde la submatriz de funciones de forma del nudo i es igual a: N ( e) i N i(e ) = 0 0 0 0 N i( e ) 0 (e ) i N 0 (4.10) De acuerdo con las expresiones anteriores, el campo vectorial de los desplazamientos en T el interior del elemento u ( e ) = u (e ) v ( e ) w( e ) cuyas componentes están expresadas en la Ecuación (4.6), se puede escribir de forma matricial como u (e ) = N (e )a( e ) . El operador diferencial para problemas mecánicos tridimensionales actuando sobre la matriz de funciones de forma es igual a: [ ] [ B (e ) = B1(e ) B (2e ) B (3e ) B (4e) ] (4.11) donde la submatriz de operadores diferenciales actuando sobre funciones de forma del nudo i es igual a: B (e) i ∂ x 0 0 = ∂ y ∂ z 0 0 ∂y 0 ∂x 0 ∂z 0 0 ( e) N ∂z i 0 0 0 ∂x ∂ y 0 N i(e ) 0 ∂ x N i( e ) 0 0 0 0 = ∂ y N i( e ) ( e) Ni ∂ N (e ) z i 0 0 ∂ y N i(e ) 0 ∂ y N i(e ) 0 ∂ z N i( e ) 0 0 ∂ z N i(e ) 0 ∂ x N i( e ) ∂ y N i( e ) (4.12) Sustituyendo la expresión de las funciones de forma de un elemento tetraédrico dada en la Ecuación (4.4) se obtiene que: © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 64 Capítulo 4. Formulación del problema elástico lineal tridimensional B (i e ) = 1 6V (e ) bi 0 0 ci d i 0 0 ci 0 bi 0 di 0 0 di 0 bi ci (4.13) Los términos de la matriz anterior son constantes con respecto a la posición en el interior del elemento. Asimismo, la matriz columna de las componentes de deformación T ε ( e ) = ε xx ε yy ε zz γ xy γ xz γ yz en el interior del elemento tetraédrico de cuatro nudos dadas de la forma ε ( e) = B (e ) a ( e ) también es constante. Conocido el campo de las deformaciones, la matriz columna de las componentes de esT fuerzo σ ( e ) ( x, y, z ) = σ xx σ yy σ zz σ xy σ xz σ yz en el interior del elemento está definido como σ ( e) = D( e ) ε (e ) , siendo D( e ) la matriz constitutiva de un material elástico, lineal e isótropo dada en la Ecuación (1.16). La matriz de rigidez de un elemento tetraédrico de cuatro nudos se obtiene a partir de la Ecuación (2.12), definida para elementos finitos tridimensionales, como se indica a continuación: [ ] [ K (e) (e) K11 = sim K (ije ) = ∫B ( e)T i ] (e ) K 12 (e ) K 13 K (22e ) K (23e ) (e ) K 33 D( e )B (je) dV (e) K 14 K (24e ) K (34e ) K (44e ) (i, j = 1,2,3,4) V ( e) K (e) ij ( D11bi b j + D44 ci c j + D55 d i d j ) ( D12 bi c j + D44 ci b j ) 1 = ( D12ci b j + D44 bi c j ) ( D22ci c j + D44bi b j + D66 d i d j ) 36V (e ) ( D13 d i b j + D55bi d j ) ( D23d i c j + D66 ci d j ) (4.14) ( D23ci d j + D66 d i c j ) ( D33d i d j + D55bi b j + D66 ci c j ) ( D13bi d j + D55 d i b j ) El vector de fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas de cuerpo o distribuidas por unidad de volumen fb(e ) del elemento tetraédrico de cuatro nudos se obtiene a partir de la Ecuación (2.13) es igual a: © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 65 Análisis estructural mediante el método de los elementos finitos fb( e ) fb(1e ) bx(e ) (e ) (e ) f V (e ) = b(2e ) , fbi(e ) = ∫ N (i e )T b ( e ) dV = by (i = 1, 2,3,4) fb3 4 ( e) V bz(e ) (e ) fb 4 4 1 3 (4.15) 4 (e) (e) A124 px124 ) p x( e124 3 1 3 1 3 (e) (e) A124 px124 1 z x 2 1 3 y (e) (e) A124 px124 2 Figura 4.2. Elemento tetraédrico de cuatro nudos: presión en dirección x sobre la cara 124. El vector de fuerzas nodales equivalentes a las cargas distribuidas por unidad de superficie f s(e ) actuantes sobre las nc caras del elemento es igual a: nc f s( e ) = ∑ f sc(e ) , f sc(e ) c =1 f si( e ) = ∫N Ac( e ) ( e )T i f sc( e1) p xc( e) (e) f = sc( e2) , p (ce ) = p (yce) f sc 3 p zc( e) (e) f sc 4 (4.16) i = 1, 2,3, 4 p (ce ) dA c = (123), (124), (234), (134) donde para cada cara se tiene que: (e) A123 3 A( e ) e) f s(124 = 124 3 A (e ) e) f s(234 = 234 3 A( e ) e) f s(134 = 134 3 e) = f s(123 [p (e) x123 ) p (ye123 e) p z(123 ) px( e123 ) p (ye123 e) p z(123 ) p x( e123 [p (e ) x124 ) p y( e124 e) p z(124 ) p x( e124 ) p y( e124 e) p z(124 0 0 0 [0 [p 0 0 (e ) x134 ) px( e234 ) p y( e134 ) p y(e234 e) p z(134 ) p z( e234 0 0 0 ) p x( e234 ) px( e134 © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 ) p y( e234 ) p y( e134 ) p y( e123 ) pz( e234 e) p z(134 e) pz(123 ) p x( e124 ) px( e234 ) p x( e134 0 0 0 ) p y( e124 ) p y( e234 ) p y( e134 ] e) p z(124 T ] T ) p z( e234 e) p z(134 ] T ] T 66 Capítulo 4. Formulación del problema elástico lineal tridimensional (4.17) ) Por ejemplo, la presión p x(e124 aplicada en dirección x sobre la cara 1 – 2 – 4 es equiva(e ) (e ) lente a fuerzas puntuales en los nudos 1, 2 y 4 de 13 A124 px124 , como lo ilustra la Figura 4.2. 