APUNTES ESTADÍSTICA II

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Tema 1.- MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS
1.1. Modelos de variables aleatorias discretas y continuas.
1.1.1. Discretas
1.1.2. Continuas
1.2. Distribuciones derivadas de la normal.
1.3. Teorema Central del Límite.
Estadística I.
1
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1.1.- MODELOS DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS.
1.1.1.- MODELOS DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
- Binomial (proceso Bernoulli)
- Poisson
PROCESO BERNOULLI (Modelo de variable dicotómica)
Si analizamos de un individuo una determinada característica, medimos su ÉXITO o FRACASO.
Ej. En un examen  si un individuo supera la prueba (éxito) o no la supera (fracaso).
Xi
Pi
ÉXITO
1
p
FRACASO
0
(1-p) = q
 p = probabilidad de éxito
 (1-p) = q = probabilidad de fracaso
∑=1
E(x) = ∑ xi · pi = p
Var (x) = p · q
Pero si en vez de analizar un solo individuo, miro varios individuos y miro si es éxito o fracaso y
luego concluimos con que hay “tantos éxitos” y “tantos fracasos”  generalización 
MODELO BINOMIAL!
1. MODELO BINOMIAL (VA discreta finita numerable) X  B (n,p)
X es una variable que sigue un modelo binomial si lo que está contando es el número de éxitos
que hemos obtenido en “n” repeticiones independientes de un proceso Bernoulli.
Valor mínimo que puede tomar = 0
Valor máximo que puede tomar = n
Parámetros de la distribución
X  B (n,p)
n = nº total de individuos, artículos…que se analizan
p = probabilidad de lo que se analiza
Estadística I.
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Función de probabilidad
 n 
P( X  Xi )   · p xi ·(1  p) n xi
 Xi 
n!
 n 

 Xi  xi!(n  xi )!
No es un cociente, es un número combinatorio 
E(X) = n · p
Var (x) = n · p · q
Propiedad reproductiva
Si tengo 2 variables aleatorias independientes y cada una de ellas sigue un modelo binomial
X1  B (n1, p)
X2  B (n2, p)
Deben tener la misma probabilidad de éxito del suceso!
Y = X1 + X2
Y  B (n1+n2, p)
2. MODELO POISSON (VA discreta infinita numerable) X  P (λ)
X es una variable que sigue un modelo de Poisson y está contando el nº de sucesos que
ocurren en un intervalo de observación (normalmente de tipo temporal). Ej: llamadas al 091
en media hora.
Valor mínimo que puede tomar = 0
Valor máximo que puede tomar = +   Por lo que probabilidades como P(x  3) no habrá
más opción que hacerlo por el complementario  1 – P(X<3)
Parámetros de la distribución
X  P (λ), siendo λ el número medio de sucesos que ocurren en el intervalo fijado.
Función de probabilidad
P( x  r ) 
r
r!
·e 
E(x) = λ
Var (x) = λ
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Propiedad reproductiva
Si tengo 2 variables aleatorias independientes y cada una de ellas sigue el modelo de Poisson:
X1  P (λ1)
X2  P (λ2)
Y = X1+X2
Y  P (λ1+ λ2)
RELACIÓN MODELO BINOMIAL Y POISSON
Partiendo de una binomial bajo determinadas condiciones su cálculo y probabilidad se puede
hacer por Poisson. Estas condiciones son:
-
muchas repeticiones n   (Se considera n grande a partir de 30)
-
probabilidad muy pequeña p  0 (Se considera p pequeña por debajo de 0,10)
E(x) = λ = n · p
1.1.2.- MODELOS DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
- Uniforme
- Exponencial
- Normal
1. MODELO UNIFORME
X es uniforme si toma valores EQUIPROBABLES dentro de un intervalo definido y finito.
Función de densidad
1
ba
f(x) =
a < x < b  Sólo en este intervalo tenemos definida la variable
0
resto
f(x)
1
ba
 área de un rectángulo
a
Estadística I.
b
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Antes de “a” NO hay probabilidad y después de “b” tampoco.
Será lo mismo P (3 ≤ x ≤ 6) que P (6 ≤ x ≤ 9) porque hay la misma distancia.
E ( x) 
ba
2
Var ( x) 
(b  a) 2
12
2. MODELO EXPONENCIAL X  E(λ)
Hace referencia al tiempo que transcurre entre 2 sucesos consecutivos, por lo que siempre
tomará valores positivos, porque se trata de tiempo.
Valor mínimo que puede tomar = 0
Valor máximo que puede tomar = + 
Función de distribución
P( X  X 0 )  1  e X 0  F ( X 0 )
P( X  X 0 )  e X 0
E ( x) 
1

Var ( x) 
1
2
Función de densidad
·e x
x>0
0
resto
f(x) =
3. MODELO NORMAL
Es la distribución más frecuente de todas. A medida que aumentamos el tamaño de la
muestra, casi todas las distribuciones tienden a comportarse como una distribución normal.
Valor mínimo que puede tomar = - 
Valor máximo que puede tomar = + 
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Parámetros de la distribución
X ~ N (μ,  2 )
Función de densidad
f ( x) 
1
2
( x )2
·e
2
2 2
Gráfico de la función de densidad
- +
›
μ -
μ
Valor máximo en μ.
μ -
›
Función creciente en μ-  y decreciente en μ+  .
›
Simétrica respecto a μ
›
La función ni crece ni decrece siempre al mismo ritmo, es decir, existen puntos de
inflexión que vienen marcados por la desviación estándar (  ).
›
Área total de la función = 1.
›
La función nunca corta los ejes, es asintótica.
Tabla normal estándar
Z ~ N (0,1)
μ=0
2 =1
-1
0
+1
Función de densidad de la N(0,1)
z
1
f ( z) 
·e 2
2
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Estandarización
Para pasar de un Normal que no es (0,1) a una Normal (0,1)  ESTANDARIZACIÓN
Z
x

~ N (0,1)
Ej. Para pasar de X ~ N (20,5) a una X ~ N (0,1):
x  20
5
Propiedad reproductiva
X ~ N ( 1, 12 )
Y = X1 + X2  X ~ N ( 1   2, 12   22 )
X ~ N (  2, 22 )
Y = X1 - X2  X ~ N ( 1   2, 12   22 )
1.2.- DISTRIBUCIONES DERIVADAS DE LA NORMAL.
1. DISTRIBUCIÓN CHI – CUADRADO
Consideramos una sucesión de “n” variables aleatorias normales estandarizadas e
independientes entre sí: Z 1 , Z 2 , Z 3 , … , Z n . Si se elevan al cuadrado y las sumamos, nos
origina una nueva variable (  n2 ) siendo n el grado de libertad.
n
n
 n2  ( Z12  Z 22  ...  Z n2 )   Z i2   (
i 1
i 1
X i  i
i
)2
Siempre van a ser valores positivos ya que está al cuadrado. Pero es una distribución
ASIMÉTRICA!
-
VALOR ESPERADO
E (  n2 ) = n
-
VARIANZA
Var (  n2 ) = 2n
La tabla muestra la probabilidad que hay por encima de ese valor “a”:
a
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2. DISTRIBUCIÓN T – STUDENT
Surge a partir del cociente entre una variable normal estándar y una chi – cuadrado
independientes entre sí y siguen la siguiente relación:
tn 
Z
 n2
n
-
VALOR ESPERADO
E ( tn ) = 0
-
VARIANZA
Var ( t n ) =
n
n2
si n > 2
Es una distribución SIMÉTRICA! Y también su tabla recoge la probabilidad acumulada a partir
de un valor “a”.
a
Si n es grande (n ≥ 100) los resultados son parecidos a la distribución normal.
3. DISTRIBUCIÓN F – SNEDECOR
Tenemos 2 chi – cuadrados (n igual o diferente) y se dividen sus grados de libertad:
 n2
Fn ,m  n2
m
m
Es una distribución ASIMÉTRICA! Y también recoge la probabilidad acumulada a partir de un
valor “a”.
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a
Ejercicio 1. Si la variable A se distribuye como una χ2 con 10 grados de libertad, calcula que valor de A
deja por debajo un 99% de probabilidad.
Mirando las tablas de una χ2 con 10 grados de libertad encontramos que el resultado es igual a 23.2092.
Ejercicio 2. Si la variable B se distribuye como una t-Student con 20 grados de libertad, calcula la
probabilidad siguiente: P(A<2,84).
Mirando las tablas de una t con 20 grados de libertad encontramos que el resultado es igual a 0.995
Ejercicio 3. Si la variable C se distribuye como una F-Snedecor con 10 grados de libertad en el
numerador y 5 en el denominador, calcular que valor deja por debajo un 99% de probabilidad.
Mirando las tablas de la F (tabla de 99%), encontramos que este valor es 10,05.
1.3.- TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE
Nos permite aproximarnos a distribuciones normales cuando de partida no lo son. Tenemos
una sucesión de variables aleatorias con las siguientes características:
-
Independientes.
-
Idénticamente distribuidas (todas Poisson, todas uniformes, etc…).
-
Su E(x) y Var(x) son iguales.
La variable que obtengo de sumar X1, X2, … , Xn es una nueva variable que converge hacia una
Normal.
E(∑Xi) = n·
Var(∑Xi) = n· 2
∑Xi  N( n· ; n· 2 )
Nota: La aproximaremos a la normal cuando n ≥ 30
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Corrección de continuidad
Cuando pasamos de una distribución Binomial, Poisson… (variables discretas) con n≥30, a una
Normal (variable continua) se tiene que hacer una “corrección de continuidad”, considerando
mayor probabilidad y sumando o restando 0,5 al valor que me presenten.
Ejercicio 1. La probabilidad de que una persona que entra en una administración de lotería, juegue a
la primitiva es de un 60%. Si en un día entran 110 personas, la probabilidad de que más de 75 jueguen
a la primitiva es de aproximadamente…
Ejercicio 2. Observando las cifras de ventas de coches de un concesionario y sabiendo que las ventas
son independientes se sabe que las ventas diarias siguen una distribución Uniforme entre 20 y 30
coches diarios. Determina la probabilidad que tiene el concesionario de vender más de 4.920 coches
transcurridos 200 días.
Ejercicio 3. En una bodega especializada en vinos, el número de botellas que se rompen diariamente es
una variable aleatoria que sigue una distribución de Poisson de parámetro λ = 3. Calcular la
probabilidad de que en un año (365 días) el número de botellas rotas esté entre 1000 y 1100.
Estadística I.
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Tema 2.- ELEMENTOS DE LA TEORÍA DEL MUESTREO
2.1.
Conceptos básicos: muestra aleatoria y estadístico.
2.2.
Distribuciones de algunos estadísticos en el muestreo.
2.3.
Momentos poblacionales y muestrales.
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2.1.- CONCEPTOS BÁSICOS: MUESTRA ALEATORIA Y ESTADÍSTICO.
Población: conjunto de todos los individuos que son objeto del estudio. El censo recoge
información de toda la población.
Muestra: subconjunto representativo de la población que se utiliza cuando no es viable
analizar la población. El tamaño de la muestra dependerá del grado de exactitud que
queramos dar a nuestro estudio. Generalmente, a mayor tamaño de la muestra, obtendremos
resultados más fiables, pero también nos supondrá mayores costes. La encuesta recoge
información de la muestra. Ejemplo: Imaginemos que queremos realizar un estudio sobre la estatura
de los alumnos de la facultad de Económicas. En este caso, la población serían todos los alumnos de la
facultad. Una muestra sería escoger al azar una parte de estos alumnos, por ejemplo, una clase de
segundo.
Una muestra aleatoria de tamaño “n” es una sucesión de n variables aleatorias (X1, X2, … , Xn)
independientes entre sí e idénticamente distribuidas según el comportamiento poblacional:
-
Idénticamente distribuidas  E (X1) = E (X2) = E (Xn) y Var (X1) = Var (X2) = Var (Xn)
-
Independientes
▪
Discretas: P (X1, X2, … , Xn) = P (X1) · P (X2) ·…· P (Xn)
▪
Continuas: f (X1, X2, … , Xn) = f (X1) · f (X2) ·…· f (Xn)
Estadístico: valor numérico calculado a partir de los elementos de la muestra que describe las
características muestrales.
Parámetro: valor numérico calculado a partir de todos los elementos de la población que
describe las características poblacionales.
Muestreo: proceso seguido para la extracción de una muestra, la cual ha de ser aleatoria. Los
estadísticos que se obtienen de una muestra (estimadores estadísticos) nos permitirán
arriesgarnos a predecir una serie de resultados para toda la población. De estas predicciones y
del riesgo que conllevan se ocupa la Inferencia Estadística.
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TIPOS DE MUESTREO
1. Muestreo aleatorio simple (MAS)
2. Muestreo sistemático
3. Muestreo aleatorio estratificado
4. Muestreo por conglomerados
1. MUESTREO ALEATORIO SIMPLE (MAS)
Puede ser de 2 tipos:
-
MAS sin reposición de los elementos: cada elemento extraído de la población se
descarta para la siguiente extracción.
-
MAS con reposición de los elementos: las observaciones se realizan con
reemplazamiento, por lo que la población es idéntica en todas las extracciones y
por tanto podría ocurrir que el mismo elemento fuese otra vez analizado.
2. MUESTREO SISTEMÁTICO
Es una variante del MAS para la cual necesitamos definir el “coeficiente de elevación”:
CE 
N , siendo “N” el tamaño de la población y “n” el tamaño de la muestra (nº de
n
observaciones).
Ejemplo. Un barrio tiene 1000 viviendas. Tenemos una muestra de 40 observaciones. ¿Cuánto será
el CE?
N = 1000
n = 40
CE = 1000/40 = 25
El primer valor que cogeremos de la muestra será aleatorio, pero el resto ya están predeterminados:
1er valor = 18 (elegido al azar)
2ndo valor = 18 + 25 = 43
3r valor = 43 + 25 = 68
Etc.
- Este muestreo se puede aplicar fácilmente si se dispone de un listado de toda la
población.
- Presenta el inconveniente de tener que ordenar previamente la población de menor a
mayor.
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3. MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO
-
Consiste en dividir la población en subpoblaciones de forma que se agrupen los
elementos que más se asemejan entre sí. Cada subpoblación recibe el nombre de
“estrato” y dentro de cada estrato se lleva a cabo un MAS. La muestra final se
obtiene como la combinación de todas las submuestras de todos los estratos.
-
La medida de la muestra de cada estrato se denomina “afijación”, la cual puede
ser:
▪
Uniforme o simple: en todos los subgrupos se obtiene una muestra de
igual tamaño. Si hay L subgrupos tendremos  n1 = n2 = n3 = … = n / L
▪
Proporcional: muestra proporcional al número de elementos en cada
estrato. Tendremos: n1 / N1 = n2 / N2 = n3 / N3 = … = n / N
▪
Óptima: la diferencia con la anterior es que en este caso conocemos la
desviación estándar, la cual la multiplicamos en el denominador.
Tendremos: n1 / S1· N1 = n2 / S2 · N2 = n3 / S3 · N3 = … = n / S · N
Ejemplo. Sabemos que el tamaño de la población es de N = 10.000 individuos y que el tamaño
de la muestra debe ser de n = 400 individuos.
-
Viviendas tipo A = 2.000 individuos
-
Viviendas tipo B = 7.000 individuos
-
Viviendas tipo C = 1.000 individuos
-
TOTAL = 10.000 individuos = N
Además sabemos que la desviación estándar es S 1 = 100, S2 = 50 y S3 = 10.
¿Cómo haremos el reparto de la muestra entre los diferentes subgrupos/estratos?

