SOLUCIONARIO Ubicación de puntos, distancia y

SOLUCIONARIO
SGUICES024MT22-A16V1
Ubicación de puntos,
distancia y longitudes en el
plano cartesiano
1
TABLA DE CORRECCIÓN
GUÍA PRÁCTICA
UBICACIÓN DE PUNTOS, DISTANCIA Y LONGITUDES EN EL PLANO
CARTESIANO
Ítem Alternativa Habilidad
1
E
Aplicación
2
A
Aplicación
3
C
Aplicación
4
E
ASE
5
B
ASE
6
A
ASE
7
C
ASE
8
E
Aplicación
9
E
ASE
10
C
ASE
11
C
Aplicación
12
B
Aplicación
13
C
ASE
14
D
Aplicación
15
C
Aplicación
16
D
ASE
17
C
ASE
18
D
ASE
19
A
Aplicación
20
D
ASE
21
A
Aplicación
22
B
ASE
23
C
ASE
24
A
ASE
25
D
ASE
2
1. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Transformaciones isométricas
Aplicación
El punto medio de un segmento cuyos puntos extremos son (x1, y1) y (x2, y2) se calcula
 x  x y  y2 
como  1 2 , 1
 . Luego, si P (3, – 4) y Q (8, 2), entonces el punto medio de PQ
2 
 2
 3  8  4  2   11  2   11

,
es 
 ,
   ,  1 .
2  2 2  2
 2

 11

Por lo tanto, el punto medio de PQ es  , 1 .
2

2. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Transformaciones isométricas
Aplicación
El punto medio de un segmento cuyos puntos extremos son (x1, y1) y (x2, y2) se calcula
 x  x y  y2 
como  1 2 , 1
 . Luego, si P (5, 7), Q (3, y) y el punto medio es (4, 1), entonces
2 
 2
53 7 y
(4, 1) = 
,

2 
 2
7 y
. Entonces, y = (2 – 7) = – 5.
2
Igualando la segunda componente resulta 1 =
3
3. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Transformaciones isométricas
Aplicación
El punto medio de un segmento cuyos puntos extremos son (x1, y1) y (x2, y2) se calcula
 x  x y  y2 
como  1 2 , 1
M
 . Luego, si A (a, – b), C (2b, 2a – b) y el punto medio es
2 
 2
(30, – 6), entonces
 a  2b  b  2a  b 
(30, – 6) = 
,

2
 2

Igualando la segunda componente resulta – 6 =
2a  2b
. Entonces, (a – b) = – 6
2
4. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Transformaciones isométricas
ASE
Al ubicar los puntos en el plano cartesiano, se tiene que:
I)
Verdadera, ya que ambos puntos tienen igual ordenada, o sea PQ es un segmento
horizontal.
II) Verdadera, ya que QR es un segmento vertical de abscisa 9.
III) Verdadera, ya que PQ es un segmento horizontal y QR es un segmento vertical.
Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.
5. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Transformaciones isométricas
ASE
AP 3
 , entonces se
PB 2
cumple que tanto horizontal como verticalmente las coordenadas se dividen en esa razón.
Entonces, si P(a, b), A(– 1, 3) y B(4, – 7):
Si el punto P divide interiormente al segmento AB de manera que
4
d ( AP ) X 3


d ( PB ) X 2
a  (1) 3
xP  xA 3
 2a + 2 = 12 – 3a

 
4a
2
xB  xP 2
 a=2
b3
3
d ( AP )Y 3
y  yA 3
 P

 2b – 6 = – 21 – 3b  b = – 3



yB  yP 2
7b 2
d ( PB )Y 2
Por lo tanto, las coordenadas del punto P son (2, – 3).
(Observación: también es posible resolver la pregunta de manera gráfica, bajo los mismos
conceptos)
6. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Transformaciones isométricas
ASE
Si AC es una diagonal del paralelógramo ABCD, entonces BD es la otra diagonal. Como
las diagonales de un paralelógramo se dimidian, entonces el punto medio de AC es igual al
punto medio de BD . Luego, si A (1, 2), B (3, 4), C (1, 7) y D (p, m), entonces:
 xA  xC y A  yC   xB  xD yB  yD 
,
,