4.2. Otros elementos finitos tridimensional En un espacio tridimensional se definen elementos finitos tetraédricos y hexaédricos, de forma análoga a la formulación de los elementos bidimensionales triangulares y cuadrilaterales. Por ejemplo, el producto entre tres polinomios de Lagrange permite obtener las funciones de forma de un elemento hexagonal de lados rectos (Oñate 2009). Figura 4.3. Elementos tridimensionales isoparamétricos: geometría real y normalizada. © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 Análisis estructural mediante el método de los elementos finitos © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 67 Capítulo 5 Formulación de estructuras laminares elásticas lineales mediante el método de los elementos finitos Las estructuras laminares son sólidos que tienen dos dimensiones sustancialmente mayores a la tercera denominada espesor, la cual está sometida principalmente a cargas perpendiculares al plano generado por las dos dimensiones mayores. La relación de aspecto permite representar geométricamente a estas estructuras mediante una superficie establecida a la mitad de su espesor llamada superficie media o plano medio, como lo muestra la xxx. Esté tipo de estructura se denomina placa si su superficie media es plana, en cambio se define como lámina o cascarón cuando la superficie media no lo es. Es posible analizar a las estructuras laminares con elementos finitos sólidos, sin embargo, esto conlleva un costo computacional elevado y en algunos casos incluso a un mal condicionamiento de las ecuaciones (Zienkiewicz 1980). La teoría de placas es una simplificación de la elasticidad tridimensional, obtenida de forma análoga a la presentada en la teoría de vigas, donde los esfuerzos y las deformaciones en el espesor de la estructura se expresan mediante cantidades equivalentes sobre el plano medio. La teoría de vigas describe la flexión en una dirección, en cambio, la teoría de placas incluye torsión y flexión en dos direcciones. Sea una placa de espesor constante t, cuya superficie media coincide con el plano xy, sometida a cargas normales al plano medio y a momentos contenidos en dicho plano, como lo indica la Figura 5.1. La teoría general de placas considera las siguientes hipótesis: • Hipótesis 1. Las componentes del desplazamiento de los puntos materiales del plano medio paralelas a él son iguales a cero, es decir u = v = 0 . Por lo tanto, los puntos materiales del plano medio solo se desplazan en dirección z. • Hipótesis 2. El esfuerzo normal en dirección z es despreciable. • Hipótesis 3. Los puntos materiales que hacen parte de una misma línea recta normal al plano medio tienen el mismo desplazamiento en dirección z. • Hipótesis 4. Los puntos materiales que conforman una línea recta normal al plano medio antes de la aplicación de las cargas, permanecen sobre la misma línea recta después de aplicadas las cargas. 