Afijación uniforme o simple  n1 = n2 = n3 = n / L = 400 / 3 = 133,3 individuos cada
subgrupo

Afijación proporcional 
n1 / 2.000 = n2 / 7.000 = n3 / 1.000 = n / N
n1 / 2.000 = n2 / 7.000 = n3 / 1.000 = 400 / 10.000
Estadística I.
▪
n1 = 2.000 · 400 / 10.000 = 80
▪
n2 = 7.000 · 400 / 10.000 = 280
▪
n3 = 1.000 · 400 / 10.000 = 40
▪
TOTAL = 80 + 280 + 40 = 400 = n
14
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
Afijación óptima 
n1 / 2.000 · 100 = n2 / 7.000 · 50 = n3 / 1.000 · 10 = n / N
n1 / 2.000 · 100 = n2 / 7.000 · 50 = n3 / 1.000 · 10 = 400 / (2.000 · 100 + 7.000 · 50 + 1.000 · 10)
▪
n1 
(2.000  100)  400
 143
560.000
▪
n2 
(7.000  50)  400
 250
560.000
▪
n3 
(1.000  10)  400
7
560.000
▪
TOTAL = 143 + 250 + 7 = 400 = n
4. MUESTREO POR CONGLOMERADOS
Cogemos como muestra un conjunto de elementos de la población que se pueden considerar
como bastante representativos de la misma. La idea es conseguir que cada conglomerado sea
una miniatura de la población. Ejemplo: Si en lugar de seleccionar de forma aleatoria personas para
medir su capacidad adquisitiva o de consumo se seleccionan, por ejemplo, familias, se dice que el
muestreo es por conglomerados.
2.4. DISTRIBUCIONES DE ALGUNOS ESTADÍSTICOS EN EL MUESTREO
 DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL (x)
Sea X1, X2,…,Xn una muestra de una variable aleatoria X con media E(X) = μ y varianza Var(X) =
σ2. El estimador más razonable de la media poblacional μ es la media muestral que verifica las
siguientes propiedades:
1. E (x) = x = 
 El valor esperado de la media muestral es la media de la población.
Demostración:
E ( x) 
1
1
 E ( X 1  X 2  X 3  ...  X n )   ( E ( X 1 )  E ( X 2 )  ...  E ( X n ))
n
n
Al estar idénticamente distribuidas  E ( x) 
2. Var ( x) 
Estadística I.
1
n
 (     ...   ) 

n
n
2
n
15
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Demostración:
Var ( x)  Var (
X 1  X 2  ...  X n
1
)  2  Var ( X 1  X 2  ...  X n )
n
n
Al ser independientes  Var ( x) 
1
(Var ( X 1 )  Var ( X 2 )  ...  Var ( X n ))
n2
n  2  2
Al estar idénticamente distribuidas  Var ( x) 

n
n2

n
3.
Desviación estándar (x) =
4.
La distribución de x depende de la distribución de la población X. Por ejemplo, si X es
Normal, la distribución de x también lo será. Para muestras grandes, por el Teorema
Central del Límite, la distribución de X puede aproximarse por una Normal (si n ≥ 30)
sea cual sea la distribución inicial. Por tanto:
Si X  Normal (  ,  ); entonces x  Normal (  ,

)
n
Ejemplo 1. Considere una población representada por una variable aleatoria X que viene representada
por la siguiente función de densidad: f ( x) 
1 si 0 ≤ x ≤ 2 y 0 para el resto. Si seleccionamos una
x
2
muestra de tamaño 35, determina la probabilidad de que la media muestral sea mayor que 1,32.
Ejemplo 2. Sea X una población con distribución N (90, σ = 20).
a) Si se obtiene una muestra de tamaño 16, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral
x
sea mayor o igual que 92?
b) Determinar el tamaño muestral para que la probabilidad de que la media muestral sea menor
o igual que 98 sea P ( x ≤ 98) = 0, 99.
Ejemplo 3. Dada una distribución uniforme X  U (10, 20) calcula E (2 x - 5) y Var (5 x - 4), sabiendo
que el tamaño muestral es 100.
Ejemplo 4. Tenemos una población definida por la siguiente ley de probabilidad:
x
1
2
3
P(x)
0,2
0,3
0,5
Sabiendo que el tamaño de la muestra aleatoria es 2, calcula E ( x), Var ( x), Var (8x  1), E ( x), Var ( x)
Estadística I.
16
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10 x
).
7
Ejemplo 5. Dada la siguiente función de probabilidad, calcula E(x), Var (x), CV(x) y E (
X
0
1
2
P(x)
0,2
0,6
0,2
Ejemplo 6. De una población binomial de parámetros 3 y 0,5 extraemos una muestra aleatoria simple
de tamaño 2. Nos piden determinar
x
E ( x), E ( x), E ( ),Var ( x),Var ( x).
10
 DISTRIBUCIÓN DE LA VARIANZA MUESTRAL
Sea X1, X2,…,Xn una muestra de una variable aleatoria X con media E(X) = μ y varianza Var(X) =
σ2. El estimador más razonable de la varianza poblacional σ2 es la varianza muestral (S2) que
verifica las siguientes propiedades:
1. E (S 2 )   2
 El valor esperado de la varianza muestral es la varianza de la
población.
2. S
3.
Y
2
 ( Xi  x)

2
n 1
si
hacemos:
 ( Xi  x)
y por tanto:
 ( Xi  x)
2
2

S 2  (n  1)
2
2
 S 2  (n  1)
ésta
se
distribuye
como
una
chicuadrado  n 1
2
4.
Si X  Normal (  ,  ); entonces
S 2  (n  1)

2
  n 1
2
Ejemplo 7. Cuando un proceso de producción está funcionando correctamente, la resistencia de los
componentes sigue una distribución Normal con desviación estándar de 3,6. Se toma una muestra
aleatoria de 4 componentes. ¿Cuál es la probabilidad de que la varianza muestral sea superior a 30?
 DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL CUANDO σ DESCONOCIDA
-
Si  conocida (lo hemos visto anteriormente)
X  Normal (  ,  )
Estadística I.
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Cogemos una muestra de tamaño n

x  Normal (  ,
n
Zx 
)
x

 Normal (0,1)
n
-
Si  desconocida
Vamos a necesitar dos expresiones que ya conocemos:
Zx 
x
y

S 2  (n  1)

2
  n 1 (chicuadrado con n-1 grados de libertad)
2
n
Además la fórmula de la t-Student:
tn 
Z
 n2
n
Substituimos y obtenemos:
tn 
x
x
x



n
S 2  (n  1)
2
n 1

n
S2
2

x
n

S
S

n
Y por último tenemos que:
x
 t n 1
S
n
Ahora no se aproxima a una chicuadrado, sino a una t-Student!!!!
Ejemplo 8. En cierta ciudad la cantidad mensual de gasolina utilizada por cada vehículo sigue una
Normal con media de 160 litros. Si se toma una muestra de tamaño 9 y se obtiene una varianza
2
muestral de 81 litros . ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté comprendida entre
155,224 y 164,776 litros?
Ejemplo 9. Los salarios diarios pagados al personal se distribuyen Normalmente con media de 8350
u.m y desviación típica de 750 u.m. Cual debe ser el tamaño de la muestra para que la probabilidad de
que la media muestral difiera en valor absoluto de la media poblacional en menos de 250 u.m sea de
0,9.
Estadística I.
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 DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES
-
Si varianzas poblacionales conocidas (  x2 y  y2 )
Tenemos:
X  Normal (  x ,  x )
Y  Normal (  y ,  y )
Hemos seleccionado dos muestras: n x  x y n y  y ; y sabemos que:

x  Normal (  x ,
y  Normal (  y ,
)
nx

)
ny
¿Cuál será la diferencia de medias muestrales?
x - y  Normal, ¿de qué parámetros? Procedemos a buscarlos…
E( x - y ) = E( x ) – E( y ) =  x -  y
Var( x - y ) = Var( x ) + Var( y ) (porque son independientes)
Siendo Var ( x) 
 x2
nx
y Var ( y ) 
x - y  Normal  x   y ;
 x2
nx
 y2
ny

queda:
 y2 

ny 

Si ahora quisiéramos estandarizar:
Z x y 
( x  y)  ( x   y )
 x2
nx
Estadística I.

