Objetiv os

Unidad 4
Objetivos
Trabajo y energía
Al término de la unidad, el alumno podrá:
• Entender y aplicar la relación entre trabajo, energía y
potencia.
• Solucionar problemas relacionados con fenómenos de
movimiento.
• Describir y diferenciar las fuerzas disipativas y conservativas.
Introducción
El concepto de energía es muy importante para la ciencia, es fácil de mencionar,
pero a la vez tan difícil de definir. La energía no sólo es un objeto, es también un
proceso. Por eso es más fácil observarla cuando se transfiere o se trasforma (por ejemplo
las ondas sonoras de una guitarra eléctrica, o las ondas electromagnéticas del sol, los
alimentos que consumimos nos dan energía), es decir, puede notarse que las cosas, los
lugares y las personas tienen energía.
En resumen, el universo está formado por completo de materia y energía. La materia
la podemos ver, oler y tocar, pero no así la energía; por lo tanto, para comprenderla
mejor la estudiaremos en esta unidad a partir de un concepto muy relacionado con
ella: el trabajo.
4.1 Trabajo
En la vida cotidiana de cada persona es común el uso de teléfonos celulares,
computadoras, cámaras digitales, reproductores de sonido en formato mp3, automóviles,
aviones, juguetes electrónicos, etc. Todos estos dispositivos de uso cotidiano no habrían
sido posibles sin la comprensión de las leyes físicas que determinan el comportamiento
de los componentes que los constituyen. Ya en el siglo XVIII Isaac Newton había
propuesto una manera para determinar el movimiento de un cuerpo si se conocen
de antemano las fuerzas que actúan sobre éste. Al resolver la segunda ley de Newton:
d2 r
F = m 2 se consigue determinar en todo momento la posición de un cuerpo de masa
dt
m, pero resolver la segunda ecuación de Newton en general resulta muy difícil; además
de que en ingeniería es de poco interés conocer de manera precisa la posición de un
95
CinemátiCa y dinámiCa
cuerpo en todo momento, resulta más útil saber cuánta energía es requerida para mover un objeto o
cuánta energía nos puede proporcionar un dispositivo dado. Para llevar a cabo este cometido es de gran
utilidad el concepto de trabajo. El trabajo nos permite obtener de manera cuantitativa importantes
resultados del sistema en estudio, sin necesidad de resolver la ecuación diferencial deducida de la
segunda ley de Newton.
El trabajo W se define de la siguiente manera:
b 
 
W = ∫ F ⋅ dr
(4.1)
a


En donde F es la fuerza que actúa sobre el sistema en estudio y r representa el desplazamiento del sistema.
F
θ
m
r
Figura 4.1.

Figura 4.1. Muestra la relación que existe entre la fuerza F que mueve un cuerpo de masa m y el

desplazamiento resultante r . Obsérvese además que θ representa el ángulo entre los vectores fuerza y
desplazamiento.
Nótese que la integral que define al trabajo es una integral de línea, lo que significa que el trabajo
resultante depende del ángulo θ entre los vectores fuerza y desplazamiento.
 
F i dr = Fdr cosθ
(4.2)


