Plano Vertical....... - Universidad de Córdoba

Fundamentos Físicos de la Ingeniería
Examen Final Extra / 15 diciembre 2000
1. El plano vertical representado en la figura gira alrededor del eje Oz z, z’
con velocidad angular constante de 120/π r.p.m. Un disco de 2 cm de
radio, contenido en dicho plano, rueda sin deslizar sobre la intersección del
mismo plano con el plano xy, con una velocidad de traslación de 4 m/s.
Calcular la velocidad y la aceleración del punto P del disco diametralmente
opuesto al de contacto con el plano xy cuando el centro del disco está a 3m
del eje z y θ = π/2.
P
C
O
vC
y
Consideremos un sistema de referencia fijo (xyz) y otro
θ
sistema de referencia móvil (x’y’z’) cuyo plano y’z’ es x
y’
solidario al plano vertical representado en la figura. En el
instante considerado el plano móvil coincide con el plano yz, de modo que, en ese instante,
coinciden las bases vectoriales de ambos referenciales.
El movimiento relativo del disco es una rodadura pura sobre el eje Oy’ y el movimiento de
arrastre es una rotación pura alrededor del eje Oz con velocidad angular
ωarr =
⎛0⎟⎞
120 2π
⎜
×
= 4 rad/s ⇒ ω arr = ⎜⎜0⎟⎟⎟ rad/s
⎜⎜⎝4⎟⎠
π 60
La rodadura del disco en el plano móvil nos relaciona la velocidad del centro del disco,
vC = 4 j m/s con la velocidad angular de rotación ωrel del mismo; i.e.,
⎛−200⎟⎞
vC
4
⎜⎜
ω
vC = ωrel R → ωrel = =
= 200 rad/s →
0 ⎟⎟ rad/s
rel = ⎜
⎜⎜⎝ 0 ⎟⎟⎠
R 0.02
La velocidad absoluta del punto P (vP) será la suma de su velocidad relativa (vrel) y su
velocidad de arrastre (varr):
⎧⎪
JJJG ⎛⎜0⎟⎞ ⎛⎜−200⎟⎞ ⎛⎜ 0 ⎟⎞ ⎛⎜0⎟⎞
⎪⎪
v
=
v
+
ω
×
CP
= ⎜⎜4⎟⎟⎟ + ⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟×⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟ = ⎜⎜8⎟⎟⎟ m
C
rel
⎪⎪ rel
⎜⎝⎜0⎟⎠ ⎜⎝⎜ 0 ⎟⎠ ⎜⎝⎜0.02⎟⎠ ⎜⎝⎜0⎟⎠ s
⎪⎪
⎨
⎪⎪
JJJG ⎛0⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛−12⎞
⎪⎪ v = ω × OP = ⎜⎜0⎟⎟⎟×⎜⎜ 3 ⎟⎟⎟ = ⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟ m
arr
⎜⎜ ⎟ ⎜⎜
⎟ ⎜
⎟ s
⎪⎪ arr
⎝⎜4⎟⎠ ⎜⎝0.04⎟⎠ ⎜⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎪⎩
⎛−12⎞⎟
⎜
v P = v rel + v arr = ⎜⎜ 8 ⎟⎟⎟ m/s
⎜⎜⎝ 0 ⎟⎠
La aceleración absoluta punto P (aP) la calculamos como la suma de la aceleración relativa
(arel), la de arrastre (aarr) y la de Coriolis (aCor):
⎛ dω
JJJG ⎞
