Exogen

Exogeneidad - Pág. 1
EXOGENEIDAD
1. CAUSALIDAD .................................................. 2
1.1. CONCEPTO DE CAUSALIDAD - “CAUSALIDAD SEGUN GRANGER” ....... 2
1.2. DEFINICION DE GRANGER ..................................... 3
1.3. PRUEBAS (TESTS) DE CAUSALIDAD ............................. 4
1.3.1. TEST DE SIMS ............................................ 4
1.3.2. EJEMPLO TEST DE SIMS - Artículo de 1972 ................. 5
1.3.3. TEST DE GEWEKE .......................................... 6
1.3.4. BLANQUEADO DE LAS SERIES ................................ 6
2. EXOGENEIDAD ................................................. 8
2.1. PRESENTACION .............................................. 8
2.2. DEFINICIONES .............................................. 9
3. EJEMPLO - MODELO DE LA TELARAÑA ............................ 14
4. EJEMPLO ENGLE ET AL. ....................................... 17
4.1. PRESENTACION DEL MODELO .................................. 17
4.2. NORMAL MULTIVARIANTE ..................................... 18
4.3. ANALISIS DEL EJEMPLO ..................................... 19
5. EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL TEST DE CAUSALIDAD ............... 22
A Structural Change in the Relationship Between Uruguay and
Argentina? .................................................... 22
Exogeneidad - Pág. 2
1. CAUSALIDAD
1.1.
CONCEPTO DE CAUSALIDAD - “CAUSALIDAD SEGUN GRANGER”
-
Concepto de CAUSA-EFECTO es fundamental en toda ciencia. Cuando
no se está ante un experimento controlado no es sencillo
demostrar que una relación causa-efecto existe. Ejemplo: la
lluvia es “causada” por el meteorólogo que la produce.
-
Enfoque tradicional o “clásico” en Econometría: definir el
modelo de regresión en base a una teoría económica previa.
Ejemplo: sistema con dos variables: x e y. Enfoque usual:
regresar y respecto de x y analizar la significación del
coeficiente de x. Es claro que una alta correlación entre dos
variables no experimentales no constituye evidencia de una
relación “de causalidad” entre ellas.
-
Ajustar un modelo de regresión es, principalmente,
de cuantificación. Que una relación exista no está
se toma “dada” por la teoría económica. Siguiendo
“una extraordinaria cantidad de fé es puesta en el
a priori proveniente de la teoría económica”.
-
La idea de analizar los supuestos implícitos en un modelo
econométrico, respecto de la relación entre las variables
intervinientes, lleva al concepto de CAUSALIDAD, formalizado por
C. W. J. Granger, en un artículo de 1969.
-
La variable x se dice que “causa” a la variable y si tomando en
cuenta los valores pasados de x es posible realizar mejores de
predicciones de y, todo lo demás igual.
-
A. Harvey plantea que es definición de causalidad no corresponde
a una definición aceptable de causa y efecto en un sentido
filosófico; en realidad se refiere al más limitado concepto de
PREDICTIBILIDAD. Por ello se prefiere “calificar” este concepto
de causalidad denominándolo CAUSALIDAD “SEGUN GRANGER”.
un ejercicio
cuestionado;
a A. Harvey,
conocimiento
Exogeneidad - Pág. 3
1.2. DEFINICION DE GRANGER
-
Sea
U
el conjunto de información incluyendo toda la pasada y
#
presente información, y sea U
el mismo conjunto, pero
excluyendo la información presente (contemporánea). De la misma
#
forma, X y X denota la información respecto de la variable x.
Por último, se desea estudiar la relación entre la variable x y
la variable y.
-
Se dice que x CAUSA a y si el predictor un paso adelante de y,
denominado y#, basado en toda la información pasada, tiene un
menor Error Cuadrático Medio (ECM) que el predictor de y basado
en dicha información excluyendo a x.
-
