Capacitores y Dieléctricos

Capacitores y Dieléctricos
Capacitores y Dieléctricos
Teórico-Práctico Nº3
Clase Teórico – Práctica del 7 / 4 / 2010
Lic. Francisco Rubén Soria
Introducción
Los capacitores son dispositivos que permiten almacenar cargas y energía eléctrica. Son
elementos simples que se pueden conectar para formar un circuito eléctrico junto con resistores e
inductores, que se verán más adelante.
Se los utiliza para sintonizar frecuencias en receptores de radios, en filtros de fuentes de
energía eléctrica, para eliminar chispas en sistemas de encendido, en flashes electrónicos en cámaras
fotográficas digitales.
Un capacitor está formado por dos conductores de forma y tamaño arbitrarios separados por un
material aislante que denominaremos dieléctrico. Cuando está cargado, cada conductor posee una
misma cantidad de carga pero de signos opuestos. Y debido a la presencia de las cargas se establece
una diferencia de potencial entre ellos. Tiene la propiedad de almacenar cargas a distintos potenciales
pero la relación entre la carga almacenada y la diferencia de potencial que se establece entre los
conductores es una constante. A esta propiedad se la denomina capacitancia y se define como la razón
entre la carga de cualquiera de los conductores y la diferencia de potencial entre ellos:
C=
Q
V
(1)
La capacitancia depende de la forma geométrica del capacitor y del material aislante entre los
conductores.
La capacitancia se mide en:
[C ]=
[Q] C
= =F
[V ] V
;
1 Faradio=1
Culombio
Voltio
(2)
El Faradio es una unidad muy grande de capacitancia, por lo que los rangos más usuales se
encuentran entre los picofaradios (pF = 10-12F) y los microfaradios (μF = 10-6F).
Capacitor de placas paralelas
Consideremos un capacitor donde los conductores son dos placas
d
paralelas (cuadradas, circulares u otra forma arbitraria) de áreas iguales A y
separadas una distancia d y en el vacío. Cada una de las placas se conecta a los
A
A
Q
Q
terminales de una fuente de tensión continua, por ejemplo: una batería de 12V.
Supongamos que la distancia se separación entre las placas es pequeña
comparada con el área de las mismas. Podemos entonces calcular el campo
eléctrico producido por las placas usando la ley de Gauss y tomando como
modelo para cada placa un plano infinito cargado con densidad uniforme de
carga superficial σ=Q/A.
Para simplificar el problema dibujamos las placas una al lado de la otra
y fijamos un sistema de referencia en una de ellas.
Figura 1: Capacitor de
El campo eléctrico producido por cada placa a ambos lados tiene un
placas paralelas.
+
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-
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valor constante: E=σ/2ε0 en cada punto del espacio. En la
σ+ II
σ- III
I
Figura se muestran las líneas de campo eléctrico de la placa
positiva en color rojo y las líneas de campo eléctrico de la
placa negativa en color azul.
La configuración de cargas divide al espacio en tres
regiones: I) a la izquierda de la placa positiva, x negativas; II)
el espacio entre placas; y III) a la derecha de la placa
negativa.
En las regiones I y III el campo eléctrico resultante es
nulo, debido a que los campos eléctricos de las placas son
x
opuestos en cada punto del espacio, mientras que en la región
0
d
II, los campos eléctricos de ambas placas se suman y el Figura 2: Campo eléctrico de un capacitor de
placas paralelas.
campo eléctrico resultante es:
 =  i
E
0
(3)
Para calcular la capacitancia del capacitor de placas paralelas necesitamos conocer la
diferencia de potencial entre sus placas. Recurrimos entonces a la relación general que existe entre el
campo eléctrico y el potencial eléctrico de cualquier distribución de cargas:
V
 =− ∇
E
(4)
∂
∂
∂
∂


donde el operador ∇= ∂ x i  ∂ y j ∂ z k toma la forma ∇= ∂ x i en nuestro sistema de
coordenadas. Podemos calcular el potencial eléctrico en la región II usando la expresión:
V  x =−∫ E dx=−∫