 y2
 Normal (0,1)
ny
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Arreglando el denominador queda:
 x2

nx
 y2
ny
  2 (
1
1
1
1
 )  

nx n y
nx n y
(En este caso  es conocida!!)
Finalmente queda:
Z x y 
( x  y)  ( x   y )
1
1


nx n y
 Normal (0,1)
Ejemplo 10. El precio en euros de los paquetes de tabaco de cierta marca se distribuyen según una
Normal con media 2,65 euros y desviación típica 0,6 euros; mientras que el precio de otra marca
distinta sigue una distribución Normal con media 2,15 euros y desviación típica de 0,8 euros. Si una
persona compra 25 paquetes de la primera marca y 24 de la segunda marca, determine la
probabilidad de que el precio medio de la primera muestra sea superior al precio medio de la segunda
como mínimo en 0,6 euros.
-
Si varianza poblacional desconocida
Suponemos que
 x2 =  y2
Tenemos:
X  Normal (  x ,  x )
Y  Normal (  y ,  y )
Hemos seleccionado dos muestras, n x y n y , y habrá que calcular no sólo x y y ,
sino también  x2 y  y2 .
A partir de ponderar las varianzas muestrales:
 p2 
p 
Estadística I.
(n x  1)  S x2  (n y  1)  S y2
(n x  1)  (n y  1)

(n x  1)  S x2  (n y  1)  S y2
nx  n y  2
(n x  1)  S x2  (n y  1)  S y2
nx  n y  2
20
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Si ahora quisiéramos estandarizar, debemos substituir  p en el denominador de
la expresión para el caso en el que sí conocemos  , y quedaría:
Z x y 
( x  y)  ( x   y )
p 

1
1

nx n y
t nx  n y  2
IMPORTANTE!!! En el caso en que sí conocemos  , la Z x  y se distribuye como
una Normal (0,1), pero en el caso en que no conocemos  , la Z x  y se distribuye
como una t nx  n y  2 .
Ejemplo 11. El gasto diario en euros en llamadas de teléfono de dos sucursales de una empresa sigue
una distribución Normal de esperanza matemática de 8 para la primera y una distribución Normal de
esperanza matemática de 7 para la segunda sucursal. Se seleccionan 6 días en la primera sucursal
2
obteniendo una varianza de 4 euros y de 4 días en la segunda sucursal obteniendo una varianza
2
también de 4 euros . ¿Cuál es la probabilidad de que de la primera sucursal, el gasto medio supere al
gasto medio de la segunda en más de 3,40125 euros. (Consideramos que las varianzas poblacionales
son iguales).
 DISTRIBUCIÓN DEL COCIENTE DE VARIANZAS MUESTRALES (
S x2
)
S y2
Varianza muestral = S2
Varianza poblacional =  2
Consideramos 2 variables que se distribuyen por una Normal:
X  Normal (  x ,  x )
Y  Normal (  y ,  y )
Estadística I.
nx
ny
S
2
x
 ( Xi  x)

S y2 
2

nx  1
 (Yi  y)
ny 1
S x2  (n x  1)
2
2
x
S y2  (n y  1)

2
y
  nx 1
2

 n2 1
y
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Teniendo en cuenta la expresión de F-Snedecor a partir de dos chicuadrados, obtenemos:
 n2
 n2 1
m
 n 1
m
ny  1
x
n 1
Fn ,m  n2  x 2
y
Si substituimos:
S x2  (n x  1)
 x2
2
nx  1
S x2  y
 2 2
S y2  (n y  1)
Sy  x
Fn x 1,  n y 1
 y2
ny 1
Ejemplo 12. El precio en euros de los paquetes de tabaco de cierta marca se distribuyen según una
Normal con media 2,65 euros y desviación típica 0,6 euros; mientras que el precio de otra marca
distinta sigue una distribución Normal con media 2,15 euros y desviación típica de 0,8 euros. Si una
persona compra 25 paquetes de la primera marca y 24 de la segunda marca, determine la
probabilidad de que la varianza muestral de la primera marca sea menor que el doble de la varianza
muestral de la segunda marca.
ˆ)
 DISTRIBUCIÓN DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL ( p
Se desea estimar la proporción p̂ de individuos de una población que tiene una determinada
característica. Para ello se toma una muestra de elementos de la población, anotando un 1 si
dicho elemento tiene la característica, y 0 en otro caso, es decir, se tiene una muestra X 1,…, Xn
de una Binomial (1, p).
Sabemos que en una binomial:
E (x) = n · p
Var (x) = n · p · q
Estadística I.
22
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Un estimador razonable de p̂ es la proporción de elementos de la muestra que tiene dicha
característica, es decir:
pˆ 
X
n
Siendo X el número de individuos de la muestra que poseen la característica que nos interesa
analizar.
Se verifican las siguientes propiedades:
E ( pˆ ) = E (
X
1
n p
) =  E (x) =
=p
n
n
n
Var ( pˆ ) = Var (
siendo p = proporción poblacional.
pq
X
1
n pq

) = ( ) 2  Var (x) =
2
n
n
n
n
La distribución de p̂ depende de la distribución de la población X, pero cuando n es
grande (n≥30) entonces:
p̂  Normal ( p,
p  (1  p)
)
n
Si queremos estandarizar:
Z pˆ 
pˆ  p
p  (1  p)
n
 Normal (0,1)
Ejemplo 13. Una fábrica de bicicletas produce únicamente bicicletas de color azul y rojo, vendiendo la
misma cantidad de cada color. ¿Cuál es la probabilidad de que entre las 200 últimas bicicletas
vendidas, más del 40% sean rojas?
Ejemplo 14. En el proceso de producción de una empresa, el 1% de los productos sale defectuoso. Para
corroborarlo se obtiene una muestra de tamaño n = 25 y se estima la proporción de productos
defectuosos. Estimar la probabilidad de que la proporción estimada sea mayor que el 2%.
Estadística I.
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 DISTRIBUCIÓN
DE
LA
DIFERENCIA
DE
PROPORCIONES
ˆ x  pˆ y )
MUESTRALES ( p
De la población X se extrae una muestra n x y de la población Y se extrae una muestra n y ,
siendo n x y n y independientes entre sí.
Se obtienen las proporciones muestrales asociadas: pˆ x 
X
X
y pˆ y 
ny
nx
Se necesitaran tamaños muestrales grandes para aproximarlo a una Normal.
p̂ x  Normal ( p x ,
p̂ y  Normal ( p y ,
p x  (1  p x )
)
nx
p y  (1  p y )
ny
)
Además tenemos que:
E ( pˆ x  pˆ y ) = E ( p̂ x ) – E ( p̂ y ) = p x - p y
Var ( pˆ x  pˆ y ) = Var ( p̂ x ) + Var ( p̂ y ) =
p x  (1  p x ) p y  (1  p y )
+
ny
nx
Por tanto, tenemos:
pˆ x  pˆ y  Normal  p x - p y
;
p x  (1  p x ) p y  (1  p y ) 


nx
ny

Si estandarizamos:
Z pˆ x  pˆ y 
( pˆ x  pˆ y )  ( p x  p y )
p x  (1  p x ) p y  (1  p y )

nx
ny
Ejemplo 15. Una empresa conoce que los clientes morosos que compran el producto A son el 15% y los
clientes morosos que compran el producto B son el 10%. Del producto A se obtiene una muestra
aleatoria de 100 clientes y para el B de 64 clientes, con la finalidad de establecer las respectivas
proporciones muestrales de clientes morosos. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia de
proporciones muestrales de clientes morosos entre ambos productos no supere el 5%?
Estadística I.
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Ejercicios resumen
Ejemplo 16. El volumen de gastos en innovación tecnológica de las empresas del sector alimentario
tiene asociada una Normal con volumen medio de 77.000 millones de euros. Si se dispone una muestra
aleatoria relativa de 27 empresas del sector que poseen un volumen medio de gastos en innovación de
74.000 millones de euros con deviación estándar muestral de 5.100 millones de euros, determina la
probabilidad de que el gasto medio muestral esté comprendido entre 75 y 78 (miles de millones de
euros).
Ejemplo 17. De un estudio sobre la edad de los trabajadores de una empresa se ha observado que los
varones tienen desviación de 9 años y las mujeres de 7 años. Si se analizan 2 muestras: una de 38
trabajadores, con media de 38 años y la otra de 34 trabajadoras, con una media de 34 años, calcula la
probabilidad de que las diferencias de edad media a nivel muestral según el sexo del trabajador no
supere los 3 años.
Ejemplo 18. De la muestra de 38 trabajadores se obtiene una desviación estándar de 8 años, mientras
que de la muestra de 34 trabajadores la desviación estándar es de 5 años. Valora si la probabilidad de
que la diferencia muestral de edades medias sea inferior a 3 años se mantiene como antes en casi el
30%. Tienen la misma varianza pero con valor desconocido.
Ejemplo 19. Dada 2 poblaciones Normales con varianza 4,5 y 7 respectivamente, calcula la
probabilidad de que si se dispone de una muestra de cada población con n x = 10 y ny = 12, el cociente
de sus varianzas muestrales sea inferior a la unidad.
2.5. MOMENTOS POBLACIONALES Y MUESTRALES
Los momentos son los valores que caracterizan una distribución, y por tanto, son muy útiles
para comparar distribuciones, ya que cuantos más momentos potenciales iguales presenten
dos distribuciones, más parecidas serán. La expresión general de cálculo respecto a un origen
arbitrario Ot del momento de orden r es:
Mr = ∑ ( Xi  Ot ) r 
ni
Ni
Los hay de dos tipos:
-
Respecto al origen
-
Respecto a la media
Estadística I.
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 Momentos respecto al origen ( Ot =0)
El momento respecto al origen de orden r es:
 xi
a =
r
r
 ni
N
▪
a0 = 1
▪
a1 = x
 Momentos respecto a la media
El momento respecto a la media de orden r es:
Mr =
 ( xi  x)
 ni
N
▪
M0 = 1
▪
M1 = 0
▪
r
2
2
M 2 = A2 – A1 = S
 xi
=
2
 ni
N
- (x) 2
Cuando nos referimos a la población los llamamos MOMENTOS POBLACIONALES y cuando nos
referimos a la muestra hablamos de MOMENTOS MUESTRALES.
Estadística I.
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Tema 3.- ESTIMACIÓN PUNTUAL
3.1 Introducción al proceso de estimación.
3.2 Propiedades de los estimadores puntuales.
3.3 Métodos de estimación puntual.
Estadística I.
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3.1
INTRODUCCIÓN AL PROCESO DE ESTIMACIÓN
El proceso de estimación se ocupa de obtener valores aproximados de parámetros
poblacionales.
-
Estimación puntual: se asigna al parámetro un valor en concreto.
-
Estimación por intervalo: se encuentra un intervalo en el que está incluido el
parámetro con una determinada confianza.
ESTIMACIÓN PUNTUAL
Su objetivo consiste en encontrar un valor que sea el mejor pronóstico acerca del valor real del
parámetro que nos interesa, utilizando la información a priori si está disponible y la
proporcionada por la muestra.
Tenemos un parámetro desconocido ( ) que hace referencia a la población y que tendremos
que estimar. Lo que haremos es establecer un estimador (ˆ) a partir de la muestra que será
una función de los estimadores muestrales.
3.2
PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES PUNTUALES
1.- INSESGADEZ
 E (ˆ)    Estimador insesgado
 E (ˆ)    Estimador sesgado
 Sesgo(ˆ)  E (ˆ)  
o Estimador insesgado  Sesgo(ˆ)      0
o Estimador sesgado:
 Sesgo +  E (ˆ)    Se SOBREVALORA el verdadero valor del
parámetro poblacional.
 Sesgo –  E (ˆ)    Se INFRAVALORA el verdadero valor del
parámetro poblacional.
Estadística I.
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Si cuatro estimadores tuviesen la misma esperanza matemática pero distinta varianza y
tuviésemos que escoger uno, escogeríamos el que tenga MENOR VARIANZA, porque supone
tener MENOR DISPERSIÓN.
Ejemplo 1. En la distribución de una variable aleatoria X se sabe que se distribuye como una Binomial
de parámetros m y p. En muestras de tamaño n se estima p mediante 2 estimadores distintos:
 pˆ 1 
x
m
 pˆ 2 
x
m 1
¿Cuál de los 2 estimadores es insesgado? En el que sea sesgado indique el signo.
x 1
 m p
E ( pˆ 1 )  E     E ( x)  
 p  Insesgado
m
m
m m
 x 
1

m p
E ( pˆ 2 )  E 
 E ( x) 

