fundamentos físicos de la ingenieria cuarta sesión de prácticas

DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AGRÓNOMOS Y DE MONTES
UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA
FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERIA
CUARTA SESIÓN DE PRÁCTICAS
10.- Diagrama esfuerzo-deformación
11.-
Principio de Arquímedes. Aplicación a la
determinación de densidades de sólidos y líquidos
12.- Viscosidad (método de Stokes)
10 .- Diagrama esfuerzo-deformación
Objeto:
Verificar la ley de Hooke para esfuerzos tensores. Determinar el
módulo de Young, el límite de proporcionalidad y el esfuerzo de rotura
de un material.
Material:
Prensa hidráulica provista de micrómetro. Probetas. Calibrador.
Fundamento:
Cuando sometemos un sólido a la acción de fuerzas exteriores, sus partículas se
desplazan ligeramente de sus posiciones iniciales hasta que se establece un nuevo
equilibrio entre las fuerzas interiores (a nivel atómico-molecular) y las fuerzas
aplicadas. El cuerpo se deforma y mantendrá la deformación en tanto que sigan
actuando las fuerzas exteriores. Si la intensidad de las fuerzas exteriores va
disminuyendo gradualmente, las fuerzas interiores tenderán a restituir las posiciones
iniciales de las partículas y el cuerpo puede llegar a recuperar su forma inicial. Si
cuando cesan las fuerzas exteriores el cuerpo recupera su forma y dimensiones
originales, decimos que ha experimentado una deformación elástica; en caso contrario,
decimos que ha experimentado una deformación plástica. Que la deformación sea de
uno u otro tipo depende de la naturaleza del cuerpo y del grado de deformación al que
haya estado sometido. Si las propiedades de recuperación se mantienen en una gran
amplitud de acciones deformantes, decimos que el cuerpo es plástico.
Para estudiar las propiedades elásticas de los materiales debemos recurrir a la
experimentación. Un modo sencillo de proceder consiste en aplicar fuerzas tensoras
conocidas entre los extremos de una varilla (probeta) y medir las deformaciones
longitudinales que se producen. Supongamos que aplicamos una fuerza tensora F a una
probeta de sección S y longitud natural l0, que produce un alargamiento ∆l de la probeta;
definimos el esfuerzo tensor o tensión (σ) y la deformación unitaria longitudinal (ε)
como:
σ=
F
S
ε=
∆l
l0
(10.1)
Si aplicamos una fuerza tensora progresivamente creciente y representamos ε
versus σ, obtenemos un diagrama esfuerzo-deformación. Estos diagramas pueden ser
muy variados en cuanto a su aspecto. En la figura adjunta hemos representado el
diagrama característico de un material dúctil, como el acero, el cobre, ... Observamos en
dicho diagrama que en el primer tramo, el esfuerzo es directamente proporcional a la
deformación; esto es,
σ ∝ε
10-1
(10.2)
σ
σrot
C
σflu
B
σel
σpr A
D
E
resultado experimental que constituye la
ley de Hooke. Esta ley tan sólo es
aplicable para pequeñas deformaciones
unitarias, hasta que se alcanza el punto A
o límite de proporcionalidad.
Formación del
huso y rotura
Una vez que sobrepasamos el
límite de proporcionalidad, la relación
entre el esfuerzo y la deformación deja de
ser lineal y entramos en la zona en la que
la representación gráfica de σ versus ε es
zona
zona
plástica
O elástica
ε una línea curva. Así pues, entre los
puntos A y B la relación entre el esfuerzo
y la deformación no es lineal. No
Figura 10-1
obstante, si disminuimos gradualmente la
intensidad de la fuerza tensora, cuando nos encontramos en un punto cualquiera entre O
y B, la curva se recorre en sentido contrario y la probeta recobra su longitud inicial. En
el tramo OB el material presenta un comportamiento elástico; el punto B recibe el
nombre de límite elástico.
Si seguimos aumentando gradualmente el esfuerzo por encima del límite
elástico, la deformación unitaria aumenta con mayor rapidez. Si una vez superado el
límite elástico disminuimos gradualmente el esfuerzo tensor aplicado a la probeta, el
punto representativo sobre el diagrama no recorrerá en sentido inverso la misma curva y
la probeta no recuperará su longitud inicial, sino que conservará una cierta deformación
permanente en ausencia de esfuerzo. Así pues, cuando el material se somete a esfuerzos
superiores al correspondiente al límite elástico, presenta un comportamiento plástico.
