08513. PROCESOS ESTOC ´ASTICOS. Primera Prueba. 1

08513. PROCESOS ESTOCÁSTICOS. Primera Prueba.
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Problema 1. Sea {Yn } una sucesión de variables aleatorias independientes
e idénticamente distribuidas con distribución
P {Yn = k} =
1
N +1
para k = 0, 1, . . . , N
Sea X1 = Y1 , Xn = mı́n(Xn−1 , Yn ).
a) Probar que {Xn } es una cadena de Markov.
b) Determinar la distribución de Xn .
c) Probar que Xn −→ 0 casi seguro.
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Problema 2. Una urna A contiene n − r bolas blancas y r bolas negras,
mientras que otra urna B contiene s bolas blancas y n − s negras. Se extraen
bolas con reemplazamiento, de la urna A si en la extracción anterior se
obtuvo bola blanca y de la urna b si en el resultado anterior fue bola negra.
Determinar la probabilidad de que en la k-ésima extracción se obtenga bola
negra y su lı́mite, supuesto que la primera extracción se hace de A.
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Problema 3. a) Una partı́cula se mueve entre los puntos de abscisa entera
de una recta, con probabilidad 1/2 de saltar desde cada estado a cada uno
de los adyacentes. Calcular la probabilidad de estar en el origen en la etapa
n. Probar que el número esperado de visitas al origen es infinito y concluir
(n)
que la probabilidad de regresar al origen es 1. Determinar fi,j .
b) Si una partı́cula se mueve entre los puntos de coordenadas enteras de
un plano, con probabilidad 1/4 de saltar una unidad en cada dirección,
determinar la probabilidad de estar en el origen en la etapa n. Probar que el
número esperado de visitas al origen es infinito y concluir que la probabilidad
de regresar al origen es 1. ¿Sigue siendo ello cierto en el espacio de tres
dimensiones?
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Problema 4. Dada la cadena de Markov de espacio de estados E = {0, 1, 2, . . .}
y probabilidades de transición:
pk,0 =
1
,
k+2
probar que es recurrente nula.
pk,k+1 =
k+1
k+2
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Problema 5. Dada la cadena de Markov de espacio de estados E = {0, 1, 2, . . .}
y probabilidades de transición:
pk,0 =
k+1
,
k+2
pk,k+1 =
1
k+2
probar que es recurrente positiva y determinar la distribución estacionaria.
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Problema 6. Dos monedas tienen probabilidades p1 y p2 de cara respectivamente, ambas desconocidas. Para decidir cuál de las probabilidades
es mayor, se adopta el siguiente criterio: Se lanzan ambas simultáneamente
hasta que el número de caras de la primera supere en tres al de la segunda
o bien el número de caras de la segunda supere en tres al de la primera; en
el primer caso se decide p1 > p2 y en el segundo p1 < p2 .
a) Determinar, en función de p1 y p2 , la probabilidad de tomar la decisión
equivocada.
b) Determinar, en función de p1 y p2 , el número medio de lanzamientos
antes de tomar la decisión.
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Problema 7. Una sucesión se define por el procedimiento siguiente: X0 = 1
; cuando se conoce Xn , se elige al azar una cifra entre 0 y 9, se multiplica
por Xn y se suman sus cifras hasta obtener una única cifra: Xn+1 .
a) Plantear una cadena de Markov que describa la sucesión Xn y proponer
la máxima reducción posible.
b) Determinar la probabilidad de que la sucesión contenga algún 9.
c) Determinar el número medio de treses que contiene la sucesión.
d) Si cuando Xn = 0 se define Xn+1 = 1, calcular la proporción de veces
que cada cifra aparece en la sucesión.
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Problema 8. De una urna que contiene 3 bolas distintas se realizan extracciones sucesivas con reemplazamiento. Sean:
M = número de extracciones realizadas hasta que los tres últimos resultados
sean distintos entre sı́.
N = número de extracciones realizadas hasta que entre los tres últimos resultados no haya dos seguidos iguales.
a) Determinar E[M ]
b) Determinar la distribución de N .
c) Hallar la distribución del número de veces que la sucesión de resultados
acaba en dos iguales antes de la primera vez que acaba en tres distintas.
