Problemas de v.a.

Problemas de v.a.
1.- La duración de un cinescopio de televisión es una v.a. X con función de distribución
FX(t)=1-e-ct, para t>0, siendo c un parámetro que depende del fabricante. Obtener:
a) La función de densidad de X.
b) Calcular la probabilidad de que un cinescopio dure al menos 200 horas.
c) Sabiendo que un cinescopio ha durado 300 horas, calcular la probabilidad de
que dure al menos 200 horas más. Comentar (a) y (b).
d) Hallar la vida media de un cinescopio y su desviación típica.
e) El parámetro de cierto fabricante es c = 1/10000. Obtener la duración del
periodo de garantía (sustitución del cinescopio) que puede ofrecer a sus clientes
si el margen de ganancias con que trabaja no le permite sustituir más del 10% de
los aparatos vendidos.
2.- El contenido en magnesio de una aleación es una v. a. con la siguiente función de
densidad:
f(x) = x/18 si 0≤x≤6
0 resto
El aprovechamiento que se obtiene es Y = 10 + 2X.
a) Encontrar la ley de probabilidad de Y.
b) Hallar E(Y).
3.- Se propone la siguiente función como función de distribución de la v. a. X que
representa el número de litros por m² de lluvia caídos durante un cierto periodo de
tiempo en una región.
F(x) = 1- e-x si x>0
0 en caso contrario
¿Puede aceptarse F(x) como función de distribución? En caso afirmativo hallar la
función de densidad y determinar las siguientes probabilidades:
a) Probabilidad de que no haya precipitación.
b) Probabilidad de que haya una precipitación menor de 2 litros.
c) Probabilidad de que haya una precipitación mayor de 6 litros.
4.- El gerente de una fábrica desconoce la ley de probabilidad del tiempo necesario para
fabricar cierto producto. Sin embargo, por la experiencia anterior conoce que es
simétrica y ha podido estimar la media y la varianza como 14 días y 2 (días)²
respectivamente.
a) Si se quiere que dicho producto esté acabado antes de una fecha determinada
con probabilidad de al menos 0.75, ¿con qué antelación ha de comenzar el proceso de
fabricación?
b) Resolver el mismo problema suponiendo que la distribución es uniforme y
comentar ambos resultados.
5.- La demanda semanal X de un cierto producto se distribuye con función de densidad:
f(x)=1/(1000) e-x/1000 si x>0. El aprovisionamiento del producto para satisfacer la
demanda se hace al principio de la semana. La venta de una cantidad x produce una
ganancia ax, y el sobrante z no es utilizable la semana siguiente, por lo que produce una
pérdida bz. Hallar la cantidad de aprovisionamiento semanal óptimo.
6.- La demanda de líquido anticongelante en un taller es una v. a. X con función de
densidad:
f(x) = 10⁻⁶ si 10⁶<x<2⋅10⁶
0
resto
Donde X está medido en litros. El comerciante gana 0,5€ por cada litro vendido. Pero
lo que le sobra lo debe almacenar para el año siguiente y eso le cuesta 0,25€. Encontrar
el pedido óptimo.
7.-Un autobús pasa por una cierta parada cada 8 minutos los días que funciona sin
retraso. Tales días, un usuario que llega a la parada debe esperar un tiempo que es una
v.a. con función de densidad (tiempo en minutos):
f(x) = 1/8 si 0<x<8
0 en caso contrario
Sin embargo, si el autobús lleva retraso el tiempo de espera se distribuye según:
f(x) = 0.1 e-0.1x si x>0
0 en caso contrario
Sabiendo que uno de cada tres días los autobuses funcionan con retraso, calcular la
probabilidad de que el usuario tenga que esperar más de 5 minutos.
8.- Sea X una v. a. absolutamente continua con función de densidad:
f(x) = K(1+x²) si x ∈ (0,3)
0 en caso contrario
Se pide:
a) Hallar la constante K y la función de distribución.
b) Hallar la probabilidad de que X esté comprendido entre 1 y 2.
c) Hallar la probabilidad de que X sea menor que 1.
d)Sabiendo que X es mayor que 1,hallar la probabilidad de que sea menor que 2.
9.- La función de densidad de una v. a. continua es:
f(x) = ax² + b si x ∈ (0,2)
0
en caso contrario
Sabiendo que p (1/2 < X ≤1) = 0.1357, determinar a y b.
10.- Sea X una variable con las siguientes características: E(X)=5, E(X²)=29
a) Determinar una cota inferior de p(2≤X≤8).
b) Si la densidad de la variable es:
f(x) = k si a < x < b
0 en caso contrario
Hallar p (2≤X≤8).
11.- La demanda diaria para cierto producto es de -1, 0, 1, 2 con probabilidades 1/5,
1/(10), 2/5, 3/10 respectivamente (una demanda de -1 significa una unidad devuelta).
Obténgase la demanda esperada y la varianza. Representar la función de distribución.
12.- El número medio de personas que acuden a un local es 1000 con σ =20. ¿Cuál es el
número de sillas necesarias para asegurar que todos los asistentes puedan sentarse con
probabilidad 0. 75?
13.- La función de distribución de una v. a. X está dada por:
FX(t) = 0
si t≤0
1-e-b/0.04 si t>0
Considérese la v. a. Y = Ln (X). Determinar la función de densidad de Y.
14.- Supongamos que X es una v. a. continua con función de distribución FX. Sea
Y =(X-k)/a, donde a>0 y k es una constante. Hallar la función de distribución y de
densidad de Y.
15.- En un kiosco se ha observado que la demanda de un determinado periódico toma
los valores 101,.........,200 con p =1/100 cada uno. Cada periódico cuesta 0,6€ y se
vende a 1€. Encontrar el pedido óptimo.
16.- Sea X una v. a. continua con función de densidad:
f(x) = 2xe-x² si x≥0
0
resto
Sea Z = X² encontrar la ley de Z.
17.- Se toma al azar un punto P en una semicircunferencia de radio r. Hallar la media
del valor de la cuerda PA, siendo A uno de los extremos de la semicircunferencia.
18.- En el sistema de coordenadas OXY, hay situado en el punto A = (1,0) un emisor de
partículas que salen en dirección al eje OY con un ángulo aleatorio uniforme entre -π/2
y π/2. Hallar la ley de probabilidad de la distancia desde el origen O hasta el punto de
impacto de la partícula en el eje OY.