El punto C representa el límite de fluencia. A partir de este punto se producen en
el material alargamientos considerables sin aumento significativo en los esfuerzos. Es
como si el material fluyera.
Aumentando progresivamente el esfuerzo que soporta la probeta, llegaremos
hasta el punto representativo D, llamado límite de rotura, al que corresponde un
esfuerzo denominado esfuerzo de rotura o resistencia a la tracción, a pesar de que la
rotura se produce poco después, punto E, cuando el material sufre un alargamiento
significativo localizado en una pequeña porción de la probeta. Entonces, se forma una
pequeña garganta o huso, reduciéndose rápidamente la sección transversal; la
deformación plástica, que se repartía en un principio a lo largo de toda la probeta, se
concentra en esa zona y da lugar a la estricción, el esfuerzo disminuye y la probeta se
rompe.
El gráfico anterior no refleja exactamente lo que ocurre en la realidad ya que los esfuerzos
tensores los hemos calculado dividiendo la fuerza F ejercida por la sección inicial que tenía la probeta;
pero esta sección ha ido disminuyendo al estirarse la probeta, lo que hace que los esfuerzos anotados en el
diagrama sean ligera y progresivamente inferiores a los que realmente está soportando el material,
sobretodo en la fase final cuando se produce la estrición del material. A pesar de ello, se prescinde de este
pequeño error y es en esta forma en la que habitualmente se representan los diagramas esfuerzodeformación.
La gráfica esfuerzo-deformación en la zona de elasticidad proporcional es lineal,
por lo que su ecuación analítica, que constituye la ley de Hooke, será:
σ =Eε
10-2
(10.3)
siendo E una constante llamada módulo de elasticidad longitudinal o módulo de Young,
que es característico de cada material y tiene las mismas dimensiones que el esfuerzo.
Método:
d
(i)
Con el calibrador, medir el diámetro y la
longitud de la probeta. (Figura 10-2)
(ii) Colocar la probeta en la prensa hidráulica.
(Figura 10-3).
l0
(iii) Cerrar la válvula de la prensa hidráulica y
elevar el plato hasta que la probeta esté bajo Figura 10-2. Esquema de probeta para el ensayo
tensión-deformación.
tensión.
(iv) Ajustar el cero del micrómetro.
(v) Aumentar ligera y progresivamente la tensión y leer
pares de valores fuerza-deformación (por ejemplo
cada 25 kp hasta 200 kp y desde este momento hasta
la rotura cada vez que la deformación aumenta entre
10 y 15 centésimas de mm).
Presentación de resultados:
a)
b)
c)
Con los resultados obtenidos calcular los esfuerzos
y las deformaciones unitarias.
Figura 10-3
Dibujar
el
diagrama
esfuerzo-deformación
correspondiente en papel milimetrado.
Determinar el límite de proporcionalidad, el módulo de Young y el esfuerzo de
rotura del material de la probeta.
Cálculos y Resultados:
10-3
Longitud de la probeta: l0 (mm) =
Sección (mm2) =
Diámetro de la probeta: d (mm) =
Deformación
Fuerza Deformación Esfuerzo
2
(mm)
(kp/mm
)
unitaria
(kp)
Deformación
Fuerza Deformación Esfuerzo
2
(mm)
(kp/mm
)
unitaria
(kp)
σ
ε
Límite de proporcionalidad
Módulo de Young
Esfuerzo de rotura
10-4
Cuestiones:
1. Una varilla de cobre de 10 cm de longitud y 3 mm de diámetro se somete a una
fuerza de tracción F. Las características elásticas del material son:
-
Límite elástico 8·107 N/m2
-
Módulo de Young 1.1·1011 N/m2
-
Tensión de rotura 2.4·108 N/m2
Determinar:
a) El valor máximo de F que puede aplicarse para que, cuando cese la fuerza, la
varilla recobre su longitud inicial.
b) El incremento de longitud de la varilla cuando F es 400N.
c) ¿Se podría calcular el alargamiento de la varilla al aplicar una fuerza el doble
de la calculada en el apartado a)? Explique su respuesta.
10-5
11 .- Principio de Arquímedes. Aplicación a la
determinación de densidades de sólidos y líquidos
Objeto:
Verificar el principio de Arquímedes. Determinar la densidad de un
sólido mediante doble pesada. Determinar la densidad de un líquido
respecto a otro de referencia.