Más precisamente, x CAUSA a y si:
ECM ( y # |U # ) < ECM ( y # |U # - X # )
-
De la misma forma, x CAUSA INSTANTANEAMENTE a y si:
ECM ( y # |U ) < ECM ( y # |U - X )
-
La definición anterior de causalidad según Granger no es
operativa. Granger sugiere reemplazar “toda la información” con
el concepto de “toda la información relevante”. Obsérvese que
nuevamente se requiere un conocimiento a priori, extraño a la
muestra.
Exogeneidad - Pág. 4
1.3. PRUEBAS (TESTS) DE CAUSALIDAD
1.3.1. TEST DE SIMS
-
Si x y y tienen una representación como modelos AR;
-
Si y puede ser expresada como una función de los valores pasados
y contemporáneos de x, con residuos que no están correlacionados
con ningún valor de x (pasado o futuro);
SE DICE QUE y NO CAUSA a x EN EL SENTIDO DE GRANGER.
-
El test puede ser planteado a partir de una regresión de y
respecto a los valores pasados y futuros de x.
0
yt =
∑
j= n
m
δ
j
xt - j + ∑ γ
j=1
j
xt + j + ε t
donde n y m deben ser suficientemente grandes para evitar un
error de especificación. La prueba de que y no causa a x se
convierte en un test F cuya hipótesis nula es:
H o : γ 1 = γ 2 = ... = γ m = 0
-
Debe tomarse en cuenta cualquier correlación serial que presente
el término de perturbación
ε t.
Exogeneidad - Pág. 5
1.3.2. EJEMPLO TEST DE SIMS - Artículo de 1972
-
La relación entre el PBN y la oferta de dinero es examinada,
esta última en la forma de Base Monetaria (BM) y de M1. Se
utilizaron datos trimestrales de los EE.UU. desde 1947 a 1969,
ambas variables medidas en logaritmos. La fuente (A. Harvey) no
aclara si son datos desestacionalizados.
-
Las variables fueron transformadas con un filtro ad hoc, un
proceso AR(2). Los valores de n y m fueron definidos como 8 y 4,
respectivamente. Los valores de los tests F figuran en el cuadro
siguiente:
Test F sobre los coeficientes de 4 trimestres futuros
-----------------------------------------------------Ecuación de regresión
F
PBN sobre M1
0,36
PBN sobre BM
0,39
M1 sobre PBN
4,29 *
BM sobre PBN
5,89 *
-----------------------------------------------------* Significativo al 5% para una distr. F de 4, 60 G.L.
-
El principal resultado encontrado, de acuerdo a C. A. Sims, es
que la hipótesis de que la causalidad es unidireccional del
dinero al ingreso, concuerda con los datos de posguerra en
EE.UU., mientras que la hipótesis de que la causalidad es
unidireccional del ingreso al dinero es rechazada.
Exogeneidad - Pág. 6
1.3.3. TEST DE GEWEKE
-
La aplicación de un filtro ad hoc a las variables implica reespecificar [1]. En lugar de:
y t = Γ ( L ) xt + ε t
donde Γ(L) es un polinomio de grado n + m (que toma en cuenta
los valores “futuros” de xt, en realidad se está especificando:
y t = Γ ( L ) xt + Φ -1 ( L ) ε t
Multiplicando ambos miembros por Φ(L) se obtiene:
Φ(L) y t = Φ(L) Γ ( L ) xt + ε t
-
La propuesta es regresar yt respecto a yt-1, yt-2, ..., yt-p
junto con m valores futuros y n+p pasados de x. La hipótesis de
que y no causa a x puede ser probada realizando un test F para
los valores futuros de x.
1.3.4. BLANQUEADO DE LAS SERIES
-
Un enfoque alternativo para determinar el sentido de la
causalidad entre dos variables corresponde al “blanqueado” de
ambas series.
-
Asumiendo, como en el test de Sims, que x y y tienen una
representación como modelos AR (o ARMA), los residuos de estos
procesos corresponden a las series “blanqueadas”, y las
correlaciones cruzadas entre estas últimas pueden aportar
información sobre los patrones de causalidad.
-
En efecto, los residuos son componentes de x y y que no pueden
ser predichos desde su propio pasado. Una relación de causalidad
en el sentido de Granger entre ambas variables debería
reflejarse en ellos.
-