−
dx=
x
0
0
(5)
Una forma de visualizar la distribución de campo eléctrico y potencial eléctrico en todo el
espacio representamos en gráficos la variación de los mismos en función de las coordenadas, en este
caso, en función de x.
E
V
σ/ε0
d
d
x
-σd/ε0
x
Figura 4: Potencial eléctrico de un capacitor de
placas paralelas.
Figura 3: Campo eléctrico de un capacitor de
placas paralelas.
Queda como ejercicio, demostrar que el potencial eléctrico a la izquierda de la placa positiva
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es nulo y a la derecha de la placa negativa tiene el valor dado en el Figura 4. Habrá que tener en
cuenta que la gráfica del potencial eléctrico es una función continua, no debe presentar saltos. En la
ecuación 5 se realizó una integración indefinida para poder obtener el potencial eléctrico en función de
la coordenada x. Sin darnos cuenta elegimos potencial eléctrico de referencia igual a cero en x igual a
cero. Surge entonces la pregunta: ¿Cómo cambia la forma de la función potencial eléctrico si elegimos
potencial eléctrico de referencia cero en x igual a d?
Finalmente la capacitancia del capacitor de placas paralelas es:
C=
Q 0
Q
Q
A
=
=
=0
d
V  d /0 Q / Ad
(6)
La capacitancia resulta directamente proporcional al área A de las placas; cuánto mayor sea el área
mayor será la capacitancia. Y resulta inversamente proporcional a la distancia de separación d entre
las placas; cuanto menor sea la distancia mayor será la capacitancia. Hasta aquí la dependencia con la
forma geométrica. Con respecto al medio, al material que llena el espacio entre placas, en este caso el
vacío, la capacitancia es directamente proporcional a la permitividad dieléctrica.
Aplicación: Una aplicación directa del capacitor de placas paralelas la encontramos en las teclas de un
teclado de computadora o de un teléfono celular o de un control remoto de televisor o un equipo de
audio. Cuando se oprime una tecla, la placa superior móvil baja comprimiendo y deformando el
material aislante blando entre ésta placa y una placa inferior fija. El complejo circuito del teclado es
capaz de registrar este cambio de capacitancia e identificar la tecla pulsada.
Capacitor esférico
Un capacitor esférico está formado por dos conductores esféricos concéntricos
de radios a y b con b>a.
Usando la ley de Gauss calculamos el campo eléctrico en el espacio entre los
conductores esféricos:
a
Q+
b
Q-
E=
1 Q
4  0 r 2
con
a≤r≤b
(7)
Para encontrar la capacitancia de este capacitar necesitamos calcular la
diferencia de potencial entre los conductores esféricos. Lo hacemos usando la
ecuación (4) particularizada para este caso:
Figura 5: Capacitor
esférico.
a
V =−∫
b
 
1 Q
Q 1 1
Q b−a
dr=
− =
2
4 0 r
4  0 a b 4  0 ab
(8)
La capacitancia del capacitor esférico resulta:
C=
Q
ab
=4 0
b−a
V
(9)
La capacitancia aumenta cuando los conductores esféricos están muy cerca, es decir, cuando
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sus radios difieren muy poco uno de otro.
¿Qué sucede si el conductor externo tiene un radio muy grande comparado con el radio del
conductor interno? Para responder a esta pregunta recurrimos a una herramienta del cálculo, el límite:
ab
a
C = lim 4 0
= lim 4 0
=4  0 a
b−a b ∞
1−a /b
b ∞
(10)
Esta es la capacitancia de un conductor esférico de radio a aislado. La capacitancia es directamente
proporcional al radio del conductor esférico y depende del medio que lo rodea, en este caso el vacío.
Capacitor cilíndrico
Q
+
Q-
Un capacitor cilíndrico se compone de dos conductores cilíndricos concéntricos
de radios a y b con b>a.
Usando la ley de Gauss calculamos el campo eléctrico en el espacio entre los
dos conductores tomando como modelo un cilindro infinito cargado con densidad
de carga lineal λ.