Material:
Balanza de 1 g de precisión. Dinamómetro. 2 vasos de precipitado
conteniendo uno agua destilada y el otro agua salina. 2 probetas de
0.5 l con los mismo líquidos. Densímetro. Un sólido cuya densidad
vamos a determinar.
Fundamento:
Principio de Arquímedes
Cuando un objeto sumergido se pesa
suspendiéndolo de un dinamómetro, la
lectura del dinamómetro (peso aparente) es
inferior al peso del objeto (Figura 11-1).
Esto se conoce como Principio de
Arquímedes, que puede enunciarse como:
a)
b)
Todo cuerpo parcial o totalmente
sumergido en un fluido experimenta
una fuerza ascensional igual al peso
del fluido desplazado.
El principio de Arquímedes puede
deducirse determinando el empuje total,
debido a la presión, que el fluido ejerce
sobre la superficie que delimita el sólido
(Figura 11-2).
Pa
E
P
P = Pa+E
Figura 11-3
m
m
Figura 11-1
El diagrama de cuerpo libre del sólido
sumergido se representa en la Figura 11-3,
donde P es el peso real del sólido, el medido con
el dinamómetro al aire; Pa es el peso aparente y
E el empuje. El equilibrio de fuerzas que existe
nos permite escribir:
Σ Fy = 0 ⇒ Pa + E − P = 0 ⇒ E = P − Pa
11-1
m
Figura 11-2
(11.1)
El empuje del líquido
puede determinarse mediante
la doble pesada indicada en la
Figura 11-1.
a)
Consideremos
ahora
un
recipiente con un líquido
sobre una balanza (Figura
11-4a). Si introducimos en él
un sólido (Figura 11-4b) la
lectura de la balanza aumenta
en una cantidad igual al peso
del líquido desalojado y por
lo tanto igual al empuje.
b)
Figura 11-4
E = ( L2 − L1 ) g
(11.2)
Densidad de sólidos
Como es bien sabido la densidad de un cuerpo, ρ, es el cociente entre su masa y
el volumen que ocupa.
ρ=
m
V
(11.3)
Cuando el sólido tiene una forma regular puede calcularse su volumen a partir de
las medidas de sus dimensiones, en caso contrario puede determinarse dicho volumen
utilizando el principio de Arquímedes.
Teniendo en cuenta el enunciado hecho anteriormente:
E = ρ f Vs g
(11.4)
siendo ρf la densidad del fluido, Vs el volumen del sólido y g la aceleración de la
gravedad.
Teniendo en cuenta también la expresión (11.1) el volumen del sólido será
Vs =
P − Pa
E
=
ρfg
ρf g
(11.5)
P
ρf
P − Pa
(11.6)
y la densidad:
ρ=
Densidad de líquidos
La densidad relativa de un líquido puede determinarse utilizando el principio de
Arquímedes. Para ello no hay más que medir el peso aparente de un sólido cualquiera en
el líquido de referencia (generalmente agua destilada) y en el líquido problema.
11-2
El empuje en el líquido de referencia será:
E 0 = ρ 0Vs g
(11.7)
E = ρ Vs g
(11.8)
y en el líquido problema
Dividiendo (11.8) entre (11.7)
E
ρ Vs g
=
E 0 ρ 0Vs g
⇒
ρ
E
=
ρ 0 E0
(11.9)
Siendo la densidad del líquido:
ρ = ρ0
E
E0
(11.10)
Densímetro
El densímetro es un sencillo aparato que se basa en el principio de Arquímedes y
sirve para medir densidades de líquidos. Consta de un bulbo de vidrio lastrado con
perdigones, que termina en un vástago con una escala previamente calibrada. Con el
lastre se asegura que el centro de gravedad del densímetro queda por debajo del centro
de cárena y por lo tanto se asegura la verticalidad del aparato cuando flota en un líquido.
El aparato se calibra marcando sobre la varilla
la posición de la superficie libre cuando flota en un
líquido de densidad conocida. El aparato se hundirá
una distancia h cuando se introduzca en un líquido
menos pesado y al contrario, emergerá al introducirlo
en un líquido menos denso.