 Sesgado

m 1 m 1
 m  1 m  1
Sesgo( pˆ 2 )  E ( pˆ 2 )  p  (
m p
) p
m 1
Recordemos que:
E (ˆ)    Sesgo negativo.
Y en nuestro caso (probemos, por ejemplo, con m=2 y p=0,5).
E ( pˆ 2 )  p
Conclusión:
Sesgo negativo.
2.- ERROR CUADRÁTICO MEDIO (ECM)

2
ECM (ˆ)  E (e 2 )  E ˆ     Var (ˆ)  sesgo 2 (ˆ)
e2= error de la estimación
Estimador insesgado  ECM = varianza
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Ejemplo 2. n = 3  (X1, X2, X3)
X  ¿? ( ,  2  25)
Posibles estimadores de
:
1
 (X1  2X 2  X 3 )
4
1
ˆ 2   ( X 1  2 X 2  X 3 )
5
ˆ 1 
Obtener los ECM de los dos estimadores.
1. ECM  Var (ˆ1 )  Sesgo 2 (ˆ1 )
1
4
 Var ( ˆ1 )  Var (  ( X 1  2 X 2  X 3 )) 
1
 (Var ( X 1 )  4Var ( X 2 )  Var ( X 3 )) 
16
1
6 2 3 2 3  25 75
2
2
2
    4   



16
16
8
8
8

 E ( ˆ 1 ) 

1
1
4
 ( E ( X 1 )  2 E ( X 2 )  E ( X 3 ))   (   2   ) 
   INSESGADO
4
4
4
 Sesgo(ˆ1 )  ( E (ˆ1 )        0
 ECM ( ˆ 1 ) 
75
75
 02 
8
8
2. ECM  Var (ˆ 2 )  Sesgo 2 (ˆ 2 )
1
5
 Var ( ˆ 2 )  Var (  ( X 1  2 X 2  X 3 )) 

1
 (Var ( X 1 )  4Var ( X 2 )  Var ( X 3 )) 
25
1
1
6 2 6  25
 (Var ( X 1 )  4Var ( X 2 )  Var ( X 3 )) 
  2  4 2   2 

6
25
25
25
25
 E ( ˆ 2 ) 

1
1
4
 SESGADO
 ( E ( X 1 )  2 E ( X 2 )  E ( X 3 ))   (   2   ) 
5
5
5
 Sesgo( ˆ 2 )  ( E ( ˆ 2 )   
 ECM ( ˆ 2 )  6  (
Estadística I.

4
4  5
1
 


5
5
5
5
1 2
1 2
)  6
5
25
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3.- EFICIENCIA RELATIVA (λ)
~
Se comparan los ECM de 2 estimadores ( ˆ y  ) del mismo parámetro poblacional (  ).

ECM (ˆ)
~
ECM ( )

< 1  Se escoge el NUMERADOR, por tener ECM MENOR

> 1  Se escoge el DENOMINADOR, por tener ECM MENOR
4.- EFICIENCIA ABSOLUTA
ˆ será un estimador eficiente en términos absolutos del parámetro  si cumple que:
1. ˆ es un estimador insesgado de   E (ˆ)  
2. Cualquier otro estimador insesgado de  ( ˆ *) nunca tendrá una varianza inferior al
anterior ( ˆ )  Var( ˆ *) ≥ Var( ˆ )
Nota: “Estimador lineal insesgado óptimo” = este estimador es una función lineal de las
observaciones muestrales. El hecho de que sea insesgado nos dice que el sesgo es 0, y que sea
óptimo nos dice que es un estimador con varianza mínima.
3.2.1 PROPIEDADES ASINTÓTICAS PARA n GRANDE
1.- INSESGADEZ ASINTÓTICA
lim n E (ˆ)    Un estimador es insesgado asintóticamente si a medida que n   ,
el valor esperado del estimador se acerca cada vez más al verdadero valor del parámetro
poblacional, llegando a ser igual en el límite.
2.- CONSISTENCIA
 Un estimador es CONSISTENTE en MEDIA CUADRÁTICA si el error de su ECM disminuye a
medida que aumenta el tamaño de la muestra, llegando en el límite a ser 0:
lim n ECM (ˆ)  0 .
 Un estimador es CONSISTENTE si a medida que n   su distribución se concentra
alrededor del parámetro poblacional.
Estadística I.
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 Un estimador es CONSISTENTE en PROBABILIDAD si a medida que aumenta n, la
probabilidad de que el estimador se aproxime al parámetro poblacional es cada vez
mayor, llegando en el límite a ser 1.
Ejemplo 3. Disponemos de la siguiente función de densidad de una distribución Uniforme:
para 0 ≤ X ≤

f ( x) 
1

y 0 para el resto. Se toma una muestra de tamaño 5 y se definen los siguientes
estimadores de fita (  ):
▪ ˆ  2 x
~
▪   X1  X 5
Busca el sesgo, ECM y la eficiencia relativa de ambos.
Ejemplo 4. Considere la siguiente población:
Xi
1
4
P(x)
p
1- p
Tenemos que:
pˆ 
Sabiendo que
p̂ es un estimador insesgado diga si p̂ es consistente y obtenga la estimación del
parámetro p para n=3 y
3.3
4 x
3
x =3.
MÉTODOS DE ESTIMACIÓN PUNTUAL
3.3.1 MÉTODO DE LOS MOMENTOS
Consiste en igualar los momentos de la población con los momentos de la muestra, para
estimar un parámetro desconocido.
Considere una población representada por una variable aleatoria X cuya distribución de
probabilidad está definida sobre k parámetros desconocidos.
Denotamos por  r al momento ordinario de la distribución poblacional que vendrá definido
r
por  r  E ( x ) .
Establecemos que  r depende de k parámetros (1 , 2 ,..., k ) .
Estadística I.
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Sea una muestra aleatoria de tamaño n (X1, X2, … , Xn) que se obtiene sobre la población. El
momento ordinario muestral es: a r 
1
 X r .
n
Para construir los estimadores de los k parámetros se propone exigir la igualdad entre los
momentos ordinarios poblacionales y muestrales. Por tanto se extiende la igualdad a los k
primeros momentos de la siguiente forma:
a1  1 (1 , 2 ,..., k )
a2   2 (1 , 2 ,..., k )
…
Sistema de r equaciones
ar   r (1 , 2 ,..., k )
RESUMEN
1 parámetro desconocido
▪  1  E ( x)
▪ 1  a1  x
2 parámetros desconocidos
▪  1  E ( x)
▪ 1  a1  x
▪  2  E( x 2 )
▪  2  a2
 Xi

2
n
¡¡¡IMPORTANTE!!! Los estimadores que obtengamos por este proceso son CONSISTENTES
pero NO puedo afirmar que sean insesgados, tendré que comprobarlo.
PROCESO PARA ESTIMAR UN PARÁMETRO POR EL MÉTODO DE LOS MOMENTOS
Sabiendo que:
▪  1  E ( x)
▪ 1  a1  x
Estadística I.
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1º.- Calculamos E (x)
2º.- Igualamos E ( x)  x y ponemos el “sombrerito” en el parámetro desconocido.
3º.- Aislamos el parámetro con el “sombrerito”.
4º.- Hacemos la estimación.
Ejemplo 5. Sea la siguiente función de densidad:
siendo C > 0. Estima el parámetro
f ( x)  C  X c1 si 0 < X < 1, y 0 para el resto,
(Cˆ ) por el método de los momentos. Haz la estimación para una
muestra de tamaño 4 de los siguientes valores: 0, 2, 3 y 5.
Ejemplo 6. Sea la siguiente función de densidad:
f ( x) 
2(  x)
2
si 0 ≤ X ≤
 , y 0 para el resto.
Calcula el estimador por el método de los momentos y di si cumple la propiedad de insesgadez y la de
consistencia.
Ejemplo 7. Sea la siguiente función de densidad:
f ( x) 
3x 2
3
si 0 ≤ X ≤
 , y 0 para el resto. Calcula
el estimador por el método de los momentos.
3.3.2 MÉTODO DE LA MÁXIMA – VEROSIMILITUD
Se basa en la idea de que poblaciones diferentes generan muestras diferentes y es más
probable que una muestra proceda de algunas poblaciones en vez de otras, o dicho de otra
manera, ES MÁS VEROSÍMIL.
Los estimadores que obtengamos por este proceso son CONSISTENTES y ASIMPTÓTICAMENTE
EFICIENTES (a medida que aumenta el tamaño muestral, la varianza del estimador tiende al
valor mínimo).
Los estimadores M.V son los valores que maximizan la función de verosimilitud y son los
valores de los parámetros desconocidos que generarían con MAYOR FRECUENCIA la muestra
observada.
PROCESO PARA ESTIMAR UN PARÁMETRO POR EL MÉTODO DE LA M.V
1º.- Buscar la función de verosimilitud (l)  l (  ; X1, … , Xn)
Estadística I.
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2º.- Determinar la función logarítmica (L)
3º.- Hacer
L
0

4º.- Buscar los estimadores
Ejemplo. Tenemos: f ( x)  c  x c 1 si 0 < x < 1 y c > 0. Calcula ĉ .
▪ Establecemos una única observación  n=1  X1
En la función de verosimilitud (l) consideramos la “c” NO como un parámetro (como en la
función de densidad), sino como una variable no aleatoria y “X1” será un valor fijo y no una
variable aleatoria (como lo era en la función de densidad).
La función de verosimilitud será:
En este caso: l (X1; c) = c  x1
l (X1; c)
c 1
Ahora hay que buscar cual es la “c” que maximiza la función
▪ Establecemos dos observaciones  n=2  X1, X2
La función de verosimilitud será:
l (X1, X2; c)

c 1
En este caso: l (X1, X2; c) = f (c, X1) · f (c, X2) = c  X 1
 c  X   c
c 1
2
2
 ( X 1  X 2 )c1
▪ Establecemos “n” observaciones  n=n  (X1, X2,…,Xn)
La función de verosimilitud será:
l (X1, X2,…,Xn; c)
En este caso: l (X1, X2,…,Xn; c)
c  X  c  X  ...  c  X   c
c 1
1
c 1
2
c 1
n
= f (c, X1) · f (c, X2) · … · f(c, Xn) =
n
 ( X 1  X 2  ...  X n ) c1  c n  ( X i ) c1
productorio
Estadística I.
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Ahora hay que buscar para que valor de “c” se maximiza la función de verosimilitud, para ello
utilizaremos la función logarítmica de verosimilitud (L).
l = c n  ( X i ) c 1  aplicamos ln a ambos lados.
ln l = ln [ c n  ( X i ) c 1 ] = L
Sabiendo que el logaritmo de un producto es suma de logaritmos:
ln (a · b) = ln a + ln b
Hacemos:
ln [ c n  ( X i ) c 1 ] = ln c n + ln ( X i ) c 1
Sabiendo que:
ln ak = k · ln a
ln c n + ln ( X i ) c 1 = n · ln c + (c – 1) · ln ( X i )
Ahora derivamos:
Aplicando
L
 0 , obtenemos:
c
L
1
n
 n   1  ln ( X i )   ln( X i )
c
c
c
Es una constante
Ahora igualamos a 0:
n
 ln( X i )  0  ahora le ponemos el “sombrerito” del estimador
cˆ
n
  ln( X i )
cˆ
n  cˆ  ln( X i )
cˆ 
n
 Estimador de máxima verosimilitud
ln( X i )
Estadística I.
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TEORÍA PREGUNTAS TIPO TEST
▪ La propiedad de insesgadez de un estimador puntual se interpreta como: los posibles
valores del estimador estarán próximos al valor del parámetro poblacional, ya que en
promedio, coinciden con éste.
▪ Si es un estimador insesgado, NO puede ser inconsistente.
▪ Un estimador consistente, NO siempre es insesgado.
▪ La estimación puntual de un parámetro toma distinto valor numérico dependiendo de la
muestra.
▪ Un estimador puntual es un estadístico muestral que aproxima el valor de un
parámetro, y es siempre una variable aleatoria.