Bajo la hipótesis nula de que x y y no presentan una relación de
causalidad, la correlación cruzada de sus residuos se distribuye
IN(0,1/T) cuando el tamaño de muestra es suficientemente grande.
Exogeneidad - Pág. 7
-
Si x* y y* denotan las series “blanqueadas”, las correlaciones
cruzadas se definen como:
r k ( x * , y * ) = corr ( x* t - k , y* t )
k = 0 , ± 1, ± 2, ...
Estas correlaciones cruzadas caracterizan los distintos patrones
de causalidad:
a) r k ( x * , y * ) ≠ 0 para algún k > 0 x → y
b) r k ( x * , y * ) ≠ 0 para algún k < 0 x → y
c) r k ( x * , y * ) ≠ 0 para varios k
caus. instan
Exogeneidad - Pág. 8
2. EXOGENEIDAD
2.1.
PRESENTACION
-
En términos intuitivos, una variable es EXOGENA en el análisis
si este se puede realizar condicional a dicha variable y, por
tanto, no es necesario modelizar expresamente la presunta
variable exógena.
-
En Engle, Hendry y Richard (Econometrica, 1983) se realiza un
estudio muy completo. Punto de referencia obligado.
-
El concepto de EXOGENEIDAD depende de la finalidad del modelo:
para inferencia estadística (análisis estructural), predicción o
simulación y control (política económica).
-
La posibilidad de definir un modelo uniecuacional depende de la
exogeneidad de las variables explicativas, zt. Estimaciones
eficientes de los parámetros requieren que no haya pérdida de
información sobre ellos al condicionar en las variables
explicativas.
-
Las variables explicativas deben ser tratadas como si fueran
“fijas” en muestras repetidas, aún cuando en la realidad puedan
haber sido generadas por un proceso estocástico de la misma
forma que yt.
-
Engle et al. se refieren a la exogeneidad de una variable con
respecto a un parámetro en particular. Es decir, con respecto a
un modelo en particular.
-
Ejemplo. Explicación de los precios de los transables en
Uruguay. Variable explicativa: precios internacionales (precios
mayoristas de EE.UU.). Por otro lado, demanda de dinero en
EE.UU. Variable explicativa: precios mayoristas en EE.UU.
Exogeneidad - Pág. 9
2.2.
-
DEFINICIONES
Sea
x
de
densidad
t
= (y
t
, z t )’
condicional
corresponde a la historia
generada por un proceso con función
D(xt  Xt-1 , λ), donde Xt-1
de la variable x:
Xt-1 = ( xt-1,
xt-2, ..., xo ).
-
Sean los parámetros
(λ1,λ2)
λ ∈ Λ
pasibles de ser particionados en
, y la partición es tal que permite la factorización:
D ( xt | X t -1 , λ ) = D ( y t | z t , X t -1 , λ 1 ) . D ( z t | X t -1 , λ 2 )
-
La densidad condicional de yt y la marginal de zt operan un
CORTE SECUENCIAL (sequential cut) en la densidad condicional
si y sólo si λ1 y λ2 son parámetros de
VARIACION LIBRE (variation free). Esto es, si y sólo si:
D(xt  Xt-1 , λ )
( λ 1 , λ 2 )∈ λ 1 x λ 2
donde λ 1 ∈ Λ1 λ 2 ∈ Λ 2
de manera que el espacio paramétrico
de
Λ1
y
Λ2.
Λ
es el producto directo
En otras palabras, para cualesquier valores de
λ2,
valores admisibles de los parámetros
conjunta pueden ser derivados.
-
EXOGENEIDAD DEBIL (weak exogeneity):
zt
λ
i)
(λ1,λ2)
de
λ
y
de la distribución
es debilmente exógena
respecto a un conjunto de parámetros de interés
existe una partición
λ1
Ψ
sí y solo si
tal que:
Ψ sea un subconjunto (o una función) solamente de λ1.
[ (yt  zt ; λ1) , (zt ; λ2) ] operan un corte
ii)
secuencial.
Exogeneidad - Pág. 10
-
El elemento esencial de la exogeneidad débil es que la densidad
marginal (de
z t)
no contiene información relevante sobre
λ1.
-
El planteamiento respecto de los “parámetros de interés” tiene
relación con el (los) parámetro(s) de la ecuación principal, en
la variable endógena. Por ejemplo, una elasticidad.
-
Ejemplo. Un modelo recursivo:
y t = β z t + ε 1,t
z t = γ y t -1 + ε 2,t
donde
las
εit
perturbaciones
independientes:
son
 ε 1,t 
 ~ IN ( µ , Ω )