Si consideramos que la dirección de F es la misma que la dirección del desplazamiento r entonces
el ángulo entre estos dos vectores es cero, de modo que:
Fdr cos(0) = Fdr
(4.3)
Es decir, el producto punto puede ser descartado y la integral anterior deja de ser una integral de
línea:
b
W = ∫ Fdr
(4.4)
a
Si además se restringe a que F sea una fuerza constante, entonces ésta puede salir de la integral:
W = F ∫ dr
b
a
La solución a la integral anterior es:
W = F (b − a )
96
(4.5)
Unidad 4
Si denotamos la diferencia b-a por d, entonces tenemos la siguiente expresión para el trabajo:
W = Fd
(4.6)
La ecuación anterior proporciona una manera sencilla para calcular el trabajo que realiza una fuerza
constante y de dirección paralela a la dirección del desplazamiento al desplazar un cuerpo una distancia
d. Bajo estas condiciones podemos decir que el trabajo es el producto de la fuerza por la distancia.
En general cuando las direcciones de la figura y el desplazamiento no coinciden como en la figura 4.1:
W = Fr cos θ
(4.7)
La unidad del trabajo es una unidad derivada de las unidades de la fuerza y la distancia. La unidad
del trabajo es:
W = Fd
[trabajo] = [newton][metro] = [joule]
El joule (J) es la unidad de medida para el trabajo en el sistema internacional (S.I.).
Un joule es el trabajo efectuado por una fuerza de un newton actuando sobre una partícula que se
mueve un metro en la dirección de dicha fuerza.
Cuando se miden grandes cantidades de trabajo, se emplean unidades como los kilojoules (kJ), que
equivalen a mil joules o los megajoules (MJ) que equivalen a un millón de joules.
Ejemplo 1
Calcular el trabajo realizado por una fuerza horizontal de 205 N, al desplazar un bloque de 75 kg por
3 metros sobre una superficie cuyo coeficiente de fricción cinética (µk) es de 0.23.
Solución:
Datos:
W =?
m = 75 Kg
µk =0.23
F = 205 N
d = 3 metros
µ k = 0.23
m = 75 kg
F = 205 N
3m
Figura. 4.2.
Calculando la magnitud del peso:
w = mg (75 kg)(–9.81 m/s²)= –735.75 N
97
CinemátiCa y dinámiCa
Como la normal es la fuerza de reacción al peso:
N = 735.75 N
Calculando la fuerza de fricción:
Ff = N⋅µk = (735.75 N)(0.23)= 169.22 N
Por último, respetando las direcciones de las fuerzas horizontales de acuerdo con el diagrama de cuerpo libre:
FR = F – Ff = (205 N)–(169.22 N)= 35.77 N
Por lo tanto el trabajo será igual a:
W = Fd = (35.77 N)(3 m)= 107.33 J
Ejemplo 2
Un obrero tiene que mover cubos de hielo de 50 kg de un lugar a otro que se encuentran a 20 m de
distancia dentro de una bodega. Para hacerlo se ayuda de una cuerda, la cual forma 38° respecto de la
horizontal. El coeficiente de fricción cinética que existe entre el piso y los bloques de hielo es de 0.12.
¿Cuál es el trabajo que el obrero hace sobre cada uno de los bloques?
µ k = 0.12
d = 20 m
F
m = 50kg
38º
Figura 4.3.
Solución:
Para calcular el trabajo es necesario aplicar la fórmula (4.7):
W = Fr cos( θ)
98
Unidad 4
Pero nótese que el valor de F no ha sido proporcionado y tendrá que ser deducido, para lo cual
realizamos el diagrama de fuerzas (diagrama de cuerpo libre) para el bloque de hielo:
y
N
F
Ff
38º
x
w
∑F
x
= F cos 38° − Ff = ma
Figura 4.4.
Sustituyendo valores
∑F
x
= F cos38° − N µk = (50kg)(1.5 m / s2 )
No conocemos F, ni la fuerza normal N, pero la suma de fuerzas en ‘y’ es:
∑F
y
= N + Fsen38° − W
w ==ma
Debido a que en el eje ‘y’ no habrá movimiento, la aceleración es igual a cero y sustituyendo los
valores conocidos, se tiene:
N = w − Fsen 38°
N = (50 kg )(9.81 m / s2 ) − Fsen 38°
Sustituyendo este valor en la sumatoria de fuerzas en el eje ‘x’:
F cos38° − (490.50 kg .m / s2 − Fsen38°)(0.21) = (50 kg)(1.5 m / s2 )
Después de realizar operaciones, el valor de la fuerza F resultante es 155.25 N.
Con este valor el trabajo realizado por el obrero de acuerdo con la ecuación 4.6 es:
W = Fd=(155.25 N)(20 m) = 3105 J
99
CinemátiCa y dinámiCa
El trabajo es una cantidad escalar, y si sobre un cuerpo dado actúan n fuerzas, entonces el trabajo total
Wt realizado sobre el cuerpo por todas las fuerzas es igual a la suma del trabajo realizado por cada una
de las fuerzas:
n
Wt = ∑ Wi
(4.8)
i =1
Otra manera de obtener el trabajo total, es calculando la magnitud de la fuerza resultante FR que se
aplica sobre un cuerpo, es decir, la suma de cada una da las fuerzas que influyen sobre él, para después
multiplicarla por el desplazamiento final del cuerpo.
Ejemplo 3
