Reporte 1 - U

Departamento de Ciencia de los Materiales
Semestre Primavera 2013
Reporte 1
CM4202
Indexación de patrones de
difracción
Alumno:
Paulo Arriagada
Profesor:
Edgar Mosquera
Auxiliar:
Francisco Sepúlveda
Fecha entrega:11 octubre 2013
Introducción
La Microscopía electrónica de transmisión (TEM) se basa en un haz de electrones que, manejado a
través de lentes electromagnéticas, se proyecta sobre una muestra muy delgada situada en una
columna de alto vacÍo. Hay electrones que atraviesan la muestra y otros que chocan con átomos de
ella y son absorbidos o dispersados en diferentes direcciones. De acuerdo con ello, se pueden
obtener diferentes datos sobre la muestra, realizando estudios sobre la morfología, la estructura y
la composición.
Existen dos modos de imagen en un TEM: el de campo claro, y el de campo oscuro. En el primero,
la imagen se obtiene con el haz que incide directamente en la muestra, mientras que en el segundo
se obtiene sin necesidad del haz incidente.
Además, se obtienen datos adicionales mediante técnicas complementarias al TEM, entre las que
se encuentran la espectroscopía de energía dispersiva de rayos X (XEDS, para la caracterización
química), la espectrometría por pérdida de energía de electrones (EELS), HAADF (ambas para
caracterización química) y difracción de electrones.
Particularmente, la difracción de electrones se basa en la dispersión elástica de los electrones. Es un
fenómeno físico que se produce en las ondas cuando se distorsionan por un obstáculo que tenga
dimensiones con la longitud de onda 𝜆 de la onda.
En 1913, H. W. y W. L. Bragg descubrieron que la disposición regular de los átomos en un cristal
simple podría entenderse como una matriz de elementos reticulares en planos reticulares paralelos.
Entonces, al exponer esta red cristalina a rayos X monocromáticos o electrones monoenergéticos y,
además, suponiendo que éstos tienen una naturaleza ondulatoria, cada elemento en un plano
reticular actúa como un “punto de dispersión”, en el cual se forma un tren de ondas esféricas. Según
el principio de Huygens, estos trenes de ondas esféricas se superponen y crean un frente de ondas
“reflejado”. En este modelo, la longitud de onda λ no se modifica respecto del frente de onda
“incidente”, y las direcciones de las radiaciones que son perpendiculares a los dos frentes de onda
cumplen con la condición “ángulo de incidencia = ángulo de reflexión”. En los rayos vecinos
reflejados en los planos reticulares individuales se genera una interferencia constructiva cuando las
diferencias de trayectoria ∆ = ∆1 + ∆2 = 2⋅d⋅sinϑ son múltiplos enteros de la longitud de onda λ (Fig.
1).
Figura 1: Representación esquemática de la condición de Bragg.
Finalmente, se tiene la ley de Bragg:
2 ∗ d ∗ 𝑠𝑖𝑛(ϑ) = λ
1
De la figura 2, se tiene que:
D
𝑡𝑎𝑛(2ϑ) = 2L
2
Para ángulos pequeños y reemplazando en la ecuación de Bragg, se tiene que:
λ=d∗
D
2L
=d∗
R
L
3
Donde 𝜆: 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑦𝑜 𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑑: 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑝𝑙𝑎𝑛𝑎𝑟
𝐷: 𝐷𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑛𝑖𝑙𝑙𝑜
𝐿: 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑐á𝑚𝑎𝑟𝑎
𝑅: 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑛𝑖𝑙𝑙𝑜
Figura 2: Representación esquemática de la cámara.
Como utilidad, se tienen las siguientes relaciones para trabajar con vectores.
Para sacar el ángulo que hay entre dos vectores:
𝑐𝑜𝑠(α) =
h1 ∗h2 +k1 ∗k2 +l1 ∗l2
√h21 +k21 +l21 ∗√h22 +k22 +l22
4
Resultados
P1
a)
b) Según bibliografía, un BCC en el espacio real corresponde a un FCC en el espacio recíproco; un SC
real corresponde a un SC en el recíproco y un FCC en el real corresponde a un BCC en el recíproco.
C) Para una celda cúbica se tiene que:
𝑑ℎ𝑘𝑙 =
𝑎
√ℎ2 + 𝑘 2 + 𝑙 2
Luego, conociendo los 𝑑ℎ𝑘𝑙 a través de la ecuación 3 con las relaciones dadas, y los planos indexados,
se puede calcular el parámetro de red “a”.
P2
Tabla 1: Indexación de los anillos para el patrón de difracción a).
Anillo
1
2
3
4
(h k l)
(220)
(311)
(222)
(400)
Tabla 2: Indexación de los anillos para el patrón de difracción b).
Anillo
1
2
3
(h k l)
(111)
(200)
(220)
Figura 3: Patrón de difracción a).
Figura 4: Patrón de difracción b).
Luego, aplicando la ecuación 3, se tienen las longitudes de cámara de los patrones.
Tabla 3: Longitudes de cámara para los patrones
Patrón
a
b
Longitud de cámara L [m]
1,53
2,98
P3
Tabla 4: Valores del espacio interplanar promedio para el difractograma de la pregunta
1
2
d [nm]
0,294
0,417
ϑ [°]
11
7,74
2ϑ [°]
22
15,48
(h k l)
(1 0 1)
(0 0 2)
Luego, ocupando la fórmula 4, se tiene el ángulo α entre los dos vectores que determinan los planos.