JJJG
JJJG ⎛⎜ 0 ⎞⎟
2
rel
a rel = a C + ⎜⎜⎜
× CP⎟⎟⎟ + ω rel ×(ω rel × CP) = −ωrel
CP = ⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟ m 2
⎟⎠
⎜⎜⎝−800⎟⎠ s
⎜⎝ d t
⎛ dω
JJJG ⎞
JJJG ⎛⎜0⎞⎟ ⎛⎜−12⎞⎟ ⎛⎜ 0 ⎞⎟
arr
× OP⎟⎟⎟ + ω arr ×(ω arr × OP) = ⎜⎜0⎟⎟⎟×⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟ = ⎜⎜−48⎟⎟⎟ m 2
aarr = ⎜⎜⎜
⎟⎠
⎜⎜⎝4⎟⎠ ⎜⎜⎝ 0 ⎟⎠ ⎜⎜⎝ 0 ⎟⎠ s
⎜⎝ d t
⎛0⎞⎟ ⎛0⎟⎞ ⎛−64⎟⎞
⎜
⎜
⎜
a Cor = 2ω arr × v rel = 2 ⎜⎜0⎟⎟⎟×⎜⎜8⎟⎟⎟ = ⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟ m 2
⎜⎜⎝4⎟⎠ ⎜⎜⎝0⎟⎠ ⎜⎜⎝ 0 ⎟⎠ s
⎛ −64 ⎞⎟
⎜
→ a P = a rel + a arr + a Cor = ⎜⎜ −48 ⎟⎟⎟ m 2
⎜⎜⎝−800⎟⎠ s
Departamento de Física Aplicada
Revisión: 04/04/2008 - Impresión:04/04/2008
Universidad de Córdoba
Fundamentos Físicos de la Ingeniería
Examen Final Extra / 15 diciembre 2000
2. Una semiesfera hueca de 10 kg descansa sobre un plano horizontal. Sobre un
punto de su borde se coloca una masa m, inclinándose la semiesfera un ángulo de
45º. Calcúlese el valor de la masa m.
45º
m
M
Determinación del centro de masa de una capa hemiesférica:
z
r
Rdθ
R
θ
1
zcm =
S
π /2
∫
0
zcm =
⎧⎪d S = (2πr ) R d θ = 2π R 2 sen θ d θ
⎪⎪
⎪⎪r = R sen θ
⇒ ⎪⎨
⎪⎪ z = R cos θ
⎪⎪
⎪⎪⎩S = 12 (4π R 2 ) = 2π R 2
∫ zdS
S
2π R 3
( R cos θ )2π R sen θ d θ =
2π R 2
2
∫
0
π /2
π /2
sen 2 θ
R
=
sen θ cos θ d θ =R
2 0
2
Condición de equilibrio: Tomamos momentos en O.
∑M
R
mg
φ
O
45º
O
= 0 ⇒ mgR cos φ = MG
⇒
m = 12 M tg φ
para φ = 45º,
G
N
R
sen φ
2
será m = 12 M
para M =10 kg, será m = 5 kg
Mg
Departamento de Física Aplicada
Revisión: 04/04/2008 - Impresión:04/04/2008
Universidad de Córdoba
Fundamentos Físicos de la Ingeniería
Examen Final Extra / 15 diciembre 2000
3. La rueda representada en la figura consiste en un semicírculo de madera que pesa
100 N contenido en un aro circular de acero de 45cm de diámetro y peso y grosor
despreciables. Si rueda sin deslizamiento por un piso horizontal y tiene una
velocidad angular de 15 rad/s en sentido horario cuando su centro de masa G se
halla directamente debajo del centro C de la rueda. a) Determinar la velocidad
angular de la rueda cuando G se halle directamente a la izquierda de C.
b) Calcular las componentes normal y de rozamiento de la fuerza que el suelo
ejerce sobre la rueda cuando G se halla directamente a la izquierda de C.