70 Capítulo 5. Formulación de estructuras laminares elásticas lineales t y z plano medio (z=0) x t dx dy Figura 5.1. Placa delgada: esquema general. De acuerdo con la relación espesor/ancho de la placa puede o no considerarse que las líneas normales al plano medio en la configuración no deformada, permanecen ortogonales en la configuración deformada. De lo anterior se derivan las siguientes dos modalidades de la teoría de placas (Oñate 2009): • La teoría placas de Kirchhoff se aplica exclusivamente a placas delgadas cuya relación espesor/ancho es menor a 0.10. Como hipótesis adicional (hipótesis 5) se considera que las líneas normales al plano medio en la configuración no deformada, permanecen ortogonales en la configuración deformada, es decir que las deformaciones por cortante transversales se desprecian. Los elementos finitos basados en esta teoría tienen continuidad C1 debido a la presencia de derivadas segundas de la deflexión en la expresión de los trabajos virtuales, siendo análoga a la teoría de vigas de Euler – Benoulli. • La teoría de Reissner – Mindlin se aplica principalmente a placas cuya relación espesor/ancho es mayor a 0.10, denominadas placas gruesas. Como hipótesis adicional (hipótesis 5) se considera que las líneas normales al plano medio en la configuración no deformada, no son necesariamente ortogonales en la configuración deformada. Esta teoría puede aplicarse a placas delgadas utilizando técnicas de integración reducida o de campos de deformación cortante impuesto que eliminen la influencia excesiva del cortante transversal en la rigidez de la placa. Los elementos finitos basados en esta teoría tienen continuidad C0, siendo análogos a la teoría de vigas de Timoshenko. 5.1. Análisis de placas delgadas 5.1.1. Teoría de placas de Kirchhoff A partir de las hipótesis 4 y 5 indicadas anteriormente, la teoría de placas de Kirchhoff define a θ x como el ángulo en el plano xz, formado entre una línea recta normal al plano medio en la configuración no deformada y la línea recta formada por los mismos puntos materiales en la configuración deformada, como lo muestra la Figura 5.2(a). Este ángulo se © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 71 Análisis estructural mediante el método de los elementos finitos considera positivo en la dirección –y. Asimismo, θ y es el ángulo en el plano yz, formado entre una línea recta normal al plano medio en la configuración no deformada y la línea recta formada por los mismos puntos materiales en la configuración deformada, como lo muestra la Figura 5.2(b). Este ángulo es positivo en dirección +x. Considerando además a la hipótesis 1 y recordando que el plano medio está ubicado en z = 0 , las componentes del desplazamiento en dirección x y y, se pueden expresar de la forma: u ( x, y , z ) = − z θ x ( x, y ) (5.1) v( x, y , z ) = − z θ y ( x, y ) z dy z dy dx dx θy y v yu t 2 θx x x t 2 θx (a) (b) θy Figura 5.2. Placa delgada: (a) deformada en el plano xz, (b) deformada en el plano yz. De la hipótesis 3 se deduce que la componente del desplazamiento en dirección z es independiente de la componente de la posición en dirección z, es decir: w( x, y, z ) = w( x, y ) (5.2) Se observa que la componente del desplazamiento lineal en dirección z y los desplazamientos angulares θ x y a θ y son constantes para todo z, es decir, son característicos de cualquier superficie paralela a la superficie media de la placa. La hipótesis 5 define una relación entre los desplazamientos angulares y las primeras derivadas del desplazamiento en dirección z, de la forma: θx = ∂w ∂w , θy = ∂x ∂y (5.3) En otras palabras, el desplazamiento angular de una línea inicialmente normal al plano medio coincide con la pendiente de dicho plano. Sustituyendo la ecuación anterior en la expresión (5.1) se obtiene el campo del desplazamiento sobre la placa como: © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 72 Capítulo 5. Formulación de estructuras laminares elásticas lineales u ( x, y, z ) = − z ∂w( x, y ) ∂w( x, y ) , v( x, y, z ) = − z ∂x ∂y (5.4) El campo de la deformación se determina a partir de la relación entre las componentes de la deformación y del desplazamiento de la mecánica tridimensional para deformaciones infinitesimales, así: ∂u ∂2w ∂v ∂2w ∂u ∂v ∂2w = − z 2 , ε yy = = − z 2 , γ xy = + = −2 z ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y ∂x ∂x∂y ∂w ∂u ∂w ∂v ∂w ε zz = = 0 , γ xz = + = 0 , γ yz = + =0 ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y ε xx = (5.5) Las componentes de la deformación diferentes de cero se pueden organizar en una matriz columna de la forma: [ ε ( x, y, z ) = ε xx ε yy γ xy ] T ∂ 2w = −z 2 ∂x ∂ 2w ∂y 2 ∂2w 2 ∂x∂y T (5.6) Se observa que la matriz columna de las deformaciones depende linealmente de la posición en dirección z y de una matriz columna constate para cualquier superficie paralela al plano medio que representa a las curvaturas de la placa. A esta última se le denomina matriz columna de deformaciones generalizadas o de curvaturas y se expresa como: [ Φ ( x, y ) = Φ xx Φ yy Φ xy ] T ∂ 2w = − 2 ∂x ∂ 2w − 2 ∂y ∂2w −2 ∂x∂y T (5.7) y por lo tanto, ε ( x, y , z ) = z Φ ( x, y ) (5.8) Se define al operador diferencial para el problema mecánico de placas delgadas con respecto al sistema coordenado xy de la forma: ∂2 ∇ = − 2 ∂x ∂2 − 2 ∂y ∂2 −2 ∂x∂y T (5.9) Por lo tanto, la matriz de deformaciones generalizadas también se puede escribir de forma condensada como: Φ ( x, y ) = ∇w( x, y ) (5.10) De la relación constitutiva para un material elástico lineal isótropo se establece que las componentes del esfuerzo cortante transversal son nulas, es decir σ xz = σ yz = 0 . Además, al considerar despreciable el esfuerzo normal en dirección z ( σ zz = 0 ) como lo indica la hipótesis 2, se puede establecer una condición plana de esfuerzos en cada uno de las super- © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 73 Análisis estructural mediante el método de los elementos finitos ficies paralelas al plano medio de la placa. Por lo tanto, la relación entre las componentes de esfuerzo y de deformación será de la forma: σ ( x, y, z ) = D ε( x, y , z ) (5.11) siendo: σ xx E σ = σ yy , D = 1 −ν σ xy 2 1 ν ν 1 0 0 0 0 1 (1 − ν ) 2 (5.12) El esfuerzo normal en dirección x genera un momento flector alrededor del eje y de la placa definido como: M x = ∫ zσ xx dA (5.13) El momento flector alrededor del eje y por unidad de longitud en el plano de la placa ( dA = 1 ⋅ dz ) como lo ilustra la Figura 5.3(a), generado por el esfuerzo normal en dirección x, está definido como: M xx = ∫ +t 2 −t 2 zσ xx dz (5.14) El momento flector alrededor del eje x por unidad de longitud en el plano de la placa (Figura 5.3(b)), generado por el esfuerzo normal en dirección y es igual a: M yy = ∫ +t 2 −t 2 zσ yy dz © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 (5.15) 74 Capítulo 5. Formulación de estructuras laminares elásticas lineales z z dy dy dx dx t 2 σ xx y y Mx x x t 2 (a) z dy dx z σ yy dy dx My y y t 2 x x t 2 (b) z z dy dy dx dx σ xy σ yx y y M yx x x M xy (c) Figura 5.3. Esfuerzos y momentos por unidad de longitud en placas: (a) esfuerzo normal en x, (b) esfuerzo normal en y, (c) esfuerzo cortante en el plano xy. El momento torsor alrededor del eje y por unidad de longitud en el plano de la placa, generado por el esfuerzo cortante en dirección y sobre el plano x (Figura 5.3(c)), es igual al momento torsor alrededor del eje x por unidad de longitud en el plano de la placa, generado por el esfuerzo cortante en dirección x sobre el plano y, los cuales se pueden expresar como: M xy = M yx = ∫ +t 2 −t 2 zσ xy dz (5.16) Por lo tanto, se define la matriz columna de esfuerzos generalizados de flexión de la forma: M xx σ xx +t 2 +t 2 M = M yy = ∫ z σ yy dz , M = ∫ z σ dz −t 2 −t 2 M xy σ xy (5.17) © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 75 Análisis estructural mediante el método de los elementos finitos Sustituyendo las ecuaciones (5.7) y (5.11) en la expresión anterior se obtiene: M=∫ +t 2 −t 2 z σ dz = ∫ +t 2 z D ε dz = ∫ −t 2 +t 2 −t 2 z 2 D Φ dz = D Φ (5.18) donde la matriz constitutiva elástica generalizada es igua a: D=∫ +t 2 −t 2 t3 z D dz = D 12 2 (5.19) Por lo tanto, la Ecuación (5.18) se puede expresar de la forma: M xx D11 M yy = D12 M xy 0 D12 D22 0 0 Φ xx 3 t 0 Φ yy 12 D33 Φ xx (5.20) De acuerdo con el principio de los trabajos virtuales aplicado a placas, el trabajo virtual