EXOGENEIDAD

EXOGENEIDAD
Prof. Adriá
Adrián Ferná
Fernández
CURSO METODOS CUANTITATIVOS AVANZADOS Opció
Opción Econometrí
Econometría
Edició
Edición 2009
CAUSALIDAD Y EXOGENEIDAD
►
CAUSALIDAD
CONCEPTO DE CAUSALIDAD - “CAUSALIDAD SEGUN GRANGER”
GRANGER” .
DEFINICION DE GRANGER
PRUEBAS (TESTS) DE CAUSALIDAD
► TEST
DE SIMS
DE GEWEKE
► BLANQUEADO DE LAS SERIES
► TEST
►
EXOGENEIDAD
PRESENTACION
DEFINICIONES
►
EJEMPLO ENGLE ET AL.
PRESENTACION DEL MODELO
NORMAL MULTIVARIANTE
ANALISIS DEL EJEMPLO
1
CAUSALIDAD
Concepto de causalidad, segú
según Granger.
Cuando no se está
está ante un experimento controlado no
es sencillo demostrar que una relació
relación causacausa-efecto
existe.
Enfoque tradicional o “clá
clásico”
sico” en Econometrí
Econometría: definir
el modelo de regresió
regresión en base a una teorí
teoría econó
económica
previa. Enfoque usual: regresar y respecto de x , y
analizar la significació
significación del coeficiente de x.
Pero una alta correlació
correlación entre dos variables no
experimentales no constituye evidencia de una relació
relación
“de causalidad”
causalidad” entre ellas.
Ajustar un modelo de regresió
regresión es, principalmente, un
ejercicio de cuantificació
cuantificación. No se cuestiona la existencia
de la relació
relación; se toma “dada”
dada” por la teorí
teoría econó
económica.
Siguiendo a A. Harvey, “una extraordinaria cantidad de
fe es puesta en el conocimiento a priori proveniente de
la teorí
teoría econó
económica”
mica”.
CAUSALIDAD
Concepto de causalidad, segú
según Granger.
La idea de analizar los supuestos implí
implícitos en un
modelo economé
econométrico, respecto de la relació
relación entre las
variables intervinientes, lleva al concepto de
CAUSALIDAD, formalizado por C. W. J. Granger (1969).
x se dice que “causa”
causa” a y si tomando en cuenta los
valores pasados de x es posible realizar mejores
predicciones de y, todo lo demá
demás igual.
Harvey: esa definició
definición de causalidad no corresponde a
una definició
definición aceptable de causacausa-efecto en un sentido
filosó
filosófico; se refiere al má
más limitado concepto de
PREDICTIBILIDAD.
Por ello se prefiere “calificar”
calificar” este concepto de
causalidad como CAUSALIDAD “SEGUN GRANGER”
GRANGER”.
2
CAUSALIDAD
Definición de causalidad, según Granger.
Sea U el conjunto de informació
información, pasada y presente, y sea U# la
informació
información presente (contemporá
(contemporánea).
De la misma forma, X y X# denota la informació
información respecto de la
variable x.
x CAUSA a y si:
ECM( y# |U# ) < ECM( y# |U# - X # )
x CAUSA instantá
instantáneamente a y si
ECM( y# |U ) < ECM( y# |U - X )
CAUSALIDAD
Tests de causalidad: Test de Sims
Si x y y tienen una representació
representación como modelos AR;
Si y puede ser expresada como una funció
función de los valores
pasados y contemporá
contemporáneos de x, con residuos no
correlacionados con ningú
ningún valor de x (pasado o futuro);
=> SE DICE QUE y NO CAUSA a x EN EL SENTIDO DE
GRANGER.
3
CAUSALIDAD
Tests de causalidad: Test de Sims (cont.)
Se plantea una regresió
regresión de y respecto a los
valores pasados y futuros de x.
0
yt =
∑
j= n
δ
m
j
xt- j +
∑
γ
j
xt +
j
+ εt
j =1
n y m deben ser suficientemente grandes para evitar
un error de especificació
especificación.
La prueba de que y no causa a x se convierte
en un test F cuya hipó
hipótesis nula es:
Ho : γ 1 = γ 2 = ... = γ m = 0
CAUSALIDAD
Tests de causalidad: Test de Geweke
Partiendo de
yt = Γ( L ) xt + εt
Γ(L) es un polinomio de grado n + m , que toma en cuenta los valores
futuros de x.
Se aplica un filtro ad hoc a las variables
y t = Γ ( L ) x t + Φ -1 ( L ) ε t
Se multiplica ambos miembros por Φ(L):
Φ (L) y t = Φ (L) Γ ( L ) x t + ε t
Se regresa y t respecto a y t-1, y t-2, ..., y t-p junto con m
valores futuros y n+p pasados de x.
La hipó
hipótesis de que y no causa a x puede ser probada
realizando un test F para los valores futuros de x.
4
CAUSALIDAD
Tests de causalidad: Blanqueado de las Series
►
Asumiendo, como en el test de Sims,
Sims, que x y y tienen una
representació
representación como modelos AR (o ARMA), los residuos