2   2
2 
 2
11 2  7   3  p 4  m 
,
,



2   2
2 
 2
2
 ,
2
9 3 p 4 m
,


2  2
2 
Igualando las coordenadas resulta:
2=3+p  p=–1
9=4+m  m=5
Por lo tanto, las coordenadas del punto D son (– 1, 5).
5
7. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Transformaciones isométricas
ASE
Al graficar los puntos y los segmentos mencionados:
I)
y
Verdadera, ya que RQ es un segmento horizontal y
–1
PQ es un segmento vertical.
–1
•P
R• – 3
•Q
II) Verdadera, ya que PQ es un segmento vertical y el
eje de las ordenadas corresponde al eje Y.
III) Falsa, ya que RP es la hipotenusa del triángulo RQP,
rectángulo en Q. Entonces, RP  RQ .
3
x
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas.
8. La alternativa correcta es E
Unidad temática
Habilidad
Transformaciones isométricas
Aplicación
Dada una circunferencia de centro O (6, 8) y un punto P (18, 13) perteneciente a ella, se
puede determinar el radio r mediante la fórmula de distancia, entonces
r  d OP 
18  62  13  82

122  52
 169  13
Dado el centro O (6, 8) de la circunferencia, perteneciente al cuadrante I, se debe tener en
cuenta que para que la circunferencia pase por el cuadrante:
* dos (II) es necesario que el radio sea mayor que 6.
* cuatro (IV) es necesario que el radio sea mayor que 8.
* tres (III) es necesario que el radio sea mayor que la distancia desde el centro de la
circunferencia al origen del plano cartesiano, o sea
6 2  8 2  100  10 .
Entonces, la circunferencia pasa por los cuadrantes I, II, III y IV.
6
9. La alternativa correcta es E
Unidad temática
Habilidad
Transformaciones isométricas
ASE
Dado que el triángulo ABC es isósceles de base AB (segmento vertical), y el punto medio
de la base es (2, 6), entonces el vértice C debe ubicarse en la línea horizontal que pase por
el punto medio de AB . Es decir, las coordenadas de C son (a, 6).
Como el área del triángulo ABC es igual a 10 y la base AB es igual a 4, entonces se plantea
el área como
Área =
base  altura
4  altura
 10 =
 altura = 5
2
2
Luego, como la altura es igual a 5, entonces el punto C debe ubicarse 5 unidades a la
izquierda o a la derecha del punto (2, 6), o sea debe tener coordenadas (– 3, 6) o (7, 6).
Sin embargo, como el triángulo ABC solo se encuentra en el cuadrante I, las coordenadas
del punto C son (7, 6).
10. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Transformaciones isométricas
ASE
y
E
F
4 G(6, 0)
A(2,0)
2
2
D(10, 0)
x
h
4
4
C
B
7
Un hexágono regular tiene todos los lados congruentes entre sí. Al trazar las diagonales, se
forman seis triángulos equiláteros congruentes. Luego, si la diagonal AD es igual a 8,
entonces el lado de cada triángulo es igual a 4.
El triángulo GDC es un triángulo equilátero de base GD y la altura h es transversal de
gravedad, por lo cual une el punto medio del lado GD con el vértice opuesto C, y su
longitud es
Luego, el vértice C se puede obtener desplazando G 2 unidades a la derecha y h unidades
hacia abajo. Por lo tanto, el punto C tiene coordenadas
.
11. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Geometría Analítica
Aplicación
Aplicando la fórmula de la distancia entre los puntos A y B
d AB 
x2  x1 2   y2  y1 2
=
(6  2) 2  (4  1) 2
 (4) 2  (3) 2  16  9  25 = 5
12. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Geometría Analítica
Aplicación
Aplicando la fórmula de la distancia entre A y B, tenemos:
d AB 
x2  x1 2   y2  y1 2
 (5  9) 2  (9  5) 2

 42  42
8
 16  16  32  4 2
13. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
I)
Geometría Analítica
ASE
Verdadera, ya que se forma un cuadrado de lado 6 2 . Luego, el perímetro es cuatro
veces la medida del lado, siendo 24 2 .
II) Verdadera, ya que cada diagonal de un cuadrado mide el lado por
 