Estableciendo el equilibrio del densímetro en
ambos líquidos puede deducirse la relación entre la
distancia entre las marcas de la escala y las densidades
de los líquidos.
h
ρ0
ρ
Figura 11-5
Sea:
V0
el volumen sumergido del densímetro en el líquido de referencia
S
la sección externa del vástago
ρ0 y ρ las densidades del líquido de referencia y el líquido problema,
respectivamente
Consideremos en primer lugar el densímetro en el líquido de referencia. El peso del
densímetro ha de ser igual al empuje del líquido:
mg = ρ 0V0 g
(11.11)
Considerando ahora el densímetro en el líquido problema:
mg = ρ (V0 + hS ) g
Obteniéndose:
11-3
(11.12)
h=
m 1 1 
 − 
S  ρ ρ0 
(11.13)
mρ 0
Sh ρ 0 + m
(11.14)
y por lo tanto
ρ=
Método:
Determinación de la densidad de un sólido
(i)
Determinar la masa del sólido con la balanza y anotarla.
(ii)
Colgarlo del dinamómetro y observar como cambia la lectura en el mismo al
sumergir el sólido en un líquido.
(iii) Colocar sobre la balanza el vaso con agua destilada y poner a cero el aparato.
(iv) Introducir cuidadosamente el sólido en el líquido, sin que toque el fondo ni las
paredes, y anotar la lectura de la balanza.
(v)
Determinar la fuerza del empuje del agua destilada sobre el sólido.
(vi) Determinar la densidad del agua destilada a la temperatura del laboratorio
interpolando en la TABLA I
(vii) Calcular el volumen del sólido y su densidad.
Determinación de la densidad de un líquido
(viii) Repetir los pasos (iii) (iv) y (v) con el líquido problema (agua salina).
(ix) Determinar la densidad del líquido problema utilizando la ecuación (11.10) y el
valor de la densidad del agua destilada calculada en (vi).
(x)
Comprobar el resultado obtenido con el densímetro.
TABLA I
Densidad del agua destilada en función de la temperatura.
T(º C)
ρ (g/cm3 )
0
0,9998
45
0,9902
5
1,0000
50
0,9881
10
0,9997
55
0,9857
15
0,9991
60
0,9832
T (º C)
11-4
ρ (g/cm3 )
20
0,9982
65
0,9806
25
0,9970
70
0,9778
30
0,9956
75
0,9749
35
0,9941
80
0,9718
40
0,9922
TABLA II
Densidades de algunas sustancias
Sustancia
Densidad en kg/m3
Densidad en g/c.c.
Agua
1000
1
Aceite
920
0,92
Gasolina
680
0,68
Plomo
11300
11,3
Acero
7800
7,8
Mercurio
13600
13,6
Madera
900
0,9
Aire
1,3
0,0013
Butano
2,6
0,026
Dióxido de carbono
1,8
0,018
Resultados:
Masa del sólido: m =
Lectura de la balanza con el sólido en agua destilada: L0 =
Fuerza de empuje en agua destilada: E0 =
Temperatura: t =
Densidad del agua destilada: ρ0 =
Volumen del sólido: V =
Densidad del sólido: ρs =
Lectura de la balanza con el sólido en el agua salina: L1 =
Fuerza de empuje en el agua salina: E1 =
Densidad del agua salina, Eq. (11.10): ρ1 =
11-5
Lectura del densímetro:
Cuestiones:
(1) ¿Qué indicaría la lectura de la balanza utilizada en la práctica si el sólido se deja
depositado sobre el fondo del vaso que contiene el agua?
(2) Un densímetro de 55 g de masa acaba en un tubo de 0.5 cm2 de sección. Si se
sumerge en agua el nivel del líquido alcanza la señal indicada con 1.00. Al sumergirlo
en otro líquido el densímetro se sumerge 1.5 cm. ¿Cuál es la densidad de este líquido?
(3) Un sólido está suspendido de un dinamómetro y tiene una masa de 150 g. Cuando se
introduce el sólido en agua destilada la lectura del dinamómetro es 120 g. Determinar el
volumen y la densidad del sólido en unidades del S.I.
11-6
12 .- Viscosidad (método de Stokes)
Objeto:
Determinación del coeficiente de viscosidad de un líquido por el
método de Stokes.
Material:
Probeta de unos 40 a 60 cm de altura, con dos marcas de nivel
separadas por una distancia de al menos 40 cm. Líquido problema
(glicerina, aceite de motor, ...) Esferas de acero calibradas, con un
diámetro no superior a 2 mm (son muy apropiadas las bolas de acero
de los rodamientos pequeños). Cronómetro. Calibrador o Palmer.