ε 
 2,t 
El parámetro de interés es
β.
En este caso:
0 
µ= 
0 
 σ 11 0 

Ω= 

0
 σ 22 
Las varianzas
σ11 y σ22,
condicionales
respectivamente.
E [ yt | z t , ... ] = β z t
dado que ε 1t es indep de ε 2t
E [ z t | yt -1 , ... ] = γ yt -1
son
Exogeneidad - Pág. 11
De esta forma, la densidad condicional (
yt
zt
,
) factoriza de
acuerdo a la definición de corte secuencial, donde (β ,
(γ ,
-
σ22)
se corresponden con
EXOGENEIDAD
FUERTE
(strong
λ1
y
λ2
zt
exogeneity):
zt
es
Ψ
es débilmente exógena respecto a
función de densidad marginal de
zt
y
respectivamente.
fuertemente
exógena respecto a un conjunto de parámetros de interés
solo si
σ11)
Ψ
sí y
y además la
puede ser escrita como:
D(zt  Xt-1 , λ2 ) = D(zt  Zt-1 , Yo , λ2)
Si zt es fuertemente exógena, entonces y no causa a z en el
sentido de Granger.
Obsérvese que, además de la exogeneidad débil, se exige que z no
dependa de los valores pasados de y. Es decir, que no existe
“retroalimentación” entre z y y. En el Ejemplo 4, z es
débilmente exógena, pero no es fuertemente exógena.
-
SUPER
EXOGENEIDAD (super exogeneity):
zt
es super exógena
respecto a un conjunto de parámetros de interés
zt
es débilmente exógena respecto a
intervenciones que afecten a
Ψ
y
λ1
Ψ
sí y solo si
es invariante a
λ2.
La superexogeneidad permite sustentar los ejercicios de
simulación y “control”, propios del análisis de políticas.
-
Ejemplo. Supongamos que se desea modelizar el incremento
(trimestral o cuatrimestral) de los precios (p) en función de
los incrementos en los salarios (w), el tipo de cambio (e) y las
tarifas públicas (tar).
pt = α 1 wt + α 2 et + α 3 tar t + ε 1,t
wt = β pt -1 + ε 2,t
tar t = γ et + ε 3,t
Exogeneidad - Pág. 12
Las perturbaciones se suponen ruidos blancos independientes. Los
parámetros de interés son las (cuasi)elasticidades de la 1era.
ecuación.
Con relación al tipo de cambio, se sigue una política de paridad
deslizante, con lo que podría (?) demostrarse que el tipo de
cambio es débilmente exógena respecto a los αi. En la medida en
que la política fiscal se defina globalmente, incluyendo la
política tarifaria y los tributos a la seguridad social (que
inciden en
los
α1),
las tarifas no serían superexógenas respecto a
α i.
-
En el problema de la determinación de la superexogeneidad de una
variable subyace la posibilidad de un cambio en el proceso
generador de datos de la variable explicativa. Si no se cumple
la condición de superexogeneidad, la variable zt no se puede
considerar exógena a los efectos de la simulación y control.
Este es el fundamento de la “crítica de Lucas” (de 1976) al uso
de los modelos econométricos para la evaluación de las políticas
económicas.
-
En el trabajo de Engle et al, se habla de superexogeneidad en
general, por que se requeriría que todos los parámetros
λ1
fueran invariantes, cualquiera que fuese el cambio en la f. de
densidad
de
zt. Trabajos posteriores introdujeron la
superexogeneidad respecto a “cierta clase” de intervenciones.
-
Si bien la exogeneidad fuerte implica la causalidad según
Granger, lo contrario no es cierto. En el diagrama siguiente se
presentan las relaciones entre estos conceptos y el de
invarianza de los parámetros.
Exogeneidad - Pág. 13
Tomado de Neil R. Ericsson, “Testing Exogeneity: An Introduction”, en N. R.
Ericsson y J. S. Irons (Ed.), “Testing Exogeneity”, Oxford University Press,
1984.
-
EXOGENEIDAD ESTRICTA. Si
ut
es el término de perturbación de un
modelo, zt (una variable explicativa) se dice estrictamente
exógena si:
E(zt ut
+ i
) = 0 ∀ i.
zt se dice predeterminada si E(zt ut
-
+ i
) = 0 ∀ i ≥ 0.
Ambos conceptos corresponden a T. C. Koopmans (1950). Engle
al muestran que estos 2 últimos conceptos no son necesarios
suficientes para realizar inferencias válidas, dado que
relacionan a la variable explicativa con los parámetros