Encuentra el trabajo total realizado sobre un aro de plástico que dos niños jalan en sentidos opuestos
durante una discusión, para determinar quién se queda con el juguete. El niño de la derecha jala con
una fuerza de 15 N, mientras que el otro niño jala con una fuerza de 25 N. Debido a que el niño de la
izquierda aplica una fuerza mayor, el aro se desplaza en esa dirección 90 cm.
Solución:
Datos:
WT =?
F1 = 15 N
F2 = –25 N
d = 90 cm
25 N
15 N
Figura 4.5.
Calculando el trabajo de la fuerza 1:
W = (15 N)(.9 m) = 13.5 J
Calculando el trabajo de la fuerza 2:
W = (25 N)(.9 m) = 22.5 J
Por último, respetando las direcciones de las fuerzas horizontales de acuerdo con el diagrama de cuerpo
libre y la ecuación 4.8:
WT = W1 + W2 = (13.5)–(22.5)= –9 J
El signo negativo del resultado indica la dirección del cuerpo de acuerdo con lo establecido en el
diagrama de cuerpo libre.
100
Unidad 4
Ejercicios
1. Un motor eléctrico, mediante un arreglo, jala una caja de 200 kg sobre una superficie horizontal con
coeficiente de fricción de 0.3 y una velocidad de 5 m/s. ¿Qué trabajo realiza el motor en 3 minutos?
Solución. W = 529.74 kJ
2. Un esquimal jala un trineo de 44.5 N una distancia de 9.15 m sobre el hielo, el cual tiene un
coeficiente de fricción cinético de 0.2. ¿Cuánto trabajo realiza el hombre si la tensión de la cuerda con
la que jala el trineo forma un ángulo de 45° respecto a la horizontal?
Solución. W = 57.58 J
3. Repite el problema anterior suponiendo ahora que el esquimal jala el trineo con una fuerza paralela
al piso.
Solución. W = 81.43 J
4. Un niño jala 5 m un carrito de juguete cuya masa es de 1 kg. El carrito forma un ángulo de 38.2° con
la horizontal. Calcula el trabajo que se realiza sobre el carrito si el niño aplica una fuerza constante de
20 N. El coeficiente de fricción cinética es de 0.15.
Solución. W = 71.23 J
5. Una grúa arrastra un auto de 2 000 kg durante tres minutos aplicando una fuerza de 10 kN. Si el
coeficiente de fricción cinética entre el piso y los neumáticos es de 0.3, ¿qué distancia recorre durante
ese tiempo, sabiendo que el trabajo realizado es de 16 kJ?
Solución. d = 3.89 m
6. Calcula el trabajo total que se realiza sobre un bloque de 3 kg que se mueve hacia arriba de un plano
inclinado que forma 37° con la horizontal, debido a la acción de una fuerza constante igual a 40 N. El
coeficiente de fricción cinética es de 0.1 y el bloque se desplaza una distancia de 2 m hacia arriba del
plano.
Solución. W = 39.87 J
7. En la figura 4.6 se muestran dos bloques de masa m y 5m, que se encuentran unidos mediante una
cuerda ligera e inextensible que pasa a través de una polea ideal. El bloque 5m está amarrado a uno de
101
CinemátiCa y dinámiCa
los extremos de un resorte de constante de recuperación igual a k, mientras que el otro extremo del
resorte se sujeta al piso. Inicialmente la figura muestra la posición donde el resorte tiene una elongación
nula y todo el sistema está en reposo. Encuentra en términos de k y m la distancia x que se comprimirá
el resorte cuando el sistema se libere del reposo.
Solución. x = 4mg/k
5m
m
k
Fig. 4.6
4.2 Trabajo realizado por una fuerza variable
En el apartado 4.1 se ha analizado el trabajo realizado por una fuerza constante, ésta es una fuerza
que no depende del tiempo, posición, velocidad ni de ningún otro tipo de variables. Existen fuerzas
constantes muy importantes, siendo la fuerza gravitatoria cerca de la superficie terrestre un claro
ejemplo de este tipo de fuerzas. Pero, así como hay fuerzas constantes importantes también hay fuerzas
importantes que no son constantes, por ejemplo, la fuerza que ejerce un imán para levantar instrumentos
de metal es una fuerza que no es constante, esta fuerza depende de la distancia que hay entre el imán
y el cuerpo a levantar, entre menor distancia, mayor es la fuerza que ejerce el imán sobre el cuerpo de
metal. Otro ejemplo de fuerza variable es la fuerza ejercida sobre un resorte, ya sea para alargarlo o para
comprimirlo. La fuerza sobre un resorte está determinada por la ley de Hooke: F = −kx y ésta depende
de la elongación x del resorte; claramente ésta es una fuerza variable. Si sobre un cuerpo actúa una
fuerza que no es constante, entonces ya no es posible aplicar la fórmula: W = Fd para calcular el trabajo
que realiza dicha fuerza. En este caso hay que aplicar la fórmula discutida en el apartado 4.1:
102
Unidad 4
b
 