III) Falsa, ya que el área es lado² = 6 2
2
2 , siendo 12.
= 72.
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas.
14. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Geometría Analítica
Aplicación
Ubicando los puntos dados en el plano cartesiano, se forma
un romboide, representado en la figura. Cuando las
coordenadas de dos puntos difieren solo en una de sus
componentes, la distancia entre ellos es la diferencia
positiva entre ellas. Luego, la distancia entre (0, 0) y (5, 0)
es igual a la distancia entre (2, 5) y (7, 5), que es 5.
En caso contrario, se debe aplicar la fórmula d =
y (2, 5) y (5, 0) y (7, 5) resulta
Luego, el perímetro es 10 + 2
29 .
29
9
y
(2, 5)
(0, 0)
(7, 5)
(5, 0)
x
( x1  x2 ) 2  ( y1  y 2 ) 2 , que para (0, 0)
15. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Geometría Analítica
Aplicación
Ubicando los puntos dados en el plano cartesiano, se obtiene
el triángulo representado en la figura,de altura 13 y base 8.
Entonces, el área es
(4, 13)
y
base  altura 13  8

 52
2
2
(0, 0)
(8, 0)
x
16. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
I)
Geometría Analítica
ASE
Verdadera, ya que se forma un cuadrado de lado 5 2 , luego el perímetro es 20 2 .
II) Falsa, ya que el valor de cada diagonal es 10.
III) Verdadera, ya que sus diagonales son iguales y perpendiculares.
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.
17. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Geometría Analítica
ASE
Como el triángulo PQR es isósceles en Q, entonces la altura que sale de Q llega al punto
medio del lado PR . Luego, la longitud de la altura es igual al distancia entre Q (2, – 2) y el
punto medio de PR .
10
El punto medio de un segmento cuyos puntos extremos son ( x1 , y1 ) y ( x 2 , y 2 ) se calcula
 x  x y  y2 
como  1 2 , 1
 . Luego, si P (– 2, 0) y R (0, 2), entonces el punto medio de PR
2 
 2
20 02
,
es 
 = (– 1, 1).
2 
 2
Entonces, la longitud de la altura es igual al distancia entre Q (2, – 2) y el punto medio de
PR .
La
distancia
entre
dos
puntos
( x1 , y1 )
y
( x2 , y2 )
se
( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2 , entonces la altura que cae sobre el lado PR mide
(2  (1))2  (2  1)2 =
El lado PR mide
32  (3)2 = 18 = 3 2
(0  (2))2  (2  0)2 =
Luego, el área del triángulo es
22  22 =
8 =2 2
base  altura
PR  h 2 2  3 2
=
= 6.

2
2
2
Por lo tanto, el área del triángulo PQR es 6.
18. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Geometría Analítica
ASE
Aplicando la fórmula de la distancia entre A (– 2, 2) y B (1, m), resulta:
d AB 
xB  x A 2   y B  y A 2
5
=
(1  (2))2  (m  2)2
5
=
(1  2)2  m2  4m  4
5
=
9  m2  4m  4
5
25
0
0
= m2  4m  13
= m² – 4m + 13
= m² – 4m – 12
= (m – 6)(m + 2)
(Elevando al cuadrado)
(Factorizando)
11
calcula
como
Luego, m puede valer 6 o – 2, pero como m es un número positivo, entonces m = 6. Con
ello, el punto C tiene coordenadas (1, m – 1) = (1, 5).
Aplicando la fórmula de la distancia entre A (– 2, 2) y C (1, 5), se tiene:
d AC 
x2  x1 2   y2  y1 2
=
(1  (2))2  (5  2)2
=
(1  2)2  32 =
9  9  18  3 2
Por lo tanto, la distancia entre el punto A y el punto C es 3 2 .
19. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Geometría Analítica
Aplicación
y
En la figura se ubican los puntos en un gráfico, tomando a
como unidad.
Considerando el lado PR (que mide 4a unidades) como
base, entonces la altura (h) que cae sobre la base mide 3a
unidades.
•P
3a
–a
2a
x
Luego, Área =
base  altura PR  h 4a  3a
= 6a².


