TEMA II

UNIVERSIDAD “JOSE CARLOS MARIATEGUI”
TEMA II
DISTRIBUCION DE FRECUENCIA
1. Cuestiones preliminares sobre Distribución de Frecuencia.
2. Distribución de frecuencia cuando la variable es discreta.
3. Distribución de frecuencia agrupada cuando la variable es continua.
OBJETIVOS DE UNIDAD
¾ GENERALES.
Hacer que el estudiante comprenda que la frecuencia con que ocurren los
hechos o fenómenos es lo que determina el comportamiento de éstos.
¾ ESPECÍFICOS.
Al concluir el estudio de la presente unidad el alumno esta en capacidad de:
¾ Definir qué y por qué se llama frecuencia.
¾ Distribuir los valores de la variable según sea discreta o continua, ya sea en
forma puntual o agrupada.
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LECCIÓN Nº 06
FRECUENCIAS
1. DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS
CONCEPTO: Una distribución de frecuencias, es una tabla estadística de resumen
en la que los datos se agrupan en clases o categorías ordenadas en forma
numérica.
Cuando los datos se agrupan o condensan en tablas de distribución de
frecuencias, el proceso de análisis e interpretación de los datos se vuelve mucho
más manejable y significativo.
FRECUENCIA: Son medidas de los diferentes valores, categorías o clases de una
variable, ésta medida puede ser absoluta o relativa.
2. DISTRIBUCION DE FRECUENCIA CUANDO LA VARIABLE ES DISCRETA
PRIMER CASO: Cuando el número de datos son pocos y/o hay poca
dispersión
Vamos a suponer que se ha captado información visitando 20 hogares donde se
ha preguntado por el número de hijos del matrimonio, obteniendo la siguiente
información:
X1 = 3
X6 = 5
X11 = 3
X16 = 3
X2 = 5
X7 = 3
X12 = 5
X17 = 3
X3 = 3
X8 = 4
X13 = 2
X18 = 6
X4 = 2
X9 = 4
X5 = 5
X10 = 5
X14 = 4
X15 = 5
X19 = 5
X20 = 4
Pasos para efectuar la distribución:
Primero: Determinamos los valores máximo (VM ) y mínimo (Vm).
VM = 6
Vm = 2
Segundo: Hallamos el rango o recorrido de la variable (puntos por donde
"caminarán" los valores de la variable), (R)
R = (VM – Vm) + 1 (Fórmula 7.1)
R = 6.2 + 1 = 5
20
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Tercero: Confeccionamos la tabla.
Tabla Nº 7.1.
Distribución de frecuencia de 20 matrimonios encuestados, según número de hijos.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Yi
Tabulado
fi
Fi
hi
Hi
Num. de
Num. de
Num. Acum.
% de
% Acum. de
Hijos
Matrimonios matrimonios Matrimonios Matrimonios
Y1 = 2
II
f1 = 2
F1 = 2
h1 = 0,10
H1 = 0,10
Y2 = 3
f2 = 6
F2 = 8
h2 = 0,30
H2 = 0,40
IIIII I
Y3 = 4
f3 = 4
F3 = 12
h3 = 0,40
H3 = 0,60
IIII
Y4 = 5
f4 = 7
F4 = 19
h4 = 0,35
H4 = 0,95
IIIII II
Y5 = 6
f5 = 1
F5 = 20
h5 = 0,05
H5 = 1,00
I
∑
20
1,00
Donde:
Yi : Valores que toma La variable. (Primera columna). Número de hijos.
En la segunda columna se ha efectuado el tabulado. Es decir se ubica cada uno de
los datos obtenidos según los valores de la variable. (No siempre se representa en
la tabla),
fi: Frecuencia absoluta. Es el número de veces que se repite cada uno de los
valores que toma la variable. (Número trascrito de la tabulación). (Tercera
columna). Al efectuar la encuesta, por ejemplo, hubieron 2 matrimonios que
respondieron tener 2 hijos, por eso ni = 2 y 7 matrimonios respondieron tener 5
hijos, por eso n4 = 7. (En resumen, número de matrimonios).