externo generado por una carga distribuidas por unidad de área q y por fuerzas puntuales f zi actuantes en dirección z, es igual a: r δWE = ∫ δw q dA + ∑ δwi f zi (5.21) i =1 A para la cual, δw es el desplazamiento virtual en dirección z en el área A y δwi es el desplazamiento virtual en dirección z sobre el punto i. Siendo δεT = δε xx δε yy δγ xy la matriz columna de deformación virtual y σ la matriz columna del esfuerzo real, el trabajo virtual interno en el volumen V del sólido corresponde a: [ ] δWI = ∫ δεT σ dV (5.22) V Sustituyendo las ecuaciones que relacionan a los esfuerzos y a las deformaciones con los esfuerzos y las deformaciones generalizadas, se obtiene: δWI = ∫ δε T σ dV = ∫∫ δΦ T zσ dz dA = ∫ δΦ T ∫ +t 2 −t 2 V A A +t 2 −t 2 = ∫ δΦ M dA = ∫ δΦ D Φ dA T A T zσ dz dA (5.23) A Se observa que la integral anterior está definida en el área A del plano medio de la placa. En el principio del trabajo virtual se busca la componente en z del campo del desplazamiento o deflexión w(x,y) para todo (x,y) que pertenece al plano medio de la placa, que satisface la siguiente expresión: r T ∫ δΦ D Φ dA = ∫ δw q dA + ∑ δwi f zi A A i =1 © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 (5.24) 76 Capítulo 5. Formulación de estructuras laminares elásticas lineales y las condiciones de borde naturales y esenciales, definidas por valores conocidos del desplazamiento w y de sus derivadas en subcontornos específicos del dominio. La integración del campo del desplazamiento y del esfuerzo en el espesor de la placa, permiten reducir el dominio del problema al espacio bidimensional xy sobre su plano medio. Además, la teoría de placas de Kirchhoff establece que a partir de la componente en del desplazamiento w(x,y) se derivan las demás cantidades de interés. 5.1.2. Formulación en el método de los elementos finitos Si la deflexión w(x,y) es el campo de interés en la solución del problema mecánico en el plano medio de la placa, la función de aproximación en el dominio de cada elemento finito también lo es. En general la deflexión en el interior de un elemento finito de placa se puede expresar mediante un polinomio de la forma: w( x, y ) = α1 + α 2 x + α 3 y + α 4 xy + α 5 x 2 + α 6 y 2 + K ∀( x, y ) ∈ A(e ) (5.25) Siendo A(e ) el área del elemento finito bidimensional que representa el plano medio de la placa. Con el fin de satisfacer los requisitos de continuidad C1, las primeras derivadas de la deflexión w o desplazamientos angulares deben definirse como funciones de aproximación adicionales del elemento finito, es decir: ∂w ( x, y ) = α 2 + α 4 y + 2α 5 x + K ∀( x, y ) ∈ A(e ) ∂x ∂w θ y ( x, y ) = ( x, y ) = α 3 + α 4 x + 2α 6 y + K ∂y θ x ( x, y ) = (5.26) Las coordenadas generalizadas se obtienen a partir de los valores de las tres funciones de aproximación en los nudos del elemento. Por ejemplo para el nudo i se tiene que: wi = w( xi , yi ) = α1 + α 2 xi + α 3 yi + α 4 xi yi + α 5 xi2 + α 6 yi2 + K ∂w ( xi , yi ) = α 2 + α 4 yi + 2α 5 xi + K ∂x ∂w θ yi = (∂ y w)i = ( xi , yi ) = α 3 + α 4 xi + 2α 6 yi + K ∂y θ xi = (∂ x w)i = 5.1.3. (5.27) Elemento rectangular de cuatro nudos no conforme MZC La geometría más sencilla para describir el comportamiento de una placa es el rectángulo y el numero mínimo de nudos de este elemento es cuatro. Bajo tales consideraciones, el total de valores nodales del elemento es 12 y por lo tanto la función de aproximación corresponde a un polinomio incompleto de 12 términos. Esta función corresponde a un polinomio completo de orden tres más dos términos de orden cuatro. Uno de los elementos finitos más utilizados es el desarrollado por Melosh, Zienkiewicz y Cheung también denominado elemento MZC (xxx). © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 77 Análisis estructural mediante el método de los elementos finitos La Figura 5.4 ilustra un elemento MZC expresado en términos de un sistema coordenado natural, el cual se relaciona con el sistema coordenado xy en el