interés.
et
ni
no
de
Exogeneidad - Pág. 14
3. EJEMPLO - MODELO DE LA TELARAÑA
El modelo de la telaraña (cobweb model) permite discutir los
conceptos de variación libre de los parámetros y la definición de
exogeneidad.
pt y qt corresponden a los logaritmos del precio y la cantidad
transada en un mercado. En una versión simplificada, el modelo puede
plantearse como:
p t = bqt + vt
con vt ~ IN (0, σ v2 )
qt = kpt −1 + ut
con ut ~ IN (0, σ u2 )
[3.1]
[3.2]
La primera ecuación se deriva de una ecuación de demanda: el precio
pt limpia (clear) el mercado para una cantidad (qt) ofertada. El
valor 1/b es la elasticidad de demanda.
La segunda ecuación es la ecuación de oferta. Representa cuánto
deciden producir los productores este período (qt), dependiendo del
precio que obltuvieron en el período previo (pt-1).
La forma reducida del modelo (sólo es necesario deducir la primera
ecuación, sustituyendo qt por su expresión en la segunda) es:
p t = ρ pt −1 + wt
con wt = vt + but
qt = kpt −1 + ut
El coeficiente
Si
|ρ|<1
ρ
es
[3.3]
[3.4]
ρ=b*k
el sistema es estable. Con
|ρ|=1
el mercado genera
precios que oscilan, sin “explotar”. Finalmente, con
sistema es dinámicamente inestable.
|ρ|>1
el
En las definiciones previas, el modelo condicional es [3.1] y el
marginal es [3.2]. La partición de los parámetros es:
2
λ 1 = (b, σ v )'
λ2 = ( k , σ u2 )'
Si el parámetro de interés es la elasticidad de demanda (=1/b), se
cumple la primera condición de la exogeneidad débil, en el sentido
que el parámetro de interés es función de los parámetros de la
densidad condicional. Si, en cambio, existe interés sobre la
estabilidad del modelo, y el parámetro de interés es
la condición no se cumple, ya que el conocimiento de
tanto b como k.
ρ, en ese caso
ρ exige conocer
Exogeneidad - Pág. 15
Entonces,
qt
no es exógena débil en relación al parámetro de
estabilidad del modelo (ρ), pero puede serlo en relación a la
elasticidad de demanda.
La segunda condición para la exogeneidad débil requiere que los
parámetros de los modelos condicional y marginal (λ1 y λ2) sean de
variación libre. Veamos tres situaciones que nos permiten discutir
este punto (para simplificar la exposición, nos concentramos en b y
k, dejando de lado las varianzas).
!)
b
y
k
son reales sin restricción alguna en sus valores. El
espacio paramétrico
Λ
es
R
cualquier valor en el rango
2
. Para cada valor de
(-∞,+∞),
k, b
puede tomar
y viceversa. Los parámetros
de (λ1 y λ2) son de variación libre, con lo que qt es exógena débil
respecto de, por ejemplo, la elasticidad de demanda.
2) Suponga que b y k se restringen para que el sistema sea estable.
El recorrido de los parámetros se presenta en el diagrama siguiente,
para la zona marcada “estabilidad”. La zona se define a partir de la
desigualdad |b.k|<1
Exogeneidad - Pág. 16
En este segundo caso, el valor de k afecta al valor de b. Por lo
tanto,
λ1
y
λ2
no son de variación libre. De la misma forma, el
espacio paramétrico
Λ
Así, por ejemplo, si
intervalo [-5,5].
no resulta de
k=0,2, b
Λ1
x
Λ2.
debe tomar valores solamente en el
1/b es
(=>-1≤ b ≤0).
En tercer lugar, supongamos que se impone la restricción que
negativa y es mayor o igual a 1 en valor absoluto
Por su parte se supone que k toma valores en el intervalo [0,1].
En estas condiciones los parámetros son de variación libre. El
espacio paramétrico
Λ
es [-1,0] x [0,1]. Es decir,
Λ1
x
Λ2.
O sea, bajo las condiciones que surgen de las restricciones sobre las
elasticidad, qt es exógena débil para la inferencia sobre la
elasticidad de demanda.
Exogeneidad - Pág. 17
4. EJEMPLO ENGLE ET AL.
4.1. PRESENTACION DEL MODELO
-
Sea el siguiente modelo:
y t = β z t + ε 1,t
z t = γ 1 z t -1 + γ 2 y t -1 + ε 2,t
donde las perturbaciones
εit
siguen el proceso:
 ε 1,t 
  ~ IN ( ϑ , Ω )
 