Fi: Frecuencia absoluta acumulada. Número de veces acumulado que se repite los
valores de la variable i = 1 hasta j.
j
Fi =
∑ ni
i=1
F i = fi
2
F2 =
∑ ni
= n1 + n 2 = 2 + 6 = 8
i=1
3
F3 =
∑ ni
= n1 + n2 + n3 = 2 + 6 + 4 = 12
i=1
(Cuarta Columna)
hi: Frecuencia re1ativa. Proporción que existe entre la frecuencia absoluta y el total
de observaciones para cada valor que toma la variable. (Quinta columna).
h i = ni ,
n
hi = n i ,
n
2
20
=
0,10
21
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h 2 = n2 ,
n
6
20
=
0,30
Hi: Frecuencia relativa acumulada. Suma de las frecuencias relativas desde i = 1
hasta j. (Sexta columna)
j
j
Hj =
∑ hi
o
i=1
∑ ni
Hj = i=1
n
H1 = h1 = 0,10
2
H2 =
∑ hi
= h1 + h2 = 0,10 + 0,30 = 0,40
i=1
5
H5 =
∑ hi
=1
i=1
Interpretación:
f2 : Existe 6 matrimonios que tienen 3 hijos cada uno.
f3 : 7 matrimonios tienen 5 hijos cada uno.
f6 : De los 20 matrimonios, hay uno que tiene 6 hijos.
f3 : De los 20 matrimonios hay 12 que tienen hijos entre 2 y 4, inclusive.
F4 : 19 matrimonios tienen de 2 a 5 hijos, inclusive.
h1 : De los 20 matrimonios encuestados el 0.10 (10%) tiene 2 hijos.
h4 : El 0.35 (35%) de los 20 matrimonios tiene 5 hijos.
H3 : El 0,60 (60%) de los 20matrimonios tiene entre 2 y 4 hijos, inclusive.
H4 : De los 20 matrimonios el 0.95 (95%) tiene entre 2 y 5 hijos, inclusive.
SEGUNDO CASO: Distribución por intervalos de clase (datos agrupados), se
efectúa cuando existe mucha dispersión y/o muchos datos.
Debido a la limitación que se tiene en los trabajos estadísticos se ha optado por
agrupar la información por intervalos de clase, de tal forma que el conjunto de
datos pertenecientes a cada intervalo sean mutuamente excluyentes, uno del otro,
es decir, que los valores de una clase no pueden pertenecer a otra.
¿Por qué se opta por la distribución por intervalos de clase?
Se opta por lo siguiente:
Facilita el tratamiento de los datos, pues distribuidos en gran cantidad no es
practico ni económico su estudio.
No hay razón para mantener en forma separada puntos de la escala que muestran
una frecuencia de datos bajo y a veces hasta cero.
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¿Es lo máximo optar por la distribución por intervalos de clases?
Es la mejor manera; sin embargo, nos limita la observación de los calificativos
individuales y, al trabajar la información surgirán pequeños errores estadísticos
producto de la agrupación.
¿Cómo vamos a construir la distribución por intervalos de clase?
Al hablar de intervalos de clase estamos definiendo que los datos vamos
agruparlos de acuerdo a su valor; ¿cuántos intervalos de clase tendrá la
distribución?, ¿2 intervalos?, ¿tres?, en consecuencia, no es conveniente que el
intervalo sea muy grande; tampoco es recomendable que el intervalo sea muy
pequeño, pues se estaría desvirtuando el objetivo que nos ha llevado a construir
una distribución por intervalos de clase.
3. TABLA DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS
Para elaborar una tabla de distribución de frecuencias, se deben seguir los
siguientes pasos:
a) Cálculo del Rango o recorrido (R)
El Rango se define como la distancia entre el dato máximo y el dato mínimo.
Se halla restando el dato mayor (X máx.) con el dato menor (X mín.):
Para el ejemplo:
X max = 36
X min = 16
Luego:
R = 36 – 16 =20
b) Determinación del Número de Clases (K)
Número de clases, es el número de categorías o intervalos en el que se va a
dividir la información.
El número de clases se puede fijar arbitrariamente, dependiendo del número de
datos que se tenga. El número de clases a elegir, varía entre 5 a 20.