W = ∫ F ⋅ dr
a


Pero si la fuerza F y el desplazamiento r son paralelos, es decir, si están en la misma dirección,
entonces el producto punto puede ser descartado para obtener la siguiente expresión para el trabajo:
W = ∫ Fdr
b
a

En donde a y b representan la posición inicial y la posición final del cuerpo sometido a la fuerza F .
Ejemplo 1
Calcular el trabajo que se requiere para estirar un resorte una distancia de 10 cm si la constante de
recuperación del resorte es de 20 N/m.
Solución:
Hemos establecido por medio de la ley de Hooke, que la magnitud de la fuerza necesaria para estirar
un resorte es:
F = −kx
(4.5)

En donde k es la constate de recuperación, cuyo valor es 20N/m. En este caso la fuerza F y la
elongación (el desplazamiento que sufre el resorte a partir de su posición inicial x = r) tienen la misma
dirección, por lo que al usar la fórmula para calcular el trabajo puede descartarse el producto punto.
El trabajo requerido se calcula con la ecuación 4.4:
W = ∫ Fdr
b
a
Al sustituir la fuerza en la expresión anterior se obtiene la siguiente integral:
W = ∫ −kxdx
b
a
Los valores de a y b dependen de las posiciones inicial y final; en este caso la posición inicial es cero
y la posición final es la elongación del resorte la cual es 10 cm que equivale a 0.1 m. Al sustituir estos
valores en la integral anterior se obtiene:
W=
∫ −20 xdx
0.1
0
103
CinemátiCa y dinámiCa
La solución a la integral anterior es:
x = 0.1
x2
2 x=0
(0.12 − 0 2 )
W = −20
2
W = −0.1
W = −20
Por lo tanto, el trabajo realizado por la fuerza para estirar el resorte una distancia de 10 cm es 0.1 J.
Ejercicios
1. De un resorte que está sujetado al techo cuelga una masa de 5 kg. Al inicio se sostiene la masa en una
posición tal que no permite que el resorte se estire. En segundo lugar, se hace descender la masa con
velocidad constante hasta la posición de equilibrio. La elongación del resorte en este punto es de 0.15 m.
¿Cuál es el trabajo que el resorte realiza sobre la masa?
Solución. W = 3.68 J
2. ¿Cuál será el trabajo realizado en el problema anterior por la fuerza de gravedad?
Solución. W = 7.35 J
3. Un resorte tiene una fuerza de restitución igual a 15 N/cm. ¿Cuánto trabajo se requiere para estirar
el resorte 8.6 mm a partir de su posición sin estiramiento?
Solución. W = 0.05547 J
4. ¿Cuál será el trabajo realizado en el problema anterior para estirar el resorte 8.6 mm más?
Solución. W = 0.22188 J
5. Un objeto de 13.2 kg se mueve a lo largo del eje de las x. ¿Cuál es el trabajo neto realizado sobre el
objeto cuando se mueve desde el origen hasta x = 5 m? En la siguiente figura se muestra la aceleración
de dicho cuerpo en función de su posición.
Solución. W = 412.5 J
104
Unidad 4
20
15
a(m/s²) 10
5
0
1
2
3
4
x(m)
5
6
7
8
Figura 4.7.
4.3 Trabajo y energía cinética
Como se ha visto hasta ahora, el trabajo se relaciona directamente con la variación del movimiento
de cualquier cuerpo, por lo tanto, se considerará un cuerpo cuya masa sea igual a m, el cual se mueve
en línea recta por la acción de una fuerza constante F dirigida en la misma dirección de movimiento.
De esta manera, la aceleración de dicho cuerpo podrá calcularse de acuerdo con la segunda ley de
Newton.
a=
F
m
Por definición, todo cuerpo que se acelera presenta una variación de velocidad, la cual va desde una
velocidad inicial con magnitud vi hasta una velocidad final con magnitud vf .
Como se recordará, en el capítulo uno se definieron las bases para el movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado, y si se considera que un cuerpo con las características anteriormente
mencionadas deberá presentar un desplazamiento d, entonces puede calcularse la magnitud de la
velocidad final de este cuerpo mediante la expresión:
v2f = vi2 + 2ad
Despejando a la aceleración de esta ecuación, se tiene:
a=
v2f − vi2
2d
La cual puede sustituirse en la fórmula de la segunda ley de Newton:
F=m
v2f − vi2
2d
105
CinemátiCa y dinámiCa
Despejando el desplazamiento y realizando las operaciones correspondientes se obtiene:
1
1
F ⋅ d = mv2f − mvi2
2
2
(4.9)
Ahora si se observa detenidamente la última ecuación, puede notarse que en el lado izquierdo de la
igualdad queda el producto de la fuerza por el desplazamiento, lo que representa el trabajo.
Mientras que en la parte derecha se puede observar que el resultado es “la mitad del producto de la
masa del cuerpo por el cuadrado de su velocidad”; esta cantidad representa la energía cinética (Ek):
1
(4.10)
Ek = mv²
2
Por lo que puede concluirse que la primera parte del miembro derecho de la ecuación 4.9 es igual a
la energía cinética final de cuerpo, mientras que la segunda parte será su energía cinética inicial.
A esta diferencia se le conoce con el nombre de variación de energía cinética, la cual a su vez, siempre
será igual al trabajo que se realiza sobre un cuerpo:
1
1
ΔEk = m v f 2 − m vi 2
2
2
ΔEk = Ekf − Eki = W
(4.11)
(4.12)
De la ecuación anterior se aprecia que hay una equivalencia entre la energía cinética y el trabajo, de
donde se concluye que las unidades de la energía son las mismas unidades que las del trabajo.
La unidad de energía es el joule (J).
Ejemplo
Un cuerpo de masa igual a 8 kg se deja caer desde lo alto de un edificio cuya altura es de 15 metros.
¿Cuál será la magnitud de la velocidad de dicho cuerpo un segundo antes de llegar al suelo?
Solución:
El trabajo que se realiza sobre el cuerpo es:
W = Fd
Pero como la única fuerza que se ejerce sobre el cuerpo es debido a la aceleración gravitatoria (w) y
el desplazamiento es igual a la altura del edificio (d = h), entonces:
W = wh ó W = mg⋅h
106
(4.13)
Unidad 4
De acuerdo con la ecuación 4.10.
Como el cuerpo parte del reposo, la diferencia de energías cinéticas durante el movimiento es:
ΔEk = ½ mvf² – ½ mvi² = ½ mvf²
Igualando ambas cantidades:
mg⋅h = ½ mvf²
por lo tanto la magnitud de la velocidad del cuerpo es:
v = 2 gh = 2(9.81 m s² )(15m ) = 17.15 m s
Como puede observarse en este ejercicio, la masa del cuerpo no afecta al resultado.
Ejercicios
1. ¿Cuál es la energía cinética de un corredor de 95 kg que se desplaza a una velocidad de magnitud de
10.22 m/s?
Solución. Ek = 4,961.3 J
2. Un cohete espacial requiere despegar a una velocidad de magnitud de 12 km/s. ¿Cuánta energía se
requiere para conseguir tal velocidad si la masa del cohete es de 15 000 kg?
Solución. 1 080 000 MJ
3. ¿Desde qué altura se deberá dejar caer un cuerpo de 28 kg para que al llegar al suelo tenga una
velocidad de magnitud de 90 km/h?
Solución. h = 31.88 m
4. Un jugador de béisbol lanza a otro, que se encuentra a 25 m de distancia, una pelota con una
velocidad de magnitud 40 m/s; en el preciso instante que el segundo jugador toma la bola, ésta ha
reducido su velocidad de magnitud 38.5 m/s, ¿cuánta energía se ha desperdiciado por causa del arrastre
del viento?
Solución. Ha sido perdida 7.3% de la energía inicial.
5. ¿Es lo mismo la energía que el trabajo?
Solución. No.
107
CinemátiCa y dinámiCa
6. Cuando un cuerpo se mueve horizontalmente 2 metros, ¿se realiza el mismo trabajo que si el
movimiento fuera 2 metros en vertical?
Solución.
No se realiza el mismo trabajo. Cuando el cuerpo se mueve verticalmente, el trabajo es realizado por
la fuerza gravitacional, en cambio, si el objeto es movido horizontalmente el trabajo es realizado por la
fuerza de fricción. Dado que en general estas fuerzas tienen magnitudes constantes, entonces el trabajo
desarrollado por cada fuerza es distinto
4.4 Energía potencial gravitacional
La gravedad es una de las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza. Esta fuerza es inherente a la
materia, es decir, que todo cuerpo, al poseer masa está sujeto a la fuerza gravitatoria generada por otros
cuerpos. En la superficie terrestre el valor de esta fuerza gravitacional es, en promedio, 9.81 m/s2 y es
esta fuerza la que mantiene sobre la superficie a todo lo que hay en la tierra. Sin esta fuerza todo estaría
flotando y el mundo sería muy distinto.
Cuando un cuerpo se mueve sobre la superficie terrestre, sobre él se realiza el trabajo que es realizado
por la fuerza gravitacional al desplazar el cuerpo desde una altura inicial hasta una altura final. En la
figura 4.8 se observa un cuerpo que se mueve verticalmente hacia arriba desde una posición inicial yi
hasta una altura final yf. La fuerza gravitacional que actúa sobre este cuerpo es constante e igual a su
peso:


(4.14)
w = mg
La distancia total que el cuerpo ha sido desplazado es igual a la diferencia de alturas final e inicial
(yf , yi)
d = y f − yi
F
yf
w
yi
Figura 4.8.
108
y
Unidad 4

Si representamos por F la fuerza que hace subir al cuerpo, entonces la dirección de la fuerza gravitacional
(w) es opuesta al desplazamiento, por lo que el trabajo será de acuerdo con la ecuación 4.6:
W = F⋅d
El trabajo realizado por la fuerza gravitacional Wgrav
Wgrav = − w ⋅ ( yf − yi )
Wgrav = − mg ⋅ ( yf − yi )
Wgrav = −( mgy f − mgyi )
De la fórmula anterior se aprecia que el trabajo puede determinarse en función del producto:
E p = mgy
(4.15)
Donde y representa la diferencia de altura inicial y final tambien denotada como h. A esta cantidad se
le conoce con el nombre energía potencial gravitacional EP.
De esta manera se puede decir que el miembro derecho de la expresión obtenida contiene la diferencia
de energías potenciales final e inicial de un cuerpo que se levanta verticalmente.
– ΔE p = −( E pf −E pi ) = Wgrav
(4.16)
Y ésta es la ecuación del trabajo realizado por una fuerza gravitacional, en función del cambio en la
energía potencial.
Por último, hay que recordar que un cuerpo, puede a su vez estar sometido a la acción de otras
fuerzas distintas a la gravedad, por lo que tendrá un trabajo total calculado a partir de dichas fuerzas y
considerarlo en la determinación del trabajo total que se realiza sobre el cuerpo.
Recordemos que el trabajo también se ha podido calcular a partir de la diferencia de energías
cinéticas.
Si se considera un cuerpo sometido a fuerzas externas además de la fuerza gravitacional tenemos:
WR + Wgrav = ΔEk
∴
Donde WR es el trabajo realizado por las fuerzas externas diferentes a la gravitacional y de acuerdo con
la ecuación 4.16.
109
CinemátiCa y dinámiCa
WR +  −( E pf − E pi ) = ( Ekf − Eki )
WR − E pf + E pi = Ekf − Eki
WR = Ekf − Eki + E pf − E pi
WR = ( Ekf + E pf ) − ( Eki + E pi )
(4.17)
Esta expresión permite calcular el valor del trabajo total que se realiza sobre un cuerpo en función
del cambio de sus energías cinética y potencial.
Ahora bien, si sobre el cuerpo que se estudia no existe ninguna otra fuerza externa más que la fuerza
gravitacional, entonces WR será igual a cero, por lo que:
0 = ( Ekf + E pf ) − ( Eki + E pi )
Eki + E pi = Ekf + E pf
(4.18)
Lo que indica que la suma de las energías cinética y potencial al inicio es igual a la suma de las energías
cinética y potencial al final del proceso; éste es el principio de la conservación de la energía, el cual
puede escribirse como: “… la energía mecánica total no se crea ni se destruye, simplemente se trasforma”
Ejemplo
Se lanza verticalmente hacia arriba una pelota de 250 gr desde el reposo, y la mano que la lanza se
mueve 55 cm antes de soltar la pelota con una velocidad de 25 m/s. ¿Cuál es el valor de la fuerza que
hay que aplicar sobre la pelota?
Solución:
Para poder solucionar este problema, es necesario tomar en cuenta dos puntos importantes durante
el movimiento de la pelota: el momento en el que la pelota reposa en la mano (punto 1), así como el
momento exacto en el que la mano suelta la pelota (punto 2).
Para el punto uno, la pelota parte del reposo, por lo tanto:
Ep1 = 0
y
Ek1 = 0
110
Unidad 4
Para el punto dos y de acuerdo con las ecuaciones 4.10 y 4.15:
EP = mgh = (0.25 kg)(9.81 m/s²)(0.55 m) = 1.34 J
Ek = ½ mvf² = ½(0.25 kg)(25 m/s)² = 78.1 J
Sea F la fuerza ejercida sobre la pelota, entonces el trabajo realizado por F es igual a la suma de las
energías cinética y potencial en ése instante:
W = 78.1 J + 1.34 J = 79.46 J
Por otra parte, el trabajo está relacionado con la fuerza mediante la siguiente relación:
W = Fs = F⋅(h2–h1)
Al despejar la fuerza F se obtiene el siguiente resultado:
F=
W
(79.46 J )
=
= 144.48N
(h2 − h1 ) (0.55m − 0)
111
CinemátiCa y dinámiCa
Ejercicios
1. Se deja caer una carga de 22 kg desde 1.2 m de altura sobre un resorte cuya constante de recuperación es
de 1 500 N/m. ¿Cuál es la distancia máxima que puede comprimirse el resorte debido a esta acción?
Solución. x = 58.7 cm
2. Se pretende subir con velocidad constante una masa de 80 kg con ayuda de una polea, suponiendo
que no hay pérdidas por fricción, ¿cuál es el aumento de energía potencial cuando se eleva 1.5 m?
Solución. Ep = 1177.2 J
3. ¿Cuál será la distancia de compresión que tendrá un resorte de una plataforma de recepción sobre
la cual cae un bulto de harina de 70 kg desde una altura de 2 m? La constante de recuperación de los
resortes es de 400 N/m.
Solución. x = 2.62 m
4. ¿Cuál es el valor de la magnitud de la fuerza que se requiere para lanzar verticalmente una canica de
50 gr, con ayuda de una resortera, si antes de que las canicas sean disparadas, el resorte se desplaza 40
cm? La velocidad de disparo de las canicas es de 15 m/s.
Solución. F = 28.125 N