Regla graduada en milímetros. Pinzas de madera para manejar las
esferas.
Fundamento:
Arrastre. Ley de Stokes.- El arrastre que experimenta un cuerpo en movimiento
relativo en el seno de un flujo resulta muy difícil de determinar analíticamente, ya que
depende de factores tales como la transición del régimen laminar al turbulento en la
capa límite y de la separación de ésta respecto de la superficie del cuerpo, por citar
solamente dos dificultades. Por eso es necesario recurrir básicamente a la adquisición de
datos experimentales y, con esta finalidad, es costumbre expresar el arrastre en la forma
1

FD = C D  ρV 2  A
 2

(12.1)
donde V es la velocidad relativa del cuerpo en el fluido (o la velocidad de corriente
libre, en el caso de un cuerpo estacionario en un flujo), A es el área característica (que es
generalmente el área de la sección transversal máxima que el cuerpo ofrece al flujo), ρ
es la densidad del fluido y CD es un parámetro empírico adimensional que recibe el
nombre de coeficiente de arrastre, cuyo valor depende de la forma del cuerpo y de la
orientación del mismo respecto al flujo, así como del valor del número de Reynolds
asociado al flujo alrededor del cuerpo.
Para analizar, aunque sólo sea cualitativamente, ciertas características
sobresalientes del coeficiente de arrastre, vamos a considerar el caso de una esfera que
se mueve en el seno de un fluido. En este caso, al arrastre total contribuyen el arrastre
de fricción y al arrastre de presión. En la Figura 12-1 hemos representado gráficamente
la dependencia del coeficiente de arrastre CD con el número de Reynolds ℜ, definido
por
ℜ=
ρ DV
η
12-1
(12.2)
Figura 12-1
siendo ρ la densidad del fluido, D el diámetro de la esfera y η el coeficiente de
viscosidad dinámico. Como podemos apreciar, el coeficiente de arrastre varía de una
forma complicada, lo que nos pone sobre aviso de que algo interesante y complicado
ocurre en el flujo.
Para valores bajos del número de Reynolds (ℜ<1) no se produce separación del
flujo; en estas condiciones, sólo existe arrastre de fricción o viscoso sobre la esfera. La
resolución de la ecuación de Navier-Stokes para el flujo incompresible alrededor de la
esfera, despreciando las fuerzas inerciales frente a las fuerzas viscosas, conduce a la
expresión
FD = 3πη DV
(12.3)
que fue deducida en 1845 por el físico irlandés Sir George STOKES (1819-1903) y que,
en su honor, es conocida como ley de Stokes. Esta ley establece que la fuerza de arrastre
que experimenta la esfera, cuando ℜ = ρDV/η < 1, es proporcional a la viscosidad del
fluido, al diámetro de la esfera y a la velocidad relativa de la misma en el seno del
fluido. La fórmula (12.3) tiene numerosas aplicaciones; por ejemplo, se la utiliza en la
experiencia de MILLIKAN para la determinación de la carga eléctrica del electrón y en la
medida del coeficiente de viscosidad de líquidos muy viscosos. Teniendo en cuenta la
definición (12.1) del coeficiente de arrastre, puede comprobarse fácilmente que
CD =
24
ℜ
para ℜ <1
(12.4)
para el caso de una esfera, lo que concuerda excelentemente con los resultados
experimentales, como puede observarse en la Figura 12-1.
A medida que se aumenta el valor del número de Reynolds, hasta aproximadamente ℜ ≈ 1000, el
coeficiente de arrastre decrece continuamente, pero mucho más lentamente de lo que predice la ley de
Stokes. Esto es así como consecuencia de la separación del flujo respecto de la superficie de la esfera, lo
que da lugar a la formación de vórtices o remolinos turbulentos detrás de la esfera; dichos remolinos
poseen una energía cinética de rotación que toman de la energía cinética de la esfera, que de este modo se
verá disminuida. Esos remolinos originan una estela turbulenta detrás de la esfera al ser arrastrados por la
corriente. Así pues, en estas condiciones, el arrastre total sobre la esfera resulta ser la combinación del
12-2
arrastre de fricción y del arrastre de presión. La contribución del arrastre de fricción al arrastre total
disminuye cuando aumenta el número de Reynolds; así, para ℜ ≈ 1000, el arrastre de fricción representa
aproximadamente el 5% del arrastre total.