▪ Estimador insesgado  se verifica: E ˆ  E (ˆ)

2

 E ˆ  

2
▪ Estimador ˆ es asintóticamente insesgado?
o
lim n E (ˆ)    Sí es asintóticamente insesgado
▪ Estimador ˆ es consistente?
▪ E
o
ECM (ˆ)  Var (ˆ)  Sesgo 2 (ˆ)
o
Sesgo  E (ˆ)  
o
lim n ECM (ˆ)  0  Sí es consistente
 Xi   n  
▪ No es verdad que:
o Un estimador sesgado nunca pueda proporcionar una estimación perfecta
(error de estimación igual a 0).
o Los estimadores consistentes son siempre insesgados en muestras pequeñas.
▪ ¿Qué significa que un estimador sesgado infravalore el valor desconocido de una
parámetro poblacional?
o Que ECM > Var
▪ Ningún estimador insesgado de la media poblacional tiene varianza menor que la media
muestral.
▪ Poblaciones normales con  x2 y  y2  ny y nx, y se calculan los estimadores insesgados
de S x2 y S y2 . Es correcto que:
Estadística I.
2
S x2  y


S y2  x2
Fn x 1,  n y 1
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  ( x  x) 2 
 (n  1)  S 2  n  1
n 1 2
▪ E
E S2 

  E

n
n
n
n




 
▪ En una población Normal (  ,  2 ) si un estimador insesgado de  tiene como varianza
2 2
se puede afirmar que: “La media muestral (x) es el doble de eficiente”.
n
▪ Método de los momentos (1º calcular E(x))

o Si te dan: f(x) = x 2  Se hará E ( x)  x  f ( x)dx (Porque x 2 contiene
una x).
o Si te dan: f(x) =
ab 56
1
para 5 < x < 6  Se hará E ( x) 
(Porque

2
2
b5
1
no contiene x).
b5
▪ El estimador MV del parámetro  de una Poisson, es la media muestral porque
̂ MV  x y    .
▪ Función de verosimilitud si te dan una variable discreta:
x
0
1
2
p
p
1–p
p+2
Frec. abs.
2
4
3
l = p2 · (1 – p)4 · (p + 2)3
ln l = 2 · ln p + 4 · ln (1 – p) + 3 · ln (p + 2)
Pero si te dicen que es una Binomial (1,p) con muestra (0, 1, 0, 0)
x
p
0
1–p
1
p
l = (p,0) · (p,1) · (p,0) · (p,0)
l = (1 – p) · p · (1 – p) · (1 – p) = p · (1 – p)3
ln l = ln p + 3 · ln (1 – p)
▪ ln  Xi =
 ln Xi
▪ Si la variable es una Normal (  ,  2 ), la función de verosimilitud tranformada (L) es:
Estadística I.
38
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o
L  n  ln(
1
2
)
n
1
 ln  2 
  ( Xi   ) 2
2
2 2
▪ Si la variable es una Poisson (  ) la L será:
o L=
 Xi  ln    ln Xi  n
▪ Función de verosimilitud:
o
c  X c 1  c n  ( Xi ) c1
o
  Xi
  e  x   n  e 
o
(  1)  X   (  1) n  ( Xi )
▪ En la función de verosimilitud de una muestra se desconoce el valor de los parámetros,
pero son conocidos los valores muestrales.
▪ Para calcular un parámetro desconocido, NO siempre coinciden las fórmulas de cálculo
del estimador por el método de los momentos y el de la MV.
Estadística I.
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Tema 4.- ESTIMACIÓN POR INTERVALO
4.1.
Definición de intervalo de confianza
4.2.
Intervalo de confianza para la media
4.3.
Intervalo de confianza para la diferencia de medias
4.4.
Intervalo de confianza para la proporción
4.5.
Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones
4.6.
Intervalo de confianza para la varianza
4.7.
Elección tamaño de la muestra
Estadística I.
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4.1 DEFINICIÓN DE INTERVALO DE CONFIANZA
Inconveniente estimación puntual  NO proporcionan información sobre la magnitud del
error cometido en la estimación.
Intervalo de confianza = conjunto de valores que con una determinada probabilidad (grado de
confianza) contiene el verdadero valor del parámetro a estimar.
Grado o nivel de confianza = 1   = probabilidad que tiene el intervalo de contener el
verdadero valor del parámetro.
Una vez establecido el grado o nivel de confianza, determinaremos el límite inferior y superior
del intervalo para establecer:
P (límite inferior <  < límite superior) = 1  
4.2 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA
4.2.1
Varianza poblacional conocida ( 2 )
1
 /2
 /2
-Z  / 2
Z / 2

P( x  Z  / 2 

x  Z / 2 
Estadística I.

n
   x  Z / 2 

n
)  1

n

▪
Z / 2 
▪
Z / 2  Se busca a partir del grado de confianza ( 1   ):
n
 Error de la estimación
41
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Si ↑ ( 1   )  los valores de Z se vuelven + grandes y ↓ la
o
longitud del intervalo.
Si ↓ ( 1   )  al revés.
o
 La longitud del intervalo será: Longitud = 2 · ( Z  / 2 
▪
↑ longitud si ↑ 
▪
↓ longitud si ↑ n

n
)
Por ejemplo, si 1   = 0,95   = 0,05
1   = 0,95
 / 2 = 0,025
 / 2 = 0,025
-Z0,05/2
Z0,05/2
▪
P (Z > Z0,025) = 0,025
▪
P (Z > 1,96) = 0,95 + 0,025 = 0,975 (Hemos sacado el 1,96 de las tablas)
▪
P( x  1,96 
▪
x  1,96 

n
   x  1,96 

n
)  0,95

n
Ejemplo 1. Una población se puede modelizar por la variable aleatoria X que recoge el peso de los
paquetes procedentes de cierta máquina. Se sabe que esta población es Normal con valor esperado
desconocido y
n = 25 
 = 200.
x = 1.050
X  Normal (  , 200)
a) ¿Cuál es la estimación por intervalo de  si fijamos el nivel de confianza al 90%?
b) ¿Cómo quedaría si ↑ ( 1   ) al 99%?
Estadística I.
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4.2.2
Varianza poblacional desconocida

P( x  t n1, / 2 

x  t n 1, / 2 
S
n
   x  t n 1, / 2 
S
n
)  1
S
n
Ejemplo 2. La duración de un producto se distribuye según una Normal con media de 200 horas. Si un
consumidor compra 10 unidades del producto y exige que con una probabilidad del 95% la vida media
de los 10 productos sea al menos de 190 horas. ¿Cuál ha de ser el valor que pueda tener la desviación
estándar de la duración de los productos?
Ejemplo 3. X  Normal (µ,3). n = 25 
x = 10.
a) Calcular un intervalo de confianza para µ si cogemos un grado de confianza del 95%.
b) Si quisiéramos cometer un error máximo de una unidad, ¿cuál debería ser el tamaño muestral
apropiado?
4.3 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES
 x2 y  y )
2
4.3.1
Varianzas poblacionales conocidas (
2
2

 x2  y
 x2  y 
  1

  x   y  ( x  y)  Z  / 2 

 P ( x  y )  Z  / 2 
nx n y
nx n y 



 ( x  y)  Z / 2 
4.3.2
 x2
nx

 y2
ny
Varianzas poblacionales desconocidas

 P ( x  y )  t nx ny2,  / 2   

Estadística I.
1
1
1
1 

  x   y  ( x  y )  t nx ny2,  / 2   
   1
nx n y
n x n y 
43
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
( x  y )  t nx ny2,  / 2   


1
1

nx n y
(n x  1)  S x2  (n y  1)  S y2
nx  n y  2
Ejemplo 4. En un laboratorio de medios audiovisuales de un colegio ha llegado una dotación gratuita
de retroproyectores procedentes de dos casas distribuidoras. Antes de realizar una compra posterior
se comprobó las horas de vida de las muestras respectivas siendo n A = 6 
419. Además se sabe que
A
es de 18,42 y
B
x A = 626; nB = 5  x B =
es de 27,02. Se pide construir el intervalo de
confianza del 95% para la diferencia de medias bajo el supuesto de que el número de horas de vida de
ambas marcas sigue la ley normal.
Ejemplo 5. En una encuesta realizada a 25 familias de la ciudad A se ha obtenido una media de 35.650
u.m de gasto mensual en alimentación y una desviación estándar de 15.000 u.m (información de la
muestra). En otra ciudad B la media de gasto mensual obtenido a una encuesta realizada a 12
personas es de 32.800 u.m con una desviación estándar de 17.000 u.m. Si se supone que los gastos
mensuales en alimentación en las dos ciudades son Normales con igual varianza, determinar el
intervalo de confianza al 95% para la diferencia de valores esperados.
4.4 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA POBLACIONAL
 P(
(n  1)  S 2
 n21
2 
Extremo inferior
 P(
(n  1)  S 2
 n21
2 
Extremo superior
(n  1)  S 2
 n21
)  1
Extremo superior
(n  1)  S 2
 n21
)  1
Extremo inferior
Ejemplo 6. En una muestra de 10 botellas de aceite se observa que la varianza del peso de estos
2
envases es de 34 gr . Con un grado de confianza del 90% obtener un intervalo de confianza para la
varianza poblacional del peso de los envases de oliva bajo el supuesto de que siga una ley normal.
Ejemplo 7. De una población normal se extrae la siguiente muestra aleatoria:
Estadística I.
44
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Xi
3
4
6
7
9
13
ni
2
4
6
5
2
1
a) Halla un intervalo de confianza al 95% para la media de esa población.
b) Calcula un intervalo de confianza al 90% para la varianza poblacional.
Ejemplo 8. Para la estimación del parámetro media poblacional (  ) con varianza conocida ( 
2
conocida) se elabora un intervalo de confianza del 90%. Determinar el número de observaciones
necesarias para aumentar el nivel de confianza de dicho intervalo al 95%.
4.5 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL
Proporción = proporción de individuos que tengan un determinada característica.

P  pˆ  Z  / 2 

pˆ  Z  / 2 
pˆ  qˆ
 p  pˆ  Z  / 2 
n
pˆ  qˆ 
  1
n 
pˆ  qˆ
n
Al ↑ amplitud intervalo  ↓ su precisión!!!
Ejemplo 9. Se desea construir un intervalo de confianza para la proporción de familias que poseen
cierto electrodoméstico. Para ello se escoge una muestra de 200 individuos de los cuales 157
resultaron poseer tal electrodoméstico. Proceda a construir el intervalo de confianza para la
proporción poblacional con los grados de confianza del 90%, 95% y 99%. ¿Qué observa a partir de
pasar de un % a otro %?
4.6 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES
POBLACIONALES




( pˆ x  pˆ y )  ( p x  p y )