de estos procesos corresponden a las series
“blanqueadas”
blanqueadas”.
►
Las correlaciones cruzadas entre estas últimas pueden
aportar informació
información sobre los patrones de causalidad
►
Los residuos son componentes de x y y que no pueden ser
predichos desde su propio pasado. Una relació
relación de
causalidad en el sentido de Granger entre ambas variables
deberí
debería reflejarse en ellos.
CAUSALIDAD
Tests de causalidad: Blanqueado de las Series
Bajo la hipó
hipótesis nula de que x y y NO presentan una relació
relación
de causalidad, la correlació
correlación cruzada de sus residuos se
distribuye IN(0,1/T) cuando la muestra es suficientemente
grande.
Si x* y y* denotan las series “blanqueadas”
blanqueadas”, las correlaciones
cruzadas se definen como:
como:
r k ( x * , y * ) = corr ( x* t - k , y* t )
k = 0 , ± 1, ± 2, ...
Estas corr.
corr. cruzadas caracterizan los patrones de causalidad.
a) r k ( x * , y * ) ≠ 0 para algún k > 0 x → y
b) r k ( x * , y * ) ≠ 0 para algún k < 0 x → y
c) r k ( x * , y * ) ≠ 0 para varios k caus. instan
5
EXOGENEIDAD
Presentación
►
Concepto: Una variable es EXOGENA si el aná
análisis se puede realizar
condicional a dicha variable y, por tanto, no es necesario modelizarla.
modelizarla.
►
El concepto de EXOGENEIDAD depende de la finalidad del modelo:
para inferencia estadí
estadística (aná
(análisis estructural), predicció
predicción o
simulació
simulación y control (polí
(política econó
económica).
►
La posibilidad de definir un modelo uniecuacional depende de la
exogeneidad de las variables explicativas, zt. Estimaciones eficientes
de los pará
parámetros requieren que no haya pé
pérdida de informació
información sobre
ellos “al condicionar”
condicionar” en las variables explicativas.
EXOGENEIDAD
Presentación
►
Las variables explicativas deben ser tratadas como si
fueran “fijas”
fijas” en muestras repetidas, aú
aún cuando pueden
haber sido generadas por un proceso estocá
estocástico como yt
►
Engle, Hendry y Richard (Econometrica
(Econometrica,, 1983). Artí
Artículo de
referencia obligado. Se refieren a la exogeneidad de una
variable con respecto a un pará
parámetro o conjunto de
pará
parámetros en particular.
Ejemplo. Explicació
Explicación de los precios de los transables en Uruguay.
Variable explicativa: precios internacionales (precios mayoristas
mayoristas de
EE.UU.). Por otro lado, demanda de dinero en EE.UU. Variable
explicativa: precios mayoristas en EE.UU.
EE.UU.
6
EXOGENEIDAD
► Definiciones
Sea xt = (y
(yt , zt)’ generada por un proceso con funció
función de densidad
condicional D(xt /Xt-1 , λ), donde Xt-1 corresponde a la historia de la
variable x:
Xt-1 = ( xt-1, xt-2, ..., xo )
Sean los pará
parámetros λ perteneciente a Λ pasibles de ser particionados
en (λ
(λ1,λ2) , y la partició
partición es tal que permite la factorizació
factorización
D ( xt | X t -1 , λ ) = D ( y t | z t , X t -1 , λ 1 ) . D ( z t | X t -1 , λ 2 )
La densidad condicional de yt y la marginal de zt operan un CORTE
SECUENCIAL (sequential cut) en la densidad condicional D(xt /Xt-1 , λ),
si y só
sólo si λ1,λ2 son pará
parámetros de variació
variación libre (v
(variation free).
( λ 1 , λ 2 )∈ λ 1 x λ 2
donde λ 1 ∈ Λ1 λ 2 ∈ Λ 2
EXOGENEIDAD
Definiciones: Exogeneidad Dé
Débil
z t es dé
débilmente exó
exógena respecto de un conjunto de
pará
parámetros de interé
interés Ψ sí y solo sí
sí existe una partició
partición
(λ1,λ2) de λ tal que:
i) Ψ sea un subconjunto (o una funció
función) solamente de λ1.
ii)
ii) [ (yt / zt ; λ1) , (z t ; λ2) ] operan un corte secuencial
El elemento esencial de la exogeneidad dé
débil es que la
densidad marginal (de z t) no contiene informació
información
relevante sobre λ1
El planteamiento respecto de los “pará
parámetros de interé
interés”
tiene relació
ó
n
con
el
(los)
pará
á
metro(s)
)
de
la
ecuació
relaci
par metro(s
ecuación
principal. Por ej. una elasticidad
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EXOGENEIDAD
Exogeneidad Dé
Débil – Ejemplo modelo recursivo
yt = β zt + ε 1t
zt = γyt −1 + ε 2t
donde las perturbaciones Űit son independientes
 ε 1,t 
 ~ IN ( µ , Ω )