(11)
2 0 r
Para encontrar la diferencia de potencial entre los conductores usamos la
ecuación (4) particularizada para este caso:
E=

a

1 
b
dr =
ln
r
a
4 0
b 4 0
La capacitancia del capacitor cilíndrico resulta:
V =−∫
Figura 6: Capacitor
cilíndrico.
C=
Q
=
V
Q


b
ln
a
20
=
20 Q
=
20 l
 
Q
b
ln
l
a
(12)
ln
b
a
(13)
La capacitancia es directamente proporcional a la longitud de los cilindros.
Aplicación: Un capacitor cilíndrico de uso corriente lo constituye el cable coaxial utilizado en la
televisión por cable. El cable transporta señales eléctricas tanto en el conductor central como en el
exterior. La geometría coaxial permite proteger las señales de influencias externas.
Energía almacenada en un capacitor
Dijimos que un capacitor es un dispositivo que almacena cargas y energía. La energía que
almacena el capacitor está en forma de campo eléctrico. Ahora vamos a calcular esa energía y vamos a
determinar de qué parámetros depende.
Consideremos un capacitor de placas paralelas que se conecta a una fuente de tensión continua.
En un dado instante la carga del capacitor es q y su diferencia de potencial es ΔV. El trabajo que se
debe realizar para aumentar la carga del capacitor una cantidad de carga dq es:
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dW =V dq=
q
1
dq= q dq
C
C
(14)
El trabajo requerido para cargar el capacitor desde 0 hasta Q será entonces:
Q
Q
Q
1
1
1 Q2 1 Q2
W =∫ dW =∫ q dq= ∫ q dq=
=
C 0
C 2 2 C
0
0 C
(15)
El trabajo realizado para cargar el capacitor se transfiere al mismo como energía potencial
eléctrica. Teniendo en cuenta la definición de capacidad, podemos escribir las siguientes expresiones
para la energía almacenada en un capacitor:
U=
1 Q2
2 C
;
1
2
U = C V
2
;
1
U = Q V
2
(16)
En la primera expresión podemos observar que la capacitancia es directamente proporcional al
cuadrado de la carga. En la segunda expresión es directamente proporcional al cuadrado de la
diferencia de potencial. Y en la tercera es directamente proporcional al producto de la carga por la
diferencia de potencial. Estas expresiones deberán usarse convenientemente de acuerdo a los datos del
problema.
Dijimos que la energía almacenada se encuentra en forma de campo eléctrico. El mismo, en un
capacitor de placas paralelas, ocupa el volumen comprendido entre las placas, es decir: Ad. Por lo
tanto la energía U ocupa este lugar. Dividiendo la tercera expresión (16) por el volumen obtenemos la
expresión para la densidad de energía:
1
Q V
2
1 Q
w=
=
Ad
2 A
  