G
Determinación del c.m. de un semicírculo:
O
2º teorema de Pappus: V=2πycmS
ycm =
ω
C
1 V
1 43 π R 3 4 R
4 R 4× 0.225
=
=
δ
=
=
= 0.0955 m
2
2π S 2π 12 π R
3π
3π
3× π
δ
P
G
C
Cálculo del momento de inercia:
IC=½mR2=0.258 kg.m2
IG=IC-mδ2= 0.165 kg.m2
2
2
2
O
−mgδ + I O ω = I P ω
1
2
P
O
a) Conservación de la energía:
1
2
C
G
IP=IG+m(R + δ )=0.774 kg.m
2
G
C
IO=IG-m(R-δ)2=0.336 kg.m2
I O ωO2 − 2mg δ
→ ω =
IP
2
P
2
P
0.336×152 − 2×100×0.0955
ω =
= 73.0035 (rad/s) 2
0.774
2
p
→ ωP = 8.54 rad/s
b) Ecuaciones del movimiento:
⎧
⎪
− f = max
⎪
⎪
⎪
⎨ N − mg = ma y
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ fR − δ N = I G α
ya que
con
⎧⎪ax = α R + δω 2
⎪⎨
⎪⎪a y = αδ
⎩
G
JJJG
JJJG
aG = aC + α × CG − ω 2 CG =
C
mg
⎛α R⎟⎞ ⎛ 0 ⎟⎞ ⎛−δ ⎞⎟
⎛−δ ⎟⎞ ⎛⎜α R + ω 2 δ ⎟⎞
⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟
2⎜
= ⎜ 0 ⎟ + ⎜ 0 ⎟×⎜ 0 ⎟ − ω ⎜⎜ 0 ⎟⎟ = ⎜⎜ αδ ⎟⎟⎟
⎜⎝ 0 ⎟⎟⎠ ⎜⎝−α⎟⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎟⎠
⎜⎝ 0 ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝
⎟⎠
0
f
N
P
De modo que
⎧⎪− f = m(α R + ω 2δ )
⎪⎪
⎪⎨ N − mg = mαδ
⇒
⎪⎪
⎪⎪⎩ fR − δ N = I G α
f = 6.08 N
N = 72.4 N
α = - 33.6 rad/s 2
Departamento de Física Aplicada
Revisión: 04/04/2008 - Impresión:04/04/2008
Universidad de Córdoba
Fundamentos Físicos de la Ingeniería
Examen Final Extra / 15 diciembre 2000
4. Una cuerda con una densidad lineal de 4 g/m está sometida a una tensión de 360 N y está fija en ambos
extremos. Una de sus frecuencias de resonancia es 375 Hz; la siguiente frecuencia más alta es de 450 Hz.
a) ¿Cuál es la frecuencia de resonancia fundamental? b) ¿Qué armónicos son los que se dan en el enunciado
de este problema? c) ¿Cuál es la longitud de la cuerda?
a) Las frecuencias de las ondas estacionarias que pueden residir en la cuerda son múltiplo de
la frecuencia fundamental o primer armónico.
}
ν n = nν1
ν n+1 = (n + 1) ν1
ν1 = (ν n+1 − ν n )
En consecuencia, la frecuencia fundamental es:
ν1 = 450 − 375 Hz
⇒
ν1 = 75 Hz
b) En el enunciado del problema se dan el quinto y el sexto armónico, ya que:
n=
νn
ν1
⇒
375
=5
75
450
= 6
75
c) La longitud de la cuerda es la mitad de la longitud de onda del primer armónico
360
F
=
= 300 m/s
4×10−3
μ
c=
λ=
c
ν
⇒ λ1 =
c 300
=
= 4 m ⇒ L = 2λ1 = 8 m
ν1
75
L=
λ1
2
⇒
L=2m
primer armónico fundamental (n = 1)
segundo armónico (n = 2)
tercer armónico (n = 3)
cuarto armónico (n = 4)
Departamento de Física Aplicada
Revisión: 04/04/2008 - Impresión:04/04/2008
Universidad de Córdoba
Fundamentos Físicos de la Ingeniería
Examen Final Extra / 15 diciembre 2000
5. Un depósito de grandes dimensiones desagua mediante un tubo sifón
de sección S y terminado en un estrechamiento de sección S/4, como
se indica en la figura. a) Determinar la presión en A. b) Calcular valor
máximo de h3 para que el depósito continúe desaguando.
A
h1
B
h2
a) Aplicamos la ecuación de Bernoulli entre B-C:
patm + ρ g (h2 + h3 ) + 0 = patm + 0 + 12 ρvC2
h3
→ vC2 = ρ g (h2 + h3 )
Nivel de ref.