ε 
 2,t 
El pará
parámetro de interé
interés es β. En este caso:
0 
µ= 
0 
 σ 11 0 

Ω= 
0

 σ 22 
Las varianzas condicionales son σ
11
yσ
22
EXOGENEIDAD
Exogeneidad Dé
Débil – Ejemplo modelo recursivo
E [ y t | z t , ... ] = β z t
dado que ε 1t es indep de ε 2t
E [ z t | y t - 1 , ... ] = γ y t - 1
De esta forma, la densidad condicional ( yt , zt ) factoriza de
acuerdo a la definició
definición de corte secuencial donde (β
(β , σ11)
y (γ
(γ , σ 22) se corresponden con λ1 y λ2, respectivamente.
respectivamente.
8
EXOGENEIDAD
Definiciones: Exogeneidad Fuerte
z t es fuertemente exó
exógena respecto a un conjunto de
pará
á
metros
de
interé
par
interés Ψ sí y solo si z t es dé
débilmente
exó
exógena respecto a Ψ, y ademá
además la funció
función de densidad
marginal de z t puede ser escrita como:
D(z t / X
t-1
, λ2 ) = D(z t / Z
t-1
, Yo , λ2)
Ademá
Además de la exogeneidad dé
débil, se exige que z no
dependa de los valores pasados de y. Es decir, que no
exista “retroalimentació
retroalimentación” entre z y y.
Si zt es fuertemente exógena, entonces y no causa a z
en el sentido de Granger.
EXOGENEIDAD
Definiciones: Super Exogeneidad
zt es super exó
exógena respecto a un conjunto de
pará
parámetros de interé
interés Ψ sí y solo si z t es dé
débilmente
exó
exógena respecto a Ψ y λ1 es invariante a
intervenciones que afecten a λ2
Si bien la exogeneidad fuerte implica la causalidad
segú
según Granger, lo contrario no es cierto.
9
EXOGENEIDAD
Definiciones: Super Exogeneidad
La superexogeneidad permite sustentar los ejercicios de
simulació
simulación y “control”
control”, propios del aná
análisis de polí
políticas.
En la determinació
determinación de la superexogeneidad de una
variable subyace la posibilidad de un cambio en el
proceso generador de datos de la variable explicativa. Si
no se cumple la condició
condición de superexogeneidad,
superexogeneidad, la
variable zt no se puede considerar exó
exógena a los
efectos de la simulació
simulación y control. “Crí
Crítica de Lucas”
Lucas” (de
1976)
EXOGENEIDAD
10
EXOGENEIDAD
Definiciones: Exogeneidad Estricta
Si ut es el té
término de perturbació
perturbación de un modelo, zt (una variable
explicativa) se dice estrictamente exó
exógena si:
E(zt u t + i ) = 0 para todo i.
z t se dice predeterminada si E(zt u t + i ) = 0 para todo i ≥ 0.