2
2
2
Por lo tanto, el área del triángulo PQR es 6a².
•R
–a
Q•
– 3a
h
20. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Geometría Analítica
ASE
La transversal de gravedad es un segmento que une un vértice del triángulo con el punto
medio del lado opuesto. Entonces, la longitud de la transversal de gravedad que cae sobre el
lado AB es la distancia entre el punto C y el punto medio de AB .
12
El punto medio M de AB , con A (– 3, 3) y B (– 1, 1), es
 xA  xB y A  yB    3  (1) 3  1    4
,
,
,



2  
2
2   2
 2
4
 = (– 2, 2).
2
La distancia entre C (1, 3) y M (– 2, 2) es
d CM 
xB  x A 2   y B  y A 2
 (2  1)2  (2  3)2  (3)2  (1)2  10
Por lo tanto, la longitud de la transversal de gravedad del triángulo que cae sobre el lado
AB es 10 .
21. La alternativa correcta es A
Unidad temática
Habilidad
Geometría Analítica
Aplicación
La distancia entre A (2, 1) y B (8, 1) es igual a 6. Luego, el triángulo equilátero ABC tiene
lado l de longitud 6. Como ABDE es un rectángulo, la medida de BD es igual a la altura h
del triángulo equilátero ABC, es decir
BD  h 
l 3 6 3

3 3
2
2


Con lo anterior, se tiene que las coordenadas del punto D son 8, 1  3 3 . Entonces, la
distancia entre los puntos A y D es igual a
d AB 
8  22  1  3

2
3 1 
62  3
3

2
Por lo tanto, la distancia entre los puntos A y D es igual a
 36  27  63  3 7
.
(Observación: La distancia entre A y D también se puede obtener mediante el teorema de
Pitágoras)
13
22. La alternativa correcta es B
Unidad temática
Habilidad
Geometría Analítica
ASE
Dado que el segmento AB es vertical de longitud 4, para que el triángulo ABC sea
rectángulo en B, es necesario que el segmento BC sea perpendicular al segmento AB. Es
decir, debe pertenecer a la recta
.
Además, el triángulo ABC cumple con el teorema de Pitágoras, por lo cual, dado que el
cateto AB es igual a 4 y la hipotenusa AC es igual a 5, el cateto BC debe ser igual a 3, por
tríos pitagóricos. Luego, C está tres unidades a la derecha o tres unidades a la izquierda de
B.
Por ende, C tiene coordenadas (5, 9) o (– 1, 9). De las coordenadas propuestas, la que está
dentro de las opciones es (– 1, 9).
23. La alternativa correcta es C
Unidad temática
Habilidad
I)
Geometría Analítica
ASE
Verdadera, ya que el diámetro AB tiene puntos
y
, luego el centro de
la circunferencia O corresponde al punto medio de los extremos del diámetro.
 3  7 9  5   10 14 
O
,
   ,   5,7 
2  2 2
 2
II) Falsa, ya que se tiene que la longitud del radio r de la circunferencia es igual a la mitad
de la longitud de su diámetro. Luego
d
r  AB 
2
7  32  9  52
2

22  22
2

4 2
2 2
2
III) Verdadera, ya que si la distancia entre un punto y el centro de una circunferencia es
mide lo mismo que el radio de esta, entonces ese punto pertenece a la circunferencia.
Luego, la distancia entre P y Q es
d AB =
(7  5) 2  (5  7) 2  2 2  (2) 2  4  4  8  2 2
Luego, el punto P pertenece a la circunferencia.
14
Por lo tanto, solo I y III son verdaderas.
24. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Transformaciones isométricas
ASE
(1) PQ es paralelo al eje Y. Con esta información, es posible determinar el punto medio
del segmento PQ, ya que se concluye que la abscisa es igual en ambos puntos. Luego,
Q tiene coordenadas (3, 3) y el punto medio del segmento PQ es (3, – 1).
(2) OQ = 3 2 . Con esta información, no es posible determinar el punto medio del
segmento PQ, ya que hay dos puntos de la forma Q(a, a) cuya distancia al origen es
3 2 , y son (3, 3) y (– 3, – 3). Con el primero de ellos, el punto medio del segmento
PQ es (3, – 1), pero con el segundo el punto medio del segmento PQ es (0, – 4).
Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.
25. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Transformaciones isométricas
ASE
Como A y C tienen la misma abscisa, entonces el segmento AC es paralelo al eje Y. Como B
y C tienen la misma ordenada, entonces el segmento BC es paralelo al eje X. Entonces,
AC  BC , lo que significa que  BCA = 90°. Luego:
(1)  BCA = 5·CAB . Con esta información, es posible determinar el  CAB, ya que 
BCA 90
CAB =
= 18°.

5
5
(2)  ABC = 72°. Con esta información, es posible determinar el  CAB, ya que el 
ABC y el  CAB son complementarios. Entonces
 CAB = (90° –  ABC) = (90° – 72°) = 18°.
Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola.
15