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Problema 9. Una sucesión de cifras se construye por el siguiente procedimiento: X0 = 8 ; cuando se conoce Xn , Xn+1 se elige al azar (si ha lugar)
entre las cifras de Xn2 .
a) Plantear una cadena de Markov que describa la evolución Xn , poniendo
atención en reducirla lo más posible.
b) Determinar la probabilidad de que la sucesión contenga algún 4.
c) Determinar el número medio de cuatros que contiene la sucesión.
d) Si cuando Xn = 1 se define Xn+1 = 8, calcular el tiempo medio que
tarda en aparecer el segundo 8.
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Problema 10. Una persona ha decidido plantar un árbol cada año y tiene
probabilidad p de que sobreviva al año siguiente. Por otra parte, cada árbol
de edad superior a un año tiene probabilidad r de secarse a lo largo de un
año. Calcular:
a) El número medio de árboles que tendrá al cabo de n años.
b) La probabilidad de que al cabo de n años no quede ningún árbol.
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Problema 11. Dos jugadores tienen dos urnas A y B con proporciones
respectivas p y q de bolas blancas (p + q = 1) y el resto negras. Se hacen
extracciones con reemplazamiento de acuerdo con las siguientes reglas: La
primera extracción se hace de A y a continuación cada bola se extrae de
A si la anterior fue negra, o de B si la anterior fue blanca. Por otra parte,
cada vez que aparece bola blanca, el primer jugador recibe una moneda del
segundo y, cada vez que aparece bola negra, el primero paga una moneda al
segundo. Supuesto que el primer jugador dispone de i monedas y el segundo
de a − i, determinar la probabilidad de ruina de cada uno y el tiempo medio
que tarda en producirse la ruina de alguno de ellos.
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Problema 12. Una partı́cula se mueve sobre los vértices de un polı́gono
regular de N lados, pudiendo en cada etapa saltar al vértice siguiente (en
el sentido de las agujas del reloj) con probabilidad p, o bien al anterior con
probabilidad 1 − p. Se considera que la partı́cula realiza un ciclo si el primer
regreso a la situación de partida lo hace desde el vértice contrario al que
ocupó tras el primer salto.
a) Hallar la probabilidad de que la partı́cula realice un ciclo.
b) Hallar el número esperado de visitas a un estado k antes de la primera
visita al otro estado j.
c) Determinar el número medio de etapas que se tarda en alcanzar el
estado j.
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Problema 13. De una urna que contiene 6 bolas diferentes, una de las cuales
es roja, se realizan extracciones sucesivas con reemplazamiento. Determinar:
a) El número medio de extracciones hasta que o bien aparece la bola roja
o bien han aparecido las otras 5 bolas.
b) La distribución del número de bolas distintas aparecidas antes de que
se obtenga por primera vez la bola roja.
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Problema 14. De una urna que contiene 5 bolas diferentes se realizan
extracciones sucesivas con reemplazamiento. Determinar:
a) El número medio de extracciones necesarias para obtener 5 bolas consecutivas distintas.
b) La probabilidad de que se produzcan 5 resultados consecutivos distintos antes de que se produzcan dos resultados consecutivos iguales.
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Problema 15. Una urna contiene inicialmente 2 bolas blancas. En cada
etapa, se lanza una moneda y se introduce en la urna una bola blanca, si
sale cara, y una bola negra si sale cruz; después, se extrae una bola al azar
de la urna. Las bolas extraı́das se van colocando en fila.
a) Hallar la distribución del número de bolas blancas que hay en la urna
tras n etapas. ¿Cuál es la distribución lı́mite?
b) Hallar el número medio de bolas blancas entre las N primeras de la
fila.
Supongamos ahora que el mismo mecanismo, se aplica en una urna en la
que hay inicialmente tres bolas blancas.
c) Determinar el número medio de etapas necesarias para que, por primera vez, la urna contenga tres bolas negras.
d) Determinar la distribución del número de veces que la urna contendrá sólo
bolas negras, antes de que la urna vuelva a contener sólo bolas blancas.