Ecuación de continuidad entre A-C:
vA S = vC
S
4
⇒ vA = 14 vC
Ecuación de Bernoulli entre B-A:
patm + ρ g (h2 + h3 ) = pA + ρ g (h1 + h2 + h3 ) + 12 ρvA2
⇒
2
⎛v ⎞
patm = pA + ρ gh1 + ρ ⎜⎜ C ⎟⎟⎟ = pA + ρ gh1 + 161 ρ g (h2 + h3 ) ⇒
⎜⎝ 4 ⎠
1
2
pA = patm − ρ gh1 − 161 ρ g ( h2 + h3 ) = patm − ρ g [ h1 + 161 (h2 + h3 ) ]
b) Para pA ≈ 0, (en realidad pA ≈ ps, presión de vapor saturante), será:
patm
= h1 + 161 (h2 + h3 ) ⇒
ρg
h3 =
16 patm
−16h1 − h2
ρg
Departamento de Física Aplicada
Revisión: 04/04/2008 - Impresión:04/04/2008
Universidad de Córdoba
Fundamentos Físicos de la Ingeniería
Examen Final Extra / 15 diciembre 2000
6. Un recinto de paredes rígidas y adiabáticas está dividido en dos
compartimentos mediante un tabique ligero y móvil. Uno de los
CO2
vacío
compartimentos contiene un mol de anhídrido carbónico a una presión
inicial de 50 atm y una temperatura de 300 K; en el otro compartimiento
existe el vacío. Permitimos que el gas se expansione espontáneamente
hasta que su volumen se hace 20 veces superior a su volumen inicial. Supongamos que el CO2 se comporte
como un gas perfecto. a) Explicar si el proceso es reversible o no. ¿Se intercambia calor? ¿Se realiza
trabajo? b) Calcúlense los cambios de energía interna, de temperatura y de entropía, experimentados durante
el proceso.
Datos: R = 1.987 cal/(mol⋅K) = 0.082057 (atm⋅L)/(mol⋅K).
a) El proceso es irreversible, espontáneo, ya que al expansionarse contra el vacío los estados
intermedios no serán estados de equilibrio. Por consiguientes:
• No se intercambia calor (paredes adiabáticas)
• No se realiza trabajo, por tratarse de una expansión contra el vacío.
b) Según el primer principio de la termodinámica
ΔU = Q −W
y, puesto que no se intercambia calor ni trabajo, es ΔU = 0 . Entonces, dado que la energía
interna del gas ideal es tan solo función de la temperatura, será
ΔU = nCV ΔT = 0 ⇒
ΔT = 0
y la temperatura permanece constante (efecto de Joule-Kelvin).
La variación de entropía la calculamos como
ΔS = ∫
đQ
rev T
Como el proceso que se describe en el enunciado es irreversible, para calcular ΔS debemos
imaginar una transformación reversible que lleve al sistema del estado inicial al final. Puesto
que la temperatura inicial es igual a la final podemos considerar un proceso isotermo:
T = cte ⇒ d U = đQ − p d V = 0 ⇒ đQ = p d V
20V0 d V
20V0
đQ
p dV
=∫
= nR ∫
= nR ln
= nR ln 20
V0
T
T
V
V
0
rev
ΔS = ∫
ΔS = 1mol×1.987
cal
× ln 20 ⇒
mol ⋅ K
ΔS = 5.95 cal/K
Departamento de Física Aplicada
Revisión: 04/04/2008 - Impresión:04/04/2008
Universidad de Córdoba
Fundamentos Físicos de la Ingeniería
Examen Final Extra / 15 diciembre 2000
7. Dos condensadores de placas paralelas, cada uno con una capacidad de C1 = C2 = 2 μF, están conectados en
paralelo a una batería de 12 V. Determinar: a) la carga en cada condensador y la energía total almacenada
por los condensadores. A continuación, los condensadores se desconectan de la batería y entre las placas del
condensador C2 se inserta un dieléctrico de constante k = 2.5. En estas condiciones, determinar: b) la
diferencia de potencial entre las placas de cada condensador, c) la carga depositada sobre cada uno de ellos
y la energía total almacenada por ambos.
a) Ambos soportan la misma tensión (12 V), y como tienen la
misma capacidad, será
Q1 = Q2 = CV = 2 × 12 = 24 μC
C2
C1
V
2 μF
2 μF
12 V
Qtotal = Q1 + Q2 = 48 μC
2
2
1
1
⎧
⎪
⎪U1 = 2 C1V = 2 × 2×12 = 144 μJ U = U + U = 288 μJ
⎨
1
2
2
2
1
1
⎪
⎪
⎩U 2 = 2 C2V = 2 × 2×12 = 144 μJ
b) La carga total permanece invariable después de desconectar la batería.