En el intervalo 103<ℜ<2×105, el coeficiente de arrastre permanece prácticamente constante. Para
un valor de ℜ≈2×105, el coeficiente de arrastre experimenta una disminución brusca, cuya explicación
cualitativa radica en el transición que se produce desde el régimen laminar al turbulento en la capa límite.
La capa limite turbulenta puede penetrar más en el gradiente adverso de presión en la parte posterior de la
esfera, de modo que la separación del flujo se retrasa bruscamente a una posición más posterior sobre la
superficie de la esfera; en consecuencia, el espesor de la estela y el arrastre disminuyen notablemente.
Para ℜ>4×105, el valor del coeficiente de arrastre aumenta en forma irregular con el número de Reynolds.
Movimiento de la esfera.- Consideremos una esfera que cae en el seno de un
líquido viscoso. Las fuerzas que actúan sobre ella (Figura 12-2) son: su peso (mg), el
empuje hidrostático (FE) y la fuerza de arrastre (resistente) de origen viscoso (FD).
Escribimos la ecuación diferencial del movimiento en la forma
FE
mg − F − F = ma
(12.5)
F
E
D
D
Como consecuencia de la aceleración que adquiere la esfera, su
velocidad aumenta inicialmente. Sin embargo, en virtud de que la
fuerza de arrastre FD crece con la velocidad, la esfera llegará a alcanzar
una velocidad tal que la fuerza peso quede contrarrestada por el empuje
hidrostático más la fuerza de arrastre. Entonces, la aceleración será nula
y la velocidad dejará de aumentar; i.e., la esfera se moverá con una
velocidad constante que se denomina velocidad límite.
v
mg
Figura 12-2
Sean δ la densidad de la esfera y ρ la densidad del líquido. El peso de la esfera y
el empuje hidrostático sobre ella serán:
4
mg = π r 3δ g
3
4
FE = π r 3 ρ g
3
(12.6)
de modo que la condición de velocidad límite, i.e., mg = E E + E D , se escribe en la
forma
4 3
π r (δ − ρ ) g = 6π η r vlim
3
⇒ vlim =
2r 2 g
η
(δ − ρ )
(12.7)
relación que se cumple siempre que la velocidad sea suficientemente pequeña como
para que el régimen sea laminar.
La relación (12.7) nos permite determinar el coeficiente de viscosidad de un
líquido muy viscoso a partir de la medida experimental de la velocidad límite de caída
de pequeñas esferas lisas en su seno.
En todo rigor, la expresión (12.7) tan sólo es válida para esferas lisas que se
mueven lentamente en el seno de un líquido de extensión indefinida. En las condiciones
en que planteamos nuestra experiencia, deberemos efectuar ciertas correcciones.
a) Corrección relativa a la longitud del tubo, ya que la esfera tiende
asintóticamente a la velocidad límite. En las condiciones en las que planteamos esta
experiencia, dicha corrección es despreciable (vide Cuestión 4).
12-3
b) El influjo de las paredes del tubo ocasiona una disminución en la velocidad de
caída. Si llamamos vm a la velocidad medida, la velocidad límite corregida de este
efecto es

r
vlim = 1 + 2.4  v m

R
(12.8)
(corrección de LADENBURG) donde r es el radio de la esfera y R es el radio del tubo.
Además, puesto que la viscosidad depende de la temperatura, será necesario
especificar la temperatura del líquido en el momento en que se hace la determinación de
su viscosidad.
Método:
(a) Medidas preliminares.
Para determinar el coeficiente de viscosidad del líquido problema necesitamos,
además de la velocidad de caída de las esferas, los datos siguientes,
δ
densidad de las esferas: 7.800 kg/m3
r
radio de las esferas
ρ
densidad del líquido problema, en este caso glicerina.
R
radio de la probeta
l
distancia de caída
Si estos datos no son conocidos, el alumno deberá obtenerlos realizando las siguientes
medidas.
(i) Medir con el calibrador o el palmer los diámetros de cinco esferas (de cada tipo, si
los hubiera). Se tomará como valor del radio r (para todas las esferas del mismo tipo) el
valor medio de las cinco medidas. Calcular el volumen medio de cada tipo de esfera.