P  Z  / 2 
 Z / 2   1  
pˆ x  qˆ pˆ y  qˆ





n
n
x
y


Estadística I.
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pˆ x  pˆ y  Z  / 2 
pˆ x  qˆ pˆ y  qˆ

nx
ny
Ejemplo 10. Se quiere analizar en 2 colectivos el gasto de consumo alimenticio. Del primer colectivo se
extrae una muestra de 200 personas de las cuales 70 declararon realizar un gasto superior a 3.000
u.m. En el segundo colectivo se escoge una muestra de 120 personas de las cuales 80 afirmaron gastar
por encima de esas 3.000 u.m. Se pide el intervalo de confianza al 90% para la diferencia de
proporciones de individuos que tienen un gasto por encima de las 3.000 u.m en los respectivos
colectivos.
4.7. ELECCIÓN TAMAÑO DE LA MUESTRA
4.7.1. Intervalo de confianza para la media
 Si me fijan la AMPLITUD
n
4  Z 2 / 2   2
A2
 Si me fijan el ERROR DE ESTIMACIÓN
Z 2 / 2   2
n
e2
4.7.2. Intervalo de confianza para la proporción poblacional
 Si me fijan la AMPLITUD y me dan p̂ y q̂
4  Z 2  / 2  pˆ  qˆ
n
A2
 Si me fijan la AMPLITUD y NO me dan p̂ y q̂
 Método máxima olgura: p̂ = q̂ = 0,5 (si no nos dan las proporciones)
n
4  Z 2  / 2  0,5  0,5
A2
 Si me fijan el ERROR DE LA ESTIMACIÓN y me dan p̂ y q̂
n
Z 2  / 2  pˆ  qˆ
e2
 Si me fijan el ERROR DE LA ESTIMACIÓN y NO me dan p̂ y q̂
 p̂ = q̂ = 0,5 (si no nos dan las proporciones)
n
Estadística I.
Z 2  / 2  0,5  0,5
e2
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Tema 5.- CONTRASTE DE HIPÓTESIS ESTADÍSTICAS
5.1
Conceptos básicos.
5.2
Tipos de errores.
5.3
Contraste para la media.
5.4
Contraste para la diferencia de medias.
5.5
Contraste para la varianza.
5.6
Contraste para la igualdad de varianzas.
5.7
Contraste para la proporción.
5.8
Contraste para la diferencia de proporciones.
5.9
Análisis de la varianza (ANOVA)
Estadística I.
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5.1 CONCEPTOS BÁSICOS
En el caso de la ESTIMACIÓN  objetivo: obtener aproximaciones al valor o valores
desconocidos de la población.
En el caso de la CONTRASTACIÓN  objetivo: definir si ciertas hipótesis formuladas sobre la
población son aceptables o no, utilizando la información muestral.
Hipótesis estadística: afirmación acerca del valor de un parámetro o parámetros, la cual se
desea analizar utilizando la información muestral para finalmente tomar una decisión sobre su
validez.
En cualquier contraste nos vamos a encontrar 2 hipótesis:
›
Hipótesis nula = Ho
›
Hipótesis alternativa = HA
Mientras la evidencia empírica NO diga lo contrario, me quedaré con Ho, porque la Ho
contiene la información que a priori es cierta, y necesita una evidencia empírica para
rechazarla a favor de HA.
Buscaremos un estadístico de prueba donde incorpore la hipótesis nula (Ho) que lo que haga
sea valorar la discrepancia entre Ho y la información muestral.
5.2 TIPOS DE ERRORES
ACEPTAR Ho
Ho
cierta
HA
cierta
Decisión correcta
Error tipo II con probabilidad 
RECHAZAR Ho
Error tipo I con probabilidad  (nivel
de significación)
Decisión correcta
 = Probabilidad (Error tipo I) = Probabilidad (rechazar Ho / Ho cierta)
 = Probabilidad (Error tipo II) = Probabilidad (aceptar Ho / HA cierta)
Estadística I.
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-
Si mantenemos fijo el tamaño muestral:
o Si  ↑   ↓
o
-
Si  ↓   ↑  ↓ potencia
Si ↑ el tamaño muestral:
o  ↓y  ↓
- Potencia de contraste = 1  
o
A menor Probabilidad (Error tipo II)   mayor potencia del contraste
1  .
o
Nos interesa una potencia de contraste alta (0,9 por ejemplo) ya que la
probabilidad de aceptar Ho cuando HA es cierta es menor (0,1 por ejemplo).
- Región aceptación: conjunto de valores donde si cae dentro el valor estadístico de
prueba, la conclusión es aceptar la Ho.
- Región de rechazo o crítica: conjunto de valores donde si cae dentro el valor del
estadístico de prueba, la conclusión es rechazar la Ho.
- Potencia: nos indica la probabilidad de rechazar la Ho cuando es falsa.
- Valor crítico: es aquel valor que nos separa la región crítica (RC) de la región de
aceptación (RA).
FASES DE CUALQUIER CONTRASTE
1. Definir el contenido de Ho y HA.
2. Establecer “  ” y “n” con los que vamos a trabajar.
3. Formular el estadístico de prueba que nos permita valorar si existe discrepancia entre
la información empírica y la información relativa a los parámetros poblacionales (Ho).
4. Establecer a partir del recorrido del estadístico de prueba la RC y la RA.
5. Calcular el estadístico de prueba a partir de la información muestral.
6. Dar el resultado del contraste, después de comparar el estadístico de prueba con los
valores asociados a la RC y a la RA.
Estadística I.
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5.3 CONTRASTE PARA LA MEDIA Ho  µ = µo
5.3.1
 conocida [X  Normal (  ,  2 )]
conocida
-
Estadístico de prueba:
Z* 
x  0

 N (0,1) si Ho es cierta
n
-
Valores críticos:
1- 
 /2
1-
 /2
1-
 
A dos colas
A una cola
A una cola
HA :    0
HA :    0
Ho :    0
   0

Si Z * < Z  / 2 se ACEPTA Ho.

Si Z * > Z  / 2 se RECHAZA Ho.
   0
 Si Z * > Z  se RECHAZA Ho.
 Si Z * < Z  se ACEPTA Ho.
   0
 Si Z * >- Z  se ACEPTA Ho.
 Si Z * <- Z  se RECHAZA Ho.
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Ejemplo 1. Se sabe que la varianza de cierta población normal es 4. Extraemos una muestra de 5 con el
objetivo de contrastar:
Ho: µ = 2
HA: µ = 3
Si

= 5%, determine la región crítica para la
x.
Ejemplo 2. Se sabe que la desviación estándar de cierta población normal es 20. Extraemos una
muestra de tamaño 100 con el objetivo de contrastar, a un nivel de significación del 5%:
Ho: µ = 100
HA: µ = 120
Determinar región crítica y potencia de contraste para la
x.
Ejemplo 3. Se sabe que la desviación estándar de cierta población normal es 20. Extraemos una
muestra de tamaño 64 con el objetivo de contrastar, a un nivel de significación del 10%:
Ho: µ = 115
HA: µ = 110
Determinar región crítica y potencia de contraste para la
5.3.2
x.
 desconocida [X  Normal (  ,  2 )]
Desconocidos
-
Estadístico de prueba:
Z* 
x  0
 tn-1 si Ho es cierta
S
n
-
Valores críticos: (mismos que en  conocida)
Similitudes entre el intervalo de confianza para la media de una población y las
regiones de aceptación para la contrastación respecto a la media poblacional
Parto de una población Normal: X  N (  ,  ) y quiero realizar este contraste.
Ho :    0
HA :    0
Estadística I.
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Suponemos que  = 5%. Calculamos la región de aceptación:
x  0
 1,96 

 1,96
n
x  1,96 

n
  0  x  1,96 

n
El intervalo de confianza del 95% es simplemente el intervalo que contiene todas las hipótesis
acerca de la media de la población (  0 ) que serían aceptadas en una contrastación a 2 colas
(inferior y superior) con un nivel de significación del 5%.
5.4 CONTRASTE PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS Ho  µx = µy  µx - µy = 0
 conocida
5.4.1
=0
Z* 
( x  y)  ( x   y )

2
x
nx

 N (0,1)
 y2
ny
 desconocida
5.4.2
=0
t* 
( x  y)  ( x   y )


1
1

nx n y

t nxny2
(n x  1)  S 2  (n y  1)  S 2
Estadística I.
nx  n y  2
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Ejemplo 4. Con la finalidad de determinar si la velocidad que se consigue es independiente de la hora
en que se realiza el trayecto se ha efectuado un seguimiento de una muestra de coches en 2 franjas
horarias diferentes y se han obtenido los siguientes resultados relativos a los km que se habían
recorrido durante 1 hora:
X
 12  X
-
Franja 1:
n1  15
-
Franja 2:
n2
1
2
 570
 240
X
X
2
1
2
2
 2189
 5018
Contrastar hipótesis de que la velocidad que se puede conseguir es independiente de la hora de
circulación. Se asume distribución Normal en ambas poblaciones e igual varianza.
 = 5%
5.5 CONTRASTE PARA LA VARIANZA Ho   2   02 y HA   2   02
 *2 
(n  1)  S 2
 02
  n21
5.6 CONTRASTE PARA IGUALDAD DE VARIANZAS Ho   x2   y2 y HA   x2   y2
S x2
F *  2  Fnx-1, ny-1
Sy
S 2 mayor
 Fn,m o m,n
S 2 menor
5.7 CONTRASTE PARA LA PROPORCIÓN Ho  p = p0 y HA  p  p0
Z* 
pˆ  p 0
p0  q
n
 N (0,1)
5.8 CONTRASTE PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES Ho  pX = pY  pX - pY = 0 y
HA  pX - pY  0
=0
Z* 
p
( pˆ x  pˆ y )  ( p x  p y )
1
1
pq(  )
nx n y
 N (0,1)
n x  pˆ x  n y  pˆ y
nx  n y
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5.9 ANÁLISIS DE LA VARIANZA (ANOVA)
Nos permite comparar medias, pero no sólo 2 (Ho: µx = µy) sino 3, frente a la alternativa (HA)
de que al menos una de esas medias sea diferente de las otras dos.
Necesitaremos “k” muestras y los siguientes supuestos:
1. NORMALIDAD a nivel poblacional.
2. MUESTRAS INDEPENDIENTES entre sí.
3. La VARIANZA POBLACIONAL ( 2 ) es la MISMA en todas las muestras.
La variabilidad de los datos de las muestras tiene 2 orígenes.
-
La variación explicada por las diferencias entre las muestras (variación explicada).
-
Variaciones de tipo aleatorio que existen dentro de cada muestra (variación NO
explicada).
Por tanto tenemos que:
V. total = V. entre muestras + V. dentro de las muestras
V. total = V. explicada + V. no explicada
VT = VE + VNE
Ahora tendremos que buscar el estadístico de prueba.
-
Si hacemos
VNE
obtenemos un estimador insesgado de la varianza poblacional
nk
( 2 ) que hemos dicho que era única.
-
Si hacemos
VE
k 1
sólo cuando la H0 es cierta resultará que también es un
estimador insesgado de la varianza poblacional ( 2 ) .
Estadística I.
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El estadístico de prueba surge de comparar estos dos estimadores, y hay que saber la TABLA
ANOVA:
Fuentes de
variación
Suma de cuadrados
n
V. explicada
(VE)
V. no explicada
(VNE)
ij
S12 
k–1
2
VE
 Si H0 es cierta será un
k 1
estimador insesgado de  2 .
 x j )2
S12 
n–k
VNE
 Estimador insesgado de
nk
2.
-
 (x
-
x 2  n  xT
Variación total
Suma media de cuadrados
 ( x j  xT ) 2
j
- n  x 2  n  xT
(x
Grados
de
libertad
ij
 x T )2
n–1
2
k = muestras
n = nº observaciones
Estadístico de prueba:
F* 
S12
 Fk 1,n k
S 22
Dado un determinado nivel de significación (  )  Si F *  Fk 1,n k  Se rechaza H0 de
igualdad de varianza, y por tanto al menos 1 es diferente.
Ejemplo 5. Los estudiantes de cuatro facultades diferentes realizan el mismo examen de sociología. Se
utilizaron métodos de enseñanza distintos en cada uno. Cogemos una muestra aleatoria de 5 alumnos
de cada una, cuyas informaciones se anotan en esta tabla:
Facultad 1
Facultad 2
Facultad 3
Facultad 4
84
88
114
140
124
76
124
116
112
116
120
120
96
116
136
124
124
104
116
130
Las notas siguen una distribución Normal. ¿Afecta el método de enseñanza al resultado obtenido en el
examen?
Estadística I.
55
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Ejemplo 6. Se pretende saber si la nueva forma de envase de un producto de limpieza ayuda a
incrementar las ventas del mismo. Para ello, el director comercial de la empresa fabricante decide
introducir el producto bajo un nuevo envase en solo uno ( Z ) de tres establecimientos ( X, Y, Z ),
considerados del todo homogéneos, excepto en esa circunstancia. Al cabo de 5, 4 y 6 días
respectivamente, se observan las ventas diarias del producto en cada uno de los establecimientos,
obteniendo los siguientes resultados:
Establecimiento X
Establecimiento Y
Establecimiento Z
35
40
50
50
30
60
40
45
30
20
35
30
30
55
65
Si suponemos que las ventas de cada establecimiento siguen una distribución Normal, con estos datos,
¿qué puede aconsejar usted al director comercial?
Estadística I.
 = 5%
56
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Tema 6.- CONTRASTES DE HIPÓTESIS NO PARAMÉTRICOS
6.1. Hipótesis sobre la distribución
- Contraste de bondad de ajuste
- Contraste de independencia
Estadística I.
57
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6.1. HIPÓTESIS SOBRE LA DISTRIBUCIÓN
Hay veces que no se dispone de la suficiente información de la distribución poblacional o bien
no se puede asumir con garantías suficientes una expresión algebraica para dicha distribución.
En estos casos, el aprendizaje a partir de los datos muestrales NO puede reducirse a investigar
algún parámetro desconocido, para ello utilizamos contrastes de hipótesis no paramétricos.
CLASIFICACIÓN DE LOS CONTRASTES DE HIPÓTESIS NO PARAMÉTRICOS
1. Contraste de bondad de ajuste: se emplea para verificar si un conjunto de datos
muestrales procede de una población con una cierta distribución de probabilidad.
1.1. Contraste  2 de Pearson
1.1.1. Parámetros de la población conocidos
1.1.2. Parámetros de la población desconocidos (hay que estimarlos)
1.2. Contraste de Kolmogorov – Smirnov
2. Contraste de independencia: se emplea para evaluar si 2 características que se analizan
conjuntamente en una población son independientes o no.
1.
CONTRASTE DE BONDAD DE AJUSTE
Se emplea para verificar si un conjunto de datos muestrales procede de una población con una
cierta distribución de probabilidad.
1.1. Contraste  2 de Pearson
1.1.1. Parámetros de la población conocidos
H0: F (x) = F0 (x)  la muestra procede de una población con distribución F0 (x).
HA: F (x) ≠ F0 (x)  la muestra NO procede de una población con distribución F0 (x).
n  nº observaciones para cada subgrupo total (  Oi )
Oi  frecuencias observadas
Estadística I.
58
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Ei  frecuencias esperadas  Ei = n · Pi  Su valor tendrá que ser de al menos 5. Si
por ejemplo E2 = 4 habrá que agrupar, y a la  k21 habría que restarle el número
de agrupaciones que has tenido que hacer.
Estadístico de prueba cuando H0 es cierta:

