Satétite que cae desde su órbita

CATS – INGENIERIA
CÉSAR ALVEIRO TRUJILLO SOLARTE
Profesor del Departamento de Matemáticas
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De acuerdo con la ley de gravitación universal propuesta por Newton, la aceleración “a”
de caída libre de un cuerpo (en este caso especifico el cuerpo es representado por el
satélite de la figura) que cae desde una gran distancia de la cual orbita hasta la superficie
de la tierra, no es la constante g. así tenemos que esa aceleración que llamaremos “a” es
inversamente proporcional a cuadrado de la distancia “r” al centro de la tierra es decir:
a= K/r2 , Donde K es la constante de proporcionalidad y R la distancia desde un punto de
la superficie al centro de la tierra.
a) emplee el hecho de que en la superficie de la tierra R = r y que además a = g para
determinar la constante de proporcionalidad.
b) Aplique la segunda ley de newton y el resultado de la parte anterior (punto a) para
deducir una ecuación diferencial para la distancia r.
c) Aplique la regla de la cadena:
=
*
, Para expresar la ecuación diferencial
obtenida en la parte b) donde intervengan v y
Lo anterior teniendo en cuenta los siguientes datos:
R = radio de la tierra=6.378km
Distancia a la cual órbita un satélite = 500km sobre la superficie de la tierra.
Masa del satélite Sputnik2 = 508.3 kg.
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CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES INGENIERIA FÍSICA 2010 A
ESTUDIANTE: JULIÁN RODRIGO PÉREZ
CATS – INGENIERIA
CÉSAR ALVEIRO TRUJILLO SOLARTE
Profesor del Departamento de Matemáticas
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SOLUCION:
a) Tenemos la ecuación inicial a = k/r2; despejando K tenemos que: K = a*r2
Como nos dice el problema; en la superficie de la tierra R = r, además en ese punto la
aceleración a es igual a g, entonces tenemos:
K= (-9.8m/s2)*(6378km) = (-9.8m/s 2)*(6.378.000m), luego se tiene,
k = - 62.504.400m2/s2
b) Para resolver esta parte el ejercicio partimos de la segunda ley de newton, la cual nos
dice que la sumatoria de fuerzas que actúan sobre un cuerpo es directamente proporcional
al producto entre la aceleración que adquiere el cuerpo y su masa, es decir:
F = m*a
Sabemos que la aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo; pero a
su vez la velocidad es la derivada de la posición con respecto al tiempo, es decir:
entonces,
Así tenemos:
F=m*
Como k=gR2, tenemos a = g R2 / r2 o sea:
Expresado de otra forma:
r’’- g R2 r -2 = 0
= g R²/r² o también
(ecuación diferencial de segundo orden).
c) Aplicando la regla de la cadena tenemos:
tenemos:
v
=
= gR²/r²
=
=
*
, como
v , reemplazando en el resultado de la parte b) tenemos:
= gR2r -2 , es decir: v dv = gR2r-2 dt, lo que nos lleva a:
=v ,
v 2 = g R2 r -1 + c1 ,
es decir la función velocidad (V) depende de la posición del satélite ( r ) durante su caída.
V(r)= ( 2 g R2 r -1 + C ) 1/2.
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CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES INGENIERIA FÍSICA 2010 A
ESTUDIANTE: JULIÁN RODRIGO PÉREZ