 ε 2,t 
 σ 11 σ 12 

Ω= 


 σ 12 σ 22 
Se asume que los parámetros (β, γ1, γ2, σ11, σ22, σ12) tienen
variación libre, cumpliendo los requerimientos para que la
matriz de covarianzas de los errores sea definida positiva. El
parámetro de interés es
Se deduce que
nula.
yt
y
zt
β.
son también normales, con covarianza no
Obsérvese que:E[ytzt,...]
= β zt + E [ ε1t  zt ]
El segundo término del miembro derecho es distinto de cero, dado
que los errores no son incorrelacionados.
El tratamiento de este caso requiere que revisemos algunos
resultados relativos a la distribución normal multivariante y a
sus momentos condicionales.
Exogeneidad - Pág. 18
4.2.
-
NORMAL MULTIVARIANTE
Sean
X1
X2
y
dos variables tales que:
 µ1
 X 1,t 


E
= µ= 


µ 
 X 2,t 
 2
 X 1,t 
 σ 11 σ 12 



V
= Ω= 




 σ 12 σ 22 
 X 2,t 
La f. de densidad condicional de
tipo de distribución):
f ( x1 | x 2 ) =
Si
X1
y
X2
X1
dado
X2
es (sin importar el
f ( x1 , x 2 )
f 2 ( x2 )
son normales, se tiene la siguiente f.d. conjunta:
(1 - ρ 2 )-1/2
1
x2 - µ 2 2
x1 - µ 1 2
+
(
.
[
(
f ( x1 , x 2 ; θ ) =
. exp { ) )
2 Π σ 11 σ 22
2 (1 - ρ 2 )
σ 11
σ 22
−2ρ
x1 - µ 1 x 2 - µ 2
]}
σ 11 σ 22
con ρ =
σ 12
σ 11 σ 22
Exogeneidad - Pág. 19
Las distribuciones marginales y la condicional son:
X 1 ~ N ( µ 1 , σ 11 )
( X 1| X 2 ) ~ N [ µ1 + ρ
4.3..
-
X 2 ~ N ( µ 2 , σ 22 )
σ 11
2
2
( X 2 - µ 2 ) , σ 11
( 1- ρ )
σ 22
ANALISIS DEL EJEMPLO
La forma reducida del modelo antes planteado es:
yt = β γ 1 z t -1 + β γ 2 yt -1 + ε 3,t
z t = γ 1 z t -1 + γ 2 yt -1 + ε 2,t
donde:
ε3t = ε1t + β ε2t
Es claro que
ε2t
y
ε3t
tienen esperanza nula y varianzas:
 ε 3,t   σ 11 + 2 β σ 12 + β 2 σ 22 σ 12 + β σ 22 

V = 
ε  

σ 12 + β σ 22
σ 22 
 2,t  
-
A partir de la forma reducida, puede observarse que yt y zt
siguen una distribución normal conjunta, donde la matriz de
varianzas y covarianzas es la antes planteada, y sus esperanzas
(condicionales sólo a los valores pasados de ambas variables)
son:
µY = E [ yt  zt-1, Yt-1,... ] = β γ1 zt-1 + β γ2 yt-1
µZ = E [ zt  zt-1, Yt-1,... ] =
γ1 zt-1 + γ2 yt-1
Exogeneidad - Pág. 20
-
Aplicando los resultados encontrados en 4.2., tenemos que:
E ( y t / z t , ... ) = β γ
-
σ
σ
z
1
t -1
.γ
12
+ β γ
1
z
t -1
2
y
t -1
− β γ
1
 σ
+ 
σ
z
t -1
+ β
12
22