2
*
 (Oi  Ei )

2
Ei
  k21
Ejemplo 1. El gerente de una planta industrial pretende determinar si el nº de empleados que acuden
al consultorio médico de la planta se encuentra distribuido en forma equitativa, durante los 5 días
laborales de la semana. Con base a 1 muestra de 4 semanas completas de trabajo se observó el
siguiente número de consultas:
Oi (nº personas que van =
frecuencias observadas)
Pi (probabilidad)
Ei (frecuencias esperadas)
L
M
M
J
V
TOTAL
49
35
32
39
45
200
0,2
40
0,2
40
0,2
40
0,2
40
0,2
40
1
 = 5%  nivel de significación
¿Existe alguna razón para creer que el número de empleados que asiste al consultorio médico NO se
encuentra distribuido en forma equitativa durante los días laborales de la semana?
Ejemplo 2. Para estudiar la productividad de los operarios en una gran factoría se ha escogido una
muestra de 200 operarios correspondiendo:
O1 = 12 a la sección 1ª  8%
O2 = 67 a la sección 2ª  30%
O3 = 45 a la sección 3ª  25%
O4 = 52 a la sección 4ª  27%
O5 = 24 a la sección 5ª  10%
Si se afirma que la muestra pretendía ser proporcional al total de operarios de cada una de las
secciones y éstas los distribuyen en los % expresados, realizar contraste al 5% de nivel de significación.
Estadística I.
59
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1.1.2. Parámetros de la población desconocidos (hay que estimarlos)
H0: F (x) = F0 (x; 1 , 2 ,..., n )
HA: F (x) ≠ F0 (x; 1 , 2 ,..., n )
Estadístico de prueba cuando H0 es cierta:

2
*
 (Oi  Ei )

Ei
2
  k21h a
h = nº parámetros estimados
a = en caso de Ei < 5, a es el nº de veces que necesito agrupar, sino es 0
Ejemplo 3. En una facultad se selecciona una muestra de 100 alumnos y se mide:
Altura
Nº alumnos
1,50 – 1,60
6
1,60 – 1,70
28
1,70 – 1,80
40
1,80 – 1,90
22
1,90 – 2,00
4
Contrastar la hipótesis de que esta muestra procede de una población normal. De su conclusión con un
nivel de significación de 5%.
Ejemplo 4. En una empresa constructora se ha observado el nº de accidentes que ocurren en 130 días
laborables, obteniendo la siguiente distribución de frecuencia:
Nº accidentes por día
Nº de días = Oi
0
69
1
42
2
15
3
4
4
0
Contrastar hipótesis que el nº de accidentes por día sigue una Poisson con media 0,9.
Estadística I.
60
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1.2. Contraste de Kolmogorov – Smirnov
▪
NO se puede utilizar NUNCA para variables nominales, porque hay que ORDENAR los
datos.
▪
H0: F (x) = F0 (x)
HA: F (x) ≠ F0 (x)
▪
Este contraste se basa en comparar las frecuencias relativas de la muestra (frecuencia
empírica) y las correspondientes a la función de distribución de la población planteada
por la H0 (frecuencia teorica):
▪
o
Si la diferencia es bastante grande  Se rechaza H0
o
Si la diferencia es pequeña  Se acepta H0  la muestra proviene de la
población especificada por la H0.
Necesitaremos establecer el nivel de significación y buscar el estadístico de prueba
(Dn):
Dn  max Fn ( Xi )  F0 ( Xi )
-
Siendo Fn(Xi) la frecuencia relativa acumulada de Xi a la muestra:
Fn 
▪
ni
 frecuencia empírica
N
El criterio de decisión, fijado  , será:
o
Si Dn > D   Se rechaza H0 (siendo Dn, el estadístico de prueba y D  el valor
en tablas)
o
Si Dn < D   Se acepta H0
COMPARACIÓN CONTRASTE  2 DE PEARSON – CONTRASTE KOLMOGOROV
1.
 2 agrupaciones sí cuando Ei < 5, Kolmogorov NO.
2.
 2 aplicable a cualquier escala (nominal, ordinal…), Kolmogorov solo ordinal.
3.
 2 necesario muestras grandes, Kolmogorov se puede utilizar en muestras pequeñas.
4.
 2 se pueden estimar parámetros desconocidos, Kolmogorov debe estar todo
especificado.
Estadística I.
61
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2.
CONTRASTE DE INDEPENDENCIA
Se emplea para evaluar si 2 características que se analizan conjuntamente en una población
son independientes o no.
H0: variables cualitativas independientes  No hay relación entre las dos características.
HA: variables cualitativas NO independientes  Sí hay relación entre las dos características.
Se hace a partir de una tabla de contingencia o tabla de doble entrada, y debe de ocurrir:
-
Para que sean características independientes  Eij = (ni · nj) / n
-
Eij > 5 porque sino hay que agrupar
El estadístico de prueba será, si H0 es cierta:
 *2 
Estadística I.
  (Oij  Eij )
Eij
2
  (2r 1)( s 1)
62
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Tema 7.- EL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE (MRLS)
7.1. Especificación e hipótesis básicas del modelo
7.2. Estimación por MCO
7.3. Propiedades de los estimadores
7.4. Estimadores máximo verosímiles
7.5. Bondad de ajuste
7.6. Estimación por intervalos de confianza
7.7. Contrastes de hipótesis
7.8. Test de la bondad de ajuste
Estadística I.
63
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7.1 ESPECIFICACIÓN E HIPÓTESIS BÁSICAS DEL MODELO
MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE (MRLS)
Con frecuencia, nos encontramos en economía con modelos en los que el comportamiento de
una variable, Y, se puede explicar a través de una variable X; lo que representamos mediante:
Y = f (X)
Si consideramos que la relación que liga Y con X es lineal, entonces se puede escribir así:
Y =  +  ·Xi
Pero la relación anterior rara vez es exacta, sino que más bien son aproximaciones en las que
se han omitido muchas variables de importancia. Es por ello que debemos incluir un término
de perturbación Ui , que es una variable aleatoria que recoge el conjunto de factores que
inciden en la variable Y y que no están explicados por la variable X.
Y =  + ·  Xi + Ui
X = variable independiente, explicativa, exógena, no aleatoria
Y = variable dependiente, explicada, endógena, aleatoria
 y  = parámetros de regresión
i = hacer referencia a la observación
HIPÓTESIS BÁSICAS DEL MODELO
1. Entre X e Y existe una relación lineal estocástica
o Y = f (X)  relación entre X e Y de tipo determinista, porque para un valor de X sólo
hay un valor de Y.
o Y =  + ·  Xi + Ui  relación entre X e Y de tipo estocástica, porque para un valor de
X hay una distribución de probabilidad de valores de Y.
2. Cada uno de los valores de X tiene asociada una variable aleatoria Ui donde:
E (Ui)  0
Estadística I.
64
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Esto garantiza que todos los factores recogidos por Ui no afecten de forma sistemática
al valor esperado de Y.
3. El término de perturbación Ui asociado a cada valor de X tiene varianza constante:
Var (Ui)   u2
Esta hipótesis recibe el nombre de homoscedasticidad, que supone que la dispersión
de Y respecto a su valor esperado se mantiene constante para cualquier valor de X.
4. Ui  N (0,  u2 )
5. Los términos de perturbación asociados a cada uno de los diferentes valores de X no
están autocorrelacionados y por lo tanto, la variación que presenta una observación
determinada NO se ve afectada por otras observaciones realizadas.
Cov(Ui,Uj)  0
6. La variable X NO es aleatoria, ya que puede ser controlada por el investigador.
7. Los parámetros desconocidos del modelo son constante en el muestreo.
PARA BUSCAR Yi
Y =  + ·  Xi + Ui
Ui  Normal, por lo tanto: Yi  Normal

E (Yi )    X
Demostración:
E(Yi )  E(  Xi  Ui)  E(  Xi )  E(Ui)    X  0    X

Var (Yi )   u2
Demostración:
Var (Yi )  Var (  Xi  Ui)  Var (  Xi )  Var (Ui)  0   u2   u2


Yi  Normal   Xi ; u2
Estadística I.

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ESTIMACIÓN DE  y 
Generalmente,  y  son desconocidos y hay que estimarlos. Para ello hay 2 métodos:
-
MCO (Mínimos Cuadrados Ordinarios)
-
Máxima verosimilitud
ESTIMACIÓN DE  y  POR MCO
Al ajustar la recta a la nube de puntos observados (X1, Y1), (X2, Y2), (X3, Y3), … , (Xn,Yn) se desea
minimizar las distancias verticales de cada valor ajustado (Yi*) con el valor observado (Yi)
siendo la recta ajustada: Yi =  + ·  Xi , siendo  el valor de Y cuando X = 0 y siendo  la
pendiente de la recta ajustada que mide la variación del valor Y debido a la variación de 1
unidad de X.
Yi
RECTA AJUSTADA
Ŷi  ̂ + · ˆ Xi
Yi
ei
Yi
Xi
La nube de puntos puede representarse mediante infinitas rectas. El objetivo de
este método es seleccionar la que mejor las representa, estableciendo como criterio conseguir
que los residuos o errores (ei), es decir, que la distancia entre las observaciones y la recta
ajustada sea mínima! Y determinar así los coeficientes ̂ y ˆ que mejor se ajusten a la línea
de puntos.
 = pendiente de la recta de regresión poblacional
ˆ = pendiente estimada de la recta de regresión muestral
Estadística I.
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Yi = ̂ + · ˆ Xi
ˆ  y  ˆ·x  ̂
ˆ 
S xy
S
tomará su valor mínimo cuando x  0
S
y
o ̂  rxy  S
2
x
o
̂ 
x
Y
X
Demostración:
Sy
ˆ  r 
Sx