4.5 Fuerzas conservativas y disipativas
Fuerzas conservativas
En el apartado anterior se ha discutido con detalle la fuerza gravitatoria y la energía potencial
asociada a ella. La fuerza gravitatoria pertenece a un tipo de fuerzas llamado fuerzas conservativas.
Una fuerza es conservativa si la energía potencial desarrollada por ella depende sólo de la posición
del cuerpo sobre el cual actúa. Así, si la energía potencial gravitatoria es de acuerdo con la ecuación 4.14:
E p = mgy
Entonces la fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa, pues sólo depende de la variable y, la cual
representa la altura de un cuerpo de masa m sobre la superficie terrestre.
112
Unidad 4
No sólo la fuerza gravitatoria es conservativa. La fuerza ejercida por un resorte cuando éste se
descomprime es también una fuerza conservativa, ya que su energía potencial es:
E p = −k
x2
2
(4.19)
Y como se aprecia de la ecuación, la energía potencial depende sólo de la elongación x del resorte, la
cual representa la posición de uno de sus extremos.
Las fuerzas conservativas tienen propiedades muy importantes:
1. La energía potencial asociada a una fuerza conservativa es función únicamente de las coordenadas.
2. El trabajo efectuado por una fuerza conservativa es independiente de la trayectoria.
3. El trabajo realizado por una fuerza conservativa al desplazar un cuerpo sobre una trayectoria cerrada
es cero. (Una trayectoria cerrada es una trayectoria que inicia y termina en el mismo punto.)
Así como hay fuerzas conservativas, también hay fuerzas que no son conservativas. A las fuerzas que
no son conservativas se les llama fuerzas disipativas. La característica principal de una fuerza disipativa
es que la energía potencial asociada no es función únicamente de las coordenadas, además de que el
trabajo realizado por una fuerza disipativa depende de la trayectoria.
Hay muchos casos de fuerzas que no son conservativas. La fuerza de fricción no es una fuerza
conservativa, su trabajo depende de la trayectoria seguida y, si la trayectoria es cerrada generalmente el
trabajo no es nulo. Otro ejemplo de fuerzas disipativas es el caso en el que un cuerpo cae dentro de un
medio viscoso, ya sea agua, aceite o cualquier otro fluido. La fuerza de fricción de un cuerpo que cae en un
medio viscoso es función de la velocidad de caída y por lo tanto no se trata de una fuerza conservativa.
En el apartado anterior se dedujo la siguiente relación entre energía y trabajo (ecuación 4.16):
WR = ( Ekf + E pf ) − ( Eki + E pi )
La cual establece que el trabajo realizado por una fuerza es la diferencia entre la energía en el estado
inicial y el estado final, pero esta relación es válida únicamente cuando se trata de fuerzas conservativas.
Si además de las fuerzas conservativas consideramos también fuerzas disipativas, entonces la relación
anterior se convierte en:
WR = ( Ekf + E pf ) − ( Eki + E pi ) + W '
=
+
−
(4.20)
+ E i ) + W ' representa el trabajo realizado por la fuerza disipativa, la cual en general tiene un valor
Donde
negativo, pues siempre se opone al movimiento.
113
CinemátiCa y dinámiCa
Ejemplo 1
Una persona lanza hacia arriba un cuerpo de masa 250 gr con una velocidad inicial de 20 m/s. ¿Cuál
es la altura máxima que alcanza el cuerpo? Calcula el trabajo total realizado por la fuerza gravitacional al
desplazar el cuerpo desde el punto en el que es lanzado, hasta el momento que el cuerpo cae de regreso
hasta la mano de la persona que lo ha lanzado.
Solución.
Antes de calcular la altura máxima que alcanza el cuerpo hay que calcular la energía total del sistema:
ET = Ek + E p
(4.21)
Si consideramos que la energía potencial Ep del cuerpo es cero al momento de ser lanzado, entonces,
en ese punto la energía del cuerpo es puramente energía cinética:
ET = Ek
Al introducir los valores de masa y velocidad inicial se obtiene el siguiente valor:
1
ET = Ek = mv2
2
1
ET = 0.250(20)2
2
ET = 50 J
Por lo tanto, la energía total del cuerpo es de 50J. Cuando el cuerpo alcanza su altura máxima,
entonces su energía cinética es cero, porque en el punto de máxima altura la velocidad del cuerpo es
cero. En el punto de máxima altura, la energía del cuerpo es puramente potencial de acuerdo con la
ecuación 4.14 y además su valor es 50J. Entonces:
ET = E p = mgy = 50
De la ecuación anterior se despeja la variable, y la cual representa la altura máxima del cuerpo.
y=
y=
50
mg
50
(0.250)(9.81)
y = 20.39
114
Unidad 4
Por lo tanto, la altura máxima alcanzada por el cuerpo es 20.39 m.
El trabajo total desarrollado por la fuerza de gravedad es cero. Esto es así por dos razones:
1. La fuerza gravitacional es una fuerza conservativa.
2. El punto de partida del cuerpo es el mismo que el punto final. Téngase en cuenta que el punto de
partida es la mano de la persona que ha lanzado el cuerpo hacia arriba, y el punto final es la misma