Otra forma de determinar el número de clases con bastante aproximación, es
utilizando la REGLA DE STURGES, que se calcula con la siguiente fórmula:
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K=
1 + 3.3 Log. N
NUMERO
NUMERO DE DATOS
LOGARITMO
DE CLASES
Por ejemplo: Si n =20
K
= 1 + 3.3 Log.20
K
= 1+ (3.3)(1.30)
K
= 1+ 4.29
K = 5.29
K = 5(*)
Esto significa que la información se dividirá en 5(*) clases, y se redondea al
entero más próximo.
c) Determinación de la amplitud del intervalo (W).
Llamado también ancho de clase.
La amplitud es la cantidad de datos que están comprendidos en un intervalo de
clase.
Un intervalo se forma por dos límites que van a definir una clase.
Los límites son los valores extremos de un intervalo y son: límite superior y
límite inferior. Luego podemos definir la amplitud del intervalo (W) como la
distancia entre el límite inferior y superior de un intervalo, y se halla a través dé
la fórmula:
Amplitud
de
intervalo
W=R
K
Rango
Numero de Clases
Para el ejemplo anterior:
W = 20 = 4 .
5
W=4
d) Formación de los intervalos de clase (I)
Formar los intervalos de clase, significa hallar los limites inferior y superior de
cada intervalo; y para ello se parte del dato menor (X mín=16) y se le suma la
amplitud del intervalo (W = 4)
Luego 16 constituye el límite inferior y 19 el límite superior de la primera clase.
Igual procedimiento se sigue con la segunda y hasta la quinta; y se obtiene lo
siguiente:
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i
1
2
3
4
5
16
20
24
28
32
I
-
19
23
27
31
35
Una forma práctica de determinar los intervalos de clase, consiste en hallar
primero todos los límites inferiores de cada clase, sumando el 1er, limite inferior
la amplitud del intervalo.
Así:
X min. = 16
16 + 4 = 20
20 + 4 = 24
24 + 4 = 28
28 + 4 = 32
Límite de la Primera Clase.
Limite inferior de la Segunda Clase
Limite inferior de la Tercera Clase
Limite inferior de la Cuarta Clase
Limite inferior de la Quinta Clase
Al limite inferior de la 2da, clase; se le resta una (01) unidad para obtener el
limite superior de la 1ra, clase; obteniendo éste, se le suma la amplitud del
intervalo para obtener los limites superiores de cada clase.
Así:
20
19
23
27
31
+
+
+
+
1
4
4
4
4
=
=
=
=
=
19
23
27
31
35
Limite inferior de la Primera Clase
Limite inferior de la Segunda Clase
Limite inferior de la Tercera Clase
Limite inferior de la Cuarta Clase
Limite inferior de la Quinta Clase
Nota: Los intervalos no siempre van a tener la misma amplitud.
De acuerdo a la investigación y a la necesidad de presentar la información para
su análisis correspondiente, es posible tener tres tipos de intervalos.
Intervalo de igual
amplitud
Proteínas en grs.
16 – 19
20 – 23
24 – 27
28 – 31
32 – 35
Intervalo de diferente
amplitud
Grandes grupos de edad
0 - 14
15 – 64
65 - 85
Intervalo abierto
Peso de pacientes en Kgs.
Menos de 55
55 – 59
60 – 64
65 – 69
70 y mas
e) Frecuencia absoluta simple (fi)
Es el número de veces que se repite cada uno de los valores de la variable,
dentro de los diferentes intervalos en que se ha dividido la información. Se
denota por “fi”.
Para obtener la frecuencia absoluta de cada clase, se efectúa la tabulación o
conteo mediante el Sistema de Palotes. Para nuestro ejemplo hay 5 valores
25
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(16, 17, 18, 19, 19) que se encuentran en el intervalo 16 a 19; luego la
frecuencia absoluta simple para la primera clase es igual a 5; y así
sucesivamente hasta obtener las frecuencias absolutas simples para todas las
clases, de la siguiente manera:
i
Ii
16 20 24 28 32 -
1
2
3
4
5
Tabulación
o conteo
19 I I I I
23
27
31
35
fi
5
9
4
1
1
Σ f i = 20
f) Frecuencia absoluta acumulada (Fi)
Se obtiene sumando y acumulando los valores absolutos, clase por clase en
orden ascendente. Se representa por:
En la 1ra. clase:
En la 2da. clase:
En la 3ra. clase:
En la clase i :
=
=
=
=
F1
F2
F3
Fi
fl
f1
f1
f1
+ f2
+ f 2 + f3
+ f2 + f3
... + fi
g) Frecuencia Relativa Simple (h1)
Es el valor que resulta al dividir cada una de las frecuencias absolutas simples
entre el total de frecuencias o datos.