V
1
1
1
=  E = 0 E  E = 0 E 2
d
2
2
2
(17)
Por lo tanto la densidad de energía es directamente proporcional al cuadrado del campo
eléctrico.
Hay que tener en cuenta que todas estas expresiones son independientes de la forma del
capacitor.
¿Hay un límite para almacenar energía? Si, porque el aislante tiene un límite, soporta hasta un
valor máximo de campo eléctrico, cuando se lo sobrepasa deja de ser aislante, se transforma en un
conductor, en lenguaje cotidiano decimos que se quema.
Aplicaciones: Podemos sitar dos aplicaciones de público conocimiento.
Desfibrilador: se lo utiliza para eliminar la fibrilación cardíaca (contracciones aleatorias del corazón en
ataques cardíacos). La rápida descarga de energía puede devolverle su patrón normal de contracciones.
Flashes: de cámaras digitales. La energía almacenada se envía a una lámpara que ilumina por un breve
instante.
Conexión de capacitores
Sin importar la geometría del capacitor, éste se representa con el símbolo
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y se pueden
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conectar de distintas maneras.
Conexión en serie
En una conexión en serie los capacitores se conectan unos a otros formando una cadena y los
extremos se conectan a una fuente de tensión continua (o alterna, como veremos mas adelante).
Consideremos dos capacitores conectandos en serie. Cuando
cerramos la llave L se establece en los cables un campo eléctrico que
mueve a los electrones de manera que las placas de los capacitores se
C2
C1
cargan. Cuando los capacitores están cargados cesa el movimiento de
electrones. En este momento: V 1V 2=V
Q1
Q2
Q1 Q 2
L
 =V
Como V 1 =
y V 2=
entonces
C1
C2
C1 C2
Pero Q1 =Q2=Q puesto que la cantidad de electrones que se
desplazan por los cables debe ser la misma en todo punto del circuito,
ΔV
Q Q
Figura 7: Capacitores conectados
 =V
de lo contrario la carga no se conservaría. Entonces
en serie.
C1 C2
Dividiendo por Q, el segundo miembro representa la capacitancia equivalente del circuito conectada a
la fuente. Entonces para una conexión en serie la capacitancia equivalente es:
1
1
1
= 
C eq C 1 C 2
(18)
La capacidad equivalente es menor que las capacitancias individuales.
Conexión en paralelo
En una conexión en paralelo los terminales de cada capacitor se conectan con los terminales de
la fuente de tensión (continua o alterna).
Consideremos dos capacitores conectados en
L
paralelo. Cuando se cierra la llave L se establece en los
cables un campo eléctrico que mueve a los electrones de
manera que las placas de los capacitores se cargan.
Cuando los capacitores están cargados cesa elC1
C2
ΔV
movimiento de electrones y las tensiones en cada
capacitor igual al de la fuente: V 1 =V 2 =V
Como las capacitancias son distintas cada capacitor Figura 8: Capacitores conectados en paralelo.
adquirirá cargas distintas de manera que la carga total
transportada es Q=Q 1 Q 2
Como Q 1=C 1 V 1 y Q 2=C 2 V 2 entonces Q=C 1 V 1 C 2 V 2 =C 1 V C 2 V
Dividiendo por V el primer miembro representa la capacitancia equivalente del circuito conectada
a la fuente. Entonces para una conexión en paralelo la capacitancia equivalente es:
C =C 1 C 2
La capacitancia equivalente es mayor que las capacitancias individuales.
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(19)
Capacitores y Dieléctricos
Capacitor con dieléctrico
Consideremos un capacitor de placas paralelas que contiene en el espacio entre placas un
material aislante, un dieléctrico, y comparemos las capacitancias con y sin dieléctrico.
A
A
A
La capacitancia sin dieléctrico es C 0=0
y con dieléctrico es C= =K 0 =K C 0
d
d
d
El dieléctrico aumenta K veces la capacitancia.
Consideremos ahora que el capacitor se conecta a una fuente de tensión continua V . El
capacitor sin dieléctrico adquirirá una carga Q0 =C 0 V y el capacitor con dieléctrico adquirirá una
carga Q=C V =K C 0 V =K Q0 . El dieléctrico aumenta K veces la carga almacenada.
Consideremos ahora que el capacitor se carga sin dieléctrico con una fuente de tensión
V 0 y se desconecta de la fuente y luego se introduce el dieléctrico. En este caso la carga Q0
Q
Q
V 0
permanece constante y la tensión del capacitor con dieléctrico es V = 0 = 0 =
C K C0
K
El dieléctrico permite almacenar la misma cantidad de carga pero con una tensión 1/K veces menor.
Tabla 1: Algunas constantes dieléctricas
Vacío
1
Baquelita
4.9
Papel
3.7
Porcelana
6
Vidrio pirex
5.6
Agua
80
Bibliografía:
• Serwey – Jewett. Física tomo II. Sexta Edición.
• Tipler. Física tomo II. Tercera Edición.
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