mano de la persona cuando atrapa el cuerpo que cae después de alcanzar la máxima altura.
Ejercicios
1. ¿Cuál es la energía potencial de un elevador de 400kg de masa en la parte más alta de un edificio que
mide 150m? Considérese que en la planta baja del edificio la energía potencial del elevador es cero.
Solución. 588.6 kJ
2. Un bloque que pesa 1 kg es apretado contra un resorte horizontal comprimiendo el resorte una
longitud de 15 cm. Después se suelta el bloque y éste es expulsado por el resorte, de tal manera que el
bloque recorre una distancia de 60 cm antes de detenerse. Si la constante k del resorte tiene el valor 12
kg/m entonces ¿cuál es el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el suelo?
Solución. μ = 0.225
4.6 Potencia
En el área de la ingeniería resulta muy práctico calcular la cantidad de energía liberada en un
determinado tiempo por algún dispositivo de generación de energía. Es de particular interés conocer,
por ejemplo, la cantidad de energía que una central hidroeléctrica genera en una hora, o en un día.
Entre más energía sea desarrollada por la central, mayor es la eficiencia de ésta. Necesitamos entonces
de alguna manera medir esta eficiencia, requerimos de una magnitud que cuantifique la cantidad de
energía desarrollada por unidad de tiempo. La potencia es una magnitud escalar que relaciona el trabajo
realizado por una fuerza con la cantidad de tiempo requerido por la fuerza para realizar dicho trabajo.
La potencia P se define como:
P=
dW
dt
(4.22)
115
CinemátiCa y dinámiCa
La potencia, al tratarse de una derivada, mide la cantidad de trabajo realizado por unidad de tiempo.
La potencia proporciona una medida de la rapidez con la que el trabajo es desarrollado: entre más
trabajo sea desarrollado por unidad de tiempo, mayor es la potencia desarrollada.
La potencia promedio durante un intervalo de tiempo t se obtiene al dividir el trabajo total W
desarrollado entre t:
W
(4.23)
P=
t
La potencia es la razón del trabajo realizado y el tiempo que tarda en realizarse. Es por ello que
en la vida cotidiana se puede diferenciar, por ejemplo, entre un coche que desarrolla mayor potencia
que otro, pues no hace falta ser expertos en la materia para saber que el más potente cubrirá la misma
distancia en un tiempo mucho menor; otro ejemplo son las maquinas excavadoras, pues a pesar de que
cualquier obrero puede realizar el mismo trabajo que una de estas máquinas, el tiempo que empleará
será mucho mayor.
Observa nuevamente la expresión matemática de la potencia, notarás que es la razón del trabajo
y el tiempo, por lo tanto, para el sistema internacional el trabajo se mide en joules (J) y el tiempo en
segundos (s), así que:
P=
J
= Watt
s
El watt es la unidad de medida para la potencia en el sistema internacional.
Por definición se dice que una máquina realiza o proporciona un watt de potencia cuando es capaz
de realizar un joule de trabajo en un solo segundo.
Cuando se miden grandes cantidades de potencia se emplean unidades como los kilowatts (kW) o
los megawatts (MW).
Aun en la actualidad, para la medición de la potencia se siguen empleando unidades comerciales
como son el hp; por eso es importante considerar los siguientes factores de conversión.
1 hp = 550
pielb
= 746 W
s
Ejemplo
Un elevador de servicio dentro de un hospital, tiene una masa de 400 kg cuando está vacío. El
diseño del elevador, le permite cargar hasta 50 paquetes de sabanas de 10 kg, desde la planta baja
hasta la lavandería del hospital que se encuentra en el piso 14, en 15 s. Suponiendo que en promedio
116
Unidad 4
la distancia que existe entre cada piso es de 3 m, ¿cuál es el valor de la potencia constante mínima del
motor en hp, despreciando el trabajo de los contrapesos del elevador?
La fuerza mínima que debe aplicarse al elevador debe ser igual al peso total del mismo:
wT = (400 kg)(9.81m/s²)+(50)(10 kg)(9.81 m/s²) = 8829 N
W = Fd = (8829 N)(14)(3m) = 370.81 kJ
P=
370.81kJ
= 24.72kW
15s
Por tanto el valor de la potencia mínima es de:
P = 33.13 hp
Ejercicios
1. Una persona de 83 kg asciende por una colina hasta una altura de 5.2 m en 45 s, ¿qué potencia
promedio debe emplear dicha persona?
Solución. P = 94.08 watts.
2. Una persona sube una carga de masa m por una rampa inclinada a 23° hasta una altura de 3 m. ¿Cuál
es el valor de la potencia que se requiere para subir dicha carga en 9 s?
Solución. P = mg/3
3. Un atleta de 65 kg, es capaz se recorrer 16 m en 2 segundos, a partir del reposo y con una aceleración
constante. ¿Cuál es el valor de la potencia que desarrolla dicho atleta?
Solución. P = 4160 W
4.6 Potencia y velocidad
En el apartado anterior ecuación 4.22 hemos definido la potencia como:
P=
dW
dt
117
CinemátiCa y dinámiCa
Pero recuérdese del apartado 4.1, que el trabajo a su vez es:
b 
 