Llamada también frecuencia unidad y su notación es “hi = fi / n “
Así;
Para la 1ra. clase
:
Para la 2da. clase
En general:
h1
:
=
f1
n
h2
=
f2
n
hi = fi
n
Para el ejemplo:
h1 = 5 = 0.25
20
h) Frecuencia relativa acumulada (Hi)
Se obtiene sumando y acumulando los valores relativos clase por clase en
orden ascendente. Así:
En la 1ra. clase:
En la 2da. clase
En la 3ra. clase
En la clase i:
26
H1 = h1
H2 = h1 + h2
H3 = h1 + h2 + h3
Hi = h1 + h2 + h3 … + hi
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En el ejemplo:
H1
H2
H3
H4
H5
= 0.25
= 0.25
= 0.25
= 0.25
= 0.25
+
+
+
+
0.45
0.45
0.45
0.45
=
=
+
+
0.70
0.20 = 0.90
0.20 + 0.05 = 0.95
0.20 + 0.05 + 0.05 = 1.00
Por lo general, a las frecuencias relativas las multiplicamos por 100 se obtiene
los valores expresados en porcentaje.
i)
Punto medio o marca de clase (X1)
Se define como la semi-suma de los límites inferior y superior de cada intervalo
de clase.
Xi =
LIMITE INFERIOR + LIMITE SUPERIOR
2
Para el ejemplo:
X1= 16 + 19 = 17. 5
2
X2 = 20+ 23 = 21.5 , etc.
2
PROPIEDADES Y RELACIONES DE LAS FRECUENCIAS
1) Las frecuencias absolutas son cantidades enteras positivas (ó cero en algunos
casos).
2) Las frecuencias relativas se pueden expresar en tanto por uno (números
decimales mayor o igual que cero, pero menor que 1); también pueden
expresarse en porcentaje.
Es decir 0< hi, <1 ó 0% < hi < 100%.
3) La suma de las frecuencias absolutas de todas las clases es igual al número
total de datos.
4) La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.00 ó 100%.
5) La frecuencia absoluta acumulada de la última clase es igual al número total
de datos.
6) La frecuencia relativa acumulada de la última clase es igual a 1 ó 100%.
EJERCICIO RESUELTO
Al averiguar el grado de instrucción en una muestra de 120 personas que
sufren de tuberculosis pulmonar que fueron atendidos durante el mes de
Enero del 2003 en el Hospital del MINSA se obtuvieron los siguientes
resultados:
Analfabetos 38, primaria 63, secundaria 16, superior 3.
Se pide:
a) Ordenar la información proporcionada en un cuadro de frecuencias.
b) Interpretar algunos valores de las frecuencias relativas.
27
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Solución:
a)
La variable grado de instrucción es una variable que por su medición
pertenece a la escala ordinal. Por lo tanto no existe intervalos numéricos.
Luego organizados los datos se tiene el siguiente cuadro:
b) I
n
t
e
r
p
r
e
t
a
c
i
ó
n
h1 = 31.7 %: El 31.7% de las personas atendidas con tuberculosis pulmonar,
son analfabetos.
h2 = 52.5%: El 52.5% de las personas atendidas con tuberculosis pulmonar,
tienen Instrucción primaria.
h3 = 02.5%: El 2.5% de las personas atendidas con tuberculosis pulmonar,
tienen instrucción superior.
4. DISTRIBUCION DE FRECUENCIA AGRUPADA CUANDO LA VARIABLE ES
CONTINUA.
Previamente veamos los tipos de intervalos de clases:
28
(14-20]:
Intervalo semiabierto por la izquierda. No considera al número que
sigue al paréntesis (Li = 14).