 z

+ ...
22
De esa manera se obtienen los resultados presentados en Engle et
al:
E [ yt  zt, ... ] = b zt + c1 zt-1 + c2 yt-1
donde:
b = β +
-
σ
12
σ
22
c
i
= - γ
σ
i σ
12
22
La varianza condicional es:
2
σ12
= σ11(1 - ρ 2 )
V ( yt / zt ,...) = σ = σ11 σ 22
2
-
Considérese ahora el modelo de regresión:
yt=b zt+c1zt-1+c2yt-1+ut
I)
2
donde ut ~ IN( 0 , σ )
Analicemos distintos tipos de relación entre
yt y zt
σ12 = 0
Ello implica la incorrelación (independencia)
perturbaciones, pero no entre yt y zt.
A partir del supuesto planteado se observa que:
E [ yt  zt, ... ] = β zt
V [ yt  zt, ... ] = σ11
entre
las
t
-
Exogeneidad - Pág. 21
E [ zt  Zt-1, Yt-1] = γ1 zt-1 + γ2 yt-1
V [ zt  Zt-1, Yt-1] = σ22
De esta manera, la densidad condicional de yt respecto de
puede factorizarse como un corte secuencial con:
λ1 = ( β , σ11 )
λ2 = ( γ1 , γ2 , σ22 )
Desde el momento en que el parámetro de interés
función exclusivamente de
de
β.
λ1, zt
σ12 = 0 y
zt
(β)
es una
es débilmente exógena respecto
Si no se cumple la condición supuesta
es débilmente exógena respecto de
del modelo son inconsistentes.
II)
zt
β,
(σ12 ≠ 0), zt
no
y los estimadores por MCO
γ2 = 0
es fuertemente exógena respecto de
β
Exogeneidad - Pág. 22
5.
EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL TEST DE CAUSALIDAD
Se incluye en las hojas siguientes un extracto tomado de Citigroup,
Economic and Market Analysis (September 20, 2004), Country Analysis &
Commentary, Uruguay, por Andres Lederman.
A Structural Change in the Relationship Between Uruguay and Argentina?
We test how good predictor is Argentine growth of Uruguay GDP growth.
Our hypothesis is that in 2002 there was a structural change that
altered such a relationship. That year both countries responded
differently to their respective currency, public debt and banking
sector problems. In general, we regressed Uruguay’s industrial growth
(vipiur) against Argentina’s industrial growth during the previous
three months (vipiarg). Several procedures were undertaken in order
to get some indications of any structural change.
The first exercise we perform is a Granger causality test, which
shows whether a variable (vipiarg in our case) has any information
that might help to anticipate movements of growth in Uruguay
(vipiur). With this test we expect that Argentina’s industrial
production “Granger caused” movements in Uruguay’s through August
2002, and that such causality disappeared since then.
As expected, tests show that there existed Granger causality at the
1% significance level from Argentina’s industrial annual growth to