plano de la placa de la forma: x x1 + x2 − → a 2a y y +y η= − 1 2 → b 2b dA = dxdy = ab dξ dη ξ= dξ 1 = → dx = a dξ dx a dη 1 = → dy = b dη dy b (5.28) Este elemento finito cuenta con una función de aproximación de la deflexión con respecto a un sistema natural de coordenadas igual a: w(ξ ,η ) = α1 + α 2ξ + α 3η + α 4ξη + α 5ξ 2 + α 6η 2 + + α 7ξ 2η + α 8ξη 2 + α 9ξ 3 + α10η 3 + α11ξ 3η + α12ξη 3 ∀(ξ ,η ) ∈ A( e ) (5.29) Además, las derivadas de la deflexión con respecto a las coordenadas x y y son: ∂w 1 = (α 2 + α 4η + 2α 5ξ + 2α 7ξη + α 8η 2 + 3α 9ξ 2 + 3α11ξ 2η + α12η 3 ) ∂x a (5.30) ∂w 1 = (α 3 + α 4ξ + 2α 6η + α 7ξ 2 + 2α8ξη + 3α10η 2 + α11ξ 3 + 3α12ξη 2 ) ∂y b (5.31) Se definen tres valores nodales por cada nudo del elemento que corresponden a la deflexión, a la primera derivada de la deflexión con respecto a x, y a la primera derivada de la deflexión con respecto a y. En otras palabras, los valores nodales para un nudo i son: wi( e ) = w(ξi ,η i ) , (∂ x w)i(e ) = ∂w ∂w (ξi ,ηi ) , (∂ y w)i(e ) = (ξi ,ηi ) ∂y ∂x © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 (5.32) 78 Capítulo 5. Formulación de estructuras laminares elásticas lineales η (∂ y w) (4e ) w4( e ) η = +1 (e ) b ( ∂ x w) 4 4 3 (∂ x w) (3e ) ξ η =0 (e ) (ξ ,η ) w b (e) 1 w η = −1 1 (∂ w) ( e ) y 1 (∂ y w) ((ξe ),η ) (∂ x w) ((ξe ),η ) 2 w2( e ) (∂ w) ( e ) y 2 (∂ x w)1( e ) y z (∂ y w) (3e ) w3( e ) (∂ x w) (2e ) a a x ξ = −1 ξ =0 ξ = +1 Figura 5.4. Placa delgada: elemento finito MZC. Despejando las doce coordenadas generalizadas de las ecuaciones de los desplazamientos nodales, se obtiene a la función de aproximación en términos de los valores nodales, así: w( e ) = N w( e1) w1(e ) + N ∂(xe1) (∂ x w)1(e ) + N ∂(ye1) (∂ y w)1( e ) + N w( e2) w2(e ) + N ∂(xe2) (∂ x w)(2e ) + N ∂(ye )2 (∂ y w)(2e ) + + N w( e3) w3( e ) + N ∂(xe3) (∂ x w)3(e ) + N ∂(ye1) (∂ y w)(3e ) + N w( e4) w4(e ) + N ∂(xe4) (∂ x w)(4e ) + N ∂(ye )4 (∂ y w)(4e ) (5.33) Las funciones de forma son iguales a: 1 N wi( e) (ξ ,η ) = (1 + ξiξ )(1 + ηiη )(2 + ξiξ + ηiη − ξ 2 − η 2 ) 8 a N ∂(xie) (ξ ,η ) = (ξ 2 − 1)(ξ + ξi )(1 + ηiη ) 8 b N ∂(yie) (ξ ,η ) = (η 2 − 1)(η + ηi )(1 + ξiξ ) 8 (5.34) siendo, i ξi ηi 1 −1 −1 2 +1 −1 3 +1 +1 (5.35) 4 −1 +1 La función de aproximación de la deflexión también se puede expresar de forma matricial como: © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 79 Análisis estructural mediante el método de los elementos finitos w( e ) (ξ ,η ) = N ( e ) (ξ ,η ) a (e ) (5.36) Donde la matriz de funciones de forma es igual a: [ N ( e ) = N1( e ) N (2e ) N (3e) N (4e ) ] [ , N (i e ) = N wi(e ) N ∂(xie) N ∂(yie ) ] (5.37) y el vector de valores nodales de desplazamiento corresponde a: a(e) a1( e) wi( e ) ( e) a = 2( e) , a (i e ) = (∂ x w)i(e ) a 3 (∂ y w)i(e ) ( e) a 4 (5.38) La matriz columna de la deformación generalizada indicada en la Ecuación (5.7), se define en el interior del elemento finito como: Φ( e) ∂ 2 w( e ) − ∂x 2 2 ∂ w( e ) =− ∂y 2 2 − 2 ∂ w( e ) ∂x∂y (5.39) Asimismo, reemplazando la Ecuación (5.36) en la expresión (5.10), se obtiene: Φ( e) = ∇w(e ) = ∇N ( e ) a( e ) = B ( e ) a ( e) (5.40) donde, el operador diferencial actuando sobre funciones de forma es igual a: [ B ( e ) = B1( e ) B (e) i B (2e ) ∂ 2 N wi(e ) − ∂x 2 ∂ 2 N wi(e ) =− ∂y 2 2 ( e) − 2 ∂ N wi ∂x∂y B (3e ) B (4e ) ] ∂ 2 N ∂(xie ) ∂x 2 ∂ 2 N ∂(xie ) − ∂y 2 ∂ 2 N ∂(xie ) −2 ∂x∂y − ∂ 2 N ∂(yie ) ∂x 2 ∂ 2 N ∂(yie ) − ∂y 2 ∂ 2 N ∂(yie ) −2 ∂x∂y − (5.41) Dado que cada función de forma N •(ie ) (ξ ,η ) depende de las coordenadas naturales, sus segundas derivadas con respecto a los ejes coordenados x y y corresponden a: © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 80 Capítulo 5. Formulación de estructuras laminares elásticas lineales ∂ 2 N •(ie ) 1 ∂ 2 N •(ie ) = ∂x 2 a 2 ∂ξ 2 , ∂ 2 N •(ie ) 1 ∂ 2 N •(ie) = ∂y 2 b 2 ∂η 2 , ∂ 2 N •(ie ) 1 ∂ 2 N •(ie ) = ∂x∂y ab ∂ξ∂η (5.42) Sustituyendo las funciones de forma dadas en la Ecuación (5.34) se obtiene: ∂ 2 N wi(e ) 3 ∂ 2 N wi( e) 3 = − ( 1 + ) , = − 2 ηiη (1 + ξiξ ) ξ ξ η η i 2 2 i 2 ∂x 4a ∂y 4b ∂ 2 N wi(e ) 1 = ξiηi (4 − 3ξ 2 − 3η 2 ) ∂x∂y 8ab ∂ 2 N ∂(xie ) 1 = (1 + ηiη )(3ξ + ξi ) , 2 ∂x 4a ∂ 2 N ∂(xie ) =0 ∂y 2 ∂ 2 N ∂(xie ) 1 = ηi (3ξ 2 + 2ξiξ − 1) ∂x∂y 8b ∂ 2 N ∂(yie ) ∂x 2 2 (e ) ∂yi ∂ N ∂x∂y =0 , = ∂ 2 N ∂(yie ) ∂y 2 = (5.43) 1 (1 + ξiξ )(3η + ηi ) 4b 1 ξi (3η 2 + 2ηiη − 1) 8a En el marco del principio de los trabajos virtuales, se define la deflexión virtual y la deformación generalizada virtual en el interior de un elemento, dado el vector de desplazamientos nodales virtuales δa (e ) como: δw( e) = N (e ) δa ( e ) , δΦ( e) = B (e ) δa ( e ) (5.44) Sustituyendo las expresiones anteriores en la Ecuación (5.24) y considerando que el dominio del problema A es igual a la sumatoria de los subdominios A(e ) de los m elementos finitos que conforman la malla, se tiene: m ∑ δa e =1 T (e ) m ∫ BT( e ) D(e ) B ( e ) dA a ( e ) = ∑ δaT( e ) ∫ N T( e) q( e) dA + δaT f ( n) (e ) (e ) e=1 A A (5.45) donde y corresponden a los vectores de desplazamiento nodal virtual y de fuerza en los nudos de la malla de elementos finitos. El vector de desplazamientos nodales virtuales δa contiene el desplazamiento lineal en z y los desplazamientos angulares alrededor de x y de y por cada nudo de la malla. Asimismo, el vector de fuerzas nodales f (n ) incluye la carga en dirección z y los momentos aplicados alrededor de los ejes x y y por cada nudo de la red de elementos finitos. El producto δaT f ( n) indica el trabajo virtual externo realizado por cargas y momentos aplicados en los nudos de la malla. El término entre paréntesis a la izquierda de la igualdad anterior se definen como la matriz de rigidez del elemento K (e ) , mientras que el término entre paréntesis a la derecha es el vector de fuerzas nodales equivalentes a la acción de una carga distribuida q(e ) en el elemento f (e ) , es decir: © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 81 Análisis estructural mediante el método de los elementos finitos K (e) = ∫B T (e ) D( e) B (e ) dA (5.46) T (e ) (e ) (5.47) ( e) A f (e ) = ∫N q dA A( e ) Reemplazando las ecuaciones anteriores en la expresión (5.45) se tiene que: m m e =1 e =1 ∑ δaT( e) K (e) a(e) − ∑ δaT(e)f (e) − δaT f ( n ) = 0 (5.48) La ecuación anterior se puede escribir en términos del vector de desplazamiento virtual δa y del vector de desplazamiento real a en los nudos de la malla de elementos finitos, de tal forma que: δaT Ka − δaT f = 0 (5.49) donde K es la matriz de rigidez de la placa obtenida del ensamblaje de las matrices de rigidez de los elementos finitos, de la forma: m K = A K (e ) (e ) =1 (5.50) y f es el vector de fuerzas nodales de la malla resultante del ensamblaje de los vectores de fuerza nodales equivalentes de cada uno de los elementos finitos más el vector de fuerzas nodales aplicadas en los nudos de la malla, es decir: m f = A f ( e) + f ( n ) ( e ) =1 (5.51) Cancelando el factor común δaT de la Ecuación (5.49), se tiene que: (5.52) Ka − f = 0 La matriz de rigidez del elemento finito K (e ) definida en la Ecuación (5.46), se puede expresar en términos de submatrices por nudo de la forma: K (e) (e) K11 = sim K (ije ) = ∫B ( e)T i (e ) K 12 K (22e ) (e ) K 13 K (23e ) (e ) K 33 (e) K14 K (24e ) K (34e ) K (44e ) D( e )B (je) dA (i, j = 1,2,3,4) A( e ) © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 (5.53) 82 Capítulo 5. Formulación de estructuras laminares elásticas lineales y el vector de fuerzas nodales equivalentes a la acción de una carga distribuida q(e ) expresada en la Ecuación (5.47) es igual a: f (e) f1(e ) (e ) +1 +1 f = 2(e ) , fi(e ) = ∫∫ N i(e )T q( e ) dx dy = ∫ ∫ N (i e)T q( e ) ab dξ dη −1 −1 f3 A( e ) (e ) f 4 (5.54) xxx Figura 5.5. Placa delgada: matriz de rigidez del elemento finito MZC. Después de obtener el vector de desplazamientos nodales de la malla mediante la Ecuación (5.52), se calculan los esfuerzos generalizados o momentos por