[14:20):
Intervalo semiabierto por la derecha. No considera al número que
antecede al paréntesis (Ls = 20).
(14-20):
Intervalo abierto. No considera a los números próximos a los
paréntesis (los dos límites).
[14-20]:
Intervalo cerrado. Considera a los números extremos, es decir a los
2 límites del intervalo.
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EJERCICIO RESUELTO
Un investigador desea determinar en cierta comunidad, el número de horas
semanales que dedican los niños de 7 años de edad, a utilizar la
computadora. Una muestra de 25 niños, arrojó los siguientes resultados (en
número de horas semanales).
10
16
23
15
18
19
19
22
21
25
25
27
17
23
23
19
27
12
26
24
26
25
20
14
21
Se pide:
a) Ordenar la información en una tabla de distribución de frecuencias.
b) Interpretar algunos valores de las frecuencias halladas.
Solución:
a) Para ordenar la información, utilizaremos la Regla de Sturges.
Cálculo del Rango:
R = X max -
Xmin
R = 27
10 = 17
-
Número de clases:
K = 1 + 3.3 Log. N.
K = 1 + 3.3 Log. 25
K = 1 + 3.3 (1.40)
K = 1 + 4.62 = 5.62
Necesariamente se debe redondear al
entero. K = 6
Amplitud del intervalo:
W = R = 17 = 2.83
Redondearemos al entero porque la
información horas semanales está en
números enteros
W=3
Formación de intervalos y frecuencias
I
1
2
3
4
5
6
Fi
L i - Ls
10-12
13-15
16-18
19-21
22-24
25-27
∑
fi
Fi
2
2
3
6
5
7
fi =25
2
4
7
13
18
25
hi
∑
0.08
0.08
0.12
0.24
0.20
0.28
hi =1.00
Hi
0.08
0.16
0.28
0.52
0.72
1.00
hi(%)
∑
Hi(%)
08
08
12
24
20
28
hi =100
29
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08
16
28
52
72
100
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b) f6 = 7: 7 de los 25 niños, utilizan la computadora entre 25 y 27 horas/
semanales, o sea, el 28% de los niños está la mayor cantidad de tiempo utilizando
la computadora.
f1= 2 : 2 niños, que equivale al 8%, utilizan la computadora entre 10 y 12 horas/
semanales.
H4 = 52%: El 52% de los niños de esa Comunidad, utilizan la computadora entre
10 y 21 horas/ semanales.
30
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PRUEBA AUTOEVALUATIVA
II UNIDAD
1. Se llama distribución de frecuencia porque:
a.
b.
c.
d.
e.
Permite agrupar los datos de acuerdo a los valores que toma la variable.
Siempre se distribuye los datos.
Las operaciones se realizan simultáneamente.
Los datos son mayores que 5 y menores que 20.
Ninguna de las anteriores.
2. Si en un conjunto de datos tenemos como valor mínimo a 25 y como valor
máximo a 55, hallar el rango o recorrido de la Variable, (1) cuando la variable
es continua y (2) cuando la variable es discreta.
a.1) 25
a.2) 30
b.1) 30
b.2) 31
c.1) 29
c.2) 28
d.1) 35
d.2) 37
e.1) 33
e.2) 35
3. Se llama frecuencia absoluta:
a.
b.
c.
d.
e.
Porque sucede sin excepción.
Porque representa la máxima cantidad de datos.
Al número de veces que se repite cada uno de los valores de la variable.
A las veces que se toma todos los valores de la muestra.
Ninguna de las anteriores.
4. La proporción o relación que existe entre la frecuencia absoluta y el total de
observaciones y que generalmente se expresa en tanto por ciento es:
a.
b.
c.
d.
e.
La frecuencia relativa. .
La frecuencia absoluta.
La marca de clase.
La frecuencia acumulada.
Ninguna de las anteriores.
5. Coloca la letra que corresponda a cada definición:
A. Clase
B. Intervalo de clase
C. Amplitud de clase
D. Marca de clase
a) A1, B2, C3, D4
d) D1, C3, B2, A4
1. ( ) Subconjunto del rango definido por un limite inferior
y un límite superior.
2. ( ) Es el punto medio de cada intervalo de clase
3. ( ) Cada una de las agrupaciones en la cual se divide
el total de la información.
