Taller de Repaso -Metodos Estadisticos 2011

UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y ESTADÍSTICA
Introducción a los Métodos Estadísticos, Febrero – Junio 2011
Profesor: Wilmar Alexander Torres L.
TALLER DE REPASO
1. Cierto proceso de llenado debe generar botellas de una bebida refrescante con un
contenido nominal de 350 ± 5 cc. Analizando los datos históricos, se ha encontrado que
la distribución de la cantidad llenada en las botellas, cuando el proceso se encuentra en
condiciones habituales de funcionamiento, bien pudiera seguir una ley normal con
promedio de 360cc y varianza de 25 cc.
a) Cuál es el porcentaje de botellas con un volumen de llenado no conforme a las
especificaciones?
b) Si un cliente llega a descubrir una botella que contiene un volumen por debajo de
las especificaciones, la empresa estaría obligada a entregar un bono por valor de
$10.000, en promedio cuanto debería reservar la empresa para asumir los costos de
reclamaciones, por cada lote de 10.000 unidades producidas?
c) Suponga que el proceso ahora se ha descontrolado, llenando a una cantidad
promedio de 355 cc, cuál sería el resultado en b?
2. Un remache para la industria de la construcción es fabricado para cumplir con una
resistencia al esfuerzo cortante de 2000 psi. Tenemos la posibilidad de fabricarlos con
una de dos máquinas disponibles.
Las características de producción de cada una de las máquinas se presentan enseguida:
Máquina 1.
Produce con una resistencia media de 2300 psi y una desviación estándar de 150 psi
Máquina 2.
Produce con una resistencia media de 2100 psi y con una desviación estándar de 33.3
psi.
a) Estime el porcentaje de remaches no conformes producidos en cada caso.
Alguien está recomendando producir los remaches con la maquina 1, pues la
resistencia media es mayor que la maquina 2. ¿Usted que opina? Justifique su
respuesta.
b) Si en un momento dado la máquina 1, se ha desajustado de tal manera que está
produciendo un 5% de remaches que no cumplen la tolerancia. ¿Cuál será la
resistencia media del proceso en esta situación?
3. Un ensamblaje mecánico, como el que muestra la figura, consta de un eje con un par de
cojinetes en cada extremo. Estos componentes son producidos en 3 maquinarias
distintas, obteniéndose una longitud del eje central (X) que sigue una distribución normal
con promedio de 11.2 y desviación estándar de 0.002, mientras que la longitud de los
cojinetes sigue una ley normal con promedio de 0.4 y desviación de 0.001 para Z y 0.003
para Y.
a) El 95% de los ejes tienen longitudes que caen en el rango 11.2 ± d1 pulgadas. ¿Cuál
es el valor de d1? Similarmente el 95% de los cojinetes tienen longitudes que caen en
el rango 0.4 ± d2. ¿Cuál es el valor d2?
b) Cual debería ser el rango de variación tolerable para la longitud del instrumento, de
tal manera que la empresa tenga capacidad de cumplir con un porcentaje cercano al
95% las unidades producidas?
c) Es común en la industria establecer una “tolerancia natural” de las partes de la forma
expresada en (a). Un ingeniero que faltó mucho a su curso de estadística, quiere
calcular la tolerancia de la longitud total L, del ensamblaje completo. El dice que el
95% de las veces la longitud L del ensamblaje, se encuentra en el rango 12 ± d, donde
d = d1 + 2d2, puesto que la longitud media de todo el ensamblaje, será la suma de las
longitudes medias (11.2+0.4+0.4=12) y la tolerancia la suma de las tolerancias.
¿Está usted de acuerdo con el ingeniero?
4. Sea Y1, Y2,…,Yn una muestra aleatoria extraída de una población con función de
1
densidad f ( y ) =
− 1 < y < 2θ + 1
2θ + 2
a) Encuentre un estimador máximo verosímil para θ.
b) Encuentre un estimador por el método de los momentos para θ .
c) Mediante el método de máxima verosimilitud, encuentre una expresión para la
estimación de la mediana poblacional.
5. Una fabrica utiliza 3000 focos cuya vida útil esta normalmente distribuida con media de
500 horas y desviación de 50 horas. Para reducir al mínimo el número de focos que se
queman durante horas de operación, todos son cambiados después de un periodo
determinado. ¿Con que frecuencia deben cambiarse los focos si se desea que no mas de
1% de los focos se quemen entre periodos de cambio?
6. La CVC tiene la sospecha de que cierta empresa recién instalada, quien arroja sus aguas
residuales al efluente de un pequeño rio lo está contaminando. Anterior a la instalación
de la planta este rio ha presentado una concentración de oxigeno disuelto de 7.5 ppm.
Los siguientes son los resultados de una muestra aleatoria de 20 tomas de agua
realizadas durante diferentes días y horarios.
5.57; 2.78; 3.81; 3.20; 4.94; 4.82; 4.34; 5.48; 5.91; 5.83; 4.29; 3.36; 4.79; 7.27; 5.06;
5.41; 6.22.
Según la información recogida, cree usted que efectivamente la empresa ha contaminado
el rio?
7. La duración de un transistor hasta que falla (en cientos de horas) es una variable
aleatoria Y con función de distribución dada por:
= a)
b)
c)
d)
0,
1−
,
<0
≥0
Encuentre f(y).
Calcule la probabilidad de que un transistor funcione por lo menos 200 horas.
Encuentre > 100| ≤ 200.
Encuentre el valor esperado y la varianza de Y.
8. Una compañía manufacturera produce cilindros que siguen un modelo normal con media
2 pulgadas de diámetro y desviación 0.1 pulgadas. Si una muestra de tamaño 4 cilindros
arrojo un diámetro medio de 2.1 pulgadas, construya un intervalo del 95% de confianza
para la media poblacional. Con base en su intervalo, ¿usted pensaría que el proceso está
bajo control?