Uruguay’s industrial production activity through August 2002, but
this causality disappeared thereafter.
Second, we ran a simple regression for the 1994.01-2004.06 period,
which shows that Uruguay’s industrial production is affected by
Argentina’s industrial activity at the 5% significance level.
We then performed a Chow breakpoint and Chow forecast tests. The idea
of the breakpoint Chow test is to fit the equation separately for
each sub sample and see whether there are significant differences in
the estimated equations. The Chow forecast test estimates the model
for the sub sample comprised of observations through August 2002. The
estimated model is then used to predict the values of the dependent
variable in the remaining sample. A large difference between the
actual and predicted values casts doubt on the stability of the
estimated relation over the two sub samples. Both tests rejected the
null hypothesis of no structural change in August of 2002 at the 2%
of significance or less.
Se presenta a continuación la hoja con los resultados.
Exogeneidad - Pág. 23
Figure 6. Pairwise Granger Causality Test
Sample: 1994:01 2002:08
Lags: 3
Null Hypothesis:
VIPIARG does not Granger Cause VIPIUR
VIPIUR does not Granger Cause VIPIARG
Obs. F-Statistic Probability
89
7.15788
0.00025
1.93835
0.12982
Sample: 2002:09 2004:06
Lags: 3
Null Hypothesis:
VIPIARG does not Granger Cause VIPIUR
VIPIUR does not Granger Cause VIPIARG
Obs. F-Statistic Probability
22
1.39169
0.28384
0.78117
0.52269
Figure 7. Regressing Uruguay’s Annual Industrial Production Growth
(vipiur)
Dependent Variable: VIPIUR
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 1995:04 2004:06
Included observations: 111 after adjusting endpoints
Variable
C
VIPIUR(-1)
VIPIARG(-1)
VIPIARG(-2)
VIPIARG(-3)
Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
0.4124
0.8631
0.4778
0.6338
0.6186
0.0667
9.2810
0.0000
-0.6377
0.1951
-3.2686
0.0015
0.4748
0.2295
2.0687
0.0410
0.5811
0.1917
3.0312
0.0031
R-squared
0.67398 Mean dependent var 1.622215
Adjusted R-squared
0.66167 S.D. dependent var
15.531
S.E. of regression
9.033751 Akaike info criterion 7.283812
Sum squared resid 8650.519 Schwarz criterion
7.405862
Log likelihood
-399.2515 F-statistic
54.7822
Durbin-Watson stat 1.935799 Prob(F-statistic)
0.0000
Figure 8. Chow Tests
Chow Breakpoint Test: 2002:08
F-statistic
3.959748 Probability
Log likelihood ratio
19.8696 Probability
0.00255
0.00132
Chow Forecast Test: Forecast from 2002:08 to 2004:06
F-statistic
1.874656 Probability
0.02052
Log likelihood ratio 46.43909 Probability
0.00264