⎧⎪C1′ = C1 = 2 μF
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩C2′ = kC1 = 5 μF
⎧⎪Q1′ = C1′V ′
⎪⎨
con Q1′ + Q2′ = Qtotal
⎪⎪⎩Q2′ = C2′V ′
Qtotal
48 μC
∴ (C1′ + C2′ ) V ′ = Qtotal ⇒ V ′ =
=
= 6.86 V
C1′ + C2′
7 μF
C1’
2 μF
C2’
5 μF
c) Ambos condensadores soportan la misma d.d.p.
⎧
⎪
Q1′ = C1′V ′ = 2× 6.86 = 13.7 μC
⎪
⎪
⎨
⎪Q ′ = C ′V ′ = 5× 6.86 = 34.3 μC
⎪
2
⎪
⎩ 2
con Q1′ + Q2′ = 48 μC
2
2
1
1
⎧
⎪
⎪U1′ = 2 C1′V ′ = 2 × 2× 6.86 = 47 μJ
⎨
2
2
1
1
⎪
⎪
⎩U 2′ = 2 C2′V ′ = 2 × 2× 6.86 = 118 μJ
U ′ = U1′ + U 2′ = 165 μJ
Departamento de Física Aplicada
Revisión: 04/04/2008 - Impresión:04/04/2008
Universidad de Córdoba
Fundamentos Físicos de la Ingeniería
Examen Final Extra / 15 diciembre 2000
8. Un circuito serie, alimentado con tensión alterna de 125 V y 50 Hz de frecuencia, está formado por una
resistencia de 8 Ω, una autoinducción 12 Ω de reactancia y un condensador de 6 Ω de reactancia. a) ¿Qué
intensidad circulará por el circuito? b) Si la corriente alterna varía su frecuencia a 25 Hz, sin variar su
tensión, ¿qué intensidad circulará por el circuito? c) Determinar elemento en paralelo necesario para
corregir completamente el factor de potencia, en cada caso.
a) Tensión alterna de 125 V y 50 Hz de frecuencia
ω = 2πν = 100π rad/s
I=
8j Ω
12 Ω
Z = 8 +12 j - 6j = 8 + 6j = 10 36.9º Ω (inductivo)
V 125 0º
=
= 12.5 −36.9º = 10 − 7.5 j A
Z 10 36.9º
-6j Ω
125 V 50 Hz
b) Tensión alterna de 125 V y 25 Hz de frecuencia
ω ′ = 2πν = 50π rad/s ⇒
⎧ ′
′
′
⎪
⎪⎪ X L = ω L = ω = 1 ∴ X L′ = 6 Ω
⎪
ωL
ω 2
⎪ X L′
⎨
⎪
X C′
ωC
ω
⎪
=
= = 2 ∴ X C′ = 12 Ω
⎪
⎪
⎪
⎩ X C′ ω ′C ω ′
Z ′ = 8 + 6 j -12 j = 8 - 6 j = 10 -36.9º Ω (capacitativo)
I′ =
12 Ω
125 0º
V′
=
= 12.5 36.9º = 10 + 7.5 j A
Z ′ 10 −36.9º
6j Ω
-12j Ω
125 V 25 Hz
c1) Como el circuito es inductivo, hay que colocar un condensador en paralelo.
I react = I sen φ =
C=
V
= ω CV
XC
I sen φ
7.5
=
= 191×10−6 F = 191 μF
ωV
100π ×125
c2) Como el circuito es capacitativo, hay que colocar una autoinducción en paralelo.
I react = I sen φ =
L=
V
V
=
X L ωL
V
125
=
= 106×10−3 H = 106 mH
ω I sen φ 50π ×7.5
Departamento de Física Aplicada
Revisión: 04/04/2008 - Impresión:04/04/2008
Universidad de Córdoba