W = ∫ F ⋅ dr
a
Si derivamos, bajo ciertas condiciones, ambos lados de la ecuación anterior, se puede obtener la
siguiente relación entre fuerza y trabajo:
 
dW = F ⋅ dr
Al sustituir esta expresión en la definición de potencia se obtiene:
P=
dW
dt
 
F ⋅ dr
P=
dt

 dr
P = F⋅
dt
Al considerar que la velocidad esta representada por la siguiente derivada:

 dr
v=
dt
(4.24)
Entonces la potencia puede expresarse como:
 
P = F⋅v
(4.25)
Ejemplo
El motor de reacción de un cohete espacial, tiene un empuje de 150 000 N, lo cual hace que el
artefacto se eleve a una velocidad de 400 m/s. ¿Cuántos caballos de potencia desarrolla dicho motor?
P = Fv
P = (150000 N)(400 m/s)
P = 6 x 107 W
 1 hp 
= (6 × 107 W)
 = 80.428 kW
 746W 
118
Unidad 4
Ejercicios
1. ¿Cuál es la fuerza requerida para mover un bloque a una velocidad constante de 2 m/s si el motor
desarrolla una fuerza de 1200 N?
Solución. P = 2400 watts.
2. ¿A qué velocidad se levanta un ancla por medio de un motor que desarrolla una potencia de 2 kW
si su masa es de 45 kg?
Solución. v = 4.53 m/s.
3. ¿Cuál será la potencia de un motor de fórmula uno, cuando el vehículo viaja a velocidad constante
de 255 km/h? La fuerza de reacción que existe entre los neumáticos y el suelo es de 255 N.
Solución. P = 18.062 kW.
119
CinemátiCa y dinámiCa
Simbología
W
F
d
m
µk
w
g
N
FF
FR
k
k
vi
vf
Ek
Ep
P
t
120
Trabajo.
Fuerza.
Distancia.
Masa.
Coeficiente de fricción cinética.
Peso.
Aceleración de la gravedad.
Fuerza normal.
Fuerza de fricción.
Fuerza resultante.
Constante del resorte.
kilo (103).
Velocidad inicial.
Velocidad final.
Energía cinética.
Energía potencial.
Potencia.
Tiempo.