Ambos conceptos corresponden a T. C. Koopmans (1950).
Engle et al muestran que estos 2 últimos conceptos no son
necesarios ni suficientes para realizar inferencias vá
válidas, dado que
no relacionan a la variable explicativa con los pará
parámetros de
interé
interés.
EJEMPLO ENGLE ET AL.
Presentació
Presentación del modelo
►
Sea el siguiente modelo:
donde las perturbaciones
εit siguen el proceso:
y t = β z t + ε 1,t
z t = γ 1 z t -1 + γ 2 y t -1 + ε 2,t
 ε 1,t 
  ~ IN ( ϑ , Ω )
ε 
 2,t 
 σ 11 σ 12 

Ω= 


 σ 12 σ 22 
►
Se asume que los pará
parámetros (β
(β, γ1, γ2, σ11, σ22, σ12)
tienen variació
variación libre, cumpliendo los requerimientos para
que la matriz de covarianzas de los errores sea definida
positiva. El pará
parámetro de interé
interés es β.
11
EJEMPLO ENGLE ET AL.
Presentació
Presentación del modelo
►
►
Se deduce que yt y zt son tambié
también normales, con
covarianza no nula.
Obsérvese que E[yt/zt,...] = β zt + E [ ε1t /zt ]
►
El segundo término del miembro derecho es distinto de
cero, dado que los errores no son incorrelacionados.
►
El tratamiento de este caso requiere que revisemos
algunos resultados relativos a la distribución normal
multivariante y a sus momentos condicionales.
EJEMPLO ENGLE ET AL.
Normal Multivariante
Sean X1 y X2 dos
variables tales que:
µ 
 X 1,t 
 = µ =  1
E


µ 
 X 2,t 
 2
 X 1,t 
σ σ 
 = Ω =  11 12 
V




 σ 12 σ 22 
 X 2,t 
La f. de densidad condicional de X1 dado X2 es (sin importar
el tipo de distribución):
f ( x1 | x 2 ) =
f ( x1 , x 2 )
f 2 ( x2 )
12
EJEMPLO ENGLE ET AL.
Normal Multivariante
Si X1 y X2 son normales, se tiene la siguiente f.d. conjunta
f ( x1 , x 2 ; θ ) =
(1 - ρ 2 )-1/2
1
x1 - µ 1 2
x2 - µ 2 2
. exp { .[ (
) +(
) 2
2 Π σ 11 σ 22
2 (1 - ρ )
σ 11
σ 22
−2ρ
x1 - µ 1 x 2 - µ 2
σ 11
σ 22
]}
con ρ = σ 12
σ 11 σ 22
Las distribuciones marginales y la condicional son:
X 1 ~ N ( µ 1 , σ 11 )
( X 1| X 2 ) ~ N [ µ1 + ρ
X 2 ~ N ( µ 2 ,σ 22 )
σ 11 (
2
2
X 2 - µ 2 ) , σ 11 ( 1 - ρ )
σ 22
EJEMPLO ENGLE ET AL.
Aná
Análisis del ejemplo.
La forma reducida del modelo antes planteado es:
yt = β γ 1 z t -1 + β γ 2 yt -1 + ε 3,t
z t = γ 1 z t -1 + γ 2 yt -1 + ε 2,t
donde: ε3t = ε1t + β ε2t
Es claro que ε2t y ε3t tienen esperanza nula y varianzas:
 ε 3,t   σ 11 + 2 β σ 12 + β 2 σ 22 σ 12 + β σ 22 