𝛼 = 45°
Discusión
Para la obtención de los índices de Miller correspondiente a 𝑅3 en la pregunta 1, se sacó el valor de
𝑅1 desde el plano correspondiente (211), y se dividió por 1,15, que era la razón. No se obtuvo un
valor cuadrado perfecto, por lo que se aproximó, en este caso a 5, y por eso se obtuvo el plano
correspondiente a 𝑅3 como (012). Esto conlleva a un error, pues los ángulo medidos por la ecuación
4 entre 𝑅1 𝑦 𝑅3 , 𝑦 𝑅3 𝑦 𝑅2 no suman 90°. Esto se debe a la aproximación que se hizo.
Los valores de la indexación en la pregunta 2 fueron sacados midiendo en la imagen con una regla,
y luego se sacaron los ratios y se compararon con los ratios de la tabla adjunta en la pregunta
(Anexos). Luego, se sacó una longitud de cámara promedio según la fórmula 3 para cada R y d,
conociendo la longitud de onda λ. Los posibles errores de medición pudieron afectar al cálculo de L.
Sin embargo los valores obtenidos se acercan bastante a la aproximación que sale en los patrones
de difracción.
Para la pregunta 3, también se calculó con una regla la cantidad de distancias interplanares en los 5
[nm], lo cual también está sujeto a errores, pues depende bastante del ojo del observador. Sin
embargo, al compararlo con el gráfico del patrón XRD, los valores obtenidos para los ángulos se
acercan a valores mostrados en el patrón.
Fuera de los posibles errores de medición, los valores obtenidos concuerdan bastante con la
realidad.
Conclusión
El objetivo principal de saber indexar se cumplió a cabalidad, pues la consulta bibliográfica fue
bastante alta para aprender a hacerlo de manera correcta.
Además, los valores se acercan a lo propuesto, particularmente calzan con lo esperado.
Anexos
1. Las siguientes tablas muestran los ratios del radio entre los distintos planos para las distintas
configuraciones FCC y BCC.
Tabla 5: Ratios de (kkl) para FCC
hkl
h2k2l2
111
200
220
311
222
400
3
4
8
11
12
16
1,73
2,00
2,83
3,32
3,46
4,00
N
h1k1l1
raiz(N)
111
3
1,73
1,00
0,87
0,61
0,52
0,50
0,43
200
4
2,00
1,15
1,00
0,71
0,60
0,58
0,50
220
8
2,83
1,63
1,41
1,00
0,85
0,82
0,71
311
11
3,32
1,91
1,66
1,17
1,00
0,96
0,83
222
12
3,46
2,00
1,73
1,22
1,04
1,00
0,87
400
16
4,00
2,31
2,00
1,41
1,21
1,15
1,00
Tabla 6: Ratios de (hkl) para BCC
hkl
h2k2l2
110
200
211
220
310
222
2
4
6
8
10
12
1,41
1,00
1,41
1,73
2,00
2,24
2,45
2,00
0,71
1,00
1,22
1,41
1,58
1,73
2,45
0,58
0,82
1,00
1,15
1,29
1,41
2,83
0,50
0,71
0,87
1,00
1,12
1,22
3,16
0,45
0,63
0,77
0,89
1,00
1,10
3,46
0,41
0,58
0,71
0,82
0,91
1,00
N
h1k1l1
110
200
211
220
310
222
2
4
6
8
10
12
raiz(N)
1,41
2,00
2,45
2,83
3,16
3,46
2.
Tabla 7: Ratios de radios medidos para el patrón a) de la pregunta 2
Dato
1
2
3
4
R_med [mm]
26,6
31
34,3
37,4
Ri/R1
1,00
1,17
1,29
1,41
Tabla 8: Ratios de radios medidos para el patrón b) de la pregunta 2
Datos
1
2
3
R_med [mm]
32,2
36,5
52,9
Ri/R1
1,00
1,13
1,64
Tabla 9: Ratio para la configuración FCC que se compararon con las dos tablas anteriores
Las comparaciones están en el color correspondiente
N
3
4
8
11
12
16
N
raiz(N)
1,73
2,00
2,83
3,32
3,46
4,00
3
1,732
1,00
1,15
1,63
1,91
2,00
2,31
4
2,00
0,87
1,00
1,41
1,66
1,73
2,00
8
2,83
0,61
0,71
1,00
1,17
1,22
1,41
11
3,32
0,52
0,60
0,85
1,00
1,04
1,21
12
3,46
0,50
0,58
0,82
0,96
1,00
1,15
16
4,00
0,43
0,50
0,71
0,83
0,87
1,00
Bibliografía
-
Basic Crystallography and Electron Diffraction from Crystals. Lectura 13 [Online] <
http://nstg.nevada.edu/TEM/CHEM793_08/Lecture_13_1-CHEM793.pdf> [Consulta 01
de octubre].
-
Difracción de electrones en una red policristalina. Física atómica y nuclear. LD Didactic
GmbH Leyboldstrasse. [online] <http://fisicaexpdemostrativos.uniandes.edu.co/PDF/
Difraccion%20de%20electrones%20en%20una%20red%20policristalina.pdf> [Consulta: 01
de octubre].
González, C. Indexación de diferentes Patrones de Difracción para el NaCl. [online] <
http://es.scribd.com/doc/59921436/Indexacion-de-diferentes-Patrones-de-Difraccionpara-el-NaCl> [Consulta: 01 de octubre].
Martins, J. A comparative study on the performance of radiation detectors from the HgI2
crystals grown by different techniques. [online] <http://www.nukleonika.pl/www/back/
full/vol57_2012/v57n4p555f.pdf> [Consulta: 01 de octubre].
Mosquera, E. Lectura Microscopía TEM. Clases U-cursos. [online] <https://www.ucursos.cl/ingenieria/2013/2/CM4202/1/material_docente/objeto/772266> [Consulta: 01
de octubre].
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