unidad de longitud en el punto (ξ ,η ) del interior del elemento así: © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 83 Análisis estructural mediante el método de los elementos finitos M ( e) (ξ ,η ) = D(e ) Φ( e) (ξ ,η ) = D(e )B (e ) (ξ ,η ) a ( e) (5.55) donde D(e ) = D( e ) t 3 12 . Los esfuerzos generados por los momentos flectores y torsores por unidad de longitud a una distancia z del plano medio se determinan de la forma: t3 t3 t3 D(e ) Φ( e ) → M ( e ) = D (e ) Φ( e) → z M ( e ) = D(e ) z Φ( e ) 12 12 12 3 3 12 z t t = D ( e )ε ( e ) → z M ( e ) = σ ( e ) → σ ( e ) = 3 M ( e ) 12 12 t M(e) = zM (e ) (5.56) El elemento MZC se denomina no conforme porque las pendientes de las normales al plano medio, es decir las primeras derivadas de la deflexión, son incompatibles sobre los lados del elemento, a pesar de ser continuas en los nudos. La primera derivada de la deflexión a lo largo de un lado varia de forma cúbica y no está definida de manera única por los dos valores nodales de los extremos del lado. Se recuerda que dos valores nodales determinan una variación lineal, tres valores nodales definen una variación cuadrática, etcétera (Weaver & Johnson 1984). 5.1.4. Elemento rectangular de cuatro nudos conforme BFS Una forma de asegurar la compatibilidad de las primeras derivadas de la deflexión sobre los lados del elemento, consiste en satisfacer la continuidad de la segunda derivada cruzada de 2 la deflexión ∂∂x∂wy . Para ello, Bogner, Fox y Schmidt (xxx) han propuesto el elemento finito rectangular BFS, el cual cuenta con una función de aproximación de la deflexión polinómica de 16 términos de la forma: w(ξ ,η ) = α1 + α 2ξ + α 3η + α 4ξη + α 5ξ 2 + α 6η 2 + α 7ξ 2η + α8ξη 2 + + α 9ξ 3 + α10η 3 + α11ξ 3η + α12ξη 3 + α13ξ 2η 2 + α14ξ 2η 3 + α15ξ 3η 2 + α16ξ 3η 3 (5.57) ∀(ξ ,η ) ∈ A( e ) A diferencia del elemento MZC, este elemento tiene cuatro variables definidas por nu2 do: la deflexión w, las primeras derivadas ∂∂wx , ∂∂wy , y la segunda derivada cruzada ∂ 2xy w = ∂∂x∂wy . Por lo tanto la función de aproximación se puede expresar en términos de los valores nodales como: w( e ) = N w( e1) w1( e) + N ∂(xe1) (∂ x w)1( e) + N ∂(ye1) (∂ y w)1(e ) + N ∂(xe∂)y1 (∂ 2xy w)1(e ) + + N w( e2) w2( e ) + N ∂(xe2) (∂ x w)(2e ) + N ∂(ye2) (∂ y w)(2e ) + N ∂(xe∂)y 2 (∂ 2xy w)(2e) + + N w( e3) w3( e ) + N ∂(xe3) (∂ x w)(3e) + N ∂(ye1) (∂ y w)3(e ) + N ∂(xe∂)y 3 (∂ 2xy w)(3e ) + + N w( e4) w4( e ) + N ∂(xe4) (∂ x w)(4e ) + N ∂(ye4) (∂ y w)(4e ) + N ∂(xe∂)y 4 (∂ 2xy w)(4e) (5.58) …. © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 84 Capítulo 5. Formulación de estructuras laminares elásticas lineales © Dorian Luis Linero Segrera – Universidad Nacional de Colombia, 2010 Referencias Bathe, K. (1996). Finite elements procedures. New Jersey, Prentice Hall. Cook, R., Malkus, D. & Plesha, M. (1989). Concepts and applications of finite elements analysis. New York, John Wiley & Son. Hughes, T. J. R. (2000). The finite element method. New York, Dover. Mase, G. T. & Mase, G. E. (1999). Continuum mechanics for engineers. London, CRC Press. Oñate, E. (1995). Cálculo de estructuras por el método de los elementos finitos. Barcelona, Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería. Oñate, E. (2009). Structural Analysis with the Finite Element Method, CIMNE - Springer. Oñate, E. & Zárate, F. (2000). Introducción al método de los elementos finitos. Barcelona, Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería. Ortiz, L. (1998). Elasticidad. Madrid, Mc Graw Hill. Segerlin, L. (1984). Applied Finite Element Analysis. New York, Jhon Wiley & Son. Spencer, A. J. M. (1990). Continuum mechanics. London, Longman Scientific & Technical. Timoshenko, S. P. & Goodier, J. (1970). Theory of Elasticity, Mc Graw Hill. Weaver, J. & Johnson, C. (1984). Finite elements for structural analysis. New Jersey, Prentice Hall. Zienkiewicz, O. (1980). El método de los elementos finitos. Barcelona, Editorial Reverté.