V = 
  

σ 12 + β σ 22
σ 22 
 ε 2,t  
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EJEMPLO ENGLE ET AL.
Aná
Análisis del ejemplo (cont.)
A partir de la forma reducida, puede observarse que yt y zt
siguen una distribució
distribución normal conjunta, donde la matriz
de varianzas y covarianzas es la antes planteada, y sus
esperanzas (condicionales só
sólo a los valores pasados de
ambas variables) son:
µY = E[yt/zt-1,Yt-1,...] = β γ1 zt-1 + β γ2 yt-1
µZ = E[zt/zt-1, Yt-1,...] = γ1 zt-1 + γ2 yt-1
EJEMPLO ENGLE ET AL.
Aná
Análisis del ejemplo (cont.)
Aplicando los resultados encontrados respecto a la normal
multivariante,
multivariante, tenemos que:
σ
E ( yt / zt , ... ) = β γ 1 z t -1 + β γ 2 y t -1 +  12 + β
 σ 22
-

 z t 
σ 12
.γ z − β γ 1 z t -1 + ...
σ 22 1 t -1
De esa manera se obtienen los resultados presentados en
Engle et al: E [ yt / zt, ... ] = b zt + c1 zt-1 + c2 yt-1
donde:
σ
b = β + 12
σ
22
σ
c = - γ 12
i
iσ
22
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EJEMPLO ENGLE ET AL.
Aná
Análisis del ejemplo (cont.)
La varianza condicional es:
2
σ12
V ( yt / zt ,...) = σ = σ11 = σ11(1 - ρ 2 )
σ 22
2
Considérese ahora el modelo de regresión:
yt= b zt + c1 zt-1+ c2 yt-1+ ut donde ut ~ IN( 0 , σ2 )
Analicemos distintos tipos de relación entre yt y zt
i)
ii)
σ12 = 0
σ12 = 0 y γ2 = 0
EJEMPLO ENGLE ET AL.
Aná
Análisis del ejemplo (cont.)
σ12 = 0
Ello implica la incorrelació
incorrelación (independencia) entre
las perturbaciones, pero no entre yt y zt. A
partir del supuesto planteado se observa que:
E [ yt / zt, ... ] = β zt
V [ yt / zt, ... ] = σ11
E [ zt / Zt-1, Yt-1] = γ1 zt-1 + γ2 yt-1
V [ zt / Zt-1, Yt-1] = σ22
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EJEMPLO ENGLE ET AL.
Aná
Análisis del ejemplo (cont.)
σ12 = 0
De esta manera, la densidad condicional de yt respecto de
zt puede factorizarse como un corte secuencial con:
λ1 = ( β , σ11 ) λ2 = ( γ1 , γ2 , σ22 )
Desde el momento en que el pará
parámetro de interé
interés (β
(β) es
una funció
función exclusivamente de λ1, zt es dé
débilmente
exó
exógena respecto de β. Si no se cumple la condició
condición
supuesta (σ
(σ12 ≠ 0), zt no es dé
débilmente exó
exógena
respecto de β, y los estimadores por MCO del modelo
son inconsistentes.
EJEMPLO ENGLE ET AL.
Aná
Análisis del ejemplo (cont.)
σ12 = 0 y γ2 = 0
zt es fuertemente exógena respecto de β
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