S xy
Sx  Sy

Sy
Sx

S xy
S
2
x

 ( Xi  x)·(Yj  y)  Xi·Yi   Xi   Yi
n
 ( Xi  x) 2

n
 Xi
n
n
n
n
2
x
2
Sabiendo que:
rxy 
S xy
Sx  Sy
r 2  R2
R = coeficiente de correlación (intensidad de asociación lineal entre X e Y)
R 2 = coeficiente de determinación (mide la bondad de ajuste)
1. ˆ = pendiente estimada de la recta de regresión muestral = nos da la estimación del
incremento del valor esperado de Y cuando X se incrementa en una unidad.
2. ̂ = ordenada en el origen en la recta de regresión muestral = nos da la estimación del
valor esperado de Y cuando X vale 0.
3. e = errores o residuos  Sabemos que
 (ei )  0 , por lo tanto sabemos seguro que
la media de los residuos también será nula: e  0
4. Los residuos y la variable X están interrelacionados (su covarianza vale 0):
Cov(ei, x)  0
5. Además también Cov(ei, Yˆi)  0 , siendo Yˆi los valores estimados.
6. La media de los valores observados de Y es igual a la media de los valores estimados
( y  yˆ )
Estadística I.
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7. La recta de regresión muestral de Y sobre X ( Ŷi  ̂ + · ˆ Xi) siempre pasa por el punto
( x , y ).
8. La pendiente de la recta de regresión ( ˆ ) tiene el mismo signo que la covarianza (Sxy)
y que el coeficiente de correlación lineal (rxy).
9. Los estimadores por MCO de  y  son INSESGADOS e intentan MINIMIZAR LOS
ERRORES O RESIDUOS.
Ejemplo 1. Calcula con los siguientes datos la recta de regresión muestral estimada de Y.
12
 Yi  756
i 1
12
 Xi  108
i 1
12
 Xi
2
12
 Xi  Yi  6960
 1020
i 1
i 1
ESTIMACIÓN DE LA VARIZANZA DEL TÉRMINO DE PERTURBACIÓN ( u2 )
Los residuos (ei) de la regresión pueden considerarse estimaciones de los valores del término
de perturbación (ei  Ui).
Se puede estimar la varianza del término de perturbación:
n
ˆ u2  S u2 
 ei
2
i 1
n2
Error estándar de la regresión = es una medida absoluta de variabilidad de los datos
observados a la recta estimada. También indica hasta qué punto se ajusta la recta de regresión
muestral a las observaciones de la variable dependiente. Cuanto MENOR sea, MAYOR AJUSTE.
n
Su 
 ei
2
i 1
n2
PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES
1. LINEALIDAD
Ambas expresiones ̂ y ˆ se obtienen como una función lineal de la variable
dependiente y son variables aleatorias.
2. INSESGADEZ
E (ˆ )  
Estadística I.
y
E ( ˆ )  
68
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3. VARIANZA MÍNIMA (EFICIENCIA)
2
1

x
Var (ˆ )  S     

2
 n  ( Xi  x) 
2
ˆ
Var ( ˆ )  S 2ˆ 
2
u
 u2
 ( Xi  x)
2
n
Siendo ˆ u2  S u2 
 ei
2
i 1
n2
la varianza del término de perturbación.
o Si ↑  u2  ↑ S̂2 y S ̂2
o Si ↑ dispersión de X  ↓ S̂2 y S ̂2
4. DISTRIBUCIÓN NORMAL
2

1

x
2

̂  Normal  ,  u   

2

 n  ( Xi  x)  
La desviación estándar seria:
 ˆ
2
1

x
 u   

2
 n  ( Xi  x) 


 u2
ˆ  Normal   ,

2
  ( Xi  x) 
La desviación estándar seria:
 ˆ 
u
 ( Xi  x)
2
Ejemplo 2. Los precios (Xi) y cantidades de manzanas vendidas en cierta tienda (Yi) se supone que
tienen relación lineal: Yi =
 + ·  Xi + Ui;
cantidad vendida). Además: n= 12,
2250 y
 (Yi  y)
Estadística I.
2
siendo
x =70, y =100,

negativa (ya que a mayor precio, menor
 ( Xi  x)·(Yj  y) = 3550,  ( Xi  x)
2
=
= 6300. Calcula la recta de regresión y las varianzas de los estimadores.
69
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ESTIMADORES MÁXIMO VEROSÍMILES DE  ,  Y  u2

Partimos de: Yi  Normal   Xi ; u2

Y sabemos que la f(x) asociada a un modelo Normal es
f ( x) 
( x )2
1
2
2
·e
2 2
ˆ MCO  ˆ MV
ˆ MCO  ˆ MV
BONDAD DE AJUSTE
Nos permite analizar la proximidad de la recta ajustada a la nube de puntos. Para su medida se
utiliza el COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN:
1) R 2 
VE SCR


VT STC
 (Yi *  y)
 (Yi  y)
2
2
VE = Variación explicada por la propia recta de ajuste
VT = Variación total
SCR = Suma de los cuadrados de la recta
STC = Suma total de los cuadrados
2) El coeficiente de determinación es la parte de la variación total explicada por la recta de
ajuste.
VT  VE  VE , donde VE es la variación NO explicada (debida a otras causas).
 (Yi  y)
2
  (Yi *  y)2   ei 2
VE también puede denominarse SCE (suma de los cuadrados de los errores =  ei 2 ).
3) El coeficiente de determinación toma valores entre 0 y 1, ambos incluidos: R 2 = [0,1].
Estadística I.
70
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4) Expresión de cálculo del coeficiente de determinación:
2
2
SCR b *  ( Xi  x)
R 

STC
 (Yi  y) 2
2
o
ei 2
SCE

R  1
 1
STC
 (Yi  y) 2
2
5) Según el valor de R 2 :

Si R 2 = 1  SCE = 0  El conjunto de residuos o errores son 0 y la recta
pasaría exactamente por todos los puntos  caso de AJUSTE PERFECTO.

Si R 2 = 0  SCR = 0  Toda la variación de Y viene explicada por los
residuos o errores. La recta ajustada de Y sobre X es paralela al eje de las x,
trazada a la altura de a* y aunque varíe el valor de la variable X, no hay
ninguna variación de la variable Y.

Los puntos intermedios entre 0 y 1 son los + habituales en el mundo real.
Cuanto + se aproxime a 1 el coeficiente de determinación, mayor será el
grado de ajuste entre las variables X e Y.
6) El coeficiente de determinación y el de correlación entre 2 variables se relacionan con esta
expresión:
R2 = r 2
7) También se puede demostrar el pendiente de la recta:
b*  r 
Sy
Sx
8) El coeficiente de correlación se obtiene a partir del de determinación y su signo lo
determina la covarianza (Sxy):
r   R2
Estadística I.
71
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9) Es importante destacar que aunque hay relación numérica entre el coeficiente de
determinación y el de correlación, cada uno tiene una finalidad diferente:

Coeficiente de determinación  analiza la proporción de la variación o
varianza total explicada por la regresión.

Coeficiente de correlación  mide el grado de asociación lineal entre 2
variables.
ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA
-
Para
̂
o Si se conoce  u
INTERVALO DE CONFIANZA =
ˆ  Z    ˆ
2
Siendo
 ˆ
2
1

x




 u 
2
 n  ( Xi  x) 
n
 ei
o Si NO se conoce  u  buscamos S u 
INTERVALO DE CONFIANZA =
2
i 1
n2
ˆ  tn2  Sˆ
2
1

x
S




S

Siendo ̂
u
2
 n  ( Xi  x) 
-
ˆ
Para 
o Si se conoce  u
INTERVALO DE CONFIANZA =
ˆ  Z    ˆ
2
Siendo
Estadística I.
 ˆ 
u
 ( Xi  x)
2
72
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n
o Si NO se conoce  u  buscamos S u 
-
Para
S ̂ 
2
i 1
n2
ˆ  tn2  S ˆ
INTERVALO DE CONFIANZA =
Siendo
 ei
Su
 ( Xi  x)
2
 u2
PROBABILIDAD INTERVALO DE CONFIANZA =
P(
(n  2)  ˆ u2
 22
  u2 
(n  2)  ˆ u2
Valor  n2 2 más grande
12
)  1
Valor  n2 2 más pequeño
 n22
1
 /2
 /2
12
 22
Ejemplo 3. Establezca los intervalos de confianza para
̂ , ˆ
y
 u2
disponiendo de los siguientes
datos:
n = 20
P (t18 < 2,101) = 0,975
1   = 0,95
Yi = 9,4 – 0,025Xi
S̂  12
S ̂  0,013
Estadística I.
73
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CONTRASTES DE HIPÓTESIS
Contraste respecto al parámetro 
Pasos a realizar
1. Establecer la Ho y la HA.

Ho :   0 (NO hay pendiente)

HA:   0
 0
 0
Si Aceptamos Ho   NO es significativamente ≠ 0 y la variable X NO tiene influencia
sobre las variaciones de Y.
Si Rechazamos Ho   es significativamente ≠ 0 y la variable X tiene influencia sobre las
variaciones de Y.
2. Establecer el estadístico de prueba (dependerá de si conocemos

o no)
 u conocida
Z* 

u
ˆ
 N (0,1)
 ˆ
 u desconocida  buscamos S u
t* 
ˆ
S ˆ
 t n2
3. Establecer el nivel de significación (  ) para buscar la RA (región de aceptación) y la
RC (región crítica o de rechazo)

Si HA:   0  A dos colas
1
 /2
 /2
RC
Estadística I.
RA
RC
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
Si HA:   0  A una cola (a la derecha)
1
 /2
RA

RC
Si HA:   0  A una cola (a la izquierda)
1
 /2
RC
RA
Si el estadístico de prueba cae en la RA  SE ACEPTA LA Ho
Si el estadístico de prueba cae en la RC  SE RECHAZA LA Ho
Contraste respecto al parámetro 
1. Establecer la Ho y la HA.

Ho :   0

HA :   0
 0
 0
2. Establecer el estadístico de prueba (dependerá de si conocemos

ˆ
 N (0,1)
 ˆ
 u desconocida  buscamos S u
t* 
Estadística I.
o no)
 u conocida
Z* 

u
ˆ
Sˆ
 t n2
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3. Establecer el nivel de significación (  ) para buscar la RA (región de aceptación) y la
RC (región crítica o de rechazo) (MISMAS INTERPRETACIONES QUE PARA  )
Ejemplo 4. Tenemos la siguiente relación entre la demanda y el precio del café:
Yi = 2,691 – 0,47953Xi
Sˆ  0,121 y S ˆ  0,114
Errores estándar de cada estimador:
R 2  0,663
S u = 0,1286
Efectúa el contraste de

y

para:
Ho:   0 (NO hay pendiente)
Ho:   0
HA:   0
HA:   0
Contraste con información a priori (test individual de los parámetros)
1. Establecer la Ho y la HA.
Parámetro  :

Ho :    0

HA :    0
Siendo  0  0
  0
  0
Parámetro  :

Ho :    0

HA :    0
Siendo  0  0
  0
  0
Estadística I.
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2. Establecer el estadístico de prueba (dependerá de si conocemos  u o no)
Parámetro  :

 u conocida
Z* 

ˆ   0
 N (0,1)
 ˆ
 u desconocida  buscamos S u
t* 
ˆ   0
S ˆ
 t n2
Parámetro  :

 u conocida
Z* 

ˆ   0
 N (0,1)
 ˆ
 u desconocida  buscamos S u
t* 
ˆ   0
Sˆ
 t n2
Hacer ejercicio 6.20, 6.19 y 6.17
TEST DE LA BONDAD DE AJUSTE

Ho y HA:
- Ho : R 2  0
-

HA : R 2  0  R 2  0 porque R 2 no puede ser negativo  A una cola!
Estadístico de prueba:
F* 
- Además sabemos que t* 
Estadística I.
(n  2)  R 2
 F 1,n  2
1 R2
ˆ
S ˆ
y
F  t2

t F
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NOTAS:
- En Y =  + ·  Xi + Ui el ECM (Error Cuadrático Medio) del estimador ˆ es igual a su
VARIANZA.
- Si nos dan:
Coeficientes Estadístico t
Intercepción
̂
Variable X
ˆ
Se refiere a cuando Ho:   0 o bien Ho:   0
ˆ
y es t*  ˆ o bien t*  
Sˆ
S ˆ
- VARIACIÓN TOTAL (VT) – REGRESIÓN (VE) =
 ei
2
(VNE)
- Error típico de la estimación = S u
- Error típico coeficientes = S ̂ y S ̂
Estadística I.
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