Vectores

Física 2º Bach.
Tema: Vectores y tiro parabólico
DEPARTAMENTO DE
FÍSICA E QUÍMICA
08/10/08
Nombre:
1. a) El producto vectorial de dos vectores perpendiculares es igual a . . .
b) El producto escalar de un vector por sí mismo da ...
c) El significado geométrico del módulo del producto vectorial de dos vectores es ...
d) La proyección de un vector sobre otro es el producto escalar de ...
Solución
2. Dados los puntos A(2, -3, 4), B(-3, 1, -2) y C(1, 0, -1), calcula:
a) Los ángulos del triángulo ABC.
b) El momento del vector AB con respecto al punto C.
Solución
[½]
[½]
[½]
[½]
[2]
[2]
3. Un muchacho arroja una piedra formando un ángulo de 37º con la horizontal, consiguiendo alcanzar una
distancia horizontal de 20 m. Halla la altura máxima alcanzada por la piedra.
[4]
Solución
Soluciones
1. a) El producto vectorial de dos vectores perpendiculares es igual a . . .  
Solución: otro vector perpendicular a ambos cuyo módulo vale el producto de sus módulos.
c = a × b ; │c│ = │a│ │b│ sen 90º = │a│ │b│
b) El producto escalar de un vector por sí mismo da ...
Solución: un número que es el cuadrado de su módulo.
a · a = │a││a│ cos 0 = │a│2
c) El significado geométrico del módulo del producto vectorial de dos vectores es ...
Solución: el área del paralelogramo que definen. │a × b│ = │a│ │b│ sen θ = │a│ h = Área del
paralelogramo.
d) La proyección de un vector sobre otro es el producto escalar de ...
Solución: el vector que se proyecta por el vector unitario de la dirección sobre la que se proyecta.
Proyección de a sobre b = a · b / │b│ = a · ub
2. Dados los puntos A(2, -3, 4), B(-3, 1, -2) y C(1, 0, -1), calcula:
a) Los ángulos del triángulo ABC.
  
Solución:
El ángulo entre dos vectores se obtiene de su producto escalar:

AB · 
BC=∣
AB∣∣
BC∣cos 
ABC

AB=
OB−
OA=−5 i 4 j −6 
k
∣
AB∣=−52 4 2−62=  77

BC=
OC−
OB=4 i −jk
∣
BC∣= 42−121 2= 18

AB · 
BC=−20−4−6=−30
−30

ABC =arc cos
=arc cos−0,806=2,51 rad=144 º
77
  18

CA=
OA−
OC= i −3 j5 
k
∣
CA∣= 1 2−3252=  35

BC· 
CA=435=12

BCA=arc cos
12
=arc cos 0,478=1,07 rad=61 º
18  35
Pero esto es imposible porque la suma de los tres ángulos de un triángulo debe
valer 180º y la suma de los dos que hemos calculado es 144º + 61º = 205º >
180º.
C
36º
A
144º
B
El error está en que hemos calculado el ángulo entre los vectores 
AB y 
BC cuando ambos tienen un

origen común. Pero en el triángulo ABC, el vector BC está a continuación del vector 
AB . El ángulo ABC
es el suplementario del que hemos calculado:
ABC = 180º – 144º = 36º
Lo mismo ocurre con el ángulos BCA
BCA = 180º – 61º = 119º
Para comprobarlo calculamos el tercer ángulo CAB

CA · 
AB=−5−12−30=−47

CAB=arc cos
−30
=arc cos−0,905=2,70 rad=155 º
35
  77
que en realidad es
CAB = 180º – 155º = 25º
Vemos que la suma de los tres ángulos es:
ABC + BCA + CAB = 36º + 119º + 25º = 180º
b) El momento del vector AB con respecto al punto C.

M
=
CA×
AB=i −3 j5 k ×−5 i 4 j−6 
k =−2 i −19 j−11 k
AB , C
que es perpendicular a ambos vectores como se puede comprobar al hacer el producto escalar entre el vector
momento y cada uno de ellos.

M
·
CA =−2 i −19 j −11 
k · i −3 j 5 k =−257−55=0
AB ,C

M
·
AB=−2 i −19 j−11 k ·−5 i 4 j−6 
k =10−7666=0
AB , C
3. Un muchacho arroja una piedra formando un ángulo de 37º con la horizontal, consiguiendo
alcanzar una distancia horizontal de 20 m. Halla la altura máxima alcanzada por la piedra.  
Solución:
El movimiento de la piedra viene representado por la ecuación:
1
r =r 0 
v 0 t −
a t2

2
ya que se encuentra sometida solamente a la acción de la Y+
fuerza peso, y por tanto su aceleración 
a =−9,8 j m·s−2
v0
es un vector constante.
Se coloca el origen de coordenadas en el punto O de
37º
lanzamiento. Se toma como eje X+ el horizontal en el
O
sentido de avance del objeto, y el eje Y+ el vertical hacia
arriba, tal como se muestra en la figura:
y se sustituyen las constantes del movimiento:
r0 =0, 0
v 0∣
v0 = ∣
v0x = v0 cos θ = v0 cos 37º = 0,80 v0
X+
20 m
v0y = v0 sen θ = v0 sen 37º = 0,60 v0
a =−9,8 j m·s−2

la ecuación de movimiento queda como sigue:
1
r t =0,80 v 0 i 0,60 v 0 j t −
−9,8 j t 2 =0,80 v 0 t i 0,60 v 0 t −4,9 t 2  j m
2
Puesto que el otro dato es el alcance, 20 m, se sabe que el punto donde choca con el suelo tiene de
coordenadas (20, 0). Aplicando estos datos a la ecuación de movimiento:
20 i =0,80 v 0 t i 0,60v 0 t −4,9 t 2  j
se obtienen dos ecuaciones, una para cada coordenada:
Coordenada X:
20 = 0,80 · v0 · t
0 = 0,60 · v0 · t – 4,9 t2
Coordenada Y:
Despejando v0 en la primera ecuación:
v0 = 20 / (0,80 · t ) = 25 / t
y sustituyendo en la segunda se obtiene el tiempo que tarda en chocar con el suelo:
0 = 0,60 · (25 / t) · t - 4,9 t2
15 = 4,9 t2
t=

15
= 1,7 s
4,9
Sustituyendo en v0 = 25 / t = 25 / 1,7 = 14 m/s, que es el módulo de la velocidad inicial.
Así, el vector velocidad inicial, es:
v 0 =0,80 ·14 i 0,60· 14 j=11 i 8,6 j m/s

y la ecuación de movimiento se puede volver a escribir como:
r =11 t i 8,6 t−4,9t 2  j m
Para hallar la altura máxima, se impone la condición de que la primera derivada de la coordenada y, esto es
dy
vy, sea cero: y es máxima cuando
= vy = 0
dt
Derivando la ecuación de movimiento:

v=
d r d
2
= 11t i 8,6 t−4,9 t  j =11 i 8,6−9,8 t  j m/s
dt dt
e igualando la componente y de la velocidad a cero, vy = 0,
8,6 – 9,8 th = 0
se obtiene el tiempo th en el que la componente y de la velocidad vy se hace cero.
th = 8,6 / 9,8 = 0,87 s
que, sustituido en la ecuación de la coordenada y, da:
yh = 8,6 th - 4,9 th2 = 8,6 · 0,87 – 4,9 · 0,872 = 3,8 m de altura máxima que alcanza la piedra.