(ii) Determinar la masa conjunta de cinco esferas de un mismo tipo (utilizar la balanza
de precisión del laboratorio). Calcular la densidad de éstas.
(iii) Medir el diámetro interno de la probeta (con un calibre).
(iv) Medir la distancia entre las marcas de la probeta.
(v) Determinar la densidad del líquido problema a la temperatura de la experiencia
utilizando un densímetro.
(b) Velocidad límite.
(vi) Limpiar las esferas y secarlas cuidadosamente. Deberán manejarse siempre con
unas pinzas de madera.
(vii) Dejar caer una esfera a través del embudo de conducción a fin de que penetre en el
líquido problema, con velocidad inicial insignificante (el tubito del embudo debe
penetrar en el líquido), a lo largo del eje longitudinal de la probeta.
12-4
(viii) Medir y anotar el tiempo de tránsito entre las marcas A y B señaladas en la
probeta.
Si el movimiento es suficientemente lento, es conveniente medir el período de tránsito entre
marcas auxiliares equidistantes más próximas entre sí, a fin de garantizar que la velocidad de caída es
constante (i.e., velocidad límite).
(ix) Repetir la operación para un total de cinco esferas de un mismo tipo. Calcular el
valor medio de los tiempos de caída y, a partir de éste calcular el valor de la velocidad
límite. Aplicar la corrección de Landenburg (12.8) para obtener la velocidad límite
corregida.
(x) Calcular y anotar el valor de número de Reynolds (ℜ), a fin de asegurarnos de que
estamos en las condiciones de aplicabilidad de la ley de Stokes.
(xi) Medir y anotar la temperatura del líquido. Calcular el coeficiente de viscosidad
del líquido problema a partir de la expresión (12.7).
(xii) Repetir las operaciones anteriores para otros tipos de esferas (si los hubiera).
Nota: Una variante interesante de esta práctica, consiste en hacer gotear un líquido contenido en una
bureta sobre la superficie libre de un líquido problema. Obviamente los líquidos deberán ser inmiscibles y
el líquido de goteo más denso que el líquido problema (v.g., aceite de motor sobre agua, ...). El volumen
de las gotas puede estimarse dividiendo el número de gotas idénticas por el volumen total de las mismas,
que se medirá en la escala de la bureta.
En el caso de que sea este el dispositivo experimental, el alumno deberá medir el radio de las
gotas (como se ha indicado anteriormente) y la densidad del líquido de goteo.
Resultados:
Se expresarán todos los resultados en unidades del sistema c.g.s.
Medidas preliminares
Diámetro esferas
Tipo 1 Tipo 2
(2r)
1
2
3
4
5
media
Concepto
Tipo 1 Tipo 2
radio medio de las esferas r
masa de 5 esferas
masa de cada esfera
m
densidad de las esferas
δ
densidad del líquido
ρ
trayecto de caída
l
radio de la probeta
R
12-5
Velocidad límite y viscosidad
Tipo 1
Tipo 2
Ensayo Tiempo Velocidad Tiempo Velocidad
caída
límite
caída
límite
1
2
3
4
5
media
Concepto
velocidad límite
Tipo 1 Tipo 2
vm
velocidad límite corregida vlím
Número de Reynolds
ℜ
Coef. Viscosidad
η
Cuestiones:
(1) La velocidad de una esfera, de radio r, que cae en un líquido viscoso viene dada, en
función del tiempo, por la expresión:
v = vlim (1− e −α t )
con α =
9η
2r 2δ
(12.9)
donde vlim es la velocidad límite dada por (12.7). Representar gráficamente la función
v(t) y comentar la forma de la curva.
(2) A partir de los resultados experimentales obtenidos en esta Práctica, y utilizando la
expresión (12.9), calcular el tiempo necesario para que las esferas empleadas alcancen
el 95% de la velocidad límite.
(3) El recorrido de la esfera viene dado en función del tiempo por la expresión:


1
x = vlim t − (1 − e −α t )
 α

(12.10)
Representar gráficamente esta función y comentarla.
(4) A partir del resultado obtenido en la cuestión 2, calcular el recorrido de la esfera
(partiendo del reposo) antes de alcanzar el 95% de su velocidad límite.
12-6
(5) Si la velocidad de la esfera no es suficientemente pequeña, no será aplicable la ley
de Stokes. ¿Cuál es la razón de esto?
Respuestas:
12-7