4. ( ) Está definido por la diferencia entre el límite
superior y el limite inferior.
b) A1, B3, C2, D4
c) A3, B1, C4, D2
e) Ninguna de las anteriores.
31
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6. Los sueldos de una muestra de 50 profesores son los siguientes:
53 23 29 32 47 38 37 34 31 47
34 48 25 39 46 45 46 35 52 28
38 38 22 46 37 51 45 24 32 38
37 46 38 46 40 37 29 26 17 36
28 27 46 44 37 28. 43 41 36 38
Construye una tabla de distribución de frecuencia con 5 intervalos de
clase y señala los límites del tercer y cuarto intervalo de clase
a) 15 - 23
b) 13 - 39
c) 25 - 30
23 - 31
39 - 47
30 - 35
e) Ninguna de las anteriores
d) 28 - 34
34 - 40
7. Como es de tu conocimiento, las frecuencias absolutas se identifican (o
designan) con la siguiente simbología: f1 para la frecuencia absoluta de la
primera clase, f2 para la segunda, f3 para la tercera., y así sucesivamente.
En la tabla construida en la pregunta anterior, identificar la segunda y cuarta
frecuencia absoluta.
a) f2 = 3 b) f2 = 19
f4 = 4
f4 = 4
e) Ninguna de las anteriores.
c) f2 = 5
f4 = 6
d) f2 = 10
f4 = 14
8. Con la tabla construida en la pregunta seis, hallar la tercera frecuencia
relativa (h3) y la cuarta frecuencia relativa acumulada (H4)
a) h3 = 0,38 o 38%
H4 = 0,92 o 92%
b) h3 = 0,10 o 10%
H4 = 0,80 o 80%
c) h3 = 0,06 o 6%
H4 = 0,26 o 26%
d) h3 = 0,50 o 50%
H4 = 0,64 o 64%
e) Ninguna de las anteriores.
9. En el paréntesis, coloca la letra que corresponde, según la interpretación de
cada frecuencia absoluta.
(A) n1
(B) n2
(C) n3
(D) n4
(E) n5
1. ( ) 10 profesores tienen un haber mayor que 23 unidades monetarias
y menor o igual que 31.
2. ( ) 14 profesores tienen un haber mayor que 39 y menor o igual que
47 unidades monetarias.
3. ( ) 14 profesores tienen un haber mayor que 47 unidades monetarias
y menor o igual que 55.
4. ( ) 19 profesores tienen sus haberes mayores que 15 y menores o
iguales que 23 unidades monetarias.
5. ( ) 19 profesores tienen sus haberes mayores que 31 unidades
monetarias y menores o iguales que 39.
a. [A1, B2, C3, D4, E5]
c. [A4, B1, C5, D2, E3]
e. Ninguna de las anteriores.
32
b. [A2, B1, C3, D4, E5]
d. [A3, B2, C4, D1, E5]
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10. Siempre tomando como base la tabla construida en la pregunta (6), en el
paréntesis en blanco, coloca la letra que corresponde, según la
interpretación que también corresponda:
(A) h3
(B) h4
(C) F2
(D) F4
(E) H2
(F) H3
1. ( ) El 64% del total de profesores tienen un haber mayor que 15
unidades monetarias y menor o igual que 39.
2. ( ) 46 profesores tienen un haber mayor que 15 y menor o igual que
47 unidades monetarias.
3. ( ) El 26% del total de docentes tienen un haber mayor o igual que
15 unidades monetarias y menor o igual que 31.
4. ( ) El 38% de los docentes de la muestra tienen un haber mayor que
31 y menor o igual que 39 unidades monetarias.
5. ( ) 13 profesores tienen un haber mayor que 15 y menor o igual que
31 unidades monetarias.
6. ( ) El 28% de los profesores de la muestra tienen un haber mayor
que 39 y menor o igual que 47 unidades monetarias.
a) [A4, B6, C5, D2, E3, F1] b. [A1, B2, C3, D4, E5, F6]
c) [A2, B4, C6, D1, E3, F5] d. [A3, B6, C2, D5, E1, F4]
d) Ninguna de las anteriores.
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EDUCA INTERACTIVA